Soluciones de los ejercicios del tema 1 -...

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1) Hallar las diferentes ecuaciones de la recta en R 2 que pasa por los puntos A(3, 1) y B(7, -1). Problema 1. Solución del problema 1. El vector director será ~u = AB = (7, -1) - (3, 1) = (4, -2). Así pues, Ecuación vectorial: ~x = (3, 1) + λ (4, -2). Ecuaciones paramétricas: x =3+4 λ, y =1 - 2 λ. Ecuación en forma continua: x - 3 4 = y - 1 -2 . Ecuación implícita: 2x +4y - 10 = 0. Ecuación explícita: y = - 1 2 x + 5 2 . Representar en R 2 las rectas dadas por las siguientes ecuaciones: (a) y =2 (b) y = -3 (c) y =0 (d) x =5 (e) x = - 1 2 (f) x =0 (g) 2x +3y - 7=0 (h) 5x - 7=0 (i) 4y +3=0 (j) y = -3x +2 (k) y =6x - 1 (l) y = -5x +2 (m) x =3 - λ y = -5+2λ (n) x = -λ y = -5+2λ (ñ) x = -λ y =1+ λ (o) x = -2+3λ y =2+3λ (p) x - 1 2 = y +3 -1 (q) x 2 = y3 (r) -x - 3= y - 7 2 Problema 2. Solución del problema 2. (a) (b) y = 2 -3 -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 y =-3 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 Dpto. de Análisis Matemático —1— Curso 2012/13

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Hallar las diferentes ecuaciones de la recta en R2 que pasa por los puntos A(3, 1) y B(7,−1).

Problema 1.

Solución del problema 1. El vector director será ~u = AB = (7,−1) − (3, 1) = (4,−2). Asípues,

Ecuación vectorial: ~x = (3, 1) + λ (4,−2).

Ecuaciones paramétricas: {x = 3 + 4λ,y = 1− 2λ.

Ecuación en forma continua:x− 3

4=y − 1

−2.

Ecuación implícita: 2x+ 4y − 10 = 0.

Ecuación explícita: y = −1

2x+

5

2.

Representar en R2 las rectas dadas por las siguientes ecuaciones:

(a) y = 2

(b) y = −3

(c) y = 0

(d) x = 5

(e) x = −1

2

(f) x = 0

(g) 2x+ 3y − 7 = 0

(h) 5x− 7 = 0

(i) 4y + 3 = 0

(j) y = −3x+ 2

(k) y = 6x− 1

(l) y = −5x+ 2

(m){x = 3− λy = −5 + 2λ

(n){x = −λy = −5 + 2λ

(ñ){x = −λy = 1 + λ

(o){x = −2 + 3λy = 2 + 3λ

(p)x− 1

2=y + 3

−1

(q)x

2= y3

(r) −x− 3 =y − 7

2

Problema 2.

Solución del problema 2.(a) (b)

y = 2

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

y = -3

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

Dpto. de Análisis Matemático —1— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

(c) (d)

y = 0

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x = 5

-1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

(e) (f)

x = -

1

2

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x = 0

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

(g) (h)

2 x + 3 y - 7 = 0

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

4

5 x - 7 = 0

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

(i) (j)

4 y + 3 = 0

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y = -3 x + 2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

Dpto. de Análisis Matemático —2— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

(k) (l)

y = 6 x - 1

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

y = -5 x + 2

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

(m) (n)

x = 3 - Λ

y = -5 + 2 Λ

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

1

2

x = -Λ

y = -5 + 2 Λ

-4 -3 -2 -1 1 2

-6

-4

-2

2

4

(ñ) (o)

x = -Λ

y = 1 + Λ

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x = -2 + 3 Λ

y = 2 + 3 Λ

-5 -4 -3 -2 -1 1

-2

-1

1

2

3

4

5

Dpto. de Análisis Matemático —3— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

(p) (q)

x - 1

2=

y + 3

-1

-6 -4 -2 2

-4

-3

-2

-1

1

2

x

2= y + 3

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

(r)

-x - 3 =

y - 7

2

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

Hallar la ecuación de la recta en R2 que pasa por (2, 3) y es:

(a) Paralela al eje OX.

(b) Paralela al eje OY .

(c) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

(d) Paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.

(e) Paralela a la recta de ecuación 5x+ 2y = 0.

Problema 3.

Solución del problema 3.

(a) Como la recta tiene que ser paralela al eje OX, su vector director será ~u = (1, 0). Asípues, las ecuaciones paramétricas de la recta pedida son{

x = λ+ 2y = 3

con λ ∈ R.

Dpto. de Análisis Matemático —4— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

(b) Como la recta es paralela al eje OY , tiene a ~u = (0, 1) como vector director. Por lotanto, las ecuaciones paramétricas de dicha recta son{

x = 2y = λ+ 3

con λ ∈ R.

(c) Como la recta tiene que ser paralela a la bisectriz del primer cuadrante, su vectordirector será ~u = (1, 1). Así pues, las ecuaciones paramétricas de la recta pedida son{

x = λ+ 2y = λ+ 3

con λ ∈ R.

(d) Como la recta es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante, tiene a ~u = (−1, 1)como vector director. Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de dicha recta son{

x = −λ+ 2y = λ+ 3

con λ ∈ R.

(e) Observamos que un vector director de la recta 5x+2y = 0 viene dado por ~u = (−2, 5).Como la recta pedida tiene que ser paralela a la anterior recta, se tiene que ~u = (−2, 5)es también un vector director de la recta pedida. Así pues, las ecuaciones paramétricasde dicha recta son {

x = −2λ+ 2y = 5λ+ 3

con λ ∈ R.

Hallar las ecuaciones de la recta r en R3 que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela a larecta

s ≡{

2x+ 3y − z = −1x− y + 3z = 4

Problema 4.

Solución del problema 4. Tenemos que determinar un vector director de la recta r. Paraello, hallaremos un vector director de la recta s, puesto que los vectores directores de las rectasr y s son el mismo (por ser ambas paralelas). Para calcular el vector director de la recta s,lo que hacemos es resolver el sistema s (es decir, calcular las ecuaciones paramétricas de s).Observamos que se trata de un sistema compatible indeterminado, cuya solución general vienedada por

x = 8λy = 1

8− 7λ

z = 118− 5λ

con λ ∈ R.

Luego, un vector director de s, y por tanto de r, es ~u = (8,−7,−5). Por lo tanto, las ecuacionesparamétricas de r son

x = 1 + 8λy = 2− 7λz = 3− 5λ

con λ ∈ R.

Dpto. de Análisis Matemático —5— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos

π1 : x+ y − 5z + 4 = 0 y π2 : 3x− y + 2z − 1 = 0.

Problema 5.

Solución del problema 5. Tenemos que resolver el siguiente sistema (formado por la ecuaciónque define al plano π1 y la de π2). {

x+ y − 5z + 4 = 03x− y + 2z − 1 = 0

Se trata de un sistema compatible indeterminado, cuya solución general viene dada porx = 3λy = 1 + 17λz = 1 + 4λ

con λ ∈ R.

siendo éstas las ecuaciones paramétricas de la recta pedida.

Dados los planos π1 : 3x− y+ z = 1 y π2 : x+ y− 2z = 0, hallar un vector cuya direcciónsea paralela a ambos.

Problema 6.

Solución del problema 6. Para resolver este problema debemos hallar la intersección entreπ1 y π2, es decir, encontrar la solución general del siguiente sistema:{

3x− y + z = 1x+ y − 2z = 0

Se trata de un sistema compatible indeterminado, cuya solución general viene dada porx = λy = −2 + 7λz = −1 + 4λ

con λ ∈ R.

Observamos que hemos obtenido las ecuaciones paramétricas de una recta, la cual es la in-tersección de ambos planos. Por lo tanto, un vector cuya dirección sea paralela a ambos es elvector director de la anterior recta, es decir, ~u = (1, 7, 4).

Obtener la ecuación implícita del plano determinado por el punto A(1, 2, 3) y los vectores~u = (1,−1, 4) y ~v = (1, 1,−2).

Problema 7.

Dpto. de Análisis Matemático —6— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Solución del problema 7. Haciendo∣∣∣∣∣∣x− 1 y − 2 z − 31 −1 41 1 −2

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ −2x+ 6y + 2z − 16 = 0,

obtenemos la ecuación implícita del plano pedido.

Sean las rectas de ecuaciones vectoriales

r1 : ~x = (1, 1, 1) + λ (2, 1,−1) y r2 : ~x = λ (3, 0, 1).

Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es paralelo a ambas rectas.

Problema 8.

Solución del problema 8. El plano será paralelo a las rectas r1 y r2 si y sólo si, los dos vectoresdirectores de dicho plano son cada vector director de éstas dos rectas. Es decir, ~u = (2, 1,−1) y~v = (3, 0, 1) son los vectores directores de dicho plano. Teniendo en cuenta que tiene que pasarpor el origen de coordenadas, es decir, por el punto A = (0, 0, 0), tenemos que sus ecuacionesparamétricas son

x = 2λ+ 3µ,y = λ,z = −λ+ µ,

con λ, µ ∈ R.

Por otro lado, la ecuación implícita viene dada por∣∣∣∣∣∣x y z2 1 −13 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ x− 5y − 3z = 0.

Otra forma de calcular la ecuación implícita del plano sería despejar en las ecuaciones paramé-tricas λ y µ en función de x, y y z. Es decir, de la segunda ecuación paramétrica obtenemosque λ = y. Sustituyendo en la tercera ecuación, tenemos que

z = −y + µ⇐⇒ µ = z + y.

Sustituyendo el valor de λ y µ en la primera ecuación paramétrica, deducimos que

x = 2y + 3(z + y)⇐⇒ x− 5y − 3 = 0.

Hallar las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por el origen de coorde-nadas y es paralelo a las rectas

r1 :x− 3

2=y − 7

3=z − 8

4y r2 : x = y = z.

Problema 9.

Dpto. de Análisis Matemático —7— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Solución del problema 9. El plano que es paralelo a las rectas r1 y r2 tiene como dosvectores directores el correspondiente vector director de cada una de estas dos rectas. Es decir,~u = (2, 3, 4) y ~v = (1, 1, 1) son los vectores directores de dicho plano. Teniendo en cuenta quetiene que pasar por el origen de coordenadas, es decir, por el punto A = (0, 0, 0), tenemos quesus ecuaciones paramétricas son

x = 2λ+ µ,y = 3λ+ µ,z = 4λ+ µ,

con λ, µ ∈ R.

Por otro lado, la ecuación implícita viene dada por∣∣∣∣∣∣x y z2 3 41 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ −x+ 2y − z = 0.

Sean las rectas

r1 :

x = 3− 5λy = 1 + 2λz = 3

y r2 :

{3x− y + z = 0x+ 2y − z = 0

a) Hallar la ecuación de un plano π que pasa por A(−1,−1, 0) y es paralelo a las dosrectas.

b) Hallar la intersección del plano π con los ejes coordenados.

Problema 10.

Solución del problema 10.

a) Tenemos que hallar los dos vectores directores del plano. Como es paralelo a la recta r1, unvector director de dicho plano es ~u = (5, 2, 0). Para obtener el segundo vector director ~vdel plano, debemos de describir r2 con sus ecuaciones paramétricas, para ello resolvemosel sistema (r2). Dicho sistema es compatible indeterminado cuya solución general vienedada por

x = λy = −4λz = −λ

con λ ∈ R.

Luego, ~v = (1,−4,−1). Así pues, el plano pedido viene dado por∣∣∣∣∣∣x+ 1 y + 1 z5 2 01 −4 −1

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ −2x+ 5y − 22z + 3 = 0.

b) La intersección del plano π con el eje de coordenadas OX es el punto (32, 0, 0), el cual esta

determinado por ser la solución del siguiente sistema lineal−2x+ 5y − 22z + 3 = 0,y = 0,z = 0.

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

La intersección del plano π con el eje OY es el punto (0,−35, 0). Y la intersección del

plano π con el eje OZ es el punto (0, 0, 322).

Resolver e interpretar geométricamente los siguientes sistemas lineales:

(a)

3x+ 2y − z = 3x+ y − 2z = −52x+ y + 3z = 16

(b)

2x+ 3y − z = 3x+ y − z = 3x− 2z = 3

(c)

x+ 3y + 5z = 73x+ 5y + 7z = 95x+ 7y + 9z = 1

(d)

x+ 2y + 3z = 44x+ 5y + 6z = 76x+ 7y + 8z = 9

(e)

−x+ 2y − 3z = −24x+ 2y − z = 52x+ 4y − 7z = 1

(f)

x− y + z = 12x− y + z = 23x+ 2y − 2z = 4

(g)

x− y + z = 12x− y + z = 13x+ 2y − z = 4

(h)

−2x+ y + z = 1x− 2y + z = −2x+ y − 2z = 4

Problema 11.

Solución del problema 11.

(a) Se trata de un sistema compatible determinado, cuya solución es x = 1, y = 2, z = 4. Lainterpretación geométrica es que los tres planos descritos por cada una de las ecuacionesdel sistema se cortan el punto (1, 2, 4).

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

0

1

2

3

4

y

0

5

10

z

(b) Es un sistema incompatible. Geométricamente tenemos que los tres planos se cortanen tres rectas que son paralelas entre sí.

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

0.00.5

1.01.5

2.0

x

-2-1

01

2

y

-5

0

5

z

(c) Se trata de un sistema incompatible. Geométricamente tenemos que dos planos sonparalelos y cortan al tercero en dos rectas, las cuales son paralelas entre sí.

0.00.5

1.01.5

2.0

x

-10

12

3

y

-2

-1

0

z

(d) El sistema es compatible indeterminado, cuya solución general viene dada porx = λ,y = −1− 2λ,z = 2 + λ,

con λ ∈ R.

La interpretación geométrica del sistema es que los tres planos se cortan en una recta,cuya ecuaciones paramétricas son la solución general del sistema.

-10-5

05

10x

-5

0

5

y

-10

0

10

z

(e) Se trata de un sistema compatible determinado, siendo x = 1713, y = 0, y z = 3

13su

solución. Geométricamente tenemos que los tres planos descritos por cada una de lastres ecuaciones del sistema se cortan en el punto (17

13, 0, 3

13).

Dpto. de Análisis Matemático —10— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

y

-5

0

5

z

(f) El sistema es incompatible. Geométricamente tenemos que los tres planos se cortan entres rectas que son paralelas entre sí.

0.5

1.0

1.5 x

-0.5

0.0

0.5

y

-1

0

1

z

(g) Es un sistema compatible determinado, cuya solución es x = 0, y = 5, y z = 6. Lainterpretación geométrica es que los tres planos descritos por cada una de las ecuacionesdel sistema se cortan en el punto (0, 5, 6).

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

y

5

10

z

Dpto. de Análisis Matemático —11— Curso 2012/13

Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

(h) Se trata de un sistema incompatible. Geométricamente tenemos que los tres planos secortan en tres rectas que son paralelas entre sí.

-4-2

0

x

-1.0-0.5

0.00.5

1.0y

-5

0

z

Hallar t ∈ R para que el vector ~x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por losvectores ~u = (1, 2, 3) y ~v = (1, 3,−1).

Problema 12.

Solución del problema 12. ~x ∈ L{~u,~v} si, y sólo si, existen α, β ∈ R tales que ~x = α~u+ β~v,es decir,

(3, 8, t) = α(1, 2, 3) + β(1, 3,−1) = (α, 2α, 3α) + (β, 3β,−β) = (α + β, 2α + 3β, 3α− β).

Luego, obtenemos el siguiente sistemaα + β = 3 (Ec.1)2α + 3β = 8 (Ec.2)3α− β = t (Ec.3)

De (Ec.1), tenemos que α = 3− β. Sustituyendo en (Ec.2)

2(3− β) + 3β = 8⇐⇒ β = 2.

Luego, α = 1. Finalmente, por (Ec.3), deducimos que t = 1. Por tanto, ~x pertenece al subespacioengendrado por los vectores ~u y ~v si, y sólo si, t = 1.

Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinación lineal de (1, 2,−1,−2) yde (0, 1, 2, 1).

Problema 13.

Solución del problema 13. (1, 4, a, b) es combinación lineal de (1, 2,−1,−2) y de (0, 1, 2, 1)si, y sólo si, existen α, β ∈ R tales que

(1, 4, a, b) = α(1, 2,−1,−2) + β(0, 1, 2, 1)⇐⇒

α = 1 (Ec.1)2α + β = 4 (Ec.2)−α + 2β = a (Ec.3)−2α + β = b (Ec.4)

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Sustituyendo el valor de α en la (Ec.2) obtenemos β = 2. Luego, de la (Ec.3) y (Ec.4) deducimosque a = 3 y b = 0, respectivamente.

Por tanto, el vector (1, 4, a, b) es combinación lineal de (1, 2,−1,−2) y de (0, 1, 2, 1) si, ysólo si, a = 3 y b = 0.

Determinar qué conjuntos son subespacios vectoriales de R3:

A = {(x, y, z) : x− y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x+ 2y + z = 1},

C = {(x, y, z) : x− y = 0, x− z = 0}, D = {(x, y, z) : x− y + z = 0, y + z = 1},

E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x · y = 0}.

Problema 14.

Solución del problema 14.

a) Veamos que A = {(x, y, z) : x− y + z = 0} es un subespacio vectorial de R3.

(C1) Sean ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) ∈ A. Tenemos que demostrar que ~u + ~v ∈ A.Notar que

~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3),

y u1 − u2 + u3 = 0 ya que ~u ∈ A,

v1 − v2 + v3 = 0 ya que ~v ∈ A.Como

u1 + v1 − (u2 + v2) + u3 + v3 =�����

��:0u1 − u2 + u3 +���

����:0

v1 − v2 + v3 = 0,

deducimos que ~u+ ~v ∈ A.(C2) Sea ~u = (u1, u2, u3) ∈ A y sea α ∈ R. Debemos de ver que α~u ∈ A. Notar que

α~u = (αu1, αu2, αu3),

yu1 − u2 + u3 = 0 ya que ~u ∈ A.

Como

αu1 − αu2 + αu3 = α(���

����:0

u1 − u2 + u3) = α · 0 = 0,

deducimos que α~u ∈ A.

Por tanto, A es un subespacio vectorial de R3.

b) Observamos que B = {(x, y, z) : x+2y+ z = 1} no es un subespacio vectorial de R3 ya que~0 6∈ B, debido a a que 0 + 2 · 0 + 0 = 0 6= 1.

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c) Veamos que C = {(x, y, z) : x− y = 0, x− z = 0} es un subespacio vectorial de R3.

(C1) Sean ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) ∈ C. Tenemos que demostrar que ~u + ~v ∈ C.Notar que

u1 − u2 = 0

u1 − u3 = 0

ya que ~u ∈ C,

v1 − v2 = 0

v1 − v3 = 0

ya que ~v ∈ C.

Como~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3),

y

(1o cond.) u1 + v1 − (u2 + v2) =�����: 0

u1 − u2 +�����:0

v1 − v2 = 0 + 0 = 0,

(2o cond.) u1 + v1 − (u3 + v3) =�����: 0

u1 − u3 +�����:0

v1 − v3 = 0 + 0 = 0,

deducimos que ~u+ ~v ∈ C.

(C2) Sea ~u = (u1, u2, u3) ∈ C y sea α ∈ R. Debemos de ver que α~u ∈ C. Notar que

u1 − u2 = 0 y u1 − u3 = 0.

Comoα~u = (αu1, αu2, αu3),

y

(1o cond.) αu1 − αu2 = α(�����: 0

u1 − u2) = α · 0 = 0,

(2o cond.) αu1 − αu3 = α(�����: 0

u1 − u3) = α · 0 = 0,

deducimos que α~u ∈ C.

Por tanto, C es un subespacio vectorial de R3.

d) D = {(x, y, z) : x − y + z = 0, y + z = 1} no es un subespacio vectorial de R3, porque~0 6∈ D (aunque se satisface la primera condición, 0 − 0 = 0, no se satisface la segunda0 + 0 = 0 6= 1).

e) Veamos que E = {(x, y, z) : x = 0, y = z} es un subespacio vectorial de R3.

(C1) Sean ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) ∈ E. Tenemos que demostrar que ~u + ~v ∈ E.Notar que

u1 = 0

u2 = u3

ya que ~u ∈ E,v1 = 0

v2 = v3

ya que ~v ∈ E.

Como~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3),

y

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

(1o cond.) u1 + v1 = 0 + 0 = 0,

(2o cond.) u2 + v2 = u3 + v3,

deducimos que ~u+ ~v ∈ E.

(C2) Sea ~u = (u1, u2, u3) ∈ E y sea α ∈ R. Debemos de ver que α~u ∈ E. Notar que

u1 = 0 y u2 = u3.

Comoα~u = (αu1, αu2, αu3),

y

(1o cond.) αu1 = α · 0 = 0,

(2o cond.) αu2 = αu3,

deducimos que α~u ∈ E.

Por tanto, E es un subespacio vectorial de R3.

f) F = {(x, y, z) : x·y = 1} no es un subespacio vectorial de R3, ya que si tomamos u = (1, 0, 0)y v = (0, 1, 0), tenemos que u, v ∈ F pero u+ v = (1, 1, 0) 6∈ F .

NOTA: En este ejemplo, tenemos que ~0 ∈ F y sin embargo F no es subespacio vectorial.

a) Demostrar que el conjunto E = {(a, 0, a, b) : a, b ∈ R} es un subespacio vectorial deR4.

b) En caso afirmativo, hállese una base del mismo.

Problema 15.

Solución del problema 15.

a) Veamos que E es un subespacio vectorial de R4. Para ello, sean ~u = (a, 0, b, a), ~v =(a′, 0, b′, a′) ∈ E y α, β ∈ R. Como

α~u+ β~v = α(a, 0, b, a) + β(a′, 0, b′, a′) = (αa+ βa′, 0, αb+ βb′, αa+ βa′) ∈ E,

concluimos que E es un subespacio vectorial de R4.

b) Calculemos una base de E. Como

~u ∈ E ⇐⇒ ~u = (a, 0, b, a) = (a, 0, 0, a) + (0, 0, b, 0) = a(1, 0, 0, 1) + b(0, 0, 1, 0),

y los vectores (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0) son linealmente independientes, {(1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}es una base de E.

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Calcular una base, unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y la dimensiónde los siguientes subespacios vectoriales:

a) H1 = L{(1, 0, 1), (−1, 1, 0)}.

b) H2 = L{(1, 1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 2)}.

c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y − z}.

d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0, x− 2z = 0}.

Problema 16.

Solución del problema 16.

a) H1 = L{(1, 0, 1), (−1, 1, 0)}.

Como

rg

1 −10 11 0

= 2

tenemos que los vectores que generan el subespacio son linealmente independientes.Por tanto, dichos vectores forman una base de H1 y dim(H1) = 2.

Ecuaciones paramétricas. Escribimos un vector genérico ~v = (x, y, z) ∈ H1 comocombinación lineal de los vectores de la base

(x, y, z) = λ(1, 0, 1) + µ(−1, 1, 0) = (λ− µ, µ, λ),

de donde obtenemos las ecuaciones paramétricas de H1:x = λ− µy = µ con λ, µ ∈ R.z = λ

NOTA: Observar que deben aparecer tantos parámetros (en este caso, λ y µ) comodimensión tiene el subespacio vectorial.

Ecuaciones implícitas. Para hallar las ecuaciones implícitas tomamos un vector cual-quiera (x, y, z) ∈ H1 y observamos que los vectores (x, y, z), (1, 0, 1), (−1, 1, 0) sonlinealmente dependientes, luego

rg

1 −1 x0 1 y1 0 z

= 2⇐⇒

∣∣∣∣∣∣1 −1 x0 1 y1 0 z

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ x+ y − z = 0.

Luego,H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − z = 0}.

b) H2 = L{(1, 1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 2)}.

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Consideremos la matriz formada por estos tres vectores, es decir,

A =

1 −1 01 0 11 1 2

.

Como rg(A) = 2 y un menor principal de A es∣∣∣∣1 −11 0

∣∣∣∣ = −2 6= 0, tenemos que

los vectores {(1,1,1),(-1,0,1),(0,1,2)} son linealmente dependientes y los vectores{(1,1,1),(-1,0,1)} son linealmente independientes. Entonces,

H2 = L{(1, 1, 1), (−1, 0, 1)},

dim(H2) = 2 y {(1, 1, 1), (−1, 0, 1)} es una base de H2.Ecuaciones paramétricas. Escribimos un vector genérico ~v = (x, y, z) ∈ H2 comocombinación lineal de los vectores de la base

(x, y, z) = λ(1, 1, 1) + µ(−1, 0, 1) = (λ− µ, λ, λ+ µ),

de donde obtenemos las ecuaciones paramétricas de H1:x = λ− µy = λ con λ, µ ∈ R.z = λ+ µ

Ecuaciones implícitas. Para hallar las ecuaciones implícitas tomamos un vector cual-quiera (x, y, z) ∈ H2 y observamos que los vectores (x, y, z), (1, 1, 1), (−1, 0, 1) sonlinealmente dependientes, luego

rg

1 −1 x1 0 y1 1 z

= 2⇐⇒

∣∣∣∣∣∣1 −1 x1 0 y1 1 z

∣∣∣∣∣∣ = 0⇐⇒ x− 2y + z = 0.

Luego,H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + z = 0}.

c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y − z} = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 0}.

Ecuaciones implícitas. El rango de la matriz del sistema formado por la ecuación quedefine a H3 es uno:

rg(1 −1 1

)= 1

por lo que la ecuación que define a H3 es su ecuación implícita.Ecuaciones paramétricas. Tenemos que resolver el sistema formado por la ecuaciónx− y+ z = 0. Como el rango de la matriz de este sistema es 1, como se vio anterior-mente, le damos a las variables y y z el valor de dos parámetros, respectivamente.Es decir, y = λ y z = µ, con λ, µ ∈ R. Luego, obtenemos

x = λ− µy = λ con λ, µ ∈ R,z = µ

que son las ecuaciones paramétricas del subespacio H3.

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Matemáticas I Grado en Química Soluciones. (Hoja 1)

Para obtener una base de H3 usamos las ecuaciones paramétricas.

(x, y, z) ∈ H3 ⇐⇒ (x, y, z) = (λ− µ, λ, µ) = (λ, λ, 0) + (−µ, 0, µ)= λ(1, 1, 0) + µ(−1, 0, 1).

Como los vectores (1, 1, 0) y (−1, 0, 1) son linealmente independientes, deducimosque {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)} es una base de H3 y por tanto dim(H3) = 2.

d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0, x− 2z = 0}.

Ecuaciones implícitas. El rango de la matriz del sistema formado por las ecuacionesque definen a H4 es dos:

rg

(1 1 11 0 −2

)= 2

por lo que las dos ecuaciones que definen a H4 son sus ecuaciones implícitas.

Ecuaciones paramétricas. Tenemos que resolver el siguiente sistema.x+ y + z = 0

x− 2z = 0

Como el rango de la matriz de este sistema es 2, como se vio anteriormente, y comoun menor principal de la matriz es ∣∣∣∣1 1

1 0

∣∣∣∣ ,le damos a la variable z el valor de un parámetro, es decir, z = λ, con λ ∈ R. Luego,obtenemos el siguiente sistema

x+ y = λ,

x = −2λ,

cuya solución es x = −2λ, y = 3λ, z = λ, que son las ecuaciones paramétricas delsubespacio H4.

Para obtener una base de H4 usamos las ecuaciones paramétricas.

(x, y, z) ∈ H4 ⇐⇒ (x, y, z) = (−2λ, 3λ,−λ) = λ(−2, 3, 1).

Por lo que cualquier vector de H4 esta generado por (−2, 3, 1). Luego, deducimosque {(−2, 3, 1)} es una base de H4 y por tanto dim(H4) = 1.

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