ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης.

ad y t

dtb

d x t

dtk

k

kk

N

k

k

kk

M( ) ( )

0 0

dtxhdthxty y t x t h t

)(tx )(ty

Το σήμα εισόδου, x(t), και το σήμα εξόδου, y(t), ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης.

)(H)(th

Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(t).

)(X )(Y

Y H X

Το θεώρημα της Συνέλιξης.

y t x t h tF

Σεραφείμ Καραμπογιάς

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου έχουμε προσδιορίσει, με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης, τον Μετασχηματισμό Fourier της.

Εξηγήσουμε έννοιες όπως ιδανικό κατωπερατό φίλτρο ή χαμηλοπερατό, ζωνοπερατό και υψηπερατό, χρονική σταθερά, ζώνη διέλευσης και συχνότητα αποκοπής.

Περιγράψουμε τι είναι διαγράμματα Bode και εξηγήσουμε έννοιες όπως decibel και σημείο -3dB.

Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος από τη διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήματος.


Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier 4-2

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης.

ad y t

dtb

d x t

dtk

k

kk

N

k

k

kk

M( ) ( )

0 0

)(tx )(ty

Το σήμα εισόδου, x(t), και το σήμα εξόδου, y(t), ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης.

)(H)(th

Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h(t).

)(X )(Y

Y H X

Το θεώρημα της Συνέλιξης.

y t x t h tF

dtxhdthxty y t x t h t



Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας H(ω) μπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο

των μετασχηματισμών Fourier εξόδου-εισόδου.

)()(

)(

XY

H

N

k

kk

M

k

kk

ja

jbH

0

0

Και με τη βοήθεια της έχουμε k

k dt

txdk

N

k dt

tydk k

k

k

k

ba 0)(

0)(

Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας H(ω), ενός ΓΧΑ συστήματος είναι μία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων της μεταβλητής ( jω).

Σημειώνεται επίσης στον υπολογισμό της H(ω) ενός συστήματος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστημα.



Σύστημα πρώτης τάξεως

Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος πρώτης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση:

d y td t a y t b x t

( )( ) ( )

h t be u ta t Hb

j a

Απάντηση

b

be

1 a t

h t( )

Η παράμετρος τ ονομάζεται χρονική σταθερά.

H

ba

aa

ba2



Απάντηση

3)(4)(

2)()(

2

jj

jH

)(21)(

21)( 3 tuetueth tt

Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση:

)(2)(

)(3)(

4)(

2

2

txdt

tdxty

dttdy

dt

tyd

31

21

11

21

)3()1(2)(

)(

jjjjj

H



)()()(

21

01

012

01

xxbxb

axax

bxbxf

Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα

012

01)(axax

bxbxf

)()()()(

)(2

2

1

1

21

01

012

01

xc

xc

xxbxb

axax

bxbxf

1

)()( 11

x

xfxc2

)()( 22

x

xfxc

Οι σταθερές c1 και c2 υπολογίζονται από τις

και

ajXtuetx Fta

1)()()(

Υπενθυμίζεται και το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourier



Απάντηση

)(41

21

41)( 3 tueteety ttt

)()( tuetx t ;)( ty

Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος του ΓΧΑ συστήματος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση:

)(2)(

)(3)(

4)(

2

2

txdt

tdxty

dttdy

dt

tyd



Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα

)()()(

22

1

012

2

012

23

012

2

xx

bxbxb

axaxax

bxbxbxf

1

)()( 2112

xxfxc

2

)()( 221

x

xfxc

Οι σταθερές c12 και c21 υπολογίζονται όπως και προηγουμένως από τις

και

012

23

012

2)(axaxax

bxbxbxf

2

212

1

12

1

11

22

1

012

2

012

23

012

2

)()()()(

xc

xc

xc

xxbxbxb

axaxaxbxbxb

xf

ενώ η σταθερά c11 υπολογίζεται από την

1

)()( 2111

xxfx

dxdc

2)(1)(

ajtuet Fta

Από το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourier με τη βοήθεια της

παραγώγισης στο πεδίο συχνότητας έχουμε)()( XjtxtddF

ajFta tue

1)(



Προσδιορισμός συστήματος από την είσοδό του και έξοδό του

j

XFtuetx t

21)()()( 2

j

YFtuety t

11)()()(

)()(

)(

XY

H

jjj

H

111

12

)(

Απάντηση

Η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος σε σήμα εισόδου είναι)()( 2 tuetx t )()( tuety tΝα βρεθεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος και η κρουστική απόκριση.

Σημειώνεται ότι όταν το σήμα εισόδου είναι σήμα μίας συχνότητας θα πρέπει και το σήμα εξόδου να είναι σήμα της ίδιας συχνότητας και στην περίπτωση αυτή προσδιορίζεται μόνο η τιμή της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα του σήματος εισόδου.

)()( 2 tuetx t ;)( th )()( tuety t

jj

H

12

)(

)()()( tuetth t

Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι

Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι



XHY log log logY H X

Για να πετύχουμε ανάλογη συμπεριφορά για το μέτρο, λογαριθμίζουμε την εξίσωση

Χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα, και ως μονάδα μέτρου το decibel (dB). Η κλίμακα των dB βασίζεται στην αντιστοιχία

dB H20 10log ( )

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

Y e H e X ej Y j H j X arg arg arg

Y H X

arg arg argY H X

Y H X

Όπου |H(ω)| είναι η απόκριση πλάτους και argΗ(ω) η απόκριση φάσης του συστήματος και X(ω) ο MF του σήματος εισόδου.

Ο MF του σήματος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος δίνεται από



Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος πρώτης τάξεως όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος.

Το σύστημα πρώτης τάξης έχει κρουστική απόκριση και)()( tuebth ta

ajbH

)(απόκριση συχνότητας

1

t

)(tu

t

)(ty

Απάντηση

ajab

jabY 11)(



y t( )

t

1 1e

ba

ba

ba63,0

)(ty )(tuba

ba

tae

ba)(ty )(tutae1 1

a Σταθερά χρόνου

log10 1 log /10 10 log ,10 01

4

2

0

10log

argH

(ω)

Τα διαγράμματα Bode συστήματος πρώτης τάξεως.



-40

-20

0

20

log10 1 log10 10 log ,10 01

-60

10log

20 lo

g|H

(ω)|

0)(log20 10 H 101010 log20log20)(log20 H

dB3

ΙΔΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ

Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήμα εισόδου, με φασματικό περιεχόμενο εντοπισμένο στη ζώνη διέλευσης, είναι μια χρονική καθυστέρηση t0.

)(arg H

c

ctjeH

||,0||,)(

0

όπου ωc είναι η συχνότητα αποκοπής.

|)(| H

cc

1

Ζώνη διέλευσης

Ζώνη αποκοπής


)(tx

t0

)()( 0ttxty

t0 0tcc

1|)(| H



κλίση = - t0

)(1 tx

tc c

1

)(H argH(ω)

κλίση = – t0



c c

1

)(H argH(ω)

κλίση = – t0

)(2 tx

t

)(2 ty

t

0t

)(1 ty

t

0t

)()()( 21 txtxtx

tc c

1

)(H argH(ω)

κλίση = – t0

)()()( 21 tytyty

t

0t

)(1 tx

t



)(2 tx

t

)(2 ty

t

2t

)(1 ty

t

1t

)()()( 21 txtxtx

t

)()()( 21 tytyty

t

c c

1

)(H argH(ω)

c c

1

)(H argH(ω)

c c

1

)(H argH(ω)

c

cX

2,0

,1)(

ςωαλλι tt

tx c

)(sin

)(

0

1

c c

)(X

)(tx

t

c

0

c

c

Ολίσθηση στο χρόνο για κάθε πραγματικό αριθμό t0 είναι

)()( 00 Xettx tjF

C

tjeH 2

0)(

)()]([sin

)(0

0

tttt

th c



Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού

)(

sinc)(

)(sin)( 0

0

0 tttt

ttth ccc

t

h t( )

c

t0

tc0t

c0

Tcc

2

|)(| H

cc

)(arg H

t

h t( )

c

t0

tc0t

c0

Tcc

2



Το αποτέλεσμα της παραθύρωσης

Το αποτέλεσμα της παραθύρωσης

Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο

|)(| fH

cf0

1



f

Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο

|)(| fH

1f0

1



f2fΖώνη

αποκοπής

|)(| fH

1f0

1



f2fΖώνη

διέλευσης

Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο

Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο

|)(| fH

cf0

1



f

Ιδανικά φίλτρα



Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο

|)(| fH

cf0

A



f

A2

LPF

Πραγματικό υψιπερατό φίλτρο

|)(| fH

cf0

A



f

A2

HPF

Πραγματικό ζωνοπερατό φίλτρο

|)(| fH

2f0

A


f

A2

ΒPF



1f

Πραγματικό ζωνοφρακτικό φίλτρο

|)(| fH

2f0

A

f

A2

ΒRF



1fΖώνη

διέλευσης

Πραγματικά φίλτρα





)(H2

cpps

1

)(H2

sppsΖώνη

αποκοπήςΖώνη

διέλευσης

cc

112


Μεταβατική ζώνη

Μεταβατική ζώνη

Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο

Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα.

2)(log10 10 H

cpp

sdB0dB20

Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε dB σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα.

)(H2



cc

1


Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με εύρος-ζώνης W = 2ωc

cW 2



f

)(tsin

t

)(tsout

t

f6004002000

2

4

fSin fSout

6004002000

2

4

150

f200 400 600

100

500

)(log10 10 fH 2

1

f200 400 6000

fH2



)(tsin

t

)(tsout

t

f6004002000

2

4

fSin

f

fSout

6004002000

2

4

1

f200 400 600

fH2

150

f200 400 600

100

500

)(log10 10 fH 2



)(tmout

t

fM out

0 )KHz(f842 6

1

f4000 80000

fH2

150

f4000 8000

100

500

)(log10 10 fH 2

)(tmin

t

840

fM in

2 6 )KHz(f


Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier4-25

)(tmout

t

)KHz(f840

fM in

2 6

1

f4000 80000

fH2

150

f4000 8000

100

500

)(log10 10 fH 2

)(tmin

t

fM out

0 )KHz(f842 6



)KHz(f840

fM in

2 6

1

f4000 80000

fH2

)(tmin

t

)(tmout

t

fM out

0 )KHz(f842 6

150

f4000 8000

100

500

)(log10 10 fH 2

0 1 2 3 4 5 6 7x 10

-3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Σήμα εισόδου

Χρόνος

Πλά

τος

0 2000 4000 60000

0.5

1

1.5

2

2.5

3Φάσμα του σήματος εισόδου

Συχνότητα

Πά

τος

8000



0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3

-10

-5

0

5

10

Σήμα και θόρυβος

Χρόνος

Πλά

τος

0 2000 4000 6000 80000

0.5

1

1.5

2

2.5

3Φάσμα του Σήματος + Θορύβου

Συχνότητα

Πλά

τος



0 1 2 3 4 5 6 7 x 10-3

-2

-1

0

1

2

Το Σήμα εξόδου του φίλτρου

Χρόνος

Πλά

τος

0 2000 4000 6000 80000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Το φάσμα του Σήματος εξόδου του φίλτρου

Συχνότητα

Πλά

τος



0 1 2 3 4 5 6 7x 10

-3

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Το Σήμα εξόδου του φίλτρου

Χρόνος

Πλά

τος

0 2000 4000 6000 80000

0.5

1

1.5

2Το φάσμα του Σήματος εξόδου του φίλτρου

Συχνότητα

Πλά

τος

600

1400



Παρατηρούμε ότι η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήμα με ω0 = 2π/Τ = 1.

)5cos(

52)3(cos

32)(cos22)( tttVt

Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι

Από το Παράδειγμα 3.6 έχουμε

t

)(t

V

2 2 0

Να βρεθεί το ανάπτυγμα σε τριγωνομετρική σειρά της τάσης υ(t)


T T0 14

22

ka

1a1a

0a

2

21

2

0

x t( )

t T1 T10 T02 T0

2 T0 T0

1

t

Tt

Tt

Ttx

000

25cos

522

3cos322

cos221)(

20 T

1T 2

T4

0


Άσκηση

c

ctjeH

||,0||,)(

0

)(tx

t0

)()( 0ttxty

t0 0tcc

1|)(| H

Επειδή η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου είναι , από το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται μόνο οι δύο πρώτοι όροι, με χρονική καθυστέρηση . Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναιt0 1

4c

o tV

t t

41

13 3 1cos cos

t

)(t

V

2 2 0

4||,0

4||,)(

jeH

)(t )(0 t

tV

t t t

4 13 3

15 5cos cos cos

t 1/20 TΤο ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι

Η τάση εισόδου είναι ένα περιοδικό σήμα με .

Άσκηση 4.5



c

ctjeH

||,0||,)(

0

)(tx

t0

)()( 0ttxty

t0 0tcc

1|)(| H

)( 0tth

t0t

FΕπειδή η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου είναι , από το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται μόνο οι δύο πρώτοι όροι, με χρονική καθυστέρηση . Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναιt0 1

4c

o tV

t t

41

13 3 1cos cos

t

)(t

V

2 2 0

)(t )(0 t

tV

t t t

4 13 3

15 5cos cos cos

t 1/20 TΤο ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι

Η τάση εισόδου είναι ένα περιοδικό σήμα με .

Άσκηση



)2(

)2(4sin)(

t

tth

Στο Παράδειγμα 4.1 έχουμε υπολογίσει την απόκριση συχνότητας του συστήματος πρώτης τάξης

j

H 1

1

)(cos)( 0tAtx ])(argcos[)()( 000 HtAHty )(H

)()()(

txtytdtyd

)(tx )(ty

tV

t t t

4 13 3

15 5cos cos cos

Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier της τάσης εισόδου είναι

Η τάση εισόδου υ(t) είναι ένα περιοδικό σήμα με ω0 = 2 π / Τ = 1.

Άσκηση 4.6



t

)(t

V

2 2 0

Αν η είσοδος του συστήματος είναι η αρμονική συνιστώσα

)(cos)4()(1 tVt

Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε την απόκριση για κάθε αρμονική

συνιστώσα , , του σήματος εισόδου και χρησιμοποιώντας

την ιδιότητα της γραμμικότητας υπολογίζουμε την έξοδο του συστήματος

)(tyn

)(tn n 2, 3, )(t

y tV

t t

4 1

2 41

3 103 31

cos cos tan

4cos2

4)1(argcos

4)1()(1

t

VHt

VHty

τότε η έξοδος του συστήματος είναι



dx222 xba

1ab

1tan bxa

Ο ΜF του σήματος εισόδου και το μέτρο του μετασχηματισμού είναι

j

X

2,02)( 22

2

2,04)(

Xκαι

Η ενέργεια του σήματος εισόδου μπορεί να υπολογιστεί και στο πεδίο των συχνοτήτων

Άσκηση 4.7


0

)(tx

t

2 )(2)( tuetx t5

)(tx )(ty)(H

c c

1

Η ολική ενέργεια του σήματος εισόδου είναι

10104)(2

edtedttxE

0

t2

5t2

50

Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourier

102

54)5(tan542,0

422

2,04

21 1

2222

ddE

0

0

4-36

Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος εξόδου είναι

ςωαλλι,0

,2,0

2)()()(

ccjXHY

5)5(tan54 1 c sec

rad2,0cαπ’ όπου προκύπτει

Επειδή η ενέργεια του σήματος εξόδου πρέπει να είναι ίση με τη μισή της ενέργειας του σήματος εισόδου, έχουμε την εξίσωση


H ολική ενέργεια του σήματος εξόδου είναι

)5(tan54)5(tan542,0

42,0

421 11

2222 CddE

C

C

C

0 0

C

εξόδ.

fdfXdXdttxEx222

)()()(

12

Θεώρημα του Parseval


Γραμμικό χρονικά αναλλοιώτο σύστημα έχει κρουστική απόκριση h(t) = e – b

t u(t)

Όταν το σήμα εισόδου είναι x(t) = e – a

t

u(t) να βρεθούνα) η φασματική πυκνότητα ενέργειαςβ) η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και γ) η ενέργεια του σήματος εξόδου.

2222222 111)(

baabY

α) Η φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος εξόδου είναι

||||22

21

21

211)()( ba

y eb

eaab

YFR

β) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εξόδου είναι

)(21)(

0 babaRE yy

γ) Η ενέργεια του σήματος εξόδου είναι

Απάντηση

Άσκηση



Να βρεθεί η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του συστήματος.

)()( ttx )()( thty

)( t

)()( tt

2/)()()()()()( ttutudthtyt

Είσοδος

Σύστημα καθυστέρησης

κατά τ

Έξοδοςdt)(

Σύστημα ολοκλήρωσης

Είσοδος Έξοδος1)(1 H )(3 H 1j

eH )(2 j

Περιγραφή του συστήματος στο πεδίο συχνότητας.

Περιγραφή του συστήματος στο πεδίο του χρόνου.

2

2

22222

ολική

sin2

sin22

21)(

jj

jjjj

eej

eeejeH





Υπενθυμίζονται οι γνωστές σχέσεις από τη θεωρία κυκλωμάτων κατά τις οποίεςα) Το ωμικό στοιχείο εμφανίζει αντίσταση R και η ένταση ρεύματος που τη διαρρέει βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την τάση στα άκρα της.

)(tR

t)(ti)(tR

RR

tti R )()(

)(ti

t

β) Το πηνίο εμφανίζει επαγωγική αντίσταση Lω και η ένταση του ρεύματος που το

διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης π/2 με την τάση στα άκρα του ZL = jLω.

)(tL

t L

L

Zt

ti)(

)(

)(ti

t

)(ti)(tLL

γ) Ο πυκνωτής εμφανίζει χωρητική αντίσταση 1/Cω και η ένταση του ρεύματος που

το διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης – π/2 με την τάση στα άκρα του ZC = 1/ jCω.

)(tC

t C

C

Zt

ti)(

)(

)(ti

t

)(ti)(tCC



)()(

)(

inUI

H

CjjLRj

1

)(1)(

HZ

C

LRZ 1)( 2 2

R

C

L)(ti)(tin

δ) Η επαγωγική αντίσταση κυκλώματος είναι Ζ(ω) = U(ω) / Ι(ω).

ΆσκησηΝα βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος RLC σε σειρά

CjRjLj

12 )()(

jC

jLR 1

CLjR 1

ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Documents

Transcript of ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ