1

Zadatak 221 (Maja, gimnazija) Vozeći bez pogona, automobil se giba konstantnom brzinom 40 km/h po cesti sa strminom od

20% (tg α = 0.2). Koliki će put automobil prijeći od mjesta u kojem cesta postane horizontalna pod

pretpostavkom da je sila kočenja ostala nepromijenjena? (g = 9.81 m/s2).

Rješenje 221

v = 40 km/h = [40 : 3.6] = 11.11 m/s, tg α = 0.2, g = 9.81 m/s2, s = ?

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba.

Tijelo obavlja rad W ako djeluje nekom silom F na putu s na drugo tijelo. Ako sila djeluje u smjeru

gibanja tijela, vrijedi

.W F s= ⋅

Kad tijelo obavlja rad, mijenja mu se energija. Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu.

Tijelo mase m i brzine v ima kinetičku energiju

1 2

2.E m v

k= ⋅ ⋅

αααααααα

G

F2

F1

Ftr2

Ftr1

αααα

s

E

Sa slike vidi se:

1sin sin sin1 1

.cos cos

2 2 2cos

F

F G F m gG

F F G F m g

G

α α α

α αα

= = ⋅ = ⋅ ⋅⇒ ⇒

= ⋅ = ⋅ ⋅=

Trenje Ftr1 između automobila i kosine iznosi:

cos .21 1

F F F m gtr trµ µ α= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

Budući da se automobil giba niz kosinu konstantnom brzinom, komponenta F1 sile teže koja uvjetuje

ubrzavanje automobila niz kosinu po iznosu jednaka je sili trenja Ftr1:

sinsin cos

1

1 cos1/

cosmF F mtr

gg m g

αα µ µ

ααα= ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅⋅ =

⋅⇒

fa0.2 .ktor trenjatgµ α µ⇒ = ⇒ =

2

Kada automobil dođe na ravnu cestu ima brzinu v pa mu je kinetička energija

1 2.

2E m v

k= ⋅ ⋅

Na ravnoj cesti sila trenja Ftr2 između automobila i ceste iznosi:

.2 2

F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Sila kočenja (trenje) na putu s obavi rad koji je jednak promjeni kinetičke energije automobila:

21 2

2

1/

22

vW E F s E m g s m v strk gm gk µ

µµ

= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ =

2

11.11

31.46 .

2 0.2 9.812

m

sm

m

s

= =

⋅ ⋅

Vježba 221 Vozeći bez pogona, automobil se giba konstantnom brzinom 72 km/h po cesti sa strminom od

20% (tg α = 0.2). Koliki će put automobil prijeći od mjesta u kojem cesta postane horizontalna pod

pretpostavkom da je sila kočenja ostala nepromijenjena? (g = 9.81 m/s2).

Rezultat: 101.94 m.

Zadatak 222 (Ivan, tehnička škola) Dva su vagona mase m1 = 10 t i m2 = 20 t međusobno spojena i stoje na horizontalnim

tračnicama. Kolikom je silom napregnuta spojka ako vagon manje mase vučemo silom 3 · 104 N?

(Zanemariti trenje.)

Rješenje 222 m1 = 10 t = 104 kg, m2 = 20 t = 2 · 104 kg, F1 = 3 · 104 N, F2 = ?

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

F2 F1

m2 m1

Budući da su vagoni spojeni, sila F1 ubrzava cijeli sustav, mase m1 + m2, akceleracijom a:

1 .

1 2

Fa

m m=

+

Sila F2 kojom je napregnuta spojka na kraju koje je vagon mase m2, iznosi:

1 22 2 2 2 2 1

1 2 1 2

F mF m a F m F F

m m m m= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =

+ +

42 104 4

3 10 2 10 20 .4 4

10 2 10

kgN N kN

kg kg

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ =

+ ⋅

Vježba 222 Dva su vagona mase m1 = 10 t i m2 = 20 t međusobno spojena i stoje na horizontalnim

tračnicama. Kolikom je silom napregnuta spojka ako vagon manje mase vučemo silom 6 · 104 N?

(Zanemariti trenje.)

Rezultat: 40 kN.

3

Zadatak 223 (Hrvoje, tehnička škola) Za 10 s brzina tijela jednoliko se poveća s 3 m/s na 12 m/s. Koliki put prijeđe tijelo za to

vrijeme?

Rješenje 223 t = 10 s, v1 = 3 m/s, v2 = 12 m/s, s = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje je gibanje stalnom brzinom. Put je razmjeran s vremenom:

.s v t= ⋅

Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje jest gibanje stalnim ubrzanjem (akceleracijom).

Akceleracija opisuje promjenu brzine u jedinici vremena ( u 1 sekundi).

Srednja akceleracija:

,2 1,v vv

a at t

−∆= =

∆ ∆

gdje su v1 početna brzina gibanja, v2 konačna brzina gibanja.

Srednja brzina vs kod jednolikog ubrzanog pravocrtnog gibanja je:

2

2,1

v vvs

+=

gdje su v1 početna brzina gibanja, v2 konačna brzina gibanja.

Ako tijelo ima početnu brzinu v0, a akceleracija je pozitivna, vrijedi formula za put s:

1 20 2

.s v t a t= ⋅ + ⋅ ⋅

1.inačica

3 121 21 2 10 75 .2

2 2

m mv vv vv s ss s t s m

s v ts

+ ++=⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅

2.inačica

( )2 1

1 122 11 1 2 12 21 2

1 2

v va v v

ts v t t s v t v v t

ts v t a t

−= −

⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒

= ⋅ + ⋅ ⋅

( )1 1 1 1 1

1 2 1 1 2 1 22 2 2 2 2s v t v t v t s v t v t s v v t⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ =

13 12 10 75 .

2

m ms m

s s= ⋅ + ⋅ =

Vježba 223 Za 5 s brzina tijela jednoliko se poveća sa 6 m/s na 24 m/s. Koliki put prijeđe tijelo za to

vrijeme?

Rezultat: 75 m.

Zadatak 224 (Dada, medicinska škola) Kamen je bačen vertikalno uvis početnom brzinom v0 = 100 m/s. Nakon koliko vremena će se

kamen nalaziti na visini h = 25 m? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 224 v0 = 100 m/s, h = 25 m, g = 9.81 m/s2, t = ?

Vertikalni hitac sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog pada. Zato mu je

visina h u času kad je prošlo vrijeme t dana ovim izrazom:

4

1 20 2

.h v t g t= ⋅ − ⋅ ⋅

Vrijeme t nakon kojeg će se kamen nalaziti na visini h iznosi:

1 1 12 2 225 100 9.81 25 100 9.81

0/

2 22

2h v t g t t t t t= ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⇒

22 2 9.81 200 50 0

50 200 9.81 9.81 200 50 09.81 , 200 , 50

t tt t t t

a b c

⋅ − ⋅ + =⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⇒

= = − =

( )9.81 , 200 , 50 2

200 200 4 9.81 502

4 1,2 2 9.811,2 2

a b c

tb b a c

ta

= = − =± − − ⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=

⋅

200 40 000 1962 200 38038 200 195.03

1,2 1,2 1,219.62 19.62 19.62t t t

± − ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

200 195.03 4.970.251 119.62 19.62 1

.200 195.03 395.03 20.13

22 219.62 19.62

t t t s

t st t

−= = =

⇒ ⇒ ⇒+ =

= =

Vrijeme t1 je vrijeme za koje će kamen dostići visinu h, a vrijeme t2 predstavlja vrijeme za koje drugi

puta dolazi kamen na tu visinu pri padanju.

Vježba 224 Kamen je bačen vertikalno uvis početnom brzinom v0 = 360 km/h. Nakon koliko vremena će

se kamen nalaziti na visini h = 0.025 km? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: t1 = 0.25 s , t2 = 20.13 s.

Zadatak 225 (Malena, medicinska škola) Jabuka padne sa stabla za 3 s i udari o zemlju brzinom 29.4 m/s. Koliko je ubrzanje sile teže?

Rješenje 225 ∆t = 3 s, v1 = 0 m/s, v2 = 29.4 m/s, g = ?

Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje s početnom brzinom v0 = 0 m/s i akceleracijom

a = g. Relacija za brzinu za ubrzano gibanje vrijedi i za slobodni pad:

.v g t= ⋅

Akceleracija je promjena brzine u jedinici vremena. Srednja akceleracija jest omjer razlike brzina ∆v u

nekome vremenskom intervalu ∆t i toga vremenskog intervala

2, .1

2 1

v vva a

t t t

−∆= =

∆ −

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje pri kojemu je taj kvocijent stalan (konstantan) za

svaki ∆v i odgovarajući ∆t duž tog puta pa pišemo

2, .1

2 1

v vva

t t ta

−∆= =

∆ −

Ubrzanje sile teže g iznosi:

29.4 02 1 9.8 .

23

m mv vv ms sg g

t t s s

−−∆= ⇒ = = =

∆ ∆

5

Vježba 225 Jabuka padne sa stabla za 6 s i udari o zemlju brzinom 58.8 m/s. Koliko je ubrzanje sile teže?

Rezultat: 9.8 m/s2.

Zadatak 226 (Malena, medicinska škola) Kamen izbacimo horizontalno s visine od 4.9 m prema moru. Na koju će udaljenost od nas

pasti kamen ako ga izbacimo brzinom 20 m/s? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 226 h = 4.9 m, v0 = 20 m/s, g = 9.81 m/s

2, D = ?

Složena gibanja pri kojima jednu komponentu gibanja uzrokuje djelovanje sile teže zovu se hici.

Horizontalni hitac je gibanje koje se sastoji od jednolikoga gibanja u horizontalnom smjeru brzinom v0

i slobodnog pada. Brzina tijela u horizontalnom smjeru je stalnog iznosa v0, a u vertikalnom zbog

slobodnog pada .v g t= ⋅

Položaj tijela je određen u svakom trenutku prijeđenim putom u horizontalnom smjeru (jednoliko

pravocrtno gibanje)

0x v t= ⋅

i vertikalnom smjeru (slobodni pad)

2.

1

2h g t= ⋅ ⋅

Domet D horizontalnog hica je horizontalna udaljenost između mjesta izbacivanja tijela i mjesta pada

na tlo:

2, .

0 0

hD v t D v

g

⋅= ⋅ = ⋅

visina

domet

v0

h

D

Udaljenost na koju će kamen pasti iznosi:

2 2 4.920 19.99 20 .

09.81

2

h m mD v m m

mg s

s

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ≈

Vježba 226 Kamen izbacimo horizontalno s visine od 4.9 m prema moru. Na koju će udaljenost od nas

pasti kamen ako ga izbacimo brzinom 40 m/s? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 40 m.

Zadatak 227 (Zoran, student) Tijelo mase 4 kg guramo silom od 30 N pod kutom od 20° u odnosu na kosinu. Nagib kosine

je 30°. Koliki je koeficijent trenja ako je akceleracija tijela 0.8 m/s2? (g = 10 m/s

2)

Rješenje 227 m = 4 kg, F = 30 N, α = 20°, β = 30°, a = 0.8 m/s

2, g = 10 m/s

2, µ = ?

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

6

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.

Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes.

Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na

Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Drugi Newtonov zakon: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ koeficijent (faktor) trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje

na podlogu po kojoj se giba.

ββββ

ββββ

ββββ

G

F1

F2

• Na tijelo mase m, koje je na kosini, djeluje sila teža G = m · g.

Računamo komponentu F1 sile teže G u smjeru kosine i komponentu F2 sile teže G okomitu na kosinu.

Sa slike vidi se:

1sin sin sin ,1 1

FF G F m g

Gβ β β= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

2cos cos cos .2 2

FF G F m g

Gβ β β= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Trenje Ftr1 zbog sile teže G iznosi:

cos .21 1

F F F m gtr trµ µ β= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

F3

F

F4

αααα

• Na tijelo mase m, koje je na kosini, djeluje sila F pod kutom α.

7

Računamo komponentu F3 sile F u smjeru kosine i komponentu F4 sile F okomitu na kosinu. Sa slike

vidi se:

4sin sin ,4

FF F

Fα α= ⇒ = ⋅

3cos cos .3

FF F

Fα α= ⇒ = ⋅

Trenje Ftr2 uvjetovano silom F iznosi:

cos .42 2

F F F Ftr trµ µ α= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Ukupno trenje Ftr koje se javlja kad tijelo mase m guramo silom F uz kosinu jednako je zbroju trenja

Ftr1 i Ftr2:

( )cos sin cos sin .1 2

F F F F m g F F m g Ftr tr tr tr trµ β µ α µ β α= + ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

Ftr

F4

F3

F2

F1

F

G

ββββ

ββββ

ββββ

αααα

αααα

Ukupna sila m · a (rezultantna sila) kojom tijelo guramo uz kosinu jednaka je razlici komponenata

paralelnih sa kosinom F3 i F1 umanjenoj za trenje Ftr. Pomoću drugog Newtonova poučka dobije se

traženi koeficijent trenja µ:

( )cos sin cos sin3 1

m a F F F m a F m g m g Ftr α β µ β α⋅ = − − ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒

( )cos sin cos sin3 1

m a F F F m g F F m g m atr µ β α α β⋅ = − − ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒

( )1

/c

cos sin cos sos sin

inm g F F m gm

mg F

aµ β α α ββ α

⋅⋅

⇒ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ + ⋅

⇒

0 030 cos 20 4 10 sin 30 4 0.8

2 2cos sin0.11.

0 0cos sin4 10 cos 30 30 sin 20

2

m mN kg kg

F m g m a s s

mm g Fkg N

s

α βµ

β α

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

⇒ = = =⋅ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ + ⋅

Vježba 227 Tijelo mase 400 dag guramo silom od 0.03 kN pod kutom od 20° u odnosu na kosinu. Nagib

kosine je 30°. Koliki je koeficijent trenja ako je akceleracija tijela 0.8 m/s2? (g = 10 m/s

2)

Rezultat: 0.11.

Zadatak 228 (Zoran, student) Tijelo mase 3 kg vučemo silom od 25 N pod kutom od 30° u odnosu na kosinu. Nagib kosine

je 40°. Kolika je akceleracija tijela ako je koeficijent trenja 0.1? (g = 10 m/s2)

Rješenje 228 m = 3 kg, F = 25 N, α = 30°, β = 40°, µ = 0.1, g = 10 m/s

2, a = ?

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

8

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.

Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu ili ovjes.

Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s obzirom na

Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Drugi Newtonov zakon: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ koeficijent (faktor) trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje

na podlogu po kojoj se giba.

ββββ

ββββ

ββββ

G

F1

F2

• Na tijelo mase m, koje je na kosini, djeluje sila teža G = m · g.

Računamo komponentu F1 sile teže G u smjeru kosine i komponentu F2 sile teže G okomitu na kosinu.

Sa slike vidi se:

1sin sin sin ,1 1

FF G F m g

Gβ β β= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

2cos cos cos .2 2

FF G F m g

Gβ β β= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

F3

F

F4

αααα

• Na tijelo mase m, koje je na kosini, djeluje sila F pod kutom α.

Računamo komponentu F3 sile F u smjeru kosine i komponentu F4 sile F okomitu na kosinu. Sa slike

vidi se:

9

4sin sin ,4

FF F

Fα α= ⇒ = ⋅

3cos cos .3

FF F

Fα α= ⇒ = ⋅

Ftr

F4

F3

F2

F1

F

G

ββββ

ββββ

ββββ

αααα

Sa slike vidi se da sile F2 i F4 koje okomito djeluju na kosinu i uvjetuju trenje Ftr imaju suprotan smjer!

Zato trenje Ftr koje se javlja kad tijelo mase m vučemo uz kosinu, nagiba β, pod kutom α iznosi

( ) ( )cos sin .2 4

F F F F m g Ftr trµ µ β α= ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

Ukupna sila m · a (rezultantna sila) kojom tijelo vučemo uz kosinu jednaka je razlici komponenata

paralelnih sa kosinom F3 i F1 umanjenoj za trenje Ftr. Pomoću drugog Newtonova poučka dobije se

akceleracija a:

3 13 1 3 1

/ :F F Ftr

m a F F F m a F F F atr trm

m− −

⋅ = − − ⇒ ⋅ = − − ⇒ = ⇒

( )cos sin cos sinF m g m g Fa

m

α β µ β α⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⇒ = =

0 0 0 025 cos30 3 10 sin 40 0.1 3 10 cos 40 25 sin 30

2 20.44 .

23

m mN kg kg N

ms s

kg s

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

= =

Vježba 228 Tijelo mase 300 dag vučemo silom od 0.025 kN pod kutom od 30° u odnosu na kosinu. Nagib

kosine je 40°. Kolika je akceleracija tijela ako je koeficijent trenja 0.1? (g = 10 m/s2)

Rezultat: 0.44 m/s2.

Zadatak 229 (Ivan, obrtnička škola) Kolika je težina tijela koje sila od 60 N pokrene u horizontalnom smjeru akceleracijom 4 m/s

2?

(g = 9.81 m/s2)

Rješenje 229 F = 60 N, a = 4 m/s2, g = 9.81 m/s2, G = ?

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

10

Drugi Newtonov zakon: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Težina tijela iznosi:

609.81 147.15 .

24

2

/ :F

F m a F m a m F N mG g Na

mG m g G m g a sG

a

m gs

= ⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅= ⋅

Vježba 229 Kolika je težina tijela koje sila od 30 N pokrene u horizontalnom smjeru akceleracijom 2 m/s

2?

(g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 147.15 N.

Zadatak 230 (Josip, gimnazija) Čovjek gura teret mase 30 kg stalnom brzinom po horizontalnoj podlozi silom koja zatvara kut

α = 30° s horizontalom. Koeficijent trenja je 0.2. Kolika je sila? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 230 m = 30 kg, α = 30°, µ = 0.2, g = 9.81 m/s2, F = ?

Prvi Newtonov poučak:

Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli, tijelo miruje ili se giba

jednoliko po pravcu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ koeficijent (faktor) trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje

na podlogu po kojoj se giba.

FN

G

F2

F1

F

αααα

Sa slike vidi se:

2 1sin sin , cos cos .2 1

F FF F F F

F Fα α α α= ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅

Silu F kojom čovjek gura teret rastavimo na dvije komponente:

• komponenta F1 djeluje u smjeru horizontalne podloge i uvjetuje gibanje tereta,

11

• komponenta F2 djeluje okomito na horizontalnu podlogu i pritišće podlogu.

Budući da sila teža G i komponenta F2 djeluju okomito na podlogu u istom smjeru, trenje iznosi:

( ) ( )sin .2

F G F F m g Ftr trµ µ α= ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅

Teret se giba jednoliko po horizontalnoj podlozi pa je sila F1 po iznosu jednaka trenju Ftr (prvi

Newtonov poučak):

( )cos sin cos sin1

F F F m g F F m g Ftr α µ α α µ µ α= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒

( )cos sin cos si1

/cos in

ns

F F m g F m gα µ α µ αµ

µα

αα

µ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− ⋅

⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

0.2 30 9.812

76.84 .0 0cos sin cos 30 0.2 sin 30

mkg

m g sF Nµ

α µ α

⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ = = =− ⋅ − ⋅

Vježba 230 Čovjek gura teret mase 60 kg stalnom brzinom po horizontalnoj podlozi silom koja zatvara kut

α = 30° s horizontalom. Koeficijent trenja je 0.2. Kolika je sila? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 153.68 N.

Zadatak 231 (Josip, gimnazija) Čovjek vuče teret mase 30 kg stalnom brzinom po horizontalnoj podlozi silom koja zatvara

kut α = 30° s horizontalom. Koeficijent trenja je 0.2. Kolika je sila? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 231 m = 30 kg, α = 30°, µ = 0.2, g = 9.81 m/s

2, F = ?

Prvi Newtonov poučak:

Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli, tijelo miruje ili se giba

jednoliko po pravcu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ koeficijent (faktor) trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje

na podlogu po kojoj se giba.

αααα

F

F1

F2

G

P

12

Sa slike vidi se:

2 1sin sin , cos cos .2 1

F FF F F F

F Fα α α α= ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅

Silu F kojom čovjek vuče teret rastavimo na dvije komponente:

• komponenta F1 djeluje u smjeru horizontalne podloge i uvjetuje gibanje tereta,

• komponenta F2 djeluje okomito na horizontalnu podlogu i umanjuje pritisak sile teže G na

podlogu.

Budući da sila teža G i komponenta F2 djeluju okomito na podlogu u suprotnim smjerovima, trenje

iznosi:

( ) ( )sin .2

F G F F m g Ftr trµ µ α= ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅ − ⋅

Teret se giba jednoliko po horizontalnoj podlozi pa je sila F1 po iznosu jednaka trenju Ftr (prvi

Newtonov poučak):

( )cos sin cos sin1

F F F m g F F m g Ftr α µ α α µ µ α= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

( )cos sin cos si1

/cos in

ns

F F m g F m gα µ α µ αµ

µα

αα

µ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅

⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

0.2 30 9.812

60.93 .0 0cos sin cos 30 0.2 sin 30

mkg

m g sF Nµ

α µ α

⋅ ⋅⋅ ⋅

⇒ = = =+ ⋅ + ⋅

Vježba 231 Čovjek vuče teret mase 60 kg stalnom brzinom po horizontalnoj podlozi silom koja zatvara

kut α = 30° s horizontalom. Koeficijent trenja je 0.2. Kolika je sila? (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 121.86 N.

Zadatak 232 (Martin, srednja škola)

Balon, ukupne mase 200 kg, spušta se konstantnom brzinom. Kolika je masa balasta koji treba

izbaciti da bi se balon podizao jednakom brzinom? Sila uzgona iznosi 1800 N. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 232 m = 200 kg, Fuz = 1800 N, g = 9.81 m/s2, mb = ?

Prvi Newtonov poučak:

Ako na tijelo ne djeluje nikakva sila ili je rezultanta svih sila jednaka nuli, tijelo miruje ili se

giba jednoliko po pravcu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema

drugom Newtonovom poučku

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka.

Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na horizontalnu podlogu

ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu s

obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Uzgon je sila koja tijelo uronjeno u tekućinu u gravitacijskom polju potiskuje uvis. Po iznosu

je jednak težini tekućine što je tijelo istisne svojim obujmom. Dakle, uzgon je sila koja istiskuje

uronjeno tijelo iz tekućine u suprotnome smjeru od sile teže.

v v m - mbm

G2

G1

Fo

Fo

Fuz

Fuz

13

Težina balona ukupne mase m iznosi:

.1

G m g= ⋅

Težina balona nakon izbacivanja balasta mase mb iznosi:

( ) .2

G m m gb

= − ⋅

Spuštanje

Budući da se balon jednoliko spušta, težina balona G1 po iznosu jednaka je zbroju (rezultanti) uzgona

Fuz i otpora zraka Fo:

.1 1

G F F F G F F m g Fuz o o uz o uz= + ⇒ = − ⇒ = ⋅ −

Dizanje

Budući da se balon jednoliko uzdiže, težina balona G2 bez balasta mase mb po iznosu jednaka je razlici

(rezultanti) uzgona Fuz i otpora zraka Fo:

( ) .2 2

G F F F F G F F m m guz o o uz o uz b= − ⇒ = − ⇒ = − − ⋅

Iz sustava jednadžbi dobije se masa balasta mb:

( ) ( )metoda

komparacije

F m g Fo uzm g F F m m guz uz bF F m m go uz b

= ⋅ −⇒ ⇒ ⋅ − = − − ⋅ ⇒

= − − ⋅

m g F F m g m g m g F m g m g Fuz uz uz uzb b⇒ ⋅ − = − ⋅ + ⋅ ⇒ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⇒

( )/ 2 2:2 2 2 2F Fuz uzm g F m g m m m muzb b bg g

g⇒ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅− ⇒

18002 2 200 33.03 .

9.812

F Nuzm m kg kgb mg

s

⇒ = ⋅ − = ⋅ − =

Vježba 232 Balon, ukupne mase 400 kg, spušta se konstantnom brzinom. Kolika je masa balasta koji treba

izbaciti da bi se balon podizao jednakom brzinom? Sila uzgona iznosi 3600 N. (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 66.06 kg.

Zadatak 233 (Leon, srednja škola) Plosnato tijelo mase 100 kg, kližući po ledu, zaustavilo se u vremenu od 5 s i pri tome prešlo

put 20 m. Kolika je sila trenja djelovala na to tijelo?

Rješenje 233 m = 100 kg, t = 5 s, s = 20 m, Ftr = ?

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Silu kojom Zemlja privlači sva tijela nazivamo silom težom. Pod djelovanjem sile teže sva tijela

padaju na Zemlju ili pritišću na njezinu površinu.

Akceleracija kojom tijela padaju na Zemlju naziva se akceleracijom slobodnog pada. Prema drugom

Newtonovom poučku

14

,G m g= ⋅

gdje je G sila teža, m masa tijela i g akceleracija slobodnog pada koja je za sva tijela na istome mjestu

na Zemlji jednaka. Težina tijela jest sila kojom tijelo zbog Zemljina privlačenja djeluje na

horizontalnu podlogu ili ovjes. Za slučaj kad tijelo i podloga, odnosno ovjes, miruju ili se gibaju

jednoliko po pravcu s obzirom na Zemlju, težina tijela je veličinom jednaka sili teže.

Jednoliko ubrzano (usporeno) gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

1 2

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Ako se tijelo nalazi na vodoravnoj podlozi, tada trenje iznosi

,F G F m gtr trµ µ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, m masa tijela, g akceleracija slobodnog pada (ubrzanje sile teže).

1.inačica

Tijelo je, gibajući se jednoliko usporeno, prešlo put s za vrijeme t pa mu akceleracija a iznosi:

21 1 22 2.

2/

2 22

ss a t

t

s a t a

t

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅

Budući da se plosnato tijelo giba jednoliko usporeno, sila trenja Ftr jednaka je sili kočenja F:

( )

2 2 20100 160 .

2 25

s kgF F F m a F m kg Ntr tr tr

t s

⋅ ⋅= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =

2.inačica

Tijelo je, gibajući se jednoliko usporeno, prešlo put s u vremenu t akceleracijom a:

21 1 22 2.

2/

2 22

ss a t

t

s a t a

t

⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =⋅

Budući da se plosnato tijelo giba jednoliko usporeno, sila trenja Ftr jednaka je sili kočenja F. Sila na

podlogu jednaka je težini plosnatog tijela jer je put horizontalan.

2/

2.

2 2

1s sF F G m a m g mtr

t g g tmµ µ µ

⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ =

⋅⋅ =

⋅⋅ ⇒

Sada je trenje Ftr:

2 2 2

2 2 2

s s sF G F m g F m F mtr tr tr g tr

g t t tg

µ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ =⋅ ⋅

( )

2 20100 160 .

25

mkg N

s

⋅= ⋅ =

Vježba 233 Plosnato tijelo mase 200 kg, kližući po ledu, zaustavilo se u vremenu od 5 s i pri tome prešlo

put 20 m. Kolika je sila trenja djelovala na to tijelo?

Rezultat: 320 N.

15

Zadatak 234 (Nely, gimnazija) Dva su automobila krenula iz istog mjesta jedan za drugim u vremenskom razmaku od 80

sekundi s jednakim ubrzanjem a = 0.5 m/s2. Računajući od početka kretanja prvog automobila, nakon

koliko će vremena razmak između njih iznositi 5 km?

Rješenje 234

t1 = t, t2 = t – 80, 1

0.5 ,2 22

m ma

s s

= = s = 5 km = 5000 m, t = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

1 2

2s a t= ⋅ ⋅

gdje je s put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

t = ?

s

Budući da razmak između automobila nakon vremena t mora iznositi s, slijedi:

( )1 1 1 1 22 2 2

801 2 1 22 2 2 2

s s s a t a t s a t a t s− = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⇒

( )zbog lakoće računanja unosimo

samo brojeve bez mjer

1 1 1 1 2280 5000

2 2 2nih jedi a 2nict t⇒ ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = ⇒

( ) ( ) ( )1 1 2 22 2 2 280 5000 80 20 000 160 6 400/ 20 000

4 44t t t t t t t⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒ − − = ⇒ − ⋅ + =⋅ − ⇒

2 2160 6 400 20 000 160 6 400 20000 160 6 400 2000

20

2t t t tt t t⇒ − + ⋅ − = ⇒ + ⋅ − = ⇒ ⋅ − =− ⇒

160 20000 6 400 160 26 400 / 16: 160 5 .t t t s⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ =

Vježba 234 Dva su automobila krenula iz istog mjesta jedan za drugim u vremenskom razmaku od 80

sekundi s jednakim ubrzanjem a = 0.5 m/s2. Računajući od početka kretanja prvog automobila, nakon

koliko će vremena razmak između njih iznositi 10 km?

Rezultat: 290 s.

Zadatak 235 (Ivica, medicinska škola) Na kraju slobodnog pada tijelo postigne brzinu v. S koje visine mora pasti da bi postiglo

brzinu 5 · v?

Rješenje 235 v1 = v, h1, v2 = 5 · v, h2 = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

22v a s= ⋅ ⋅

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

Budući da je slobodni pad jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje s početnom brzinom v0 = 0 m/s i

akceleracijom a = g, relacija za ubrzano gibanje vrijedi i za slobodni pad:

22 ,v g h= ⋅ ⋅

gdje je h visina tijela iznad tla.

Sada je:

16

2podijelimo

jednadžbe

22 22 21 1 1 1 1 122 22 2 2 222 2

2

v g h v g h v h

g h v hvv gh

g

g

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒

⋅ ⋅ ⋅=

⋅

⋅ ⋅⋅

2 2 21 11 1 1 1 25 .

2 15 5 5 252 2 2 2

h h h hvh h

v h h h

v

hv⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

⋅ ⋅

Vježba 235 Na kraju slobodnog pada tijelo postigne brzinu v. S koje visine mora pasti da bi postiglo

brzinu 4 · v?

Rezultat: h2 = 16 · h1.

Zadatak 236 (Ivica, medicinska škola) Kolika je vučna sila potrebna da automobil mase 1500 kg ubrza od 0 do 30 m/s za 10 s, ako

pretpostavimo da se 40% od ukupne vučne sile potroši na trenje? Koliki je koeficijent trenja tijela i

podloge? (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 236 m = 1500 kg, v1 = 0 m/s, v2 = 30 m/s, t = 10 s, Ftr = 40% · Fv = 0.40 · Fv,

g = 9.81 m/s2, Fv = ?, µ = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

v a t= ⋅

gdje je v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Trenje je sila koja se javlja kad se neko tijelo giba površinom nekoga drugog tijela ili kad se tek

počinje gibati. Trenje ima smjer suprotan smjeru gibanja i može se izračunati pomoću izraza

,F Ftr Nµ= ⋅

gdje je Ftr trenje, µ faktor trenja, FN veličina okomite komponente sile kojom tijelo djeluje na podlogu

po kojoj se giba. Na horizontalnoj podlozi pritisna je sila jednaka težini tijela, ukoliko nema dodatnih

sila, pa silu trenja možemo izraziti

.F m gtr µ= ⋅ ⋅

Koeficijent proporcionalnosti µ (čitaj: mi) zovemo koeficijent (faktor) trenja.

Srednju akceleraciju definiramo količnikom promjene brzine ∆v = v2 – v1 i vremenskog intervala

∆t = t2 – t1 u kojem se to dogodilo:

2

2

.1

1

v vva a

t t t

−∆= ⇒ =

∆ −

Trenutnu akceleraciju definiramo količnikom promjene brzine ∆v u neizmjerno malom vremenskom

intervalu (trenutku) ∆t i toga trenutka. Ako je pri gibanju tijela vrijednost akceleracije stalna, tada su

srednja i trenutna akceleracija jednake pa vrijedi

2

2

.1

1

v vva a

t t t

−∆= ⇒ =

∆ −

Fv

F

Ftr

17

1.inačica

Budući da se 40% od ukupne vučne sile potroši na trenje, ostatak od 60% ukupne vučne sile koristi se

za ubrzavanje automobila mase m akceleracijom a. Prema drugom Newtonovom poučku dobije se:

60%

2 1 2 10.60 0.602 1

1/

0.60

F m av v v v vF m F mv v v v

t tat

⋅ = ⋅− −

⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒− ⋅=

30 02 1 1500 7 500 .

0.60 0.60 10

m mv v

s sF m kg Nvt s

−−⇒ = ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅

Budući da se 40% od ukupne vučne sile potroši na trenje, koeficijent trenja µ iznosi:

40% 0.40 0.401

/F F m g F m g Fv vg

vtrm

µ µ= ⋅ ⇒ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ =⋅

⋅ ⇒

0.40 0.40 7 5000.204.

1500 9.812

F Nv

mm gkg

s

µ⋅ ⋅

⇒ = = =⋅

⋅

2.inačica

Iz uvjeta zadatka slijedi da se 40% od ukupne vučne sile Fv potroši na trenje Ftr:

40% 0.40 .F F F Fv vtr tr= ⋅ ⇒ = ⋅

Budući da je rezultantna sila F (sila koja ubrzava automobil) jednaka razlici vučne sile Fv i sile trenja

Ftr, slijedi:

0.41

/0

0 0.60 0..6

60 600

0.

FF F F F F F F F F F Fv v v v v vtr= − ⇒ = − ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ =⋅ ⇒ ⇒

( )2 1

2 1

0.60 0.60 0

1

.

2

60

v vmv v

am v vm a tF F F

tv v v

t

−⋅ ⋅ −⋅

⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒−

= ==⋅

1500 30 0

7 500 .0.60 10

m mkg

s sN

s

⋅ −

= =⋅

Budući da se 40% od ukupne vučne sile potroši na trenje, koeficijent trenja µ iznosi:

40% 0.40 0.401

/F F m g F m g Fv vg

vtrm

µ µ= ⋅ ⇒ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ =⋅

⋅ ⇒

0.40 0.40 7 5000.204.

1500 9.812

F Nv

mm gkg

s

µ⋅ ⋅

⇒ = = =⋅

⋅

Vježba 236 Kolika je vučna sila potrebna da automobil mase 1500 kg ubrza od 0 do 30 m/s za 10 s, ako

pretpostavimo da se 50% od ukupne vučne sile potroši na trenje?

Rezultat: 9000 N.

Zadatak 237 (Megy, medicinska škola) S ruba mosta bacimo okomito u vodu kamen brzinom 0.8 m/s. Nađi visinu mosta i brzinu

kojom kamen padne u vodu ako pada 3 sekunde. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 237 v = 0.8 m/s, t = 3 s, g = 9.81 m/s2, s = ?, v = ?

18

Vertikalni hitac prema dolje sastoji se od jednolikoga gibanja prema dolje brzinom v0

i slobodnog pada. Zato su mu brzina v i put s u času kad je prošlo vrijeme t dani ovim

izrazima

1 20 0

,2

.v v g t s v t g t= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

Visina mosta iznosi:

( )1 1 22

0.8 3 9.81 3 46.55 .0 22 2

m ms v t g t s s m

s s

= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

Brzina kojom kamen padne u vodu ima vrijednost:

0.8 9.81 3 30.23 .0 2

m m mv v g t s

s ss= + ⋅ = + ⋅ =

Vježba 237 S ruba mosta bacimo vertikalno u vodu kamen brzinom 0.5 m/s. Nađi visinu mosta i brzinu

kojom kamen padne u vodu ako pada 3 sekunde. (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 45.65 , 29.93 .m

ms

Zadatak 238 (Megy, medicinska škola) Tijelo bačeno vertikalno u vis palo je natrag na tlo za 6 sekundi. Koju je visinu tijelo postiglo i

koliku brzinu je imalo kad je palo? Otpor zraka zanemarimo. (g = 9.81 m/s2)

Rješenje 238 t = 6 s, g = 9.81 m/s

2, s = ?, v = ?

Vertikalni hitac u vis sastoji se od jednolikoga gibanja prema gore brzinom v0 i slobodnog pada. Zato

su mu brzina v i put s u času kad je prošlo vrijeme t dani ovim izrazima

1 20 0

,2

.v v g t s v t g t= − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

Najviši domet H što ga tijelo može postići pri vertikalnom hicu jest put u času kad je v = 0. Onda je

, .1 2

0 2v g t H g t= ⋅ = ⋅ ⋅

Za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena koliko je trebalo da dostigne najvišu točku.

Kod vertikalnog hica su početna brzina v0 i brzina pri padu tijela natrag na zemlju iste po iznosu, a

suprotnih smjerova.

Budući da za slobodni pad tijelo treba isto toliko vremena koliko je trebalo da dostigne najvišu točku,

slijedi da vrijeme penjanja iznosi:

61

6 3 .1 1 21 2

t s

t s st t

=

⇒ = ⋅ == ⋅

Najviši domet koji je tijelo postiglo pri ovom vertikalnom hicu je:

( )1 1 22

9.81 3 44.15 .1 22 2

mH g t s m

s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Brzina kojom tijelo padne na tlo iznosi:

vremenska os

v = 0

- vv

- v0v0

19

9.81 3 29.43 .0 1 2

m mv g t s

ss

= ⋅ = ⋅ =

Vježba 238

Tijelo bačeno vertikalno u vis palo je natrag na tlo za 8 sekundi. Koju je visinu tijelo postiglo i

koliku brzinu je imalo kad je palo? Otpor zraka zanemarimo. (g = 9.81 m/s2)

Rezultat: 78.48 , 39.24 .m

ms

Zadatak 239 (Tomislav, srednja škola) Za koje će vrijeme tijelo, mase 5 kg, postići brzinu 30 m/s ako na njega djeluje stalna sila od

50 N?

Rješenje 239 m = 5 kg, v = 30 m/s, F = 50 N, t = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

v a t= ⋅

gdje je v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Sila koja djeluje na tijelo određena je drugim Newtonovim poučkom

.F m a= ⋅

Budući da je gibanje tijela jednoliko ubrzano, bez početne brzine, njegova brzina iznosi:

/ .1 v

v a t v a tt

at

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

Vrijeme t za koje će tijelo postići brzinu v je:

metoda/

supstitucije

FF m a a F F

v t v tmv a t m m

v a

m

Ft

= ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

= ⋅= ⋅

⋅

530 3 .

50

m m kgt v s

F s N⇒ = ⋅ = ⋅ =

Vježba 239 Za koje će vrijeme tijelo, mase 10 kg, postići brzinu 30 m/s ako na njega djeluje stalna sila od

100 N?

Rezultat: 3 s.

Zadatak 240 (Tomislav, srednja škola) Kolikom stalnom silom treba djelovati na tijelo, mase 15 kg, da bi za vrijeme 30 s postiglo

brzinu 36 km/h?

Rješenje 240 m = 15 kg, t = 30 s, v = 36 km/h = [36 : 3.6] = 10 m/s, F = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

v a t= ⋅

gdje je v brzina za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano akceleracijom a za

vrijeme t.

Drugi Newtonov poučak: Ako na tijelo djeluje stalna sila u smjeru njegova gibanja, tijelo ima

20

akceleraciju koja je proporcionalna sili, a obrnuto proporcionalna masi tijela te ima isti smjer kao i

sila.

.F

a F m am

= ⇒ = ⋅

Sila koja djeluje na tijelo određena je drugim Newtonovim poučkom

.F m a= ⋅

Budući da je gibanje tijela jednoliko ubrzano, bez početne brzine, njegova brzina iznosi:

/ .1 v

v a t v a tt

at

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =⋅

Sila F kojom treba djelovati na tijelo iznosi:

metoda

supstitucije

10

15 5 .30

mF m a

F m a v sF m kg Nvv a t t sa

t

= ⋅= ⋅

⇒ ⇒ ⇒ = ⋅ = ⋅ == ⋅ =

Vježba 240 Kolikom stalnom silom treba djelovati na tijelo, mase 15 kg, da bi za vrijeme 60 s postiglo

brzinu 72 km/h?

Rezultat: 10 N.