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4 Grundlagen der Warmelehre 22. April 2009

Die ideale Gasgleichung

Volumenausdehnung von Gasen:

• Bei konstantem Druck ist fur Gase naherungsweise

V (TC) = V (0C) · (1 + γTC) mit γ ≈ 1/273.15K

⇒ V (TC) = V ( 0C︸︷︷︸

=T (0)=273.15K

)273.15K + TC

273.15K= V (T)

V (T (0))

T (0)= const.

• Bei konstantem Volumen (Gay-Lussac-Gesetz):

p(T (0))

T (0)= const.

Ideale Gasgleichung:

• pV = const.|T , p/T = const.|V , V/T = const.|p ⇒

p(0)V (0)

T (0)= const.

• Normalbedingungen:p(0) = 1.01325 × 105 Pa; T (0) = 0C = 273.15KV (0) = nVmol mit Vmol = 22.414 l = Molvolumenn = Stoffmenge = N/NA

• Ideale Gasgleichung:

p · V = n · R · T = N · k · TR = universelle Gaskonstante = 8.3145JK−1 mol−1

k = Boltzmannkonstante = 1.3807 × 10−23 JK−1

Kinetische Gastheorie: Druck

Einfachstes Modell eines Gases: Atome/Molekule sindMassepunkte, die elastisch mit Wanden und

untereinander stoßen.

Druck auf Gefaßwand:

• Kraft wird durchImpulsubertragauf Wand erzeugt:

Fx =∆px

• In Zeit ∆terreichen alle Teilchendie Flache A, diesich im Teilvolumen∆V = vx∆t · Abefinden und in(+x)-Richung fliegen.

∆px =Nvx∆tA

V︸︷︷︸

Zahl derTeilchenin ∆V

2︸︷︷︸

jedes zweiteTeilchen fliegtnach rechts

· 2mvx︸︷︷︸

Impuls-ubertrag

pro Teilchen

⇒ p =|~F |A

=∆px

A∆t=

V· mv2

x → N

V· m〈v2

• Geschwindigkeitsverteilung ist isotrop mit Mittelwert

〈v2〉 = 〈v2x〉 + 〈v2

y 〉 + 〈v2z 〉 ⇒ 〈v2

x〉 = 〈v2〉/3

⇒ p · V = N · m〈v2〉3

3N〈Ekin〉

∆x = v t∆ x

Volumen Vmit N Teilchender Masse m

Temperatur, kinetische Energie

und Freiheitsgrade

Kinetische Energie und Temperatur:

Vergleich von idealer Gasgleichung und Vorhersageder kinetischen Gastheorie:

p · V = N · k T

p · V = N · 2〈Ekin〉3

⇒ 〈Ekin〉 =

Die Temperatur ist ein Maß fur die kinetischeEnergie der Atome/Molekule !

Freiheitsgrade:

• Bewegung der Atome/Molekule in drei Richtungen,jede tragt im Mittel gleich viel zu 〈Ekin〉 bei:

2m〈v2

x〉 = 〈Ekin,x〉

2m〈v2

y 〉 = 〈Ekin,y〉

2m〈v2

z 〉 = 〈Ekin,z〉 =1

• Unabhangige Bewegungsmoden heißen Freiheitsgrade

• Freiheitsgrade von Atomen/Molekulen:

Bewegung Freiheitsgrade (FG)

Translation ein FG je unabh. Bewegungsrichtung

Rotation ein FG je orthogonaler Drehachse

Schwingung zwei FG pro Eigenschwingung(je ein FG fur 〈Ekin〉 und fur 〈Epot〉)

Reale Gase

Modifikationen am Modell “ideales Gas”:

• Atome/Molekule haben Eigenvolumen Va

V → V − 4NVa = V − nb (n = Stoffmenge)

• Atome/Molekule ziehen sich an⇒ Oberflachenenergie⇒ Zusatzlicher Druck (Binnendruck pBi ∝ (N/V )2)

p → p + pBi = p +an2

• Modifizierte Gasgleichung:(

p +an2

· (V − bn) = nRT(Van-der-Waals-

Gleichung)

• Typische Werte der Van-der-Waals-Koeffizienten a, b:

He a = 0.003Nm4/mol2 b = 0.024m3/mol

H2 a = 0.025Nm4/mol2 b = 0.027m3/mol

N2 a = 0.136Nm4/mol2 b = 0.039m3/mol

ideales Gas

<T1 T2 T3

<<T1 T2 T3T2

reales Gas

• Bei kleinen Temperaturen: p(V ) hat lokales Maximum

• Kompression bei konstantem T folgt Weg SABE, dabeitritt zwischen A und B Verflussigung ein

Warme und Warmekapazitat

Warme als innere Energie:• Gesamte kinetische Energie in Objekt mit N

Atomen/Molekulen (AM):

Etot =f

2N k T

Diese im Objekt gespeicherte thermische Energieheißt Warme und wird mit Q bezeichnet ([Q] = J).Q kann als mechanische, elektrische, . . . Energiezu- oder abgefuhrt werden.

• Fruher wurde [Q] = kcal (Kilokalorie) verwendet:1 kcal ist die Energie, die 1 kg Wasser von 14.5C auf15.5C erwarmt.

• Energieanderung bei Temperaturanderung:

∆Q ∝ M · ∆T (M ∝ N)

Warmekapazitat:

Von einem Objekt pro Kelvin gespeicherte Warme• als Materialkonstante:

spezifische Warme = c =∆Q

M ∆T[c] = Jkg−1 K−1

molare Warme = Cm =∆Q

n∆T= Mm c

[Cm] =Jmol−1 K−1

• abhangig vom speziellen Objekt:

Warmekapazitat = C =∆Q

∆T= cM = Cmn

[C] =JK−1

Mechanisches Warmeaquivalent

Umwandlung mechanischer Energie in Warme:

• Beim Drehen des wassergefullten Cu-Zylinderswird mechanische Arbeit (Reibung!) verrichtet:

W = k 2πr︸︷︷︸

·|~FR|

• Anordnung ist so eingerichtet, dass Feder beimDrehen entlastet ist (~FF = 0) ⇒ |~FR| = mg

• W wird in Warme umgewandelt:

W = k 2π r mg =

MCu · cCu︸︷︷︸

vernachlassigbar

+MH2O · cH2O

⇒ Messung der spezifischen Warme von Wasser• Literaturwert: cH2O = 4.186kJ/(kgK)

⇒ 1kcal = 4.186kJ

Temperatur T

k Umdrehungen

4 Hauptsatze der Warmelehre 29. April 2009

Der 1. Hauptsatz

Energieerhaltung:• Bei einer Zustandsanderung tauscht das betrachtete

System Energie (∆W , ∆Q) mit seiner Umgebung aus(oft ein “Warmereservoir” bei konstantem T).

• Fur die Energiebilanz gilt:

∆U = ∆Q + ∆W(1. Hauptsatz der Thermodynamik)

• Fur Gase ist ∆U = ∆Q − p∆V .• Achtung: In vielen Fallen betrachtet man

differentielle Anderungen (∆ → d).

Perpetuum mobile 1. Art:• Eine Maschine, die mehr Energie in Form von Arbeit

abgibt, als sie in Form von Warme aufnimmt, heißtPerpetuum mobile 1. Art.

• 1. Hauptsatz: Es gibt kein Perpetuum mobile 1. Artdenn sonst ware −∆W = |∆W | > ∆Q − ∆U .

Zustandsanderungen und 1. Hauptsatz:• Isochor: ∆V = 0 ⇒ ∆U = ∆Q.• Isobar: Wegen ∆(pV ) = V ∆p + p∆V ist

∆U = ∆Q − ∆(pV ) ⇒ ∆Q = ∆( U + pV︸︷︷︸

=H=Enthalpie

• Isotherm: ∆T = 0 ⇒ ∆U = 0 ⇒ ∆Q = p∆VArbeit bei isothermen Prozessen:

∆W = −V2∫

pdV = −V2∫

VpdV = −nRT ln

2. Hauptsatz,

reversible und irreversible Prozesse

2. Hauptsatz:

Anschauliche Formulierung:

Warme fließt von selbst immer nurvom warmen zum kalten Objekt, nie umgekehrt.

Reversible und irreversible Prozesse:• Prozesse mit Warmetransport warm→kalt:

∆Q : T1 → T2 < T1

sind irreversibel, d.h. ohne Energiezufuhr von außenunumkehrbar.

• Reversible Prozesse sind umkehrbar, d.h. sie konnenin beide Richtungen ablaufen. Die Abfolge

(p1, V1, T1) → (p2, V2, T2) → (p1, V1, T1)

ist ohne Energiezufuhr von außen moglich, ohne dasssich Anfangs- und Endzustand von System undWarmereservoir unterscheiden.

WegenReibung etc.

sind allerealen Prozesse

irreversibel

Nur fur∆T = 0

(isotherm)oder ∆Q = 0(adiabatisch)

T ,V T ,Vf1

geht nicht

2 1f 1 f 2T >T >T oder T >T >T

p ,V ,T1 1 p ,V ,T2 2

geht beides

Der 3. Hauptsatz

Mikroskopische Deutung der Entropie:• Statistische Mechanik und Quantenmechanik

ergeben mikroskopische Definition der Entropie(definiert auch die additive Konstante):

S = k lnWk = Boltzmann-Konstante = 1.387 × 10−23 J/K

W = Wahrscheinlichkeitsmaß

• Das Wahrscheinlichkeitsmaß W ist die Zahl der(quantenmechanischen) Realisierungsmoglichkeiteneines gegebenen Zustandes.Achtung: riesige Zahlen, typisch 10NA ∼ 101023

Der 3. Hauptsatz• Bei Temperatur T = 0 sind alle Atome/Molekule im

Grundzustand, d.h. sie haben keine kinetische odersonstige Energie

⇒ W = 1 ⇒ S = 0

• Generell gilt:

S(T=0) = 0 Nernst’sches Theorem,3. Hauptsatz

• Daraus folgt (ohne Beweis):

Es ist prinzipiell

unmoglich, den absoluten

Temperatur-Nullpunkt zu

erreichen.

Warmekapazitat von Gasen

(V = const.)

Arbeit und Volumenanderungen:• Beispiel: Kompression

eines Gases im Kolben.Dazu ist Arbeit

∆W = F · ∆s = p · A · ∆s

= p · ∆V

notig.• Dieses Ergebnis gilt

unabhangig von derForm des Volumens.

• Achtung: i.a. ist p = p(V ) und damit

∆W =

p(V )dV

Warmekapazitat cV :• Bei V = const. wird Energieanderung vollstandig in

Temperaturanderung umgesetzt (da ∆W = 0):

∆Q =f

2Nk∆T ⇒ cV =

2m; CmV =

He f = 3 (Translation)bei allen T

N2 f = 3 (Translation)bei niedrigen T

f = 5 (Transl.+Rot.)bei mittleren T

f = 7 (T+R+Schw.)bei hohen T

200K 600K

Warmekapazitat von Gasen

(p = const.)

Warmezufuhr bei konstantem Druck

Wird einem Gas bei konstantem p Warme ∆Qzugefuhrt, so dehnt es sich unter Temperaturzunahmeaus und verrichtet dabei mechanische Arbeit

∫p(V )dV .

Energieerhaltung:

∆Q = CmV n∆T + p︸︷︷︸

=const.

·∆V

Berechnung von p∆V mit der idealen Gasgleichung:

pV = nRT (i)

p(V + ∆V ) = nR(T + ∆T) (ii)

p∆V = nR∆T (ii)–(i)

Damit wird

∆Q = CmV n∆T + nR∆T = (CmV + R)︸︷︷︸

(n∆T)

⇒ Cmp = CmV + R =f

2R + R =

Adiabatenkoeffizient

Definition: κ =Cmp

f= 1 +

κ heißt Adiabatenkoeffizient.

Adiabaten

Zustandsanderungen mit ∆Q = 0:• Ohne Austausch von Warme kann nur innere

Energie U in mechanische Arbeit umgewandeltwerden (oder umgekehrt).

• Solche Zustandsanderungen heißen adiabatisch.• Anwendung des 1. Hauptsatzes:

∆U = ∆W

⇒ nCmV ∆T = −nRT

⇒T2∫

T= − R

CmV︸︷︷︸=κ−1

⇒ ln

= − ln

)κ−1

T2Vκ−12

T1Vκ−11

• Daraus (mit T = pV/nR) folgen dieAdiabaten- bzw. Poisson’schen Gleichungen:

T · V κ−1 = const. bzw. p · V κ = const.

Isothermen(p~1/V)

Adiabaten(p~1/V )κ

Wichtig z.B.bei chemischen

Reaktionen

4 Warmetransport 06. Mai 2009

Konvektion

Prinzip:• Fluides Medium

dehnt sich durchErwarmung lokal aus→ erwarmte

Stoffmenge hatkleinere Dichte

→ steigt auf undwird durch kalterenStoff ersetzt

→ Konvektionskreislauf

• Bei Konvektion ist Warmetransport an Materialtrans-port gebunden!

Beispiel: See- und Landwind• Konvektion ist extrem wichtig fur Wetterablauf,

Klima, Ozeane etc.• Beispiel: Windbildung an Kusten im warmen Klima

(z.B. Mittelmeer)

Zone lokalerErwärmung

Warme Flüssigkeitsteigt auf

Kalte Flüssigkeitsinkt ab

Seewind Landwind

steigt aufwarme Luft

strömt nachkalte Luft

Tag Nacht

kühl kühl

warm kalt

Warmeleitung

Prinzip:• Wird starres Medium

lokal erwarmt, breitetsich die Warme durchStoße der AM bzw.Elektronen aus.

• Dabei erfolgt keinMaterialtransport.

• Die Warmeleitung istGeometrie- undmaterialabhangig:

dt= −λA

• λ = Warmeleitzahl:

Material λ [W/(mK)] Kommentar

Kupfer 393 Metalle: Warmeleitung

Eisen 67 durch Leitungselektronen

Beton 2.1 Stoße der AM im

Glas 0.8 Festkorper

Wasser 0.6 Stoße der AM in Flussigkeit

Luft 0.026 Klein wegen geringer Dichte

Warmeleitungsgleichung:• Raum- und Zeitabhangigkeit der Temperatur im

allgemeinen (nicht-stationaren) Fall:

(∂2T

∂x2+

∂y2+

• Wichtig z.B. bei Berechnung der Warmeverlustedurch Wande oder Fenster!

Aufwärmvorgang

stationärerZustand

T12T >T1

T T+dT

Querschnitt Akonstantem Stab mit

Warmestrahlung

Prinzip:• Warme (d.h. die kinetische Energie der AM) wird

in elektromagnetische Strahlung umgesetzt, die vonjedem Korper abgestrahlt (und absorbiert) wird.

• Die Wellenlange der Strahlung fallt mit T :Mensch, Herdplatte: infrarotGluhende Kohle, Sonne: sichtbar

• Warmetransport durch Strahlung ist nicht anVorhandensein von Materie gebunden⇒ sonst wurde keine Energie von der Sonne

zu uns kommen!

Das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz:• Die gesamte als Warmestrahlung abgegebene

Leistung einer Flache A mit Temperatur T ist

dt= −ǫσAT 4

σ = 5.77 × 10−8 W

Stefan-Boltzmann-Konstante

ǫ = Emissionsgrad, 0 ≤ ǫ ≤ 1

• ǫ hangt ab von Material, Oberflachenbeschaffenheit,Farbe: umso heller/spiegelnder, desto kleiner ist ǫ.

Versuch:Messung der

StrahlungsleistungverschiedenerSeiten eines

geheizten Wurfels.

Strahlung

Wärme− Detektor

5 Grundlagen der Elektrizitatslehre 06. Mai 2009

Die elektrische Ladung

Elektrische Ladung ist die Quelle allerelektrischen Phanomene

Eigenschaften der elektrischen Ladung:• Es gibt positive und negative Ladungen.• Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab,

ungleichnamige ziehen sich an:

• Physikalisches Symbol und Einheit:

Ladung = Q ; [Q] = C = Coulomb

• Ladung ist in ganzzahligen Vielfachen einerElementarladung e gequantelt:

e = +1.602 × 10−19 C .

• Ladung ist stets an Teilchen gebunden:

Teilchen Ladung

Elektron Qe = −e = −1.602 × 10−19 C

Proton Qp = +e = +1.602 × 10−19 C

Neutron Qn = 0

Atomkern QKern = +Ze• In einem abgeschlossenen System ist die

Gesamtladung erhalten:

Qtot =∑

Qi = const.

Durch Ladungstrennung konnen auch bei Qtot = 0elektrische Phanomene erzeugt werden.

−+F12 F21

F12 F21

Ladungstrennung und -messung

Ladungstrennung:

• Reiben verschiedenerMaterialien (Isolatoren)aneinander

→ Elektronen wandernbevorzugt zu einemMaterial

→ Ladungstrennung.

• Bandgenerator:

kontinuierlicheAufladung durchLadungstrennung.

HohlkugelMetall−Ladungs−

abgriff

+ + ++

−−−−−−− −

Ladungs−trennung

Band(z.B. Gummi)

−−

Ladungsmessung:

• Ausnutzung derAbstoßunggleichnamigerLadungen.

• Zum Beispiel inElektrometer:

Drehmoment aufZeiger steigtmit Gesamtladung.

isolierenderRahmen

Metall

Ladung Q

Ladungstransport und Strom

Ladungstransport:

• Ladung immer an (massebehaftete) Teilchengebunden⇒ Ladungstransport ist immer mit

Materialtransport verbunden.

• Verschiedene Transportmechanismen:

– Elektronen in elektrischem Leiter (z.B. Metall);

– Ionen in Flussigkeit (z.B. Salzlosung);

– Funken: Stromfluss entlag einem “Kanal”ionisierten Gases;

– “Ladungsloffeln”: Transport einesmakroskopischen geladenen Objekts.

Elektrischer Strom:

Ladungstransport pro Zeit durch eine gegebeneQuerschnittsflache (z.B. Drahtquerschnitt)

• Definition:

el. Strom = I = lim∆t→0

[I] = Ampere = A =C

• Ampere ist eine SI-Basiseinheit

– Ladungseinheit Coulomb ist davon abgeleitet.

– Definition von Ampere uber Kraftwirkungstromdurchflossener Drahte aufeinander(siehe Kap. 4.3).

Das Coulomb-Gesetz

Kraft zwischen zwei Punktladungen:

~FC =1

4πǫ0· Q1Q2

r2· ~r

|~r| (Coulomb-Gesetz)

ǫ0 = Dielektrizitatskonstante

= 8.854 × 10−12 A2 s4 kg−1 m−3

• Richtungskonvention:~FC ist die Kraft auf die Ladung, zu der ~r zeigt.

• 3. Newton’sches Axiom:Die Ladungen uben entgegengesetzt gleiche Krafteaufeinander aus.

rQ1 Q2

2121 F (Q Q >0)CF (Q Q <0)C

Vergleich mit Gravitationsgesetz:

Coulomb: ~FC Gravitation: ~FG

Ladungen Q1Q2 Massen m1m2

1/4πǫ0 G

∝ 1/r2 ∝ 1/r2

anziehend oder abstoßend immer anziehend

|~FC||~FG|

4πǫ0G︸︷︷︸

=1.347×1020 C2/kg2

·Q1Q2

Z.B. Elektron und Proton (Wasserstoffatom):

|~FC||~FG|

=1.347×1020 C2/kg2· (1.6×10−19 C)2

9.1×10−31 kg︸︷︷︸

· 1.67×10−27 kg︸︷︷︸

= 0.22 × 1040

Das elektrische Feld

Definition:

Eine Anordnung von Ladungen erzeugt am Ort ~rdie Coulomb-Kraft ~FC auf eine Probeladung q:

~E(~r ) = elektrisches Feld =~FC(~r )

[E] =N

Feld einer Punktladung:

Eine Punktladung Q am Ort ~R erzeugt bei ~r das Feld

~E(~r ) =Q

4πǫ0· ~r − ~R

|~r − ~R|3

Feld mehrerer Ladungen:

• Bei mehreren Punktladungen Qi an den Orten ~Ri

addieren sich die Coulomb-Krafte vektoriell:

~E(~r ) =∑

4πǫ0· ~r − ~Ri

|~r − ~Ri|3

• Allgemeiner Fall: Ladungsdichte-Verteilung ρ(~r )

→ Ladung dQ in Volumen dxdy dz am Ort ~r :dQ = ρ(~r ) · dxdy dz

→ Gesamtladung: Qtot =∫

V d3r ρ(~r ) .

→ Elektrisches Feld:

~E(~r ) =

d3Rρ(~R )

4πǫ0· ~r − ~R

|~r − ~R|3

Feldlinien

Eigenschaften:

• Feldlinien sind an jedemPunkt parallel zumE-Feld.

• Feldlinien zeigen vonpositiven zunegativen Ladungen.

• Feldlinien beginnen undenden ausschließlicham Ort von Ladungen.(Achtung:bildliche Darstellungoft unvollstandig)

E( r )

Sichtbarmachung:

• Elektrisches Feld inisolierender Flussigkeit(z.B. Speiseol).

• Feld erzeugtLadungstrennung inkleinen Kornchenauf der Flussigkeit(z.B. Gries).

• Elektr. Anziehungin Feldlinienrichtung.

• Kornchen orientierensich entlang derFeldlinien.

Grieskörner

Coulomb−Anziehung

+ +++ ++

+++ ++

+++ ++ +

− −−− −−

−−−−− −

−−

− −−−

Potential und Spannung

Arbeit bei Ladungsverschiebung:• Beim Verschieben einer Ladung q im elektrischen Feld

~E(~r ) entlang dem Weg C wird Arbeit geleistet:

~FC d~s = q

~E d~s

• Vorzeichen: Wel > 0wenn die Arbeit vomFeld ~E geleistet wird.

• E-Feld ist konservativ⇒ Wel hangt nur vonden Endpukten desWeges C ab, aberaber nicht vom Verlauf. (0,0,0)

Elektrostatisches Potential:• Arbeit, um eine Probeladung q vom Punkt ~r

in unendliche Entfernung von der Feldquelle zubringen:

∞∫

~E d~s = q · Φ(~r ) = q · (elektrostatisches Potential)

• Einheit: [Φ] = J/C =kgm2

As3= Volt = V .

• Φ hangt nur von ~r ab; Konvention: Φ(∞) = 0.• Spannung:

~E d~s = Φ(~R1) − Φ(~R2) = Spannung U

[U ] = Volt

Potential einer Punktquelle

Berechnung:

• Elektrisches Feld einer Punktladung Q im Ursprungzeigt radial nach außen.

• ~E d~s = E dr und damit

Φ(~r ) = Φ(r) =Q

4πǫ0

∞∫

4πǫ0

4πǫ0 · r

R R1 2

Beschleunigung im

elektrischen Feld

Potential und Energie:• Beim Durchlaufen der Spannung U andert sich die

potentielle Energie eines Teilchens mit Ladung q um

∆Epot = −q · U

• Wegen Energieerhaltung:

∆Ekin = −∆Epot = q · U

• Geladene Teilchen nehmen aus einem elektrischenFeld kinetische Energie auf, wenn sie es in der“richtigen” Richtung durchlaufen.

• Beispiele:

– Elektronenstrahl im Fernseher– Teilchenbeschleuniger

Elektronenvolt:• Spezielle Energieeinheit fur mikroskopische Objekte

(Atome, Kerne, Teilchen):

1 eV = 1Elektronenvolt = e · 1V = 1.602 × 10−19 J

• Oft verwendete Vielfache:

1 keV = 103 eV (Kiloelektronenvolt)

1MeV = 106 eV (Megelektronenvolt)

1GeV = 109 eV (Gigaelektronenvolt)

• Typische Energieskalen:

– Bindungsenergien in Atomen und Molekulen: eV;– Rontgenstrahlen: keV;– Atomkerne: MeV;– Elementarteilchen: GeV.

Feld und Potential;

Elektrische Leistung

Feld und Potential:

• Das elektrische Feld kann mit Hilfe derDefinitionsgleichung des elektrostatischen Potentialsaus Φ(~r ) berechnet werden:

~E(~r ) = −gradΦ(~r ) =

(∂Φ

∂x,∂Φ

∂y,∂Φ

• Das Feld ~E(~r ) zeigt entgegen der Richtungder starksten Zunahme von Φ(~r ).

• Das Feld ~E(~r ) steht sekrecht auf Flachen mitΦ(~r ) = const. (Aquipotentialflachen).

Elektrische Leistung:

• Elektrische Arbeit beim Transport der Ladung ∆Quber Spannung U :

∆Wel = ∆Q · U

• Wenn dies in einer Zeit ∆t geschieht (U = const.)

Pel = lim∆t→0

∆Wel

∆t= lim

∆t→0

∆t· U = I · U

• Beispiel:Batterie mit U = 1.5V und Gesamtladung 1Ah liefertGesamtenergie

Wel = ∆t · I · U = 3600 s · 1A · 1.5V = 5.4kJ

Das Ohmsche Gesetz

Strom und Spannung:

• Legt man eine Spannung U an ein Material an, sofließt im allgemeinen ein Strom I.

• Veranschaulichung im Schaltbild:

• Fur viele Materialien (Metalle, homogene Halbleiter)gilt bei konstanter Temperatur:

I ∝ U ⇒ R =U

I= el. Widerstand = const.

[R] = V/A = Ω = Ohm

(Ohm’sches Gesetz)

Spannungsquelle

(el. Widerstand)Material

Strom-Spannungs-Kennlinien:

BeispielenichtlinearerFalle:

GasentladungDiodeGluhlampe

linear(Ohmsch)

nicht−linear

Spezifischer Widerstand

Definition:

Der Widerstand eines Drahtes mit Lange L undQuerschnittsflache A ist

R = ρs ·L

σ· L

Aρs = spezifischer el. Widerstand

[ρs] = Ωm

σ = spezifische el. Leitfahigkeit

[σ] = Ω−1m−1

Typische Werte (bei 20C):

Material spezifischer Widerstand [10−6 Ωm]

Kupfer Cu 0.017

Eisen Fe ∼ 0.1

Graphit ∼ 8

Teflon 1021

Hartgummi 1019 . . .1022

• Der spezifische Widerstand hangt vom Material(Leitungsmechanismus, mikroskopische Struktur)und von der Temperatur ab.

• Variiert uber fast 30 Großenordnungen!

• Der Wert von ρs in 10−6 Ωm entsprichtdem Widerstand in Ω eines Drahtes mitLange L = 1m und Querschnitt A = 1mm2.

• Fur Metalle (Leitung durch Elektronentransport) sindelektrische und Warmeleitfahigkeit proportional.

T -Abhangigkeit des Widerstandes

Metalle:

• Widerstand durchStoße der Elektronenmit Gitteratomen.

• Steigt mit zunehmenderBewegung der Atome.

• Widerstand nimmtmit steigenderTemperatur zu. T

Metall

Halbleiter:

• Leitung durch Elektronen,die durch thermischeEnergie aus lokalerBindung gelost werden.

• Mit steigendem T nimmtZahl der Ladungstrager zuund Widerstand ab.

• Bei hohen T Widerstands-zunahme wie in Metall. T

Halbleiter

Supraleiter:

• Bei einigen Materialienwird ρs = 0 bei T < Tc

(Tc: kritische Temperatur,Sprungtemperatur).

• QuantenmechanischerEffekt.

• Typisch: Tc(Hg) = 4.183K;Hochtemperatur-Supraleiter: Tc & 100K . T

Supraleiter

Tc=einige K(bei einigenStoffen bismehrere 10K)

Kirchhoffsche Regeln

Knotenregel:

• Knoten = Kontaktstellemehrerer Drahteohne aktives Element

• Gesamtladung im Knotenist erhalten

⇒n∑

Ii = 0

• Vorzeichen gebenRichtung der Strome!

• Knotenregel bzw.1. Kirchhoffsche Regel

Knoten

Maschenregel:

• Masche = Leitungskreismit Spannungsquelle(n)und Widerstande(n).

• Wegintegral von ~Ed~sentlang Masche verschwindet

Ui = In∑

Ri − |U0| = 0

• Spannungen von Quelleund an Widerstandenhaben entgegengesetzteVorzeichen.

• Maschenregel bzw.2. Kirchhoffsche Regel

U0 I+−

Hintereinander- und

Parallelschaltung von Widerstanden

Hintereinanderschaltung:

• Mehrere Widerstande Ri (i = 1, . . . n) in einer Maschemit Spannungsquelle U0

• Maschenregel:

|U0| = I ·∑

︸︷︷︸

=Rtot• Gesamtwiderstand ist

Rtot =

Parallelschaltung:• Knotenregel:

I0 = I1 + I2

• Maschenregel:

U0 = I1R1 = I2R2

• Gesamtwiderstand:

• Allgemeiner Fall:

I0 I1I2

+− R1 R2

5 Statische elektrische Felder 27. Mai 2009

Influenz

Leiter im außeren elektrischen Feld:

• ~E-Feld verursacht Kraft auf frei beweglicheLadungstrager im Leiter.

• Ladungstrager arrangieren sich so, dass insgeseamtkeine Kraft auf sie wirkt⇒ resultierende Ladungsverteilung erzeugt ein Feld

~Einfl, das das außere Feld ~E gerade kompensiert.

• Dieser Vorgang heißt Influenz, die dabei erzeugtenLadungsverteilungen Influenzladungen.

äußeres Feld

E infl

Körperleitender

Influenzladungenan Oberfläche

positive

Influenzladungenan Oberfläche

negative

influenziertes Gegenfeld + + +++

+ + ++++++−

−−−−−−

−−

−−−−−−

−−

Konsequenzen:

• Im Inneren von Leitern ist das statische elektrischeFeld stets ~E = 0.

• Die Influenzladungen sammeln sich an denOberflachen des Leiters.

• An der Oberflache des Leiters steht ~E senkrecht zurOberflache (sonst gabe es eine resultierende Kraftparallel zur Oberflache auf die Ladungstrager).

5 Statische elektrische Felder 27. Mai 2009

Der Plattenkondensator

Prinzip:

• Zwei planparallele Leiterplatten im Abstand d und mitFlache A werden an eine Spannung U angeschlossen.

• An der Innenseite der Platten bilden sich entgegenge-setzt gleiche Flachenladungsdichten σ± = Q±/A aus,die bis auf Randeffekte homogen sind.

+ −U

++++++++++

−−−−−−−−−−

Flächenladungsdichte Flächenladungsdichteσ σ

Fläche A

Feld, Spannung, Ladung:

• Elektrisches Feld:

– U = const. ⇒ ~E = const. nach Aufladevorgang.

– Im Inneren des Kondensators (σ = |σ±|):~E = E+x + E−x = (σ/ǫ0)x

– Außen: ~E = 0.

• Spannung und Ladung:

U = Ed =σ

ǫ0d =

(Q = |Q±| ist “die Ladung auf dem Kondensator”.)

5 Statische elektrische Felder 03. Juni 2009

Die Kapazitat

Aufladbare Systeme und Kapazitat:

• Fur Systeme, die bei Anlegen einer Spannung U eineLadung Q speichern konnen, gilt stets

Q ∝ U ⇒ C = Kapazitat =Q

[C] =C

kgm2= F = Farad

(Einheit benannt nach Michael Faraday, 1791–1867).

• Beispiele:

Plattenkondensator: C =ǫ0 A

dMetallkugel, Radius r: C =4πǫ0 r

Zahlenbeispiel, Vielfache von Farad:

• Kapazitat eines Plattenkondensatorsmit d = 1mm und A = 100cm2:

C =ǫ0 A

d= 8.854 × 10−12 A2 s4

kgm3· 10m

= 8.854 × 10−11 F

• Kapazitaten sind meist winzige Bruchteile von 1F⇒ typische Einheiten:

1 pF = 10−12 F (Pikofarad)

1 nF = 10−9 F (Nanofarad)

1µF = 10−6 F (Mikrofarad)

Hintereinander- und

Parallelschaltung von Kapazitaten

Hintereinanderschaltung:• Maschenregel:

U0 = U1 + U2 + U3

• Alle Ladungen sindgleich:

Q1 = Q2 = Q3 = Q

• Gesamtkapazitat(allgemeiner Fall):

ungeladen

Parallelschaltung:• Maschenregel:

U0 = U1 = U2 = U3

• Gesamtladung:

Qtot = Q1 + Q2 + Q3

• Gesamtkapazitat(allgemeiner Fall):

Ctot =Qtot

1 1C , Q

Energiedichte im elektrischen Feld

Elektrische Arbeit beim

Aufladen eines Kondensators:

• Um bei Spannung U in einem Kondensator dieLadung um ∆Q zu erhohen, ist eine Arbeit∆Wel = U · ∆Q = (Q/C) · ∆Q notwendig.

• Integration uber Gesamtladung:

Q′ dQ′

2CU2 .

• Dieses Ergebnis gilt fur jedes aufladbare System!

Energiedichte:

• Mit C = ǫ0A/d und U = Ed(Plattenkondensator mit Flache A und Abstand d):

Wel =1

2CU2 =

ǫ0AE2d2

2ǫ0 Ad︸︷︷︸

• Energiedichte:

wel =Wel

2 ; [wel] = J/m3 .

• wel ist die Energie pro Volumen, die zur Erzeugungdes Feldes (der felderzeugenden Ladungsverteilung)aufzubringen ist.

• Das Ergebnis

wel =1

gilt unabhangig von– der Gestalt des Feldes– der Art seiner Erzeugung.

Isolatoren im elektrischen Feld

Experimentelle Beobachtung:

• Bringt man bei fester Ladung Q einen Isolator in dasFeld eines Plattenkondensators, so nimmt dieSpannung am Kondensator ab:

• Die Kapazitat nimmt zu:

U> C0 =

• Die Feldanderung wird durch dieDielektrizitatskonstante ǫ > 1 beschrieben:

U =U0/ǫ = E0d/ǫ

E =E0/ǫ

C =C0 · ǫ = ǫǫ0A

• Im Vakuum ist ǫ = 1, in Luft ǫ ≈ 1.0005⇒ Luft ist fur elektrische Felder “fast wie Vakuum”.

U=UE=E

U<UE<E0

Isolator:

Polarisationsladungen

Induzierte Ladungsverschiebung:

• Im Isolator gibt es keine freien Ladungstrager, aberin jedem Atom konnen die positiven und negativenLadungen gegeneinander verschoben werden:

• Durch die Kraftwirkung des elektrischen Feldeswerden die Ladungsschwerpunkte

~r± =

i Q(±)i ~ri

i Q(±)i

um eine Strecke ~d in Feldrichtung getrennt.

−−

−+−

−−

−− −

− +d

r =r+− r −r =d+ −

Polarisations-:

Ladungsdichte:

• Im Isolator (“Dielektrikum”)bilden sich geladeneOberflachenschichten.

• Ladungsdichte:

σpol =1

AN Ad︸︷︷︸

QZ = NdQZ

N = Zahl d. Atome/Volumen

QZ = Kernladung

Polarisationsladungennegative

/A=Qpolpolσ

Polarisationsladungenpositive

/A=Qpolpolσ

neutralelektrisch

−−−−−−−−−−

++++++++++

Polarisation, Suszeptibilitat und

Dielektrizitatskonstante

Polarisation:

• Die Polarisations-Flachenladungsdichte kann alsVektor dargestellt werden:

Polarisation = ~P = (NQZd) · E ; [P ] =As

• Im allgemeinen ist QZd ∝ E:

QZd = αE ; α = Polarisierbarkeit; [α] =Asm2

Feld im Dielektrikum:

• Das Vakuum-Feld wird durch die Polarisations-Ladungen reduziert:

EDiel =σ − σpol

ǫ0= EVak −

= EVak −1

ǫ0NαEDiel = EVak − χEDiel

χ = el. Suszeptibilitat =Nα

ǫ0; [χ] = 1

• Insgesamt: EDiel(1 + χ) = ǫEDiel = EVak

• Das elektrische Feld im Dielektrikum ist um1/ǫ = 1/(1 + χ) schwacher als im Vakuum.

• Die Suszeptibilitat ist direkt mit atomarenEigenschaften verknupft (materialabhangig!)

Luft, Normalbedingungen ǫ = 1.000576

Benzol ǫ = 2.3

Wasser ǫ = 81

Quarzglas ǫ = 3.75

Keramik ǫ bis ∼ 1000

Elektrisches Feld in Dielektrika

Elektrische Verschiebungsdichte:

Die elektrische Verschiebungsdichte ~D(~r ) beschreibtdas elektrische Feld, das von den außeren Ladungen

ρ(~r ) erzeugt wird und somit “die Ladungen imDielektrikum verschiebt”:

el. Verschiebungsdichte = ~D = ǫǫ0 ~E ; [D] =As

Elektrische Felder in Dielektrika:

• Grundregel:Das elektrische Feld ~E(~r ) wird wie im Vakuum ausden freien Ladungen (d.h. ohne Berucksichtigung derPolarisationsladungen) berechnet, aber mit derErsetzung

ǫ0 → ǫǫ0 .

• Beispiele:– Coulomb-Feld:

~E(~r ) =1

4πǫǫ0· Q

r3· ~r

– 1. Maxwellsche Gleichung:

div ~E(~r ) =1

ǫǫ0ρ(~r ) ⇒ div ~D(~r ) = ρ(~r ) .

– Energiedichte des elektrischen Feldes:

wel =1

2ǫǫ0E

2~D · ~E

Elektrische Dipole

Das elektrische Dipolmoment:

• Elektrischer Dipol = Anordnung zweierungleichnamiger Ladungen gleichen Betragesin einem festen Abstand d

• Das elektrische Dipolmoment ist definiert als

~p = Q ~d ; [p] = Asm .

−Q +Q

d− +

Dipol im elektrischen Feld:• Kraft im homogenen Feld:

~Ftot = ~F+ + ~F− = 0

• Drehmoment im hom. Feld:

~M = (~r+ × ~F+) + (~r− × ~F−)

= Q ·[

(~r+ − ~r−) × ~E]

= Q · (~d × ~E) = ~p × ~E

• Potentielle Energie im homogenen Feld:

Epot = −~p · ~E = −pE cos θ

• Kraft im inhomogenen Feld (fur ~E = E(x)x):

~Ftot = ~F+ + ~F− = Q ·[

~E(~r + ~d/2) − ~E(~r − ~d/2)]

= Q ·[

2 · d

2cos θ

= p cos θdE(x)

r−r+

6 Statische magnetische Felder 10. Juni 2009

Magnetische Phanomene

Bekannte magnetische Phanomene:

• Permanentmagnete;

• Das Erdmagnetfeld (Magnetkompass!);

• Elektromagnetismus (Erzeugungmagnetischer Kraftwirkungen durch Stromfluss).

Alle magnetischen Phanomene werden durch bewegteLadungen erzeugt!

Permanentmagnete:• Magnete haben zwei

unterschiedliche Pole,die nicht isolierbar sind.

• Ungleichartige Pole ziehensich an, gleichartigestoßen sich ab.

• Die Pole werden nachihrer Ausrichtung imErdmagnetfeld benannt:

N = Nordpol: zeigt nach Norden;S = Sudpol: zeigt nach Suden.

S SN N

Sichtbarmachung von Magnetfeldern:

• Durch Probemagnet (z.B. Kompassnadel), der dieRichtung der magnetischen Kraftwirkung anzeigt.

• Durch Eisenfeilspane, die sich entlang derFeldlinien (d.h. in Richtung der magnetischenKraftwirkung) anordnen.

Magnetische Feldlinien

Eigenschaften:

• Magnetische Feldlinien zeigen in die Richtung, in diesich der Nordpol eines Testmagneten ausrichtet.

• Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen(auch in Permanentmagneten oder stromfuhrendenBereichen)⇒ es gibt keine magnetischen Ladungen.

−N S

Permanent-

magnet

gerader

Das Magnetfeld

Phanomenologisch:

Das Magnetfeld ist ein Vektorfeld ~B(~r ) mit

• Richtung, in die sich Testmagnet ausrichtet(in Richtung des Nordpols des Testmagneten).

• Starke proportional zum Drehmoment aufTestmagnet.

Definition von ~B :• Fur das Magnetfeld eines geraden

stromdurchflossenen Leitersbeobachtet man experimentell:

B ∝ I

r• Festlegung derProportionalitatskonstante:

B(r) =µ0

2π· I

r= µ0

µ0 = Induktionskonstante = 4π × 10−7 Vs

[B] =Vs

m2= T = Tesla = 104 G[auß] (alte Einheit).

• Altere Lehrbucher: ~H = Magnetfeld.

• Wert von µ0 durch Wahl der Einheit A festgelegt.

• Typische Magnetfelder:

Erdmagnetfeld (Mittelwert) B = 2 × 10−5 T

Permanentmagnet (Eisen) B ∼ 1.5T

Supraleitende Spulen bis 7 . . .10T

(z.B. in Teilchenbeschleunigern)

Das Amperesche Gesetz

Beispiel: gerader Draht

• Betrachte Wegintegral von ~Bentlang geschlossenem Weg C:

~B d~s

• Wahle konzentrischen Kreis umDraht als Integrationsweg C:

~B ‖ d~s, | ~B | = B(r)

⇒∮

~B d~s = 2πrB(r) = 2πrµ0

2π· I

r= µ0I

• Das B-Feld ist nicht konservativ!

Das Amperesche Gesetz:

• Allgemein gilt:Das Wegintegral von ~B entlang eines geschlossenenWeges C ist gleich µ0IA, wobei IA der Strom ist, derdurch die von C begrenzte Flache A fließt:

~B d~s = µ0IA (Amperesche Gesetz)

• Das Amperesche Gesetz bestimmt das Magnetfeld ~Bfur eine gegebene Anordnung von Stromen eindeutig.

• Achtung: Gilt so nur fur statische Felder.

Die Stromdichte

Ladungstragergeschwindigkeit

und Stromdichte:

• Betrachte kleines Volumen ∆V von Ladungstragern,die sich mit Geschwindigkeit ~v bewegen.

• Gesamtladung in ∆V (Ladung q pro Ladungstrager):

∆Q = nq · ∆V = nq · v∆t · ∆A

• Strom, der durch die Bewegung von ∆V erzeugtwird:

∆I =∆Q

∆t= nqv · ∆A

• Die Stromdichte ~ ist der Strom pro durchflossenerFlache:

~ =∆I

∆A= nq~v; [j] =

. .. . ... .

.. .... . .

.. . . . .. ... .

. .. . . ...

. .. . .... .. .. . ..

.. ....

....... . .....

. . .... . ..

Ladungsträgerdichte n dA

Amperesches Gesetz mit Stromdichte:∮

~B d~s = µ0

~ d ~A

(A ist die vom Integrationsweg Ceingeschlossene Flache)

Spezielle Magnetfelder

Spule:

(N Windungen)∮

~Bd~s = LB

IA = NI

⇒B = µ0NI

Draht mit homogenem Stromfluss:

~Bd~s = 2πB(r)r

R2 r ≤ R

I r ≥ R

B(r) =

µ02π I r

R2 r ≤ R

µ02π I 1

r r ≥ R

Helmholtz-Spulenpaar:

Naherungsweise homogenesMagnetfeld

B =µ0I

(5/4)3/2R

Die Lorentz-Kraft

Kraft auf bewegte Ladung:• Bewegte Ladungen z.B. in

– stromfuhrenden Leitern;– Teilchenstrahlen

(z.B. Fadenstrahlrohr).

• Experimenteller Befund:Im Magnetfeld ~B wirkt Kraft ~FL,die senkrecht auf ~v und ~B steht:

Lorentz-Kraft = ~FL = q · (~v × ~B )

• Achtung:– Rechte-Hand-Regel ⇒ Richtung von ~FL.– Vorzeichen der Teilchenladung q beachten!

B (in Zeichenebenehinein)

Teilchenbahn im Magnetfeld:

• Da ~FL ⊥ ~v ist, bewegtsich geladenes Teilchen

– auf Kreisbahn,wenn ~v0 ⊥ ~B ist;

– auf Spiralbahnandernfalls.

• Lorentz-Kraft =Zentrifugalkraft:

qvB =mv2

⇒ R =mv

qB• Erlaubt Bestimmung vom q/m, z.B. im

Fadenstrahlrohr.

• p = RqB stimmt auch fur relativistische Teilchen!

Kraft auf stromdurchflossene Leiter

Beispiel: gerades Leiterstuck• Betrachte Strom I in

Leiterstuck mit Lange Lund Querschnittsflache Aim Magnetfeld ~B.

I = A = nqvA .

• Lorentz-Kraft auf eineLadung q:

~FL = q · (~v × ~B )

• Gesamt-Lorentz-Kraft aufalle Ladungstrager (mittlereGeschwindigkeit ~v):

~FL = n V︸︷︷︸=LA

·q · (~v × ~B ) = I L · (v︸︷︷︸

× ~B ) = I · (~L × ~B)

Kraft zwischen zwei Stromen:• Zwei parallele Leiterstucke mit

Stromen I1, I2 im Abstand d.

• Magnetfeld von Strom I1am Ort von I2:

B1 =µ0

2πdI1

• Kraft auf Leiter 2:

FL = I2L2B1 =µ0L2

2πdI1I2

⇒ FL

2πdI1I2

• Diese Kraft wird zur Festlegung derStromstarkeeinheit Ampere verwendet.

Hall-Effekt

Strom durch Leiter im Magnetfeld:

• Ladungstrager werden durch Lorentz-Kraft abge-lenkt.

• Durch die Ladungstrennung baut sich ein elektrischesFeld auf (Hall-Feld ~EH).

• Im Gleichgewichtszustand kompensieren sichmagnetische und elektrische Krafte⇒ Konstante Spannung UH senkrecht zu Strom

und Magnetfeld.

Berechnung der Hall-Spannung:

• Strom und Geschwindigkeit:

I = jA = nqv · bd ⇒ v =I

nqbd• Kraftegleichgewicht:

FL = qvB = FH = qEH = qUH

b⇒ UH = vBb

• Hall-Spannung:

UH =IB

nqd• Anwendung z.B. zur Magnetfeldmessung und zur

Bestimmung von qn.

Stromschleife =

Magnetischer Dipol

Leiterschleife in Magnetfeld:• Einfachste Konfiguration:

rechteckige Schleife, Strom I,Seite a ⊥ ~B,Winkel θ zwischenSeite b und ~B.

• Krafte und Drehmomente:

– Seiten b: ~F2 + ~F4 = 0,resultierendesDrehmoment = 0.

– Seiten a: ~F1 + ~F3 = 0,resultierendes Drehmoment

| ~D | =(

|~F1 | − |~F3 |)

2cos θ = BI a · b

︸︷︷︸=A

cos θ︸︷︷︸

=sin θ′

• Das magnetische Moment ~µist ein Vektor mit Betrag AI, der senkrecht auf derFlache A steht. Die Richtung von ~µ folgt aus derStromrichtung und der rechte-Hand-Regel.

• Insgesamt: Drehmomentauf magnetisches Moment

~D = ~µ × ~B .

Das Magnetfeld versucht,den Dipol in Feldrichtungauszurichten.

• Wie beim elektrischen Dipolmoment: Epot = −~µ · ~B.

θ90o o180

−90o o0 90o

’−90o

Beispiele magnetischer Dipole

Atomare magnetische Dipolmomente:

• Einfaches Modell:Elektron (Ladung −e, Masse me)auf Kreisbahn um Kern.

• Drehimpuls: L = mevr = n~

(QM: Drehimpuls ist gequantelt).

• Magnetisches Moment:

µ = I · A =ev

2πr· πr2 =

• Insgesamt: µ =e~

2m︸︷︷︸=µB

• Das Bohrsche Magneton µB ist die naturliche Einheitatomarer magnetischer Momente.

q=−em=me

Drehspulgalvanometer:

• Prinzip:StromdurchflosseneSpule im Feld einesMagneten;

• MechanischeRuckstellkraft, z.B.durch Spiralfeder;

• Ausschlagproportionalzum Strom I. I

Die Magnetisierung

Materie im Magnetfeld:

Bringt man Materie in ein Magnetfeld ~B,so andert es sich:

~BVak → ~BMat = µ ~BVak

µ = relative Permeabilitat; [µ] = 1

Magnetisierung:

• Definition:

Magnetisierung = ~M =1

[ ~M] =Am2

analog zur Definition der elektrischen Polarisationals “elektrische Dipoldichte”!

• In vakuumgefullter Spule:

B = µ0nI

L= µ0

= µ0µtot

V⇒ B = µ0M = µ0 H︸︷︷︸

magn. Erregung

• Fur allgemeine Felder mit Materie gilt:

~BMat = µ0

~H + ~M)

= ~BVak + µ0~M ;

dabei ist ~BVak = µ0~H das von den außeren Stromen

erzeugte Feld.

n Windungenmit Strom I

Magnetische Suszeptibilitat,

Magnetismusarten

Magnetische Suszeptibilitat:

• Im allgemeinen ist ~M ∝ ~H:

~M = χm~H

χm = magnetische Suszeptibilitat

[χm] = 1

• Damit wird:

~BMat = µ0

~H + ~M)

= µ0 (1 + χm)︸︷︷︸

~H = µ0µ ~H = µ ~B

Dia-, Para- und Ferromagnetismus:

Je nach Richtung und Starke von ~M unterscheidet mandrei Arten von Magnetismus:

Bezeichnung Suszeptibilitat Permeabilitat

Diamagnetismus χm < 0, |χm| ≪ 1 µ < 1

Paramagnetismus χm > 0, |χm| ≪ 1 µ > 1

Ferromagnetismus χm > 0, |χm| ≫ 1 µ ≫ 1

FDiamagnet

Paramagnet

Diamagnetismus

• Diamagnetische Materialien bestehen ausAtomen/Molekulen ohne permanentesmagnetisches Dipolmoment.

• Beim Einschalten desMagnetfeldes ~B werdenatomare Ringstromeinduziert (s. Kap. 4.4),die dem außerenMagnetfeld entgegenwirken.

• ~M und ~B sindantiparallel ⇒ χm < 0

• Im allgemeinen ist|χm| ≪ 1 und Temperatur-unabhangig.

Ausnahme:Supraleiter unterhalb der Sprungtemperatur TC habenχm = −1, d.h. das Feld wird vollstandig aus demMaterial verdrangt (Meißner-Ochsenfeld-Effekt).

induzierte atomareRingströme

OberflächenstromResultierender

Magnetfeld

Zeichenebene)(senkrecht zu

Diamagnetische Materialien:

• Typische Werte von χm

(mit Atomgewicht multipliziert):

Material χm · Mm [mol−1]

Helium He − 1.9 × 10−9

Wasserstoff H2 − 4.0 × 10−9

Stickstoff N2 −12 × 10−9

Wasser H2O −13 × 10−9

Gold Au −28 × 10−9

• Alle Edelgase sind diamagnetisch.

Paramagnetismus

• Paramagnetische Materialienbestehen aus Atomen/Molekulenmit permanentem magnetischenDipolmoment.

• Ohne außeres Magnetfeld sinddie Dipole wegen der thermischenBewegung ungeordnet, d.h. habenisotrope Richtungsverteilung.

• Im Magnetfeld richten sichdie Dipole teilweisein Feldrichtung aus.

• In diesem Fall sind ~M und ~B parallel ⇒ χm > 0.

• Der Grad der Ausrichtung hangt von der Temperaturab:

~M = N |~µ |〈~µ · ~B〉3kT

· B ⇒ χm =µ0 | ~M || ~B |

=µ0Nµ2

(N = Atome/Volumen,µ = magnetisches Moment eines Atoms)

Paramagnetische Materialien:

Material χm · Mm [mol−1] (T = 0C)

Aluminium Al 16.5 × 10−9

Sauerstoff O2 3450 × 10−9

Eisencarbonat Fe CO3 11300 × 10−9

• Paramagnetismus ist meist starker alsDiamagnetismus.

• Auch fur paramagnetische Materialien tritt zusatzlichDiamagnetismus auf!

Ferromagnetismus

• Ferromagnetische Materialien bestehen ausAtomen/Molekulen mit permanentenmagnetischen Dipolmomenten.

• Diese Dipole beeinflussen sich uber ihr Magnetfeldgegenseitig und richten sich bevorzugt parallelzueinander aus.

• Kleine außere Felder erzeugen große Magnetisierung,die zum Teil erhalten bleibt, wenn das außere Feldabgeschaltet wird.

Hysterese:

• Die Magnetisierung hangt vom angelegten Feld~B0 = µ0

~H ∝ I ab und von der Vorgeschichte.

• Bei zyklischer Variation von H zwischen ±Bmax ergibtsich Hystereseschleife.

• Remanenz = verbleibende Magnetisierung bei H = 0.

• Koerzitivkraft =Gegenfeldstarke, bei der wieder M = 0 wird.

B0= Hµ0

Hystereseschleife

Koerzitivkraft B

Bmax−

Remanenz MR

Neukurve

Weißsche Bezirke

Mikroskopische Ordnung:• In Bereichen der Ausdehnung

10µm–1mm richten sich dieatomaren Dipole parallel aus(Weißsche Bezirke).

• Diese lokale Ausrichtungbleibt auch ohne außeres Feldbestehen.

• Die Orientierung von ~Mi inden einzelnen Bezirken istohne außeres Feld und ohneRemanenz isotrop.

• Im außeren Magnetfeldrichten sich die atomarenDipole in einem Bezirkkollektiv aus.⇒ Die Magnetisierung

steigt in kleinen Sprungenan (Barkhausen-Sprunge).

~100 mµ

SprüngeBarkhausen−

Horbarmachen der Barkhausen-Sprunge:

• Plotzliche Anderungder Magnetisierungerzeugt Spannungssignalin Induktionsschleifeum Magneten.(Siehe Kap. 4.4).

• Diese Signalekonnen perLautsprecherhorbar gemachtwerden.

Curie-Temperatur,

einige Ferromagnte

Curie-Temperatur:

• Oberhalb einer bestimmten, materialabhangigenTemperatur werden Ferromagnete beim Erwarmenschlagartig paramagnetisch.

• Diese Temperatur heißt Curie-Temperatur TC.

• Erklarung:Die mittlerekinetische Energiewird großer als diepotentielle Energieder Dipol-Dipol-Wechselwirkung.

• Oberhalb von TC ist

χm ∝ 1

T − TC

T−TC

paramagnetisch

Ferromagnetische Materialien:

Material Permeabilitat TC [K]

Eisen Fe 500–10000 1043

Nickel Ni 627

Kobalt Co 80–200 1385

Gadolinium Gd 293

Erbium Er 20

Mumetall (Ni+Cu+Co) 100000

• Es gibt weitere ferromagnetische seltene Erden.

• Verschiedene Legierungen haben hohe relativePermeabilitat.

7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009

Das Faradaysche Induktionsgesetz

Experimentelle Beobachtung:

An den Enden einer Leiterschleifewird eine elektrische Spannung Uind

induziert, wenn sich dermagnetische Fluss durch dievon der Leiterschleifeumschlossene Flache A andert:

~B d ~A 6= const.

⇔ Uind 6= 0Uind

Faradaysches Induktionsgesetz:

Uind = − d

~B d ~A = −dΦm

• Vorzeichen:“Richtung der Messung von Uind”→ Umlaufsinn um Leiterschleife→ Richtung von d ~A nach

der rechte-Hand-Regel.

• Flussanderung dΦm/dt kann verursacht werden von

– Anderung von ~B (z.B. Einschalten von Magnet);– Anderung von A (z.B. Verformung der Schleife);

– Anderung von ∢( ~B, ~A) (z.B. Drehung).

• Wegintegral∮

~E d~s = Uind

Wegintegral uber geschlossenenen Weg ist ungleichNull! Zeitabhangige ~E-Felder sind nicht konservativ.

indU >0+−

Induktionsbeispiele

Rotierende Leiterschleife:

• Bei konstanterWinkelgeschw. ω:

Φm = AB cosφ

= AB cos(ωt + φ0)

• Induktionsspannung:

Uind = −dΦm

dt= −AB [−ω sin(ωt + φ0)]

= ABω sin(ωt + φ0)

(Wechselspannung)

• Prinzip des Generators.

Spule mit Induktionsschleife:

• Magnetischer Flussin Spule mitN Windungen:

Φm = AB

= πR2 · µ0N

L· I(t)

• Spannung inInduktionsschleife(eine Windung):

Uind = −dΦm

dt= −µ0πR2N

L· dI(t)

Strom I(t)N Windungen,

Selbstinduktion, Einschaltvorgang

Selbstinduktion:

• Beim Einschalten des Stroms in einer Spule(Lange ℓ, N Windungen) induziert dieFlussanderung in der Spule eine Spannung Uind

in der Spule selbst.

• In N Windungen ist Uind N mal so groß wie in einereinzelnen Induktionsschleife:

Uind = −NdΦm

dt= −µ0AN2

ℓ· dI(t)

• Eine induzierte Spannung tritt bei Stromanderungenin allen stromfuhrenden Anordnungen auf, mit

Uind = −L · dI(t)

L = Induktivitat; [L] =Vs

A= Henry = H

• Selbstinduktivitat einer Spule: L =µ0AN2

Einschaltvorgang:

• Stromkreis mit L, R und U0:

U0 = RI − Uind = RI + LdI

• DG fur I(t) mit Losung

I(t) =U0

1 − e−(R/L)t)

• Zeitkonstante desStromanstiegs: τ = L/R

Uo/R R

0.63I0

7 Zeitabhangige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009

Die Lenzsche Regel

Vorzeichen von Induktionsspannungen:

Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz hat einegenerelle Konsequenz fur alle Induktionseffekte:

Die durch Induktion bewirkten

Spannungen, Strome und Felder

wirken stets dem die Induktion

verursachenden Vorgang entgegen.

Beispiel:

• Permanentmagnet bewegt sich auf Spule zu.

• Durch die Anderung des magnetischen Flusseswird in der Spule eine Spannung Uind induziert,durch die ein Strom Iind erzeugt wird.

• Der Strom erzeugt ein Magnetfeld ~Bind.Lenzsche Regel: ~Bind wirkt der Flusszunahmein der Spule entgegen, ist also dem Feld desPermanentmagneten entgegengerichtet.

• Es resultiert eine abstoßende Kraft zwischen Spuleund Magnet.

Ausschaltvorgang

Abkoppeln der Spannungsversorgung

von einem Stromkreis mit Induktivitat:

• Vor Offnen des Schalters S(lange nach Einschalten):

I1 = U0/R1

IL = U0/RL = I0

• Nach Offnen des Schalters S:

0 = RI − Uind = RI + LdI

(mit R = R1 + RL).

• DG fur I(t) mit Losung

I(t) = I0 · e−(R/L)t

• Die Induktion bewirkt einenStrom, der das Magnetfeldin der Induktivitataufrechtzuerhalten versucht.

• Induktionsspannung an L:

Uind = −LdI

dt= U0

R1 + RL

RLe−(R/L)t .

Falls R1 ≫ RL ist, wird Uind ≫ U0

• Praktische Konsequenzen:– Bei Ausschaltvorgangen entstehen u.U. hohe

Spannungsspitzen, die elektrische/elektronischeGerate beschadigen konnen.

– Diese Spannungsspitzen werden z.B. zum Zundender Gasentladung in Leuchtstoffrohrenverwendet.

LI L,RR

Energieinhalt des Magnetfeldes

Energie des Magnetfeldes:

• Der Strom I(t) nach dem Ausschalten erzeugt imWiderstand R = R1 + RL Joulesche Warme, diegleich der im Magnetfeld gespeicherten Energie ist:

Wm = R

∞∫

I2(t) dt = RI20

2Re−(2R/L)t

• Fur eine Spule (Querschnitt A, Lange ℓ) ist diemagnetische Energiedichte

wm =Wm

2I20 µ0N

ℓ︸︷︷︸

Aℓ︸︷︷︸

Mit B0 = µ0I0N/ℓ wird

Zusammenfassung

elektromagnetischer Energien:

Wel =1

2CQ2 Wm =

welm =

ǫ0E2 +1

µ0B2]

ohne Materie

2[ED + BH] mit Materie

Generator und Elektromotor

Funktionsprinzip

Rotierende Leiterschleife bzw. Spule im außerenMagnetfeld:

Kontinuierliche Drehung des Motors erfordertUmpolen des Stroms oder des Magnetfeldes.

Generator:

Mechanischer Antrieb↓

Rotation↓

Induzierte Spannung↓

Elektrische Leistung

Elektromotor:

Angelegte Spannung↓

Strom in Spule↓

Drehmoment auf Spule↓

Mechanische Leistung

Wechsel-

strom-

motor:

Dreht sich mitFrequenz derangelegtenWechsel-spannung.

ωU0sin( t)

Gleichspannungsmotor und

Gleichspannungsgenerator

Funktionsprinzip:• Umpolen der

Stromrichtung inder Drehspule(Rotator) durchsegmentierteSchleifkontaktean der Drehwelle(Kommutator).

• Funktioniertunabhangigvon Drehfrequenz.

• Elektromotor: Betrieb mit Gleichspannung.

• Generator: Liefert Spannung mit festem Vorzeichen.

Kohlestifte

IsolatorKontakte zurDrehspule

Technische Verbesserungen:

• Verwendung von N Spulen,deren Drehwinkel umπ/N gegeneinanderversetzt sind:

– Erfordert meherereKommutatoren odermehr Segmente aneinem Kommutator.

– Generator: GlattereAusgangsspannung.

– Elektromotor:runderer Lauf.

• Rotator mit Eisenkern

Spulen

Drehachse

Beispiel: N=2

Wechselstrom und -spannung

Wechselstrom bzw. Wechselspannung hat eine

harmonisch oszillierende Zeitabhangigkeit, z.B.:

U(t) = U0 cos(ωt)

U0 = Amplitude

ω = Kreisfrequenz

T= 2πν

T = Periodendauer

T= Frequenz

Wechselstrom durch Widerstand R:

U(t) = U0 cos(ωt)

I(t) =U(t)

R︸︷︷︸=I0

cos(ωt)

P (t) = Leistung = U(t) · I(t)= U0I0 cos2(ωt) ≥ 0

• Mittlere Leistung 〈P 〉 =1

P (t) dt =1

2U0I0.

• Effektive Spannung, effektiver Strom:

Ueff =U0√2

, Ieff =I0√2

⇒ 〈P 〉 = Ueff · Ieff .

• Netzspannung (D): Ueff = 230V, ν = 50Hz .

Wechselstromkreise mit C oder L

Wechselstrom durch

Kapazitat C:

U(t) = U0 cos(ωt) =Q

I(t) =dQ

dt= −CU0ω︸︷︷︸

sin(ωt)

P (t) = Leistung = U(t) · I(t)= −U0I0 cos(ωt) sin(ωt)

• Strom und Spannung um +90 phasenverschoben(Spannung eilt voraus).

• Mittlere Leistung: 〈P 〉 = 0.

• “Wechselstromwiderstand” U0/I0 = 1/ωC nimmt mitsteigendem ω ab.

Wechselstrom durch

Induktivitat L:

U(t) = U0 cos(ωt) = LdI

I(t) =U0

cos(ωt)

ωL︸︷︷︸=I0

sin(ωt)

• Strom und Spannung um −90 phasenverschoben(Strom eilt voraus).

• Mittlere Leistung: 〈P 〉 = 0.

• “Wechselstromwiderstand” U0/I0 = ωL nimmt mitsteigendem ω zu.

Wechselstromkreis mit L, C und R

Wechselstrom durch L, C und R:

U(t) =U0 cos(ωt)

=RI + LI +Q

I(t) =I0 cos(ωt − φ) ;

U(t) = − U0ω sin(ωt)

=RI + LI +I

= − RI0ω sin(ωt − φ) −[

LI0ω2 − 1

cos(ωt − φ) ;

• Beitrage von L, C und R zur Gesamtspannung habenPhasenverschiebungen von 90 relativ zueinander.

Zeigerdiagramm:

• Darstellung derU(t)–Beitrage mitHilfe von Vektoren(“Zeigern”), die mit ωin der (x, y)-Ebenerotieren, so dassProjektion aufx-Achse U(t) ergibt.

• Lange der Zeiger: U/I0.

• Summenzeiger Z; |Z| = Impedanz; [Z] = Ω.

• R zeigt nach rechts (phasengleich mit I)⇒ Z ergibt Phasenverschiebung von U(t) und I(t).

I0 =U0

R2 +(ωL − 1

)2; tanφ =

ωL − 1ωC

1/ Cω

φL−1/ Cωω

Der Schwingkreis

Stromkreis mit C, L und R

ohne treibende Spannung:

• Schalter S in Stellung 1:Aufladen von C.

• Umschalten auf Stellung 2:C entladt sich, Strom I.

LI + RI +I

• Diese Differentialgleichung ist mathematischaquivalent zur Differentialgleichung fur einegedampfte Schwingung: mx + kx + Dx = 0(k = Reibungskoeffizient, D = Federkonstante).

• Losungen wie bei mechanischer Schwingung mit denErsetzungen m → L, k → R, D → 1/C:

– Gedampfte Schwingung (R2 < 4L/C):

Sonderfall: Ungedampfte Schwingung fur R = 0.

– Aperiodischer Grenzfall (R2 = 4L/C)

– Kriechfall (R2 > 4L/C)

• Bei Anregung mit Spannung U(t) = U0 cos(ωt) bildensich erzwungene Schwingungen aus (Resonanz beiωR = 1/

√LC).

I(t) = I0 cos(ωt) · exp(− R2L

ω =√

− R2

Der Tesla-Transformator

Funktionsprinzip:

Transformator mit großen Windungsverhaltnis N2/N1,der durch hochfrequente Stromstoße angeregt wird.

U C Ua

F windungenN Primär−

N Sekundärwindungen2

Erklarung:

• Der Kondensator C wird mit Ui (Gleichspannung,niederfrequente Wechselspannung) aufgeladen.

• Ubersteigt die Spannungan der Funkenstrecke Feinen bestimmten Wert,wird C uber einen Funkenentladen. Dieser Vorgangwiederholt sich zyklisch.

• Dabei fließt ein hoher Strom,der in sehr kurzer Zeit abklingt.

• Große Flussanderung dΦm/dt ⇒ Ausgangsspannungbis zu Ua = O(100kV), besonders wenn die Frequenz1/T der Auf/Entladezyklen im Primarkreis auf dieSekundarkreis-Resonanzfrequenz abgestimmt ist.

• Medizinische Anwendung: Deposition vonJoulescher Warme in tieferenGewebeschichten (Diathermiestrome).

Aufladen

Entladen

8 Elektromagnetische Wellen 15. Juli 2009

Wellenlange, Wellenzahl,

Lichtgeschwindigkeit

Harmonische Welle:

• Das ~E-Feld

– macht harmonische Schwingung ∝ sin[ωt + φ(~r)]an jedem Punkt im Raum;

– variiert bei festem t sinusformig entlang z

• Wellenfronten = Orte gleicher Phase:Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z

Wellenlänge λ

Lichtgeschwindigkeit:

• Frequenz ν, Schwingungsperiode T : ν = ω2π

• Wellenzahl k, Wellenlange λ: k = 2πλ• Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenfronten:

T= νλ =

k• Vergleich mit k2 = ǫ0µ0ω2 ergibt:

c = Lichtgeschwindigkeit =1

√ǫ0µ0

= 2.998 × 108 m/s

• In Materie: cMat = cVak/√

ǫµ (ν-abhangig).

Spektrum

elektromagnetischer Wellen

Die Frequenz ν und die Wellenlange λ = c/νelektromagnetischer Wellen variieren uber einen riesigen

Bereich (bekannt: mehr als 24 Großenordnungen)

Energie [eV]Photon−

Frequenz [Hz]

langwellenUltra−

Radiowellen

10−2

10−4

10−6

10−8

10−10

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

Mikrowellen

Infrarot

Sichtbar

Ultraviolett

Röntgen−

Gamma−strahlung

strahlung

violett

orange622

[m]Wellenlänge

λ [nm]

λSichtbares Licht:

Die Energie elektromagnetischer Wellen ist gequantelt:E = hν = 6.626 × 10−34 J/s · ν.

Hohe E: elm. Strahlung hat teilchenartigen Charakter.

Hertzscher Dipol (I)

Stehende Wellen in offenem Schwingkreis:

• Harmonisch oszillierende Strome und Spannungen ineinem offenen Schwingkreis (Metallstab) entsprechenstehender Welle:

• Stabenden:Knoten von I, Bauche von U

Stabmitte:Bauch von I, Knoten von U .

• Resonanzbedingung:

λDipol = 2L ⇒ ωR =2πcDipol

λDipol

L· c√

Achtung: ǫµ ist frequenzabhangig, z.B. ist fur Wasserǫ(ν = 0) = 81, aber ǫ(Licht) ≈ 2.

I=0 Imax

t=3T/4

Abgestrahlte Welle:

• Der oszillierende Strom im Dipol erzeugt eineelektromagnetische Welle mit Wellenlange

λ =2πc

ωR= 2L

√ǫµ

• Lange einer Sendeantenne ist L = O(λ)⇒ hohe Sendemasten fur λ = 1 . . .104 m (Radio).

Hertzscher Dipol (II)

Abgestrahlte Leistung:

〈Pem〉 =p2ω4 sin2 θ

32π2ǫ0c3r2

• 〈Pem〉 ∝ 1/r2

Gesamte Strahlungsleistung unabhangig vomAbstand vom Sender ⇒ Strahlung tragt Energie weg.

• 〈Pem〉 ∝ sin2 θ

Maximale Intensitat senkrecht zum Dipol,keine Abstrahlung in Dipol-Richtung.

• 〈Pem〉 ∝ ω4

Intensitat nimmt mit ω4 ∝ 1/λ4 zu(erklart z.B. die blaue Himmelsfarbe).

tz−D

Beobachter

θ 2 θ( )

(max. Dipolmoment p)

I( )~sin

Empfangscharakteristik:

〈Pempf〉 ∝ 〈PSender〉 · sin2 α

∝(sin θ sinα

Sender

θ Empfänger

Polarisation

Schwingungsrichtung des ~E-Vektors:Polarisation bezeichnet bestimmte Konfigurationen der

Schwingungsebene des ~E-Vektors senkrecht zurAusbreitungsrichtung der Welle

• Lineare Polarisation:~E-Vektor schwingt in einer festen Ebene,~B-Vektor schwingt in der dazu orthogonalen Ebene.Beispiel: Welle von einem Hertzschen Dipol.

• Zirkulare Polarisation:~E- und ~B “rotieren” um die Ausbreitungsrichtung

• Uberlagerung (Superposition) von Wellen kannPolarisation andern, z.B.:– linear + linear → zirkular;– links-zirkular + rechts-zirkular → linear.

cB t=0,t=T/2

(B, t=3T/4)

(B, t=T/2)(B, t=0)

(B, t=T/4)

t=3T/4

zirkular polarisiertlinear polarisiert

t=3T/4

t=3T/4t=T/4

Erzeugung und Nachweis von Polarisation:• Metallgitter absorbiert

Welle, wenn ~E parallelzu Gitterstaben ist.

• Bei ∢( ~E,Gitter) = φkommt E sinφ durch⇒I ∝ sin2 φ.

Sender

9 Geometrische Optik 15. Juli 2009

Lichtstrahlen und Brechungsindex

Lichtstrahlen:

• Lichstrahlen sindAusschnitte ausebenen Lichtwellen,die sich gebundeltund parallel ausbreiten.

• Dies ist eine idealisierteAnnahme, die nur furStrahldurchmesser ≫ λ naherungsweise richtig ist.

• Beispiele:Laser-Strahl, Lochblende und Linse hinter Lampe

• Eigenschaften:– Lichtstrahlen breiten sich im homogenen Medium

geradlinig aus.– Die Wege von Lichtstrahlen sind umkehrbar.

• Beschreibung der Ausbreitung von Lichtstrahlen inder geometrischen Optik.

Der Brechnungsindex:

Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Medium:

cMedium =cVakuum√

cVakuum

n = Brechungsindex = n(ν) ; [n] = 1

Brechungsindices einiger Materialien

(λ = 589nm):

Luft (20 C, Normaldruck) 1.00028

Wasser 1.333

Quarzglas 1.458

Diamant 2.417

Das Brechungsgesetz

Brechung und Reflexion:• An einer Grenzflache

zwischen zwei Medien mitBrechungsindices n1 undn2 spaltet sich eineinfallender Strahl auf:

[E] Einfallender Strahl

[R] Reflektierter Strahl

[B] Gebrochener Strahl

• Einfalls-, Reflexions- undBrechungswinkel werdenbzgl. der Flachennormalengemessen.

α α’

Das Snelliussche Brechungsgesetz:• Die einlaufende

Wellenfront legtWeg x1 zuruck,wahrend diegebrocheneWellenfrontx2 durchlauft:

∆t = L sinα

n2∆t = L sin β

⇒ sinα

sin β=

• Der Strahl wird im dichteren Medium zur Normalehin gebrochen, im dunneren Medium davon weg.

Reflexion und Totalreflexion

Das Reflexionsgesetz:• Einfallender und

reflektierter Strahlhaben gleicheAusbreitungs-geschwindigkeit.

• Die DreieckeABD und BADsind kongruent:

α = α′

Einfallswinkel =Ausfallswinkel

Totalreflexion:• Bei Auftreffen auf

optisch dunneresMedium (n2 < n1):

sinα =n2

n1sinβ

• Fur Einfallswinkel

sinα > n2/n1 = sinαT

gibt es keinengebrochenen Strahl.

• In diesem Fall erfolgt Totalreflexion, d.h. die gesamteIntensitat des Strahls wird reflektiert.

• Anwendung:Z.B. Lichtleitung in Glasfasern.

γ n1>n2

α < αβ = αγ > αT

Spiegel und Bildentstehung

Reflexion an ebenem Spiegel:

• Jeder von einem Punkt Pausgehende Lichtstrahlwird entsprechend demReflexionsgesetzreflektiert.

• Fur Betrachter vor demSpiegel kommen die Strahlenscheinbar von einemgemeinsamen Punkt P ′

hinter dem Spiegel.

Spiegel

P P’

Bildentstehung:• Prinzip:

Wenn sich alle voneinem Punkt einesGegenstandes Gausgehenden Strahlenin einem anderen Punkttreffen, entsteht dortein vom Betrachtergesehenes Bild Bdes Gegenstandes.

• Bei einem Spiegel istdieses Bild

– aufrecht;

– virtuell, d.h. die Lichtstrahlen erreichen den Ortdes Bildes nicht;

– genauso groß wie der Gegenstand.

Spiegel

Der spharische Hohlspiegel

Brennpunkt und Brennweite:• Brennpunkt:

Punkt F , in denachsenparalleleStrahlen fokussiertwerden.

• Brennweite:Abstand F – Spiegel

1 − 1

2cosα

• Paraxiale Naherung:Achsennahe Strahlen (h ≪ f, R) ⇒ f ≈ R/2

Spiegel

Abbildungsgleichung:

• Vergleich ahnlicherDreiecke:DCF mit DC’S1

AA’F mit FES2

b − f=

g − f=

• Daraus folgt dieAbbildungsgleichung(paraxiale Naherung):

C’S1

Spiegelf

Dunne Linsen

Rotationssymmetrische Korper aus durchsichtigemMaterial (Glas, Kunststoff) mit spharischen oder

ebenen Oberflachen.

Vorzeichenkonvention fur Krummungsradien:R > 0 fur konvexe Oberflachen;R < 0 fur konkave Oberflachen

(in Lichtrichtung gesehen).

>0R2<0

R2<01R =

bikonvex(Sammellinse)

bikonkav(Zerstreuungslinse)

plan−konvexLicht

Brennpunkt und Brennweite:• Paraxiale Strahlen werden von

Linsen in einen Brennpunkt Ffokussiert.

• Aus Brechnungsgesetz undGeometrie der spharischenOberflachen:

f = Brennweite

n − 1· R1R2

R2 − R1

[fur R1 = −R2:f = (R/2)/(n − 1)]

• Dunne Linsen: Linsendicke D ≪ f .

• Fur dunne Linsen ist die Brennweite fur beideDurchstrahlungsrichtungen gleich.

Linsen−ebene

Abbildungen durch dunne Linsen

Sammellinse, g > f :

• Abbildungskonstruktion: wo treffen sich Strahlen, dievon einem Punkt des Gegenstandes ausgehen?

• Reelles Bild: Strahlen treffen sich wirklich;Virtuelles Bild: Fortsetzungen der Strahlen jenseits

der Linsenebene treffen sich.

• Aus Vergleich der Dreiecke ADF2 mit L1OF2

und CEF1 mit L2L1C (wie beim Hohlspiegel):

g − f=

b − f=

b⇒ 1

Linsen−ebene

reelles,kopfstehendes

Sammellinse, g < f :

g > 0, f > 0, b < 0

Zerstreuungslinse:

g > 0, f < 0, b < 0

Linsen−ebene

virtuelles, aufrechtes Bild (B>G)

Linsen−ebene

virtuelles,aufrechtesBild (B<G)

Abbildungsmaßstab, Linsensysteme

Abbildungsmaßstab:

• Vorzeichenkonvention:G > 0B > 0, wenn das Bild kopfstehend ist.

• Lateralvergroßerung:

M = −B

f − g=

< 0 wenn g > f

> 0 wenn g < f

= ∞ wenn g = f

Linsensysteme:

• Prinzip der Abbildungskonstruktion:Das Bild der ersten Linse bildet den Gegenstand derzweiten Linse (egal ob reell oder virtuell).

• Gegenstandsweite des Systems: g = g1;Bildweite des Systems: b = b2

f2− L

L≪f1,f2≈ 1

• Die inverse Brennweite nennt man Brechkraft:

D∗ = 1/f ; [D∗] = m−1 = Dioptrie = dpt .

12 11B22

Abbildungsfehler

Abbildungsfehler: Effekte, die dazu fuhren, dass dasBild eines Gegenstandes unscharf oder verzerrt ist.

1. Chromatische Abberation:Die Frequenzabhangigkeitdes Brechnungsindexes(Dispersion) fuhrt zuunterschiedlichenBrennweiten fur Lichtunterschiedlicher Farbe.⇒ Bild ist nur fur einenschmalen Farbbereich scharf.

2. Sparische Abberation:Achsenferne Strahlenwerden nicht in Brennpunktfokussiert (Verletzung derparaxialen Naherung).⇒ Außere Bildbereicheunscharf.

3. Koma:Schrag einfallendes Lichtwird von verschiedenenBereichen der Linse aufverschiedene Punktefokussiert.⇒ Bild wird unscharf,wenn Linse schrag steht.

4. Astigmatismus:Unterschiedliche Fokalebenen der horizontalen undvertikalen Querschnitte von Lichtkegeln.⇒ Stabchenformige Verzeichnung.

5. Bildfeldwolbung, VerzeichnungScharfes Bild entsteht auf einer gekrummten Flache,bei Abbildung in Ebene entsteht Verzerrung.

Linsen−ebene

frLinsen−ebene

∆fLinsen−ebene

Das Auge

Das Auge - ein optisches Instrument:

• Linse: fokussiert desLicht auf die Netzhaut,kann durch Muskelnverformt und damit in derBrennweite verandertwerden. Bei paralleleinfallendem Licht (g = ∞)ist das Auge entspannt.

• Iris: verstellbareLochblende (Pupille).

• Netzhaut: Bildflache.22mm

körperGlas−

Netzhaut

(Blende)Iris

Sehwinkel und deutliche Sehweite:

• Ein Objekt wird umsogroßer wahrgenommen,desto großer der Winkel ǫ0zwischen den Randstrahlendes Objekts ist.

• Bei Abstand s zwischen Augeund Objekt ist tan(ǫ0/2) = G/2s.

• Maximales ǫ0 bei entspanntem Auge furdeutliche Sehweite s0 ≈ 25cm(darunter kann das Auge nicht scharf stellen).

• Mit tan(ǫ0/2) ≈ ǫ0/2 wird ǫ0 = G/s0

fehler

Weitsichtigkeit,Korrektur durch Zerstreuungslinse

Kurzsichtigkeit,Korrektur durch Sammellinse

Die Lupe, Winkelvergroßerung

Die Lupe:

• Kurzbrennweitige Sammellinse,wird optimal so gehalten, dass das Objekt in derBrennebene liegt (g = f) und der AbstandLupe–Auge ebenfalls f ist:

• In dieser Anordnung erreicht paralleles Licht das Auge(Auge ist entspannt).

• Sehwinkel: ǫ ≈ G/f

Winkelvergroßerung:

• Die Vergroßerung V optischer Instrumente wird alsVerhaltnis des Sehwinkels mit und ohne Instrumentgemessen:

V =Sehwinkel ǫ mit Instrument

Sehwinkel ǫ0 mit bloßem Auge bei s0

• Fur die Lupe erhalt man:

Mikroskop und Teleskop

Mikroskop:

• Zwei kurzbrennweitige Sammellinsen,Bild von Linse 1 in Brennebene von Linse 2:

• Sehwinkel: ǫ ≈ tan ǫ = B1/f2 = Gb1/(gf2)

• Winkelvergroßerung:

s0(L − f2)

gf2≈ s0(L − f2)

OkularObjektiv

Teleskop:

ǫ ≈ B

ǫ0 ≈ B

FFF 21

1f ,OkularObjektiv

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