30

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Resp. forzada: Excitación periódica (i)

t

)(tf

Ω= π2T

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

Ω+Ω+=11

0)( 2 j

Sj

j

Cj

C

t tjSenftjCosfff)(tf ⇔periódica

( ) ( )dttjSenfT

fT

tSj Ω= ∫

0

2( ) ( )dttjCosf

Tf

T

tCj Ω= ∫

0

2

K,2,1=j

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

= ∑= T

tjCosfN

f iN

ii

Cj

221

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Ω

= ∑= T

tjSenfN

f iN

ii

Sj

221

K,2,1=jK,2,1,0=j

Transformada de Fourier

K,2,1,0=j

Función continua:

Función discreta:

Frecuencia fundamental de excitación

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

31

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

x(t)

mk

c

Resp. forzada: Excitación periódica (ii)

Armónicas de la frecuencia fundamental de excitación

Solución propuesta:

Ecuación de movimiento:

( ) ( ) ( )tptht xxx +=

Sol. homogénea (transit.):

Sol. particular (permanente):

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

Ω+Ω+=++11

02

22

j

Sj

j

Cj

C

NN tjSenmf

tjCosmf

mfxxx ωζω &&&

( ) ( ) ( )[ ]tSenAtCosAex ddt

thn ωωζω

21 += −

( ) ( ) ( )jj

Sjj

j

Cj

C

tp tjSenXtjCosXk

fx γγ −Ω+−Ω+= ∑∑∞

=

∞

= 11

0

2

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

Ω+Ω+=11

0)( 2 j

Sj

j

Cj

C

t tjSenftjCosfff

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

32

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Resp. forzada: Excitación periódica (iii)

( ) ( )222

,,

21 jj

SCjSC

jrr

kfX

ζ+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= −

21

12

j

jj r

rtg

ζγ

Nj

jr ωΩ=

jr

tt

t

t

px

0

Respuesta en el dominio de la frecuencia (espectro)

Respuesta en dominio del tiempo

( ) ( ) ( )jj

Sjj

j

Cj

C

tp tjSenXtjCosXk

fx γγ −Ω+−Ω+= ∑∑∞

=

∞

= 11

0

2

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

33

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Resp. forzada: Excitación periódica (iv)

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )jj

Sjj

j

Cj

C

ddt

tptht

tjSenXtjCosX

kftSenAtCosAe

xxx

n

γγ

ωωζω

−Ω+−Ω+

+++=

+=

∑∑∞

=

∞

=

−

11

021 2

Dependen de las condiciones iniciales ( ) 00 xx t ==

( ) 00 vx t ==&

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

+−−=11

001 2 j

jSj

jj

Cj

C

SenXCosXk

fxA γγ

( ) ( )

( ) ( )∑∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

Ω−Ω−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+=

11

11

00

02 2

jj

Sj

jj

Cj

jj

Sj

jj

Cj

C

d

n

d

CosjXSenjX

SenXCosXk

fxvA

γγ

γγωζω

ω

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

34

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Resp. forzada: Excitación periódica (v)

x(t)

mk

c)(tf

t

)(tfΩ= π2T

0f

( )∑∞

=

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

00)( 2 j

t tjSenjfffπ

( ) ( )jj jj

tp tjSenrrjk

fk

fx γζπ

−Ω+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑

∞

=1222

00

)2()1(1

2

I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

Ω+Ω+=11

0)( 2 j

Sj

j

Cj

C

t tjSenftjCosfff

00 ff C =

0=Cjf

πjff S

j0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

Ω= −

)1(2

; 21

j

jj

nj r

rtgjr

ζγ

ω

f(t) es par

35

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiem po, [s]

Respuesta permanente ( ζ = 0.1 ), [m]

F(t)

r1 = 0.5

r2 = 1

r3 = 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiem po, [s]

Respuesta permanente, [m]

F(t)

ζ = 0.05ζ = 0.1 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 1

Respuesta para varios factores de amortiguación (r = 0.5)

Respuesta para varias relaciones de frecuencia (ζ = 0.1)

Resp. forzada: Excitación periódica (vi)I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

36

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Arm ónicos de frecuencia

Coeficientes de la excitacion, [N]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Arm ónicos de frecuencia

Coeficientes de la respuesta, [m]

Resp. forzada: Excitación periódica (vii)I. Introducción

II. Sistema de 1-GDLDescripciónEc. de movimientoResp. libreResp. forzada

Fuerza constanteArmónica simpleExcitación periódicaExcitación impulsivaExcitación general

III. Sistemas de N-GDL

IV. Medición / diagnóstico

V. Bibliografía

Espectro de la excitación

Espectro de la respuesta (r = 0.5 , ζ = 0.1)