Τα Μαθηματικά στην Αρχαία Αίγυπτο

Ν. Καστάνη

• Η πρώτες μόνιμες εγκαταστάσεις γύρω από το Νείλο έγιναν την περίοδο 8.000-6.000 π.Χ.

• Στα μέσα της 4ης χιλιετηρίδας δημιουργήθηκαν δύο βασίλεια: το Βόρειο στην Κάτω Αίγυπτο και το Νότιο στην Άνω Αίγυπτο.

• Γύρω στο 3.000 π.Χ. ο βασιλιάς Μήνης ή Μένες από την Άνω Αίγυπτο κυρίευσε το βασίλειο της Κάτω Αιγύπτου και ενοποίησε την περιοχή σ΄ένα βασίλειο. Η χώρα μετατράπηκε σε μια συγκεντρωτική δεσποτεία

• Με τον Μένες άρχισε η ονομαζόμενη εποχή των δυναστειών, η εποχή των Φαραώ (μέχρι το 341 π.Χ.).

Ιστορία της Αρχαίας Αιγύπτου

Αναπαράσταση της κυριαρχίας

του Μένες

Η Αρχαία Αίγυπτος

Η γραφή στην Αρχαία Αίγυπτο

• Το πρώτο είδος γραφής στη Αρχαία Αίγυπτο εμφανίστηκε το 3.100 π.Χ. περίπου και ήταν η ιερογλυφική.

• Γύρω στο 2.000 π.Χ. επικράτησε ένα άλλο είδος γραφής που ονομάζεται ιερατική γραφή.

• Και γύρω στο 700 π.Χ. εμφανίστηκε και η δημοτική γραφή.

Είδη γραφής στην Αρχαία Αίγυπτο

Οι γραφείς στη Αρχαία Αίγυπτο

Οι πηγές των αιγυπτιακών Μαθηματικών.

• Πάπυρος Rhind, είναι μια συλλογή 84 προβλημάτων που αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ. από ένα πρωτότυπο του 1850 π.Χ.

• Πάπυρος της Μόσχας, γράφτηκε γύρω στο 1850 π.Χ. Είναι μια συλλογή 25 προβλημάτων.

• Ο δερμάτινος κύλινδρος, που γράφτηκε γύρω στο 1650 π.Χ. και περιέχει 26 αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων.

• Επίσης υπάρχει ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος του Βερολίνου, που είναι του 1850 π.Χ. περίπου και περιέχουν μαθηματικές πράξεις και προβλήματα.

Αιγυπτιακοί πάπυροι με Μαθηματικά

Πάπυρος Rhind

Πάπυρος τηςΜόσχας

Οι παραστάσεις των αριθμών στην Αρχαία Αίγυπτο

Αριθμοί στην ιερογλυφική γραφή

Αριθμοί στην ιερατική γραφή

Αριθμητικές πράξειςΑριθμητικές πράξεις στον Πολιτισμό της Αρχαίας

ΑιγύπτουΠρόσθεση

Από το πρόβλημα 79 του πάπυρου Rhind

Μεταγραφή της ιερατικής γραφήςτων αριθμών σε σύγχρονη απόδοση.Πρώτα από δεξιά στα αριστερά καιστη συνέχεια σύμφωνα με τον σημερινό τρόπο.

Αριθμητικές πράξειςΑριθμητικές πράξεις στον Πολιτισμό της Αρχαίας

ΑιγύπτουΠολλαπλασιασμός

16 . /

160 10 /

80 5 /

256 αποτέλεσμα

1616

Πολλαπλασιασμοί

17 1/34 268 4/136 8/--------------------------------

221 131713

1212

Διαίρεση

1 80

2 160

4 / 320 /

10 / 800 /-----------------------------------------------------

14 1120

1120 : 80

1 122 244 488 / 96 /16 / 192 /½ / 6 /¼ / 3 /------------------------------------------------------------------------

24 ½ ¼ 297

297 : 12

Κλάσματα

Πίνακας των “κλασμάτων”

2

n με n=2κ+1.Από τον Πάπυρο Rhind

Προβλήματα

Από τον πάπυρο RhindΝα μοιραστούν 6 ψωμιά σε 10 ανθρώπους.

Απάντηση:

1 1

2 10Διαίρεση : 1 10

1

21

25 /

1

101 /

Επαλήθευση: 11

2

1

10

2 11

5

4 21 1

3 15

8 42 1 1

3 10 30

Υπολογισμοί “αχά”Ο όρος “αχά” ή “χα” σημαίνει ποσότητα ή σωρός κάποιων πραγμάτων.

Πρόβλημα 26 του πάπυρου Πρόβλημα 26 του πάπυρου RhindRhind :Μια ποσότητα και το τέταρτο μέρος αυτής κάνουν μαζί 15.Ποια είναι η ποσότητα;Έστω 4. Τότε το 4 και 1 (το τέταρτο μέρος του 4) κάνει 5 και όχι 15.Για να βρεθεί το σωστό, πρώτα υπολογίζεται η απόκλιση και σημειώνεται ότι το 15 είναι τριπλάσιο του 5. Έτσι η διόρθωση της αρχικής αυθαίρετης παραδοχήςαυθαίρετης παραδοχής γίνεται μετριπλασιασμό της, 3 φορές το 4, δηλ. 12.Διαπιστώνεται ότι αυτό είναι σωστό, γιατί 12 και 3 (το τέταρτο του 12) κάνει 15.

Η μέθοδος αυτή, που χρησιμοποιήθηκε και σε μεταγενέστερεςεποχές, ονομάζεται: μέθοδος της αυθαίρετης παραδοχήςμέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ήμέθοδος της λανθασμένης θέσηςμέθοδος της λανθασμένης θέσης.

Γεωμετρικές γνώσεις των Αιγυπτίων

Από τις υπάρχουσες μαρτυρίες διαπιστώνεται ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν να υπολογίζουν τα εμβαδά ορθογωνίων παραλληλογράμμων, ορθογωνίων τριγώνων, τραπεζοειδών, κύκλων. Επίσης γνώριζαν να υπολογίζουν όγκους κυλίνδρων, πυραμίδων και κόλουρων πυραμίδων.

Πρόβλημα 51 του πάπυρου Πρόβλημα 51 του πάπυρου RhindRhind:Να υπολογιστεί η επιφάνεια ενός τριγωνικού χωραφιού με βάση 4 (μονάδες μέτρησης) και πλευρά 10.

Το αποτέλεσμα βρίσκεται με τον πολλαπλασιασμό του μισού του 4επί 10, δηλ. 20.

Πρόβλημα 50 του πάπυρου Πρόβλημα 50 του πάπυρου RhindRhind:Ένα κυκλικό χωράφι έχει διάμετρο 9 (μονάδες μέτρησης). Πόσο είναι το εμβαδόν του;

Ο υπολογισμός γίνεται ως εξής:Πρώτα βρίσκεται το ένα ένατο του 9, που είναι 1.Αυτό αφαιρείται από το 9 και γίνεται 8.Και υπολογίζεται το γινόμενο του 8 επί 8. 1 8 2 16 4 32\ 8 64 / Το 64 είναι το αποτέλεσμα.

Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό του εμβαδού κύκλουαντιστοιχεί, με τα σημερινά δεδομένα, στον τύπο:

2 221 8 256

Ε = δ – δ = δ = ρ9 9 81

Πρόβλημα 14 του πάπυρου της ΜόσχαςΠρόβλημα 14 του πάπυρου της Μόσχας:Υπολογισμός του όγκου κόλουρης πυραμίδας, με ύψος6 (μονάδες μήκους) η μια βάση 4 και η άλλη 2.

Αλγόριθμος:Πολλαπλασιασμός του 4 επί 4, κάνει 16.Πολλαπλασιασμός του 4 επί 2, κάνει 8.Πολλαπλασιασμός του 2 επί 2, κάνει 4.Πρόσθεση του 16 και 8 και 4, κάνει 28.Το ένα τρίτο του 6, κάνει 2.Πολλαπλασιασμός του 28 επί 2, κάνει 56.Το 56 είναι το αποτέλεσμα.

2 2υV = α + α·β + β

3

Με τα σημερινάδεδομένα αντιστοιχεί στοντύπο: