Goldener Schnitt

Seminar für Schulmathematik

Tim Friedemann

Gliederung

2.1 Der Goldene Schnitt - Geometrische Herleitung

2.2 Konstruktionsverfahren

2.3 Goldener Schnitt im Fünfeck und Pentagramm

2.4 Der Goldene Winkel

2.5 Der Goldene Schnitt und wo wir ihn finden

3. Literatur

2.1 Der Goldene Schnitt – Geometrische Herleitung

Es gilt: 𝑎

𝑏=

𝑎+𝑏

𝑎= Φ

𝐴 ist der Anfangspunkt der Zahlenstrahl und erhält den Wert 0.

Der Major 𝑎 = 1 und wird auf der Zahlengerade abgetragen, wobei 𝑆 entsteht. → a = 𝐴𝑆

𝐴𝑆 ⊥ 𝑆𝐶

Der Mittelpunkt 𝑀 der Strecke 𝐴𝑆 wird bestimmt und die Strecke 𝑀𝐶 eingezeichnet.

Dabei entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit

den Katheten 𝑀𝑆 =1

2, 𝑆𝐶 = 1 und der

Hypotenuse 𝑀𝐶.

2.1 Der Goldene Schnitt – Geometrische Herleitung

Mittels Satz des Pythagoras kann die

Hypotenuse 𝑀𝐶 berechnet werden:

𝑀𝐶2 = 𝑀𝑆2 + 𝑆𝐶2

𝑀𝐶2 =1

2

2

+ 12

𝑀𝐶 =5

4=

5

2

Nun wird um 𝑀 ein Kreisbogen mit dem

Radius 5

2gezogen, wobei dieser die

Zahlengerade in 𝐵(≙ Φ) schneidet.Es entsteht der Minor 𝑏. → b = 𝑆𝐵

2.1 Der Goldene Schnitt – Geometrische Herleitung

Der Wert von Φ kann direkt abgelesen werden:

𝐴𝐵 = 𝑎 + 𝑏 =1

2+

5

2≙ Φ

und durch einsetzen in die

Anfangsgleichung folgt:

Φ =1 + √5

2≈ 1,618

2.2.1 Konstruktionsverfahren – Innere Teilung Beispiel 1

2.2.1 Konstruktionsverfahren – Innere Teilung Beispiel 1

2.2.1 Konstruktionsverfahren – Innere Teilung Beispiel 1

𝐴𝑆 + 𝑆𝐵

𝐴𝑆=𝐴𝑆

𝑆𝐵

3,1 + 1,9

3,1=3,1

1,91,612 ≈ 1,631

2.2.2 Konstruktionsverfahren – Innere Teilung Beispiel 2

2.2.2 Konstruktionsverfahren – Innere Teilung Beispiel 2

2.2.2 Konstruktionsverfahren – Innere Teilung Beispiel 2

𝐴𝑆 + 𝑆𝐵

𝐴𝑆=𝐴𝑆

𝑆𝐵

3,7 + 2,3

3,7=3,7

2,3

1,621 ≈ 1,608

2.2.3 Konstruktionsverfahren – Äußere Teilung

2.2.3 Konstruktionsverfahren – Äußere Teilung

2.2.3 Konstruktionsverfahren – Äußere Teilung

𝐴𝑆 + 𝑆𝐵

𝐴𝑆=𝐴𝑆

𝑆𝐵

4 + 2,5

4=

4

2,5

1,625 ≈ 1,6

2.3 Goldener Schnitt im Fünfeck & Pentagramm

In ℝ 𝑛 seinen zwei verschiedene Strahlen 𝐻1, 𝐻2gegeben, die sich im Punkt 𝐴 schneiden. Weiterhin seien 𝑔, ℎ parallele Geraden; die 𝐻1 und 𝐻2 in den vom Punkt 𝐴 verschiedenen Punkten schneiden.

Es gelte: 𝐵 = 𝑔 ∩ 𝐻1 ; 𝐵′ = 𝑔 ∩ 𝐻2 ;

𝐶 = ℎ ∩ 𝐻1 ; 𝐶′ = ℎ ∩ 𝐻2

Dann folgt: (1)𝑙(𝐴𝐵)

𝑙(𝐴𝐶)=

𝑙(𝐴𝐵′)

𝑙(𝐴𝐶′)

(2)𝑙(𝐵𝐵′)

𝑙(𝐶𝐶′)=

𝑙(𝐴𝐵)

𝑙(𝐴𝐶)

2.3 Goldener Schnitt im Fünfeck & Pentagramm

Beweis:

Die Winkel 𝛼 ≔ ∢(𝐵𝐴,𝐵𝐵′) und 𝛼 ≔ ∢(𝐶𝐴, 𝐶𝐶′) sind Stufenwinkel an den Parallelen 𝑔 und ℎ; also sind sie gleich.

Ebenso ist β ≔ ∢ 𝐵′𝐴,𝐵′𝐵 = ∢(𝐶′𝐴, 𝐶′𝐶)

Das Bedeutet nach dem Hauptähnlichkeitssatz, dass die

Dreiecke 𝐵𝐴𝐵′ und 𝐶𝐴𝐶′ ähnlich sind.

Es gibt somit ein λ > 0 mit:

𝑙 𝐴𝐶 = λ ∙ 𝑙(𝐴𝐵) , 𝑙 𝐴𝐶′ = λ ∙ 𝑙(𝐴𝐵′) , 𝑙 𝐶𝐶′ = λ ∙ 𝑙(𝐵𝐵′)

Somit folgt sofort (1) und (2). ∎

2.3 Goldener Schnitt im Fünfeck & Pentagramm

(1)𝑙(𝐴𝐵)

𝑙(𝐴𝐶)=

𝑙(𝐴𝐵′)

𝑙(𝐴𝐶′)→

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝐴𝐵′

𝐴𝐶′

(2)𝑙(𝐵𝐵′)

𝑙(𝐶𝐶′)=

𝑙(𝐴𝐵)

𝑙(𝐴𝐶)→

𝐵𝐵′

𝐶𝐶′=

𝐴𝐵

𝐴𝐶

Aus Gleichung (2) folgt nach umformen:

𝐴𝐵

𝐵𝐵′=

𝐴𝐶

𝐶𝐶′

Des Weiteren gilt: 𝐵𝐵′ = 𝐵𝐶 ; 𝐶𝐶′ = 𝐶𝐷

2.3 Goldener Schnitt im Fünfeck & Pentagramm

Des Weiteren gilt:

𝐵𝐵′ = 𝐵𝐶 ; 𝐶𝐶′ = 𝐶𝐷 ;

Und: 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶

Dadurch erhalten wir erneut die Gleichung des

Goldenen Schnitts:

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶

𝐴𝐶=𝐴𝐵

𝐵𝐶

2.3 Goldener Schnitt im Fünfeck & Pentagramm

Entwickel eine Gleichung zur Berechnung des

Goldenen Schnitts, welche die Strecke 𝐴𝐷beinhaltet.

𝐴𝐶 + 𝐶𝐷

𝐴𝐷=𝐴𝐶

𝐶𝐷

Oder:

𝐴𝐵 + 𝐵𝐷

𝐴𝐷=𝐵𝐷

𝐴𝐵

2.4 Der Goldene Winkel

2.5 Der Goldene Schnitt und wo wir ihn finden

Quellen

- https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/goldener-schnitt# ; zuletzte aufgerufen am

24.06.2020

- Dr. W. Wenzel; Seminar zur Schulmathematik; https://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS20XX27615.pdf ;

Universität Leipzig/Institut für Mathematik und Informatik ; SoSe 2020

- Dr. W. Wenzel; Aufbaukurs Geometrie; Satz 5.17 Strahlensatz; Universität Leipzig/Institut für Mathematik und

Informatik; SoSe 2018

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/goldener-schnitthttps://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/SS20XX27615.pdf