Unidad dos punto n°3

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DISTRIBUCION BERNOULLI. EJERCICIOS: 1- Un jugador de básquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55 a) Sea x=1, si anota el tiro, si no lo hace, x=0. Determine la media y la varianza de x. Fórmulas: ϻ = 1(0.55)+0(1-0.55) ϻ =1(p)+0(1-p) ϻ = 0.55+0(0.45) ϻ = p ϻ = 0.55 b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla su equipo no recibe nada. Sea y el número de puntos anotados ¿tiene una distribución de Bernoulli? ϻ = 2 R= No, porque los eventos posibles sólo pueden tener valores de cero y uno.

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DISTRIBUCION BERNOULLI.

EJERCICIOS:

1- Un jugador de básquetbol está a punto de tirar hacia la

parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el

tiro es de 0.55

a) Sea x=1, si anota el tiro, si no lo hace, x=0.

Determine la media y la varianza de x.

Fórmulas: ϻ = 1(0.55)+0(1-0.55) ϻ =1(p)+0(1-p) ϻ = 0.55+0(0.45)

ϻ = p ϻ = 0.55

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo

falla su equipo no recibe nada. Sea y el número de

puntos anotados ¿tiene una distribución de Bernoulli?

ϻ = 2

R= No, porque los eventos posibles sólo pueden tener

valores de cero y uno.

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c) Determine la media y la varianza de y

ϻ=?

ϻ=2(0.55)+0(1-0.55)

ϻ=1.1+0(0.45)

ϻ=1.1

2- En un restaurante de comida rápida 25% de las órdenes

para beber una bebida pequeña 35% una mediana y 40%

una grande

Sea x=1 si se escoge una bebida pequeña y x=0 en cualquier

otro caso. Sea y=1 si la orden es una bebida mediana y y=0

en cualquier otro caso. Sea 2=1 si la orden es igual a una

bebida pequeña o mediana y 2=0 para cualquier otro caso.

a) Sea Px la probabilidad de éxito de x determine Px

P(x=1)=0.25 ϻ =(0)

(1-0.25+(1)0.25 ϻ =0.25

=1 cuando escoge una bebida pequeña, el resultado

es éxito.

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b) Sea Py la probabilidad de éxito de y . determine py

P( =1)= 0.35 ϻ =(0.35)

1-0.35+(1)(0.35ϻ =0.35) y cuando escoge una

bebida mediana el resultado es =0

c) Sea Pz la probabilidad de éxito de pz determine pz

P( =1)=0.60 ϻ =(0.60)

1=0.60+(1)=0.40 ϻ =0.60

Cuando se escoge alguno otro resultado es =0

d) ¿Es posible que XyY sean iguales a1?

Si es posible pero por separado no puede ser

simultáneamente

e) ¿es Pz=Px+Py?

Si

3- Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica

5% es la probabilidad de que se decolore, 20% de que se

agriete, y 235 de que se decolore o no se agriete ambas. Sea

x=1 si se produce una decoloración y x=0 en cualquier otro

caso y=1 si hay alguna grieta y y=0 en cualquier otro caso.

Z=1 si hay decoloración o grieta y z=0 en cualquier otro

caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de x. determine px

0.05

b) sea py la probabilidad de éxito de y. determine py

0.20

c) sea pc la probabilidad de éxito de z. determine pz

0.23

d) ¿ es posible que XyY sean igual a 1?

Sí por separado, juntos no.

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4- Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos sea x=1 si

sale cara en la moneda de un centavo y x=0 en cualquier

otro caso. Seda y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos

y y=0 en cualquier otro caso.

5- Sea z=1 si sale cara en ambas monedas y z=0 en cualquier

otro caso.

a) Sea px la probabilidad de éxito de x. determine px

b) Sea py la probabilidad de éxito de x. determine py

c) Sea pz la probabilidad de éxito de x. determine pz

d) ¿son XyY independientes?

e) ¿es Pz=PxPy?

f) ¿es z=xy? Explique.

Sí, en caso de que las 2 salgan cara

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DISTRIBUCION BINOMIAL.

EJERCICIOS:

1- Sea x~Bin (8,0.4)

a) P(x=2)

P(x=2)=

P(x=2)=(28)(0.16)(0.046656)

P(x=2)=0.20901888

b) P(x=4)

P(x=4)=

P(x=4)=(70)(0.0256)(0.1296)

P(x=4)=0.2322432

c) P(x<2)

P(x=0)=

P(x=0)=(1)(1)(0.01679616)

P(x=0)=0.01679616

P(x=1)=

P(x=1)=(8)(0.4)(0.0279936)

P(x=1)= 0.089557952

P(x<2)=0.016796616+0.08957952

Px(<2)=0.10637568

d) P(x>6)

P(x=7)=

P(x=7)=(8)(1.6384)(0.6)

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P(x=7)=7.86432

P(x=8)=

P(x=8)=(1)(6.5536)(1)

P(x=8)=6.5536

P(x=>6)=7.86432+6.5536

P(x=>6)=8.51968

e) ϻ =n*p

ϻ =8*0.4

ϻ =3.2

f)

2- Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo

varón es 0,51. Hallar la probabilidad de

que una familia con seis hijos tenga:

a) Por lo menos un niño.

b) Por lo menos una niña.

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3- En una fábricade cámaras el 5% sale con

defectos.Determine la probabilidad de que en una

muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros

B(12, 0.05).Debemos calcular la probabilidad de quex

sea igual ak que en este caso es2. Esto es P (k=2).

Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego

en la parte superirorp=0.05 . La probabilidad estará

en x=2

El resultado es 0.0988

4- La probabilidad de que un paciente se recupere de

una cierta enfermedad es 0.4.

Si 15 personas contraen la enfermedad ¿cual es la probabilidad

de que

a) al menos 10 sobrevivan ? Sea X el n´umero de supervivientes.

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5- La última novela de un autor ha tenido un

gran éxito, hasta el punto de que el 80% de

los lectores ya la han leido. Un grupo de 4

amigos son aficionados a la lectura:

a ) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo

hayan leido la novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

b ) ¿Y cómo máximo 2?

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DISTRIBUCION POISSON.

1- El número de accidente por semana en una fábrica sigue

una distribución Poisson de

parámetro l = 2. Calcular:

1. La probabilidad de que en una semana haya algún accidente.

2. La probabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas.

3. La probabilidad de que haya 2 accidentes en una semana y

otros dos en la semana

siguiente.

4. Si sabemos que ha habido un accidente hallar la probabilidad

de que en esa semana

no haya más de tres accidentes.

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2.-La proporción de alumnos de un distrito universitario con

calificación de sobresaliente es

de 0,005%. Determinar la probabilidad de que entre 5000

alumnos seleccionados al azar

haya dos con calificación media sobresaliente.

3.-En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone

un huevo al día. Si se recogen los huevos cada hora ¿Cuál es el

número medio de huevos que se recogen en cada visita? ¿Con

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qué probabilidad encontraremos x huevos para 0,1, 2, 3x =? ¿y la

probabilidad de que4x = ?

Distribución de Poisson para un valor medio de µ = 0.75

4.-Durante un experimento de laboratorio el número promedio

de partículas radioactivas que pasan a través de un contador de

un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis

partículas entren al contador en un milisegundo dado?

Solución:

5El número promedio de camiones tanque que llega cada día a

cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto

pueden manejar a lo más 15 camiones tanque por día. ¿cuál es la

probabilidad de que en un día dado los camiones se tengan que

regresar?. Solución:

Sea X el número de camiones tanque que llegan

Al usar la distribución de Poisson desde x=0 a x=15 y

encontrando el complementario tenemos el resultado:

p=0.95 representa la probabilidad de recibir de 0 a 15 camiones,

es decir, no rebasa la capacidad de las instalaciones. El

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complementario p’=0.05 es la probabilidad de rebasar la

capacidad, es decir, de devolver camiones.

DISTRIBUCION NORMAL.

1- supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de

una determinada población sigue una distribución

aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y

una desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la

probabilidad de que una persona, elegida

al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

Por lo tanto, la probabilidad buscada de que

una persona elegida aleatoriamente

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de esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–

0.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de

un 2.3%.

2.- cuál es la probabilidad que una variable normal

estandarizada se encuentre en los rangos:

1. P(-1≤X≤1) = normcdf(1)-normcdf(-1)= 0.6827

2. P(0≤ X ≤1.72) = normcdf(1.72)-normcdf(0)= 0.4573

3. P(4.5≤X) = 1

3.-Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está

normalmente distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación

estándar σ = 7.5cm. Encuentre el porcentaje de mexicanas que

están:

a) Entre 153 y 168 centímetros

b) Aproximadamente 170 centímetros

Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está

normalmente distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación

estándar σ = 7.5cm.

entoncesz1 = (153-160)/7.5=-0.93 y z2 = (168-160)/7.5=1.07

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De aquí que:

P(153≤X≤168) = normcdf(-0.93)-normcdf(1.07)= 0.6815

Asuma que las alturas son redondeadas al centímetro más

cercano,

entoncesz1 = (169.5-160)/7.5=1.27 y z2 = (170.5-160)/7.5=1.4

De aquí que:

P(169.5≤X≤170.5) = normcdf(1.4)-normcdf(1.27)= 0.0213

4.- Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.

Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.

¿Cuál es la predicción de la aproximación normal?

Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.

Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.

Note que: μ = np= 100(0.5) =50, σ2 = npq= 100(0.5)(0.5) = 25,

por

lo que σ = 5. Se usa entonces la distribución normal para

aproximar la probabilidad binomial como sigue:

b(100, 60, 0.5) ≈ N(59.5 ≤ X ≤ 60.5). Tras transformar, a = 59.5,

b = 60.5 en unidades estándar se obtiene:

z1 = (59.5-50)/5=1.9 y z2 = (60.5-50)/5=2.1. De aquí que:

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P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.0109

5.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad

tiene Alzheimer. Suponga que se toma una muestra aleatoria de

3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150 de

ellos tengan la enfermedad.

Suponga que el 4% de la población de la tercera edad

tiene Alzheimer. Suponga que se toma una muestra aleatoria de

3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150 de

ellos tengan la enfermedad.

μ = np= 3500(0.04) =140, σ2 = npq= 3

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DISTRIBUCION LOGNORMAL.

1- Supóngase que la supervivencia, en años, luego de una intervención quirúrgica (tiempo que

pasa hasta que ocurre la muerte del enfermo) en una cierta población sigue una distribución lognormal de parámetro de escala 2,32 y de forma 0,20. Calcúlese la probabilidad de supervivencia a los 12 años, la mediana de supervivencia y represente la función de distribución de la variable. Resultados con Epidat 3.1 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Lognormal (Mu,Sigma) Mu : Escala 2,3200 Sigma : Forma 0,2000 Punto X 12,0000 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,7952 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,2048 Media 10,3812 Varianza 4,3982 Mediana 10,1757 Moda 9,7767 La probabilidad de supervivencia a los 12 años se sitúa próximo a 0,20.

2-

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DISRTIBUCIONES GAMMA Y DE WEIBULL.

1- En una ciudad, el consumo diario de energía eléctrica, en millones

de Kwh es una variable aleatoria X que tiene una distribución

gamma con media 6 y varianza 12.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un determinado día el

consumo de energía eléctrica no exceda los 12 millones de Kwh?

Rpta=93.8%

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día el consumo de energía

eléctrica varié entre los 3 a 5millones de Kwh?

Rpta=26.50%

2- El tiempo de reabastecimiento para cierto producto sigue una

distribución gamma con media 40 y varianza 400. Obtenga la

probabilidad de que:

a) una orden se reciba dentro de los primeros 20 días.

Rpta=14.28%

b) una orden se reciba dentro de los primeros 60 días.

Rpta=84.87%

3- A una central de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto,

siguiendo una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de

que en menos de 1 minuto lleguen 8 llamadas?

(β=1/12; α=1)

Rpta: 91,05%

4- En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en

millones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria que sigue una

distribución gamma con parámetros α= 3 y β =2. Si la planta de

energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de

generar un máximo de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un

día donde no se pueda satisfacer la demanda?

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Rpta=1.438%

5-Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratas expuestas a un

determinado tóxico es una variable aleatoria que sigue una

distribución Gamma (5, 10),

a) ¿cuál es la probabilidad de que una rata no supere las 60

semanas de vida?

Rpta=71.49%

b) ¿cuál es la probabilidad de que una rata viva entre 20 a 40

semanas?

Rpta=31.85%