Solucionario Miniensayo MT 242 2013
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SOLUCIONARIOMiniensayo MT-242
SOLCAAMTG
EA05242V2
-
1. La alternativa correcta es B.
A
C
B
8k
6k
Portrospitagricos:BC = 10k
A
C
B
8k
6k
10k
Entonces:
sen = cateto opuesto
hipotenusa
sen=8k10k =
810
-
2. La alternativa correcta es A.
I) Verdadera.
II) Falsa,yaque:
sec = 1cos
III) Falsa,yaque: cosec = (sen )-1
cosec = 1sen
3. La alternativa correcta es B.
Eldibujocorrespondientealenunciadoes:
4
3
Determinaremoselngulomenor:
Alngulolecorrespondeelladoquemide4.
Alngulolecorrespondeelladoquemide3. Porlotanto,elngulomenores,yaque,amenorladoseoponemenorngulo. Entonces:
tg = cateto opuestocateto adyacente
tg = 34
-
4. La alternativa correcta es A.
Eldibujocorrespondientealenunciadoes:
x
30
18
El tringulorectngulotienengulos30,60y90,entonces,aplicando lasrelacionesmtricaseneltringulorectngulo,setiene.
30
a
a2
3
a2
60
Entonces:
30
18
60
9
93
Porlotanto,laalturaquealcanzaelvolantnes9metros.
-
5. La alternativa correcta es C.
p
n m
sen = cateto opuestohipotenusa
sen = mp
cos = cateto adyacentehipotenusa
cos = np
Entonces:
sen cos =
mp
np =
m n
p
-
6. La alternativa correcta es D.
A
C
B28
7
x
Losdatoscorrespondenaloscatetosdeltringulorectngulo,lafuncintrigonomtricaquelosrelacionaeslatangente,entonces:
tg 28 = cateto opuesto
cateto adyacente
tg 28 = 7x
x = 7
tg 28
7. La alternativa correcta es B. Eldibujocorrespondientealenunciadoes:
P
5m
30
x
3m
5x + 3
-
Porngulosalternosinternosentreparalelassetiene:
P
5m
30
x
3m5
x + 3
30
Porlotanto,trabajaremosconelsiguientetringulo:
x
305
Correspondeauntringulorectngulodengulos30,60y90,entonces:
x
305
60
-
x = a2
5 = a2
3
5
3 =
a2
53
3 =
a2 x =
533
Porlotanto,laalturadeledificioes:
x + 3 =
533
+ 3 =
53 + 3 3
3=
( 53 + 93 )metros.
-
8. La alternativa correcta es A. Eldibujocorrespondientealenunciadoes:
30
x20
Eltringulorectngulotienengulos30,60y90,entonces,noesnecesarioaplicarlasfuncionestrigonomtricas,yaque:
30
a
a2
3
a2
60
Entonces:
30
2010
60
103
Porlotanto,laalturadelpostees10metros.
-
9. La alternativa correcta es A.
tg37=x11
11 tg 37 = x
10. La alternativa correcta es A.
PorteoremadePitgoras:
15
9
12
cos =915
-
11. La alternativa correcta es B.
sen = h1010
13 =
h
1010 1010
3 = h
AplicandoteoremadePitgorasaltringuloBCE,
EA
C
B
1010h
( 10103 )2 + EB2 = (1010 )2
1.000
9 + EB2 = 1.000
EB2 = 1.000 1.000
9
EB2 = 8.000
9
EB = 4053
ComoEB AE ,entoncesAB = 8053
cm.
12. La alternativa correcta es C.
I) Falsa,yaque:
sen 51 = xz
II) Falsa,yaque: sec 51 =
zy
III) Verdadera,yaque:
tg 51 = xy
-
13. La alternativa correcta es B.
Eldibujocorrespondientealenunciadoes:
8
6
Determinaremoselngulomayor:
Alngulolecorrespondeelladoquemide8. Alngulolecorrespondeelladoquemide6. Porlotanto,elngulomayores.
Entonces:
cotg = 68
14. La alternativa correcta es E.
AplicandoelTeoremadePitgoras,elcatetoopuestoalngulomide40 .
I) Falsa,yaque:sen = cos ,porlotanto:sen cos 1 40
7
407
1
II) Verdadera,porteorema.
III) Verdadera,porteorema.
-
15. La alternativa correcta es D.
Recordemosque:
10
26A
C
B
24
tg = cateto opuesto
cateto adyacente = BC
AC
2410 =
BCAC
BC = 24k, AC = 10k
Luego,portrosPitagricosAB = 26k ComoAC = 10,entoncesk = 1yBC = 24,porlotantoAB = 26.
Entonces:
PermetroABC = 10 + 24 + 26
PermetroABC = 60 cm
reaABC = 10 242
reaABC = 10 12
reaABC = 120 cm2
-
16. La alternativa correcta es B.
Enuncuadradosecumpleque: rea= diagonal
2 2
Siladiagonalmide8
rea= 82
2 =
64 2
= 32
Porlotanto,elreadelcuadradoes32.
17. La alternativa correcta es E.
x : y = 3 : 1 2x + 2y = 24
y
x
x = 3k y = k
2x + 2y = 24 x + y = 12 3k + k = 12 4k = 12
k = 12 4
k = 3
Entonces:
x = 3k x = 3 3 = 9 cm
y = k y = 3 cm
Porlotanto,losladosdelrectngulomiden9 cmy3 cm. I) Verdadera,yaque:
rearectngulo= 9 3 = 27 cm2
-
II) Verdadera,yaque:
Diagonaldelrectngulo=92 + 32
= 81+ 9
= 90
= 9 10
= 310 cm III) Verdadera.
Porlotanto,ningunadeellasesfalsa.
18. La alternativa correcta es A.
SiheslaalturadeltringuloFBE,queesequilterodelado2,entonces:
D
B
h
F
C
A
E4cm
606060
6060
30
4cm
4cm
4cm
h = 23
2 cm
h = 3 cm
yAF = 2
Porlotanto,elreadeltringuloAFEes:
A = 2 3
2 = 3 cm2
-
19. La alternativa correcta es A.
SiAD + BD + BC = 6 cm.y AD BD BC ,entoncesAD = BD = BC = 2 cm.
Comoelreadeuntringulorectnguloes cateto cateto2
,ylostringulosABDy
CDBsoncongruentes,setienequeelreadelADB =readelCBD = 2 22
= 2,
demodoqueelreadelcuadrilteroABCDmide4 cm2.
CD
BA
22 2
20. La alternativa correcta es A.
Lanicapropiedadquecompartenlasdiagonalesdetodoslosparalelgramosesquesedimidianysecumpleenambossentidos,esdecir,sienuncuadrilterolasdiagonalessedimidian,entoncesesunparalelgramo.
21. La alternativa correcta es C.
C
BA
D
EnunparalelgramoABCD,NO siempre AC BD , soloenel cuadradoyenelrombo.
-
22. La alternativa correcta es E.
810
6
Enunrombolasdiagonalessedimidianysonperpendiculares,luego,portrospitagricos,elladodelrombomide10 cm,demodoqueelpermetrodelafiguraes12 10,esdecir,120 cm.
23. La alternativa correcta es A.
R
M P
Q3 cm
xx
xx x
xx
x x
x x
x
4x
4x
x
T
S
Sillamamosxalanchodelrectngulo,entoncesellargoes4x.
Entonces:
4x + 2x = 3 6x = 3
x = 12
Porlotanto,elpermetrodelrectnguloMSTRes: 2(2x + 4x) = 2 6x = 12x = 6 cm entonces,elpermetrodelapartesombreadamide12 cm.
-
24. La alternativa correcta es D.
I) Verdadera,yaqueequivaleaunodeloscuadrados.II) Verdadera,yaquelareginsombreadason4cuadradosyeltotalequivalea5
cuadrados.III) Falsa,yaque1esel25%de4.
25. La alternativa correcta es B.
1)
2
A B
CD
25
AplicandoteoremadePitgorasentringuloABD:
BD2 = AD 2 + AB 2
(25 )2 = 22 + (AB)2
4 5 = 4 + (AB)2
20 = 4 + (AB)2
20 4 = (AB)2
16 = (AB)2
4 = AB
-
2)
2
A B
CD
22
AplicandoteoremadePitgorasentringuloACD:
AC2 = AD2 + DC2
(22 )2 = 22 + (DC)2
4 2 = 4 + (DC)2
8 = 4 + (DC)2
8 4 = (DC)2
4 = (DC)2
2 = DC
3) reatrapecio= AB + DC
2 AD
reatrapecio= 4 + 2
2 2
reatrapecio= 62 2
reatrapecio= 3 2
reatrapecio= 6
-
26. La alternativa correcta es D.
P Q
RS Ta a2
a5
AplicandoteoremadePitgorasentringuloPST
PT2 = ST 2 + SP 2
(a5)2 = a2 + (SP)2
a2 5 = a2 + (SP)2
5a2 = a2 + (SP)2
5a2 a2 = (SP)2
4a2 = (SP)2
2a = SP QR = 2a
Porlotanto:
reatrapecio= PQ + TR
2 QR
reatrapecio= 3a + 2a
2 2a
reatrapecio= 5a 2 2a
reatrapecio=5a a reatrapecio= 5a2
-
27. La alternativa correcta es D.
45A B
CD
E
8
8
88
8
ComoDC = BC = 8 m DE = 8 yEB = 8 TringuloAEDrectnguloissceles,entoncesAE = 8 TringuloAEDconngulos45y90,entonces:
AD = 8 2 AD = 16 AD = 4
Entonces:
I) Verdadera,yaque: Permetrodeltrapecio= 8 + 8 + 8 + 8 + 4 Permetrodeltrapecio= 48 + 4 Permetrodeltrapecio= 4(8 + 1) m
II) Verdadera,yaque:
reatrapecio= AB + DC2
BC
reatrapecio= 28 + 8
2 8
reatrapecio= 38
2 8
reatrapecio= 3 8
2
-
reatrapecio= 3 4
reatrapecio= 12 m2
III) Falsa,yaque: AD = 4 m
28. La alternativa correcta es E.
2
A B
CD
E F
2
601 13
3
3
ABCDtrapecioissceles,entonces: AD=BC=2
Albajarlas2alturas,AE FB
TringuloFBC,dengulos30,60y90,entonces: FB=1,CF=3
Porlotanto:
I) Verdadera,yaque:
BC=2
-
II) Verdadera,yaque: reatrapecio= (AB + DC 2 ) CF reatrapecio= ( 5 + 3 2 ) 3 reatrapecio= ( 8 2 ) 3 reatrapecio= 43
III) Verdadera,yaque:
AB = 5 Porlotanto,ningunadeellasesfalsa.
-
29. La alternativa correcta es D.
I) Verdadera,yaquelamedianadimidiaalaaltura,porlotantoCE=EP , luego,aplicandoelteoremadePitgoraseneltringuloMECyeneltringuloMPE,ambosresultantenerhipotenusasdeigualmedida,porlotantoMC=MP.Porlamismarazn,NC=NP.Porlotanto,elcuadrilteroNCMPesundeltoide.
A Q P B
M NE
D C
II) Falsa, ya que si bienDC yPB son paralelos, no existen datos para asegurarqueseaniguales.Luego,nosepuedeafirmarqueelcuadrilteroDPBCseaunparalelgramo.
A Q P B
M N
D C
III) Verdadera,yaqueporladefinicindemedianaMN //AP .Porotrolado,siempresecumplequeNBP=BPNyadems,porsertrapecioissceles,NBP=QAM,porlotantoBPN=QAM,osea,MA //NP .Luego,elcuadrilteroAPNMesunparalelgramo.
A Q P B
M N
D C
-
30. La alternativa correcta es E.
Dadaslascondicionesdelejercicio,yconsiderandoqueeltringuloAEDesrectnguloenD,sepuedenescribirlasmedidasdelossegmentosentrminosdeunaconstantedeproporcionalidadk.
5k4k
3k 2k
5k
3k 2k 3k
D E C
A B
Luego,comoelpermetrodeltrapeciorectnguloes110 cm,entoncessepuedeplantear:
3k + 2k + 3k + 5k + 2k + 3k + 4k = 110 (Agrupando)
22k = 110 (Dividiendo)
k = 11022
k = 5
Porotraparte,usandolasmismasexpresiones,elpermetrodeltrapecio isscelessepuedeplantear:3k + 2k + 3k + 5k + 2k + 5k = 20k.
Reemplazandoelvalorencontradodek,elpermetrodeltrapecioissceleses 20k = 20 5 = 100 cm.
-
31. La alternativa correcta es C.
Se divide el hexgono regular en seis tringulos equilteros, como semuestra en eldibujo.
a
a
a
a
a
A a P a Q a B
D C
S R
Poresarazn, losngulosSDQyDQAmiden60yDQ //SP , loquehacequeeltringuloAPSseaequilterodeladoa.PorlasmismasrazoneseltringuloQBRtambinesequilterodeladoa.Luego,eltringuloPBCesequilterodelado2a,porlotantosu
alturaCQmide 32
lado = 32
2a = 3a.
Porotrolado,elsegmentoAQmide2a.
A 2a Q B
C
3 a
Las diagonales de un trapecio issceles son iguales, por lo tanto podemos calcularcualquieradeellas,porejemploAC .Entonces,comoladiagonalAC eslahipotenusadeltringuloAQC,podemosplantearelteoremadePitgoras:
AC2 = (2a)2 + (3a)2 (Desarrollandocuadrados) AC2 = 4a2 + 3a2 (Agrupando) AC2 = 7a2 (Aplicandorazcuadrada) AC = 7a
-
32. La alternativa correcta es D.
ComoPyQsonlospuntosmediosdelosladosrespectivos,entoncesDQ = QC = AP = PB
I) Verdadera,comoABCDesuncuadrado,siDR=CS,entoncesRA=SB,porlotantoRQ=SQyRP=SP.ComoDRAR,entoncesCSBS,loquepermiteasegurarqueQRPRyQSPS.Por lotanto,elcuadrilteroPSQResundeltoidey,porende,untrapezoide.
D Q C
A P B
R S
II) Verdadera,yaquesiSB=CS, significaqueSeselpuntomediodelsegmentoCB,porlotantoSB=CS=DQ=QC=AP=PB.EstohacequelostringulosQSCyPBSseantringulosrectngulosissceles,porlotantolosngulosSQC,CSQ,BPSyPSBmiden45.ComoRDQD,entoncesDQR45,porlotantoDQRBPS,loquesignificaqueRP yQS nosonparalelas.Porotrolado,comoRAPA,entoncesRPA45,porlotantoRPASQC,loquesignificaqueRQ yPS nosonparalelas.Luego,comoelcuadrilteroPSQRnotieneparejasdeladosparalelos,entoncesesuntrapezoide.
D Q C
A P B
R S
-
III) Falsa, comoABCD es un cuadrado, si SB =DR, entoncesRA = SC, por lotantoRQ=PSyRP=QS.Luego,comoelcuadrilteroPSQRtienelasdosparejasdeladosopuestosiguales,escondicinsuficienteparaasegurarqueesunparalelgramoy,porlotanto,queNOesuntrapezoide.
D Q C
A P B
R
S
-
33. La alternativa correcta es C.
Comolasdiagonalessonperpendiculares,entonceslafigurasepuededividirencuatrotringulosrectngulos,asignandolasvariablesindicadaseneldibujo.
ad
c b
5
4
6
x
Luego,planteandoelteoremadePitgorasparacadatringulo,setiene:a2 + b2 = 52 (1)b2 + c2 = x2 (2)c2 + d2 = 62 (3)d2 + a2 = 42 (4)
Sumando(2) + (4): a2 + b2 + c2 + d2 = 42 + x2 (5)Sumando(1) + (3): a2 + b2 + c2 + d2 = 52 + 62 (6)
Igualando(5)y(6)sepuedeeliminarlasumaa2+b2+c2+d2yqueda:42 + x2 = 52 + 62 (Desarrollandoloscuadrados)16 + x2 = 25 + 36 (Reduciendoyordenando)x2 = 61 16 (Reduciendo)x2 = 45 (Aplicandorazcuadrada)x= 45 (Descomponiendolaraz)x= 35
-
34. La alternativa correcta es A.
(1) sen = 915 .Conestainformacin,spodemosdeterminarcos,yaquealsernguloscomplementarios,secumplequesen=cos.
(2) y son ngulos complementarios. Con esta informacin, no podemosdeterminarcos,yaquenoseaportanadanuevoalainformacindeldibujo.
Porlotanto,larespuestaes:(1)porssola.
35. La alternativa correcta es D.
(1) El permetro del cuadrado mide 20 cm. Con esta informacin, es posibledeterminar ladiagonaldelcuadrado,yaque,conocidoelpermetro,esposibledeterminarlamedidadelladoyconellolamedidadeladiagonal.
(2) Elreadelcuadradomide25 cm2.Conestainformacin,esposibledeterminarladiagonaldelcuadrado,yaque,conocidaelrea,esposibledeterminarlamedidadelladoyconellolamedidadeladiagonal.
Porlotanto,larespuestaes:Cadaunaporssola.