Ντίνα ΛύκαΕαρινό Εξάμηνο, 2013

lika@biology.uoc.gr

ΒιομαθηματικάBIO-156

Παραγώγιση

Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στοx αν και μόνο αν το όριο

υπάρχει.

Αν το όριο υπάρχει θα το ονομάζουμεπαράγωγο της f στο x και θα τοσυμβολίζουμε με

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x θαγράφουμε

Φυσική ερμηνεία της παραγώγου. Ηπαράγωγος ερμηνεύεται ως στιγμιαίοςρυθμός μεταβολής μιας ποσότητας.

hxfhxf

h)()(

0lim −+→

dxdfxf η)(′

hxfhxfxf

h)()()(

0lim −+=′→

Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγουΗ παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης τουγραφήματος της f στο σημείο (x, f(x)).

Έστω h ένας μικρός αριθμός . Πάνω στο γράφημα τηςf βρίσκουμε τα σημεία P(x,f(x)) και Q(x+h,f(x+h)) (στοσχήμα h >0). Χαράσσουμε την τέμνουσα (ευθεία ε) πουπερνά από τα σημεία P και Q. Καθώς το , το Q P και η ευθεία ε τείνει σε μια οριακή θέση (ευθεία ε’ ). Παρόμοια, για h <0, η τέμνουσα θα τείνει προς την ίδιαοριακή θέση (ευθεία ε’ ). Την ευθεία ε’ τηνονομάζουμε εφαπτομένη του γραφήματος της f στοσημείο (x, f(x)).

x x+h

P(x,f(x))

Q(x+h,f(x+h))

ε ε’

f(x)

0≠

+→ 0h

Παραγώγιση και συνέχεια

Μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής αλλάόχι παραγωγίσιμη σε κάποιο σημείο.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση

είναι παντού συνεχής αλλά δεν είναιπαραγωγίσιμη στο 0. Πράγματι,

δεν υπάρχει

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

≥==

0,

0,)(

xx

xxxxf

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−

>==

−+

0,1

0,1)0()0(

h

h

hh

hfhf

hfhf

hfhf

hfhf

h

h

h )0()0(

1)0()0(

1)0()0(

limlim

lim0

0

0 −+→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−+

−=−+

→

+→

−→

Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f είναιπαραγωγίσιμη στο (δηλαδή υπάρχει)τότε η f είναι και συνεχής στο(δηλαδή ).

Απόδειξη

Γράφουμε

)()( 00

lim xfxfxx

=→

)(' 0xf0x0x

)( )()()('

ή )()()('

00

00

000

0

lim

lim0

hxxxx

xfxfxf

hxfhxfxf

xx

h

+=−−=

−+=

→

→

00

0)00 ,)()(()()( xxxx

xfxfxxxfxf ≠−−−+=

)()()()()()( 00

0

00

00

0limlimlim xf

xxxfxfxxxfxf

xxxxxx=

−−−+=

→→→

0

υπάρχει

ΘεωρήματαΈστω f και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στοx και . Τότε

1. f+g είναι παραγωγίσιμη στο x και ισχύει

2. αf είναι παραγωγίσιμη στο x και ισχύει

3. f.g είναι παραγωγίσιμη στο x και ισχύει

4. Αν , τότε και είναι

παραγωγίσιμες στο x και

Ra∈

( ) )()()( xgxfxgf ′+′=′+

( ) )()( xfaxaf ′=′

0)( ≠xg

( ) )()()()()( xgxfxgxfxgf ′+′=′⋅

gf

g1

[ ]

[ ]2

2

)()()(1

)()()()()()(

xgxgx

g

xgxgxfxgxfx

gf

′−=

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′−′=

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ΘεωρήματαΈστω f και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στοx και . Τότε

5. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμηστο x και η f είναι παραγωγίσιμηστο g(x), τότε η σύνθεση είναιπαραγωγίσιμη στο x και ισχύει

6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, τότε και η αντίστροφή της , ανυπάρχει, είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει ότιαν τότε

Ra∈

gf o

( ) )())(()( xgxgfxgf ′′=′o

1−f

0))(( 1 ≠′ − xff

( )))(1(

1)(1

xffxf −′=

′−

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Παράγωγοι ανώτερης τάξηςΑν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο

διάστημα, τότε ορίζεται η πρώτη παράγωγος της f,f’. Αν η f’ είναι παραγωγίσιμη, τότε μπορούμε ναορίσουμε την παράγωγό της που ονομάζεται δεύτερηπαράγωγος της f, και συμβολίζεται f’’ . Εφόσον οισυναρτήσεις που προκύπτουν παραγωγίζοντας είναιπαραγωγίσιμες μπορούμε να συνεχίσουμε τηνδιαδικασία της παραγώγισης.

Γενικά, τη n-οστή παράγωγος της f τη συμβολίζουμε:

Κάθε πολυώνυμο P έχει μια παράγωγο P’ η οποία είναιεπίσης πολυώνυμο, και κάθε ρητή συνάρτηση Q έχειπαράγωγο που είναι επίσης ρητή συνάρτηση.

Τα πολυώνυμα και οι ρητές συναρτήσεις έχουνπαραγώγους όλων των τάξεων.

Για ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού, οι παράγωγοιανώτερης της n-οστής τάξης είναι μηδέν.

n

n

dxfdnf ή)(

Μονοτονία συνάρτησηςΘεώρημα. Έστω f μια συνάρτησησυνεχής στο διάστημα [α,β] καιπαραγωγίσιμη στο (α,β).

Αν τότε η f είναιγνησίως αύξουσα στο [α,β]

Αν τότε η f είναιγνησίως φθίνουσα στο [α,β]

Αν τότε η f είναισταθερά στο [α,β]

Το θεώρημα ισχύει και για διαστήματα της μορφής[α,β), (α,β], (α,β),

),,(0)( βaxxf ∈∀>′

),,(0)( βaxxf ∈∀<′

),,(0)( βaxxf ∈∀=′

),( ∞a

Τοπικά ακρότατα

Ορισμός. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμούένα διάστημα Δ, λέμε ότι έχει στο

τοπικό μέγιστο αν και μόνο αν

τοπικό ελάχιστο αν και μόνο αν

Όταν μια συνάρτηση f έχει στο c τοπικόμέγιστο ή ελάχιστο τότε λέμε ότι η f έχει στοσημείο c τοπικό ακρότατο.

Δ∈c

Δ∩+−∈∀≥ ),()()( δδ ccxxfcf

Δ∩+−∈∀≤ ),()()( δδ ccxxfcf

Εύρεση τοπικών ακρότατων (1)Θεώρημα. Έστω f: Δ R, και c ένα εσωτερικό

σημείο του διαστήματος Δ. Αν η f έχει τοπικόακρότατο στο c, τότε

είτε f’ (x)=0 είτε f’ (x) δεν υπάρχει.

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Π.χ.

αλλά αυτή η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.

Για μια συνεχή συνάρτηση f τα εσωτερικάσημεία του διαστήματος Δ για τα οποία ισχύειf’ (x)=0 , ονομάζονται στάσιμα σημεία της f. Ταστάσιμα σημεία καθώς και τα σημεία στα οποία ηf δεν είναι παραγωγίσιμη ονομάζονται κρίσιμασημεία.

0)0(3)()( ,2,3 =′=′= fxxfxxf και

Εύρεση τοπικών ακροτάτων (2)

Όταν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διαστήματατης μορφής [α,β], , τα άκρα τουδιαστήματος είναι τοπικά ακρότατα.

Οι θέσεις των πιθανών τοπικών ακρότατων μιαςσυνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού ένακλειστό διάστημα [α,β] είναι τα κρίσιμα σημείακαι τα άκρα του διαστήματος

),[ ∞a ],( β−∞

Κριτήριο της πρώτης παραγώγου

Υποθέτουμε ότι c είναι ένα κρίσιμο σημείοτης συνάρτησης f και ότι η f είναι συνεχήςστο c. Αν υπάρχει ένα διάστημα (c-δ,c+δ) τέτοιο ώστε

Αν καιτότε το f(c) είναι ένα τοπικό μέγιστο.

Αν καιτότε το f(c) είναι ένα τοπικό ελάχιστο.

),(0)( ccxxf δ−∈∀>′ ),(0)( δ+∈∀<′ ccxxf

),(0)( ccxxf δ−∈∀<′ ),(0)( δ+∈∀>′ ccxxf

Κριτήριο της δεύτερης παραγώγου

Έστω ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορέςπαραγωγίσιμη στο σημείο c και f’ (c)=0 . Αν f’ ’ (c)>0 τότε f(c) είναι τοπικό ελάχιστο.Αν f’ ’ (c)<0 τότε f(c) είναι τοπικό μέγιστο.

Ολικό μέγιστο και ελάχιστοΈστω d ένας σημείο του πεδίου ορισμού της f . Η f(d) είναι ολικό μέγιστο αν και μόνο αν

στο πεδίο ορισμού της f.Η f(d) είναι ολικό ελάχιστο αν και μόνο αν

στο πεδίο ορισμού της f.

xxfdf ∀≥ )()(

xxfdf ∀≤ )()(

Καμπυλότητα μιας συνάρτησης

Ορισμός. Έστω f μια συνάρτηση συνεχήςστο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο(α,β).Το γράφημα της f λέγεται κυρτό αν καιμόνο αν η f’ είναι γνησίως αύξουσα καικοίλο αν και μόνο αν η f’ είναι γνησίωςφθίνουσα.

Έστω ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορέςπαραγωγίσιμη στο (α,β).

Αν , τότε το γράφηματης f είναι κυρτό.

Αν , τότε το γράφηματης f είναι κοίλο.

),(0)( βaxxf ∈∀>′′

),(0)( βaxxf ∈∀<′′

Σημεία καμπής μιαςσυνάρτησηςΟρισμός. Ένα σημείο (c, f(c)) ονομάζεταισημείο καμπής της f αν και μόνο ανυπάρχει δ >0 τέτοιο ώστε το γράφημα τηςf έχει αντίθετη καμπυλότητα στο διάστημα(c-δ,c) από την καμπυλότητα στο διάστημα(c,c+δ).

Πρόταση. Αν (c, f(c)) είναι σημείο καμπής, τότε είτε f’ ’ (x)=0 είτε f’ ’ (x) δεν υπάρχει.

Τα σημεία καμπής αναζητούνται μεταξύ τωνριζών της εξίσωσης f’ ’ (x)=0 και τα σημείατου πεδίου ορισμού της f στα οποία η f’ ’δεν υπάρχει.

Ασύμπτωτες

Η ευθεία y=β είναι οριζόντια ασύμπτωτητης γραφικής παράστασης της f, όταν

Η ευθεία x=α είναι κατακόρυφη ασύμπτωτητης γραφικής παράστασης της f, ότανένα τουλάχιστον από τα όρια

είναι

Η ευθεία y=αx+β είναι πλάγια ασύμπτωτητης γραφικής παράστασης της f, ότανκαι μόνο όταν

ββ ==−∞→+∞→

)(limη)(lim xfxfxx

)(im),(lim l xfxfxx −→+→ αα

∞±

RaxxfRaxxf

xx∈=−∈=

±∞→±∞→β))((limκαι)(lim

Μελέτη μιας συνάρτησηςΠροσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της f.

Αναζητούμε συμμετρίες (άρτια, περιττή, περιοδική).

Εξετάζουμε τη συνέχειά της στο πεδίοορισμού.

Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία.

Προσδιορίζουμε τη μονοτονία.

Βρίσκουμε τα τοπικά ακρότατα.

Προσδιορίζουμε την καμπυλότητα και τασημεία καμπής (αν υπάρχουν) της γραφικήςπαράστασης της f.

Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες (αν υπάρχουν).

Εντοπίζουμε, αν υπάρχουν, τα σημεία τομήςτης γραφικής παράστασης με τους άξονες.

Παράδειγμα

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

f(x)=3x5-5x3+1

f’ + - - - - +

f’’ - - + - + +

-1 -√0.5 0 √0.5 1

0

0

0

00

0

Μέθοδος της διχοτόμησηςΟ πιο απλός αλγόριθμος να βρίσκεις ρίζες. Χρησιμοποιεί το θεώρημα του Bolzano. Ξεκινάμε με ένα διάστημα [α,β] όπου η συνάρτησηστα άκρα παίρνει αντίθετες τιμές f(α)f(b)<0. Μειώνουμε διαδοχικά το μήκος παίρνοντας μια τιμήστο μέσο του διαστήματος. Συνεχίζουμε μέχρι νααπομονωθεί η λύση με όση ακρίβεια είναι επιθυμητή.

f(-1)=3, f(-2)=-55 (f(-1) f(-2)<0). Υπάρχει ρίζα στο (-2,-1)f(-3/2)<0 (f(-3/2) f(-1)<0) Υπάρχει ρίζα στο (-3/2,-1)f(-5/2)>0 (f(-3/2) f(-5/2)<0) Υπάρχει ρίζα στο (-3/2,-5/2)

f(1/2)>0 και f(1)<0 (f(1/2) f(1)<0) Υπάρχει ρίζα στο (1/2,1) f(3/4)<0 (f(1/2) f(3/4)<0) Υπάρχει ρίζα στο (1/2,3/4)

f(1)<0 και f(2)>0 (f(1) f(2)<0) Υπάρχει ρίζα στο (1,2) f(3/2)>0 (f(1) f(3/2)<0) Υπάρχει ρίζα στο (1,3/2)

ΠαράδειγμαΈνας πληθυσμός βακτηρίων περιγράφεται

από τη συνάρτηση

Ν(t) : αριθμός βακτηρίων τηη χρονικήστιγμή t.

α) Ποιος είναι ο ρυθμός αύξησης;β) Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός αύξησης

και σε ποια χρονική στιγμή συμβαίνει;

tetN

2311)(

−+=

Οι κανόνες του pitaloHL ˆ'Έστω f και g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσειςκαι

Πρόταση 1 Αν

και τότε

Πρόταση 2 Αν

και τότε

},{, −∞+∞∪∈Ra γ0)( ,0)( limlim ==

→→xgxf

axax

γ=′′

→ )()(lim

xgxf

ax

γ=′′

=→→ )(

)(lim)()(lim

xgxf

xgxf

axax

±∞=±∞=→→

)( ,)( limlim xgxfaxax

γ=′′

→ )()(lim

xgxf

ax

γ=′′

=→→ )(

)(lim)()(lim

xgxf

xgxf

axax

Θεώρημα του RolleΑν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (α,β),συνεχής στο [α,β], και f(α)=f(β), τότε υπάρχειτουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και βτέτοιος ώστε f’ (ξ)=0.

Θεώρημα Μέσης ΤιμήςΑν η f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (α,β)και συνεχής στο [α,β], τότε υπάρχειτουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και βτέτοιος ώστε

aafff

−−

=′ββξ )()()(

Συνέπειες του θεωρήματοςμέσης τιμής

1. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ έναδιάστημα Δ και για κάθε εσωτερικόσημείο είναι f’ (x)=0, τότε η f είναισταθερή στο Δ.

2. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείςστο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείοισχύει f’ (x)= g’ (x), τότε υπάρχεισταθερά c τέτοια ώστε f (x)= g (x)+c

Δ∈x

Δ∈∀x

Παράδειγμα- διαφυγή του zebra danio

Σχέση μεταξύ της γωνίας που σχηματίζεταιαπό το μάτι του Zebra danio και το μέγεθοςS του θηρευτή που βρίσκεται σε απόσταση xκαι πλησιάζει τη λεία με ταχύτητα v.

Αν x(t) είναι η απόσταση του θηρευτή από τη λεία τηχρονική στιγμή t και την πλησιάζει με σταθερήταχύτητα v, τότε η μεταβολή στη θέση του θηρευτή ανάμονάδα χρόνου δίνεται από την

Αφού η απόσταση αλλάζει με το χρόνο το ίδιο θα ισχύεικαι για τη γωνία

Και ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας με

vdtdx

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

xSa

xSa

2arctan

2

,2/2

tan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

)(2arctan2)(

txSta

4/22 SxSv

dtda

+=

0 50

7

da/d

t

4v/S

x

Kcrit

xreact

Παρατήρηση: Ο ρυθμός μεταβολής τηςοπτικής γωνίας εξαρτάται από το μέγεθοςτου θηρευτή S, την ταχύτητα v και τηναπόσταση μεταξύ θηράματος και θηρευτήΌταν x=0, δηλαδή ο θηρευτής έφτασε τοθήραμα, τότε

Όταν , δηλαδή ο θηρευτής είναιπολύ μακριά, τότε

Sv

dtda 4

=

∞→x0→

dtda

4/22 SxSv

dtda

+=

Αντίδραση του zebra danioΥπόθεση το ψάρι αντιδρά όταν ο θηρευτής

πλησιάζει τόσο γρήγορα που ο ρυθμόςμεταβολής της οπτικής γωνίας είναιμεγαλύτερος από μια κρίσιμη τιμής Κcrit

SvKS

KvSx

KSvSx

SxSvKK

dtda

critcrit

reactcrit

critcrit

4 ,4

4/

4/

22

22

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=+

⇒+

=⇒=

00

S

x reac

t

4v/Kcrit

00

v

x reac

t

KcritS/4

Παραδείγματα

Μια εξίσωση που χρησιμοποιείται για τονπυκνοεξαρτόμενο ρυθμό αύξησης ενόςπληθυσμού είναι η λογιστική αύξηση

r>0 : ενδογενής ρυθμός αύξησης (intrinsic growth rate)

K>0 : φέρουσα ικανότητα (carrying capacity)

Na βρεθεί ο πληθυσμός που οδηγεί σε μέγιστορυθμό αύξησης

Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός αύξησης;Για ποιο(α) πληθυσμιακό μέγεθος ο ρυθμός

αύξησης μηδενίζεται;Να γίνει η γραφική παράσταση.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=K

NKrNNG )(

Μέγεθος και σχήμα κυττάρου

Θεωρείστε ένα σφαιρικό κύτταρο πουαπορροφά θρεπτικά με ρυθμό ανάλογο τηςεπιφάνειας και τα καταναλώνει με ρυθμόανάλογο του όγκου.

Να βρεθεί το μέγεθος (π.χ. η ακτίνα) τουκυττάρου για το οποίο ο ρυθμόςμεταβολής των θρεπτικών στο κύτταροείναι μέγιστος.

Προτεινόμενη Βιβλιογραφία

C. Neuhauser “Calculus for biology and medicine” Pearson/Prentice Hall, 2004Chapter 4: DifferentiationChapter 5: Applications of differentiation (όχι 5.6, 5.7, και 5.8)

F. R. Adler. “Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists”. Brooks/Cole, 1998. Chapter 2: Limits and derivativesChapter 3: Applications of derivatives and Dynamical systems (3.3, 3.5 και 3.6)

M. R. Cullen “Mathematics for the biosciences”. Techbooks, 1983Sections: 8-14,16