Post on 20-Jan-2016
description
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης.
ad y t
dtb
d x t
dtk
k
kk
N
k
k
kk
M( ) ( )
0 0
dtxhdthxty y t x t h t
)(tx )(ty
Το σήμα εισόδου, x(t), και το σήμα εξόδου, y(t), ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης.
)(H)(th
Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(t).
)(X )(Y
Y H X
Το θεώρημα της Συνέλιξης.
y t x t h tF
Σεραφείμ Καραμπογιάς
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.
Υπολογίζουμε την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου έχουμε προσδιορίσει, με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης, τον Μετασχηματισμό Fourier της.
Εξηγήσουμε έννοιες όπως ιδανικό κατωπερατό φίλτρο ή χαμηλοπερατό, ζωνοπερατό και υψηπερατό, χρονική σταθερά, ζώνη διέλευσης και συχνότητα αποκοπής.
Περιγράψουμε τι είναι διαγράμματα Bode και εξηγήσουμε έννοιες όπως decibel και σημείο -3dB.
Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος από τη διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήματος.
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-2
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης.
ad y t
dtb
d x t
dtk
k
kk
N
k
k
kk
M( ) ( )
0 0
)(tx )(ty
Το σήμα εισόδου, x(t), και το σήμα εξόδου, y(t), ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης.
)(H)(th
Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(t).
)(X )(Y
Y H X
Το θεώρημα της Συνέλιξης.
y t x t h tF
dtxhdthxty y t x t h t
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-3
Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας H(ω) μπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο
των μετασχηματισμών Fourier εξόδου-εισόδου.
)()(
)(
XY
H
N
k
kk
M
k
kk
ja
jbH
0
0
Και με τη βοήθεια της έχουμε k
k dt
txdk
N
k dt
tydk k
k
k
k
ba 0)(
0)(
Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας H(ω), ενός ΓΧΑ συστήματος είναι μία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων της μεταβλητής ( jω).
Σημειώνεται επίσης στον υπολογισμό της H(ω) ενός συστήματος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστημα.
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-4
Σύστημα πρώτης τάξεως
Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος πρώτης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση:
d y td t a y t b x t
( )( ) ( )
h t be u ta t Hb
j a
Απάντηση
b
be
1 a t
h t( )
Η παράμετρος τ ονομάζεται χρονική σταθερά.
H
ba
aa
ba2
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-5
Απάντηση
3)(4)(
2)()(
2
jj
jH
)(21)(
21)( 3 tuetueth tt
Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση:
)(2)(
)(3)(
4)(
2
2
txdt
tdxty
dttdy
dt
tyd
31
21
11
21
)3()1(2)(
)(
jjjjj
H
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-6
)()()(
21
01
012
01
xxbxb
axax
bxbxf
Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα
012
01)(axax
bxbxf
)()()()(
)(2
2
1
1
21
01
012
01
xc
xc
xxbxb
axax
bxbxf
1
)()( 11
x
xfxc2
)()( 22
x
xfxc
Οι σταθερές c1 και c2 υπολογίζονται από τις
και
ajXtuetx Fta
1)()()(
Υπενθυμίζεται και το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourier
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-7
Απάντηση
)(41
21
41)( 3 tueteety ttt
)()( tuetx t ;)( ty
Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος του ΓΧΑ συστήματος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση:
)(2)(
)(3)(
4)(
2
2
txdt
tdxty
dttdy
dt
tyd
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-8
Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα
)()()(
22
1
012
2
012
23
012
2
xx
bxbxb
axaxax
bxbxbxf
1
)()( 2112
xxfxc
2
)()( 221
x
xfxc
Οι σταθερές c12 και c21 υπολογίζονται όπως και προηγουμένως από τις
και
012
23
012
2)(axaxax
bxbxbxf
2
212
1
12
1
11
22
1
012
2
012
23
012
2
)()()()(
xc
xc
xc
xxbxbxb
axaxaxbxbxb
xf
ενώ η σταθερά c11 υπολογίζεται από την
1
)()( 2111
xxfx
dxdc
2)(1)(
ajtuet Fta
Από το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourier με τη βοήθεια της
παραγώγισης στο πεδίο συχνότητας έχουμε)()( XjtxtddF
ajFta tue
1)(
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-9
Προσδιορισμός συστήματος από την είσοδό του και έξοδό του
j
XFtuetx t
21)()()( 2
j
YFtuety t
11)()()(
)()(
)(
XY
H
jjj
H
111
12
)(
Απάντηση
Η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος σε σήμα εισόδου είναι)()( 2 tuetx t )()( tuety tΝα βρεθεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος και η κρουστική απόκριση.
Σημειώνεται ότι όταν το σήμα εισόδου είναι σήμα μίας συχνότητας θα πρέπει και το σήμα εξόδου να είναι σήμα της ίδιας συχνότητας και στην περίπτωση αυτή προσδιορίζεται μόνο η τιμή της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα του σήματος εισόδου.
)()( 2 tuetx t ;)( th )()( tuety t
jj
H
12
)(
)()()( tuetth t
Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι
Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-10
XHY log log logY H X
Για να πετύχουμε ανάλογη συμπεριφορά για το μέτρο, λογαριθμίζουμε την εξίσωση
Χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα, και ως μονάδα μέτρου το decibel (dB). Η κλίμακα των dB βασίζεται στην αντιστοιχία
dB H20 10log ( )
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE
Y e H e X ej Y j H j X arg arg arg
Y H X
arg arg argY H X
Y H X
Όπου |H(ω)| είναι η απόκριση πλάτους και argΗ(ω) η απόκριση φάσης του συστήματος και X(ω) ο MF του σήματος εισόδου.
Ο MF του σήματος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος δίνεται από
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-11
Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος πρώτης τάξεως όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος.
Το σύστημα πρώτης τάξης έχει κρουστική απόκριση και)()( tuebth ta
ajbH
)(απόκριση συχνότητας
1
t
)(tu
t
)(ty
Απάντηση
ajab
jabY 11)(
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-12
y t( )
t
1 1e
ba
ba
ba63,0
)(ty )(tuba
ba
tae
ba)(ty )(tutae1 1
a Σταθερά χρόνου
log10 1 log /10 10 log ,10 01
4
2
0
10log
argH
(ω)
Τα διαγράμματα Bode συστήματος πρώτης τάξεως.
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-13
-40
-20
0
20
log10 1 log10 10 log ,10 01
-60
10log
20 lo
g|H
(ω)|
0)(log20 10 H 101010 log20log20)(log20 H
dB3
ΙΔΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ
Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήμα εισόδου, με φασματικό περιεχόμενο εντοπισμένο στη ζώνη διέλευσης, είναι μια χρονική καθυστέρηση t0.
)(arg H
c
ctjeH
||,0||,)(
0
όπου ωc είναι η συχνότητα αποκοπής.
|)(| H
cc
1
Ζώνη διέλευσης
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη αποκοπής
)(tx
t0
)()( 0ttxty
t0 0tcc
1|)(| H
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-14
κλίση = - t0
)(1 tx
tc c
1
)(H argH(ω)
κλίση = – t0
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-15
c c
1
)(H argH(ω)
κλίση = – t0
)(2 tx
t
)(2 ty
t
0t
)(1 ty
t
0t
)()()( 21 txtxtx
tc c
1
)(H argH(ω)
κλίση = – t0
)()()( 21 tytyty
t
0t
)(1 tx
t
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-16
)(2 tx
t
)(2 ty
t
2t
)(1 ty
t
1t
)()()( 21 txtxtx
t
)()()( 21 tytyty
t
c c
1
)(H argH(ω)
c c
1
)(H argH(ω)
c c
1
)(H argH(ω)
c
cX
2,0
,1)(
ςωαλλι tt
tx c
)(sin
)(
0
1
c c
)(X
)(tx
t
c
0
c
c
Ολίσθηση στο χρόνο για κάθε πραγματικό αριθμό t0 είναι
)()( 00 Xettx tjF
C
tjeH 2
0)(
)()]([sin
)(0
0
tttt
th c
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-17
Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού
)(
sinc)(
)(sin)( 0
0
0 tttt
ttth ccc
t
h t( )
c
t0
tc0t
c0
Tcc
2
|)(| H
cc
)(arg H
t
h t( )
c
t0
tc0t
c0
Tcc
2
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-18
Το αποτέλεσμα της παραθύρωσης
Το αποτέλεσμα της παραθύρωσης
Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο
|)(| fH
cf0
1
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
f
Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο
|)(| fH
1f0
1
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
f2fΖώνη
αποκοπής
|)(| fH
1f0
1
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
f2fΖώνη
διέλευσης
Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο
Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο
|)(| fH
cf0
1
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
f
Ιδανικά φίλτρα
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-19
Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο
|)(| fH
cf0
A
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
f
A2
LPF
Πραγματικό υψιπερατό φίλτρο
|)(| fH
cf0
A
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
f
A2
HPF
Πραγματικό ζωνοπερατό φίλτρο
|)(| fH
2f0
A
Ζώνη αποκοπής
f
A2
ΒPF
Ζώνη διέλευσης
Ζώνη αποκοπής
1f
Πραγματικό ζωνοφρακτικό φίλτρο
|)(| fH
2f0
A
f
A2
ΒRF
Ζώνη διέλευσης
Ζώνη αποκοπής
1fΖώνη
διέλευσης
Πραγματικά φίλτρα
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-20
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-21
)(H2
cpps
1
)(H2
sppsΖώνη
αποκοπήςΖώνη
διέλευσης
cc
112
Ζώνη αποκοπής
Μεταβατική ζώνη
Μεταβατική ζώνη
Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο
Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα.
2)(log10 10 H
cpp
sdB0dB20
Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε dB σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα.
)(H2
Ζώνη αποκοπής
Ζώνη διέλευσης
cc
1
Ζώνη αποκοπής
Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με εύρος-ζώνης W = 2ωc
cW 2
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-22
f
)(tsin
t
)(tsout
t
f6004002000
2
4
fSin fSout
6004002000
2
4
150
f200 400 600
100
500
)(log10 10 fH 2
1
f200 400 6000
fH2
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-23
)(tsin
t
)(tsout
t
f6004002000
2
4
fSin
f
fSout
6004002000
2
4
1
f200 400 600
fH2
150
f200 400 600
100
500
)(log10 10 fH 2
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-24
)(tmout
t
fM out
0 )KHz(f842 6
1
f4000 80000
fH2
150
f4000 8000
100
500
)(log10 10 fH 2
)(tmin
t
840
fM in
2 6 )KHz(f
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier4-25
)(tmout
t
)KHz(f840
fM in
2 6
1
f4000 80000
fH2
150
f4000 8000
100
500
)(log10 10 fH 2
)(tmin
t
fM out
0 )KHz(f842 6
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-26
)KHz(f840
fM in
2 6
1
f4000 80000
fH2
)(tmin
t
)(tmout
t
fM out
0 )KHz(f842 6
150
f4000 8000
100
500
)(log10 10 fH 2
0 1 2 3 4 5 6 7x 10
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Σήμα εισόδου
Χρόνος
Πλά
τος
0 2000 4000 60000
0.5
1
1.5
2
2.5
3Φάσμα του σήματος εισόδου
Συχνότητα
Πά
τος
8000
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-27
0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3
-10
-5
0
5
10
Σήμα και θόρυβος
Χρόνος
Πλά
τος
0 2000 4000 6000 80000
0.5
1
1.5
2
2.5
3Φάσμα του Σήματος + Θορύβου
Συχνότητα
Πλά
τος
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-28
0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3
-2
-1
0
1
2
Το Σήμα εξόδου του φίλτρου
Χρόνος
Πλά
τος
0 2000 4000 6000 80000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Το φάσμα του Σήματος εξόδου του φίλτρου
Συχνότητα
Πλά
τος
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-29
0 1 2 3 4 5 6 7x 10
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Το Σήμα εξόδου του φίλτρου
Χρόνος
Πλά
τος
0 2000 4000 6000 80000
0.5
1
1.5
2Το φάσμα του Σήματος εξόδου του φίλτρου
Συχνότητα
Πλά
τος
600
1400
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-30
Παρατηρούμε ότι η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήμα με ω0 = 2π/Τ = 1.
)5cos(
52)3(cos
32)(cos22)( tttVt
Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι
Από το Παράδειγμα 3.6 έχουμε
t
)(t
V
2 2 0
Να βρεθεί το ανάπτυγμα σε τριγωνομετρική σειρά της τάσης υ(t)
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-31
T T0 14
22
ka
1a1a
0a
2
21
2
0
x t( )
t T1 T10 T02 T0
2 T0 T0
1
t
Tt
Tt
Ttx
000
25cos
522
3cos322
cos221)(
20 T
1T 2
T4
0
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Άσκηση
c
ctjeH
||,0||,)(
0
)(tx
t0
)()( 0ttxty
t0 0tcc
1|)(| H
Επειδή η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου είναι , από το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται μόνο οι δύο πρώτοι όροι, με χρονική καθυστέρηση . Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναιt0 1
4c
o tV
t t
41
13 3 1cos cos
t
)(t
V
2 2 0
4||,0
4||,)(
jeH
)(t )(0 t
tV
t t t
4 13 3
15 5cos cos cos
t 1/20 TΤο ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι
Η τάση εισόδου είναι ένα περιοδικό σήμα με .
Άσκηση 4.5
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-32
Σεραφείμ Καραμπογιάς
c
ctjeH
||,0||,)(
0
)(tx
t0
)()( 0ttxty
t0 0tcc
1|)(| H
)( 0tth
t0t
FΕπειδή η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου είναι , από το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται μόνο οι δύο πρώτοι όροι, με χρονική καθυστέρηση . Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναιt0 1
4c
o tV
t t
41
13 3 1cos cos
t
)(t
V
2 2 0
)(t )(0 t
tV
t t t
4 13 3
15 5cos cos cos
t 1/20 TΤο ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι
Η τάση εισόδου είναι ένα περιοδικό σήμα με .
Άσκηση
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-33
Σεραφείμ Καραμπογιάς
)2(
)2(4sin)(
t
tth
Στο Παράδειγμα 4.1 έχουμε υπολογίσει την απόκριση συχνότητας του συστήματος πρώτης τάξης
j
H 1
1
)(cos)( 0tAtx ])(argcos[)()( 000 HtAHty )(H
)()()(
txtytdtyd
)(tx )(ty
tV
t t t
4 13 3
15 5cos cos cos
Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι
Η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήμα με ω0 = 2 π / Τ = 1.
Άσκηση 4.6
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-34
t
)(t
V
2 2 0
Αν η είσοδος του συστήματος είναι η αρμονική συνιστώσα
)(cos)4()(1 tVt
Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε την απόκριση για κάθε αρμονική
συνιστώσα , , του σήματος εισόδου και χρησιμοποιώντας
την ιδιότητα της γραμμικότητας υπολογίζουμε την έξοδο του συστήματος
)(tyn
)(tn n 2, 3, )(t
y tV
t t
4 1
2 41
3 103 31
cos cos tan
4cos2
4)1(argcos
4)1()(1
t
VHt
VHty
τότε η έξοδος του συστήματος είναι
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-35
dx222 xba
1ab
1tan bxa
Ο ΜF του σήματος εισόδου και το μέτρο του μετασχηματισμού είναι
j
X
2,02)( 22
2
2,04)(
Xκαι
Η ενέργεια του σήματος εισόδου μπορεί να υπολογιστεί και στο πεδίο των συχνοτήτων
Άσκηση 4.7
Σεραφείμ Καραμπογιάς
0
)(tx
t
2 )(2)( tuetx t5
)(tx )(ty)(H
c c
1
Η ολική ενέργεια του σήματος εισόδου είναι
10104)(2
edtedttxE
0
t2
5t2
50
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier
102
54)5(tan542,0
422
2,04
21 1
2222
ddE
0
0
4-36
Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος εξόδου είναι
ςωαλλι,0
,2,0
2)()()(
ccjXHY
5)5(tan54 1 c sec
rad2,0cαπ’ όπου προκύπτει
Επειδή η ενέργεια του σήματος εξόδου πρέπει να είναι ίση με τη μισή της ενέργειας του σήματος εισόδου, έχουμε την εξίσωση
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-37
H ολική ενέργεια του σήματος εξόδου είναι
)5(tan54)5(tan542,0
42,0
421 11
2222 CddE
C
C
C
0 0
C
εξόδ.
fdfXdXdttxEx222
)()()(
12
Θεώρημα του Parseval
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Γραμμικό χρονικά αναλλοιώτο σύστημα έχει κρουστική απόκριση h(t) = e – b
t u(t)
Όταν το σήμα εισόδου είναι x(t) = e – a
t
u(t) να βρεθούνα) η φασματική πυκνότητα ενέργειαςβ) η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και γ) η ενέργεια του σήματος εξόδου.
2222222 111)(
baabY
α) Η φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος εξόδου είναι
||||22
21
21
211)()( ba
y eb
eaab
YFR
β) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εξόδου είναι
)(21)(
0 babaRE yy
γ) Η ενέργεια του σήματος εξόδου είναι
Απάντηση
Άσκηση
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-38
Να βρεθεί η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του συστήματος.
)()( ttx )()( thty
)( t
)()( tt
2/)()()()()()( ttutudthtyt
Είσοδος
Σύστημα καθυστέρησης
κατά τ
Έξοδοςdt)(
Σύστημα ολοκλήρωσης
Είσοδος Έξοδος1)(1 H )(3 H 1j
eH )(2 j
Περιγραφή του συστήματος στο πεδίο συχνότητας.
Περιγραφή του συστήματος στο πεδίο του χρόνου.
2
2
22222
ολική
sin2
sin22
21)(
jj
jjjj
eej
eeejeH
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-39
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-40
Υπενθυμίζονται οι γνωστές σχέσεις από τη θεωρία κυκλωμάτων κατά τις οποίεςα) Το ωμικό στοιχείο εμφανίζει αντίσταση R και η ένταση ρεύματος που τη διαρρέει βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την τάση στα άκρα της.
)(tR
t)(ti)(tR
RR
tti R )()(
)(ti
t
β) Το πηνίο εμφανίζει επαγωγική αντίσταση Lω και η ένταση του ρεύματος που το
διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης π/2 με την τάση στα άκρα του ZL = jLω.
)(tL
t L
L
Zt
ti)(
)(
)(ti
t
)(ti)(tLL
γ) Ο πυκνωτής εμφανίζει χωρητική αντίσταση 1/Cω και η ένταση του ρεύματος που
το διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης – π/2 με την τάση στα άκρα του ZC = 1/ jCω.
)(tC
t C
C
Zt
ti)(
)(
)(ti
t
)(ti)(tCC
Σεραφείμ Καραμπογιάς
Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-41
)()(
)(
inUI
H
CjjLRj
1
)(1)(
HZ
C
LRZ 1)( 2 2
R
C
L)(ti)(tin
δ) Η επαγωγική αντίσταση κυκλώματος είναι Ζ(ω) = U(ω) / Ι(ω).
ΆσκησηΝα βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος RLC σε σειρά
CjRjLj
12 )()(
jC
jLR 1
CLjR 1