Ling. Formais e Autômatos

AFN-ε

Tópicos

AF com ε-transições

Autômatos finitos

AF com ε-transições

Definição O autômato finito com ε-transições permite

transições sobre ε, a string vazia O AFN-ε tem permissão para fazer uma

transição espontaneamente, sem receber um símbolo de entrada

Conveniência de programação

q0 q1

ε

AF com ε-transições

Definição Um autômato finito com ε-transições consiste

em:• Um conjunto finito de estados: Q• Um conjunto finito de símbolos de entrada: Σ• Uma função de transição que toma como

argumentos um estado em Q e um elemento de Σ U {ε}: δ

• Um estado inicial (que está em Q)• Um conjunto de estados finais F (F é um

subconjunto de Q)

AF com ε-transições

Notação:

A = (Q, Σ, δ, q0, F)

Exemplo 1

Construir um AFN que reconheça as palavras-chave web e ebay

Como ele poderia ser construído?

Exemplo 1

Construir um AFN que reconheça as palavras-chave web e ebay

1.º passo: Construímos uma seqüência completa de estados para cada palavra-chave, como se fosse a única palavra que o autômato precisasse reconhecer

Exemplo 1

Construir um AFN que reconheça as palavras-chave web e ebay

O AFN abaixo reconhece a palavra-chave web

q0 q1

w eq2 q3

b

Exemplo 1

Construir um AFN que reconheça as palavras-chave web e ebay

O AFN abaixo reconhece a palavra-chave ebay

q4 q5

eq6 q8q7

b a y

Exemplo 1

Construir um AFN que reconheça as palavras-chave web e ebay

2.º passo: Adicionamos um novo estado inicial com ε-transições para os estados iniciais dos autômatos anteriores, que correspondem a cada uma das palavras-chave!

Exemplo 1

Construir um AFN que reconheça as palavras-chave web e ebay

q4 q5

eq6 q8q7

b a y

q0 q1

w eq2 q3

b

Início

ε

ε

Acabamos de construir um AFN com ε-transições!

Exemplo 2

L = { w | qualquer símbolo a antecede qualquer símbolo b }

Como seria o AFN-ε que aceita essa linguagem?

Exemplo 2

L = { w | qualquer símbolo a antecede qualquer símbolo b }

q0 q1

ε

a b

ε-fechamento de um estado

Definição informal Usamos o ε-fechamento em um estado q

seguindo todas as transições saindo de q rotuladas por ε. Porém, quando chegamos a outros estados seguindo ε, acompanhamos as transições ε que saem desses estados, e assim por diante, encontrando eventualmente todo estado que pode ser alcançado a partir de q ao longo de qualquer caminho cujos arcos são todos rotulados por ε.

ε-fechamento de um estado

Definição formal O estado q está em ECLOSE(q). Se o estado

p está em ECLOSE(q), e existe uma transição do estado p para o estado r rotulada por ε, então r está em ECLOSE(q). Mais precisamente, se δ é a função de transição do AFN-ε envolvido, e p está em ECLOSE(q), então ECLOSE(q) também contém todos os estados em δ(p, ε).

ε-fechamento de um estado

ECLOSE(1) = { ? }

5

6

7

1

2 3

4

ε

ε ε

ε

εa

b

ε-fechamento de um estado

ECLOSE(1) = { 1, 2, 3, 4, 6 }

5

6

7

1

2 3

4

ε

ε ε

ε

εa

b

AF com ε-transições

Considerações Dado qualquer AFN-ε E, podemos encontrar

um AFD D que aceita a mesma linguagem que E.

Para eliminar as ε-transições, aplica-se uma construção muito parecida com a construção de conjuntos, pois os estados de D são subconjuntos dos estados de E.

• A única diferença é que devemos incorporar as ε-transições de E, o que fazemos por meio do mecanismo do ε-fechamento (ECLOSE).

Ling. Formais e Autômatos

Exp. regulares

Tópicos

Expressões regulares

Introdução

Operadores

Linguagens regulares

De acordo com a Hierarquia de Chomsky, as linguagens regulares constituem a classe de linguagens mais simples, sendo possível desenvolver algoritmos de reconhecimento, de geração ou de conversão entre formalismos de pouca complexidade, de grande eficácia e de fácil implementação.

Entretanto, as linguagens regulares possuem fortes limitações de expressividade.

Linguagens regulares

Um autômato finito reconhece uma linguagem regular!

Expressões regulares

Toda linguagem regular pode ser descrita por uma expressão regular

Uma expressão regular é definida a partir de conjuntos (linguagens) básicos e operações de concatenação e de união

Expressões regulares

Ø é uma expressão regular e denota o conjunto { }

Ε é uma expressão regular e denota o conjunto {ε}

Para cada a Є Σ, a é uma expressão regular e denota o conjunto { a }

Se r e s são expressões regulares denotando os conjuntos R e S, então (r+s), (rs) e (r*) são expressões regulares e denotam os conjuntos RUS, RS e R*, respectivamente

Expressões regulares

Alfabeto: Σ = { 0, 1 }

00 é expressão regular se 0 é expressão regular L(0) L(0) = { 0 } { 0 } = { 0 }

0+1 é expressão regular se 0 é expressão regular e 1 é expressão regular L(0) U L(1) = { 0 } U { 1 } = { 0, 1 } = Σ

0* é expressão regular se 0 é expressão regular L(0)* = { 0 }* = { ε, 0, 00, 000, 0000, ... }

Expressões regulares

Precedência: * , +

0+1*

L(0) U L(1)* = { 0 } U L(1)* = { 0 } U { 1 }* = { 0 } U { ε, 1, 11, ...}=

= { 0, ε, 1, 11, ... }

Abreviamos rr* por r+

00*11*22* = 0+1+2+

Exemplo 1

Considerando o alfabeto Σ={ 0, 1 }

E1 = (0+1)* 00 (0+1)*

O que E1 representa?

Exemplo 1

Considerando o alfabeto Σ={ 0, 1 }

E1 = (0+1)* 00 (0+1)* =

L(E1) = L((0+1)*) . L(0) . L(0) . L((0+1)*) =

{0, 1}* . {00} . {0, 1}*

Uma string que tenha, pelo menos,2 zeros consecutivos!

Exemplo 2

Considerando o alfabeto Σ={ 0, 1 }

E2 = ((0+1) (0+1))*

O que E2 representa?

Exemplo 2

Considerando o alfabeto Σ={ 0, 1 }

E2 = ((0+1) (0+1))* =

L(E2) = L((0+1) (0+1))* = (L(0+1) . L(0+1))* =

= ({0,1} {0,1})* = {ε, 00, 01, 10, 11}*

Cadeias que tenhamcomprimento par! (ou ε)

Expressões regulares

AFDeterminístico

AF NãoDeterminístico

ExpressõesRegulares

Expressões regulares

Simplificações Associação Distribuição Equivalência de fecho

Expressões regulares

Seja r uma expressão regular. Então existe um AF não determinístico com ε-transições que aceita r.

Universidade Federal de São Carlos

Sérgio Donizetti Zorzo

zorzo@dc.ufscar.br

Paulo R. M. Cereda

paulo_cereda@dc.ufscar.br