Post on 07-Feb-2021
Effective interactions between a CP-even scalar and SM gφ aauge fields
effL = + +
≡ ∂
11 2 3
Λφ µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν µ
( )k k kB B W W G G
B
a a a a
BB B W W W g W W
B c A s Z W s A
a a a abc b c
W W W
ν ν µ µν µ ν ν µ µ ν
µ µ µ µ
ε− ∂ ≡ ∂ − ∂ +
= − =
,
,
2
3
µµ µ µ µ µ
θ θ
+
=
+
=
+
≡
≡ ≡
±c Z
cg
g gs
g
g
W W iWW
W W W W
, ( )
cos , sin
1
2
1 2
2
1
2
2
2
1
1
2
∓
gg
B B B c A s Z
W W W g W W
W W
bc b c
2
2
3 3 3
2
3
µν µ ν ν µ µν µν
µν µ ν ν µ µ νε
= ∂ − ∂ = −
= ∂ − ∂ − == + − +
∂ − ∂ ∂ − ∂≡ ≡
s A c Z g W W g W W
A A A Z Z Z
W Wµν µν µ ν µ ν
µν µ ν ν µ µν µ ν ν µ
2
1 2
2
2 1
,
BB B
W W
c A A s c A Z s Z Z
s A A
W W W W
W
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
= − +
+⊃
2 2
23 3
2
22 2
1 2
3 3
s c A Z c Z Z
A A k Ak B B k W W k
W W Wµν
µν
µν
µν
µν
µν
µνµν
µν
µν
µν
+
++ ⊃ AA AZ ZZ Z Z
c s k s c s
k
k k k k k k k kW W W W W
µν
µν
µν+
+ − +≡ ≡ ≡
ZZ
AA ZZAZ1 2 2 1 1
2 2 22, ( ), 222
2
c
A A A A A A A A A A
A
W
µν
µν
µ ν ν µ
µ ν ν µ
µ ν
µ ν
µ ν
ν µ
µν
= ∂ − ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂( )( ) ( )
ZZ A A Z Z A Z A Z
Z Z
µν
µ ν ν µ
µ ν ν µ
µ ν
µ ν
µ ν
ν µ
µν
µν
µ
= ∂ − ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂
= ∂
( )( ) ( )
(
2
ZZ Z Z Z Z Z Z Z
W W W W
ν ν µ
µ ν ν µ
µ ν
µ ν
µ ν
ν µ
µν
µν
µν
µν
− ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂
+
)( ) ( )2
1 1 2 2== + + − −− =
+ − + − + − + −1
2
1
22( )( ) ( )( )F F F F F F F F F Fµν µν
µν µν
µν µν
µν µν
µν
+ −−
− + ++ = ∂ − ∂ ∂⊃
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µν
µ ν ν µ
µk k F F kW W W W W W W2 2 21 1 2 2 2 2( ) ( )(+ −− −
+ − + −
− ∂
∂ ∂ − ∂ ∂
∂ ∂
=
⊃
ν ν µ
µ ν
µ
µ ν
ν
µ ν
ν µ
µν
µν
W
G
k W W W W
k G G ka a a
)
( )
(
4
2
2
3 3
µµ ν
µ ν
ν µG G Ga a a− ∂ ∂ )
Feynman rules
AA
L ⊃
⊃
+ +1
2
1 2 3Λ
Λ
φ
φ
µν
µν
µν
µν
µν
µν( )
[
k k kB B W W G G
k
a a a a
(( ) ( )
(
∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂
+ ∂ ∂
µ ν
µ ν
µ ν
ν µ
µ ν
µ ν
µ ν
ν µ
µ ν
µ ν
A A A A k A Z A Z
Z Zk
2
2
AZ
ZZ −− ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂
+ ∂ ∂ − ∂
+ − + −
µ ν
ν µ
µ ν
µ
µ ν
ν
µ ν
µ ν
µ ν
ν µZ Z
G G G
k W W W W
k a a
) ( )
(
4
2
2
3
aa aG
ip
∂
∂ → −
ν µ
µ µ
φ
)
:
## (
]
For momenta pointing into the vertex
qq X p X p
A p A p k
) ( ) ( ) ##
( ) ( ) (
− −
∂→
1 1 2 2
1 2 2
µ ν
µ νφφ
Feynman rules
AAΛ
µµ ν
µ ν
µ ν
ν µ
ρσ µν
ρ µ σ ν
ρσ νµ
ρ ν σ µ
ρφ
A A A A
g g A A g g A A gk
∂ − ∂ ∂
∂ ∂ + ∂ ∂ −→
)
(2 AAΛ
νν µσ
ρ µ σ ν
ρµ νσ
ρ ν σ µ
ρσ µν
ρ σ
g A A g g A A
ig g ip ip
k
∂ ∂ − ∂ ∂
− − +→
)
[ ( )( )2
1 2AA
Λgg g ip ip g g ip ip g g ipρσ νµ ρ σ
ρν µσ
ρ σ
ρµ νσ
ρ( )( ) ( )( ) ( )(− − − − − − − −2 1 1 2 2 iip
ig p p p p
Z p Z pi
g p
k
k
1
1 2 2 1
1 2
4
4
σ
µν µ ν
µ ν
µνφ
)]
( )
( ) ( ) (
= −
→ −
⋅ −AA
ZZ
Λ
Λ11 2 2 1
1 2 2 2
⋅ −
∂ ∂ − ∂ ∂→ =
p p p
A p Z p k A Z A Z k
µ ν
µ ν µ ν
µ ν
µ ν
ν µφφ φ
)
( ) ( ) ( )AZ AZΛ ΛΛ
Λ
( )
( )( )(
g g g g A Z
ikg g g g ip ip
ρσ µν ρν µσ
ρ µ σ ν
ρσ µν ρν µσ
ρ
− ∂ ∂
− − −→2
1AZ
22 1 2 2 1
1 2 1
2
4
σ
µν µ ν
µ ν
µνφ
) ( )
( ) ( ) (
= − ⋅ −
− ⋅→+ −
ikg p p p p
W p W pik
g p
AZ
2
Λ
Λpp p p
G p G pi
g p p p pka a
2 2 1
1 2 1 2 2 1
4
−
⋅ −→ −
µ ν
µ ν
µν µ νφ
)
( ) ( ) ( )3
Λ
CP-even Decay widths
kinematics
φ
φ
φ
( ) ( ) ( )q p X pX
m q
→
= =
+12 2
1 2 2
(( )
( )
| |
p p m m p p
p p m m m
mm
1 2
2
1
2
2
2
1 2
1 2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
+ = + + ⋅
⋅ = − −
= −
φ
φ
φp (( ) ( )
( ), |
m m m m m
m m m p p m mX X
1 2
2 2
1 2
2
1 2 1 2
2 21
22
+ − −
= = → ⋅ = −
φ
φ pp p1 22 2 2 2
2 1 2
21 4
21 4
01
2
| | | / , /
(
= = − = ≡ −
= → ⋅ =
mm m
mm m
m p p m
X X X X
φ
φ
φ
φη η
φφ
φ
φ
φ
φξ ξ ξ2 1
2
2
1
2
1 2
2
1
2
1
2
12
11
2 21− = − = = − = −m
m
mm m
m) ( ), | | | | ( ) ( ),p p ≡≡
= = → ⋅ = = =
→ =
m
m
m m p pm m
X X n
1
1 2 1 2
2
1 2
1 21
02 2
1
8
φ
φ φ
φπ
, | | | |
( )| |
p p
pΓ id
mm
X
X
i
n
X
X
q p p
φ
φ γ γ
2
22
2
1
1
1 2
1
1
2
| | ,,
,
( ) ( ) ( )
M
M
spins
id∑ =
+
≠
=
→
= −−
=
⋅ −
⋅
4
4
1 2 2 1 1 2
1
ig p p p p p p
ig p
k
ik
AA
AA
Λ
Λ
( ) ( ) ( )
) ((
* *
*
µν µ ν
µ ν
ρσ
ε ε
M pp p p p p
g p p p pk
2 2 1 1 2
2 1 2 2 1
2216
−
⋅ −=∑
ρ σ
ρ σ
µν µ ν
ε ε) ( ) ( )
(| |Mspins
AA
Λ))( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *g p p p p p p p p
k
ρσ ρ σ
µ ρ ν σε ε ε ε1 2 2 1 1 1 2 2
216
⋅ −
=
∑spins
AA
ΛΛ
Λ
2 1 2 2 1 1 2 2 1
2
216
( )( )( )( )g p p p p g p p p p g g
k
µν µ ν ρσ ρ σ
µρ νσ⋅ − ⋅ − − −
= AA (( )( ) [ ( )g p p p p g p p p p p p pkµν µ ν
µν µ ν1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2
1
2216
2⋅ − ⋅ − ⋅ += AAΛ
pp
p pk k m
m
2
2
2 1 2
2
2
2 2 4
1
2
2
32 8
1
2
1
8
]
( )
( )| |
| |
= ⋅ =
→ =
AA AA
s
Λ Λ
Γ
φ
φ
φ γγπ
pM
ppins
AA AA∑ = =1
2
1
8
1
2
8
42
2 4 2 3
2 2π πφ
φ φ φ
m
m k m k m
Λ Λ
φ
µν µ ν ρσ
( ) ( ) ( )
( )(| |
q Z p Z p
g p p p p g pk
→
=
+
⋅ −∑
1 2
2 1 2 2 1 1
2216
M
spins
ZZ
Λ⋅⋅ − − +
− +
=
p p p gp p
mg
p p
m
k
Z Z
2 2 1
1 1
2
2 2
2
16
ρ σ
µρ
µ ρ
νσν σ)
ZZ
22 22 2 2
2 1 2
2
1
2
2
2
2
42 216 1
42
8
Λ Λ[ ( ) ] ( )p p p p m
km m
kZ Z⋅ + = +
=−ZZ φZZZ ZZ2
4 2 2 4
2 4
2 4
2 24 6
84 6
1
2
1Λ Λ
Γ
( ) ( )
( )
m m m mk m
ZZ
Z Z Z Zφ φ
φξ ξ
φ
− + − +
→ =
=
11
8
1
2
1
8
1
2
84 611
2
2
2
2 4
2 4
2π πη ξ ξ
φ φ
φ φ| || | (
p
m m
m k mZ Z ZM
spins
ZZ∑ = − +Λ )) ( )
( ) (
/ , /
= − +
≡ − ≡
→
k m
m m m m
q
Z Z Z
X X X X
ZZ
2 3
2 4
2 2
244 6
1 4
1φ
φ φ
πη ξ ξ
η ξ
γφ
Λ
pp Z p
g p p p p g p p pk
1 2
2 1 2 2 1 1 2 2
224
) ( )
( )(| |
+
⋅ − ⋅ −=∑ Mspins
AZ
Λµν µ ν ρσ ρ pp g g
p p
m
p p p pk
Z
12 2
2
2 1 2
2
1
2
2
2242
σ
µρ νσν σ)( )
[ ( ) ]
− − +
= ⋅ + =AZΛ
44 1
412
2 22 2 2 22
2 2 2
2 4
2 2
2 2 2
km m
km m
k mZ Z Z
AZ AZ AZ
Λ Λ Λ( ) ( ) ( )φ φ
φξ− − −= =
ΓΓΛ
( )| |
| | ( ) (φ γπ π
ξφ φ
φ φ→ = = −∑Zm m
m k mZ
1
8
1
8
1
21
21
2
2
2
2
2 4
2
pM
spins
AZ11
81
1
2 2
2 3
2 3
2
2
1 2
− = −
→
=
++ −
∑
ξπ
ξ
φ
φ
Z Z
k m
q W p W p
) ( )
| |
( ) ( ) ( )
AZ
spins
Λ
M66 2
2 1 2 2 1 1 2 2 1
1 1
2
kg p p p p g p p p p g
p p
mW
2
Λ( )( )µν µ ν ρσ ρ σ µρ
µ ρ⋅ − ⋅ − − +
− +
= − +
→ =+ −
gp p
m
W W
k m
W
W Wνσν σ φ ξ ξ
φ
2 2
2 2
2 4
2 48
4 6
1
12
Λ
Γ
( )
( )88 2
4 6112
2
2 3
2 4
2
1
π πη ξ ξ
φ
φ
φ| || | ( )
( ) ( )
p
m
k m
q g p g
W W WM
spins
2∑ = − +
→ +
Λ
(( )
( )( )(| |
p
g p p p p g p p p pk
2
2 1 2 2 1 1 2 2 1
2216
M
spins
3∑ = ⋅ − ⋅ −Λµν µ ν ρσ ρ σ −− − =
→ = =∑
g g
gg
k m
m
k
µρ νσ
φ
φ
φπ
)( )
( )| |
| |
8
81
2
1
8
2
2 4
1
2
2
2
2
3
spins
3
Λ
Γp
Mmmφ
π
3
2Λ
CP-even scalar interactions with SM quarks and gluonsφ
L ⊃k33
Λφ φ
σ φ σ φ σ φ
σ
µν
µν
φG G y
pp gg
a a
q
q u d s c b
+
→ = → + →
∑
∑=
( ) ( ) ( ), , , ,
(( ) , ( )ggk
yqq qq→ ∝ → ∝φ σ φ φ3
2
2
2
Λ
Subprocesses of 1-body productioon
16.725 pb
TeV
For and TeV
Fo
pp
s
k gg
→
=
= = → =
φ
σ φ
13
0 1 13 . , ( )Λ
rr
pb
2.5063 pb
y
dd
uu
ss
qqφ
σ φ
σ φ
σ φ
=
→ =
→ =
→ =
0 1
1 5482
0 14
. ,
( ) .
( )
( ) . 3375
3
pb
0.098142 pb
0.044350 pb
8 TeV
For
σ φ
σ φ
( )
( )
cc
bb
s
k
→ =
→ =
=
== = → =
=
→ =
0 1 1
0 1
0
. , ( )
. ,
( ) .
and TeV
For
3.7830 pbΛ σ φ
σ φ
φ
gg
y
dd
557390
0 036763
pb
0.95271 pb
pb
0.02
σ φ
σ φ
σ φ
( )
( ) .
( )
uu
ss
cc
→ =
→ =
→ = 33507 pb
0.0095815 pbσ φ( )bb → =
S d x i D y d x i D y y
D igA M
M
M f
M
M f f
M M M
= − = − −
= ∂ −
∫ ∫5 5Ψ Γ Φ Ψ Ψ Γ Φ Φ Ψ( ) ( )
,
ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶff f f f
f
M
M
y
y y v yy
R
i i Di
= = =
= = = =∂ ∂
ɶɶ
Φ
Γ Γ Γ
φ
µ µ
µ
µ
π
γ µ γσ
,
( , , , ), ,0 1 2 3 5 5
ii
M i
i M
y
y f
y f
σ
σ
σ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
∂ −∂
∂ − ∂∂ −∂ −
Fermion EoM:
ΨΨΨ
Ψ Ψ
L
R
L a
n n
n
R
n a n
n
x f y x g y
=
= =∑ ∑
0
χ ξ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( )†ɺ
Norrmalization
Solution:
: [ ( )] [ ( )]( ) ( )dy f y dy g yR
nR
n
0
2
0
2 1π π
∫ ∫= =−mm ii m
x
xM
n
n
a
n
n a y f
σ
σ
χ
ξ
µ
µ
µ
µ
∂∂ −
= −∂ +
( )
( )
( )
( ), (
† ɺ0 )) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )f y m g y M g y m f y
M i
n
n
n
y f
n
n
n
y f L
= ∂ + =
∂ − + ∂Ψ σ µ µµµ
µχ σ ξ χ
ΨR
a
n
y f
n n a n
n a
nx M f y i x g y m→ ∂ − + ∂ = −( ) ( ) ( ) ( ) (( )( ) ( ) ( ) ( )† ɺ )) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
x g y i x g y
i M
i
n n a n
L y f R
+ ∂ =
∂ − ∂ +
→
σ ξ
σ
σ
µ
µ
µ
µ
µ
† ɺ 0
Ψ Ψ
∂∂ − ∂ + = ∂µµ
µχ ξ σ χan n n a
y f
n
a
nx f y x M g y i x f( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )†ɺ (( ) ( ) ( )
(
( ) ( ) ( )
( )
n
n
n a n
y f
y m x f y
m M f
− =
= −∂ +→
ξ †ɺ
0
0000 0
0 0
2
0 0
2
1
) ( )
( ) (
( ) , ( ) ( )
( ) ,
y M g y
f y gM
ee
y f
f
RM
M y
f
f
= ∂ + =
→ =−π
or 0 ))( )
( ) (
y
y
M
ee
f
RM
M y
R R
f
f=−
= =
−−2
1
0
2π or 0
Boundary condition Ψ Ψ yy R
f y g yM
eeL L
f
RM
M y
f
f
= =
==−
→
π
π
) :
( ) ( ),( ) ( )
0
02
1
0 0
2Left-handed 0--mode
n f yR
M n R
n
R
ny
RM
ny
RgL
n
f
f L≥ = ++
→1
22 2 2
( )( )/
/cos sin ,
π (( )
( )
( ) sin , ,
( ) ( )/
n
n f
y f L
n
yR
ny
Rm M n M M
M f y
R= = +
−∂ + =
≡2
2
12 2 2 2
πKK KK
ππR
M n R
n
R
ny
RM
n
R
ny
RM
n
R
ny
RM
f
f f f2 2 2
2
2+− − +
+ +
/sin cos cos sin
nny
R
R
M n R
n
RM
ny
Rm g
f
f n L
n
=+
+
=
22 2 2
2
2
2/
/sin ( )
π(( )
( ) ( ) ( )sin cos sin( )
y
M g yR
Mny
R R
n
R
ny
RM
ny
Ry f L
n
y f f∂ + = ∂ + = +2 2
π π
=
m f y
dy
n L
n
R
( )( )
Orthogonality:0
π
∫∫ ∫= =f y f y dyg y g yL n Lm nmR
L
n
L
m nm( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )δ δπ
0
Boundary ccondition Ψ ΨL L
R R
f
y y R
f y g yM
e
( ) ( ) :
( ) , ( )( ) ( )
= = = =
= =− −
0 0
02
1
0 0
2
π
ππ
π
RM
M y
R
n
R
n
f
fe
n f yR
ny
Rg
− →
→≥ = −
Right-handed 0-mode
12( ) (( ) sin , )) ( )
/
/cos sin ,
(
yR
M n R
n
R
ny
RM
ny
Rm M n M
f
f n f= +−
= +
22 2 2
2 2 2 2πKK
−−∂ + = − −∂ + = − − +y f Rn
y f fM f yR
Mny
R R
n
R
ny
RM
ny
R) ( ) ( )sin cos sin( )
2 2
π π
=
∂ + =+
−
m g y
M g yR
M n R
n
R
ny
R
n R
n
y f R
n
f
( )
( )
( )
( ) ( )/
/sin
22 2 2
2
2
π−− + −
= −+
Mn
R
ny
RM
n
R
ny
RM
ny
R
R
M n R
n
R
f f f
f
cos cos sin
/
/
2
2 2 2
2
2
2 π++
=
Mny
Rm f yf n R
n2 sin ( )( )
Orthogonaality: dy f y f y dyg y g yR
R
n
R
m nmR
R
n
R
m
0 0
π π
δ δ∫ ∫= =( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) nnm
Neumann boundary condition ∂ =
=
=
∑
y y R
n
n
x y x f
Φ
Φ
00
,
( )
:
( , ) ( )
π
µ µφ φφµ µ
φ
πφ
πφ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )cos
( )
n n
n
yR
xR
xny
R
f y
= +
=
=
∞
∑1 201
0 11 12
0
π π
δ
φ
π
φ φ
Rn f y
R
ny
R
dy f y f y
n
Rn m n
; , ( ) cos
( ) ( )
( )
( ) ( )
≥ =
=∫ mm
n a
n
n a
L
x x F xx
x
P
φ φχ
ξ
µ µ( ) ( ), ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )≡ ≡
= +
0
† ɺ
ΨΨ Ψ Ψ ΨPP x x g y f y x x fRn a
a
m n m
a
m n aΨ = +[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ χ χ ξɺ
ɺ† † (( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )]
[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m n
nm
n
L
m n m m
y g y
F x P F x g y f y F x
∑= + PP F x f y g y
M
M e
R
n m n
nm
f
M Mf
( ) ( ) ( )
/
( ) ( ) ( )]
coth
∑
−
=
1
21
12
ππ
KKKKK
For
−− =
= = = = ∫
11
0 0 0 0
, ( ) cos( )
( ) ( ) , ( ) (( ) ( )
n
R R L L
n
y y R dyg y f
π
πΨ Ψ yy
n dyg y f y dyg y f yM
M nL L
n
L
n
L
n f
f
)
( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
=
= =+
≠ ∫ ∫
0
00 02 22 2
03 22
11
M
dyg y f y MM
M
nML
n
L f
f
KK
KK
KK∫ = −
−( ) ( )/
( ) ( ) coth[
π
π (( ) ] [ cos( )/
/
/−+
=−
−1 21
12 2 2 2
3 2n M M
f
f
M M
e
M n M
M
e
nM nf
f
π
ππ
πKK
KK
KK
KK ee
M n M
n n dyg y f ymn
m m
M M
f
L
n
L
m
fπ /
( ) ( )
]
( ) ( )[
, , ,
KK
KK
2 2 2
0 02 1
+
=−
≠ ≠ ≠ ∫(( ) ]
( )
−− +
⊃ − ⊃ −
+
∫
12 2 2 2 2
4 4
m n
f
f
f
n m
M
M m M
S d xdyyy
Rd xdy
π
π
KK
KK
ɶ ɶɶ
ΦΨΨ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∑
= −
= −+=
∞
φ φ
φ
( ) ( )
( ){ (
x y d x x dy
d x yM
M n Mx F
f
f
f
fn
n
ΨΨ ΨΨ4
4
2 2 21
KK
)) ( )
/
/ /
( ) ( )
[ cos( ) ]
x F x
y M
e
nM n e
M
n
f f
M M
M M
ff
f
−−
−2
1
12
3 2
π
ππ
π
KK
KK
KK
22 2 21
0
2 2
4
++
−−
=
∞
∑n M
x F x P F x h c
y mn
n m
M
M
n
n
L
f
f
KK
KK
φ
π
( )[ ( ) ( ) . .]( ) ( )
22 2 21 1 +
+= =+ =
∞
∑m M
x F x P F x h cn mm n
n
L
m
KKodd
,
( ) ( )( )[ ( ) ( ) . .]}φ
1
21
1
0
2
2coth
( ) (
/
/
π π
π
M
M
e
e
y y
f
M M
M M
L L
f
f
KK
KK
KK
For
+
= −
= = =Ψ Ψ ππR dy f y g y
n dy f y g y dy f
R R
R R
n
) , ( ) ( )
( ) ( ) ,,
( ) ( )
( ) ( )
= =
=≠
∫
∫ ∫
0 0
00
0 0
0
RR
n
R
n f
f
R
n
R f
y g yM
M n M
dy f y g y M
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) coth
=+
=∫
2 2 2
0 2
KK
π
πMM
M
nM e e
M n M
f
M M n M M
f
f f
KK
KK
KK
KK KK
+
− −+
=
−
11
2
3 2
2 2 2
/ / /[( ) ]π π
ππ
ππ
πM
e
nM n e
M n M
n m
f
M M
M M
ff
f
2
3 2
2 2 21
0 0
/
/ /[cos( ) ]
, ,
KK
KK
KK
KK−−
+
≠ ≠ nn dy f y g ymn
n m
M
M m Mm R
n
R
mm n
f
≠ = −− −
− +∫
+
, ( ) ( )[ ( ) ]
( )
( ) ( ) 2 1 12 2 2 2π
KK
KKK
KK
2
4
4
2 2 21
S y d x x dy
d x yM
M n Mx F x
f
f
f
fn
n
⊃ −
= −+
∫ ∫
∫ ∑=
∞
φ
φ
( )
( ) ({ ( )
ΨΨ
)) ( )
[cos( ) ]
( )
/
/ /
F x
y M
e
nM n e
M n
n
f f
M M
M M
ff
f
−−
−+
2
12
3 2
2 2π
ππ
π
KK
KK
KK
MMx F x P F x h c
y mn
n m
M
M m
n
n
R
f
f
KK
KK
21
0
2 2 2 2
4
=
∞
∑ +
+− +
φ
π
( )[ ( ) ( ) . .]( ) ( )
MMx F x P F x h c
n mm n
n
R
m
KKodd
21 1= =
+ =
∞
∑ +,
( ) ( )( )[ ( ) ( ) . .]}φ
Change the sign of Yukawa coupling:
S d x i D y dM M f= + =∫ 5 5Ψ Γ Φ Ψ( )ɶ xx i D M y
M y y vM i
i M
M
M f f
f f f
y f
y f
∫ + +
= =∂ + ∂
∂ −∂ +
Ψ Γ Φ Ψ
Φ
( )
,
ɶ ɶ
ɶφ
µ
µ
µ
µ
σ
σ
=
−∂ − = ∂ −
ΨΨL
R
y f
n
n
n
y f
nM f y m g y M g y
0
( ) ( ) ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( ) ==
= −∂ − = ∂ − =→
→
m f y
m M f y M g y
f y
n
n
y f y f
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) , ( ) ( )
( )
0
0 0
0
0 0 0
==−
=−−
−2
1
2
12 2
0M
ee
M
eeg y
f
RM
M y f
RM
M y
f
f
f
f
π π or 0 or 0
Bound
, ( )( )
aary condition Ψ ΨL L
R R
y y R
f y g yM
( ) ( ) :
( ) , ( )( ) ( )
= = = =
= =
0 0
02
0 0
π
⌢ ⌢ ffRM
M y
R
n
ee
n f yR
ny
R
f
f
21
12
π
π
−→
→≥ = −
Right-handed 0-mode
⌢( )( ) sin ,, ( )
/
/cos sin ,( )
⌢g y
R
M n R
n
R
ny
RM
ny
Rm M nR
n
f
f n f= ++
= +
22 2 2
2 2π 22 2
2 2
M
M f yR
Mny
R R
n
R
ny
RMy f R
n
y f f
KK
( ) ( ) ( )sin cos( )−∂ − = − −∂ − = − − −π π
ssin ( )
( ) ( )/
/
( )
( )
ny
Rm g y
M g yR
M n R
n
R
n R
n
y f R
n
f
=
∂ − =+
−2
2 2 2
2
2
πssin cos cos sin
/
/
ny
RM
n
R
ny
RM
n
R
ny
RM
ny
R
R
M n
f f f
f
+ − −
= −+
2
2 2
2 π
RR
n
RM
ny
Rm f yf n R
n
2
2
2
2+
=
⇒
sin ( )( )
⌢gg y f y dyg y f y
d
R
n
L R
n
L
m nm( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ =∫0⌢
δ
Orthogonality: yy f y f y dyg y g y
d
R
R
n
R
m nmR
R
n
R
m nm
0 0
π π
δ δ∫ ∫= =⌢ ⌢ ⌢ ⌢( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )
yy f y g y
n dy f y g y dy f
R R
R R
n
R
∫
∫ ∫
=
=≠
⌢ ⌢
⌢ ⌢ ⌢
( ) ( )
( ) ( ) (
( ) ( )
( ) ( ) ,,
0 0
0
0
00 nn Rn f
f
R
n
R f
y g yM
M n M
dy f y g y M
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) cot
⌢
⌢ ⌢
= −+
=∫
2 2 2
0 2
KK
πhh
[( ) ]//π
π
πM
M
nM e
M n M
M
e
fn M M
f
ff
KK
KK
KK
KK
−
− −+
= −11 1 23 2
2 2 2 2ππ
ππ
M M
M M
ff
fnM n e
M n M
n nm m
/
/ /[ cos( ) ]
, , ,
KK
KK
KK
KK−−
+
≠ ≠ ≠
1
1
0 0
3 2
2 2 2
ddy f y g ymn
n m
M
M m MR
n
R
mm n
f
∫ = −− −
− +
+⌢ ⌢( ) ( )( ) ( )[ ( ) ]
( )
2 1 12 2 2 2π
KK
KK
22
4
4
2 2 21
S y d x x dy
d x yM
M n Mx F x F
f
f
f
fn
n
⊃ +
= −+
∫ ∫
∫ ∑=
∞
φ
φ
( )
( ) ( ){ ( )
ΨΨ
KK
(( )
/
/ /
( )
[ cos( ) ]
n
f f
M M
M M
f
x
y M
e
nM n e
M n Mf
f
−−
−+
2
1
12
3 2
2 2π
ππ
π
KK
KK
KK
KKK
KK
21
0
2 2 2 2
4
n
n
R
f
f
x F x P F x h c
y mn
n m
M
M m M
=
∞
∑ +
−− +
φ
π
( )[ ( ) ( ) . .]( ) ( )
KKKodd
21 1n m
m n
n
R
mx F x P F x h c= =+ =
∞
∑ +,
( ) ( )( )[ ( ) ( ) . .]}φ
Gauge couplings
Boundary condition A y R Ay y y R( , ) ,
,= = ∂ =
=0 0
0π µ π
00
1 20
:
( , ) ( ) ( ) ( )( ) ,( )
,
( ) (A x y A x f yRA x
RAM
M
M
n
A M
n
n M
nµ µ
µ
µ
µπ π
∑ ∑= = + ))
,
( )
,
( )
( )cos
( ) , ( )
xny
R
f yR
f y
n
A A
µ
µ
µπ
=
∞
∑∑
= =
1
0
5
01 0;; , ( ) cos , ( )
( ) (
,
( )
,
( )
( )
n f yR
ny
Rf y
A x A x
A
n
A
n≥ =
=
≡
12
05
0
µ
µ µ
π
)),
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
gg
R
x f y x g yan n n a n
≡
= ( )
ɶ
ɺ
π
γ χ ξσ
σ
µ
µ
µΨ Ψ †
χχ
ξ
χ σ χµ
a
m m
m a mnm
a
n
a
x f y
x g y
x
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ( )
†
†
ɺ
ɺ
=
∑(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]m n m n a m a n m
n
x f y f y x x g y g y+ ξ σ ξµ † ɺmm
n
L
m n m n
R
mF x P F x f y f y F x P F x g
∑= +[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (γ γµ µ nn m
nm
Rn m nm
Rn m
y g y
dy f y f y dyg y g
) ( )
( ) ( ) ( ) (
( ) ( )]
( ) ( ) , ( )
∑
∫ ∫=0 0π π
δ ))
(
( )
( ) ( )
y
S d xg A g d xA x dy t g d xA x F
nm
M
M
a a a
=
⊃ ⊃ =∫ ∫ ∫ ∫
δ
γµµ
µ
5 4 4ɶΨΓ Ψ Ψ Ψ nn a n
n
MN M N N M
MN
MN
x t F x
F A A
F F
) ( )( ) ( )
(
γ µ
=
∞
∑
= ∂ − ∂
− = − ∂
0
1
4
1
2
Abelian:
MM N
M N
M N
N M
y A
n
y
A A A A
f yR
ny
R R
n
R
∂ − ∂ ∂
∂ = ∂
= −
)
( ) cos sin,( )
µπ π
2 2 nny
R
dy f y f yR
dynmny
Ry A
n y
A
m
∂ ∂ = −
∫ ∫,( ) ,( )( ) ( ) sinµ µ π2
3
= −
⊃ − = − ∂ ∂ − ∂∫ ∫
sin
(
my
R
n
R
S d xF F d x A A
nm
MN
MN
M N
M N
2
2
5 51
4
1
2
δ
MM N
N M
n m
y A
n y
A
m
A A
d xdy A x A x f y f y
∂
⊃ − ∂ ∂∫
)
( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ,( )
,
( )1
2
4
µ
µ
µ µ )) ( ) ( ),
( ) ( )
( )
n m
n n
n
A KK
d xn
RA x A x
mn
RnMn
= =
∞ ∞
∑ ∫ ∑=
= =
1
42
21
1
2µ
µ
Scalar sector
S d x D H D H H M HM MM
M⊃ + ∂ ∂ + + −∫ 5 2 2 2 2 41
2
1
2( ) | | | |† Φ Φ Φµ λɶ −− −
= +
1
4
1
2
4 2 2
!| |
( , )
ɶ ɶλ λφ φΦ Φ
Φ
h H
E E V H
E
Energy density: der
dder = − ∂ ∂ − ∂ ∂
= − − +
∫
∫
dy H H
V H dy H M
y
y
y
y( )
( , ) | |
† 1
2
1
2
2 2 2 2
Φ Φ
Φ Φµ ɶɶɶ ɶ
λλ λ
π π
φ φ
µ µ
| |!
| |
( , ) ( )( )
H H
H x yRH x
R
h4 4 2 2
0
4 2
1 2
+ +
= +
Φ Φ
HH xny
R
x yR
xR
x
n
n
n
n
( )
( ) ( )
( )cos
( , ) ( ) ( )
µ
µ µ µ
πφ
πφ
=
∞
∑
= +
1
01 2Φ==
∞
=
∞
∑
∫ ∑ ∫
= =
1
2 2
0
2 2
cos
| | | ( ) | , [ ( )]( ) ( )
ny
R
dy H H x dy xn
n
n
n
Φ φ==
=
∞
∞
∑
∫ ∑ ∫∂ ∂ = − ∂ ∂ =0
2
2
2
1
2
2dy H H
n
RH x dy
n
R
y
y
n
n
y
y
n( ) | ( ) | , [( ) ( )† Φ Φ φ (( )]
| ( ) | [ ( )]( ) ( )
x
En
RH x
n
Rx
n
n n
n
2
1
2
2
22
2
2
1
1
2
=
=
∞
∞
∑
∑= +
der φ
nn mn
RM n M M
H
n
n n
≥ = − = −
= =
1
0 0
22
2
2 2 2 2
2 2
,
| | ( )
( )
( ) ( )
φ
φ
KK
and minimiize ,derE H
v Hv
n n
h
⇒ = =
− + −
( ) ( )
!( ) | |
0 0
4
6
2
2 2 22
φ
λ λ
λ
φ
φ
φ
φ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶΦ
= − + + −2
4 2 2 4
2
2
4 2 2
42
36ɶɶ ɶ
ɶ
ɶɶ
λ λ
λ
φ
φ φ
φ
φ!| | | |Φ Φv v H v Hh ++
+ − − +
ɶɶ
ɶ
ɶɶ ɶ
ɶvH
vv H v
vh4
2 22
2 2 2 22
4
12
2 2
λ
λ
φ
φ
φ φΦ Φ| | | |
= − − + +ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶλ λ λ λ λφ φφ
φ φ φ
4 12 4 2
34 2 2 2 2 2 2
!| |Φ Φ Φ Φv v Hh h hh h hH v H v H v
2
4
2
2 2 2 2 4
2
3
2 2 4
3
ɶ
ɶ
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ɶ
ɶ
ɶ
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ɶ
λ
λ
λ
λ λ λ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
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φ| | | | | |
!− − + + hh h
h
v v v
v Hv
2
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2 2 22
8 4
4
6
2
ɶɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
λ
λ
λ λ
λ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
+
− + −
!( ) | |Φ
+ −
− +
22
4 2 243
2 4ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶλ
λ
λ
φ
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v| | | |
== − +
+ +
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶɶ
λ λ λ λλ
φ φ
φ
φ φ
4
1
2 6 2 2
4 2 2 2 2 2 4
!| | | |Φ Φ Φv v H Hh h −− +
+ + +
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶλλ λ λ λφ
φ
φ
φ
φ
φv v H v v v vh h2 2 2 4 2 2
2 24 4 4| | 44
2 2 22
4
6
2V H dy v H
vh( , )
!( ) | |Φ Φ= − + −
∫ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶλ λ
λ
φ
φ
φ
φ
222
22
2
2 23
2 2 4 2+ −
−
− −ɶ
ɶ
ɶ
ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ
λλ
λ
λ λφ
φ
φ
φ
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vv v| |
44 4
4
1
2 6 2
4 4
4 2 2
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
v v
dy v vh
φ
φ φ
φ
φ
λ
λ λ λ
−
= − +
∫ ! Φ
+ + − +
Φ Φ2 2 2 4 2 2 22 2
ɶɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶλ
λ λλφ φ
φ
h hH H v v H| | | | | |
= − − + + +
∫ dy H M H Hhµ λλ λφ φ2 2 2 2 4 4 2 21
2 4 2| | | |
!| |Φ Φ Φɶ
ɶ ɶ
⇒⇒ + = + =
⇒ =−
1
2
1
6
1
2
6 2
2 2 2 2 2 2
2
2
ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ
ɶ
ɶ
λ λ λ λ µ
λ
φ φ φ φ φ
φ
h h
h
v v M v v
vM
,
ɶɶ
ɶ ɶ ɶɶ
ɶ ɶ
ɶ ɶ ɶ
ɶ
λ µ
λ λλ
λ µ λ
λ λλ
λ
φ
φ φ
φ
φ
φ φ
φ
2
2
2
2 2
23 2
6 12
3 2
0
h
h
h
vM
−=
−−
>
,
, ɶɶɶ
ɶ
ɶɶλ
λ
λ
φ
φ
φ− > ⇒ = = ⇒3
20
2
2
22
2 2h Hv
v V H H| | ( , ) | | and minimize Φ Φ 222
2= =ɶ
ɶv
v, Φ φ
0
1
2
00 0 2
-mode mixing
φ φ πφ φ( ) ( )( ) ( ), ( )
( ),x v x H x
v h xv= + =
+
≡ RR Rv v v
V H dy HM
Hh
ɶ ɶ
ɶɶ ɶ
φ
φ φ
π
µ λλ λ
2 2 2
2 22
2 4 4
2 4
,
( , ) | | | |!
≡
⊃ − − + + +∫Φ Φ Φ 22
2
2 2
2 0 22
0 2 0
Φ | |
| ( ) | [ ( )] | ( ) |( ) ( ) ( )
H
H xM
xRH x
⊃ − − +µ φλ
π
ɶ44 0 4 0 2 0 2
2
4 2
2
+ +
= − +
ɶ ɶλ
πφ
λ
πφ
µ
φ φ
![ ( )] | ( ) | [ ( )]
( )
( ) ( ) ( )
Rx
RH x x
v h
h
222
2 4 4 2 2
2 4 44− + + + + + + + +
≡
Mv v h v v h v
R
h( ) ( )
!( ) ( ) ( )φ
φ
φ
φ
φφλ
φλ
φ
λ
π
λ
λɶ
,, ,λλ
πλ
λ
π
λ λ
φ
φ
φ
φ
φ φ
≡ ≡
→ +
ɶ ɶ
R R
v v
h
h
hMinimization conditions1
2
1
6
2
φφ φ φλ λ µ
µφ
λ
2 2 2 2 2
22
22
1
2
2 2 44
= + =
⊃ − − +
M v v
V H hM
v
h,
( , ) (
Mass terms:
Φ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 4 2 424 4
h v h v v v h vv h
v
vh+ + + ++ +
=
) ( ) ( )λ λ
φφ φ φ
λ
φ φ
φ φ φ φ
22 2 2 2
2
2
1
6
1
2h v vv h h
vv
vv
hm
mh
h h
h
+
+ = ( )λ λ
λ
λφ φ φ
φφ φ
φ
φ φ
φ φ
φ
φ
+ − +≡ ≡ = ±m m m m m mv v mh h hh2 2 2 2 2 2 22 2 22
1
34
1
21 2λ λ λφ φ φ φφ, , ( ), φφ φ
α α
α α φ
hv v
h h
h
2
2
2 2
1
=
−
cos sin
sin cos, tann 2
22 2
αλφ
φ
φ=−h
h
vv
m m
H
dy f y g yM
MeL R
f M f
couplings to quarks
KK
∫ = 2 − −( ) ( )( ) ( ) [(0 0 21π π // / /
/ / /
)( )]
[( ) ]
M M M
f M M M M
e
M
Me e
f
f f
KK KK
KK KK
KK
2 1 2
2 1
1π
π π
π
−
= 2 −
−
− − 22
2 2
=2
−
=−
−
∫
π
π π
M
M e e
dy f y g yn M M
f
M M M M
L
n
R
n
f f
KK
KK
KK KK( )
( ) ( )
/ /
( ) ( ) ff
f
L
n
R
f f
f
n M M
dy f y g yM
M
M M
M n
2
2 2 2
0
22
21
KK
KK
KK
+
= ++∫
( ) ( )( ) ( ) cothπ
π
22 2
3 2
2 2 2
1 1
4
Mn e
nM M
M n M
n M M
f
f
f
KK
KK
KK
KK
− −
=+
−
/
/[ ( ) ]
π
π
− −
−−
∫
3 2
2
0
1 1
11
//
/
( ) ( )
( )( )
( ) (
n M M
M M
n
L R
n
e
e
dy f y g y
f
f
π
π
KK
KK
)) coth [( )
/
/= −+
−2
21 1
2 2 2
3 2
π
ππ
M
M
M M
M n Mn e
f f
f
n M Mf
KK
KK
KK
KKK
KK
K
KK
KK
−
=+
− −
1
4 1 12 2 2
3 2
2
]
( )/
/
/π
π
π
nM M
M n M
e
e
f
f
n M M
M M
f
f KK −
⊃ − ′ + ⊃ − ′ + ⊃ −′
∫ ∫
1
5
2
5
2
0S d x y Qi H U h c d x y Qi H U h cu u( . .) ( . .)* ( )*
ɶ σ σyyv h d x U U h c
y M
M e e
u
u f
M M M Mf f
2
2
5
2 1( ) ( . .)
( )(
/ /
+ +
⊃ −′ 2
−
∫
−
π
π π
KKKK KK
vv h d x u P u h c
yv h d x
n M M
n M
R
u f
+ +
−′
+−
∫
∫
) [ . .]
( )
( ) ( )4
2
0
1
0
5
2 2 2
2 22
KK
KK +++
−′
++
=
∞
∑
∫
Mu P u h c
yv h d x n
M M
M n
fn
n
R
n
u f
f
21
2 1
4
2 2
4
2
[ . .]
( )
( ) ( )
{π
KK
MM
e
eu
n M M
M Mn
n nf
fKK
KK
KK2
3 2
21
2
1 1
11
− −
−−
=
∞
∑/
/
/
( )( ) [( )
π
π
PP u u P u h c
M
M e e
R R
n
M M
f
KK
M Mf KK
f KK
1
0
2
0
1
0
2
( ) ( ) ( )
//
] . .
lim(
}+ +
−→ −π
π ππM Mf KK
htt
/)
=
⇒
1
The coupling is the same as in the SM for MM M
M M
f
f
/
/
,KK
KKbut it is reduced as increases
Change the
→ 0
ssign of the Yukawa coupling:ΦUU
dy f y g y dy fL R L∫ ∫=( ) ( )( ) ( )0 0 (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )n Rn L n R L Rny g y dy f y g y dy f y g y= = =∫ ∫1 0 0 00
2
2
5
2
5
2 1S d x y Qi H U h cyv h d x U U h c
yv
uu
u
⊃ − + ⊃ − + +
= −
∫ ∫( . .) ( ) ( . .)
(
*ɶ σ
++ + +
⇒
∫h d x u P u u P u h chtt
R
n
R
n) [ . .]( ) ( ) ( ) ( )5 20
1
0
2 1
The coupling iis the same as in the SM
φ
φ
→
− −
ff H
u P u H u P u uRn n
R
decay induced by
2
0
2
0
2 1
0
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, 00 10
1 1
0
1
0
2
0
2
) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ). .
P u H u P u
h c u P u H u P
R
n n
R
L
n n
− −
− −→
φ
LL L
n n
L
ttt q
q
u u P u H u P u
ym
nM M
M
2
0
1
0
1
0
1 2
0
4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),φ φ
πφ
− −
= − KK22 2 2
3 2
21
2
1 1
1
1
+
− −
− +×
=
∞
∑n M
e
e M n
n M M
M Mn q
q
qKK
KK
KK
//
/
( )π
π 22 2
2
3 2
21
2
1
1 1
M
y M
e
nM e
M
n q q
M M
n M M
q
KK
KK
KK
KK
× −−
−− −
+( )
[ ( ) ]/
/ /
ππ
π
nn M
y M
e
nM e
M n M
q f
M M
n M M
q
2 2 2
3 2
2 2
2
1
1
KK
KK
KKKK
KK
+−
−− −
+π ππ
/
/ /[( ) ]22
2 2 3
2 2 2 6
116 1 1
=+
− − −+y m n M MM n M
eq t q
q
n n Mq
π
π
KK
KK( )
( ) [( )//
/
/
]
( ) ( )
M
M M
n
t
n
n
n
M M
e
m
v n e
q
q
KK
KK
2
2
1
1
1
1
16 11
2 1
π
φ
ππ
−
=−
−−
=
+
=
∞
∞
∑
∑KKK
KK
KK
+ −
+
−
( )1
3
n
q
q
M
nM
nM
M
Ma
(a) In the viewpoint of insertio
ss mixing term insertion
nn
DR DLL ⊃ + + + − + −y R t t R y L t t L m t R R t m LtR L R R L tL R L L R L R R Lφ φφ φ( ) ( ) ( ) ( LL R R L
t R L
tt
t t
t t L
m tt m RR m LL
ty t
q m u q q m qv q
+
− − −
→
= / = / − =
)
, ( ) , ( )
φ φ
2 2−− − / − = − − =
−
− = −
[ ( )] ( )
:
( ) ( ) ( )( )( )
qv q m m
tR Rt
iy u q v q u q im
t t
tt
R
φ
φ DR PPi
q my P y P
i
q mi
q mi v q u q i
q mR
R
tR R tR L
R
R R( ) ( )
(( ) ( )/+
− +/ +
− −−
2 2 2 2φ φmm P
y m
m mP P
v q
i u q m v q u q m v q
L
tR
t R
R LR R
DR
DR
)
[
( )
( ) ( ) ( ) ( )]
−
= − + − =−
φ
2 2ii u q v q
y
tL Lt
y m m
m m
y m m
m m
tR R
t R
tR R
t R
tt
R
φ
φ
φ
φ
DR
DR
2 2
2 2
−
−
−
⇒ =
−
( ) ( )
( )
::
( ) ( ) ( ) (( )( )( )
iy u q v q u qq m
i v qim Pi
q my Ptt
L LL
L
tL Lφ φ− =/ +
−−−
DL 2 2)) ( ) ( )
( )( )+ /
+−
=
−−
−
u q iq m
v q
i
y Pi
q mim P
y m
m m
tL R
L
R
tL
t L
Lφ
φ
2 2
2 2
DL
DL[[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )u q m v q u q m v q i u q v qP P
y m m
m mL LL R
tL L
t L
− + − = −
⇒
−
φ DL
2 2
yy
y y y
y m m
m m
y m m
m
tt
L
tt tt
R
tt
L
tL L
t L
tR R
t
φ
φ φ φ
φ
φ
( )
( ) ( )
=
= + =
−
DL
DR
2 2
2−−
+−
− −m
y m m
m m
y m
m
y m
mR
tL L
t L
tR
R
tL
L
2 2 2
φ φ φDL DR DL≃
.
Feynman Rules:
φ
t
R
= iyφtRPR
yφtRφR̄LtR:
φ
R
t
= iyφtRPL
yφtRφt̄RRL:
R t = −imDRPR
−mDRt̄LRR:
t R = −imDRPL
−mDRR̄RtL:
φ
t
L
= iyφtLPL
yφtLφL̄RtL:
φ
L
t
= iyφtLPR
yφtLφt̄LLR:
L t = −imDLPL
−mDLt̄RLL:
t L = −imDLPR
−mDLL̄LtR:
φ → tt̄ Feynman diagrams:
R
φ
t̄
t
+
R
φ
t̄
t
+
L
φ
t̄
t
+
L
φ
t̄
t
.
(b) In the viewpoint of state mixing
mass− = + + +L m tt m RR m LLt R L mm t R R t m L t t L
t R L
m m
m
m m
L R R L L R R L
L L L
t
R
L
DR DL
DR
DL
( ) ( )+ + +
= ( )
0
0 0
0
+ = ′ ′ ′( )
′tR
L
h c t R L
m
m
m
R
R
R
L L L. .
1
2
3
tt
R
L
h c
m m
m
m m
m
R
R
R
t
R
L
′′
+
= =′
. .
,M M
DR
DL
0
0 0
0
¶
tt
R
L
R
R
R
R
R
R
m
m
V U
t
R
L
U
t
R
L
′
′
=
=
′′′
†M M¶,
=
′′′
= =
,
t
R
L
V
t
R
L
U U V V
L
L
L
L
L
L
† † † †MM MM ddiag
Eigenvalue perturbation:
( , , )
( ) ( ) (
m m mt R L
i i
′ ′ ′
=
2 2 3
0 0K x λ
00 0
0 0 0
) ( )
( ) ( ) ( ), ,
x
K K K x x x
Kx
i
i i i i i i
i
= + = + = +δ λ λ δλ δSolution to ==
+ +−
λ
λ λ δδ
λ
i i
i i i i i i
j i
i
x
x Kx x xx Kx
:
,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )≃ ≃
0 0 0 0
0 0
0
T
T
λλ jj
j
t
R
L
i
m
m
m
( )
( )
( ),
0
0
0
2
2
2
x
K K
≠∑
= =
MM†
=
=
,
(( )
δ
λ
K
m m m m m
m m m
m m
m
t L
t
L
i t
DL DR DL
DR DR
DL
2
2
0
0
0 0
22 2 2
1
0
2
0
3
1
0
0
0
1
0
, , ), , ,( ) ( ) (m mR L U U Ux x x=
=
00
0 0 0 2 2 2 2
0
0
1
)
( ) ( ) ( ) ( ,
=
+ = + +λ λ δi i i i t Rm m m m≃ x KxT
DL DR ,, )
,
m
m m
m m
m m
m m
L
Ut
t R
L
t L
U
2
1 2 2
2 2
2
1
x x≃ ≃DR
DL
−
−
mm m
m m
m m
m m
t
R t
U
L
L t
DR DL
2 2
3
2 2
1
0
0
1
−
−
, x ≃
=
, U
N N N
U
U
U
U
U
U
x x x1
1
2
2
3
3
K K K= =
=MM† , ,( )02
2
2
2
0 0
m
m
m
m m m m m
m m
m
t
R
L
R t
Rδ
DR DR DL
DR
DLmm m
m m m
t
i t R L V
0
1
0
0
2
0 2 2 2
1
0
DL
= =
λ ( ) ( )( , , ), x ,, ,( ) ( )
( ) ( )
x x
x
v V
i i i
2
0
3
0
0 0
0
1
0
0
0
1
=
=
+λ λ≃ TδδKx
x
i t R L
VR
t R
t
t
m m m m m
m m
m m
m m
m
( ) ( , , )0 2 2 2 2 2
1 2 2
2
1
= + +
−
−
DR DL
DR
DL
≃
mm
m m
m m
L
V
R
R t
2
2
2 2
1
0
−
, ,x ≃
DR
xxx x x
V
t
L t
V
V
V
V
V
V
m m
m m
VN N N
3
2 2
1
1
2
2
3
3
0
1
≃
DL
−
=
,
− − −′ + ′ + ′t
m m
m m
m m
m mR
m m
m mt R LR
t
R t
L
L t
Rt
t R
R R R≃ ≃DR DL DR
2 2 2 2 2,
22 2 2
2 2
′ + ′ ′ + ′
′ + ′ +
−
−
t R L t L
t R
m m
m m
tm m
m m
m
R R R R R
L L
L
t L
LR
R t
, ≃
≃
DL
DR DLmm
m mR
m m
m m
m m
m mL t R L t Lt
L t
LR
t R
t
t L
L L L L L2 2 2 2 2 2− − −′ ′ + ′ ′ + ′, ,≃ ≃DR DL LL
L L
tR L R tL R L
tRR
t R
y R t y L t h c
ym m
m mt R
L ⊃ + +
−
′ + ′
φ φ
φ
φ φ
φ
. .
≃DR
2 2 − −
+−
′ + ′ + ′t R Lm m
m m
m m
m m
ym m
m
R R Rt
R t
L
L t
tLL
t
DR DL
DL
2 2 2 2
2φφ
mm
m m
m m
m m
m mt L t R L
L
R
R t
t
L t
R R L L L2 2 2 2 2′ + ′ ′ + ′ + ′
− −
DR DL ++
⊃− −
+′ ′ + ′ ′
h c
ym m
m my
m m
m mh ct t t ttR
R
t R
tLL
t L
L R R L
. .
.φ φφ φDR DL
2 2 2 2.. =
=−
+−
−
′ ′y
yy m m
m m
y m m
m m
y m
t ttt
tt
tR R
t R
tL L
t L
tR
φ
φ
φ φ φ
φ
DR DL D
2 2 2 2≃
RR DL
m
y m
mR
tL
L
− φ