Effective interactions between a CP-even scalar and SM gφ aauge fields

effL = + +

≡ ∂

11 2 3

Λφ µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν µ

( )k k kB B W W G G

B

a a a a

BB B W W W g W W

B c A s Z W s A

a a a abc b c

W W W

ν ν µ µν µ ν ν µ µ ν

µ µ µ µ

ε− ∂ ≡ ∂ − ∂ +

= − =

,

,

2

3

µµ µ µ µ µ

θ θ

+

=

+

=

+

≡

≡ ≡

±c Z

cg

g gs

g

g

W W iWW

W W W W

, ( )

cos , sin

1

2

1 2

2

1

2

2

2

1

1

2

∓

gg

B B B c A s Z

W W W g W W

W W

bc b c

2

2

3 3 3

2

3

µν µ ν ν µ µν µν

µν µ ν ν µ µ νε

= ∂ − ∂ = −

= ∂ − ∂ − == + − +

∂ − ∂ ∂ − ∂≡ ≡

s A c Z g W W g W W

A A A Z Z Z

W Wµν µν µ ν µ ν

µν µ ν ν µ µν µ ν ν µ

2

1 2

2

2 1

,

BB B

W W

c A A s c A Z s Z Z

s A A

W W W W

W

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

= − +

+⊃

2 2

23 3

2

22 2

1 2

3 3

s c A Z c Z Z

A A k Ak B B k W W k

W W Wµν

µν

µν

µν

µν

µν

µνµν

µν

µν

µν

+

++ ⊃ AA AZ ZZ Z Z

c s k s c s

k

k k k k k k k kW W W W W

µν

µν

µν+

+ − +≡ ≡ ≡

ZZ

AA ZZAZ1 2 2 1 1

2 2 22, ( ), 222

2

c

A A A A A A A A A A

A

W

µν

µν

µ ν ν µ

µ ν ν µ

µ ν

µ ν

µ ν

ν µ

µν

= ∂ − ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂( )( ) ( )

ZZ A A Z Z A Z A Z

Z Z

µν

µ ν ν µ

µ ν ν µ

µ ν

µ ν

µ ν

ν µ

µν

µν

µ

= ∂ − ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂

= ∂

( )( ) ( )

(

2

ZZ Z Z Z Z Z Z Z

W W W W

ν ν µ

µ ν ν µ

µ ν

µ ν

µ ν

ν µ

µν

µν

µν

µν

− ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂

+

)( ) ( )2

1 1 2 2== + + − −− =

+ − + − + − + −1

2

1

22( )( ) ( )( )F F F F F F F F F Fµν µν

µν µν

µν µν

µν µν

µν

+ −−

− + ++ = ∂ − ∂ ∂⊃

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µν

µ ν ν µ

µk k F F kW W W W W W W2 2 21 1 2 2 2 2( ) ( )(+ −− −

+ − + −

− ∂

∂ ∂ − ∂ ∂

∂ ∂

=

⊃

ν ν µ

µ ν

µ

µ ν

ν

µ ν

ν µ

µν

µν

W

G

k W W W W

k G G ka a a

)

( )

(

4

2

2

3 3

µµ ν

µ ν

ν µG G Ga a a− ∂ ∂ )

Feynman rules

AA

L ⊃

⊃

+ +1

2

1 2 3Λ

Λ

φ

φ

µν

µν

µν

µν

µν

µν( )

[

k k kB B W W G G

k

a a a a

(( ) ( )

(

∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂

+ ∂ ∂

µ ν

µ ν

µ ν

ν µ

µ ν

µ ν

µ ν

ν µ

µ ν

µ ν

A A A A k A Z A Z

Z Zk

2

2

AZ

ZZ −− ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂

+ ∂ ∂ − ∂

+ − + −

µ ν

ν µ

µ ν

µ

µ ν

ν

µ ν

µ ν

µ ν

ν µZ Z

G G G

k W W W W

k a a

) ( )

(

4

2

2

3

aa aG

ip

∂

∂ → −

ν µ

µ µ

φ

)

:

## (

]

For momenta pointing into the vertex

qq X p X p

A p A p k

) ( ) ( ) ##

( ) ( ) (

− −

∂→

1 1 2 2

1 2 2

µ ν

µ νφφ

Feynman rules

AAΛ

µµ ν

µ ν

µ ν

ν µ

ρσ µν

ρ µ σ ν

ρσ νµ

ρ ν σ µ

ρφ

A A A A

g g A A g g A A gk

∂ − ∂ ∂

∂ ∂ + ∂ ∂ −→

)

(2 AAΛ

νν µσ

ρ µ σ ν

ρµ νσ

ρ ν σ µ

ρσ µν

ρ σ

g A A g g A A

ig g ip ip

k

∂ ∂ − ∂ ∂

− − +→

)

[ ( )( )2

1 2AA

Λgg g ip ip g g ip ip g g ipρσ νµ ρ σ

ρν µσ

ρ σ

ρµ νσ

ρ( )( ) ( )( ) ( )(− − − − − − − −2 1 1 2 2 iip

ig p p p p

Z p Z pi

g p

k

k

1

1 2 2 1

1 2

4

4

σ

µν µ ν

µ ν

µνφ

)]

( )

( ) ( ) (

= −

→ −

⋅ −AA

ZZ

Λ

Λ11 2 2 1

1 2 2 2

⋅ −

∂ ∂ − ∂ ∂→ =

p p p

A p Z p k A Z A Z k

µ ν

µ ν µ ν

µ ν

µ ν

ν µφφ φ

)

( ) ( ) ( )AZ AZΛ ΛΛ

Λ

( )

( )( )(

g g g g A Z

ikg g g g ip ip

ρσ µν ρν µσ

ρ µ σ ν

ρσ µν ρν µσ

ρ

− ∂ ∂

− − −→2

1AZ

22 1 2 2 1

1 2 1

2

4

σ

µν µ ν

µ ν

µνφ

) ( )

( ) ( ) (

= − ⋅ −

− ⋅→+ −

ikg p p p p

W p W pik

g p

AZ

2

Λ

Λpp p p

G p G pi

g p p p pka a

2 2 1

1 2 1 2 2 1

4

−

⋅ −→ −

µ ν

µ ν

µν µ νφ

)

( ) ( ) ( )3

Λ

CP-even Decay widths

kinematics

φ

φ

φ

( ) ( ) ( )q p X pX

m q

→

= =

+12 2

1 2 2

(( )

( )

| |

p p m m p p

p p m m m

mm

1 2

2

1

2

2

2

1 2

1 2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

+ = + + ⋅

⋅ = − −

= −

φ

φ

φp (( ) ( )

( ), |

m m m m m

m m m p p m mX X

1 2

2 2

1 2

2

1 2 1 2

2 21

22

+ − −

= = → ⋅ = −

φ

φ pp p1 22 2 2 2

2 1 2

21 4

21 4

01

2

| | | / , /

(

= = − = ≡ −

= → ⋅ =

mm m

mm m

m p p m

X X X X

φ

φ

φ

φη η

φφ

φ

φ

φ

φξ ξ ξ2 1

2

2

1

2

1 2

2

1

2

1

2

12

11

2 21− = − = = − = −m

m

mm m

m) ( ), | | | | ( ) ( ),p p ≡≡

= = → ⋅ = = =

→ =

m

m

m m p pm m

X X n

1

1 2 1 2

2

1 2

1 21

02 2

1

8

φ

φ φ

φπ

, | | | |

( )| |

p p

pΓ id

mm

X

X

i

n

X

X

q p p

φ

φ γ γ

2

22

2

1

1

1 2

1

1

2

| | ,,

,

( ) ( ) ( )

M

M

spins

id∑ =

+

≠

=

→

= −−

=

⋅ −

⋅

4

4

1 2 2 1 1 2

1

ig p p p p p p

ig p

k

ik

AA

AA

Λ

Λ

( ) ( ) ( )

) ((

* *

*

µν µ ν

µ ν

ρσ

ε ε

M pp p p p p

g p p p pk

2 2 1 1 2

2 1 2 2 1

2216

−

⋅ −=∑

ρ σ

ρ σ

µν µ ν

ε ε) ( ) ( )

(| |Mspins

AA

Λ))( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *g p p p p p p p p

k

ρσ ρ σ

µ ρ ν σε ε ε ε1 2 2 1 1 1 2 2

216

⋅ −

=

∑spins

AA

ΛΛ

Λ

2 1 2 2 1 1 2 2 1

2

216

( )( )( )( )g p p p p g p p p p g g

k

µν µ ν ρσ ρ σ

µρ νσ⋅ − ⋅ − − −

= AA (( )( ) [ ( )g p p p p g p p p p p p pkµν µ ν

µν µ ν1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

2

1

2216

2⋅ − ⋅ − ⋅ += AAΛ

pp

p pk k m

m

2

2

2 1 2

2

2

2 2 4

1

2

2

32 8

1

2

1

8

]

( )

( )| |

| |

= ⋅ =

→ =

AA AA

s

Λ Λ

Γ

φ

φ

φ γγπ

pM

ppins

AA AA∑ = =1

2

1

8

1

2

8

42

2 4 2 3

2 2π πφ

φ φ φ

m

m k m k m

Λ Λ

φ

µν µ ν ρσ

( ) ( ) ( )

( )(| |

q Z p Z p

g p p p p g pk

→

=

+

⋅ −∑

1 2

2 1 2 2 1 1

2216

M

spins

ZZ

Λ⋅⋅ − − +

− +

=

p p p gp p

mg

p p

m

k

Z Z

2 2 1

1 1

2

2 2

2

16

ρ σ

µρ

µ ρ

νσν σ)

ZZ

22 22 2 2

2 1 2

2

1

2

2

2

2

42 216 1

42

8

Λ Λ[ ( ) ] ( )p p p p m

km m

kZ Z⋅ + = +

=−ZZ φZZZ ZZ2

4 2 2 4

2 4

2 4

2 24 6

84 6

1

2

1Λ Λ

Γ

( ) ( )

( )

m m m mk m

ZZ

Z Z Z Zφ φ

φξ ξ

φ

− + − +

→ =

=

11

8

1

2

1

8

1

2

84 611

2

2

2

2 4

2 4

2π πη ξ ξ

φ φ

φ φ| || | (

p

m m

m k mZ Z ZM

spins

ZZ∑ = − +Λ )) ( )

( ) (

/ , /

= − +

≡ − ≡

→

k m

m m m m

q

Z Z Z

X X X X

ZZ

2 3

2 4

2 2

244 6

1 4

1φ

φ φ

πη ξ ξ

η ξ

γφ

Λ

pp Z p

g p p p p g p p pk

1 2

2 1 2 2 1 1 2 2

224

) ( )

( )(| |

+

⋅ − ⋅ −=∑ Mspins

AZ

Λµν µ ν ρσ ρ pp g g

p p

m

p p p pk

Z

12 2

2

2 1 2

2

1

2

2

2242

σ

µρ νσν σ)( )

[ ( ) ]

− − +

= ⋅ + =AZΛ

44 1

412

2 22 2 2 22

2 2 2

2 4

2 2

2 2 2

km m

km m

k mZ Z Z

AZ AZ AZ

Λ Λ Λ( ) ( ) ( )φ φ

φξ− − −= =

ΓΓΛ

( )| |

| | ( ) (φ γπ π

ξφ φ

φ φ→ = = −∑Zm m

m k mZ

1

8

1

8

1

21

21

2

2

2

2

2 4

2

pM

spins

AZ11

81

1

2 2

2 3

2 3

2

2

1 2

− = −

→

=

++ −

∑

ξπ

ξ

φ

φ

Z Z

k m

q W p W p

) ( )

| |

( ) ( ) ( )

AZ

spins

Λ

M66 2

2 1 2 2 1 1 2 2 1

1 1

2

kg p p p p g p p p p g

p p

mW

2

Λ( )( )µν µ ν ρσ ρ σ µρ

µ ρ⋅ − ⋅ − − +

− +

= − +

→ =+ −

gp p

m

W W

k m

W

W Wνσν σ φ ξ ξ

φ

2 2

2 2

2 4

2 48

4 6

1

12

Λ

Γ

( )

( )88 2

4 6112

2

2 3

2 4

2

1

π πη ξ ξ

φ

φ

φ| || | ( )

( ) ( )

p

m

k m

q g p g

W W WM

spins

2∑ = − +

→ +

Λ

(( )

( )( )(| |

p

g p p p p g p p p pk

2

2 1 2 2 1 1 2 2 1

2216

M

spins

3∑ = ⋅ − ⋅ −Λµν µ ν ρσ ρ σ −− − =

→ = =∑

g g

gg

k m

m

k

µρ νσ

φ

φ

φπ

)( )

( )| |

| |

8

81

2

1

8

2

2 4

1

2

2

2

2

3

spins

3

Λ

Γp

Mmmφ

π

3

2Λ

CP-even scalar interactions with SM quarks and gluonsφ

L ⊃k33

Λφ φ

σ φ σ φ σ φ

σ

µν

µν

φG G y

pp gg

qq

qq

a a

qq

q

q u d s c b

+

→ = → + →

∑

∑=

( ) ( ) ( ), , , ,

(( ) , ( )ggk

yqq qq→ ∝ → ∝φ σ φ φ3

2

2

2

Λ

Subprocesses of 1-body productioon

16.725 pb

TeV

For and TeV

Fo

pp

s

k gg

→

=

= = → =

φ

σ φ

13

0 1 13 . , ( )Λ

rr

pb

2.5063 pb

y

dd

uu

ss

qqφ

σ φ

σ φ

σ φ

=

→ =

→ =

→ =

0 1

1 5482

0 14

. ,

( ) .

( )

( ) . 3375

3

pb

0.098142 pb

0.044350 pb

8 TeV

For

σ φ

σ φ

( )

( )

cc

bb

s

k

→ =

→ =

=

== = → =

=

→ =

0 1 1

0 1

0

. , ( )

. ,

( ) .

and TeV

For

3.7830 pbΛ σ φ

σ φ

φ

gg

y

dd

qq

557390

0 036763

pb

0.95271 pb

pb

0.02

σ φ

σ φ

σ φ

( )

( ) .

( )

uu

ss

cc

→ =

→ =

→ = 33507 pb

0.0095815 pbσ φ( )bb → =

S d x i D y d x i D y y

D igA M

M

M f

M

M f f

M M M

= − = − −

= ∂ −

∫ ∫5 5Ψ Γ Φ Ψ Ψ Γ Φ Φ Ψ( ) ( )

,

ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶff f f f

f

M

M

y

y y v yy

R

i i Di

= = =

= = = =∂ ∂

ɶɶ

Φ

Γ Γ Γ

φ

µ µ

µ

µ

π

γ µ γσ

,

( , , , ), ,0 1 2 3 5 5

ii

M i

i M

y

y f

y f

σ

σ

σ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

∂ −∂

∂ − ∂∂ −∂ −

Fermion EoM:

ΨΨΨ

Ψ Ψ

L

R

L a

n n

n

R

n a n

n

x f y x g y

=

= =∑ ∑

0

χ ξ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( )†ɺ

Norrmalization

Solution:

: [ ( )] [ ( )]( ) ( )dy f y dy g yR

nR

n

0

2

0

2 1π π

∫ ∫= =−mm ii m

x

xM

n

n

a

n

n a y f

σ

σ

χ

ξ

µ

µ

µ

µ

∂∂ −

= −∂ +

( )

( )

( )

( ), (

† ɺ0 )) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )f y m g y M g y m f y

M i

n

n

n

y f

n

n

n

y f L

= ∂ + =

∂ − + ∂Ψ σ µ µµµ

µχ σ ξ χ

ΨR

a

n

y f

n n a n

n a

nx M f y i x g y m→ ∂ − + ∂ = −( ) ( ) ( ) ( ) (( )( ) ( ) ( ) ( )† ɺ )) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

x g y i x g y

i M

i

n n a n

L y f R

+ ∂ =

∂ − ∂ +

→

σ ξ

σ

σ

µ

µ

µ

µ

µ

† ɺ 0

Ψ Ψ

∂∂ − ∂ + = ∂µµ

µχ ξ σ χan n n a

y f

n

a

nx f y x M g y i x f( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )†ɺ (( ) ( ) ( )

(

( ) ( ) ( )

( )

n

n

n a n

y f

y m x f y

m M f

− =

= −∂ +→

ξ †ɺ

0

0000 0

0 0

2

0 0

2

1

) ( )

( ) (

( ) , ( ) ( )

( ) ,

y M g y

f y gM

ee

y f

f

RM

M y

f

f

= ∂ + =

→ =−π

or 0 ))( )

( ) (

y

y

M

ee

f

RM

M y

R R

f

f=−

= =

−−2

1

0

2π or 0

Boundary condition Ψ Ψ yy R

f y g yM

eeL L

f

RM

M y

f

f

= =

==−

→

π

π

) :

( ) ( ),( ) ( )

0

02

1

0 0

2Left-handed 0--mode

n f yR

M n R

n

R

ny

RM

ny

RgL

n

f

f L≥ = ++

→1

22 2 2

( )( )/

/cos sin ,

π (( )

( )

( ) sin , ,

( ) ( )/

n

n f

y f L

n

yR

ny

Rm M n M M

M f y

R= = +

−∂ + =

≡2

2

12 2 2 2

πKK KK

ππR

M n R

n

R

ny

RM

n

R

ny

RM

n

R

ny

RM

f

f f f2 2 2

2

2+− − +

+ +

/sin cos cos sin

nny

R

R

M n R

n

RM

ny

Rm g

f

f n L

n

=+

+

=

22 2 2

2

2

2/

/sin ( )

π(( )

( ) ( ) ( )sin cos sin( )

y

M g yR

Mny

R R

n

R

ny

RM

ny

Ry f L

n

y f f∂ + = ∂ + = +2 2

π π

=

m f y

dy

n L

n

R

( )( )

Orthogonality:0

π

∫∫ ∫= =f y f y dyg y g yL n Lm nmR

L

n

L

m nm( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )δ δπ

0

Boundary ccondition Ψ ΨL L

R R

f

y y R

f y g yM

e

( ) ( ) :

( ) , ( )( ) ( )

= = = =

= =− −

0 0

02

1

0 0

2

π

ππ

π

RM

M y

R

n

R

n

f

fe

n f yR

ny

Rg

− →

→≥ = −

Right-handed 0-mode

12( ) (( ) sin , )) ( )

/

/cos sin ,

(

yR

M n R

n

R

ny

RM

ny

Rm M n M

f

f n f= +−

= +

22 2 2

2 2 2 2πKK

−−∂ + = − −∂ + = − − +y f Rn

y f fM f yR

Mny

R R

n

R

ny

RM

ny

R) ( ) ( )sin cos sin( )

2 2

π π

=

∂ + =+

−

m g y

M g yR

M n R

n

R

ny

R

n R

n

y f R

n

f

( )

( )

( )

( ) ( )/

/sin

22 2 2

2

2

π−− + −

= −+

Mn

R

ny

RM

n

R

ny

RM

ny

R

R

M n R

n

R

f f f

f

cos cos sin

/

/

2

2 2 2

2

2

2 π++

=

Mny

Rm f yf n R

n2 sin ( )( )

Orthogonaality: dy f y f y dyg y g yR

R

n

R

m nmR

R

n

R

m

0 0

π π

δ δ∫ ∫= =( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) nnm

Neumann boundary condition ∂ =

=

=

∑

y y R

n

n

x y x f

Φ

Φ

00

,

( )

:

( , ) ( )

π

µ µφ φφµ µ

φ

πφ

πφ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )cos

( )

n n

n

yR

xR

xny

R

f y

= +

=

=

∞

∑1 201

0 11 12

0

π π

δ

φ

π

φ φ

Rn f y

R

ny

R

dy f y f y

n

Rn m n

; , ( ) cos

( ) ( )

( )

( ) ( )

≥ =

=∫ mm

n a

n

n a

L

x x F xx

x

P

φ φχ

ξ

µ µ( ) ( ), ( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )≡ ≡

= +

0

† ɺ

ΨΨ Ψ Ψ ΨPP x x g y f y x x fRn a

a

m n m

a

m n aΨ = +[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ξ χ χ ξɺ

ɺ† † (( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )]

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m n

nm

n

L

m n m m

y g y

F x P F x g y f y F x

∑= + PP F x f y g y

M

M e

R

n m n

nm

f

M Mf

( ) ( ) ( )

/

( ) ( ) ( )]

coth

∑

−

=

1

21

12

ππ

KKKKK

For

−− =

= = = = ∫

11

0 0 0 0

, ( ) cos( )

( ) ( ) , ( ) (( ) ( )

n

R R L L

n

y y R dyg y f

π

πΨ Ψ yy

n dyg y f y dyg y f yM

M nL L

n

L

n

L

n f

f

)

( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )

=

= =+

≠ ∫ ∫

0

00 02 22 2

03 22

11

M

dyg y f y MM

M

nML

n

L f

f

KK

KK

KK∫ = −

−( ) ( )/

( ) ( ) coth[

π

π (( ) ] [ cos( )/

/

/−+

=−

−1 21

12 2 2 2

3 2n M M

f

f

M M

e

M n M

M

e

nM nf

f

π

ππ

πKK

KK

KK

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M n M

n n dyg y f ymn

m m

M M

f

L

n

L

m

fπ /

( ) ( )

]

( ) ( )[

, , ,

KK

KK

2 2 2

0 02 1

+

=−

≠ ≠ ≠ ∫(( ) ]

( )

−− +

⊃ − ⊃ −

+

∫

12 2 2 2 2

4 4

m n

f

f

f

n m

M

M m M

S d xdyyy

Rd xdy

π

π

KK

KK

ɶ ɶɶ

ΦΨΨ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∑

= −

= −+=

∞

φ φ

φ

( ) ( )

( ){ (

x y d x x dy

d x yM

M n Mx F

f

f

f

fn

n

ΨΨ ΨΨ4

4

2 2 21

KK

)) ( )

/

/ /

( ) ( )

[ cos( ) ]

x F x

y M

e

nM n e

M

n

f f

M M

M M

ff

f

−−

−2

1

12

3 2

π

ππ

π

KK

KK

KK

22 2 21

0

2 2

4

++

−−

=

∞

∑n M

x F x P F x h c

y mn

n m

M

M

n

n

L

f

f

KK

KK

φ

π

( )[ ( ) ( ) . .]( ) ( )

22 2 21 1 +

+= =+ =

∞

∑m M

x F x P F x h cn mm n

n

L

m

KKodd

,

( ) ( )( )[ ( ) ( ) . .]}φ

1

21

1

0

2

2coth

( ) (

/

/

π π

π

M

M

e

e

y y

f

M M

M M

L L

f

f

KK

KK

KK

For

+

= −

= = =Ψ Ψ ππR dy f y g y

n dy f y g y dy f

R R

R R

n

) , ( ) ( )

( ) ( ) ,,

( ) ( )

( ) ( )

= =

=≠

∫

∫ ∫

0 0

00

0 0

0

RR

n

R

n f

f

R

n

R f

y g yM

M n M

dy f y g y M

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) coth

=+

=∫

2 2 2

0 2

KK

π

πMM

M

nM e e

M n M

f

M M n M M

f

f f

KK

KK

KK

KK KK

+

− −+

=

−

11

2

3 2

2 2 2

/ / /[( ) ]π π

ππ

ππ

πM

e

nM n e

M n M

n m

f

M M

M M

ff

f

2

3 2

2 2 21

0 0

/

/ /[cos( ) ]

, ,

KK

KK

KK

KK−−

+

≠ ≠ nn dy f y g ymn

n m

M

M m Mm R

n

R

mm n

f

≠ = −− −

− +∫

+

, ( ) ( )[ ( ) ]

( )

( ) ( ) 2 1 12 2 2 2π

KK

KKK

KK

2

4

4

2 2 21

S y d x x dy

d x yM

M n Mx F x

f

f

f

fn

n

⊃ −

= −+

∫ ∫

∫ ∑=

∞

φ

φ

( )

( ) ({ ( )

ΨΨ

)) ( )

[cos( ) ]

( )

/

/ /

F x

y M

e

nM n e

M n

n

f f

M M

M M

ff

f

−−

−+

2

12

3 2

2 2π

ππ

π

KK

KK

KK

MMx F x P F x h c

y mn

n m

M

M m

n

n

R

f

f

KK

KK

21

0

2 2 2 2

4

=

∞

∑ +

+− +

φ

π

( )[ ( ) ( ) . .]( ) ( )

MMx F x P F x h c

n mm n

n

R

m

KKodd

21 1= =

+ =

∞

∑ +,

( ) ( )( )[ ( ) ( ) . .]}φ

Change the sign of Yukawa coupling:

S d x i D y dM M f= + =∫ 5 5Ψ Γ Φ Ψ( )ɶ xx i D M y

M y y vM i

i M

M

M f f

f f f

y f

y f

∫ + +

= =∂ + ∂

∂ −∂ +

Ψ Γ Φ Ψ

Φ

( )

,

ɶ ɶ

ɶφ

µ

µ

µ

µ

σ

σ

=

−∂ − = ∂ −

ΨΨL

R

y f

n

n

n

y f

nM f y m g y M g y

0

( ) ( ) ( ), ( ) ( )( ) ( ) ( ) ==

= −∂ − = ∂ − =→

→

m f y

m M f y M g y

f y

n

n

y f y f

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) , ( ) ( )

( )

0

0 0

0

0 0 0

==−

=−−

−2

1

2

12 2

0M

ee

M

eeg y

f

RM

M y f

RM

M y

f

f

f

f

π π or 0 or 0

Bound

, ( )( )

aary condition Ψ ΨL L

R R

y y R

f y g yM

( ) ( ) :

( ) , ( )( ) ( )

= = = =

= =

0 0

02

0 0

π

⌢ ⌢ ffRM

M y

R

n

ee

n f yR

ny

R

f

f

21

12

π

π

−→

→≥ = −

Right-handed 0-mode

⌢( )( ) sin ,, ( )

/

/cos sin ,( )

⌢g y

R

M n R

n

R

ny

RM

ny

Rm M nR

n

f

f n f= ++

= +

22 2 2

2 2π 22 2

2 2

M

M f yR

Mny

R R

n

R

ny

RMy f R

n

y f f

KK

( ) ( ) ( )sin cos( )−∂ − = − −∂ − = − − −π π

ssin ( )

( ) ( )/

/

( )

( )

ny

Rm g y

M g yR

M n R

n

R

n R

n

y f R

n

f

=

∂ − =+

−2

2 2 2

2

2

πssin cos cos sin

/

/

ny

RM

n

R

ny

RM

n

R

ny

RM

ny

R

R

M n

f f f

f

+ − −

= −+

2

2 2

2 π

RR

n

RM

ny

Rm f yf n R

n

2

2

2

2+

=

⇒

sin ( )( )

⌢gg y f y dyg y f y

d

R

n

L R

n

L

m nm( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ =∫0⌢

δ

Orthogonality: yy f y f y dyg y g y

d

R

R

n

R

m nmR

R

n

R

m nm

0 0

π π

δ δ∫ ∫= =⌢ ⌢ ⌢ ⌢( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )

yy f y g y

n dy f y g y dy f

R R

R R

n

R

∫

∫ ∫

=

=≠

⌢ ⌢

⌢ ⌢ ⌢

( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( )

( ) ( ) ,,

0 0

0

0

00 nn Rn f

f

R

n

R f

y g yM

M n M

dy f y g y M

) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) cot

⌢

⌢ ⌢

= −+

=∫

2 2 2

0 2

KK

πhh

[( ) ]//π

π

πM

M

nM e

M n M

M

e

fn M M

f

ff

KK

KK

KK

KK

−

− −+

= −11 1 23 2

2 2 2 2ππ

ππ

M M

M M

ff

fnM n e

M n M

n nm m

/

/ /[ cos( ) ]

, , ,

KK

KK

KK

KK−−

+

≠ ≠ ≠

1

1

0 0

3 2

2 2 2

ddy f y g ymn

n m

M

M m MR

n

R

mm n

f

∫ = −− −

− +

+⌢ ⌢( ) ( )( ) ( )[ ( ) ]

( )

2 1 12 2 2 2π

KK

KK

22

4

4

2 2 21

S y d x x dy

d x yM

M n Mx F x F

f

f

f

fn

n

⊃ +

= −+

∫ ∫

∫ ∑=

∞

φ

φ

( )

( ) ( ){ ( )

ΨΨ

KK

(( )

/

/ /

( )

[ cos( ) ]

n

f f

M M

M M

f

x

y M

e

nM n e

M n Mf

f

−−

−+

2

1

12

3 2

2 2π

ππ

π

KK

KK

KK

KKK

KK

21

0

2 2 2 2

4

n

n

R

f

f

x F x P F x h c

y mn

n m

M

M m M

=

∞

∑ +

−− +

φ

π

( )[ ( ) ( ) . .]( ) ( )

KKKodd

21 1n m

m n

n

R

mx F x P F x h c= =+ =

∞

∑ +,

( ) ( )( )[ ( ) ( ) . .]}φ

Gauge couplings

Boundary condition A y R Ay y y R( , ) ,

,= = ∂ =

=0 0

0π µ π

00

1 20

:

( , ) ( ) ( ) ( )( ) ,( )

,

( ) (A x y A x f yRA x

RAM

M

M

n

A M

n

n M

nµ µ

µ

µ

µπ π

∑ ∑= = + ))

,

( )

,

( )

( )cos

( ) , ( )

xny

R

f yR

f y

n

A A

µ

µ

µπ

=

∞

∑∑

= =

1

0

5

01 0;; , ( ) cos , ( )

( ) (

,

( )

,

( )

( )

n f yR

ny

Rf y

A x A x

A

n

A

n≥ =

=

≡

12

05

0

µ

µ µ

π

)),

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

gg

R

x f y x g yan n n a n

≡

= ( )

ɶ

ɺ

π

γ χ ξσ

σ

µ

µ

µΨ Ψ †

χχ

ξ

χ σ χµ

a

m m

m a mnm

a

n

a

x f y

x g y

x

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

[ ( )

†

†

ɺ

ɺ

=

∑(( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]m n m n a m a n m

n

x f y f y x x g y g y+ ξ σ ξµ † ɺmm

n

L

m n m n

R

mF x P F x f y f y F x P F x g

∑= +[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (γ γµ µ nn m

nm

Rn m nm

Rn m

y g y

dy f y f y dyg y g

) ( )

( ) ( ) ( ) (

( ) ( )]

( ) ( ) , ( )

∑

∫ ∫=0 0π π

δ ))

(

( )

( ) ( )

y

S d xg A g d xA x dy t g d xA x F

nm

M

M

a a a

=

⊃ ⊃ =∫ ∫ ∫ ∫

δ

γµµ

µ

5 4 4ɶΨΓ Ψ Ψ Ψ nn a n

n

MN M N N M

MN

MN

x t F x

F A A

F F

) ( )( ) ( )

(

γ µ

=

∞

∑

= ∂ − ∂

− = − ∂

0

1

4

1

2

Abelian:

MM N

M N

M N

N M

y A

n

y

A A A A

f yR

ny

R R

n

R

∂ − ∂ ∂

∂ = ∂

= −

)

( ) cos sin,( )

µπ π

2 2 nny

R

dy f y f yR

dynmny

Ry A

n y

A

m

∂ ∂ = −

∫ ∫,( ) ,( )( ) ( ) sinµ µ π2

3

= −

⊃ − = − ∂ ∂ − ∂∫ ∫

sin

(

my

R

n

R

S d xF F d x A A

nm

MN

MN

M N

M N

2

2

5 51

4

1

2

δ

MM N

N M

n m

y A

n y

A

m

A A

d xdy A x A x f y f y

∂

⊃ − ∂ ∂∫

)

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ,( )

,

( )1

2

4

µ

µ

µ µ )) ( ) ( ),

( ) ( )

( )

n m

n n

n

A KK

d xn

RA x A x

mn

RnMn

= =

∞ ∞

∑ ∫ ∑=

= =

1

42

21

1

2µ

µ

Scalar sector

S d x D H D H H M HM MM

M⊃ + ∂ ∂ + + −∫ 5 2 2 2 2 41

2

1

2( ) | | | |† Φ Φ Φµ λɶ −− −

= +

1

4

1

2

4 2 2

!| |

( , )

ɶ ɶλ λφ φΦ Φ

Φ

h H

E E V H

E

Energy density: der

dder = − ∂ ∂ − ∂ ∂

= − − +

∫

∫

dy H H

V H dy H M

y

y

y

y( )

( , ) | |

† 1

2

1

2

2 2 2 2

Φ Φ

Φ Φµ ɶɶɶ ɶ

λλ λ

π π

φ φ

µ µ

| |!

| |

( , ) ( )( )

H H

H x yRH x

R

h4 4 2 2

0

4 2

1 2

+ +

= +

Φ Φ

HH xny

R

x yR

xR

x

n

n

n

n

( )

( ) ( )

( )cos

( , ) ( ) ( )

µ

µ µ µ

πφ

πφ

=

∞

∑

= +

1

01 2Φ==

∞

=

∞

∑

∫ ∑ ∫

= =

1

2 2

0

2 2

cos

| | | ( ) | , [ ( )]( ) ( )

ny

R

dy H H x dy xn

n

n

n

Φ φ==

=

∞

∞

∑

∫ ∑ ∫∂ ∂ = − ∂ ∂ =0

2

2

2

1

2

2dy H H

n

RH x dy

n

R

y

y

n

n

y

y

n( ) | ( ) | , [( ) ( )† Φ Φ φ (( )]

| ( ) | [ ( )]( ) ( )

x

En

RH x

n

Rx

n

n n

n

2

1

2

2

22

2

2

1

1

2

=

=

∞

∞

∑

∑= +

der φ

nn mn

RM n M M

H

n

n n

≥ = − = −

= =

1

0 0

22

2

2 2 2 2

2 2

,

| | ( )

( )

( ) ( )

φ

φ

KK

and minimiize ,derE H

v Hv

n n

h

⇒ = =

− + −

( ) ( )

!( ) | |

0 0

4

6

2

2 2 22

φ

λ λ

λ

φ

φ

φ

φ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶΦ

= − + + −2

4 2 2 4

2

2

4 2 2

42

36ɶɶ ɶ

ɶ

ɶɶ

λ λ

λ

φ

φ φ

φ

φ!| | | |Φ Φv v H v Hh ++

+ − − +

ɶɶ

ɶ

ɶɶ ɶ

ɶvH

vv H v

vh4

2 22

2 2 2 22

4

12

2 2

λ

λ

φ

φ

φ φΦ Φ| | | |

= − − + +ɶ ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ ɶλ λ λ λ λφ φφ

φ φ φ

4 12 4 2

34 2 2 2 2 2 2

!| |Φ Φ Φ Φv v Hh h hh h hH v H v H v

2

4

2

2 2 2 2 4

2

3

2 2 4

3

ɶ

ɶ

ɶɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

λ

λ

λ

λ λ λ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ| | | | | |

!− − + + hh h

h

v v v

v Hv

2

4 2 2

2 2 22

8 4

4

6

2

ɶɶ

ɶ

ɶ ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

λ

λ

λ λ

λ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

+

− + −

!( ) | |Φ

+ −

− +

22

4 2 243

2 4ɶ

ɶ

ɶɶ

ɶλ

λ

λ

φ

φ

hH v H

v| | | |

== − +

+ +

ɶ ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶɶ

λ λ λ λλ

φ φ

φ

φ φ

4

1

2 6 2 2

4 2 2 2 2 2 4

!| | | |Φ Φ Φv v H Hh h −− +

+ + +

ɶ ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ ɶ

ɶ

ɶλλ λ λ λφ

φ

φ

φ

φ

φv v H v v v vh h2 2 2 4 2 2

2 24 4 4| | 44

2 2 22

4

6

2V H dy v H

vh( , )

!( ) | |Φ Φ= − + −

∫ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

ɶλ λ

λ

φ

φ

φ

φ

222

22

2

2 23

2 2 4 2+ −

−

− −ɶ

ɶ

ɶ

ɶɶ

ɶ ɶ

ɶ

λλ

λ

λ λφ

φ

φ

φ

φh hH

vv v| |

44 4

4

1

2 6 2

4 4

4 2 2

ɶ

ɶ

ɶ

ɶ ɶ

ɶ

ɶ

ɶ

v v

dy v vh

φ

φ φ

φ

φ

λ

λ λ λ

−

= − +

∫ ! Φ

+ + − +

Φ Φ2 2 2 4 2 2 22 2

ɶɶ ɶ ɶ

ɶ

ɶλ

λ λλφ φ

φ

h hH H v v H| | | | | |

= − − + + +

∫ dy H M H Hhµ λλ λφ φ2 2 2 2 4 4 2 21

2 4 2| | | |

!| |Φ Φ Φɶ

ɶ ɶ

⇒⇒ + = + =

⇒ =−

1

2

1

6

1

2

6 2

2 2 2 2 2 2

2

2

ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ

ɶ

ɶ

λ λ λ λ µ

λ

φ φ φ φ φ

φ

h h

h

v v M v v

vM

,

ɶɶ

ɶ ɶ ɶɶ

ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ

ɶ

λ µ

λ λλ

λ µ λ

λ λλ

λ

φ

φ φ

φ

φ

φ φ

φ

2

2

2

2 2

23 2

6 12

3 2

0

h

h

h

vM

−=

−−

>

,

, ɶɶɶ

ɶ

ɶɶλ

λ

λ

φ

φ

φ− > ⇒ = = ⇒3

20

2

2

22

2 2h Hv

v V H H| | ( , ) | | and minimize Φ Φ 222

2= =ɶ

ɶv

v, Φ φ

0

1

2

00 0 2

-mode mixing

φ φ πφ φ( ) ( )( ) ( ), ( )

( ),x v x H x

v h xv= + =

+

≡ RR Rv v v

V H dy HM

Hh

ɶ ɶ

ɶɶ ɶ

φ

φ φ

π

µ λλ λ

2 2 2

2 22

2 4 4

2 4

,

( , ) | | | |!

≡

⊃ − − + + +∫Φ Φ Φ 22

2

2 2

2 0 22

0 2 0

Φ | |

| ( ) | [ ( )] | ( ) |( ) ( ) ( )

H

H xM

xRH x

⊃ − − +µ φλ

π

ɶ44 0 4 0 2 0 2

2

4 2

2

+ +

= − +

ɶ ɶλ

πφ

λ

πφ

µ

φ φ

![ ( )] | ( ) | [ ( )]

( )

( ) ( ) ( )

Rx

RH x x

v h

h

222

2 4 4 2 2

2 4 44− + + + + + + + +

≡

Mv v h v v h v

R

h( ) ( )

!( ) ( ) ( )φ

φ

φ

φ

φφλ

φλ

φ

λ

π

λ

λɶ

,, ,λλ

πλ

λ

π

λ λ

φ

φ

φ

φ

φ φ

≡ ≡

→ +

ɶ ɶ

R R

v v

h

h

hMinimization conditions1

2

1

6

2

φφ φ φλ λ µ

µφ

λ

2 2 2 2 2

22

22

1

2

2 2 44

= + =

⊃ − − +

M v v

V H hM

v

h,

( , ) (

Mass terms:

Φ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 4 2 424 4

h v h v v v h vv h

v

vh+ + + ++ +

=

) ( ) ( )λ λ

φφ φ φ

λ

φ φ

φ φ φ φ

22 2 2 2

2

2

1

6

1

2h v vv h h

vv

vv

hm

mh

h h

h

+

+ = ( )λ λ

λ

λφ φ φ

φφ φ

φ

φ φ

φ φ

φ

φ

+ − +≡ ≡ = ±m m m m m mv v mh h hh2 2 2 2 2 2 22 2 22

1

34

1

21 2λ λ λφ φ φ φφ, , ( ), φφ φ

α α

α α φ

hv v

h h

h

2

2

2 2

1

=

−

cos sin

sin cos, tann 2

22 2

αλφ

φ

φ=−h

h

vv

m m

H

dy f y g yM

MeL R

f M f

couplings to quarks

KK

∫ = 2 − −( ) ( )( ) ( ) [(0 0 21π π // / /

/ / /

)( )]

[( ) ]

M M M

f M M M M

e

M

Me e

f

f f

KK KK

KK KK

KK

2 1 2

2 1

1π

π π

π

−

= 2 −

−

− − 22

2 2

=2

−

=−

−

∫

π

π π

M

M e e

dy f y g yn M M

f

M M M M

L

n

R

n

f f

KK

KK

KK KK( )

( ) ( )

/ /

( ) ( ) ff

f

L

n

R

f f

f

n M M

dy f y g yM

M

M M

M n

2

2 2 2

0

22

21

KK

KK

KK

+

= ++∫

( ) ( )( ) ( ) cothπ

π

22 2

3 2

2 2 2

1 1

4

Mn e

nM M

M n M

n M M

f

f

f

KK

KK

KK

KK

− −

=+

−

/

/[ ( ) ]

π

π

− −

−−

∫

3 2

2

0

1 1

11

//

/

( ) ( )

( )( )

( ) (

n M M

M M

n

L R

n

e

e

dy f y g y

f

f

π

π

KK

KK

)) coth [( )

/

/= −+

−2

21 1

2 2 2

3 2

π

ππ

M

M

M M

M n Mn e

f f

f

n M Mf

KK

KK

KK

KKK

KK

K

KK

KK

−

=+

− −

1

4 1 12 2 2

3 2

2

]

( )/

/

/π

π

π

nM M

M n M

e

e

f

f

n M M

M M

f

f KK −

⊃ − ′ + ⊃ − ′ + ⊃ −′

∫ ∫

1

5

2

5

2

0S d x y Qi H U h c d x y Qi H U h cu u( . .) ( . .)* ( )*

ɶ σ σyyv h d x U U h c

y M

M e e

u

u f

M M M Mf f

2

2

5

2 1( ) ( . .)

( )(

/ /

+ +

⊃ −′ 2

−

∫

−

π

π π

KKKK KK

vv h d x u P u h c

yv h d x

n M M

n M

R

u f

+ +

−′

+−

∫

∫

) [ . .]

( )

( ) ( )4

2

0

1

0

5

2 2 2

2 22

KK

KK +++

−′

++

=

∞

∑

∫

Mu P u h c

yv h d x n

M M

M n

fn

n

R

n

u f

f

21

2 1

4

2 2

4

2

[ . .]

( )

( ) ( )

{π

KK

MM

e

eu

n M M

M Mn

n nf

fKK

KK

KK2

3 2

21

2

1 1

11

− −

−−

=

∞

∑/

/

/

( )( ) [( )

π

π

PP u u P u h c

M

M e e

R R

n

M M

f

KK

M Mf KK

f KK

1

0

2

0

1

0

2

( ) ( ) ( )

//

] . .

lim(

}+ +

−→ −π

π ππM Mf KK

htt

/)

=

⇒

1

The coupling is the same as in the SM for MM M

M M

f

f

/

/

,KK

KKbut it is reduced as increases

Change the

→ 0

ssign of the Yukawa coupling:ΦUU

dy f y g y dy fL R L∫ ∫=( ) ( )( ) ( )0 0 (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )n Rn L n R L Rny g y dy f y g y dy f y g y= = =∫ ∫1 0 0 00

2

2

5

2

5

2 1S d x y Qi H U h cyv h d x U U h c

yv

uu

u

⊃ − + ⊃ − + +

= −

∫ ∫( . .) ( ) ( . .)

(

*ɶ σ

++ + +

⇒

∫h d x u P u u P u h chtt

R

n

R

n) [ . .]( ) ( ) ( ) ( )5 20

1

0

2 1

The coupling iis the same as in the SM

φ

φ

→

− −

ff H

u P u H u P u uRn n

R

decay induced by

2

0

2

0

2 1

0

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, 00 10

1 1

0

1

0

2

0

2

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ). .

P u H u P u

h c u P u H u P

R

n n

R

L

n n

− −

− −→

φ

LL L

n n

L

ttt q

q

u u P u H u P u

ym

nM M

M

2

0

1

0

1

0

1 2

0

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),φ φ

πφ

− −

= − KK22 2 2

3 2

21

2

1 1

1

1

+

− −

− +×

=

∞

∑n M

e

e M n

n M M

M Mn q

q

qKK

KK

KK

//

/

( )π

π 22 2

2

3 2

21

2

1

1 1

M

y M

e

nM e

M

n q q

M M

n M M

qq

q

KK

KK

KK

KK

× −−

−− −

+( )

[ ( ) ]/

/ /

ππ

π

nn M

y M

e

nM e

M n M

q f

M M

n M M

qq

q

2 2 2

3 2

2 2

2

1

1

KK

KK

KKKK

KK

+−

−− −

+π ππ

/

/ /[( ) ]22

2 2 3

2 2 2 6

116 1 1

=+

− − −+y m n M MM n M

eq t q

q

n n Mq

π

π

KK

KK( )

( ) [( )//

/

/

]

( ) ( )

M

M M

n

t

n

n

n

M M

e

m

v n e

q

q

KK

KK

2

2

1

1

1

1

16 11

2 1

π

φ

ππ

−

=−

−−

=

+

=

∞

∞

∑

∑KKK

KK

KK

+ −

+

−

( )1

3

n

q

q

M

nM

nM

M

Ma

(a) In the viewpoint of insertio

ss mixing term insertion

nn

DR DLL ⊃ + + + − + −y R t t R y L t t L m t R R t m LtR L R R L tL R L L R L R R Lφ φφ φ( ) ( ) ( ) ( LL R R L

t R L

tt

t t

t t L

m tt m RR m LL

ty t

q m u q q m qv q

+

− − −

→

= / = / − =

)

, ( ) , ( )

φ φ

2 2−− − / − = − − =

−

− = −

[ ( )] ( )

:

( ) ( ) ( )( )( )

qv q m m

tR Rt

iy u q v q u q im

t t

tt

R

φ

φ DR PPi

q my P y P

i

q mi

q mi v q u q i

q mR

R

tR R tR L

R

R R( ) ( )

(( ) ( )/+

− +/ +

− −−

2 2 2 2φ φmm P

y m

m mP P

v q

i u q m v q u q m v q

L

tR

t R

R LR R

DR

DR

)

[

( )

( ) ( ) ( ) ( )]

−

= − + − =−

φ

2 2ii u q v q

y

tL Lt

y m m

m m

y m m

m m

tR R

t R

tR R

t R

tt

R

φ

φ

φ

φ

DR

DR

2 2

2 2

−

−

−

⇒ =

−

( ) ( )

( )

::

( ) ( ) ( ) (( )( )( )

iy u q v q u qq m

i v qim Pi

q my Ptt

L LL

L

tL Lφ φ− =/ +

−−−

DL 2 2)) ( ) ( )

( )( )+ /

+−

=

−−

−

u q iq m

v q

i

y Pi

q mim P

y m

m m

tL R

L

R

tL

t L

Lφ

φ

2 2

2 2

DL

DL[[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( )u q m v q u q m v q i u q v qP P

y m m

m mL LL R

tL L

t L

− + − = −

⇒

−

φ DL

2 2

yy

y y y

y m m

m m

y m m

m

tt

L

tt tt

R

tt

L

tL L

t L

tR R

t

φ

φ φ φ

φ

φ

( )

( ) ( )

=

= + =

−

DL

DR

2 2

2−−

+−

− −m

y m m

m m

y m

m

y m

mR

tL L

t L

tR

R

tL

L

2 2 2

φ φ φDL DR DL≃

.

Feynman Rules:

φ

t

R

= iyφtRPR

yφtRφR̄LtR:

φ

R

t

= iyφtRPL

yφtRφt̄RRL:

R t = −imDRPR

−mDRt̄LRR:

t R = −imDRPL

−mDRR̄RtL:

φ

t

L

= iyφtLPL

yφtLφL̄RtL:

φ

L

t

= iyφtLPR

yφtLφt̄LLR:

L t = −imDLPL

−mDLt̄RLL:

t L = −imDLPR

−mDLL̄LtR:

φ → tt̄ Feynman diagrams:

R

φ

t̄

t

+

R

φ

t̄

t

+

L

φ

t̄

t

+

L

φ

t̄

t

.

(b) In the viewpoint of state mixing

mass− = + + +L m tt m RR m LLt R L mm t R R t m L t t L

t R L

m m

m

m m

L R R L L R R L

L L L

t

R

L

DR DL

DR

DL

( ) ( )+ + +

= ( )

0

0 0

0

+ = ′ ′ ′( )

′tR

L

h c t R L

m

m

m

R

R

R

L L L. .

1

2

3

tt

R

L

h c

m m

m

m m

m

R

R

R

t

R

L

′′

+

= =′

. .

,M M

DR

DL

0

0 0

0

¶

tt

R

L

R

R

R

R

R

R

m

m

V U

t

R

L

U

t

R

L

′

′

=

=

′′′

†M M¶,

=

′′′

= =

,

t

R

L

V

t

R

L

U U V V

L

L

L

L

L

L

† † † †MM MM ddiag

Eigenvalue perturbation:

( , , )

( ) ( ) (

m m mt R L

i i

′ ′ ′

=

2 2 3

0 0K x λ

00 0

0 0 0

) ( )

( ) ( ) ( ), ,

x

K K K x x x

Kx

i

i i i i i i

i

= + = + = +δ λ λ δλ δSolution to ==

+ +−

λ

λ λ δδ

λ

i i

i i i i i i

j i

i

x

x Kx x xx Kx

:

,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )≃ ≃

0 0 0 0

0 0

0

T

T

λλ jj

j

t

R

L

i

m

m

m

( )

( )

( ),

0

0

0

2

2

2

x

K K

≠∑

= =

MM†

=

=

,

(( )

δ

λ

K

m m m m m

m m m

m m

m

t L

t

L

i t

DL DR DL

DR DR

DL

2

2

0

0

0 0

22 2 2

1

0

2

0

3

1

0

0

0

1

0

, , ), , ,( ) ( ) (m mR L U U Ux x x=

=

00

0 0 0 2 2 2 2

0

0

1

)

( ) ( ) ( ) ( ,

=

+ = + +λ λ δi i i i t Rm m m m≃ x KxT

DL DR ,, )

,

m

m m

m m

m m

m m

L

Ut

t R

L

t L

U

2

1 2 2

2 2

2

1

x x≃ ≃DR

DL

−

−

mm m

m m

m m

m m

t

R t

U

L

L t

DR DL

2 2

3

2 2

1

0

0

1

−

−

, x ≃

=

, U

N N N

U

U

U

U

U

U

x x x1

1

2

2

3

3

K K K= =

=MM† , ,( )02

2

2

2

0 0

m

m

m

m m m m m

m m

m

t

R

L

R t

Rδ

DR DR DL

DR

DLmm m

m m m

t

i t R L V

0

1

0

0

2

0 2 2 2

1

0

DL

= =

λ ( ) ( )( , , ), x ,, ,( ) ( )

( ) ( )

x x

x

v V

i i i

2

0

3

0

0 0

0

1

0

0

0

1

=

=

+λ λ≃ TδδKx

x

i t R L

VR

t R

t

t

m m m m m

m m

m m

m m

m

( ) ( , , )0 2 2 2 2 2

1 2 2

2

1

= + +

−

−

DR DL

DR

DL

≃

mm

m m

m m

L

V

R

R t

2

2

2 2

1

0

−

, ,x ≃

DR

xxx x x

V

t

L t

V

V

V

V

V

V

m m

m m

VN N N

3

2 2

1

1

2

2

3

3

0

1

≃

DL

−

=

,

− − −′ + ′ + ′t

m m

m m

m m

m mR

m m

m mt R LR

t

R t

L

L t

Rt

t R

R R R≃ ≃DR DL DR

2 2 2 2 2,

22 2 2

2 2

′ + ′ ′ + ′

′ + ′ +

−

−

t R L t L

t R

m m

m m

tm m

m m

m

R R R R R

L L

L

t L

LR

R t

, ≃

≃

DL

DR DLmm

m mR

m m

m m

m m

m mL t R L t Lt

L t

LR

t R

t

t L

L L L L L2 2 2 2 2 2− − −′ ′ + ′ ′ + ′, ,≃ ≃DR DL LL

L L

tR L R tL R L

tRR

t R

y R t y L t h c

ym m

m mt R

L ⊃ + +

−

′ + ′

φ φ

φ

φ φ

φ

. .

≃DR

2 2 − −

+−

′ + ′ + ′t R Lm m

m m

m m

m m

ym m

m

R R Rt

R t

L

L t

tLL

t

DR DL

DL

2 2 2 2

2φφ

mm

m m

m m

m m

m mt L t R L

L

R

R t

t

L t

R R L L L2 2 2 2 2′ + ′ ′ + ′ + ′

− −

DR DL ++

⊃− −

+′ ′ + ′ ′

h c

ym m

m my

m m

m mh ct t t ttR

R

t R

tLL

t L

L R R L

. .

.φ φφ φDR DL

2 2 2 2.. =

=−

+−

−

′ ′y

yy m m

m m

y m m

m m

y m

t ttt

tt

tR R

t R

tL L

t L

tR

φ

φ

φ φ φ

φ

DR DL D

2 2 2 2≃

RR DL

m

y m

mR

tL

L

− φ