Post on 02-Feb-2021
Goldener Schnitt
Seminar fรผr Schulmathematik
Tim Friedemann
Gliederung
2.1 Der Goldene Schnitt - Geometrische Herleitung
2.2 Konstruktionsverfahren
2.3 Goldener Schnitt im Fรผnfeck und Pentagramm
2.4 Der Goldene Winkel
2.5 Der Goldene Schnitt und wo wir ihn finden
3. Literatur
2.1 Der Goldene Schnitt โ Geometrische Herleitung
Es gilt: ๐
๐=
๐+๐
๐= ฮฆ
๐ด ist der Anfangspunkt der Zahlenstrahl und erhรคlt den Wert 0.
Der Major ๐ = 1 und wird auf der Zahlengerade abgetragen, wobei ๐ entsteht. โ a = ๐ด๐
๐ด๐ โฅ ๐๐ถ
Der Mittelpunkt ๐ der Strecke ๐ด๐ wird bestimmt und die Strecke ๐๐ถ eingezeichnet.
Dabei entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit
den Katheten ๐๐ =1
2, ๐๐ถ = 1 und der
Hypotenuse ๐๐ถ.
2.1 Der Goldene Schnitt โ Geometrische Herleitung
Mittels Satz des Pythagoras kann die
Hypotenuse ๐๐ถ berechnet werden:
๐๐ถ2 = ๐๐2 + ๐๐ถ2
๐๐ถ2 =1
2
2
+ 12
๐๐ถ =5
4=
5
2
Nun wird um ๐ ein Kreisbogen mit dem
Radius 5
2gezogen, wobei dieser die
Zahlengerade in ๐ต(โ ฮฆ) schneidet.Es entsteht der Minor ๐. โ b = ๐๐ต
2.1 Der Goldene Schnitt โ Geometrische Herleitung
Der Wert von ฮฆ kann direkt abgelesen werden:
๐ด๐ต = ๐ + ๐ =1
2+
5
2โ ฮฆ
und durch einsetzen in die
Anfangsgleichung folgt:
ฮฆ =1 + โ5
2โ 1,618
2.2.1 Konstruktionsverfahren โ Innere Teilung Beispiel 1
2.2.1 Konstruktionsverfahren โ Innere Teilung Beispiel 1
2.2.1 Konstruktionsverfahren โ Innere Teilung Beispiel 1
๐ด๐ + ๐๐ต
๐ด๐=๐ด๐
๐๐ต
3,1 + 1,9
3,1=3,1
1,91,612 โ 1,631
2.2.2 Konstruktionsverfahren โ Innere Teilung Beispiel 2
2.2.2 Konstruktionsverfahren โ Innere Teilung Beispiel 2
2.2.2 Konstruktionsverfahren โ Innere Teilung Beispiel 2
๐ด๐ + ๐๐ต
๐ด๐=๐ด๐
๐๐ต
3,7 + 2,3
3,7=3,7
2,3
1,621 โ 1,608
2.2.3 Konstruktionsverfahren โ รuรere Teilung
2.2.3 Konstruktionsverfahren โ รuรere Teilung
2.2.3 Konstruktionsverfahren โ รuรere Teilung
๐ด๐ + ๐๐ต
๐ด๐=๐ด๐
๐๐ต
4 + 2,5
4=
4
2,5
1,625 โ 1,6
2.3 Goldener Schnitt im Fรผnfeck & Pentagramm
In โ ๐ seinen zwei verschiedene Strahlen ๐ป1, ๐ป2gegeben, die sich im Punkt ๐ด schneiden. Weiterhin seien ๐, โ parallele Geraden; die ๐ป1 und ๐ป2 in den vom Punkt ๐ด verschiedenen Punkten schneiden.
Es gelte: ๐ต = ๐ โฉ ๐ป1 ; ๐ตโฒ = ๐ โฉ ๐ป2 ;
๐ถ = โ โฉ ๐ป1 ; ๐ถโฒ = โ โฉ ๐ป2
Dann folgt: (1)๐(๐ด๐ต)
๐(๐ด๐ถ)=
๐(๐ด๐ตโฒ)
๐(๐ด๐ถโฒ)
(2)๐(๐ต๐ตโฒ)
๐(๐ถ๐ถโฒ)=
๐(๐ด๐ต)
๐(๐ด๐ถ)
2.3 Goldener Schnitt im Fรผnfeck & Pentagramm
Beweis:
Die Winkel ๐ผ โ โข(๐ต๐ด,๐ต๐ตโฒ) und ๐ผ โ โข(๐ถ๐ด, ๐ถ๐ถโฒ) sind Stufenwinkel an den Parallelen ๐ und โ; also sind sie gleich.
Ebenso ist ฮฒ โ โข ๐ตโฒ๐ด,๐ตโฒ๐ต = โข(๐ถโฒ๐ด, ๐ถโฒ๐ถ)
Das Bedeutet nach dem Hauptรคhnlichkeitssatz, dass die
Dreiecke ๐ต๐ด๐ตโฒ und ๐ถ๐ด๐ถโฒ รคhnlich sind.
Es gibt somit ein ฮป > 0 mit:
๐ ๐ด๐ถ = ฮป โ ๐(๐ด๐ต) , ๐ ๐ด๐ถโฒ = ฮป โ ๐(๐ด๐ตโฒ) , ๐ ๐ถ๐ถโฒ = ฮป โ ๐(๐ต๐ตโฒ)
Somit folgt sofort (1) und (2). โ
2.3 Goldener Schnitt im Fรผnfeck & Pentagramm
(1)๐(๐ด๐ต)
๐(๐ด๐ถ)=
๐(๐ด๐ตโฒ)
๐(๐ด๐ถโฒ)โ
๐ด๐ต
๐ด๐ถ=
๐ด๐ตโฒ
๐ด๐ถโฒ
(2)๐(๐ต๐ตโฒ)
๐(๐ถ๐ถโฒ)=
๐(๐ด๐ต)
๐(๐ด๐ถ)โ
๐ต๐ตโฒ
๐ถ๐ถโฒ=
๐ด๐ต
๐ด๐ถ
Aus Gleichung (2) folgt nach umformen:
๐ด๐ต
๐ต๐ตโฒ=
๐ด๐ถ
๐ถ๐ถโฒ
Des Weiteren gilt: ๐ต๐ตโฒ = ๐ต๐ถ ; ๐ถ๐ถโฒ = ๐ถ๐ท
2.3 Goldener Schnitt im Fรผnfeck & Pentagramm
Des Weiteren gilt:
๐ต๐ตโฒ = ๐ต๐ถ ; ๐ถ๐ถโฒ = ๐ถ๐ท ;
Und: ๐ด๐ถ = ๐ด๐ต + ๐ต๐ถ
Dadurch erhalten wir erneut die Gleichung des
Goldenen Schnitts:
๐ด๐ต + ๐ต๐ถ
๐ด๐ถ=๐ด๐ต
๐ต๐ถ
2.3 Goldener Schnitt im Fรผnfeck & Pentagramm
Entwickel eine Gleichung zur Berechnung des
Goldenen Schnitts, welche die Strecke ๐ด๐ทbeinhaltet.
๐ด๐ถ + ๐ถ๐ท
๐ด๐ท=๐ด๐ถ
๐ถ๐ท
Oder:
๐ด๐ต + ๐ต๐ท
๐ด๐ท=๐ต๐ท
๐ด๐ต
2.4 Der Goldene Winkel
2.5 Der Goldene Schnitt und wo wir ihn finden
Quellen
- https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/goldener-schnitt# ; zuletzte aufgerufen am
24.06.2020
- Dr. W. Wenzel; Seminar zur Schulmathematik; https://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS20XX27615.pdf ;
Universitรคt Leipzig/Institut fรผr Mathematik und Informatik ; SoSe 2020
- Dr. W. Wenzel; Aufbaukurs Geometrie; Satz 5.17 Strahlensatz; Universitรคt Leipzig/Institut fรผr Mathematik und
Informatik; SoSe 2018
https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/goldener-schnitthttps://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS20XX27615.pdf