Post on 10-Mar-2020
1
* Stationary Charge Electrostatic Fields
𝛻 ∙ E = ρ
𝛻 × E = −𝜕B/𝜕t
* Steady Current Magnetostatic Fields
𝛻 × H = 𝜕D/𝜕t + J
= J
H1 = 0
2
* Time-Varying Current Electromagnetic Fields (or Waves)
Fig 9.1 Various type of time-varying current
(a) sinusoidal (b) rectangular
(b) triangular
4
9.2 Faraday’s Law
Faraday’s law states that the induced emf (electromotive force), Vemf [volt], in
any closed circuit is equal to the time rate of change of the magnetic flux
linkage by the circuit.
Vemf = −dλ
dt= −N
dψ
dt(9.1)
“- sign” is from Lenz’s Law & diamagnetic.
𝐁
𝐈
5
)b3.9(IRLdE -LdE V
battery)(through )a3.9(LdE 0 LdE LdE
)2.9(EEE
P
N eP
N femf
L
P
N ffL
ef
From Fig. 9.2 (Ef : emf-produced field, Ee : electrostaic field)
• Ee cannot maintain a steady current in a closed circuit• Ef is nonconservative
Fig 9.2 Circuit showing emf-producing field Ef and electrostatic field Ee.
P
N
EeEf R
Ee
I
전지
6
ef
PP
L
LL
kLL
EEE
?0E
0V
dV-
Ld)V( LdE
0LELdE
0SdE
0t
BE
k
P
N
E’eEf R
Ee
I
전지
P
N
Ef R
Ee
I
전지
∆𝐋𝐤
𝐄𝐋𝐤실제의 경우
Electrostatic 경우
9
9.3 Transformer and Motional EMFs (EMF=electromotive force)
A. Stationary Loop in Time-Varying B Field (Transformer emf)
)5.9(SdB dt
d
SdBt
Sdt
BSdELdE V
)4.9(dt
d- V
S
SSSLemf
emf
)8.9(t
BE
)7.9(Sdt
B Sd)E(
)6.9(Sdt
B LdE V
SS
L Semf
11
B. Moving Loop in Static B Field (Motional emf)
(9.14))B u(E
(9.13)uB V
(9.12)BI F
(9.11)B I F
)10.9(Ld)B u(LdEV
(9.9)B uQ
FE
(8.2)B IB uIt B uQ F
m
emf
m
m
LL memf
mm
m
14
C. Moving Loop in Time-Varying Field
(9.16))Bu(t
BE
)15.9(Ld)Bu( Sdt
B LdE V
L LSemf
A. Stationary Loop in Time-Varying B Field (Transformer emf)
)8.9(t
BE
)7.9(Sdt
B Sd)E(
)6.9(Sdt
B LdE V
SS
L Semf
15
참고
II-4. Faraday 방정식
Eulerian Description
날아가는 야구공이 있을 때 야구공의 속도, 가속도는 야구공에서 측정, 혹은 계산한 값이다. 우리가 사용하는 d/dt의 미분자는 관찰자의 시선이 움직이는야구공을 따라가며 측정, 혹은 계산한 시간에 대한변화율이다.
시선을 움직이는 야구공에 고정하고 초기의 위치와속도를 기억하여 지금의 속도를 계산하고 위치를 계산하는 것이 Lagrangian Description이다.
시선을 움직이지 않고 시간과 공간 좌표로 야구공이나는 것을 관찰, 묘사하는 것이 Eulerian Description
이다. 대부분의 경우 Field를 기술하는데 Eulerian
Description이 편리하게 사용된다. 하지만 움직이는야구공을 묘사하는 경우에는 Lagrangian Description
이 편리하다.
그림 2.8 Eulerian Description에서Total Derivative d/dt 설명도.
입자들이 A에서 B로 이동.
16
그림 2.8에서 u, v, w는 좌표 x, y, z 방향의 속도이다.
시간이 t에서 t+dt로 지나가 입자들이 A에서 B로 이동했을 때 임의의 특성 변화를 dH라고 가정 한다.
Euler Description에 의거 Taylor Series에 의해 dH는방정식 (2.45)과 같이 나타낼 수 있다.
dH =𝜕H
𝜕tdt +
𝜕H
𝜕xdx +
𝜕H
𝜕ydy +
𝜕H
𝜕zdz (2.45)
t의 미분 의 의미는 t 이외의 독립변수는 상수처럼 여기면서 미분하라는 수학적인 도구이며 현재 위치에서의 시간에 대한 변화율이다. 과거에 현재 위치에있던 것은 그림 2.8에서 B로 갔고 지금 현재 위치에있는 것은 다른 것이다. d/dt는 흐름을 따라가며 측정한 시간에 대한 변화율이다. dx=udt, dy=vdt, dz=wdt
이므로 방정식 (2.45)는 방정식 (2.46)이 된다.
dH
dt=𝜕H
𝜕t+ u
𝜕H
𝜕x+ v
𝜕H
𝜕y+ w
𝜕H
𝜕z
=𝜕
𝜕t+ u
𝜕
𝜕x+ v
𝜕
𝜕y+ w
𝜕
𝜕zH (2.46)
𝜕/𝜕𝑡 = 0인 것을 Steady State라 하고 𝜕/𝜕𝑡 ≠ 0이면Transient State라고 한다.
17
Faraday 방정식 유도
Faraday의 정성 어린 관찰의 결과 초전도 물질로 만든 폐회로를 통과하는 자장의 시간변화율에 비례하여 폐회로에 전류를 만드는 기전력이 커진다는 것이알려졌다.
그림 2.9 Faraday 방정식을 유도하기 위한 설명도.
단위를 volt로 가지는 φ는 기전력이라 하고 F는 그림2.9의 폐회로를 수직으로 관통하는 자장의 성분에면적을 곱한 값이라고 하면 방정식 (2.47)을 얻는다.
S는 Contour C로 둘러 쌓인 면적이다.
φ = −k𝜕F
𝜕t(2.47)
where φ = E′ ∙ dL
F = B ∙ ndS
E′은 실험실에서 실험자가 폐회로에 생긴 전장을 측정한 값이다. 상수 k가 1 이 되도록 단위를 조정한다.
폐회로가 움직이지 않으면서 측정한 전장을 E′′라고하면 움직이지 않는 폐회로에 대한 방정식 (2.47)은다음과 같이 정리 된다.
E′′ ∙ dL = 𝛻 × E′′ ∙ ndS
=𝜕
𝜕t B ∙ ndS
𝛻 × E′′ +𝜕B
𝜕t= 0 (2.48)
방정식 (2.48)은 폐회로와 관계없는 일반적인 현상을묘사하는 방정식이다. 폐회로가 움직이는 경우를 고찰한다. 폐회로가 그림 2.10과 같이 등속도 를 가지고 이동하며 폐회로에 생긴 전장 를 측정할 경우를살핀다.
그림 2.10 폐회로가 속도 v로 이동.
18
방정식 (2.49)에 의하여 방정식 (2.47)을 정리하면 다음과 같다.
𝛻 × E′ − v × B +𝜕B
𝜕t= 0 (2.50)
일정하게 상대적으로 움직이는 2 개의 좌표계에서각 관찰자가 관찰하는 물리적 현상은 같아야 한다는Galilean Invariance에 의해 폐회로에 생긴 전장은 같
아야 한다. 방정식 (2.48)와 (2.50)은 같다. E′′ = E라하면 방정식 (2.51)을 얻을 수 있다.
E′′ ∙ dL = 𝛻 × E′′ ∙ ndS
=𝜕
𝜕t B ∙ ndS
𝛻 × E′′ +𝜕B
𝜕t= 0 (2.51)
다음과 같이 Faraday 방정식이 유도 되었다.
𝛁 × 𝐄 +𝛛𝐁
𝛛𝐭= 𝟎 (𝟐. 𝟓𝟐)
방정식 (2.46)의 d/dt 의미를 새기면서 방정식 (2.47)
의 우변을 정리한다.
d
dt B ∙ ndS
= dB
dt∙ ndS
= 𝜕B
𝜕t+ v ∙ 𝛻B ∙ ndS
𝛻 × B × v = v ∙ 𝛻B − B ∙ 𝛻v + B𝛻 ∙ v − v𝛻 ∙
B
= 𝜕B
𝜕t+ 𝛻 × (B × v) + v(𝛻 ∙ B) ∙ ndS
= 𝜕B
𝜕t∙ ndS + 𝛻 × (B × v) ∙ ndS
= 𝜕B
𝜕t∙ ndS + B × v dL (2.49)
19
참고: Vector identity
𝛻 ∙ φu = φ𝛻 ∙ u + u ∙ 𝛻φ
𝛻 × φu = φ𝛻 × u + 𝛻φ × u
𝛻 ∙ u × v = v ∙ 𝛻 × u − u ∙ 𝛻 × v
𝛻 × u × v = v ∙ 𝛻u − u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u − v ∙ 𝛻u
𝛻 u ∙ v = u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u + u × (𝛻 × v) +v × (𝛻 × u)
𝛻 × 𝛻φ = 0
𝛻 ∙ 𝛻 × u = 0
𝛻 × 𝛻 × u = 𝛻(𝛻 ∙ u) − 𝛻2u
𝛻 ∙ 𝛻φ1 × 𝛻φ2 = 0
a × b × c = (a ∙ c)b − (b ∙ a) c
a × b ∙ c × d = a ∙ c ∙ b ∙ d − a ∙ d ∙ b ∙ c
20
Fig 9.6 For example 9.1.
예제 9.1 그림 9.6의 Circuit에 유도되는 전압을 계산하라.
(a) 막대가 y=8 cm에 있고 𝐁 = 𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟔𝐭) 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
(b) 막대가 속도 𝐮 = 𝟐𝟎 𝐚𝐲 𝐦/𝐬𝐞𝐜로 이동하고 𝐁 = 𝟒 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
(c) 막대가 속도 𝐮 = 𝟐𝟎 𝐚𝐲 𝐦/𝐬𝐞𝐜로 이동하고 𝐁 = 𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟔𝐭 − 𝐲) 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
LS
S
Lemf
Ld)Bu(Sdt
B
SdE
LdE V(9.15)
𝐮
𝐁
𝐱
𝐲
L=6 cm
𝐏
𝐐
𝐋
21
예제 9.1 그림 9.6의 Circuit에 유도되는 전압을 계산하라.
volt)t10sin(2.19
)06.008.0()t10sin(4000
dxdy)t10sin(10004.0
Sdt
B
Ld)Bu(Sdt
BV)15.9(
6
6
08.0
0y
06.0
0x66
emf
(a) 막대가 y=8 cm에 있고 𝐁 = 𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟔𝐭) 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
𝐮
𝐁
𝐱
𝐲
L=6 cm
𝐏
𝐐
𝐋
22
(b) 막대가 속도 𝐮 = 𝟐𝟎 𝐚𝐲 𝐦/𝐬𝐞𝐜 로 이동하고 𝐁 = 𝟒 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
mV8.4
06.0004.020uB
dx)uB(
dxaa)uB(
adx)aBau(
Ld)Bu(
Ld)Bu(Sdt
BV(9.15)
0
x
0
x xx
0
x xzy
L
LSemf
예제 9.1 그림 9.6의 Circuit에 유도되는 전압을 계산하라.
𝐮
𝐁
𝐱
𝐲
L=6 cm
𝐏
𝐐
𝐋
23
예제 9.1 그림 9.6의 Circuit에 유도되는 전압을 계산하라.
volt)t10cos(240)yt10cos(240
)yt10cos(0048.0)t10cos(240)yt10cos(240
)yt10cos()06.0)(08.0()yt10cos(240
dxaa)]yt10cos()004.0)(20[(
dxyd)yt10sin()10)(004.0(
dxa]a)yt10cos()004.0(a20[
dxyd)yt10sin()10)(004.0(
Ld)Bu(Sdt
BV(9.15)
66
666
6y
0
6
0
06.0 xx6
06.0
0x
y
066
0
06.0 xz6
y
06.0
0x
y
066
LSemf
(c) 막대가 속도 𝐮 = 𝟐𝟎 𝐚𝐲 𝐦/𝐬𝐞𝐜 로 이동하고 𝐁 = 𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟔𝐭 − 𝐲) 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
방법 1
𝐮
𝐁
𝐱
𝐲
L=6 cm
𝐏
𝐐
𝐋
24
예제 9.1 그림 9.6의 Circuit에 유도되는 전압을 계산하라.
mWb)t10sin(24.0)t20t10sin(24.0
)t20uty(
mWb)t10sin(24.0)yt10sin(24.0
)yt10sin()06.0(4
ydxd)yt10cos(4
SdB
66
66
y
0y
6
y
0y
06.0
0x6
S
volt)t10cos(240)yt10cos(240
)t10cos()2010)(001.0(24.0)t20t10cos()2010)(001.0(24.0
t
)001.0(V
66
6666
emf
(c) 막대가 속도 𝐮 = 𝟐𝟎 𝐚𝐲 𝐦/𝐬𝐞𝐜로 이동하고 𝐁 = 𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟎𝟔𝐭 − 𝐲) 𝐚𝐳 𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐
방법 2
𝐮
𝐁
𝐱
𝐲
L=6 cm
𝐏
𝐐
𝐋
25
Figure 9.7 For example 9.2; polarity is for increasing emf.
예제 9.2 그림 9.7에서 자기장 𝐁 = 𝟓𝟎 𝐚𝒙 mWb/m2 내에 loop가 존재 한다.loop가 50 Hz로 회전하며 자속과 쇄교 하며 t=0 에서 yz 평면에 있다.
(a) t=1 msec에서의 기전력(b) t=3 msec에서 저항이 0.1 Ω일 때 유도 전류
R=0.1 Ω
𝐁
3 cm
A
B
C
D
y
x
z
φ
ω
26
R=0.1 Ω
𝐁
3 cm
A
B
C
D
y
x
z
φ
ω
예제 9.2 그림 9.7에서 자기장 𝐁 = 𝟓𝟎 𝐚𝐱𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐 내에 loop가 존재 한다.
loop가 50 Hz로 회전하며 자속과 쇄교 하며 t=0 에서 yz 평면에 있다.(a) t=1 msec에서의 기전력
mVcos6
03.0cos5010004.0
)dzcosB(
adz)acosB(V
acosB
0sinBcosB
00
aaa
Bu
)asina(cosBaBB
sec]/radian[100f2
aadt
d
dt
Ldu
adzLdLd
DCLine
Ld)Bu(Ld)Bu(Sdt
BV(9.15)
03.0
0z 0
03.0
0z zz0emf
z0
00
z
0x0
zDC
LLSemf
에서
0Ld)Bu(
mV825.5
mV)10/sin(6
)10/sin()2/10/cos(
2/10/
2/t
mVcos6V
001.0t
emf
28
예제 9.2 그림 9.7에서 자기장 𝐁 = 𝟓𝟎 𝐚𝒙𝐦𝐖𝐛/𝐦𝟐 내에 loop가 존재 한다.
loop가 50 Hz로 회전하며 자속과 쇄교 하며 t=0 에서 yz 평면에 있다.(b) t=3 msec에서 저항이 0.1 Ω일 때 유도 전류
A1525.01.0
)10/3sin(006.0
R
VI
mV)10/3sin(6
)10/3sin()2/10/3cos(
1002/10/3
2/t
mVcos6V
emf
003.0t
emf
R=0.1 Ω
𝐁
3 cm
A
B
C
D
y
x
z
φ
ω
29
volt)t100cos(6
1.02
)t100cos(300001.0)104(500200100
)t100cos(3002
SNN
dt
di
2
SNN
dt
dNV
2
SiN
S/
iN
R
7
0
211
0
2122
0
1111
예제 9.3 그림 9.8에서 단면적 10-3 m2, Turn N1=200회 인 Coil에 전류 i1=3sin(100πt) A가흐를 때 N2=100회 인 Coil에 유도되는 기전력을 구하라.매질의 투자율은 μ=500μ0 이다.
N1=200
ρ0=10 cm
N2=100
i1=3sin(100πt)
V1 V2
ψ
+
-
+
-
Fig 9.8 Magnetic circuit of example 9.3.
30
9.4 Displacement Current
(9.23)Jt
DH
)b22.9(currentntdisplaceme:t
DJ
t
D)D(
ttJJ
JJ0)H(
JJH
0t
-J
J0)H(
(9.17)JH
d
vd
d
d
v
31
L
2S
I
Fig 9.10 Two surfaces of integration
showing the need for J𝐝 in Ampère’s circuit law.
SL
SS
S
SdJLdH
SdJSdH
Sd)JH(
JH
ISdJ1S
0SdJ2S
1S
L
I
전자가 통과하지 않는다.
32
Fig 9.10 Two surfaces of integration
showing the need for 𝐉𝐝 in Ampère’s circuit law.
S dL
S dS
S d
d
Sd)JJ(LdH
Sd)JJ(SdH
Sd)JJH(
JJH
0SdJ
ISdJ
1S d
S 1
ISdJ
0SdJ
2S d
2S
1S
L
I
L
2S
I
33
예제 9.4 극판 면적이 5 cm2, 사이 간격이 3 mm 인 평행 평판 Capacitor에전압 V=50sin(1000t) 를 인가하였다. ε=2ε0 라고 할 때변위전류 (Displacement Current)를 계산하라.
nA)t1000cos(4.147
)t1000cos(50000003.0
0005.0
36
102
)t1000cos(50000d
S
t
VC
t
V
d
SJSI
t
V
dt
DJ
d
VED
9
34
9.5 Maxwell’s Equation in Final Forms
Table 9.1 Generalized Forms of Maxwell’s Equations.
densityeargchVolume:
densityCurrent:J
m/F10854.8m/F36/10
)(tyPermeabili:m/H104
fieldElectric:E
densityfluxElectric:ED
fluxMagnetic:B
fieldMagnetic:/BH
EqAmpereSdt
DJLdH
t
DJH
EqFaradaySdBt
LdEt
BE
EqGauss0SdB0B
EqGaussdxdydzSdDD
formIntegralformalDifferenti
v
1290
70
SL
SL
S
vSv
투자율
35
Continuity 방정식 유도
vfdnwhere
0)vn(t
n
dAfm
Knxd)fv(vfd
t
xdfm
Kxd)fv(vfd
t
xdfm
Kxd)fv(vd
t
f
vd0fm
Kfv
t
f
3
r
3r
3
3v
3r
3
3v
3r
3
3vr
38
Control Volume을 이용하여 유도한다. 그림 2.7과 같이 dy와 dx 길이를 가지고 두께가 1 인 상상의 2차원 Control Volume을 설정한다. 2차원으로 Control Volume을 설정하는 이유는 도표에 나타내기가 쉽고 덜 복잡하기 때문이다. 이 Control Volume에 들어 있는 물질의 질량은 물질이 새롭게 생성되거나 없어지지 않는다면 안으로 흘러 들어가는 물리양의 Flux와 흘러 나가는 Flux의 차이 만큼 증가하게 된다.
𝜕ρ
𝜕t= dxdy ∙ 1
= ρudy ∙ 1 − ρu +𝜕 ρu
𝜕xdx dy ∙ 1
+ρvdx ∙ 1 − ρu +𝜕 ρv
𝜕ydy dx ∙ 1 (2.38)
z 방향의 성분을 고려하여 이를 3차원으로다시 정리하면 방정식 (2.39)와 같다.
𝜕ρ
𝜕t+𝜕 ρu
𝜕x+𝜕 ρv
𝜕y+𝜕 ρw
𝜕z= 0 2.39
𝜕ρ
𝜕t+ 𝛻 ∙ ρv = 0 (2.40)
그림 2.7 연속 방정식을 유도하기위한 Control Volume.
39
0B0E
0J0H0E
conductorperfectFor
(9.31d)0a)BB(or 0BB
(9.31c)a)DD(or DD
(9.31b)Ka)HH(or KHH
)a(9.310a)EE(or EE
nt
12n21n2n1
s12n21sn2n1
12n21t2t1
12n21t2t1
tE
na
nE
E
40
(a) compatibility equations
(b) constitutive equations
(c) equilibrium equations
)35.9(Jt
B-E
(9.34)0 B
m
m
(9.37)ED
(9.36)H B
ρm: Free magnetic density자하밀도
Jm: magnetic current density자기전류밀도
)39.9(t
DJH
)38.9(D v
41
Figure 9.11 electromagnetic flow diagrams showing the relationship between the
potentials and vector fields: (a) electrostatic system, (b) magnetostatic system, (c)
electromagnetic system. [adapted with permission from the publishing department of the
institution of electrical engineers.]
42
9.6 TIME-VARYING POTENTIALS
)52.9(Jt
EBJ
t
AA
)51.9(Jt
EB
t
VV
)50.9(t
EB
t
VA
)45.9(t
BE
t
AVE
)42.9(0BAB
2
22
v2
22
43
참고: Vector identity
𝛻 ∙ φu = φ𝛻 ∙ u + u ∙ 𝛻φ
𝛻 × φu = φ𝛻 × u + 𝛻φ × u
𝛻 ∙ u × v = v ∙ 𝛻 × u − u ∙ 𝛻 × v
𝛻 × u × v = v ∙ 𝛻u − u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u − v ∙ 𝛻u
𝛻 u ∙ v = u ∙ 𝛻v + v ∙ 𝛻u + u × (𝛻 × v) +v × (𝛻 × u)
𝛻 × 𝛻φ = 0
𝛻 ∙ 𝛻 × u = 0
𝛻 × 𝛻 × u = 𝛻(𝛻 ∙ u) − 𝛻2u
𝛻 ∙ 𝛻φ1 × 𝛻φ2 = 0
a × b × c = (a ∙ c)a − (b ∙ a) c
a × b × c × d = a ∙ c ∙ b ∙ d − a ∙ d ∙ b ∙ c
44
9.7 Time-Harmonic Fields
FIG 9.12 Representation of a phasor
z = x + jy = r∠φ.
φ
Im
Re
ω rad/sec
y
x
r
)60.9(x
ytan
)59.9(yxzr
)58.9()sinj(cosr e rz
)57.9(rjyxz
1
22
j
46
)f91.9(rerjyxz
)e61.9(2/r
errez
)d61.9()(r
r
er
r
er
er
z
z
)c61.9()(rr
errererzz
)b61.9()yy(j )xx(zz
)a61.9()yy(j )xx(zz
j
1
2/jj
212
1
)(j
2
1j
2
j1
2
1
2121
)(j21
j2
j121
212121
212121
21
2
1
2121
47
)66.9(]eIRe[)t(I
)t(Iinefactortimethe
droppingbyobtained:Phasor
)65.9(IeII
currentPhasor
)b64.9()tsin(r]reIm[
)a64.9()tcos(r]reRe[
)63.9(erere
)62.9(t
tjs
tj
0j
0s
j
j
tjjj
48
)72.6(j
AdtA
)71.6(Ajt
A
)70.6(]eARe[j
]eARe[tt
A
)69.9(aeAA
)68.9()eaeRe(AAthen
a)xtcos(AAIf
tjs
tjs
yxj
os
tjy
xjo
y0
)67.9()eARe( A tjs
(𝐀𝐬 : Phasor form of 𝐀)
49
Table 9.2 Time-Harmonic Maxwell’s Equations Assuming Time Factor eiωt
S ssL ssss
S ssLss
S ss
vsS svss
SdDjJLdHDjJH
SdBjLdEBjE
0SdB0B
dxdydzSdDD
formIntegralformintPo
50
예제 9.5 다음 복소수를 계산하라.
a z1 =j(3 − 4j)∗
(−1 + 6j)(2 + j)2b z2 =
1 + j
4 − 8j
1/2
22
2
*
1
1427
)j25150
)j1427)(j1427(
)j1427)(j34(
j1427
j34
24j143
4j3
)j43)(j61(
)j43(j
)1j44)(j61(
)j43(j
)j2)(j61(
)j43(jz)a(
51
예제 9.5 다음 복소수를 계산하라.
b z2 =1 + j
4 − 8j
1/2
)2.54(j
9477.0j
2/)11.14/(j
11.1j
4/j
2/1
2
o
e3976.0
e3976.0
e54
2
e54
e2
j84
j1z)b(
Re
Im
1
1
4/
4/je2j1
11.1j
o
e54j84
11.1
4.63
2
4/8tan
Re
Im
4
8
80
52
예제 9.6 A = 10 cos 108t − 10x +π
3az 의 Phasor는?
Bs = 20/j ax + 10ej2πx/3ay 의 순시형 (instantaneous form)은?
z)3/x10(j
tjz
)3/x10t10(js
z)3/x10t(j
z)3/x10t10(j
z8
ae10
eae10A
ae10Re
ae10Re
a)3/x10t10cos(10A
8
8
yx
yx
y
tj3
x2j
x
tj2
j
tjy
3
x2j
x2
j
tjs
y3
x2j
x2
j
y3
x2j
x
y3
x2j
xs
at3
x2cos10atsin20
at3
x2cos10at
2cos20
ae10ae20Re
eae10ae20Re
]eBRe[B
ae10ae20
ae10aj20
ae10aj
20B
53
예제 9.7 𝐄 =𝟓𝟎
𝛒𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝟔𝐭 + 𝛃𝐳 𝐚𝛗 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦 𝐇 =
𝐇𝟎
𝛒𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝟔𝐭 + 𝛃𝐳 𝐚𝛒 𝐀/𝐦 일 때
Phasor Form으로 변형하고 Maxwell Eq을 만족 시키기 위한상수 H0, 𝛃를 구하라. Space Charge는 없다.
50H
ae50
jaejH
aejH
aeH
H
HjE
EjH
0H1
0H
0E1
0E
t
BE
t
EJH
0B
0E
aeH
HeHH
ae50
EeEE
0
zjzj0
zj0zj0s
ss
ss
ss
ss
zj0s
tjs
zjs
tjs
54
ss
ss
ss
ss
zj0s
tjs
zjs
tjs
HjE
EjH
0H1
0H
0E1
0E
t
BE
t
EJH
0B
0E
aeH
HeHH
ae50
EeEE
50H
aeH
jae50
j
ae50
jae50
E
0
zj0zj
zjzjs
55
1326.0H
1033.3
50H
aeH
jae50
j
ae50
jae50
E
0
3
0
zj0zj
zjzjs
50H
ae50
jaejH
aejH
aeH
H
0
zjzj0
zj0zj0s
56
A
sinr
1)sinA(
sinr
1)Ar(
rr
1A)41.3(
z
AA1)A(
1A)40.3(
z
A
y
A
x
AA)39.3(
aV
sinr
1a
V
r
1a
r
VV)30.3(
az
Va
V1a
VV)29.3(
az
Va
y
Va
x
VV)28.3(
r2
2
z
zyx
r
z
zyx
AsinrrAAr
asinrara
sinr
1A)56.3(
AAAz
aaa
1A)55.3(
AAA
zyx
aaa
A)53.3(
r
r
2
z
z
zyx
zyx
참고
57
예제 9.8 𝐄 = 𝟐𝟎𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝟖𝐭 − 𝛃𝐳 𝐚𝐲 𝐯𝐨𝐥𝐭/𝐦 이다.
𝛔 = 𝟎, 𝛍 = 𝛍𝟎, 𝛆 = 𝟒𝛆𝟎 일 때 𝛃,𝐇 를 계산하라.
m/Aa)zt10sin(
3
1
eHReH
aee3
1aee
20H
3/220
20aee
20E
aee20EeEE
ae20
az
H
j
1
j
HEEjH
aee20
az
E
j
1
j
EHHjE
aee20eEE
)ztsin(
)ztsin()2/sin()ztcos()2/cos()zt2/cos(
x8
tjs
xzj2/j
xzj2/j
s
2
2
yzj2/j
2
2
s
yzj2/j
stj
s
yzj
2
2
yxss
sss
xzj2/j
xyss
sss
yzj2/jtj
s