De Paulis-Manfredi Costruzione di Macchine

SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO 12

12.1 Si vuole sostituire ad un ingranaggio costituito da due ruote dentate ester-ne con angolo di pressione α0 un altro ingranaggio identico con angolo di pressionemaggiore α. Le dentatura hanno proporzionamento normale. Determinare i rico-primenti. Dati: modulo: m = 3 mm; numeri di denti: Z1 = 21 e Z2 = 65; angolidi pressione: α0 = 20; α = 25.

Secondo lo schema illustrato nella gura 12.7 del testo il ricoprimento o rapportodi condotta degli ingranaggi a denti dritti è dato dal rapporto tra la lunghezza delsegmento dei contatti e la distanza tra i punti di contatto delle due successivecoppie di denti che sono simultaneamente e momentaneamente in presa. Nel casodi dentature ad evolvente il segmento dei contatti è rettilineo e forma un angolo αrispetto alla tangente alle circonferenze primitive; la distanza tra i punti di contattotra le coppie di denti in presa coincide con il loro passo di base. Nel testo è statoillustrato il modello (vedi g. 12.7) che porta a scrivere il rapporto di condottacome segue:

εα =

√R2e1 −R2

b1 +√R2e2 −R2

b2 − a senα

m π cos α

dove Rej = Rj + m, Rbj = Rj cosα sono rispettivamente il raggio di troncaturaesterno ed il raggio di base della ruota j-esima, essendo Rj = m Zj/2 il raggiodella circonferenza primitiva teorica; a = R1 + R2 = m (Z1 + Z2)/2 è l'interasseteorico e m π cos α è il passo di base.Sostituendo i dati dell'esercizio si trovano i valori teorici del rapporto di condotta:

εα0 = 1, 68 ; εα = 1, 49 .

L'aumento dell'angolo di pressione da 20 a 25 riduce perciò di circa il 10% ilricoprimento, senza che ciò pregiudichi il funzionamento regolare dell'ingranaggio.Poiché in pratica l'ingranaggio sarà montato con un interasse reale a′ 6= a per eettodelle tolleranze di fabbricazione e di montaggio e delle deformazioni termoelastichedi alberi e supporti, l'angolo di pressione non coinciderà con quello della dentierausata per il taglio con le macchine utensili ed il rapporto di condotta non coincideràcon il valore determinato teoricamente.Dalla gura 12.11 del testo si nota che variando l'angolo di pressione si modica laposizione del punto superiore di singolo contatto rispetto alla faccia attiva del dente;considerando la forma della cremagliera utensile nei due casi (vedi g. 12.5 deltesto) si deduce facilmente l'eetto dell'angolo di pressione sulla forma e soprattuttosullo spessore alla base dei denti delle due ruote.

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12.2 Un ingranaggio cilindrico riduttore a denti dritti, costituito da un pigno-ne e una ruota, deve funzionare a regime con un dato numero di giri costante delmotore. Si vuole stabilire se l'ingranaggio funziona oppure no in prossimità delregime critico di risonanza delle due ruote dentate, schematizzate come due volanidi forma cilindrica. Dati: Z1 = 21, Z2 = 65; modulo m = 3 mm; angolo dipressione α = 20; larghezza delle ruote e delle dentature b = 10 m; rigidezza(media) per unità di larghezza dei denti cγ = 20 N/(µm mm), velocità di rotazionedel pignone: n1 = 3000 giri/min. Materiale acciaio.

Adottando il modello semplicato mostrato nella gura 12.19 (a) del testo si puòcalcolare la frequenza naturale del sistema composto unicamente dalle due ruotedentate. Queste si assumono collegate elasticamente fra loro tramite le dentaturedeformabili.Questo modello permette di ricondurre lo studio dell'oscillazione a quello di duemasse equivalenti

mi =Jir2ib

collegate tra loro da una molla di rigidezza 1

k = cγ b .

Qui Ji = ρ π r4i b/2 è il momento d'inerzia della ruota i-esima, supposta piena,e rib, ri sono i raggi delle circonferenze rispettivamente di base e primitiva (sicompensano così gli eetti dei pieni e dei vuoti della dentatura.)Per risolvere l'esercizio si può porre: ρ = 7850kg/m3, ri = mZi/2 e rib = ri cosαdove α è l'angolo di pressione che qui si assume pari a 20.Sostituendo i valori assegnati si trovano: m1 = 0, 4 kg, m2 = 3, 9 kg, k = cγ b =6 · 108 N/m.Dalla Meccanica si sa che la pulsazione naturale di un oscillatore costituito da duemasse unite da una molla di rigidezza k è pari a quella di un oscillatore semplicecostituito da una singola massa equivalente

meq =m1 m2

m1 + m2

collegata al telaio sso tramite la molla. La pulsazione naturale e la frequenzapropria di questo oscillatore cstituito da due masse saranno:

ωn =

√k

meq; fn =

ωn2 π

Sostituendo i dati dell'esercizio si trova fn = 6350 Hz.L'eccitazione proviene dall'ingranamento dei singoli denti, che si manifesta con una

1Si tenga presente che la rigidezza per unità di lunghezza cγ delle dentature varia relativamente

poco anche se gli ingranaggi sono molto diversi fra loro per modulo o numero di denti

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frequenza pari a fe = n1 Z1/60 = 1050 Hz.Di conseguenza facendo girare il pignone a questa velocità di rotazione si opera inregime subcritico, rispetto a quello di risonanza. L'intervallo di frequenze critico siassume infatti, di regola, con un'estensione pari al ±25% del valore della frequenzanaturale.Trascurando le risonanze secondarie, dovute all'andamento non armonico della for-za eccitatrice, si può determinare il fattore dinamico Kv in funzione della precisionee della velocità periferica delle dentature, che qui non è particolarmente alta, es-sendo pari a circa 10 m/s. Adottando la formula della normativa ISO per il casodi dentature retticate si deve porre:

Kv =

(A

A +√

200 vp

)B,

con A = 92, B = −0, 25 e velocità in m/s si trova perciò Kv = 1, 1.Nel modello che qui si è adottato si eettua un calcolo semplicato trascurandosia l'elasticità essionale e torsionale degli alberi, ai quali sono collegate di regolaaltre masse, sia i contributi di componenti deformabili elasticamente quali i giunti,i supporti e la carcassa.

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12.3 Un pignone a denti dritti trasmette il moto ad una corona con dentaturainterna. Calcolare il rapporto di trasmissione, la pressione hertziana nel centroistantaneo di rotazione e la massima tensione di essione alla base dei denti sia delpignone che della corona. Dati: coppia da trasmettere M = 150 Nm, modulo m =2 mm, angolo di pressione α = 20, numeri di denti Zp = 25 e Zc = 75; larghezzadei denti: bp = 22 mm, bc = 18 mm, Ko = 1,3; Km = 1,5; Kv = 1,2. Per quantoriguarda la sollecitazione a essione dei denti, considerare la corona a dentaturainterna come se fosse una cremagliera, assumendo di conseguenza Jp ≈ 0, 4 per ilpignone e Jc ≈ 0, 5 per la corona. Materiali: acciaio.

Il rapporto di trasmissione i sarà positivo, perché il verso della rotazione delpignone è lo stesso di quello della ruota. Sarà i ≈ u = Zc/Zp = +3.La pressione di contatto nel centro istantaneo di rotazione si può calcolare con laformula di Hertz per il caso del contatto di due cilindri ad assi paralleli, l'uno diforma concava (dente della corona) e l'altra convessa (dente del pignone), che siscambiano una forza per unità di lunghezza F/bc dove F = M/(Rp cosα). F èla forza che si scambiano le dentature e che in questo caso coincide con la forzasul dente poiché nel centro istantaneo di rotazione resta in presa una sola coppiadi denti. I raggi di curvatura locali delle evolventi ρc, ρp sono pari alle distanzedel centro istantano di rotazione dai punti di tangenza della retta d'azione con lecirconferenze di base. Sarà quindi (vedi gura 12.14 del testo, che però riguardadue dentature esterne):

TC = ρc = Rc senα ; T ′C = ρp = Rp senα .

Il modulo di Young equivalente, essendo entrambe le dentature in acciaio, si puòscrivere:

Eeq =E

2(1− ν2).

Quindi la pressione hertziana di contatto - che sarà la stessa sul pignone e sullacorona - calcolata nel centro istantaneo di rotazione è data dalla:

pHz =

√F Ko Km Kv

π bcEeq

(1

ρp− 1

ρc

).

Per quanto riguarda la tensione alla base dei denti, calcolata nell'ipotesi che il con-tatto avvenga nel punto superiore di singolo contatto, si ottengono rispettivamenteper i denti del pignone e per quelli della corona:

σp =Ft Ko Km Kv

m bp Jp; σc =

Ft Ko Km Kv

m bc Jc,

dove per la forza tangenziale si prenderà: Ft = M/Rp.Sostituendo i dati dell'esercizio si trovano i seguenti valori:

pHz = 1549 MPa ; σp = 798 MPa ; σp = 780 MPa .

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I valori qui calcolati sono molto alti rispetto ai limiti dell'attuale tecnologia, soprat-tutto nel caso che fosse richiesta una lunga durata dell'ingranaggio a pieno carico(si vedano i limiti di resistenza riportati nelle Appendici ai capp. 4 e 5 e l'osserva-zione circa la relazione tra durezza e resistenza a fatica superciale al termine delparagrafo 5.8).Per ridurre queste sollecitazioni ed assicurare un'adeguata durabilità sarebbe utileallargare i denti (aumentare b), tuttavia, poichè il pignone sarà montato necessa-riamente a sbalzo, ciò potrebbe peggiorare le condizioni di contatto (aumento diKm).

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12.4 Calcolare il prodotto tra la velocità di strisciamento e la pressione her-tziana all'inizio del contatto in accesso di un ingranaggio cilindrico con dentaturaesterna. Dati: modulo m = 3 mm; angolo di pressione α = 20; numero di dentiZ1 = 21, Z2 = 65; velocità di rotazione del pignone n1 = 1500 giri min−1.

Il modello che riconduce il contatto tra i denti ad evolvente a quello di cilindriad assi paralleli, già utilizzato nel precedente esercizio, permette di determinare lostrisciamento, che è pari a quello che si manifesterebbe tra questi cilindri se cia-scuno di essi rotasse intorno al proprio centro (i punti T o T') con la velocità dirotazione della rispettiva ruota dentata (vedi gura 12.9).Nel punto A in cui inizia il contatto tra il anco del dente del pignone moto-re e la testa del dente della ruota, i raggi di curvatura di questi cilindri sonorispettivamente:

ρ1 = TA = TT ′ − T ′A , ρ2 = T ′A =√R2

2e − R22b ,

dove TT ′ = (R1 + R2)senα, R1 = mZ1/2 , R2 = mZ2/2 , R2e = R2 + m, R2b =R2 cos α .La pressione hertziana nel punto A sarà:

pHz =

√C F Ko Km Kv

π bEeq

(1

ρ1+

1

ρ2

),

dove F è la forza scambiata tra le dentature e 0 < C ≤ 1 denisce l'aliquotadi questa forza che grava sulla coppia di denti che entra in contatto, riducendocosì la sollecitazione sull'altra coppia di denti che è di già in presa. In primaapprossimazione si può porre C = 0, 5 se l'ingranaggio è preciso e C = 1 se èimpreciso.Per quanto riguarda la velocità di strisciamento essa sarà, secondo il modello deicilindri rotanti detto prima:

vs = ω2 ρ2 + ω1 ρ1 .

Assumendo i dati dell'esercizio 3 sia per quanto riguarda la coppia agente sul pi-gnone sia per il materiale, ponendo b = 10m ed introducendo i restanti dati comesopra indicato si trova:

pHz = 91 MPa , vs = 1, 6 m/s , pHz vs = 150 MPa m/s .

Assumendo un coeciente di attrito f = 0, 06, valore comune per ingranaggi benlubricati, si ottiene una potenza specica dissipata pari a f pHz vs = 9W/mm2 .

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12.5 Calcolare in prima approssimazione le perdite per attrito di un ingranag-gio riduttore costituito da due ruote a dentatura dritta. Dati: potenza in ingressoPm = 50 kW, numero di giri in ingresso: n1 = 1500 g/min, modulo m = 3 mm;larghezza delle dentature b = 10m = 30 mm; numeri di denti: Z1 = 21; Z2 = 65;angolo di pressione: α = 20.

Vi sono vari modelli per calcolare le perdite per attrito, tra cui quello riportatonel paragrafo 12.11. Secondo quest'ultimo modello la perdita media di potenza Paattribuibile allo strisciamento di ogni coppia di denti è data dalla:

Pa = Pm1

AB

∫ B

Af

1

cosα

F

Fmaxvpvsvpdx ,

dove AB è la lunghezza del segmento dei contatti (vedi esercizio N.1). Il coeciented'attrito è variabile, riducendosi vistosamente nell'intorno del centro istantane dirotazione C, dove il moto relativo è di puro rotolamento. Qui si assume un valorecostante del coeciente d'attrito f ≈ 0, 06 che è un plausibile valore medio peril coeciente di attrito cinetico in un ingranaggio ben lubricato. F è la forzavariabile scambiata tra i denti e Fmax è la forza scambiata tra i denti di una singolacoppia in presa. La velocità di strisciamento vs ed il suo rapporto con la velocitàperiferica vp devono essere determinati, come si è visto nell'esercizio precedente.Dal punto di vista dello strisciamento il segmento dei contatti si divide in unaparte in accesso AC ed una in recesso CB, nei quali la velocità di strisciamentovaria linearmente, assumendo valori massimi e di verso opposto alle due estremità.Qui interessa solo il suo valore assoluto.Per quanto riguarda la forza, si può suddividere il segmento dei contatti in treparti AH HK KB delimitati dai punti di inizio e ne del contatto e dai due puntiinferiore e superiore di singolo contatto tra i denti.Sarà AK = HB = pb, perciò AH = KB = AB− pb, HK = 2 pb − AB.Nei tratti AH e KB si assume di regola che, negli ingranaggi precisi ed in condizioniquasi statiche, la forza vari tra circa 1/3 e 2/3 del valore massimo per eetto dellavariazione delle rigidezze delle due coppie di denti simultaneamente in presa. Persemplicità qui si assume che resti costante e che sia F = 0, 5 Fmax.Poichè il raggio del pignone è R1 = mZ1/2 la velocità periferica dell'ingranaggiosarà:

vp = ω1 = R1 =2π n1

60mZ1

2.

Con i dati dell'esercizio si trova: vp = 4, 95 m/s.La velocità di strisciamento è nulla nel centro istantaneo di rotazione ed assume iseguenti valori massimi all'inizio ed alla ne del contatto:

vs,A = ω2 ρ2,A − ω1 ρ1,A , vs,B = ω2 ρ2,B − ω1 ρ1,B ,

dove:

ρ1,A = TA = TT ′ − T ′A = (R1 +R2)senα− T ′A ; ρ2,A = T ′A =√R2

2e − R22b ,

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ρ1,B = TB =√R2

1e − R21b ; ρ2,B = T ′B = TT ′ − TB .

La lunghezza del segmento AB dei contatti si trova tramite la relazione, già usatain precedenza:

AB =√R2e1 −R2

b1 +√R2e2 −R2

b2 − a senα .

Con i dati dell'esercizio si trovano:

TA = 18 mm , T ′A = 26 mm , TB = 41 mm , T ′B = 3 mm , AB = 15 mm .

I corrispondenti valori estremi del rapporto vs/vp sono 0,29 in A e 0,33 in B.Conviene suddividere l'integrazione in quattro parti corrispondenti ai segmenti AH,HC, CK, KB.Sostituendo i valori numerici, si ottiene2 Pa = 687 W per cui il rendimento è:

η =Pm − Pa

Pm= 1 − Pa

Pm= 0, 986

Questo valore rientra tra quelli comunemente osservati in questi casi. E' infattispesso giusticata la regola pratica di approssimare con la potenza dissipata in ogniingranamento tra due ruote dentate al 1% della potenza entrante nell'ingranaggio.Questo modello non permette di fare agevolmente una distinzione tra la fase diaccesso e quella recesso. La seconda è invece più favorevole della prima, dal puntodi vista della lubricazione e dell'attrito, così che si possono ottenere miglioramentidel rendimento ampliando, grazie alla correzione dei denti, la fase di contatto inrecesso.

2Si possono ottenere valori leggermente diversi eseguendo lintegrazione per via numerica

tramite un foglio di calcolo oppure seguendo in metodo diretto.

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12.6 Calcolare il rapporto di riduzione tra l'albero del motore e quello dell'elicariferendosi alla gura 12.32 del testo. Dati: semiangolo al vertice del cono primiti-vo della ruota conica motrice γ1 = 79; semiangolo al vertice del cono primitivodella ruota conica solidale con la carcassa γ2 = 37. Supponendo che l'elica - nonmostrata nella gura - eserciti una forza traente F ed una coppia resistente Mr

attorno all'asse di rotazione e che il motore trasmetta unicamente una coppia Mm,eettuare qualitativamente l'analisi dei carichi per questo riduttore.

Il rapporto di trasmissione del rotismo ordinario che si otterrebbe bloccandoil portatreno (l'albero dell'elica) e consentendo la rotazione della ruota dentataconica 2 (che qui è solidale alla carcassa) sarebbe negativo (il verso delle due ruotesarebbe opposto). Il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario è infattipari a:

i0 =ω1

ω2= −R1

R2= −L senγ2

L senγ1= −0, 613.

Adottando la formula di Willis, il rapporto di trasmissione tra l'albero motore el'albero dell'elica, che ruota con velocità Ω, è dato dalla3:

i =ω1

Ω= 1 +

senγ2senγ1

= 1, 613.

Per quanto riguarda l'analisi dei carichi, si ricorda in primo luogo la necessità diesaminare singolarmente:

• carichi di servizio (qui: trasmissione della potenza all'elica e trasmissionedella forza di tiro dell'elica al telaio)

• carichi di peso proprio

• carichi dovuti all'inerzia dipendenti sia dal moto dei componenti (qui: forzecentrifughe dovute alla rotazione del riduttore, ivi compresi gli eetti del-l'imperfetto equilibramento, coppie giroscopiche relative a questo moto) siaal moto della piattaforma (qui: accelerazioni dovute alle manovre dell'aereoe relative azioni giroscopiche)

• carichi attribuibili a oscillazioni e vibrazioni (qui, ad esempio, l'analisi armo-nica della coppia motrice Mm rivelerebbe componenti periodiche dovute alciclo di funzionamento di ogni cilindro del motore alternativo, dal numero deicilindri e dalla loro disposizione costruttiva)

• carichi dovuti all'attrito (qui trascurabili, grazie ai cuscinetti volventi)

• carichi dovuti all'ambiente (qui limitati alle azioni dell'aria che lambisce lacarcassa del riduttore)

3Nelle versioni precedenti questi motori Piaggio azionavano l'elica in presa diretta; ciò giustica

il basso valore del rapporto di riduzione.

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• carichi di origine termica (qui presumibilmente trascurabili, quando il ridut-tore abbia raggiunto il suo regime termico)

• carichi occasionali od accidentali (ad esempio dovuti all'impatto di un volatilecon l'elica).

Nel seguito, per semplicità, si considerano solo i carichi di servizio e quelli d'inerziadovuti alla rotazione del riduttore.Data la coppia motrice Mm, supposta costante, la coppia resistente sarà Mr =Mm i η dove η < 1 è il rendimento meccanico complessivo del riduttore.Su ogni ruota dentata conica la trasmissione della potenza determina una forzache per convenienza si usa rappresentare tramite tre componenti: Ft tangenziale,Fr radiale, Fa assiale; quest'ultima nelle ruote a denti dritti e, di regola, anche inquelle spiroidali è diretta verso la base maggiore del cono. Nota la coppia M sitrova la forza tangenziale Ft = M/(n R) dove n rappresenta il numero delle lineedi usso della potenza ed R il raggio medio della ruota. Qui n = 3 poiché vi sonotre satelliti e tre linee di usso della potenza. Le altre componenti Fr, Fa sonolegate a Ft da relazioni che tengono conto della geometria della ruota dentata (vediparagrafo 12.9.2).Il tiro dell'elica si può rappresentare come una forza normale di trazione applicataall'albero dell'elica, che sarà equilibrato dalla reazione dei due cuscinetti a sfere chelo vincolano alla carcassa.4

Esercizio 12.6gura 12.6.1 - Carichi e reazioni agenti sull'assieme.

4In determinati assetti di volo l'elica può generare anche una forza trasversale all'asse.

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gura 12.6.2 - Carichi e reazioni agenti sul portatreno ed i satelliti

gura 12.6.3 - Carichi e reazioni sulla carcassa e sulle ruote dentate coniche.

Nella gura 12.6.1 sono mostrati i carichi di servizio che agiscono sull'assiemedel riduttore ed i carichi e le reazioni vincolari che riguardano i componenti prin-cipali.Poichè la rotazione dell'albero dell'elica ha lo stesso verso di quella del motore,la coppia resistente dell'elica Mr sarà di verso opposto a quella Mm del motore.Dall'equilibrio dell'assieme si trovano le reazioni vincolari, costituite dalla forzarisultante Rv uguale ed opposta alla forza F e dalla coppia Mv = (Mr − Mm) ilcui verso appare nella gura 12.6.1.Nelle gure 12.6.2 e 12.6.3 sono mostrati i componenti principali e le forze esternee di reazione agenti su di essi.Su ogni satellite, che ingrana con le ruote coniche 1 e 2, agiscono due forze tan-genziali concordi Ft unitamente alle componenti radiali Fr e assiali Fr. Le primesi equilibrano tra loro, la risultante delle seconde è equilibrata dalla reazione delcuscinetto reggispinta a sfere, che trasmette questa forza di trazione al tappo -

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lettato all'estremità di ogni braccio portasatelliti, solidale all'albero dell'elica. Ilcuscinetto di strisciamento con lubricazione idrodinamica che vincola radialmenteogni satellite trasmette analogamente la risultante delle due forze Ft al rispettivobraccio portasatellite, generando così una coppia che è equilibrata dalla coppia direazione dell'elica.Sull'albero dell'elica agiscono inoltre la forza di tiro dell'elica F e la forza di tra-zione 3Fa1 esercitata dalla risultante delle forze assiali agenti sulla ruota conica 1.Questa è collegata all'albero motore tramite un manicotto dotato sia di un accop-piamento scanalato conico interno, che riceve il moto del motore, sia di un altrodi forma cilindrica esterno che si accoppia con la ruota 1. La spinta assiale è tra-smessa ad un cuscinetto reggispinta e da questo all'estremità lettata esternamentedell'albero.L'equilibrio in direzione assiale dell'albero dipende anche dalle componenti lungotale asse delle forze 2Fa applicate a ciascun braccio, che equilibrano la forza 3Fa1.Dall'equilibrio dell'assieme si sa infatti che i cuscinetti volventi che sostengono l'al-bero sono sollecitati unicamente dalla forza F , che i cuscinetti trasmettono allacarcassa. Quest'ultima riceve la coppia dovuta alla ruota 2 tramite una bussoladotata di accoppiamento scanalato, che si impegna con quello della ruota 2. Lacoppia torcente dovuta alla ruota 2 sarà equilibrata da quella di reazione Mv chela carcassa riceve dal telaio.L'equilibrio delle ruote coniche 1 e 2, descritto in precedenza, è illustrato nellagura 12.6.3, unitamente a quello degli altri componenti.

Per quanto riguarda i carichi inerziali dovuti ad una rotazione a regime costante,con aereo in volo rettilineo ed uniforme, vi sono forze centrifughe Fc = ms r Ω2,che tendono ad allontanare il baricentro dei satelliti dall'asse, dove r è la distanzadel baricentro dall'asse e ms la massa del satellite e delle parti solidali ad esso (es.:anelli dei cuscinetti).Vi sono inoltre coppie giroscopiche agenti sugli stessi satelliti. Dalla Meccanica siconosce la relazione ~Mg = J ~ωs × ~Ω che fornisce la coppia giroscopica; J è ilmomento d'inerzia del satellite rispetto al suo asse di rotazione (asse giroscopico),ωs è la sua velocità di rotazione e Ω, velocità angolare del portatreno, corrispondealla velocità angolare di precessione.Queste forze e queste coppie, che avranno per simmetria risultanti complessivenulle (se si trascurano le inevitabili dierenze tra i satelliti), solleciteranno però icuscinetti ed i bracci dell'albero.

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12.7 Mostrare, completando il disegno in gura, come si potrebbe montarel'albero di un pignone conico dotato di cuscinetti a rulli conici in modo che siapossibile registrare indipendentemente il precarico sui cuscinetti e la posizione delvertice del cono primitivo.

Esercizio 12.7; in rosso si indica la soluzione proposta

Il precarico dei cuscinetti conici può essere ottenuto tramite una ghiera, comesi è già visto al Capitolo 9. Per evitare che nel serraggio di questa ghiera si superiil valore di precarico specicato si può inserire tra i due anelli interni un distanzialepreciso e non eccessivamente rigido, come è indicato con la linea a tratti.Le dentature coniche richiedono che i vertici dei coni primitivi coincidano entrostrette tolleranze. Volendo ottenere questa coincidenza tramite un'operazione diaggiustaggio, si può montare il pignone ed i suoi cuscinetti su un cannotto apposito,qui indicato in rosso, che può essere leggermente spostato in direzione assiale e lacui posizione denitiva può essere ssata per mezzo di un anello retticato, diopportuno spessore.L'ingranamento corretto e la messa a punto dello spessore ottimale possono essereottenuti facendo ingranare sotto carico le dentature dopo avere colorato le facce deidenti di una di esse (es.: con il blu di Prussia ovvero ferrocianuro ferrico) o dopoaverle ricoperte di materiale tenero ed aderente (es.: rame). Dalle tracce colorate odi usura si possono ricavare informazioni sull'errore eventualmente da correggere.

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12.8 Tradurre il disegno del riduttore planetario della gura 12.33 del testo inuno schema adatto a determinare i carichi sui componenti, con particolare atten-zione ai tre satelliti. Calcolare il rapporto di trasmissione e le forze trasmesse dalledentature corrispondenti ai seguenti dati: coppia resistente Mr = 1000 Nm; mo-dulo delle dentature m = 4 mm; numeri di denti del pignone Zp = 27, dei satellitiZs = 36 e della corona Zc = 99; larghezza di ciascuna dentatura elicoidale b = 63mm; angolo di inclinazione dell'elica β = 15.

Esercizio 12.8gura 12.8.1 - Carichi e reazioni agenti sull'assieme.

gura 12.8.2 - Carichi sul contro albero e sul pignone motore.

La gura del testo, qui riporata come gura 12.8.1, mostra un riduttore plane-tario con tre satelliti a dentatura elicoidale. I satelliti sono montati tramite perni

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gura 12.8.3 - Carichi sui satelliti, sui perni, sulle corone e sull'anello di vincolo.

e cuscinetti a lubricazione idrodinamica su un robusto portatreno sostenuto a suavolta da due cuscinetti a lubricazione idrodinamica. Tale soluzione è idonea perun impiego quasi ininterrotto a regime quasi costante (comando di macchine ope-ratrici a uido, applicazioni navali).Il pignone e la corona a dentatura interna sono montati ottanti (soluzione iso-statica di Stoeckicht, 1940). Il pignone riceve il moto ed il momento motore Mm

tramite un cannotto (o contro-albero, quill shaft) che reca di pezzo le dentaturedei giunti a denti, rispettivamente esterni ed interni, posti alle due estremità.La corona è sdoppiata, con dentature interne elicoidali nell'uno e nell'altro versoche ingranano con i satelliti; ciascuna corona è ottante ed è collegata tramite den-tature ad un anello destinato a vincolarle assialmente, per mezzo di anelli elastici,ed a trasmettere la coppia di reazioneMv alla carcassa tramite apposite dentature.Questo anello è perforato per consentire all'olio che vi si raccoglie, anche per viadella forza centrifuga, di deuire nella carcassa, da cui viene aspirato e rimesso incircolo tramite un impianto di lubricazione esterno, non mostrato dal disegno.Il portatreno è reso solidale all'albero di uscita tramite una sede di centraggio eduna corona di viti mordenti.Il rapporto di trasmissione di questo riduttore è dato (vedi paragrafo 12.12.1) dalla:

u = ω/Ω = 1 + (Z3/Z1) = 1 + (99/27) = 4, 667 .

dove ω è la velocità angolare del pignone motore e Ω quella concorde del portatre-no, collegato all'uscita.Assumendo un rendimento complessivo η = 0, 98, valore plausibile per via delmigliore rendimento degli ingranaggi interni e per la presenza dei cuscinetti idro-

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gura 12.8.4 - Carichi sul portatreno e sull'albero di uscita.

dinamici, il momento motore necessario sarebbe:

Mm =Mr

u η= 219 Nm .

L'analisi dei carichi si può eettuare nel modo già visto nell'esercizio N.6.I carichi dovuti al peso proprio del sottoassieme costituito da portatreno, satelliti,perni ed albero di uscita sollecitano i cuscinetti e provocano una coppia ettenteche si trasmette anche tramite il collegamento a viti, unitamente alla coppia tor-cente.I carichi inerziali sono dovuti alle forze centrifughe. Quelle che agiscono sui satellitideterminano, unitamente ai carichi di servizio, i carichi a cui sono complessivamen-te sottoposti i cuscinetti e i perni dei satelliti, i quali sono tra i componenti piùsollecitati di questo riduttore.Nel seguito si quanticano unicamente i carichi di servizio, assumendo cautelativa-mente che la coppia resistente sia data dalla M ′r = Mm u = 1020 Nm.Nell'ipotesi di una perfetta ripartizione della potenza lungo le tre linee di ussopreviste, le forze agenti su ogni dentatura elicoidale sono le seguenti:

Ft =2Mm

3Dp,

Fr = Fttgαncosβ

,

Fa = Ft tgβ.

dove αn è l'angolo di pressione riferito alla sezione normale dei denti, che qui siassume pari a 20 e Dp = mZp = 108 mm. Con i dati di cui sopra si trovano:

Ft = 1350 N ; Fr = 509 N ; Fa = 362 N .

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Queste forze sollecitano tutte le dentature. Si noti che le forze assiali agenti sulledue fasce dentate sia del pignone che dei satelliti hanno verso opposto, equilibran-dosi a vicenda.Sui cuscinetti dei satelliti, sui perni e sul portatreno la risultante delle forze tan-genziali è pari a 2 Ft = 2700 N. Ciascuna di queste forze agisce ad una distanzaR = m (Zp + Zs)/2 = 126 mm dall'asse di rotazione ed una coppia risultanteM = 3 · 2 Ft R = 1020 Nm = M ′r come è ovvio.Le forze tangenziali agenti sulle corone a dentatura interna si trovano ad una di-stanza R∗ = m (Zp/2 + Zs) = 198 mm dall'asse di rotazione, determinando lacoppia di reazione Mv = 3 Ft R

∗ = 801Nm = M ′r − Mm, come è richiesto dallecondizioni di equilibrio dell'assieme.

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12.9Mostrare con un disegno schematico l'adozione del concetto di ripartizionedel usso della potenza in un riduttore a ingranaggi cilindrici a due stadi. Disegnarequindi una plausibile soluzione costruttiva, mostrando il montaggio degli alberi edelle ruote dentate di questo riduttore.

Esercizio 12.9

Si possono moltiplicare le linee di usso della potenza, come è mostrato dalloschema posto sulla sinistra della gura 12.9.1. In questo modo il carico su ognidente è teoricamente ridotto secondo il rapporto

F =2M

q D,

dove M è la coppia corripondente alla potenza ed al numero di giri assegnati, D èil diametro primitivo e q è il numero delle linee di usso di potenza eettive.Nell'esempio 12.6 si è dimostrato che, a parità di materiale, di numero di dentie di proporzionamento generale delle dentature, il diametro D del pignone di unriduttore con tre linee di usso della potenza dovrebbe essere teoricamente:

D = D0/3√

3 ,

dove D0 è il diametro del corrispondente pignone del riduttore a singola linea diusso della potenza.Infatti si può scrivere, per la resistenza a rottura dei denti:

Ft0b0 m0 J

=Ft

b m J→ 2M Z

(b0/m0)D30 J

=2M Z

3 (b/m)D3 J,

e imponendo b0/m0 = b/m ed essendo Z, J invariati si arriva alla condizioneD = D0/

3√

3 detta prima. Ad analoghe conclusioni si arriva considerando laresistenza a fatica superciale.Con la moltiplicazione delle linee di usso di potenza è quindi possibile ridurregli ingombri complessivi ed il peso di un riduttore (o di un moltiplicatore) e talevantaggio può superare, anche dal punto di vista del costo, la maggiore complessitàdell'ingranaggio.

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gura 12.9.1 - Disposizione con tre linee di usso e possibile soluzione costruttiva.

Adottando un ingranaggio planetario (vedi esercizio N.8) si potrebbe sfrutta-re sia l'eetto della moltiplicazione dei ussi di potenza sia l'eetto dell'aumen-to di una unità del rapporto di trasmissione, a parità di altri fattori; infatti:ω1/Ω = [1 + (Z3/Z1)] (vedi paragrafo 12.12.1). L'ingombro e peso di un in-granaggio planetario sono infatti teoricamente minori di quelli del corrispondente

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ingranaggio con un pari numero di linee di usso ma con assi ssi.A livello di progetto concettuale, per ridurre ulteriormente gli ingombri ed i pesisi può valutare la possibilità di un aumento del numero delle linee di usso dellapotenza ed inoltre si potrebbe aumentare il valore del rapporto b/m (o b/D) tra lalarghezza ed il modulo (o il diametro) dei pignoni, grazie all'assenza di inessionedell'albero indotta dalle forze sulle dentature.Anchè la ripartizione della potenza sulle tre linee di usso sia uniforme occor-re adottare una straordinaria precisione di costruzione e di montaggio oppure unasoluzione isostatica, tale da favorire lo spontaneo adattamento del pignone e dell'ul-tima ruota condotta alle altre ruote dentate. Quest'ultima soluzione è preferibile,perché è intrinsecamente più robusta, nel senso indicato al Capitolo 1.Nella gura di destra si indica una possibile soluzione costruttiva (non particolar-mente leggera) di questa natura.Sia il pignone motore, sia la ruota condotta nale, entrambi rappresentati con ilcolore blu, sono montati in modo ottante. Il pignone è azionato dall'albero diingresso del moto tramite un accoppiamento scanalato. Gli spostamenti assialisono impediti da un lato con un anello elastico dall'altro tramite il contatto diun'estremità sagomata del pignone. La ruota è montata con gioco sull'albero diuscita tramite uno scanalato ed è impedita di traslare assialmente tramite un anelloelastico ed un tappo avvitato all'albero.Il disegno dovrebbe essere migliorato sia dal punto di vista della lubricazione (lalubricazione a sbattimento delle ruote e dei cuscinetti posti superiormente potreb-be non essere adeguata), sia dal punto di vista della leggerezza (carcassa, alberi ecorpi ruota alleggeriti).