Zadatak 021 (Rex, gimnazija) π e put ... - halapa.com fizika · 1 Zadatak 021 (Rex, gimnazija) U...

17
1 Zadatak 021 (Rex, gimnazija) U sustavu koji miruje, π – mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijeñe put 75 m. Brzina π – mezona je 0.995 · c. Koliko je vrijeme života π – mezona u vlastitom sustavu? Rješenje 021 s = 75 m, v = 0.995 · c, c = 3 · 10 8 m/s, Δt 0 = ? Vrijeme života π – mezona u sustavu koji miruje je s t v Δ= pa je njegovo vlastito vrijeme života 2 2 2 75 0.995 1 1 1 0 0 0 2 8 0.995 3 10 v s v m t t t t m v c c c c s Δ =Δ⋅ - Δ = - Δ = - 75 2 9 1 0.995 25 10 25 . 0 8 0.995 3 10 m t s ns m s - Δ = - = = Vježba 021 U sustavu koji miruje, π – mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijeñe put 150 m. Brzina π – mezona je 0.995 · c. Koliko je vrijeme života π – mezona u vlastitom sustavu? Rezultat: 50 ns. Zadatak 022 (Rex, gimnazija) Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 511 kV. Kolika je njegova relativistička brzina nakon ubrzavanja? Energija mirovanja elektrona je 2 511 . m c keV e = (e = 1.6 · 10 -19 C, c = 3 · 10 8 m/s) Rješenje 022 U = 511 kV = 5.11 · 10 5 V, 2 3 19 14 511 511 10 1.6 10 8.176 10 , m c keV J J e - - = = = e = 1.6 · 10 -19 C, c = 3 · 10 8 m/s, v = ? 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 E eU k eU eU m c e E m c m c e v v e k v c c c = = - = - = - - - - 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 / eU v v eU m c c c v e eU m c e c m c e + = - = - = + - + 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 / / v v c v c c eU eU eU m c m c m c e e c e = - = - = - = + + +

Transcript of Zadatak 021 (Rex, gimnazija) π e put ... - halapa.com fizika · 1 Zadatak 021 (Rex, gimnazija) U...

1

Zadatak 021 (Rex gimnazija) U sustavu koji miruje π ndash mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijentildee put 75 m

Brzina π ndash mezona je 0995 middot c Koliko je vrijeme života π ndash mezona u vlastitom sustavu

Rješenje 021 s = 75 m v = 0995 middot c c = 3 middot 10

8 ms ∆t0 =

Vrijeme života π ndash mezona u sustavu koji miruje je

st

v∆ =

pa je njegovo vlastito vrijeme života

2 2275 0995

1 1 10 0 02 80995 3 10

v s v mt t t t

mv

c

cccs

sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = sdot minus rArr ∆ = sdot minus rArr

sdot sdot

75 2 91 0995 25 10 25

0 80995 3 10

mt s ns

m

s

minusrArr ∆ = sdot minus = sdot =

sdot sdot

Vježba 021 U sustavu koji miruje π ndash mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijentildee put 150 m

Brzina π ndash mezona je 0995 middot c Koliko je vrijeme života π ndash mezona u vlastitom sustavu

Rezultat 50 ns

Zadatak 022 (Rex gimnazija) Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 511 kV Kolika je njegova relativistička brzina

nakon ubrzavanja Energija mirovanja elektrona je 2 511 m c keVe sdot =

(e = 16 middot 10-19

C c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 022

U = 511 kV = 511 middot 105 V 2 3 19 14511 511 10 16 10 8176 10 m c keV J Jeminus minussdot = = sdot sdot sdot = sdot

e = 16 middot 10-19 C c = 3 middot 108 ms v =

1 12 1 112 22 212 1 1

2 212

E e Uk

e Ue U m ce

E m c m ce v vekv

c cc

= sdot

sdot

rArr sdot = sdot sdot minus rArr = minus rArr = sdot sdot minus sdot

minus minus minus

2 21 1 11 1 1

2 2 2 221

21 12 2

2e U v v

e Um c c cve e Um cec m ce

sdotrArr + = rArr minus = rArr minus = rArr

sdotsdot + sdotminus +sdot sdot

2 1 1 12 21 1 12 2 2 2

1 1 12 2 2

2 v

v c v cc

e U e U e U

m c m c m ce e

c

e

rArr = minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

sdot sdot sdot

sdot

+ + + sdot sdot sdot

2

( )

1 18 8 83 10 1 3 10 1 26 10 2 2

19 5 1 116 10 511 101

148176 10

m m m

s s sC V

J

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdotminus + sdot sdot sdot

+minus sdot

Vježba 022 Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 1533 kV Kolika je njegova relativistička brzina

nakon ubrzavanja Energija mirovanja elektrona je 2 511 m c keVe sdot =

(e = 16 middot 10-19

C c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 829 10 m

ssdot

Zadatak 023 (Dino gimnazija) Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu elektrona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108

ms (masa elektrona u mirovanju m0 = 911 middot 10-31

kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 023 v1 = 12 middot 108 ms v2 = 24 middot 108 ms m0 = 911 middot 10-31 kg c = 3 middot 108 ms W =

Kad tijelo obavlja rad mijenja mu se energija Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Budući da je promjena kinetičke energije elektrona jednaka utrošenom radu vrijedi

1 12 21 1

0 02 22 12 11 12 2

W E W E E W m c m ck k k

v v

c c

= ∆ rArr = minus rArr = sdot sdot minus minus sdot sdot minus rArr

minus minus

1 1 1 12 20 02 2 2 2

2 1 2 11 1 1 12 2 2 2

1 1W m c W m c

v v v v

c c c c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr

minus minus minus minus

minus +

1 120 2 2

2 11 1

W m c

v v

c c

rArr = sdot sdot minus =

minus minus

3

21 131 8 14

911 10 3 10 472 10 2 2

8 824 10 12 10

1 18 8

3 10 3 10

mkg J

sm m

s sm m

s s

minus minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot

minus minus sdot sdot

Vježba 023 Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu protona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108 ms

(masa protona u mirovanju m0 = 16726 middot 10-27

kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 866 middot 10-11

J

Zadatak 024 (Neven student) Nakon 04 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rješenje 024

t = 04 s 2 1

0 0 03 3

N N N N= minus sdot = sdot v = 075 middot c τ12 =

Radioaktivni raspad

Jezgra ili nukleus nekog elementa može se promijeniti spontano (radioaktivni raspad) ili umjetnim

putem (nuklearna reakcija) Prirodna je radioaktivnost pojava raspada jezgara nekih elemenata zbog

nestabilnosti jezgara atoma tih elemenata

Zakon radioaktivnog raspada glasi

1220

tT

N N

minus

= sdot

gdje je N0 broj čestica u vrijeme t = 0 N broj čestica koje se nakon vremena t nisu raspale t vrijeme

T12 vrijeme poluraspada Vrijeme poluraspada T12 je vremenski interval u kojem se raspadne polovina

prvobitnog broja čestica

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

Neka je T12 vrijeme poluraspada čestica u sustavu promatrača S a τ12 vrijeme poluraspada u

njihovom vlastitom sustavu S0

Nakon vremena t raspalo se dvije trećine prvobitnog broja N0 čestica tj

( )2 2 1 1

0 0 0 0 0 03 3 3 3

1N N N N N N N N N Nminus = sdot rArr minus = sdot minus rArr minus = minus sdot rArr sdotsdot =minus

Vrijeme poluraspada T12 čestica u sustavu promatrača S iznosi

4

logaritmiramo

1

03 1 112 122 20 03 30 jednakost

1220

t tN NT T

N NtT

N N

N

= sdot minus minus

rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus

= sdot

log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3

1

log

log log 2

aa b

bn

a

t tT T t

Tn a

minus minus

rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus

sdot rArr

= sdot

[ ]log 2

0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3

12

log1 0 log 3

12

t tT t

T T

T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot

v

S0 θθθθ12T12

S

Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na

sustav S iznosi

log 2

12 22log 3log 2 log 2

1 112 122 2log 3 log 3

112 12 2

T t

v vt t

cv cT

c

τ τ

τ

= sdot

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =

= sdot minus

2log 2 075

04 1 0167 log 3

cs s

c

sdot= sdot sdot minus =

Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rezultat 0334 s

Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u

mirovanju je 91 middot 10-31

kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10

-31 kg c = 3 middot 10

8 ms p =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom

p m v= sdot

Količina gibanja elektrona iznosi

5

3191 100 0 0 075

2 2 2 20751 1 1 12 2

p m v

m m m kgm p v p v c

v v v c

c c cc

= sdot

minussdot

= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =

sdotminus minus minus minus

31 3191 10 91 108 8 22

075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2

1 0750751

kg m kg m mkg

sc

s s

c

minus minussdot sdot minus

= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot

minussdotminus

Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je

91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms

Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u

mirovanju 24 kg

Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Brzina kojom se tijelo giba iznosi

2

1 2

2 20 0 1 1

0 02 22 2

1 12 2

vm m vm

vm m m m m m

c cv cv

c c

= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr

minus minus

2

2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 2

m m m mv v v v

m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )

2 2 22 2 20 0 2

1 01 1 12 2 2

m m

cmv v v

m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 22401 1 08 40

m kgv c c c

m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot

Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u

mirovanju 48 kg

Rezultat 08 middot c

6

Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone

koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =

U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je

1 2

1 212

v v

vr v v

c

+=

sdot+

gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti

Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi

2

1 2 1 1

1 2 1 1 11 22

v cv v v c v c v c v c

v cr v v v c v v c

v c

c v cv v c

c c c cc cc

++ + + + +

= = = = = = = =sdot sdot

+

++

+sdot ++ + +

c vC

Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor

svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rezultat c

Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rješenje 028

m0 10

010 110 0 0 0 0 0100

m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti

Brzina elektrona iznosi

0

20 0110 1101 0 02 2 2

1 12 2110

0

0

mm

m mvm m

c v v

mc

m

mc

=

rArr = sdot rArr = sdot rArrminus

minus minus= sdot

22 2 2

1 1 1 1110 1 1 1

2 22

2110 110 1212

12

v v v

c c cv

c

rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

2

( )

1 18 8 83 10 1 3 10 1 26 10 2 2

19 5 1 116 10 511 101

148176 10

m m m

s s sC V

J

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdotminus + sdot sdot sdot

+minus sdot

Vježba 022 Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 1533 kV Kolika je njegova relativistička brzina

nakon ubrzavanja Energija mirovanja elektrona je 2 511 m c keVe sdot =

(e = 16 middot 10-19

C c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 829 10 m

ssdot

Zadatak 023 (Dino gimnazija) Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu elektrona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108

ms (masa elektrona u mirovanju m0 = 911 middot 10-31

kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 023 v1 = 12 middot 108 ms v2 = 24 middot 108 ms m0 = 911 middot 10-31 kg c = 3 middot 108 ms W =

Kad tijelo obavlja rad mijenja mu se energija Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Budući da je promjena kinetičke energije elektrona jednaka utrošenom radu vrijedi

1 12 21 1

0 02 22 12 11 12 2

W E W E E W m c m ck k k

v v

c c

= ∆ rArr = minus rArr = sdot sdot minus minus sdot sdot minus rArr

minus minus

1 1 1 12 20 02 2 2 2

2 1 2 11 1 1 12 2 2 2

1 1W m c W m c

v v v v

c c c c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr

minus minus minus minus

minus +

1 120 2 2

2 11 1

W m c

v v

c c

rArr = sdot sdot minus =

minus minus

3

21 131 8 14

911 10 3 10 472 10 2 2

8 824 10 12 10

1 18 8

3 10 3 10

mkg J

sm m

s sm m

s s

minus minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot

minus minus sdot sdot

Vježba 023 Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu protona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108 ms

(masa protona u mirovanju m0 = 16726 middot 10-27

kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 866 middot 10-11

J

Zadatak 024 (Neven student) Nakon 04 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rješenje 024

t = 04 s 2 1

0 0 03 3

N N N N= minus sdot = sdot v = 075 middot c τ12 =

Radioaktivni raspad

Jezgra ili nukleus nekog elementa može se promijeniti spontano (radioaktivni raspad) ili umjetnim

putem (nuklearna reakcija) Prirodna je radioaktivnost pojava raspada jezgara nekih elemenata zbog

nestabilnosti jezgara atoma tih elemenata

Zakon radioaktivnog raspada glasi

1220

tT

N N

minus

= sdot

gdje je N0 broj čestica u vrijeme t = 0 N broj čestica koje se nakon vremena t nisu raspale t vrijeme

T12 vrijeme poluraspada Vrijeme poluraspada T12 je vremenski interval u kojem se raspadne polovina

prvobitnog broja čestica

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

Neka je T12 vrijeme poluraspada čestica u sustavu promatrača S a τ12 vrijeme poluraspada u

njihovom vlastitom sustavu S0

Nakon vremena t raspalo se dvije trećine prvobitnog broja N0 čestica tj

( )2 2 1 1

0 0 0 0 0 03 3 3 3

1N N N N N N N N N Nminus = sdot rArr minus = sdot minus rArr minus = minus sdot rArr sdotsdot =minus

Vrijeme poluraspada T12 čestica u sustavu promatrača S iznosi

4

logaritmiramo

1

03 1 112 122 20 03 30 jednakost

1220

t tN NT T

N NtT

N N

N

= sdot minus minus

rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus

= sdot

log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3

1

log

log log 2

aa b

bn

a

t tT T t

Tn a

minus minus

rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus

sdot rArr

= sdot

[ ]log 2

0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3

12

log1 0 log 3

12

t tT t

T T

T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot

v

S0 θθθθ12T12

S

Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na

sustav S iznosi

log 2

12 22log 3log 2 log 2

1 112 122 2log 3 log 3

112 12 2

T t

v vt t

cv cT

c

τ τ

τ

= sdot

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =

= sdot minus

2log 2 075

04 1 0167 log 3

cs s

c

sdot= sdot sdot minus =

Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rezultat 0334 s

Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u

mirovanju je 91 middot 10-31

kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10

-31 kg c = 3 middot 10

8 ms p =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom

p m v= sdot

Količina gibanja elektrona iznosi

5

3191 100 0 0 075

2 2 2 20751 1 1 12 2

p m v

m m m kgm p v p v c

v v v c

c c cc

= sdot

minussdot

= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =

sdotminus minus minus minus

31 3191 10 91 108 8 22

075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2

1 0750751

kg m kg m mkg

sc

s s

c

minus minussdot sdot minus

= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot

minussdotminus

Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je

91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms

Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u

mirovanju 24 kg

Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Brzina kojom se tijelo giba iznosi

2

1 2

2 20 0 1 1

0 02 22 2

1 12 2

vm m vm

vm m m m m m

c cv cv

c c

= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr

minus minus

2

2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 2

m m m mv v v v

m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )

2 2 22 2 20 0 2

1 01 1 12 2 2

m m

cmv v v

m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 22401 1 08 40

m kgv c c c

m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot

Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u

mirovanju 48 kg

Rezultat 08 middot c

6

Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone

koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =

U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je

1 2

1 212

v v

vr v v

c

+=

sdot+

gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti

Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi

2

1 2 1 1

1 2 1 1 11 22

v cv v v c v c v c v c

v cr v v v c v v c

v c

c v cv v c

c c c cc cc

++ + + + +

= = = = = = = =sdot sdot

+

++

+sdot ++ + +

c vC

Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor

svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rezultat c

Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rješenje 028

m0 10

010 110 0 0 0 0 0100

m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti

Brzina elektrona iznosi

0

20 0110 1101 0 02 2 2

1 12 2110

0

0

mm

m mvm m

c v v

mc

m

mc

=

rArr = sdot rArr = sdot rArrminus

minus minus= sdot

22 2 2

1 1 1 1110 1 1 1

2 22

2110 110 1212

12

v v v

c c cv

c

rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

3

21 131 8 14

911 10 3 10 472 10 2 2

8 824 10 12 10

1 18 8

3 10 3 10

mkg J

sm m

s sm m

s s

minus minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot

minus minus sdot sdot

Vježba 023 Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu protona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108 ms

(masa protona u mirovanju m0 = 16726 middot 10-27

kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 866 middot 10-11

J

Zadatak 024 (Neven student) Nakon 04 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rješenje 024

t = 04 s 2 1

0 0 03 3

N N N N= minus sdot = sdot v = 075 middot c τ12 =

Radioaktivni raspad

Jezgra ili nukleus nekog elementa može se promijeniti spontano (radioaktivni raspad) ili umjetnim

putem (nuklearna reakcija) Prirodna je radioaktivnost pojava raspada jezgara nekih elemenata zbog

nestabilnosti jezgara atoma tih elemenata

Zakon radioaktivnog raspada glasi

1220

tT

N N

minus

= sdot

gdje je N0 broj čestica u vrijeme t = 0 N broj čestica koje se nakon vremena t nisu raspale t vrijeme

T12 vrijeme poluraspada Vrijeme poluraspada T12 je vremenski interval u kojem se raspadne polovina

prvobitnog broja čestica

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

Neka je T12 vrijeme poluraspada čestica u sustavu promatrača S a τ12 vrijeme poluraspada u

njihovom vlastitom sustavu S0

Nakon vremena t raspalo se dvije trećine prvobitnog broja N0 čestica tj

( )2 2 1 1

0 0 0 0 0 03 3 3 3

1N N N N N N N N N Nminus = sdot rArr minus = sdot minus rArr minus = minus sdot rArr sdotsdot =minus

Vrijeme poluraspada T12 čestica u sustavu promatrača S iznosi

4

logaritmiramo

1

03 1 112 122 20 03 30 jednakost

1220

t tN NT T

N NtT

N N

N

= sdot minus minus

rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus

= sdot

log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3

1

log

log log 2

aa b

bn

a

t tT T t

Tn a

minus minus

rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus

sdot rArr

= sdot

[ ]log 2

0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3

12

log1 0 log 3

12

t tT t

T T

T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot

v

S0 θθθθ12T12

S

Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na

sustav S iznosi

log 2

12 22log 3log 2 log 2

1 112 122 2log 3 log 3

112 12 2

T t

v vt t

cv cT

c

τ τ

τ

= sdot

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =

= sdot minus

2log 2 075

04 1 0167 log 3

cs s

c

sdot= sdot sdot minus =

Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rezultat 0334 s

Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u

mirovanju je 91 middot 10-31

kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10

-31 kg c = 3 middot 10

8 ms p =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom

p m v= sdot

Količina gibanja elektrona iznosi

5

3191 100 0 0 075

2 2 2 20751 1 1 12 2

p m v

m m m kgm p v p v c

v v v c

c c cc

= sdot

minussdot

= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =

sdotminus minus minus minus

31 3191 10 91 108 8 22

075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2

1 0750751

kg m kg m mkg

sc

s s

c

minus minussdot sdot minus

= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot

minussdotminus

Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je

91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms

Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u

mirovanju 24 kg

Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Brzina kojom se tijelo giba iznosi

2

1 2

2 20 0 1 1

0 02 22 2

1 12 2

vm m vm

vm m m m m m

c cv cv

c c

= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr

minus minus

2

2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 2

m m m mv v v v

m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )

2 2 22 2 20 0 2

1 01 1 12 2 2

m m

cmv v v

m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 22401 1 08 40

m kgv c c c

m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot

Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u

mirovanju 48 kg

Rezultat 08 middot c

6

Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone

koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =

U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je

1 2

1 212

v v

vr v v

c

+=

sdot+

gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti

Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi

2

1 2 1 1

1 2 1 1 11 22

v cv v v c v c v c v c

v cr v v v c v v c

v c

c v cv v c

c c c cc cc

++ + + + +

= = = = = = = =sdot sdot

+

++

+sdot ++ + +

c vC

Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor

svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rezultat c

Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rješenje 028

m0 10

010 110 0 0 0 0 0100

m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti

Brzina elektrona iznosi

0

20 0110 1101 0 02 2 2

1 12 2110

0

0

mm

m mvm m

c v v

mc

m

mc

=

rArr = sdot rArr = sdot rArrminus

minus minus= sdot

22 2 2

1 1 1 1110 1 1 1

2 22

2110 110 1212

12

v v v

c c cv

c

rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

4

logaritmiramo

1

03 1 112 122 20 03 30 jednakost

1220

t tN NT T

N NtT

N N

N

= sdot minus minus

rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus

= sdot

log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3

1

log

log log 2

aa b

bn

a

t tT T t

Tn a

minus minus

rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus

sdot rArr

= sdot

[ ]log 2

0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3

12

log1 0 log 3

12

t tT t

T T

T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot

v

S0 θθθθ12T12

S

Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na

sustav S iznosi

log 2

12 22log 3log 2 log 2

1 112 122 2log 3 log 3

112 12 2

T t

v vt t

cv cT

c

τ τ

τ

= sdot

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =

= sdot minus

2log 2 075

04 1 0167 log 3

cs s

c

sdot= sdot sdot minus =

Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c

Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu

Rezultat 0334 s

Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u

mirovanju je 91 middot 10-31

kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10

-31 kg c = 3 middot 10

8 ms p =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom

p m v= sdot

Količina gibanja elektrona iznosi

5

3191 100 0 0 075

2 2 2 20751 1 1 12 2

p m v

m m m kgm p v p v c

v v v c

c c cc

= sdot

minussdot

= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =

sdotminus minus minus minus

31 3191 10 91 108 8 22

075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2

1 0750751

kg m kg m mkg

sc

s s

c

minus minussdot sdot minus

= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot

minussdotminus

Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je

91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms

Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u

mirovanju 24 kg

Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Brzina kojom se tijelo giba iznosi

2

1 2

2 20 0 1 1

0 02 22 2

1 12 2

vm m vm

vm m m m m m

c cv cv

c c

= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr

minus minus

2

2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 2

m m m mv v v v

m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )

2 2 22 2 20 0 2

1 01 1 12 2 2

m m

cmv v v

m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 22401 1 08 40

m kgv c c c

m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot

Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u

mirovanju 48 kg

Rezultat 08 middot c

6

Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone

koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =

U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je

1 2

1 212

v v

vr v v

c

+=

sdot+

gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti

Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi

2

1 2 1 1

1 2 1 1 11 22

v cv v v c v c v c v c

v cr v v v c v v c

v c

c v cv v c

c c c cc cc

++ + + + +

= = = = = = = =sdot sdot

+

++

+sdot ++ + +

c vC

Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor

svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rezultat c

Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rješenje 028

m0 10

010 110 0 0 0 0 0100

m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti

Brzina elektrona iznosi

0

20 0110 1101 0 02 2 2

1 12 2110

0

0

mm

m mvm m

c v v

mc

m

mc

=

rArr = sdot rArr = sdot rArrminus

minus minus= sdot

22 2 2

1 1 1 1110 1 1 1

2 22

2110 110 1212

12

v v v

c c cv

c

rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

5

3191 100 0 0 075

2 2 2 20751 1 1 12 2

p m v

m m m kgm p v p v c

v v v c

c c cc

= sdot

minussdot

= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =

sdotminus minus minus minus

31 3191 10 91 108 8 22

075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2

1 0750751

kg m kg m mkg

sc

s s

c

minus minussdot sdot minus

= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot

minussdotminus

Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je

91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms

Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u

mirovanju 24 kg

Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu

Brzina kojom se tijelo giba iznosi

2

1 2

2 20 0 1 1

0 02 22 2

1 12 2

vm m vm

vm m m m m m

c cv cv

c c

= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr

minus minus

2

2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1

2 2 2 2

m m m mv v v v

m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )

2 2 22 2 20 0 2

1 01 1 12 2 2

m m

cmv v v

m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr

2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 22401 1 08 40

m kgv c c c

m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot

Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u

mirovanju 48 kg

Rezultat 08 middot c

6

Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone

koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =

U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je

1 2

1 212

v v

vr v v

c

+=

sdot+

gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti

Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi

2

1 2 1 1

1 2 1 1 11 22

v cv v v c v c v c v c

v cr v v v c v v c

v c

c v cv v c

c c c cc cc

++ + + + +

= = = = = = = =sdot sdot

+

++

+sdot ++ + +

c vC

Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor

svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rezultat c

Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rješenje 028

m0 10

010 110 0 0 0 0 0100

m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti

Brzina elektrona iznosi

0

20 0110 1101 0 02 2 2

1 12 2110

0

0

mm

m mvm m

c v v

mc

m

mc

=

rArr = sdot rArr = sdot rArrminus

minus minus= sdot

22 2 2

1 1 1 1110 1 1 1

2 22

2110 110 1212

12

v v v

c c cv

c

rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

6

Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone

koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =

U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je

1 2

1 212

v v

vr v v

c

+=

sdot+

gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti

Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi

2

1 2 1 1

1 2 1 1 11 22

v cv v v c v c v c v c

v cr v v v c v v c

v c

c v cv v c

c c c cc cc

++ + + + +

= = = = = = = =sdot sdot

+

++

+sdot ++ + +

c vC

Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor

svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)

Rezultat c

Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rješenje 028

m0 10

010 110 0 0 0 0 0100

m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti

Brzina elektrona iznosi

0

20 0110 1101 0 02 2 2

1 12 2110

0

0

mm

m mvm m

c v v

mc

m

mc

=

rArr = sdot rArr = sdot rArrminus

minus minus= sdot

22 2 2

1 1 1 1110 1 1 1

2 22

2110 110 1212

12

v v v

c c cv

c

rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

7

2 2 2 21 1 1 121 021

1 12 2 2 2121 121 121 121

v v v v

c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2 2 2

021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1

21

2 1

v v vv c

c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr

021 021 0212 2 2042

121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot

Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti

u vakuumu

Rezultat 055 v c= sdot

Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu

Brzina elektrona iznosi

2 210 0 0 01 1

2 22 2 20

1 1 1

1 2

2

2

2

0

m m m mm v

m

vm m

m m mc cv v v

c c c

= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr

minus minus minus

sdot

2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1

2 2 22

m m m mv v v

v cm m m mc c c

c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 20 0 01 1 1

m m mv c v c v c

m m m

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 224 24 2

1 1 1 06 08 40 40

kkgv c v c v c v c

kg

g

kg

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot

Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa

tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 08 v c= sdot

Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

8

Rješenje 030

v = 075 middot c

0

m

m=

Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela

koje se giba veća je od mase tijela koje miruje

2

2

0

1

mm

v

c

=

minus

gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo omjer masa

1

0

1 10 0

2 2 2 20 0

1 1 1 12 2 2

m m m mm m

m mv v v v

cc

m

c c

= rArr = rArr = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

1 1 1151

2 2 20 0 0 01 075075 075

1 1

m m m m

m m m mc

cc

c

rArr = rArr = rArr = rArr asymp

minussdot sdot minus minus

Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u

mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 125

Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 031 m0 = 911 middot 10

-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10

8 ms p =

Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik

0

2

12

m v

p

v

c

sdot=

minus

gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu

Računamo količinu gibanja elektrona masa

092 0920 0 0 0

2 2 2 2092 092

1 1 1 12

m v m v m c m cp p p p

v v c

c c cc

c

sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

31 8911 10 092 3 10092 220 642 10

2 21 092 1 092

mkgm c msp kg

s

minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus

rArr = = = sdot sdot

minus minus

Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

9

Rezultat 22

564 10 m

kgs

minussdot sdot

Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10

8 ms v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri

iznosi

100 0001 99999 0

l l l m m m= minus ∆ = minus =

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 1 1 10 02

1 2

02 2 2

0 0l

v v l v l vl l l l

l lc c c c

= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr

2 2 2 22 2 2

2 21 1 1 1

22

2 2

0 0 0 0

l v v l v lc

lv c

l l l lc c c

rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr

sdot

2 2 22 2 2

1 1 1

0 0

0

l l lv c v c v c

l l l

rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =

2 2 299999 99999 999998 8 8 6

3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100

m m m m m

s

m

m sms s

= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot

Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je

kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rezultat 6

134 10 m

ssdot

Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10

-31 kg koji se giba brzinom

v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =

Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova

kinetička energija

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

10

( ) 12 21

0 0 2

12

E m m c E m ck k

v

c

= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus

Računamo kinetičku energiju elektrona

1 12 21 1

0 02 2

1 12

E m c E m ck k

v v

cc

= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus

1 12 21 1

0 02 2092 092

1 1

E m c E m ck k

c

c

c

c

rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot

minus minus

21 12 31 8 13

1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2

1 092 1 092

mE m c kg J

k s

minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus

Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom

v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 13

106 10 Jminus

sdot

Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rješenje 034

a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =

Pitagorin poučak

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad

katetama

Ploština pravokutnog trokuta iznosi

P = c sdotsdotsdotsdot h

2P =

a sdotsdotsdotsdot b

2h

c

b a

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

11

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

1 0 2

vl l

c

= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu

( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =

Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta

metoda 2

komparacije

0

2 0 0 0 0 0 0

2 2 2 20 0

2

0

c hP

c h a b c h a b

a bP

c

sdot=

sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr

=

sdotsdot

3 40 0 24 5

0

a b m mh m

c m

sdot sdotrArr = = =

Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za

promatrača A i iznosi

2 2 22097 097

1 1 1 10 0 0 02

v v cc c c c c c c c

cc cc

csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr

2 21 097 5 1 097 1216

0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =

Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista

Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A

iznosi

1216 241216 24 2

1459 2

2

c m h mm m

P mc hP

= =sdot

rArr = =sdot=

Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž

hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A

v

c

Ivana )A

Rezultat 5834 m

2

Zadatak 035 (Mario gimnazija)

Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rješenje 035

l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

12

mjere

2

1 0 2

vl l

c= sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina

mjerena iz sustava koji miruje

Računamo brzinu gibanja

2 2 2 2

1 08 1 08 1 08 10 0 0

00 02 2 2 2

v v v vl l l l l l

c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr

2 2 2 2 22

08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2

2 2 2

v v v v v

c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr

22 2 2 2 2

036 036 036 02

36 06 2

vv c v c v c v

c

c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot

Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti

u vakuumu)

Rezultat 06 middot c

Zadatak 036 (Mario gimnazija)

Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja

za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rješenje 036

v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti

Ta se pojava zove dilatacija vremena

v v

a)

Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu

na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj

8 0

t t s∆ = ∆ =

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

13

b)

Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog

intervala ∆t0 na Zemlji iznosi

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

t t t tt t t t

v v c

c c

c

cc

∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr

sdot sdot minus minus minus minus

80 10 2 2

1 06 1 06

t st s

∆rArr ∆ = = =

minus minus

Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi

dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu

dogantildeaja za promatrača

a) u drugoj raketi

b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)

Rezultat 16 s 20 s

Zadatak 037 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0

(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)

Rješenje 037

T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi

10 0 02 2 20 02 2 2 2

1 1 1 12 2

2

1

0

2

T T TT T T

v v v v

c c c

T

c

= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr

minus minus minus minus

sdot

222 2 2

1 1 11 1 1

2 2

22 2

2

2

v v v

c c c

rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

14

2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3

1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4

v v v v v

c c c c c

minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr

( )2

3 3 3 32 2 2 2 2

2 4

4

2

4

4

vv c v c v cc

c

rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr

3 80866 26 10

2

mv c c

srArr = sdot = sdot = sdot

Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u

laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0

Rezultat 2905 108 ms

Zadatak 038 (Mira gimnazija)

Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rješenje 038

T0 = 2 micros = 2 10-6

s v = 06 middot c T =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima

20 1

0 22

12

t vt t t

cv

c

∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je

0 0 0 0

2 2 2 206 06

1 1 1 12

T T T TT T T T

v v c

c c

c

cc

= rArr = rArr = rArr = rArr

sdot sdotminus minus minus minus

62 10 60 25 10 25

2 21 06 1 06

T sT s smicro

minussdot minus

rArr = = = sdot =

minus minus

Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u

laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c

Rezultat 5 micros

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

15

Zadatak 039 (Lucy gimnazija)

Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rješenje 039

t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c

t0 =

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i

vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom

0

2

12

t

t

v

c

∆∆ =

minus

gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena

Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata

svemirskim brodom

50 20 30 2 1

t t t god god god∆ = minus = minus =

Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi

220 0 1 1

0 022 2

2

1

1

2

12 2

v

c

t t v vt t t t t t

ccv v

c c

∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus

minus

sdot

minus

minus rArr

2 206 06 2

1 1 1 060 0 0

ct t t t t

c

ct

c

sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =

230 1 06 24 god god= sdot minus =

Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan

20 24 44 god god god+ =

Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat

na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik

Rezultat 38 ndash i rontildeendan

Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)

Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rješenje 040

l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7

s c = 3 108 ms v =

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s v t= sdot

gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

16

Specijalna teorija relativnosti

bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav

bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na

svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi

Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije

tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se

mjere

2

10 2

v

l lc

∆ = ∆ sdot minus

gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l

duljina mjerena iz sustava koji miruje

Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v

izgleda kraći i ima duljinu

2

1 0 2

vl l

c∆ = ∆ sdot minus

Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi

l v t∆ = sdot ∆

Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda

metoda 2komparacij

2 22 1 1

0 0210 2

e 2

l v t

v vv t l v t lv

l l c cc

∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

∆ = ∆ sdot minus

( ) ( ) ( )2 2

2 222 221 1

0 02 2

v vv t l v t l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2

10 0 02 2

v vv t l v t l l

c c

rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )2

22 2 22 22 2 00 0 02 2

lvv t l l v t l

c c

rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 22 22 22 20 0

20

1

2 0

0

l lv t l v t l

c lt

c

c

∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr

sdot

∆ ∆ +

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 2

2 20 0 02 2 2

2 2 20 0

0

l l lv v v

l l lt t t

c c c

∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr

∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A

17

( )

( ) ( )( )

2

3000 0

2 2 22 20 0 2 3007

75 108

3 10

l l mv v

l lt t m

c c sm

s

∆ ∆rArr = rArr = = =

∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +

sdot

828

24 108

3 14 10 08

3

108

0

m

scc

m

s

sdot = sdot = = = sdot

sdot

=sdot

Odgovor je pod A

v =

Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika

je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)

08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot

Rezultat A