Post on 19-Oct-2018
ECUACION DE BORN-LANDE
MAX BORN
1882-1970 Alemania
ALFRED LANDE
1888-1976 Alemania
Ecuación de Born-Lande
Ecoul= (Z+Z-/4πε0r)
Y DADO QUE LA CARGA ES LA DEL ELECTRON
Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0r)
r H2O 820
CH3CN 330
NH3 250
0 = 8.85 x 10-12 C2m-1 J-1
e = 1.6x10-19 COULOMBS
ESTA ENERGIA
Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0r)
ES PARA UN PAR DE
CARGAS INDEPENDIENTES.
PERO EN UN CRISTAL…
CLORURO DE SODIO
CONSTANTE DE MADELUNG A
=
EL RESULTADO SE CONOCE COMO CONSTANTE DE MADELUNG A
Y ES DIFERENTE PARA CADA ARREGLO DE IONES.
D C B A B C D PARA EL CASO HIPOTETICO MOSTRADO PARA
ESTA CADENA LINEAL DE IONES, LA ENERGIA DE
ATRACCION ENTRE A Y SUS VECINOS B SERA
Ecoul AB = 2(Z+Z-e2/4πε0d)
LA ENERGIA DE REPULSION DE A Y SUS VECINOS C SERA
Ecoul AC = -2(Z+Z-e2/4πε02d)
LA ENERGIA DE ATRACCION DE A Y SUS VECINOS D SERA
Ecoul AD = 2(Z+Z-e2/4πε03d)
SUMANDO ESTAS CONTRIBUCIONES PARA TODA LA CADENA DE INFINITOS IONES TENDRIAMOS
Ecoul = 2(Z+Z-e2/4πε0d) - 2(Z+Z+e2/4πε02d) + 2(Z+Z-e2/4πε03d) - 2(Z+Z+e2/4πε04d) + .... 2(Z+Z+e2/4πε0nd)
O SEA Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0d)2(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...+1/n)
EN ESTE CASO, LA SERIE MATEMATICA 2(1-1/2+1/3-1/4+…+1/n) = 2ln2
Ecoul = (Z+Z-e2/4πε0d) 2ln2
4407
5
4 2
3 1
DISTANCIAS EN DOS DIMENSIONES
HUGO TORRENS
0-1 = d 4 AZULES
0-2 = √2d 4 VERDES
0-3 = 2d 4 ROJOS
0-4 = √5d 8 AMARILLOS
0-5 = √8d 4 MORADOS
CTE DE MADELUNG A = 4/d - 4/√2d + 4/2d - 8/√5d + 4/√8d -…
4405
EN UN ARREGLO CRISTALINO.
EN UN CRISTAL DE CLORURO DE SODIO, POR EJEMPLO,
CADA ION ESTA RODEADO POR SEIS CONTRAIONES.
Na+
Cl-
EL SODIO CENTRAL TIENE SEIS VECINOS CLORURO
A LA MISMA DISTANCIA
HUGO TORRENS
4405A
SI CADA CLORURO TIENE, A SU VEZ,
SEIS IONES SODIO A SU ALREDEDOR,
SE FORMARIA LA SIGUIENTE RED:
LOS VERTICES DE CADA UNO DE LOS TRES CUADRADOS
FORMADOS EN LOS EJES XY, XZ, YZ, ESTAN EQUIDISTANTES
DEL SODIO CENTRAL
HUGO TORRENS
4405B
COLOCANDO IONES SODIO (ESFERAS ROJAS)
SUCESIVAMENTE EN CADA PLANO TENDRIAMOS
4 EN EL PLANO XZ
HUGO TORRENS
4405C
COLOCANDO IONES SODIO (ESFERAS ROJAS)
SUCESIVAMENTE EN CADA PLANO TENDRIAMOS
4 EN EL PLANO XZ
4 EN EL PLANO YZ
HUGO TORRENS
4405D
COLOCANDO IONES SODIO (ESFERAS ROJAS)
SUCESIVAMENTE EN CADA PLANO TENDRIAMOS
4 EN EL PLANO XZ
4 EN EL PLANO YZ
4 EN EL PLANO XY HUGO TORRENS
4405E
DOCE IONES SODIO (ESFERAS ROJAS) AL
EQUIDISTANTES DEL SODIO CENTRAL.
12 VECINOS 6 VECINOS
HUGO TORRENS
4406
ARREGLO CRISTALINO.
NOTE LOS ANIONES MORADOS.
HUGO TORRENS
4410
EN UN CRISTAL DE CLORURO DE SODIO, HABRA 6
ENERGIA DE ATRACCION IGUALES PARA CADA PAR Na-Cl:
Ea = 6(C+C-)e2/40d
Y HABRA TAMBIEN 12 ENERGIAS DE REPULSION
IGUALES PARA LOS FRAGMENTOS Na-Na, A UNA
DISTANCIA 2 d:
Ea = -12(C+C-)e2/402 d
SI CONSIDERARAMOS TODAS LAS INTERACCIONES CON TODOS
LOS VECINOS DE UN ION DETERMINADO TENDRIAMOS:
HUGO TORRENS
Ea = 6(C+C-)e2/40d -12(C+C-)e2/402 d + 8(C+C-)e2/403 d -...
SI E = (C+C-)e2/40d:
Ea = 6E -12E/2 + 8E/3 - ... + EKn
Ea = E(6 -12/2 + 8/3 - ... + Kn)
LA EXPRESION ENTRE PARENTESIS ES UNA SERIE
MATEMATICA QUE TIENE UN VALOR DETERMINADO, EN
ESTE CASO 1.47456.
A = (6 -12/2 + 8/3 - ... + Kn) = 1.47456
ESTE VALOR SE CONOCE COMO LA CONSTANTE DE
MADELUNG Y ES ESPECIFICA PARA CADA TIPO DE
CRISTAL:
4411
HUGO TORRENS
ESTRUCTURA NUMERO DE COORDINACION
CONSTANTE DE MADELUNG
A
CLORURO DE SODIO 6:6 1.74756
CLORURO DE CESIO 8:8 1.76267
BLENDA DE ZINC 4:4 1.63806
WURZITA 4:4 1.64132
FLUORITA 8:4 2.51939
RUTILO 6:3 2.408
CRISTOBALITA 4:2 2.298
CORUNDO 6:4 4.1719
4411A
HUGO TORRENS
LA CONSTANTE DE MADELUNG A
A LA ENERGIA DEL CRISTAL
LA ECUACION ORIGINAL:
Ecoul = Z+Z-e2/4πe0r VALIDA PARA UN PAR
LA PODEMOS EXTENDER A TODO
EL CRISTAL MULTIPLICANDO POR
LA CTE. DE MADELUNG A
DE Ecoul = AZ+Z-e2/4πe0r
CONSIDERANDO QUE SE TRATA DE CANTIDADES
MOLARES, MULTIPLICAMOS POR EL NUMERO DE
AVOGADRO
Ecoul = NAZ+Z-e2/4πe0r
GRAFICANDO Ecoul = NAZ+Z-e2/4πe0r
PARA SABER COMO VAMOS…
Ecoul
BIEN ¡
MAL ¡
r
4413
BORN ASUMIO LA EXISTENCIA DE UNA ENERGIA
DE REPULSION INVERSAMENTE PROPORCIONAL
A LA DISTANCIA:
Er 1/dc
PARA RESOLVER ESTA PROPORCIONALIDAD BORN
INTRODUJO UNA CONSTANTE -B- PARA OBTENER:
Er = B/dc
EL EXPONENTE c DE LA DISTANCIA REFLEJA LA
COMPRESIBILIDAD DEL CRISTAL.
HUGO TORRENS
BORN PROPUSO QUE LAS REPULSIONES ENTRE LOS
IONES DEBERIAN SER PROPORCIONALES A LA
DISTANCIA Y SUGIRIO…
Ecoul
ER = (B/dC)
r
BIEN ¡
LA CONSTANTE DE COMPRESIBILIDAD -c- PUEDE
ESTIMARSE A PARTIR DE LA CONFIGURACION
ELECTRONICA DE LOS ELEMENTOS INVOLUCRADOS
UTILIZANDO LA SIGUIENTE TABLA:
CONFIGURACION COMPRESIBILIDAD c
He 5
Ne 7
Ar 9
Kr 10
Xe 12
POR EJEMPLO:
O2-, F-, Na+ y Mg2+ TIENEN LA MISMA CONFIGURACION
ELECTRONICA QUE EL NEON Y SU CONSTANTE c = 7
S2-, Cl-, K+ y Ca2+ TIENEN LA MISMA CONFIGURACION QUE
EL ARGON Y SU CONSTANTE c = 9
4416B
PARA LAS SALES FORMADAS POR ESTOS IONES TENEMOS:
NaF c = (7+7)/2 = 7 Na2O c = (7+7+7)/3 = 7
NaCl c = (7+9)/2 = 8 Na2S c = (7+7+9)/3 = 7.6
KF c = (9+7)/2 = 8 K2O c = (9+9+7)/3 = 8.3
KCl c = (9+9)/2 = 9 K2S c = (9+9+9)/3 = 9
MgO c = (7+7)/2 = 7 MgF2 c = (7+7+7)/3 = 7
MgS c = (7+9)/2 = 8 MgCl2 c = (7+9+9)/3 = 8.3
CaO c = (9+7)/2 = 9 CaF2 c = (9+7+7)/3 = 7.6
CaS c = (9+9)/2 = 7 CaCl2 c = (9+9+9)/3 = 9
4416C
HUGO TORRENS
4413A
HUGO TORRENS
E
d
Er
Ea
ESTA GRAFICA REPRESENTA A AMBAS
INTERACCIONES, REPULSION Y ATRACCION,
ACTUANDO SIMULTANEAMENTE:
4414
HUGO TORRENS
E
d
Er
ETOTAL
Ea
EN REALIDAD, LO QUE NOS INTERESA ES:
ETOTAL = Ea + Er
ES DECIR:
ETOTAL = NA(C+C-)e2/40d + NB/dc
COMO SE
MUESTRA EN ESTA
GRAFICA, ETOTAL
TIENE UNA
ENERGIA MINIMA
PARA UN RADIO
FINITO.
ESA ENERGIA
MINIMA ES LA QUE
NOS INTERESA
POR SER LA
ENERGIA DEL
CRISTAL EC
EC
PARA DETERMINAR LAS CARACTERISTICAS DE ESE
MINIMO DE ENERGIA, HACEMOS...
dEt/dd = -(NA(C+C-)e2/40d2) -(cNB/dc+1)
PARA QUE dEt/dd = 0:
-(NA(C+C-)e2/40d2) = (cNB/dc+1)
Y POR LO TANTO,
B = A(C+C-)e2(dc+1)/40c
LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Ec SERA ENTONCES:
EC = NA(C+C-)e2/40d0 + N(A(C+C-)e2(dc+1)/40c)/dc
O BIEN, SIMPLIFICANDO:
EC = (NA(C+C-)e2/40d0)(1-1/c)
4415
HUGO TORRENS
4416
HUGO TORRENS
ESTA EXPRESION
SE CONOCE COMO
LA ECUACION DE
BORN-LANDE
PARA LA ENERGIA
DE LA RED
CRISTALINA EC DE
UN COMPUESTO
IONICO.
E d
Er
ETOTAL
Ea
dE/dr = 0
EC = (NA(C+C-)e2/40d0)(1-1/c)
d0
EC
EC = (NA(C+C-)e2/40d0)(1-1/c)
ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)
r
ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)
La ecuación de Born-Lande predice la energía
reticular de un compuesto iónico de forma
bastante precisa.
EJEMPLO: NaCl
N = 6.02205X1023 mol-1
C+ = 1
C- = -1
e2 = CARGA DEL ELECTRON AL CUADRADO= 2.56x10-38 C2
40 = 1.112124x10-10 C2m-1J-1
A = LA CONSTANTE DE MADELUNG PARA LA ESTRUCTURA
CRISTALINA DEL CLORURO DE SODIO: A = 1.74756
d0 = LA DISTANCIA ENTRE LOS NUCLEOS.
RADIO IONICO DEL SODIO (+1) CON NUMERO DE
COORDINACION 6, rNa = 95 pm Y DEL CLORO (-1) CON
NUMERO DE COORDINACION 6, rCl= 181 pm.
d0NaCl = (95 + 181) = 276 pm = 276 x 10-12 m.
c = CONSTANTE DE COMPRESIBILIDAD. DE LA TABLA
ANTERIOR, c = 8
4419
HUGO TORRENS
EC NaCl = -768.1 KJmol-1
(6.02205X1023 Mol-1)(1.74756)(1)(-1)(2.56x10-38 C2)
4(3.1416)(8.85x10-12 C2m-1J-1)(276 x 10-12 m)
(1-1/8) E C NaCl =
4419A
HUGO TORRENS
LA SIGUIENTE TABLA MUESTRA LOS VALORES DE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA
CALCULADOS Y EXPERIMENTALES PARA ALGUNAS SALES COMUNES.
COMPUESTO EC EXPERIMENTALKJmol-1 EC CALCULADA KJmol-1
LiF 1034.0 1008.0
LiCl 840.1 811.3
LiBr 781.2 766.1
LiI 718.4 708.4
NaF 914.2 902.0
NaCl 770.3 768.1
NaBr 728.4 718.8
NaI 680.7 663.2
KF 812.1 797.5
KCl 701.2 687.4
KBr 671.1 659.8
KI 632.2 623.0
RbF 780.3 761.1
RbCl 682.4 661.5
RbBr 654.0 636.4
RbI 616.7 602.5
CsF 743.9 723.0
CsCl 629.7 622.6
CsBr 612.5 599.6
CsI 584.5 568.2
4419B
EXISTE UNA CLARA CORRELACION, AUNQUE NO SIEMPRE SIMPLE, ENTRE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Y CONDUCTIVIDAD ELECTRICA
ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)
SEPARACION DE
UNIDADES DEL SOLIDO
∆H = + ENDOTERMICO
SEPARACION DE
UNIDADES DEL DISOLVENTE
∆H = + ENDOTERMICO
FORMACION DE
AGREGADOS
DISOLVENTE-
SOLUTO
∆H = - EXOTERMICO
EXISTE UNA CLARA CORRELACION, AUNQUE NO SIEMPRE SIMPLE, ENTRE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Y LA SOLUBILIDAD
EXISTE UNA CLARA CORRELACION, AUNQUE NO SIEMPRE SIMPLE, ENTRE LA ENERGIA DE LA RED CRISTALINA Y LA DUREZA Y FRAGILIDAD
ET = (NAZ+Z-e2/4πε0r0)(1-1/n)
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
ECUACION DE BORN-LANDE PARA LA
ENERGIA DE LA RED CRISTALINA
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n) Energía de la red
cristalina
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de Avogadro
Energía de la red
cristalina
Una mol
6.0221367 x 1023 mol-1
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de Avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung Depende del cristal y este de la relación de radios
Valor en tablas
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de Avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y - Na+ Z+ =+1
Cl- Z-=-1
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de Avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y -
Carga del electrón
1.60217733x10-19C
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de Avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y -
Carga del electrón
Factor de compresibilidad
Valores en tablas o
Estimación por configuración
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de Avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y -
Carga del electrón
Distancia interionica
Suma de los radios iónicos
de tablas (m)
Factor de compresibilidad
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y -
Carga del electron
Inductancia en el
vacio
8.854187817x10-12C2m-1J-1
Distancia interionica
Factor de compresibilidad
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y -
Carga del electron
Permisividad
eléctrica Distancia interionica
Factor de compresibilidad
Ec = N A Z+Z- e2
4πe0d0
(1-1/n)
Numero de avogadro
Energía de la red
cristalina
Constante de
Madelung
Cargas + y -
Carga del electron
Permisividad
eléctrica Distancia interionica
Factor de compresibilidad