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Introducción

Extensión de medidas

σ−álgebra generada por rectángulos

Espacios de Banach universales

Midiendo conjuntos no medibles y

espacios de Banach universales

Abel Álvarez, Miguel Ángel Andrés, Javier Canto, PabloGerlach, Daniel Morales, Alberto Rodríguez

Universidad de ExtremaduraVI Escuela Taller de Análisis Funcional

Tutor: Antonio AvilésXII Encuentro de la Red de Análisis Funcional y Aplicaciones

2 de marzo de 2016

Grupo 1 Midiendo conjuntos no medibles

Introducción

Indice

1 Introducción

2 Extensión de medidas

3 σ−álgebra generada por rectángulos

4 Espacios de Banach universales

Introducción

Objetivos

Preguntémonos lo siguiente:

1. ¿Existe una medida que extienda la medida de Lebesgueen P(R)?

2. ¿Están todos los subconjuntos de R2 en la σ−álgebragenerada por los conjuntos de la forma A×B, donde A y Bson subconjuntos arbitrarios de R?

3. ¿Todos los espacios de Banach de la cardinalidad delcontinuo son isométricos (o al menos isomorfos) asubespacios del espacio cociente l∞/c0?

Introducción

Objetivos

Introducción

Objetivos

Introducción

Objetivos

Introducción

Objetivos

Introducción

Axiomática ZFC

1. Axioma de extensibilidad: Dos conjuntos X e Y soniguales (lo cual se denotará como X = Y ) únicamente sitienen los mismos elementos.

2. Axioma de pares: Dados cualesquiera conjuntos x e yexiste otro conjunto, representado por {x , y}, cuyoselementos son únicamente x e y .

3. Axioma de la unión: Dada cualquier colección {Ci}i∈I deconjuntos, existe un conjunto, representado por

⋃i∈I

llamado unión de {Ci}i∈I , que contiene todos loselementos de cada conjunto Ci para todo i ∈ I.

4. Axioma del conjunto potencia: Para cualquier conjuntoX existe otro, que denotaremos P(X ), que contiene todoslos subconjuntos de X .

Introducción

Axiomática ZFC

⋃i∈I

Introducción

Axiomática ZFC

⋃i∈I

Introducción

Axiomática ZFC

⋃i∈I

Introducción

Axiomática ZFC

5. Esquema axiomático de especificación: Si tenemos unconjunto X y una propiedad P existe el conjunto formadolos elementos x ∈ X que verifican P.

6. Esquema axiomático de reemplazo: Si tenemos unconjunto X y una función f definida sobre X , existe elconjunto {f (t) : t ∈ X}.

7. Axioma de infinitud: Existe un conjunto X tal que ∅ ∈ X ytal que si y ∈ X entonces y ∪ {y} ∈ X (en otras palabras,existe un conjunto inductivo).

8. Axioma de regularidad: Para todo conjunto no vacío Xexiste un conjunto Y ∈ X tal que X ∩ Y = ∅.

9. Axioma de elección: Si tenemos una función f definidaen X , de tal forma que f (x) 6= ∅ para todo x ∈ X entoncesexiste una g definida en X tal que g(x) ∈ f (x) para todox ∈ X .

Introducción

Axiomática ZFC

Introducción

Axiomática ZFC

Introducción

Axiomática ZFC

Introducción

Objetivos

Introducción

Objetivos

Introducción

Objetivos

Introducción

NO 1: No existe ningunamedida λ que extienda ala medida de Lebesgue.

2: La σ−algebra de losrectangulos coincide conlas partes del plano.

3: l∞/c0 es un espacio deBanach universal.

Hipotesis del Continuo.

Introducción

Pregunta 1

¿Existe una medida que extienda la medida de Lebesgue enP(R)?

Vitali demostró que no existe una medida así que seainvariante por traslaciones.Banach y Kuratowski demostraron que la Hipótesis delContinuo responde negativamente a la pregunta.Solovay demostró que “no se puede demostrar que no sepueda demostrar que la respuesta sea negativa.”

Introducción

Pregunta 1

Vitali demostró que no existe una medida así que seainvariante por traslaciones.

Banach y Kuratowski demostraron que la Hipótesis delContinuo responde negativamente a la pregunta.Solovay demostró que “no se puede demostrar que no sepueda demostrar que la respuesta sea negativa.”

Introducción

Pregunta 1

Vitali demostró que no existe una medida así que seainvariante por traslaciones.Banach y Kuratowski demostraron que la Hipótesis delContinuo responde negativamente a la pregunta.

Solovay demostró que “no se puede demostrar que no sepueda demostrar que la respuesta sea negativa.”

Introducción

Pregunta 1

Vitali demostró que no existe una medida así que seainvariante por traslaciones.Banach y Kuratowski demostraron que la Hipótesis delContinuo responde negativamente a la pregunta.Solovay demostró que “no se puede demostrar que no sepueda demostrar que la respuesta sea negativa.”

Introducción

Esta demostrado que no se puede demostrar que no se pueda demostrar que la respuesta sea negativa.

nexo verbosujeto atributo

C. directoverboAdvnexo Oracion subordinada Sujeto

Oracion subordinada Sujeto

verbo atributo Oracion subordinada Sujeto

nexo Adv verbo C. directo

Introducción

Axioma

Existe una medida λ definida sobre todos los subconjuntos deR que coincide con la medida de Lebesgue en los conjuntos dela σ−álgebra de Lebesgue.

Teorema

Si el axioma es cierto, entonces existe un conjunto D ⊆ R2 talque D 6∈ σ2(R) = P(R)⊗ P(R).

Introducción

Axioma

Existe una medida λ definida sobre todos los subconjuntos deR que coincide con la medida de Lebesgue en los conjuntos dela σ−álgebra de Lebesgue.

Teorema

Si el axioma es cierto, entonces existe un conjunto D ⊆ R2 talque D 6∈ σ2(R) = P(R)⊗ P(R).

Introducción

Demostración.

Sea ≺ un buen orden de R. Denotamos

I≺(x) := {y ∈ R : y ≺ x}.

Hay dos opciones:Si λ(I≺(x)) = 0 para todo x ∈ R, tomaremos X = R.Si existe un x0 con λ(I≺(x0)) > 0, entonces tomamosX = I≺(x) con x = min≺{y ∈ R : λ(I≺(y)) > 0}.

En cualquier caso, sea D = {(x , y) ∈ X 2 : y ≺ x}.

Introducción

Demostración.

I≺(x) := {y ∈ R : y ≺ x}.

Hay dos opciones:

Si λ(I≺(x)) = 0 para todo x ∈ R, tomaremos X = R.Si existe un x0 con λ(I≺(x0)) > 0, entonces tomamosX = I≺(x) con x = min≺{y ∈ R : λ(I≺(y)) > 0}.

Introducción

Demostración.

I≺(x) := {y ∈ R : y ≺ x}.

Hay dos opciones:Si λ(I≺(x)) = 0 para todo x ∈ R, tomaremos X = R.

Si existe un x0 con λ(I≺(x0)) > 0, entonces tomamosX = I≺(x) con x = min≺{y ∈ R : λ(I≺(y)) > 0}.

Introducción

Demostración.

I≺(x) := {y ∈ R : y ≺ x}.

Introducción

Demostración.

I≺(x) := {y ∈ R : y ≺ x}.

Introducción

Demostración.

Tenemos

Dx = {y ∈ X : (x , y) ∈ D} = {y ∈ X : y ≺ x} = I≺(x)

λ(Dx) = 0.

Por otro lado,

Dy = {x ∈ X : (x , y) ∈ D} = {x ∈ X : y ≺ x} = X \ I≺(y).

λ(Dy ) = λ(X \ I≺(y)) > 0.

Introducción

Demostración.

Tenemos

Dx = {y ∈ X : (x , y) ∈ D} = {y ∈ X : y ≺ x} = I≺(x)

λ(Dx) = 0.

Por otro lado,

Dy = {x ∈ X : (x , y) ∈ D} = {x ∈ X : y ≺ x} = X \ I≺(y).

λ(Dy ) = λ(X \ I≺(y)) > 0.

Introducción

Demostración.

Tenemos

Dx = {y ∈ X : (x , y) ∈ D} = {y ∈ X : y ≺ x} = I≺(x)

λ(Dx) = 0.

Por otro lado,

Dy = {x ∈ X : (x , y) ∈ D} = {x ∈ X : y ≺ x} = X \ I≺(y).

λ(Dy ) = λ(X \ I≺(y)) > 0.

Introducción

Demostración.

Tenemos

Dx = {y ∈ X : (x , y) ∈ D} = {y ∈ X : y ≺ x} = I≺(x)

λ(Dx) = 0.

Por otro lado,

Dy = {x ∈ X : (x , y) ∈ D} = {x ∈ X : y ≺ x} = X \ I≺(y).

λ(Dy ) = λ(X \ I≺(y)) > 0.

Introducción

Demostración.

Supongamos que D ∈ σ2(R).

Por el teorema de Fubini:

λ⊗ λ(D) =

∫Rλ(Dx)dλ(x) =

∫Rλ(Dy )dλ(y)

Por un lado tenemos,∫Rλ(Dx)dλ(x) =

0dλ(x) = 0

y por el otro ∫Rλ(Dy )dλ(y) =

∫Xλ(Dy )dλ(y) > 0.

Introducción

Demostración.

Supongamos que D ∈ σ2(R). Por el teorema de Fubini:

λ⊗ λ(D) =

∫Rλ(Dx)dλ(x) =

∫Rλ(Dy )dλ(y)

0dλ(x) = 0

∫Xλ(Dy )dλ(y) > 0.

Introducción

Demostración.

λ⊗ λ(D) =

∫Rλ(Dx)dλ(x) =

∫Rλ(Dy )dλ(y)

0dλ(x) = 0

∫Xλ(Dy )dλ(y) > 0.

Introducción

Demostración.

λ⊗ λ(D) =

∫Rλ(Dx)dλ(x) =

∫Rλ(Dy )dλ(y)

0dλ(x) = 0

∫Xλ(Dy )dλ(y) > 0.

Introducción

Pregunta 2

¿Están todos los subconjuntos de R2 en la σ−álgebragenerada por los conjuntos de la forma A× B, donde A y B sonsubconjuntos arbitrarios de R?

1. Fue formulada por Ulam en el año 1938.2. Rothberger demostró que la Hipótesis del Continuo implica

que la respuesta a dicha pregunta es “Sí”.3. Kunen hizo notar que otros axiomas conocidos implican

que la respuesta es “No”.

Introducción

Pregunta 2

Introducción

Pregunta 2

1. Fue formulada por Ulam en el año 1938.

2. Rothberger demostró que la Hipótesis del Continuo implicaque la respuesta a dicha pregunta es “Sí”.

3. Kunen hizo notar que otros axiomas conocidos implicanque la respuesta es “No”.

Introducción

Pregunta 2

que la respuesta a dicha pregunta es “Sí”.

3. Kunen hizo notar que otros axiomas conocidos implicanque la respuesta es “No”.

Introducción

Pregunta 2

Introducción

Pregunta 2

Introducción

Pregunta 3

¿Todos los espacios de Banach de la cardinalidad del continuoson isométricos (o al menos isomorfos) a subespacios delespacio cociente l∞/c0?

Introducción

Pregunta 3

¿Todos los espacios de Banach de la cardinalidad del continuoson isométricos (o al menos isomorfos) a subespacios delespacio cociente l∞/c0?

Introducción

Si f : X −→ Y es una función, entonces la funciónf × f : X × X −→ Y × Y, dada por

(f × f )(x1, x2) = (f (x1), f (x2)),

es σ2(X )− σ2(Y )− medible.

Demostración.

Se sigue del hecho de que

(f × f )−1(A× B) = f−1(A)× f−1(B).

Introducción

Si f : X −→ Y es una función, entonces la funciónf × f : X × X −→ Y × Y, dada por

(f × f )(x1, x2) = (f (x1), f (x2)),

es σ2(X )− σ2(Y )− medible.

Demostración.

Se sigue del hecho de que

(f × f )−1(A× B) = f−1(A)× f−1(B).

Introducción

Se tiene que el conjunto {(a,b) ∈ R2 : a < b} ∈ σ2(R).

Demostración.

Podemos escribir nuestro conjunto {(a,b) ∈ R2 : a < b} comola siguiente unión de rectángulos:

{(a,b) ∈ R2 : a < b} =⋃

I1,I2⊂RI1 × I2,

donde I1, I2 ⊂ R son intervalos de extremos racionales queverifican max(I1) < min(I2).

Introducción

Se tiene que el conjunto {(a,b) ∈ R2 : a < b} ∈ σ2(R).

Demostración.

Podemos escribir nuestro conjunto {(a,b) ∈ R2 : a < b} comola siguiente unión de rectángulos:

{(a,b) ∈ R2 : a < b} =⋃

I1,I2⊂RI1 × I2,

donde I1, I2 ⊂ R son intervalos de extremos racionales queverifican max(I1) < min(I2).

Introducción

Si A ⊂ R, entonces A′ := {(a,a) : a ∈ A} ∈ σ2(R).

Demostración.

La idea consiste en demostrarlo por doble contención, tratandode ver

A′ =⋂ n⋃

(A ∩ Ik )× (A ∩ Ik ),

donde I1, . . . , In son intervalos con extremos racionales talesque I1 ∪ I2 ∪ . . . In = R.

Introducción

Si A ⊂ R, entonces A′ := {(a,a) : a ∈ A} ∈ σ2(R).

Demostración.

Si escribimos el intervalos Ik = (pk ,qk ) siendo pk ,qk ∈ Qtenemos que la parte derecha se convierte en

B :=⋂ n⋃

(A ∩ Ik )× (A ∩ Ik ) =⋂ n⋃

{(a,a) : pk < a < qk}.

Introducción

Axioma (Afirmación de la Pregunta 2)

Todos los subconjuntos de R2 están en la σ−álgebra generadapor todos los conjuntos de la forma A× B, donde A y B sonconjuntos arbitrarios de R.

Teorema

Si el axioma anterior es falso, entonces existe un espacio deBanach de la cardinalidad del continuo que no es isométrico aningún subespacio de l∞/c0.

Introducción

Teorema

Introducción

Como vamos a trabajar en el espacio cociente l∞/c0 debemosconsiderar la norma dada por

‖x‖l∞/c0= ‖x + c0‖l∞/c0

:= inf{‖x + y‖l∞ : y ∈ c0},

siendo x un representante de la clase x ∈ l∞/c0.

Un resultado fundamental para la demostración será laequivalencia de

limsupn→+∞

|xn| = inf{

supn∈N|xn + yn| : yn −→ 0

}=: ‖x‖l∞/c0

Introducción

Como vamos a trabajar en el espacio cociente l∞/c0 debemosconsiderar la norma dada por

‖x‖l∞/c0= ‖x + c0‖l∞/c0

:= inf{‖x + y‖l∞ : y ∈ c0},

siendo x un representante de la clase x ∈ l∞/c0.Un resultado fundamental para la demostración será laequivalencia de

limsupn→+∞

|xn| = inf{

supn∈N|xn + yn| : yn −→ 0

}=: ‖x‖l∞/c0

Introducción

Teorema

Introducción

Supongamos que existe un conjunto E ⊂ R2 que no pertenecea la σ−álgebra σ2(R).

Podemos escribir nuestro conjunto E dela siguiente manera

E = E1 ∪ E2 ∪ E3

siendoE1 = {(a,b) ∈ E : a < b},E2 = {(a,b) ∈ E : a = b},E3 = {(a,b) ∈ E : a > b}.

Introducción

Supongamos que existe un conjunto E ⊂ R2 que no pertenecea la σ−álgebra σ2(R). Podemos escribir nuestro conjunto E dela siguiente manera

E = E1 ∪ E2 ∪ E3

siendo

E1 = {(a,b) ∈ E : a < b},E2 = {(a,b) ∈ E : a = b},E3 = {(a,b) ∈ E : a > b}.

Introducción

E = E1 ∪ E2 ∪ E3

siendoE1 = {(a,b) ∈ E : a < b},

E2 = {(a,b) ∈ E : a = b},E3 = {(a,b) ∈ E : a > b}.

Introducción

E = E1 ∪ E2 ∪ E3

siendoE1 = {(a,b) ∈ E : a < b},E2 = {(a,b) ∈ E : a = b},

E3 = {(a,b) ∈ E : a > b}.

Introducción

E = E1 ∪ E2 ∪ E3

siendoE1 = {(a,b) ∈ E : a < b},E2 = {(a,b) ∈ E : a = b},E3 = {(a,b) ∈ E : a > b}.

Introducción

Existe un espacio de Banach XE de cardinalidad del continuo y vectores{ea : a ∈ R} de X unitarios tales que para todo a < b se verifican

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

Dada una función f : R −→ R definiremos

‖f‖∞ = sup{|f (a)| : a ∈ R},‖f‖E := sup{|f (a) + f (b)| : (a, b) ∈ E},‖f‖ := max{‖f‖∞, ‖f‖E},

así como el espacio

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

‖f‖∞ = sup{|f (a)| : a ∈ R},

‖f‖E := sup{|f (a) + f (b)| : (a, b) ∈ E},‖f‖ := max{‖f‖∞, ‖f‖E},

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

‖f‖∞ = sup{|f (a)| : a ∈ R},‖f‖E := sup{|f (a) + f (b)| : (a, b) ∈ E},

‖f‖ := max{‖f‖∞, ‖f‖E},

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a, b) ∈ E.

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a, b) 6∈ E.

Demostración.

Y := {f : R −→ R : ‖f‖ < +∞}.

Introducción

Demostración.

Consideremos la función característica ea ∈ Y del punto a ∈ R

ea(a) = 1, y ea(b) = 0, ∀b 6= a.

Se tiene que (Y , ‖ · ‖) conforma un espacio de Banach. Además, losvectores ea cumplen

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a,b) ∈ E .

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a,b) 6∈ E .

3. ‖ea‖ = 1 ∀a ∈ R.

Basta considerar entonces el espacio de Banach

XE := span{ea : a ∈ R},

el cual tiene la cardinalidad del continuo.

Introducción

Demostración.

ea(a) = 1, y ea(b) = 0, ∀b 6= a.

Se tiene que (Y , ‖ · ‖) conforma un espacio de Banach.

Además, losvectores ea cumplen

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a,b) ∈ E .

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a,b) 6∈ E .

3. ‖ea‖ = 1 ∀a ∈ R.

Introducción

Demostración.

ea(a) = 1, y ea(b) = 0, ∀b 6= a.

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a,b) ∈ E .

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a,b) 6∈ E .

3. ‖ea‖ = 1 ∀a ∈ R.

Introducción

Demostración.

ea(a) = 1, y ea(b) = 0, ∀b 6= a.

1. ‖ea + eb‖ = 2 si (a,b) ∈ E .

2. ‖ea + eb‖ = 1 si (a,b) 6∈ E .

3. ‖ea‖ = 1 ∀a ∈ R.

el cual tiene la cardinalidad del continuo.Grupo 1 Midiendo conjuntos no medibles

Introducción

Teorema

El conjunto XE construido anteriormente es un espacio de Banach dela cardinalidad del continuo que no es isométrico a ningúnsubespacio de l∞/c0.

Demostración.

Supongamos para ello que tenemos una isometría

T : XE −→ l∞/c0

y denotemos mediante

S(a) := (S(a)n)n∈N ∈ l∞

a un representante cualquiera de la clase de equivalencia de T (ea)en el espacio cociente l∞/c0.

Introducción

Teorema

Demostración.

T : XE −→ l∞/c0

S(a) := (S(a)n)n∈N ∈ l∞

Introducción

Teorema

Demostración.

T : XE −→ l∞/c0

S(a) := (S(a)n)n∈N ∈ l∞

Introducción

Demostración.

Definimos a continuación los conjuntos

An = {a ∈ R : S(a)n > 2/3},Bn = {a ∈ R : S(a)n < −2/3}.

La idea consistirá en demostrar que podemos escribir

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

lo cual nos llevará a contradicción con la suposición dada en elaxioma de que E 6∈ σ2(R).

Introducción

Demostración.

An = {a ∈ R : S(a)n > 2/3},

Bn = {a ∈ R : S(a)n < −2/3}.

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

Introducción

Demostración.

An = {a ∈ R : S(a)n > 2/3},Bn = {a ∈ R : S(a)n < −2/3}.

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

Introducción

Demostración.

An = {a ∈ R : S(a)n > 2/3},Bn = {a ∈ R : S(a)n < −2/3}.

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

Introducción

Demostración.

Tomemos para ello a < b tal que (a,b) ∈ E . Vimos entoncesque

‖ea + eb‖ = 2,

por lo que al ser T una isometría y gracias a la elección de Scomo representante obtenemos que

‖T (ea) + T (eb)‖ =limsupn→+∞

|S(a)n + S(b)n| = 2.

Introducción

Demostración.

Consideremos primero el caso en que

limsupn→+∞

(S(a)n + S(b)n) = 2.

Debido a que ‖ea‖ = ‖eb‖ = 1 obtenemos que |S(a)n|, |S(b)n| ≤ 7/6para casi todo n ∈ N (por ejemplo). En consecuencia, debe ser

S(a)n > 2/3 y S(b)n > 2/3,

ya que en caso contrario (supongamos que S(a)n ≤ 2/3) tendríamosque

|S(a)n + S(b)n| ≤ |S(a)n|+ |S(b)n| ≤23+

116< 2,

lo cual no es posible.

Introducción

Demostración.

limsupn→+∞

(S(a)n + S(b)n) = 2.

S(a)n > 2/3 y S(b)n > 2/3,

|S(a)n + S(b)n| ≤ |S(a)n|+ |S(b)n| ≤23+

116< 2,

lo cual no es posible.

Introducción

Demostración.

limsupn→+∞

(S(a)n + S(b)n) = 2.

S(a)n > 2/3 y S(b)n > 2/3,

|S(a)n + S(b)n| ≤ |S(a)n|+ |S(b)n| ≤23+

116< 2,

lo cual no es posible.Grupo 1 Midiendo conjuntos no medibles

Introducción

Demostración.

Luego, (a, b) ∈ An × An ocurre para un número infinito de índices, lo cualsignifica que

(a, b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

Análogamente, si tomamos el caso en que

limsupn→+∞

(S(a)n + S(b)n) = −2,

llegaríamos a que

(a, b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

Bn × Bn

Introducción

Demostración.

Luego, (a, b) ∈ An × An ocurre para un número infinito de índices, lo cualsignifica que

(a, b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

Análogamente, si tomamos el caso en que

limsupn→+∞

(S(a)n + S(b)n) = −2,

llegaríamos a que

(a, b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

Bn × Bn

Introducción

Demostración.

Para demostrar la inclusión contraria, tomemos (a,b) tal que

(a,b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

Por lo tanto, a,b ∈ An para infinitos índices n ∈ N de modo que

limsupn→+∞

|S(a)n + S(b)n| > 1.

Luego, deducimos que ‖ea + eb‖ > 1, por lo que (a,b) ∈ E .Hemos probado entonces que E es un elemento de la σ−álgebragenerada por rectángulos σ2(R), lo cual contradice la suposiciónrealizada.

Introducción

Demostración.

(a,b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

limsupn→+∞

|S(a)n + S(b)n| > 1.

Introducción

Demostración.

(a,b) ∈

⋂m∈N

⋃n≥m

An × An

∪⋂

⋃n≥m

Bn × Bn

limsupn→+∞

|S(a)n + S(b)n| > 1.

Introducción

Teorema

Sea X un espacio de Banach, Y una subálgebra separable deX, x ∈ X, y T : Y −→ l∞/c0 una isometría multiplicativa.Entonces existe una isometría multiplicativaT : Alg(Y , x) −→ l∞/c0 que extiende a T .

Esto nos permitiría demostrar el siguiente resultado.

Teorema

Si la Hipótesis del Continuo es cierta, entonces todo espaciode Banach de cardinalidad el continuo es isométrico a unsubespacio de l∞/c0.

Introducción

Teorema

Introducción

Teorema

Introducción

Teorema

Introducción

Ejemplo

Sin utilizar ningún axioma fuera de ZFC, se puede demostrarque l∞ ↪→ l∞/c0.

Para ello basta considerar la aplicación

(xn)n∈N 7−→ (x1, x1, x2, x1, x2, x3, . . .).

Introducción

Ejemplo

Sin utilizar ningún axioma fuera de ZFC, se puede demostrarque l∞ ↪→ l∞/c0.Para ello basta considerar la aplicación

(xn)n∈N 7−→ (x1, x1, x2, x1, x2, x3, . . .).

Introducción

Midiendo conjuntos no medibles y

espacios de Banach universales

Abel Álvarez, Miguel Ángel Andrés, Javier Canto, PabloGerlach, Daniel Morales, Alberto Rodríguez

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