Tema3 Dinámica de fluidos
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Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/41JJ J N I II 1/41
Tema 3Dinámica de fluidos
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 2/41JJ J N I II 2/41
Preliminares
Sea F (~r, t) un campo definido en el fluido (T , ρ, ui, etc).
d
dt
∫Ω(t)
F dΩ =
∫Ω(t)
∂F
∂tdΩ +
∮A(t)
F ~uA · d ~A
donde A(t) es la superficie que encierra a Ω(t) y ~uA la velocidad de lospuntos de esa superficie.
Volumen fijo (V ): ~uA = 0.d
dt
∫V
F dV =
∫V
∂F
∂tdV
Volumen material (V): ~uA = ~u.D
Dt
∫VF dV =
∫V
∂F
∂tdV +
∮A(t)
F~u · d ~A
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Teorema del transporte de Reynolds
Osborne REYNOLDS, 1842–1912
Aplicando el teorema de la divergencia [AM18] obtenemos
D
Dt
∫VF dV =
∫V
[∂F
∂t+∇ · (F~u)
]dV
o equivalentemente
D
Dt
∫VF dV =
∫V
[∂F
∂t+∂
∂xj(Fuj)
]dV
donde se ha empleado el criterio de suma sobre índices repetidos.
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Circulación a lo largo de un camino material
D
Dt
∫C(t)
F dxi =
∫C(t)
DF
Dtdxi +
∫C(t)
F dui
(véase J. H. Spurk, Fluid Mechanics, página 34).
Corolario
Sea F = ui y C un camino material cerrado. Entonces
D
Dt
∮C(t)
ui dxi =
∮C(t)
DuiDt
dxi +1
2
∮C(t)
d (ui)2
︸ ︷︷ ︸=0
=⇒
D
Dt
∮C(t)~u · d ~=
∮C(t)
D~u
Dt· d ~
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Flujo másico
Masa entre dS1 y dS2
ρu dt dA cos θ = ρ~u · d ~Adt
Masa que atraviesa la superficie dA enla unidad de tiempo: ρ~u · d ~A.
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Ecuación de continuidad
V : volumen fijo arbitrario
d
dt
∫V
ρ dV =
∫V
∂ρ
∂tdV = −
∮A
ρ~u · d ~A
∫V
∂ρ
∂tdV = −
∮A
ρ~u · d ~A [AM18]= −
∫V
∇ · (ρ~u) dV
∂ρ
∂t+∇ · (ρ~u) = 0
1
ρ
Dρ
Dt+∇ · ~u = 0
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Fuerzas de superficie
~f : fuerza por unidad de área.
n: vector unitario normal.
~f (−n) = −~f (n).
Fuerza de superficie total:
~f (n)dA+ ~f (−ej)dAj = ~f (n)dA− ~f (ej)dAj
dAj = ej · n dA = nj dA
fi(n) dA− fi(ej) dAj =[fi(n)− fi(ej)nj
]dA
τji ≡ fi(ej)
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Tensor de tensiones
τjinj ≡ fi(n)
τji es la tensión en la dirección i sobre una superficie normal al eje Xj.
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Conservación del momento
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La fuerza neta en la dirección del eje X1 es(τ11 +
∂τ11
∂x1
dx1
2− τ11 +
∂τ11
∂x1
dx1
2
)dx2dx3
+
(τ21 +
∂τ21
∂x2
dx2
2− τ21 +
∂τ21
∂x2
dx2
2
)dx1dx3
+
(τ31 +
∂τ31
∂x3
dx3
2− τ31 +
∂τ31
∂x3
dx3
2
)dx1dx2 =
∂τj1∂xj
dV
Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de masa dm = ρdVobtenemos la ecuación de Cauchy
ρDuiDt
= ρgi +∂τji∂xj
Agustin Louis CAUCHY, 1789–1857
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Deducción alternativa de la ecuación de Cauchy
Segunda ley de Newton
D
Dt
∫VρuidV =
∫VρgidV +
∮A
τjidAj
Utilizando el teorema de Reynolds tendremos
D
Dt
∫VρuidV =
∫V
[∂
∂t(ρui) +
∂
∂xj(ρuiuj)
]dV
=
∫V
[ρ∂ui∂t
+ ui
(∂ρ
∂t+∂
∂xj(ρuj)
)︸ ︷︷ ︸
=0
+ρuj∂ui∂xj
]dV
=
∫VρDuiDt
dV
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Por otra parte, empleando el teorema de la divergencia [AM18]∮A
τjidAj =
∫V
∂τji∂xj
dV
tenemos finalmente ∫V
[ρDuiDt− ρgi −
∂τji∂xj
]dV = 0
Obtenemos la ecuación de Cauchy considerando que la relación anterior esválida para cualquier volumen material. Por tanto, se cumple que
ρD~u
Dt= ρ~g +∇ · τ
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Momento de las fuerzas
D
Dt
∫Vρ~r × ~u dV =
∫Vρ~r × ~g dV +
∮A
~r × ~f (n)dA
Por el teorema de Reynolds, la componente i es
D
Dt
∫Vρ εijkxjuk dV =
∫Vεijk
[∂
∂t(ρxjuk) +
∂
∂xl(ρxjukul)
]dV
El término entre corchetes es igual a[. . .]
= xj∂
∂t(ρuk) + ρuk
∂xj∂t︸︷︷︸=0
+xj∂
∂xl(ρukul) + ρukul
∂xj∂xl︸︷︷︸=δjl
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Derivando los productos obtenemos
[. . .]
= xjuk
(∂ρ
∂t+∂
∂xl(ρul)
)︸ ︷︷ ︸
=0
+ρxj
(∂uk∂t
+ ul∂uk∂xl
)︸ ︷︷ ︸
=DukDt
+ρukuj.
Por tanto∫Vεijk[. . .]dV =
∫Vρεijkxj
DukDt
dV +
∫Vρ εijkujuk︸ ︷︷ ︸
(~u×~u)i=0
dV
y finalmente∫Vρ~r × D~u
DtdV =
∫Vρ~r × ~g dV +
∮A
~r × ~f (n)dA
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El tensor de tensiones es simétrico
La componente i de la ecuación del momento de la fuerza es∫Vρ εijkxj
(DukDt− gk
)dV =
∮A
εijkxjτlknl dA
=
∫Vεijk
∂
∂xl(xjτlk) dV =
∫Vεijkxj
∂τlk∂xl
dV +
∫Vεijkτlkδjl dV =⇒
∫Vεijkxj
[ρDukDt− ρgk −
∂τlk∂xl
]︸ ︷︷ ︸
=0
dV =
∫Vεijkτjk dV =⇒ εijkτjk = 0 ,∀i
Como el tensor ε es completamente antisimétrico resulta finalmente
τjk = τkj
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Ecuación constitutiva de un fluido newtoniano
La ecuación constitutiva de un medio relaciona la tensión con la deforma-ción. Cuando este medio es un fluido en reposo
τij = −Pδij
Cuando el fluido se mueve tendremos que, en general,
τij = −Pδij + σij σij = σji
donde el tensor σ debe depender de los gradientes del flujo.
Proponemos una combinación lineal de la siguiente manera:
σij = Kijmn
∂um∂xn
= Kijmnemn + Kijmnωmn
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Si el medio es isótropo Kijmn = λδijδmn + 2µδimδjn, que es simétricotambién en los dos últimos subíndices. Como se cumple que
Kijmnωmn =1
2Kijmnωmn +
1
2Kijnmωnm =
1
2Kijmn (ωmn + ωnm)︸ ︷︷ ︸
=0
= 0
tendremos
σij = (λδijδmn + 2µδimδjn) emn = λemmδij + 2µeij = λ∇ · ~u δij + 2µeij
Cuando se cumple la hipótesis de Stokes 3λ + 2µ = 0 se obtiene
τij = −(P +
2
3µ∇ · ~u
)δij + 2µeij
que fue propuesta por Saint-Venant en 1843 y Stokes en 1845.
Adhémar BARRÉ, Conde de Saint-Venant, 1797–1886
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Ecuación de Navier–Stokes
Henri NAVIER, 1785–1836.George Gabriel STOKES, 1819–1903
Partiendo de la ecuación de Cauchy y de la ecuación constitutiva (supo-niendo que µ es constante)
ρDuiDt
= −∂P∂xi
+ ρgi + 2µ∂
∂xj
[eij −
1
3∇ · ~u δij
]
Recordando la definición del tensor eij =1
2
(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)
ρDuiDt
= −∂P∂xi
+ ρgi + µ
[∇2ui +
1
3
∂
∂xi(∇ · ~u)
]
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En los líquidos ordinarios las variaciones espaciales de ∇ · ~u son muy pe-queñas (estrictamente nulas si el fluido es incompresible). Así obtenemos laecuación de Navier–Stokes para fluidos newtonianos incompresibles
ρ∂~u
∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇P + ρ~g + µ∇2~u
Cuando las fuerzas de viscosidad son despreciables obtenemos la ecuaciónde Euler
ρ∂~u
∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇P + ρ~g
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Flujo unidimensional incompresible
Como ~u(x, y, z, t) = u(x, y, z, t) ı tendremos ~u · ∇ = u∂
∂xy el término
advectivo resulta ser (~u · ∇)~u = u∂u
∂xı = ~u(∇ · ~u) = 0
Flujo de Couette
Sean dos planos paralelos horizontales, uno de los cuales se mueve respectoal otro con velocidad uniforme ~V0. Entre ambos planos existe un fluido deviscosidad µ no sometido a gradientes externos de presión.
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En estado estacionario el flujo será unidimensional ~u(x, y, z) = u(x, y, z) ı.Si el fluido es incompresible u = u(y, z). Dada la simetría de traslación alo largo del eje Z, la velocidad tampoco puede depender de z, por lo queu = u(y). La ecuación de Navier-Stokes se reduce a
∂P
∂x= µ
d2u
dy2
∂P
∂y= −ρg
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La segunda ecuación nos dice que el gradiente de presión en la direcciónvertical Y es el mismo que habría si el fluido estuviera en resposo. Comono hay gradiente aplicado en la dirección X , u′′(y) = 0. Con u(y = 0) = 0y u(y = a) = V0 obtenemos un perfil lineal de velocidad
u(y) = V0
y
a
La fuerza por unidad de área que debemos aplicar al plano
|fx| = |τxy| = µ∂u
∂y= µ
V0
a
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Flujo de Poiseuille
Jean Louis POISEUILLE, 1799–1869
Consideremos el movimiento de un fluido incompresible en estado estacio-nario en una tubería horizontal sometido a un gradiente de presión uniforme.
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La componente z de la ecuación de Navier–Stokes es
0 = − ∂P∂z
+ µ1
r
[∂
∂r
(r∂uz(r)
∂r
)]El gradiente de presión a lo largo de la tubería se supone uniforme
K =P1 − P2
L≡ − ∂P
∂z
Como uz(r = R) = 0 y u′z(r = 0) = 0 obtenemos
uz = V0
(1− r2
R2
)V0 ≡
KR2
4µ
Q =
∮A
ρ~u · d ~A = 2πρ
∫ R
0
uz(r)r dr =πKR4
8ν
que es la ley de Poiseuille.
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Energía mecánica en un fluido
Multiplicando la ecuación de Cauchy por ui y sumando sobre i
ρ∂
∂t
(1
2uiui
)+ ρuj
∂
∂xj
(1
2uiui
)= ρuigi + ui
∂τij∂xj
Multiplicando la ecuación de continuidad por (1/2)uiui(1
2uiui
)∂ρ
∂t+
(1
2uiui
)∂
∂xj(ρuj) = 0
Sumando ambas ecuaciones resulta
∂E
∂t+∂
∂xj(ujE) = ρuigi + ui
∂τij∂xj
E ≡ 1
2ρ uiui
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El término∂E
∂tes la variación local de la densidad de energía cinética en
un punto del fluido.
El término∂
∂xj(ujE) representa el transporte de densidad de energía ciné-
tica de un punto a otro del fluido, como consecuencia del transporte demasa.
El término ρuigi es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizadopor el peso por unidad de volumen.
El término ui∂τij∂xj
es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado
por la fuerza neta de superficie por unidad de volumen, que se invierte enmodificar E.
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La potencia neta debida a las fuerzas de superficie por unidad de volumenes
∂
∂xj(uiτij) = τij
∂ui∂xj
+ ui∂τij∂xj
Lo comprobamos integrando dicho término en un volumen arbitrario y em-pleando el teorema de la divergencia [AM18]∮
A
~u · d~f =
∮A
~u · τ · d ~A =
∮A
uiτijdAj =
∫V
∂
∂xj(uiτij) dV
El término τij∂ui∂xj
representa la potencia de deformación. Por tanto, la
potencia neta debida a las fuerzas de superficie por unidad de volumen seinvierte tanto en modificar la densidad de energía cinética como en deformarel fluido.
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Para un fluido newtoniano tendremos
τij∂ui∂xj
= τijeij = −P (∇ · ~u)︸ ︷︷ ︸=−P
VDVDt
+ 2µeijeij −2
3µ (∇ · ~u)2︸ ︷︷ ︸
≡2µφ
siendo φ ≡ eijeij − (1/3)(∇ · ~u)2 = [eij − (1/3)∇ · ~u δij]2 una magnitudpositiva. En consecuencia, la potencia de deformación es la contribuciónde la potencia debida a las fuerzas de presión por unidad de volumen y ladisipación debida a la viscosidad.
Finalmente, el balance de energía resulta ser
∂E
∂t+∂
∂xj(ujE) = ρuigi +
∂
∂xj(uiτij) + P (∇ · ~u)− 2µφ
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Ecuación de Bernoulli
Daniel BERNOULLI, 1700–1782
Consideremos un fluido sin viscosidad, donde es válida la ecuación de Euler
∂ui∂t
+ uj∂ui∂xj
= −∂∂xi
(gz)− 1
ρ
∂P
∂xi
Podemos obtener que
∂ui∂t
+∂
∂xi
(1
2ujuj
)+
1
ρ
∂P
∂xi+∂
∂xi(gz) =
[~u× (∇× ~u)
]i
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A continuación consideramos un flujo barotrópico, que es aquel dondela densidad sólo depende de la presión, ρ = ρ(P ). Por tanto, la siguienteintegral no depende del camino de integración∫ ~r
~r0
dP
ρ=
∫ ~r
~r0
dF
dρdρ = F (~r)− F (~r0)
dF
dρ≡ 1
ρ
dP
dρ
Por tanto∂
∂xi
∫ ~r
~r0
dP
ρ=∂F
∂xi=dF
dρ
∂ρ
∂xi=
1
ρ
∂P
∂xi
Definimos la función de Bernoulli como
B ≡ 1
2uiui +
∫ ~r
~r0
dP
ρ+ gz
∂~u
∂t+∇B = ~u× (∇× ~u)
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Si el flujo es estacionario∇B = ~u×(∇×~u): ~u y ∇×~u son perpendiculares a ∇B.Ambos vectores son tangentes a las super-ficies B = cte. Las líneas de corriente es-tán contenidas en las superficies B = cte.
Por tanto, en estado estacionario la función de Bernoulli es constantesobre las líneas de corriente. Si además el flujo es irrotacional (∇× ~u = 0)entonces la función de Bernoulli es constante en todo el fluido.
Si ρ = cte, sobre las líneas de corriente se cumple que
1
2ρu2 + P + ρgz = cte
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Tubo de Pitot
Henri PITOT, 1695–1771
Consideremos las dos líneas de co-rriente que parten de O y O′. Apli-cando la ecuación de Bernoulli a cadauna de ellas
PO + 12ρu2 = P1
PO′ = P2
=⇒ P1 − P2 =
1
2ρu2
P1 + ρgh1 ' P2 + ρgh2 + ρmghm ⇒ P1 − P2 ' ρmghm
u =
√2ρmρghm
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Vaciado de un depósito
Depósito cilíndrico de radio R con un pequeño orificio B circular de secciónSB, situado en el fondo del recipiente. Suponemos que se encuentra enestado estacionario (SB πR2).
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 34/41JJ J N I II 34/41
ρgzc =1
2ρV 2
B =⇒ VB =√
2gzc
Entre los instantes t y t+ dt, por el orificio sale una cantidad de agua iguales VBSBdt mientras que la altura desciende de zc a zc − dzc, por lo que elvolumen se reduce en −πR2dzc. Por tanto
VBSBdt = −πR2dzc =⇒ d
dtz1/2c = −
√g
2
SBπR2
de donde √zc(t) =
√zc(0)−
√g
2
SBπR2
t
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Teorema de Kelvin
William Thomson, Lord Kelvin, 1824–1907
Consideremos un flujo barotrópico con viscosidad despreciable. Integrandola ecuación de Euler a lo largo de un camino material cerrado tenemos∮
C(t)
D~u
Dt· d ~=
D
Dt
∮C(t)~u · d ~= −
∮C(t)
1
ρ∇P · d ~+
∮C(t)~g · d ~︸ ︷︷ ︸=0Si el flujo es barotrópico∫ ~r
~r0
dP
ρ=
∫ ~r
~r0
1
ρ∇P · d ~= F (~r)− F (~r0) =⇒
∮C(t)
1
ρ∇P · d ~= 0
D
Dt
∮C(t)~u · d ~= 0 =⇒ D
Dt
∫A(t)
~ω · d ~A = 0
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Flujos potenciales
Cuando un flujo es irrotacional (∇ × ~u = 0) existe una función potencialescalar tal que
~u = ∇ϕ
Si además el fluido es incompresible (∇ · ~u = 0) entonces el potencialvelocidad verifica la ecuación de Laplace
∇2ϕ = 0
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 37/41JJ J N I II 37/41
Flujos bidimensionales: ~u(x, y) = u(x, y) ı+ v(x, y) . Si el flujo es ademásincompresible entonces existe un potencial vector ~C = Ψk tal que ~u =∇× ~C, por lo que
u =∂Ψ
∂yv = −∂Ψ
∂xesto es
~u =∂Ψ
∂yı− ∂Ψ
∂x
La función de corriente Ψ es constante sobre las líneas de corriente pues
dx
u=dy
v⇒ vdx− udy = 0⇒ ∂Ψ
∂xdx +
∂Ψ
∂ydy = 0⇒ dΨ = 0
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 38/41JJ J N I II 38/41
Como ejemplo, consideremos el potencial velocidad dado por
ϕ =C
2
(x2 − y2
)El flujo es entonces ~u = C
(x ı − y
)y la función de corriente Ψ = Cxy
(salvo una constante aditiva).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 39/41JJ J N I II 39/41
Experimento de Reynolds
Re =ρu
∂u
∂x
µ∂2u
∂x2
∂u
∂x∼ u
`∂2u
∂x2∼ u
`2
=⇒ Re =U`
νNúmero de Reynolds
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 40/41JJ J N I II 40/41
Transición laminar-turbulento
Pinche sobre el icono para visualizar una animación de los vórtices de von Karman tras un cilindro
moviéndose en un fluido:
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Universidad ComplutenseJJ J N I II 41/41JJ J N I II 41/41
Análisis de escalas
Consideremos la ecuación de Navier–Stokes
ρ∂~u
∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇P + µ∇2~u P ≡ P + ρ~g · ~r.
~r′ =~r
`~u′ =
~u
Ut′ =
Ut
`P ′ =
PρU 2
por lo que obtenemos la siguiente ecuación adimensional
∂~u′
∂t′+ (~u′ · ∇′)~u′ = −∇′P ′ + 1
Re∇′2~u′
Si encontramos ~u′(~r′, t) podemos utilizarlo para valores arbitrarios de ρ,µ, ` y U , siempre que no cambiemos el número de Reynolds (semejanzadinámica). El número de Reynolds permite averiguar qué término es másimportante en la ecuación adimensional.