Journees ANR MicroWave

Bruno Pincon

Institut Elie Cartan et ESIALUniversite Henri Poincare

7 decembre 2009

1 Je me presente...

2 Courte introduction sur le retournement temporel

1/17

travaux de recherche

calcul du potentiel electrostatique d’interaction moleculesolvant (proteıne / eau)

q1

q2

q3

ε 0

ε 1

q4

equation integralecollocation (elements courbes)remaillage surfaciquedeveloppements en f90

interaction fluide-structure (avec Alexandre Munnier)

modelisation avec lagrangien, ode, fft, equationintegrale (Nystrom), toolbox Matlab

θ (t)2

θ1(t)

θ3(t)

2/17

travaux de recherche (suite), activites logicielles

retournement temporel (avec Karim puis Xavier et Bertrand)(cf deuxieme partie).

Activites logicielles

Jusqu’en 2005 participation au logiciel scilab (nombreuxajouts et ameliorations, membre du consortium scilab) ;

depuis 2005 elaboration d’un nouveau “Matlab-like”nsp-tumbi (avec Jean-Philippe Chancelier, ENPC).

bonnes connaissances de C, matlab, scilab, octave, fortran (77et 90), OpenGl ;

veille “technologique” sur les codes/bibliotheques numeriques ;

depuis peu : initiation a gmsh et getdp.

3/17

Retournement temporel #1

Principe base sur la reversibilite de l’equation des ondes en milieunon dissipatif. En enregistrant la trace de la solution sur unefrontiere on peut retro-propager un signal vers les sources qui l’ontemis.

r1

r2

B2

B1Γ

∂ttu− c2∆u = 0, R3×]0, T [u(x, 0) = u0(x), Supp(uO) ⊂ B1

∂tu(x, 0) = u1(x), Supp(u1) ⊂ B1

On “enregistre” u(x, t) sur Γpendant un temps T (cT > r1 + r2).

∂ttv − c2∆v = 0, Ω×]T, 2T [v(x, T ) = 0, ∂tv(x, T ) = 0,v(x, t) = u(x, 2T − t), sur Γ

⇒ v(x, t) = u(x, 2T − t)et donc v(x, 2T ) = u(x, 0).

4/17

Retournement temporel #2

Enregistrer et re-emettre a l’envers est possible depuis la mise aupoint (debut 90) de miroirs a retournement temporel par l’equipede M. Fink (LOA a l’ESPCI).

Si on itere les cycles d’emission-reception :

∆ tEmission 2∆ tEmission 1 ∆ tRéception 1

on focalise l’onde sur l’obstacle le plus reflechissant. Nombreusesapplications (destruction de calculs renaux, traitement de tumeurs ducerveau par hyperthermie, controle non-destructif,...).

5/17

Retournement temporel #2

Enregistrer et re-emettre a l’envers est possible depuis la mise aupoint (debut 90) de miroirs a retournement temporel par l’equipede M. Fink (LOA a l’ESPCI).

Si on itere les cycles d’emission-reception :

∆ tEmission 2∆ tEmission 1 ∆ tRéception 1

on focalise l’onde sur l’obstacle le plus reflechissant. Nombreusesapplications (destruction de calculs renaux, traitement de tumeurs ducerveau par hyperthermie, controle non-destructif,...).

5/17

La methode D.O.R.T. #1

Avec 2 cycles d’emission-reception, on definit un operateur deretournement temporel. Experimentalement on observe que :

le nombre de valeurs propres significativement non nullescorrespond au nombre d’obstacles dans le milieu ;

diam(Oi) > diam(Oj) correspond a λi > λj ;

l’utilisation du vecteur propre associe a λi permet de focaliserune onde sur Oi

Le retournement temporel permet de resoudre une sortede probleme inverse.

6/17

La methode D.O.R.T. #1

Avec 2 cycles d’emission-reception, on definit un operateur deretournement temporel. Experimentalement on observe que :

le nombre de valeurs propres significativement non nullescorrespond au nombre d’obstacles dans le milieu ;

diam(Oi) > diam(Oj) correspond a λi > λj ;

l’utilisation du vecteur propre associe a λi permet de focaliserune onde sur Oi

Le retournement temporel permet de resoudre une sortede probleme inverse.

6/17

La methode D.O.R.T. #2

Modelisation d’un MRT a N transducteurs :

δ(t)

k (t)ij

émetteur i

récepteur j

rj(t) = kij(t) ∗ ei(t), 1 ≤ i, j ≤ NRj(ω) = Kij(ω)Ei(ω), 1 ≤ i, j ≤ NR(ω) = K(ω)E(ω)

K(ω) matrice symetrique N ×N

En regime harmonique, u(x, t) = Re(u(x)e−iωt

), “retourner le

temps” correspond a une conjugaison :

v(x, t) = u(x,−t) = Re(u(x)eiωt

)= Re

(u(x)e−iωt

)⇒ l’operateur de RT est : K(ω)K(ω).

7/17

La methode D.O.R.T. #3

Pour pouvoir demontrer/etudier mathematiquement la methodeD.O.R.T., Christophe Hazard et Karim :

supposent le miroir ferme “ideal” (a l’infini) et “continu”.

travaillent en regime harmonique.

Cela permet d’utiliser le formalisme “champ lointain”, “ondesd’Herglotz”, “operateur de champ lointain”,... (cf Colton-Kress).

C. Hazard, K. Ramdani, SIAM J. Appl. Math., 2004. Acoustic TR in 3d

B. Pincon, K. Ramdani, Inverse Problems, 2007. Acoustic TR in 2dwaveguides

X. Antoine, B. Pincon, K. Ramdani, B. Thierry, SIAM J. Appl. Math.,

2008. Electromagnetic TR in 3d, far field, continuous TRM

8/17

Modele de RT pour un guide d’ondes

EMISSIONXI = (XI

1 , · · · , XIN )

uI(x) =

NXn=1

XIn e

iβnx1 sn(x2)x =0

1 1 1x =l x =L

DIFFRACTION∆uD + k2uD = 0 dans Ω∞ \ O,uD = −uI sur ∂O, uD = 0 sur ∂Ω∞,uD sortant

1x =l

1x =L

1x =0

RECEPTIONPour x1 ≤ l : uD(x) =

P∞n=1X

Dn Φ−n (x)

XD = (XD1 , · · · , XD

N )

XDn = (uD |x1=0, sn) =

R d0uD(0, x2)sn(x2)dx2 1

x =01 1

x =l x =L

9/17

Nos operateurs (matrices) de scattering et de RT

La matrice de scattering (ou matrice de transfert) S ∈MN,N (C)est definie par :

XD = SXI

Un cycle du processus :

Emission RetournementDiffraction temporelReception (Conjugaison)

XI 7−→ XD = SXI 7−→ YI = XD = S XI

La matrice de retournement temporel correspond a 2 cycles :

ZI = S Y I = S(S XI

)= SS XI soit T = SS

10/17

Analyse mathematique

1 En utilisant une base adequate on montre que l’operateur deRT est positif et auto-adjoint. Les valeurs propres de T sontdonc reelles et positives.

2 Pour un nombre de mode fixe N = bkd/πc, on fait uneanalyse asymptotique sur la taille des obstacles (ε) pourε→ 0. On obtient que :

T ε = T 0 +O„

1

ln ε

«

3 En etudiant le spectre du probleme limite (T 0) lorsqueN → +∞ on retrouve les resultats de focalisation selective.

11/17

Quelques simulations

D’apres les experiences et le resultat theorique de focalisation, ilfaut que :

diam(Obs) << λ =2πk<< d,

les obstacles doivent etre suffisamment eloignes les uns desautres.

Il faut aussi au moins 10 “mailles” par longueur d’onde pourHelmholtz.

tests :

1 1 obstacle : on fait varier sa taille ε1 > ε2 > ε3 > ...Question : λ2/λ1 → 0 ?

2 differents essais avec 3 obstacles (augmentation du nombre demode N = bkd/πc)

12/17

Test #1 (1 obstacle, 20 modes), λ2/λ1 → 0 ?

h = 0.025, longueur d’onde : λ = 1, guide : d = 10.2

diam(Obs) 0.408 0.204 0.102 0.051 0.0255

λ2/λ1 0.47 0.088 0.012 0.0013 0.00034

diam(Obs) = 0.408 diam(Obs) = 0.0255

13/17

Test #2 (3 obstacles, 10 modes)

h = 0.03, max diam(obs) : 0.102, longueur d’onde : λ = 2, guide : d = 10.2

valeurs propres de T = [0.331, 0.203, 0.136, 0.0013, ...]

|vp1| |vp2| |vp3| |vp4|

14/17

Test #2 Animation onde incidente vp1

u(x, t) = Re“e−iωtuI1(x)

”= Re

e−iωt

NXn=1

XI1n e

iβnx1sn(x2)

!

remerciement a Jean-Francois pour les trucs mencoder !

15/17

Test #3 (3 obstacles, 40 modes, ' 370000 triangles !)

h = 0.02, max diam(obs) : 0.102, longueur d’onde : λ = 0.5, guide : d = 10.2

valeurs propres de T = [0.78, 0.51, 0.27, 0.05, ...]

|vp1| |vp2| |vp3| |vp4|

16/17

Test #3 bis (3 obstacles, 40 modes, ' 370000 triangles !)

h = 0.02, max diam(obs) : 0.051, longueur d’onde : λ = 0.5, guide : d = 10.2

valeurs propres de T = [0.507, 0.389, 0.267, 0.0007, ...]

|vp1| |vp2| |vp3| |vp4|

17/17