1100-1BO15, rok akademicki 2017/18

sin

cos

ry

rx

...

22

x

yarctg

yxr

Jedno ramie spirali Archimedesa o równaniu r = φ, dla 0 < φ < 6π

wikipedia.org

Związane z nie spełnieniem warunku stygmatyzmu.

Rodzaje: monochromatyczne, niemonochromatyczne.

Po przejściu przez układ optyczny, czoło fali nie jest sferyczne, a obrazem

punktu P jest plamka aberracyjna, której kształt i rozmiary zależą od układu

optycznego i położenia przedmiotu.

Punkt P* jest (teoretycznym) obrazem bezaberracyjnym punktu P.

Δi to aberracje podłużne promienia, δl’i = P’i – P* to aberracje

poprzeczne promienia.

a) sferyczna

b) koma

c) astygmatyzm i krzywizna pola

d) dystorsja

a)

b)

c)

d)

chromatyzm położenia

chromatyzm powiększenia

x, y – współrzędne w płaszczyźnie przedmiotu;

ξ, η – współrzędne w płaszczyźnie źrenicy wejściowej;

ξ’, η’ – współrzędne w płaszczyźnie źrenicy wyjściowej;

x’, y’ – współrzędne w płaszczyźnie obrazu.

P* – obraz bezaberracyjny w płaszczyźnie Gaussa.

cos

sin

Teoria aberracji w przybliżeniu trzeciego rzędu.

Wzory aberracji poprzecznej, wyprowadzone z pojęcia eikonału:

A, B, C, D, E są współczynnikami Seidla, zależnymi od parametrów

układu: promieni krzywizn powierzchni załamujących,

współczynników załamania, położenia źrenic, luk.

...!5!3

sin

53

sin2sinsin'223 CyByAx

3223cos2cos2cos' EyDyByAy

Obrazem gaussowskim punktu jest plamka o kształcie koła

o środku w obrazie bezaberracyjnym (paraksjalnym).

0A 0 EDCB

sin'3

Ax cos'3

Ay

322''' Ayxl

Maksymalna aberracja – dla promieni przechodzących przez brzeg

źrenicy wejściowej.

Plamka aberracyjna jest najmniejsza w płaszczyźnie odległej

o 3/4δs’max od płaszczyzny Gaussa (a średnica plamki aberracyjnej

wynosi 1/4 plamki w płaszczyźnie Gaussa).

Pojedyncza soczewka (cienka) o powierzchniach sferycznych, wykonana

z materiału o współczynniku załamania n, znajdująca się w powietrzu,

wykazuje najmniejsza aberracje sferyczną wtedy, gdy stosunek promieni jej

krzywizn wynosi:

Z wzorów Seidla można pokazać też, że pojedyncza soczewka płasko-

wypukła będzie wolna od aberracji sferycznej dla równoległej wiązki

przedmiotowej, gdy jej powierzchnia zakrzywiona jest hiperboloidą obrotową.

Zwierciadła wolne od aberracji sferycznej:

42

12

2

1

2

nn

nn

r

r

Aberracja sferyczna jest większa przy większych aperturach, stąd

jedna z metod to zmniejszenie źrenicy wejściowej układu.

Aberrację sferyczną można także zmniejszyć stosując odpowiednią

kombinację soczewek skupiających i rozpraszających.

commons.wikimedia.org

commons.wikimedia.org

Symulacja aberracji sferycznej w układzie optycznym z kołową aperturą oświetlaną z punktowego źródła oraz wynik jej korekcji. Przekroje w płaszczyznach prostopadłych do osi układu.

Symulacja aberracji sferycznej w układzieoptycznym z kołową aperturą oświetlaną zpunktowego źródła oraz wynik jej korekcji.Przekroje w płaszczyznach równoległych do osiukładu.

commons.wikimedia.org

Koma zależy liniowo od odległości przedmiotu od osi (wielkość

pola) y i drugiej potęgi promienia apertury ρ2.

Punkty leżące w pobliżu brzegów kadru widoczne są z dodatkowym

„ogonkiem”, przypominającym ogon komety.

0B 0 EDCA

2sin'2

yBx 2cos2'2

yBy

http://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/2007/dscobel.27.html

Plamka aberracyjna jest elipsą.

Aberracje zależne od drugiej potęgi pola widzenia (y2)

i pierwszej potęgi promienia apertury (ρ).

Efekt różnej mocy optycznej mierzonej w dwóch

prostopadłych do siebie płaszczyznach.

0 EBA 0C 0D

sin'2

Cyx cos'2

Dyy

1''

242

2

242

2

yD

y

yC

x

Punkt skupienia promieni zależy od

wyboru badanej płaszczyzny.

W przykładzie rozważa się

płaszczyzny Θ = 0° i Θ = 180°.

z

m

LDyK

2

z

S

LCyK

2

Dla różnych punktów przedmiotowych ogniska: merydionalne i sagitalne

wyznaczają powierzchnie, które w ogólnym przypadku są paraboloidami

obrotowymi.

Są to powierzchnie obrazowe: merydionalna i sagitalna.

Paraboloidę w pobliżu osi można aproksymować sferą. Promienie

odpowiednich sfer będą wtedy równe:

cDR

m

1

cCR

s

1

z

Lc

2

2

Frederic Eugene Wright, The Methods of Petrographic-microscopic Research, Their Relative Accuracy and Range of Application, Carnegie institution of Washington, 1911

A. Styszyński, Korekcja wad wzroku - procedury badania refrakcji, Alfa-Medica Press, 2007.

http://www.umich.edu/~lowbrows/reflections/2007/dscobel.27.html

Zbiór najmniejszych plamek aberracyjnych leży na powierzchni

pośredniej (pomiędzy „sferami” powierzchni obrazowych:

merydionalnej i sagitalnej). Jej promień krzywizny można wyznaczyć

ze wzoru:

Średnia krzywizna pola: 1/R.

Wielkość A = Km – Ks nazywamy astygmatyzmem.

Układ optyczny składający się z wielu soczewek może mieć

skorygowaną krzywiznę pola, jeśli spełnia warunek Petzwala:

2

11

2

11 DCc

RRRsm

0

i i

i

n

2sm

KKK

http://en.wikivisual.com/index.php/Astigmatism_%28eye%29

Zależy od wielkości pola widzenia (y3).

Aberracja nie wpływa na ostrość obrazu lecz dokonuje

zniekształcenia geometrycznego.

0 DCBA 0E

0'x3

' Eyy

w

dD

Niech światło padające na układ zawiera fale o długościach λ1 i λ2.

Miara chromatycznej aberracji podłużnej:

Miara chromatycznej aberracji poprzecznej:12

'''

sss

tgusl''

Pojedyncza soczewka jest obarczona aberracją chromatyczną.

Układ optyczny korygujący aberrację chromatyczną dla dwóch długości fali

– achromat, dla trzech – apochromat, dla czterech – superachromat.

Dla układu dwóch soczewek można wykazać, że achromatyzacja nastąpi,

gdy będzie spełniony warunek poniżej (D1, D2 – moce soczewek, v1, v2 –

współczynniki dyspersji).

0

2

2

1

1

Obie soczewki muszą być wykonane z różnych materiałów i mieć różnoimienne moce.Zwykle dąży się do tego, aby różnica współczynników dyspersji była duża, gdyż wtedy wystarczą mniejsze moce soczewek.

wikipedia.org

Skorygowanie chromatyzmu dla pewnej liczby długości fal nie

gwarantuje korekcji dla pozostałej części widma. Powstaje tzw.

chromatyzm wtórny.

Achromat Apochromat

Miara chromatyzmu powiększenia

0

12

'

''

'

'

y

yy

y

y

nm 13,486

2 F

nm 27,6561 C

nm 56,5870 d

wikipedia.org

www.wikipedia.org

Obiektyw zaprojektowany i opatentowany w roku 1893 przez Dennisa

Taylora zatrudnionego przez Cooke of York (stąd nazwa).

Pierwszy obiektyw eliminujący w znacznym stopniu większość aberracji.

Składa się z rozpraszającej soczewki ze szkła flintowego i dwóch soczewek

skupiających ze szkła kronowego.

135/3.5Zeiss JenaMC-Sonnar

139/4.5Bausch and LombTessar

www.rickdenney.com

wikipedia.org

Aberracja sferyczna

Koma

Rozogniskowanie

Astygmatyzm

Pryzmat

Aberracja sferyczna – istotna i różna w różnych przypadkach.

Astygmatyzm – istotny i różny w różnych przypadkach.

Koma – zaniedbywalna.

Chromatyzm – istotny.

Aberracje wyższych rzędów – istotne

w szczególnych warunkach obserwacji.

Dystorsja – zaniedbywalna.

Mózg ludzki jest w stanie zaadaptować się

do wielu aberracji, korygując obraz.

Aberracje aperturowe – przedmiot znajduje się na osi optycznej:

aberracja sferyczna,

chromatyzm położenia,

Wielkość aberracji zależy od wielkości przysłony aperturowej.

Aby wyznaczyć te aberracje, oblicza się zbiegowe obrazowe i

współrzędne punktów przecięcia wybranych promieni aperturowych

z płaszczyzną obrazu gaussowskiego.

Można pokazać, że najlepszym doborem wysokości h jest taki

sposób wybrania tych promieni, żeby kwadraty ich wysokości

padania na płaszczyznę źrenicy wejściowej tworzyły postęp

arytmetyczny (energia!).

Aberracje polowe – przedmiot leży poza osią optyczną

układu:

koma,

krzywizna pola i astygmatyzm,

dystorsja,

chromatyzm powiększenia

Wielkość aberracji zależy od odległości punktu

przedmiotowego od osi (y), czyli od kąta polowego.

Równomiernie rozłożony w kącie bryłowym pęk promieni

wychodzący ze źródła punktowego prowadzony jest przez układ

i „uderza” w ekran.

Kształt plamki i rozkład punktów przebicia tych promieni określają

rozkład energii w plamce aberracyjnej.

osdoptics.com

środek ciężkości (dystorsja)

odchylenie standardowe (aberracja sferyczna)

trzeci moment rozkładu (koma)

radialny rozkład energii i średnica okręgu,

zawierającego 80% energii świetlnej w plamce.

N

i

ix

Nx

1

1

N

i

ixxx

NN 1

2

1

1

N

i

ixxx

NM

1

3

3

1

N

i

iy

Ny

1

1

N

i

iyyy

NN 1

2

1

1

N

i

iyyy

NM

1

3

3

1

[…] constructed using polychromatic white light to

generate a pattern for the Intel Play QX3 microscope 10x

objective.

http://micro.magnet.fsu.edu/optics/intelplay/objectives10x.html

Wikipedia.org

Effect of aperture on blur and DOF. The points in focus (2) project points onto the image plane (5), but points at different distances (1 and 3) project blurred images, or circles of confusion. Decreasing the aperture size (4) reduces the size of the blur spots for points not in the focused plane, so that the blurring is imperceptible, and all points are within the DOF.

im mniejsza przysłona, tym większa głębia ostrości

im odległość ustawienia ostrości obiektywu mniejsza,

tym mniejsza głębia ostrości

im krótsza ogniskowa tym większa głębia ostrości

w fotografii: odległość hiperfokalna H – odległość od

aparatu gdzie dla danej przysłony ostre są wszystkie

obiekty począwszy od tej odległości aż do

nieskończoności)

Nc

fH

2

N – liczba przysłony, c – krążek rozmycia (Airy)

Zdjęcie przedstawia zjawisko paralaksy. Słońce jest widoczne nad latarnią.

W wodzie widać ich odbicie, które jest obrazem pozornym, znajdującym się

pod powierzchnią wody. Latarnia i Słońce, widoczne z dwóch różnych

kierunków, wydają się być przesunięte względem siebie.

Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt wewnątrz

szczeliny staje się źródłem elementarnej fali kulistej.

Do dowolnego punktu ekranu odległego od przysłony

o odległość z, znacznie większą od długości fali

świetlnej (z » λ), docierają przyczynki od wszystkich

fal elementarnych. Wypadkowe natężenie światła w

każdym punkcie ekranu jest wynikiem interferencji

wszystkich fal składowych.

2

/2

/2sin

za

zaI

a

zm

m2

zA tansin

a2sin

m

a

zA

2

2

1

/2

/22

zr

zrJI

r

zR

22,12

Obraz punktu po przejściu światła przez układ optyczny bez

aberracji z kołową przesłoną aperturową.

W dużej odległości od apertury kąt, pod jakim jest widziane pierwsze

minimum, mierzony od kierunku padania światła, jest dany

przybliżonym wzorem (kryterium Rayleigha):

λ – długość fali światła, d – średnica apertury.d

22.1sin

W optyce instrumentalnej przyjęło się za taką

umowną granicę uznać sytuację, gdy maksimum

natężenia w jednej plamce przypada na pierwsze

minimum natężenia w drugiej plamce. W środku

wypadkowego rozkładu natężenia światła występuje

wtedy niewielkie minimum pozwalające orzec, że

pochodzi ono w istocie od dwóch punktów. Określa

się to mianem kryterium Rayleigha. W przypadku,

gdy aberracje są zaniedbywalnie małe

w porównaniu z wpływem dyfrakcji graniczna

wartość dwupunktowej (kątowej) zdolności

rozdzielczej według Rayleigha wynosi, zgodnie ze

wzorem.

Im mniejszy kąt graniczny tym większa (lepsza)

zdolność rozdzielcza.

rgr

222,1

Funkcja rozmycia punktu Obrazuje jakość

odwzorowania układu optycznego.

Dla układu bezaberracyjnego większa źrenica umożliwia poprawienie zdolności rozdzielczej.

Funkcja rozmycia punktu układu ludzkiego oka w funkcji średnicy źrenicy.

Różnica własności wizualnych obiektu w stosunku do

innych elementów obrazu, umożliwiająca odróżnienie go

od innych obiektów oraz od tła.

Określana zwykle poprzez kolor i jasność.

Wzrok jest bardziej czuły na różnicę jasności niż na

jasność bezwzględną, dzięki czemu świat jest „podobny”

niezależnie od natężenia oświetlenia.

Istnieją różne definicje kontrastu, które można stosować

do różnych obrazów.

Kontrast Webera

Kontrast Michelsona

Błąd średniokwadratowy

b

b

I

IIV

minmax

minmax

II

IIV

1

0

1

0

21N

i

M

j

ijII

MNV

MTF (Modulation Transfer Function)

A more precise definition of MTF based on sine patterns: MTF is the contrast at a

given spatial frequency f relative to contrast at low frequencies.

VB,VW – minimum/maximum luminance for black/white areas— at low spatial

frequencies.

Vmin. Vmax – minimum/maximum luminance for a pattern near spatial frequency.

C(0) = (VW – VB)/(VW+VB) is the low frequency (black-white) contrast.

C(f) = (Vmax– Vmin)/(Vmax+Vmin) is the contrast at spatial frequency f .

MTF( f ) = 100%*C( f )/C(0)

http://www.normankoren.com/Tutorials/MTF.html

Funkcja przenoszenia kontrastu

http://www.microscopyu.comhttp://www.imatest.com

0%100;

minmax

minmax

C

fCfMTF

II

IIfC

Obraz testowy

B. Drum, D. Calogero and E. Rorer, Assessment of visual performance in the evaluation of new medical products, Drug Discovery Today: Technologies 4(2), 2007.

Funkcja rozmycia punktu determinuje zakres częstości

optycznych, które może przenosić układ optyczny („gęstość”

modulacji).

Im szersza funkcja rozmycia punktu, tym szybciej maksima

modulacji nakładają się na siebie.

Wpływa to bezpośrednio na zdolność rozdzielczą układu

optycznego.

http://www.microscopyu.com

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/aberrations/astigmatism/index.html

(Optical Aberrations: Interactive Java Tutorials)

Część rysunków za: wikipedia.org

74

The number of reflections a

“ray” can take and how it is

affected each time it

encounters a surface is all

controlled via software

settings during ray tracing.

Here, each ray was

allowed to reflect up to 16

times. Multiple “reflections

of reflections” can thus be

seen. Created with Cobalt

Dyfrakcja czyli ugięcie fali – zmiana kierunku

rozchodzenia się fali na krawędziach

przeszkód.

Zasada Huygensa: każdy punkt do którego

dotrze fala staje się nowym źródłem fali

kulistej. Fale te nakładają się zgodnie z

zasadą superpozycji. W efekcie pojawiają się

obszary wzmocnienia i osłabienia

rozchodzących się fal (interferencja

konstruktywna lub destruktywna).

Dyfrakcja zachodzi dla wszystkich wielkości

obiektów, ale jej wpływ jest widoczny dla

przedmiotów o rozmiarach porównywalnych

z długością fali.

Dyfrakcja ogranicza zdolność rozdzielczą

układów optycznych.

Dyfrakcja światła spójnego na prostokątnym otworze (sinc).

Dyfrakcja fali dźwiękowej na krawędziach głośników.

Dyfrakcja światła spójnego na prostokątnym otworze (sinc).

Plamka Airy.d

22.1sin

Interferencja [łac. inter –między,ferre

–nieść]: nakładanie się fal

prowadzące do zwiększania lub

zmniejszania amplitudy fali

wypadkowej.

222111

sinsin tAtAPy

Światło spójne pada na parę szczelin, ulega dyfrakcji

i interferencji na ekranie.

Przezroczysta lub półprzezroczysta płytka (np. szklana lub z

tworzywa sztucznego) z naniesioną serią równoległych

nieprzezroczystych linii lub rowków.

Jako pierwszy w swoich doświadczeniach prymitywną siatkę

dyfrakcyjną zastosował angielski fizyk Thomas Young.

Została wynaleziona w 1821 roku przez Fraunhofera. Była

pierwszym instrumentem pozwalającym wyznaczyć długość fal

świetlnych.

md sin

Pierścienie Newtona prążki

interferencyjne w kształcie pierścieni,

w świetle przechodzącym (lub

odbitym) przez cienkie warstwy

w pobliżu styku powierzchni wypukłej

i płaskiej rozdzielonych substancją

o innym niż stykające się

współczynniku załamania.

Dla światła białego powstają

wielobarwne prążki, dla

monochromatycznego – jasne

i ciemne prążki.

21

2

1

RNr

N

Najprostszy optyczny układ obrazujący. Światło

przechodzi przez mały otworek tworząc na ekranie

obraz o jasności proporcjonalnej do jasności na

zewnątrz oraz wielkości otworka.

Jeśli otworek nie jest mały, światło utworzy na

matówce koło o wielkości proporcjonalnej do

wielkości otworka.

Zwiększanie średnicy otworka zmniejsza ostrość

obrazu. Zmniejszanie średnicy otworka poprawia

ostrość, ale zmniejsza jasność.

Dla otworka o wielkości porównywalnej z długością

fali, na ekranie pojawia się rozmycie obrazu

wywołane dyfrakcją światła na brzegach otworu.

Obraz jest bardziej miękki.

Powiększenie kątowe jest stałe dla przedmiotów

znajdujących się w dowolnej odległości od kamery

(głębia ostrości od zera do nieskończoności).

fd 9,1

The effect of pinhole cameras can be observed at this wall opposite some balistrarias in the Castelgrande of Bellinzona. You can see the red roofs of the houses and the green trees that lie behind the balistrarias being projected onto the wall. (wikipedia.org)

Zdjęcie wykonane kamerą otworkową i aparatem z obiektywem soczewkowym.

An example of a 20 minute pinhole exposure. (wikipedia.org)

Charles E. Campbell, "Analysis of wavefront-guided corrections to see if they fully correct ocular aberrations," J. Opt. Soc. Am. A 23, 1559-1565 (2006)

http://www.xamidea.in

Na Ji, Daniel E Milkie & Eric Betzig, „Adaptive optics via pupil segmentation for high-resolution imaging in biological tissues”, NatureMethods 7, 141-147 (2010)