Tema3 Dinámica de fluidos

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Tema 3Dinámica de fluidos

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Preliminares

Sea F (~r, t) un campo definido en el fluido (T , ρ, ui, etc).

d

dt

∫Ω(t)

F dΩ =

∫Ω(t)

∂F

∂tdΩ +

∮A(t)

F ~uA · d ~A

donde A(t) es la superficie que encierra a Ω(t) y ~uA la velocidad de lospuntos de esa superficie.

Volumen fijo (V ): ~uA = 0.d

dt

∫V

F dV =

∫V

∂F

∂tdV

Volumen material (V): ~uA = ~u.D

Dt

∫VF dV =

∫V

∂F

∂tdV +

∮A(t)

F~u · d ~A

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Teorema del transporte de Reynolds

Osborne REYNOLDS, 1842–1912

Aplicando el teorema de la divergencia [AM18] obtenemos

D

Dt

∫VF dV =

∫V

[∂F

∂t+∇ · (F~u)

]dV

o equivalentemente

D

Dt

∫VF dV =

∫V

[∂F

∂t+∂

∂xj(Fuj)

]dV

donde se ha empleado el criterio de suma sobre índices repetidos.

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Circulación a lo largo de un camino material

D

Dt

∫C(t)

F dxi =

∫C(t)

DF

Dtdxi +

∫C(t)

F dui

(véase J. H. Spurk, Fluid Mechanics, página 34).

Corolario

Sea F = ui y C un camino material cerrado. Entonces

D

Dt

∮C(t)

ui dxi =

∮C(t)

DuiDt

dxi +1

2

∮C(t)

d (ui)2

︸ ︷︷ ︸=0

=⇒

D

Dt

∮C(t)~u · d ~=

∮C(t)

D~u

Dt· d ~

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Flujo másico

Masa entre dS1 y dS2

ρu dt dA cos θ = ρ~u · d ~Adt

Masa que atraviesa la superficie dA enla unidad de tiempo: ρ~u · d ~A.

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Ecuación de continuidad

V : volumen fijo arbitrario

d

dt

∫V

ρ dV =

∫V

∂ρ

∂tdV = −

∮A

ρ~u · d ~A

∫V

∂ρ

∂tdV = −

∮A

ρ~u · d ~A [AM18]= −

∫V

∇ · (ρ~u) dV

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~u) = 0

1

ρ

Dt+∇ · ~u = 0

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Fuerzas de superficie

~f : fuerza por unidad de área.

n: vector unitario normal.

~f (−n) = −~f (n).

Fuerza de superficie total:

~f (n)dA+ ~f (−ej)dAj = ~f (n)dA− ~f (ej)dAj

dAj = ej · n dA = nj dA

fi(n) dA− fi(ej) dAj =[fi(n)− fi(ej)nj

]dA

τji ≡ fi(ej)

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Tensor de tensiones

τjinj ≡ fi(n)

τji es la tensión en la dirección i sobre una superficie normal al eje Xj.

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Conservación del momento

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La fuerza neta en la dirección del eje X1 es(τ11 +

∂τ11

∂x1

dx1

2− τ11 +

∂τ11

∂x1

dx1

2

)dx2dx3

+

(τ21 +

∂τ21

∂x2

dx2

2− τ21 +

∂τ21

∂x2

dx2

2

)dx1dx3

+

(τ31 +

∂τ31

∂x3

dx3

2− τ31 +

∂τ31

∂x3

dx3

2

)dx1dx2 =

∂τj1∂xj

dV

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de masa dm = ρdVobtenemos la ecuación de Cauchy

ρDuiDt

= ρgi +∂τji∂xj

Agustin Louis CAUCHY, 1789–1857

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Deducción alternativa de la ecuación de Cauchy

Segunda ley de Newton

D

Dt

∫VρuidV =

∫VρgidV +

∮A

τjidAj

Utilizando el teorema de Reynolds tendremos

D

Dt

∫VρuidV =

∫V

[∂

∂t(ρui) +

∂xj(ρuiuj)

]dV

=

∫V

[ρ∂ui∂t

+ ui

(∂ρ

∂t+∂

∂xj(ρuj)

)︸ ︷︷ ︸

=0

+ρuj∂ui∂xj

]dV

=

∫VρDuiDt

dV

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Por otra parte, empleando el teorema de la divergencia [AM18]∮A

τjidAj =

∫V

∂τji∂xj

dV

tenemos finalmente ∫V

[ρDuiDt− ρgi −

∂τji∂xj

]dV = 0

Obtenemos la ecuación de Cauchy considerando que la relación anterior esválida para cualquier volumen material. Por tanto, se cumple que

ρD~u

Dt= ρ~g +∇ · τ

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Momento de las fuerzas

D

Dt

∫Vρ~r × ~u dV =

∫Vρ~r × ~g dV +

∮A

~r × ~f (n)dA

Por el teorema de Reynolds, la componente i es

D

Dt

∫Vρ εijkxjuk dV =

∫Vεijk

[∂

∂t(ρxjuk) +

∂xl(ρxjukul)

]dV

El término entre corchetes es igual a[. . .]

= xj∂

∂t(ρuk) + ρuk

∂xj∂t︸︷︷︸=0

+xj∂

∂xl(ρukul) + ρukul

∂xj∂xl︸︷︷︸=δjl

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Derivando los productos obtenemos

[. . .]

= xjuk

(∂ρ

∂t+∂

∂xl(ρul)

)︸ ︷︷ ︸

=0

+ρxj

(∂uk∂t

+ ul∂uk∂xl

)︸ ︷︷ ︸

=DukDt

+ρukuj.

Por tanto∫Vεijk[. . .]dV =

∫Vρεijkxj

DukDt

dV +

∫Vρ εijkujuk︸ ︷︷ ︸

(~u×~u)i=0

dV

y finalmente∫Vρ~r × D~u

DtdV =

∫Vρ~r × ~g dV +

∮A

~r × ~f (n)dA

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El tensor de tensiones es simétrico

La componente i de la ecuación del momento de la fuerza es∫Vρ εijkxj

(DukDt− gk

)dV =

∮A

εijkxjτlknl dA

=

∫Vεijk

∂xl(xjτlk) dV =

∫Vεijkxj

∂τlk∂xl

dV +

∫Vεijkτlkδjl dV =⇒

∫Vεijkxj

[ρDukDt− ρgk −

∂τlk∂xl

]︸ ︷︷ ︸

=0

dV =

∫Vεijkτjk dV =⇒ εijkτjk = 0 ,∀i

Como el tensor ε es completamente antisimétrico resulta finalmente

τjk = τkj

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Ecuación constitutiva de un fluido newtoniano

La ecuación constitutiva de un medio relaciona la tensión con la deforma-ción. Cuando este medio es un fluido en reposo

τij = −Pδij

Cuando el fluido se mueve tendremos que, en general,

τij = −Pδij + σij σij = σji

donde el tensor σ debe depender de los gradientes del flujo.

Proponemos una combinación lineal de la siguiente manera:

σij = Kijmn

∂um∂xn

= Kijmnemn + Kijmnωmn

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Si el medio es isótropo Kijmn = λδijδmn + 2µδimδjn, que es simétricotambién en los dos últimos subíndices. Como se cumple que

Kijmnωmn =1

2Kijmnωmn +

1

2Kijnmωnm =

1

2Kijmn (ωmn + ωnm)︸ ︷︷ ︸

=0

= 0

tendremos

σij = (λδijδmn + 2µδimδjn) emn = λemmδij + 2µeij = λ∇ · ~u δij + 2µeij

Cuando se cumple la hipótesis de Stokes 3λ + 2µ = 0 se obtiene

τij = −(P +

2

3µ∇ · ~u

)δij + 2µeij

que fue propuesta por Saint-Venant en 1843 y Stokes en 1845.

Adhémar BARRÉ, Conde de Saint-Venant, 1797–1886

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Ecuación de Navier–Stokes

Henri NAVIER, 1785–1836.George Gabriel STOKES, 1819–1903

Partiendo de la ecuación de Cauchy y de la ecuación constitutiva (supo-niendo que µ es constante)

ρDuiDt

= −∂P∂xi

+ ρgi + 2µ∂

∂xj

[eij −

1

3∇ · ~u δij

]

Recordando la definición del tensor eij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)

ρDuiDt

= −∂P∂xi

+ ρgi + µ

[∇2ui +

1

3

∂xi(∇ · ~u)

]

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En los líquidos ordinarios las variaciones espaciales de ∇ · ~u son muy pe-queñas (estrictamente nulas si el fluido es incompresible). Así obtenemos laecuación de Navier–Stokes para fluidos newtonianos incompresibles

ρ∂~u

∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇P + ρ~g + µ∇2~u

Cuando las fuerzas de viscosidad son despreciables obtenemos la ecuaciónde Euler

ρ∂~u

∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇P + ρ~g

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Flujo unidimensional incompresible

Como ~u(x, y, z, t) = u(x, y, z, t) ı tendremos ~u · ∇ = u∂

∂xy el término

advectivo resulta ser (~u · ∇)~u = u∂u

∂xı = ~u(∇ · ~u) = 0

Flujo de Couette

Sean dos planos paralelos horizontales, uno de los cuales se mueve respectoal otro con velocidad uniforme ~V0. Entre ambos planos existe un fluido deviscosidad µ no sometido a gradientes externos de presión.

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En estado estacionario el flujo será unidimensional ~u(x, y, z) = u(x, y, z) ı.Si el fluido es incompresible u = u(y, z). Dada la simetría de traslación alo largo del eje Z, la velocidad tampoco puede depender de z, por lo queu = u(y). La ecuación de Navier-Stokes se reduce a

∂P

∂x= µ

d2u

dy2

∂P

∂y= −ρg

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La segunda ecuación nos dice que el gradiente de presión en la direcciónvertical Y es el mismo que habría si el fluido estuviera en resposo. Comono hay gradiente aplicado en la dirección X , u′′(y) = 0. Con u(y = 0) = 0y u(y = a) = V0 obtenemos un perfil lineal de velocidad

u(y) = V0

y

a

La fuerza por unidad de área que debemos aplicar al plano

|fx| = |τxy| = µ∂u

∂y= µ

V0

a

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Flujo de Poiseuille

Jean Louis POISEUILLE, 1799–1869

Consideremos el movimiento de un fluido incompresible en estado estacio-nario en una tubería horizontal sometido a un gradiente de presión uniforme.

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La componente z de la ecuación de Navier–Stokes es

0 = − ∂P∂z

+ µ1

r

[∂

∂r

(r∂uz(r)

∂r

)]El gradiente de presión a lo largo de la tubería se supone uniforme

K =P1 − P2

L≡ − ∂P

∂z

Como uz(r = R) = 0 y u′z(r = 0) = 0 obtenemos

uz = V0

(1− r2

R2

)V0 ≡

KR2

Q =

∮A

ρ~u · d ~A = 2πρ

∫ R

0

uz(r)r dr =πKR4

que es la ley de Poiseuille.

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Energía mecánica en un fluido

Multiplicando la ecuación de Cauchy por ui y sumando sobre i

ρ∂

∂t

(1

2uiui

)+ ρuj

∂xj

(1

2uiui

)= ρuigi + ui

∂τij∂xj

Multiplicando la ecuación de continuidad por (1/2)uiui(1

2uiui

)∂ρ

∂t+

(1

2uiui

)∂

∂xj(ρuj) = 0

Sumando ambas ecuaciones resulta

∂E

∂t+∂

∂xj(ujE) = ρuigi + ui

∂τij∂xj

E ≡ 1

2ρ uiui

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El término∂E

∂tes la variación local de la densidad de energía cinética en

un punto del fluido.

El término∂

∂xj(ujE) representa el transporte de densidad de energía ciné-

tica de un punto a otro del fluido, como consecuencia del transporte demasa.

El término ρuigi es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizadopor el peso por unidad de volumen.

El término ui∂τij∂xj

es el trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado

por la fuerza neta de superficie por unidad de volumen, que se invierte enmodificar E.

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La potencia neta debida a las fuerzas de superficie por unidad de volumenes

∂xj(uiτij) = τij

∂ui∂xj

+ ui∂τij∂xj

Lo comprobamos integrando dicho término en un volumen arbitrario y em-pleando el teorema de la divergencia [AM18]∮

A

~u · d~f =

∮A

~u · τ · d ~A =

∮A

uiτijdAj =

∫V

∂xj(uiτij) dV

El término τij∂ui∂xj

representa la potencia de deformación. Por tanto, la

potencia neta debida a las fuerzas de superficie por unidad de volumen seinvierte tanto en modificar la densidad de energía cinética como en deformarel fluido.

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Para un fluido newtoniano tendremos

τij∂ui∂xj

= τijeij = −P (∇ · ~u)︸ ︷︷ ︸=−P

VDVDt

+ 2µeijeij −2

3µ (∇ · ~u)2︸ ︷︷ ︸

≡2µφ

siendo φ ≡ eijeij − (1/3)(∇ · ~u)2 = [eij − (1/3)∇ · ~u δij]2 una magnitudpositiva. En consecuencia, la potencia de deformación es la contribuciónde la potencia debida a las fuerzas de presión por unidad de volumen y ladisipación debida a la viscosidad.

Finalmente, el balance de energía resulta ser

∂E

∂t+∂

∂xj(ujE) = ρuigi +

∂xj(uiτij) + P (∇ · ~u)− 2µφ

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Ecuación de Bernoulli

Daniel BERNOULLI, 1700–1782

Consideremos un fluido sin viscosidad, donde es válida la ecuación de Euler

∂ui∂t

+ uj∂ui∂xj

= −∂∂xi

(gz)− 1

ρ

∂P

∂xi

Podemos obtener que

∂ui∂t

+∂

∂xi

(1

2ujuj

)+

1

ρ

∂P

∂xi+∂

∂xi(gz) =

[~u× (∇× ~u)

]i

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A continuación consideramos un flujo barotrópico, que es aquel dondela densidad sólo depende de la presión, ρ = ρ(P ). Por tanto, la siguienteintegral no depende del camino de integración∫ ~r

~r0

dP

ρ=

∫ ~r

~r0

dF

dρdρ = F (~r)− F (~r0)

dF

dρ≡ 1

ρ

dP

Por tanto∂

∂xi

∫ ~r

~r0

dP

ρ=∂F

∂xi=dF

∂ρ

∂xi=

1

ρ

∂P

∂xi

Definimos la función de Bernoulli como

B ≡ 1

2uiui +

∫ ~r

~r0

dP

ρ+ gz

∂~u

∂t+∇B = ~u× (∇× ~u)

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Si el flujo es estacionario∇B = ~u×(∇×~u): ~u y ∇×~u son perpendiculares a ∇B.Ambos vectores son tangentes a las super-ficies B = cte. Las líneas de corriente es-tán contenidas en las superficies B = cte.

Por tanto, en estado estacionario la función de Bernoulli es constantesobre las líneas de corriente. Si además el flujo es irrotacional (∇× ~u = 0)entonces la función de Bernoulli es constante en todo el fluido.

Si ρ = cte, sobre las líneas de corriente se cumple que

1

2ρu2 + P + ρgz = cte

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Tubo de Pitot

Henri PITOT, 1695–1771

Consideremos las dos líneas de co-rriente que parten de O y O′. Apli-cando la ecuación de Bernoulli a cadauna de ellas

PO + 12ρu2 = P1

PO′ = P2

=⇒ P1 − P2 =

1

2ρu2

P1 + ρgh1 ' P2 + ρgh2 + ρmghm ⇒ P1 − P2 ' ρmghm

u =

√2ρmρghm

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Vaciado de un depósito

Depósito cilíndrico de radio R con un pequeño orificio B circular de secciónSB, situado en el fondo del recipiente. Suponemos que se encuentra enestado estacionario (SB πR2).

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ρgzc =1

2ρV 2

B =⇒ VB =√

2gzc

Entre los instantes t y t+ dt, por el orificio sale una cantidad de agua iguales VBSBdt mientras que la altura desciende de zc a zc − dzc, por lo que elvolumen se reduce en −πR2dzc. Por tanto

VBSBdt = −πR2dzc =⇒ d

dtz1/2c = −

√g

2

SBπR2

de donde √zc(t) =

√zc(0)−

√g

2

SBπR2

t

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Teorema de Kelvin

William Thomson, Lord Kelvin, 1824–1907

Consideremos un flujo barotrópico con viscosidad despreciable. Integrandola ecuación de Euler a lo largo de un camino material cerrado tenemos∮

C(t)

D~u

Dt· d ~=

D

Dt

∮C(t)~u · d ~= −

∮C(t)

1

ρ∇P · d ~+

∮C(t)~g · d ~︸ ︷︷ ︸=0Si el flujo es barotrópico∫ ~r

~r0

dP

ρ=

∫ ~r

~r0

1

ρ∇P · d ~= F (~r)− F (~r0) =⇒

∮C(t)

1

ρ∇P · d ~= 0

D

Dt

∮C(t)~u · d ~= 0 =⇒ D

Dt

∫A(t)

~ω · d ~A = 0

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Flujos potenciales

Cuando un flujo es irrotacional (∇ × ~u = 0) existe una función potencialescalar tal que

~u = ∇ϕ

Si además el fluido es incompresible (∇ · ~u = 0) entonces el potencialvelocidad verifica la ecuación de Laplace

∇2ϕ = 0

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Flujos bidimensionales: ~u(x, y) = u(x, y) ı+ v(x, y) . Si el flujo es ademásincompresible entonces existe un potencial vector ~C = Ψk tal que ~u =∇× ~C, por lo que

u =∂Ψ

∂yv = −∂Ψ

∂xesto es

~u =∂Ψ

∂yı− ∂Ψ

∂x

La función de corriente Ψ es constante sobre las líneas de corriente pues

dx

u=dy

v⇒ vdx− udy = 0⇒ ∂Ψ

∂xdx +

∂Ψ

∂ydy = 0⇒ dΨ = 0

Page 38: Tema3 Dinámica de fluidos

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Como ejemplo, consideremos el potencial velocidad dado por

ϕ =C

2

(x2 − y2

)El flujo es entonces ~u = C

(x ı − y

)y la función de corriente Ψ = Cxy

(salvo una constante aditiva).

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Experimento de Reynolds

Re =ρu

∂u

∂x

µ∂2u

∂x2

∂u

∂x∼ u

`∂2u

∂x2∼ u

`2

=⇒ Re =U`

νNúmero de Reynolds

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Transición laminar-turbulento

Pinche sobre el icono para visualizar una animación de los vórtices de von Karman tras un cilindro

moviéndose en un fluido:

Page 41: Tema3 Dinámica de fluidos

Curso 2006-2007

Universidad ComplutenseJJ J N I II 41/41JJ J N I II 41/41

Análisis de escalas

Consideremos la ecuación de Navier–Stokes

ρ∂~u

∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇P + µ∇2~u P ≡ P + ρ~g · ~r.

~r′ =~r

`~u′ =

~u

Ut′ =

Ut

`P ′ =

PρU 2

por lo que obtenemos la siguiente ecuación adimensional

∂~u′

∂t′+ (~u′ · ∇′)~u′ = −∇′P ′ + 1

Re∇′2~u′

Si encontramos ~u′(~r′, t) podemos utilizarlo para valores arbitrarios de ρ,µ, ` y U , siempre que no cambiemos el número de Reynolds (semejanzadinámica). El número de Reynolds permite averiguar qué término es másimportante en la ecuación adimensional.