Presentación de PowerPoint -...
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Las leyes de Biot-Savart y de Ampere x R r θ θ P I dx x • z R R r r dB dB z θ θ 26/07/2008 1 FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Las leyes de Biot-Savart y de Ampere
x
Rrθ
θ
P
Idx x
bull
z
R
R
r
r
dB
dB
zθ
θ
260720081FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
Gruaelectromagneacutetica
N S
N S
N S
N S
N S
N S
N S
N S
N S
Como usted puede saber es posible fabricar un magneto (imaacuten) enrollando un alambre sobre un clavo y hacer pasar corriente a traveacutes del alambreDe eacuteste y otros experimentos se puede observar que las corrientes crean campos magneacuteticosEn verdad eacutesta es la uacutenica forma en que el campo magneacutetico puede ser creadoSi nosotros vieacuteramos al interior de un imaacuten permanente encontrariacuteamos que contiene un enorme nuacutemero de aacutetomos cuyas cargas giran creando minuacutesculas corrientes
26072008
2
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
Cuaacuteles son las ecuaciones anaacutelogas para el Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular
Para cualquier distribucioacuten de carga
2ˆdqdE k r
r=
ndash Ley de Coulomb
ldquoAlta simetriacuteaqSdE =bullint0ε
ndash Ley de Gauss
26072008
3
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Caacutelculo del Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular0
2
ˆ4μ I dl rdBπ r
times=
times I
ndash Ley de Biot-Savart (ldquoCualquier distribucioacuten
de corrienterdquo)
ndash Ley de Ampere (ldquoAlta simetriacuteardquo)
Estas son las ecuaciones anaacutelogas
ndashSuperficie Amperiana(Trayectoria Amp)
0B dl Iμbull =int
26072008
4
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 2
ˆ ˆ4
oK q v r q v x rBr r
μπ
times= = 24
o qvsenBr
μ φπ
=
El Campo Magneacutetico en un punto p generado por una carga q en movimiento siempre apunta Perpendicular al plano formado entre la Posicioacuten del punto p (r) y la velocidad de la partiacutecula (v)
2 2 2
Gm kq Kqvg E Br r r
α= =
iquestCoacutemo representamos la condicioacuten de que B es perpendicular a v y r
260720085FLORENCIO PINELA - ESPOL
La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
2
2B
E
F vF c
= Cuando v es pequentildea comparadacon c la fuerza magneacutetica es mucho
menor que la fuerza eleacutectrica
2 2 2
2 2
2
14 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF Fr r
F v cF
μπε π
μ εμ ε
= =
= =
26072008
6
FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
Gruaelectromagneacutetica
N S
N S
N S
N S
N S
N S
N S
N S
N S
Como usted puede saber es posible fabricar un magneto (imaacuten) enrollando un alambre sobre un clavo y hacer pasar corriente a traveacutes del alambreDe eacuteste y otros experimentos se puede observar que las corrientes crean campos magneacuteticosEn verdad eacutesta es la uacutenica forma en que el campo magneacutetico puede ser creadoSi nosotros vieacuteramos al interior de un imaacuten permanente encontrariacuteamos que contiene un enorme nuacutemero de aacutetomos cuyas cargas giran creando minuacutesculas corrientes
26072008
2
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
Cuaacuteles son las ecuaciones anaacutelogas para el Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular
Para cualquier distribucioacuten de carga
2ˆdqdE k r
r=
ndash Ley de Coulomb
ldquoAlta simetriacuteaqSdE =bullint0ε
ndash Ley de Gauss
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Caacutelculo del Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular0
2
ˆ4μ I dl rdBπ r
times=
times I
ndash Ley de Biot-Savart (ldquoCualquier distribucioacuten
de corrienterdquo)
ndash Ley de Ampere (ldquoAlta simetriacuteardquo)
Estas son las ecuaciones anaacutelogas
ndashSuperficie Amperiana(Trayectoria Amp)
0B dl Iμbull =int
26072008
4
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 2
ˆ ˆ4
oK q v r q v x rBr r
μπ
times= = 24
o qvsenBr
μ φπ
=
El Campo Magneacutetico en un punto p generado por una carga q en movimiento siempre apunta Perpendicular al plano formado entre la Posicioacuten del punto p (r) y la velocidad de la partiacutecula (v)
2 2 2
Gm kq Kqvg E Br r r
α= =
iquestCoacutemo representamos la condicioacuten de que B es perpendicular a v y r
260720085FLORENCIO PINELA - ESPOL
La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
2
2B
E
F vF c
= Cuando v es pequentildea comparadacon c la fuerza magneacutetica es mucho
menor que la fuerza eleacutectrica
2 2 2
2 2
2
14 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF Fr r
F v cF
μπε π
μ εμ ε
= =
= =
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LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
7
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
Cuaacuteles son las ecuaciones anaacutelogas para el Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular
Para cualquier distribucioacuten de carga
2ˆdqdE k r
r=
ndash Ley de Coulomb
ldquoAlta simetriacuteaqSdE =bullint0ε
ndash Ley de Gauss
26072008
3
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Caacutelculo del Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular0
2
ˆ4μ I dl rdBπ r
times=
times I
ndash Ley de Biot-Savart (ldquoCualquier distribucioacuten
de corrienterdquo)
ndash Ley de Ampere (ldquoAlta simetriacuteardquo)
Estas son las ecuaciones anaacutelogas
ndashSuperficie Amperiana(Trayectoria Amp)
0B dl Iμbull =int
26072008
4
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 2
ˆ ˆ4
oK q v r q v x rBr r
μπ
times= = 24
o qvsenBr
μ φπ
=
El Campo Magneacutetico en un punto p generado por una carga q en movimiento siempre apunta Perpendicular al plano formado entre la Posicioacuten del punto p (r) y la velocidad de la partiacutecula (v)
2 2 2
Gm kq Kqvg E Br r r
α= =
iquestCoacutemo representamos la condicioacuten de que B es perpendicular a v y r
260720085FLORENCIO PINELA - ESPOL
La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
2
2B
E
F vF c
= Cuando v es pequentildea comparadacon c la fuerza magneacutetica es mucho
menor que la fuerza eleacutectrica
2 2 2
2 2
2
14 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF Fr r
F v cF
μπε π
μ εμ ε
= =
= =
26072008
6
FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
7
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Caacutelculo del Campo Magneacutetico
bull Dos formas de calcular0
2
ˆ4μ I dl rdBπ r
times=
times I
ndash Ley de Biot-Savart (ldquoCualquier distribucioacuten
de corrienterdquo)
ndash Ley de Ampere (ldquoAlta simetriacuteardquo)
Estas son las ecuaciones anaacutelogas
ndashSuperficie Amperiana(Trayectoria Amp)
0B dl Iμbull =int
26072008
4
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 2
ˆ ˆ4
oK q v r q v x rBr r
μπ
times= = 24
o qvsenBr
μ φπ
=
El Campo Magneacutetico en un punto p generado por una carga q en movimiento siempre apunta Perpendicular al plano formado entre la Posicioacuten del punto p (r) y la velocidad de la partiacutecula (v)
2 2 2
Gm kq Kqvg E Br r r
α= =
iquestCoacutemo representamos la condicioacuten de que B es perpendicular a v y r
260720085FLORENCIO PINELA - ESPOL
La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
2
2B
E
F vF c
= Cuando v es pequentildea comparadacon c la fuerza magneacutetica es mucho
menor que la fuerza eleacutectrica
2 2 2
2 2
2
14 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF Fr r
F v cF
μπε π
μ εμ ε
= =
= =
26072008
6
FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
7
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
2 2
ˆ ˆ4
oK q v r q v x rBr r
μπ
times= = 24
o qvsenBr
μ φπ
=
El Campo Magneacutetico en un punto p generado por una carga q en movimiento siempre apunta Perpendicular al plano formado entre la Posicioacuten del punto p (r) y la velocidad de la partiacutecula (v)
2 2 2
Gm kq Kqvg E Br r r
α= =
iquestCoacutemo representamos la condicioacuten de que B es perpendicular a v y r
260720085FLORENCIO PINELA - ESPOL
La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
2
2B
E
F vF c
= Cuando v es pequentildea comparadacon c la fuerza magneacutetica es mucho
menor que la fuerza eleacutectrica
2 2 2
2 2
2
14 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF Fr r
F v cF
μπε π
μ εμ ε
= =
= =
26072008
6
FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
7
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
2
2B
E
F vF c
= Cuando v es pequentildea comparadacon c la fuerza magneacutetica es mucho
menor que la fuerza eleacutectrica
2 2 2
2 2
2
14 4
1
oE B
o
Bo o
E o o
q q vF Fr r
F v cF
μπε π
μ εμ ε
= =
= =
26072008
6
FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
7
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
LA LEY DE BIOT-SAVART
Contribucion diferencial del campo magnetico( dB ) en el punto P generado por un tramo
diferencial ( dl ) de conductor con corriente ( I )
2
ˆ4
o q v x rBr
μπ
=
Tenemos que adaptar la expresioacuten para el campo B de una carga al de un ldquoflujordquo de cargas
26072008
7
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
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- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
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- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
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- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
CAMPO MAGNEacuteTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE
LA LEY DE BIOT-SAVART
El campo magneacutetico total generado por varias cargas en movimiento es la suma vectorial de los campos
generados por las cargas individuales
VER ANIMACIOacuteN260720088FLORENCIO PINELA - ESPOL
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
dq = n(Adl)e
24o ddq v sendB
rμ φπ
=
24o qvsenB
rμ φπ
=
2
( )4
o dnAdle v sendBr
μ φπ
=
24o Id ls e nd B
rμ φπ
=2
ˆ4
oI dlxrdBr
μπ
=
Campo generado por una carga q movieacutendose con
velocidad v
2
( )4
o dnAv e dlsendBr
μ φπ
=
260720089FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
24o i d lsendB
rμ φπ
=
r - es la magnitud del vector posicioacuten r eacuteste vector apunta desde el diferencial dl del conductor hasta el punto p donde se mide la contribucioacuten del campodl - es la magnitud del vector dl eacuteste vector es tangente alconductor y apunta en la direccioacuten de la corriente convencional
Expresioacuten vectorial
Expresioacuten escalar
2607200810FLORENCIO PINELA - ESPOL
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Φ- Representa el aacutenguloformado entre los vectores dl y r
μo - Es una constante conocida como permeabilidad magneacutetica delespacio libre (vaciacuteo) en el sistema internacional de unidades suvalor es 4πx10-7 WbAm oacute (TmA)
24o i d lsendB
rμ φπ
=
70 2
N4 10A
μ π minus= times
2607200811FLORENCIO PINELA - ESPOL
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
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- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
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- Slide Number 11
- Slide Number 12
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- Slide Number 16
- Slide Number 17
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- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
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- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
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- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
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- Solenoides
- El Toroide
-
I
dl
r
dB
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
2607200812FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
CAMPO MAGNEacuteTICO DE ALAMBRES RECTOS
2607200813FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
2
ˆ4
o I d lxrdBr
μπ
=
VER ANIMACIOacuteN
CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO EN LA VECINDAD (FUERA) DE UN ALAMBRE RECTO
2607200814FLORENCIO PINELA - ESPOL
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
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- Slide Number 16
- Slide Number 17
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- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Mientras maacutes nos aproximamos al alambre el campo se vuelve maacutes intenso
Observe que el campo B es siempre tangente a una liacutenea
de campo
El campo magneacutetico ldquocirculardquo alrededor del alambre
2607200815FLORENCIO PINELA - ESPOL
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
24 rdlseni
dB o θπμ
=
int int== 24 rdlseni
dBB o θπμ
24oi dlsenB
rsaquemos las constantesfuera de la integral
μ θπ
= int
iquestPodemos sumar (integrar) esta contribucioacuten (dB) para encontrar el campo total en el punto P generada por un tramo de una longitud L
iexclSi ya que todas las contribuciones dB apuntan en la misma direccioacuten
Recuerde que es una integral de liacutenea aquiacute vemos 3 ldquovariablesrdquo
El punto P y el alambre se encuentran en el plano de la ldquopizarrardquo
2607200816FLORENCIO PINELA - ESPOL
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Rsenr
θ =
int=rR
rdli
B o24π
μ
int= 34 rdliR
B o
πμ
( )3 22 24oiR dlB
R l
μπ
=+
int
222 lRr +=
Pongamos r y θ en funcioacuten de l
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
24oi dlsenB
rμ θπ
= int
2607200817FLORENCIO PINELA - ESPOL
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
intminus +=
b
a
o
lRdliR
B2
3)(4 22πμ
32 2 24 ( )
oiR dlBR l
μπ
=+
int0
2607200818FLORENCIO PINELA - ESPOL
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Integrales uacutetiles de recordar
3 122 2 2 22 2
1 (1)( )( )
dx xa x ax a
=++int
3 122 2 22 2
1 (2)( )( )
xdxx ax a
= minus++int
Utilicemos el resultado de la integral (1)
322 24 ( )
boa
iR dlBR l
μπ minus
=+int 1
22 2 2
14 ( )
b
o
a
iR lBR l R
μπ
minus
⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
Este resultado lo podemos simplificar2607200819FLORENCIO PINELA - ESPOL
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
(cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
Alambre muy largo (infinito) o R es pequentildea comparada con la longitud del alambre los aacutengulos α y β tienden a cero grados
(cos 0 cos 0 )4
o ooiBR
μπ
= +
2oiBR
μπ
=
1 12 22 2 2 24 ( ) ( )
oi b aBR b R a R
μπ
⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
a b
α β
P
R
Vaacutelida para puntos ubicados fuera del
alambre
2607200820FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Campo magneacutetico generado por dos alambres paralelos perpendiculares a la
pizarra en puntos sobre el eje ldquoxrdquo
(1)ˆ( )
2 (2 ) 2 (4 )o o
totalI IB jd d
μ μπ π
⎡ ⎤= minus minus⎢ ⎥⎣ ⎦
2607200821FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR UN TRAMO DE ALAMBRE RECTO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200822FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
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- Slide Number 14
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- Slide Number 22
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- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN LOS PUNTOS P Y Q GENERADO POR LOS DOS ALAMBRES RECTOS Y MUY LARGOS QUE TRANSPORTAN LA MISMA CORRIENTE
(los alambres llevan corriente perpendicular al plano de la figura)
2607200823FLORENCIO PINELA - ESPOL
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Una laacutemina conductora muy larga de ancho w y espesor muy delgado d transporta corriente I como se indica en la figura Determine el campo magneacutetico en el punto p ubicado a una distancia b sobre el plano del conductor
2607200824FLORENCIO PINELA - ESPOL
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
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- Slide Number 9
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- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Ri
B o
πμ2
=
2 ( )oIdB
w b xμ
π=
+ minusI I
wd dxd=
dxI Iw
=
2 ( )oIdxdB
w w b xμ
π=
+ minus
02
woI dxBw w b x
μπ
=+ minusint
Dividimos la laacutemina en un conjunto muy grande de ldquoalambresrdquo muy largos de
ldquodiaacutemetrordquo dx
Adaptamos eacutesta expresioacuten para el ldquoalambrerdquo
2607200825FLORENCIO PINELA - ESPOL
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
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DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
24oI dlsendB
rμ απ
= 0B dBperp= perp=int
B dB dB cosθ= =int int0
24I dl senB cos
rμ α θπ
= intcos
1
ar
sen
θ
α
=
=
34oI adlB
rμπ
= int
Por simetria las componentes perpendiculares a ldquoxrdquo se cancelan
Suma de todas las contribuciones paralelas a ldquoxrdquo
α aacutengulo entre dl y r
2607200826FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo magneacutetico en un punto p ubicado sobre el eje de una espira circular con corriente
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
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- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
34o IaB d l
rμπ
= int
322 2 (2 )
4 ( )oIaB a
x aμ π
π=
+2
2 2 3 2ˆ
2( )oIaB i
x aμ
=+
Espira con corriente Regla de la mano derecha
Campo similar al generado por un magneto
2607200827FLORENCIO PINELA - ESPOL
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2o IBa
μ=
Para un arco de circunferencia 2 2
oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Campo en un punto en el centro de una espira circular (x=0)
Para cualquier punto sobre el eje de la espira
Ver animacion2607200828FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
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- Slide Number 11
- Slide Number 12
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- Slide Number 24
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- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DEL CAMPO MAGNETICO EN EL PUNTO C GENERADO POR UN ALAMBRE DOBLADO COMO SE INDICA EN LA FIGURA
2607200829FLORENCIO PINELA - ESPOL
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
24o i d lsendB
rμ φπ
=
24oI rddB
rμ θπ
=
2 2oIBr
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
22 2
oIBr
μ ππ
⎛ ⎞= rarr⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
oIBr
μ= Entrando al plano
en el punto C
Φ Angulo formado entre dl y r
dB entrando en el plano en el punto C
2607200830FLORENCIO PINELA - ESPOL
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Slide Number 11
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- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
4oIBr
μ=
1 2B B B= +
1 2
1 14oIB
R Rμ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠Entrando al plano del papel
en el punto C
Campo generado por un arco de circunferencia
Las contribuciones de los dos tramos circulares estan en la
misma direccion
Los tramos horizontales no contribuyen al campo en C
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2607200831FLORENCIO PINELA - ESPOL
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
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DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
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- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
La corriente en cada uno de los alambres estaacute inmersa en el campo generado por la corriente vecina
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32
FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
2607200833FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
2607200834FLORENCIO PINELA - ESPOL
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
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- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
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- Solenoides
- El Toroide
-
1 1 2 90odF I dlB sen=
21 1 2
o IdF I dld
μπ
=
1 21 02
LoI IF dld
μπ
= int 1 21
2oI IF
L dμπ
=Corrientes en la misma direccioacuten se atraenCorrientes en direcciones contrarias se repelen
Ver animacion
dF IdlxB=
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LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
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1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
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RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
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DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
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Para R2 lt r lt R3
2 22
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( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
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- Solenoides
- El Toroide
-
LA ESPIRA RECTANGULAR Y EL ALAMBRE MUY LARGO SE ENCUENTRAN SOBRE UN PLANO HORIZONTAL DETERMINE LA MAGNITUD Y DIRECCION DE LA FUERZA MAGNETICA ENTRE EL ALAMBRE RECTO Y LA ESPIRA
1 21
2oI IF
L dμπ
=
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1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
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RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
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dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
49
FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
- Slide Number 17
- Slide Number 18
- Slide Number 19
- Slide Number 20
- Slide Number 21
- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
1 2F F F= minus
1 21
12oI I LF
dμπ
=
2
1 2
1 1 ˆ2oI LF j
d dμπ
⎛ ⎞= minus⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las fuerzas F3 y F4 se cancelan
1 22
22oI I LF
dμπ
=
d1=003m d2=008m L=01m
2607200835FLORENCIO PINELA - ESPOL
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
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- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
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- Solenoides
- El Toroide
-
RESUMEN LEY DE BIOT-SAVART
24o i d lsendB
rμ φπ
= (cos cos )4
oiBR
μ β απ
= +
2o IBR
μπ
=
2
2 2 3 22( )oIaB
x aμ
=+
2 2oIBa
μ θπ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ALAMBRES RECTOS
ALAMBRES RECTOS MUY LARGOS
ESPIRAS CIRCULARES
SEGMENTO CIRCULAR2607200836FLORENCIO PINELA - ESPOL
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
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dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
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2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
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- Slide Number 20
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- Slide Number 22
- Slide Number 23
- Slide Number 24
- Slide Number 25
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- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
LA LEY DE AMPERE
La ley de Ampere es de mucha utilidad en los casos que presentan extrema simetriacutea muy
similar a la ley de Gauss para el campo eleacutectrico esta ley es de faacutecil aplicacioacuten en los casos que presentan distribuciones simeacutetricas de campos
magneacuteticos producidos por determinadas configuraciones de conductores con corriente
26072008
37
FLORENCIO PINELA - ESPOL
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
26072008
40
FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
- Slide Number 10
- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
- Slide Number 14
- Slide Number 15
- Slide Number 16
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- Slide Number 22
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- Slide Number 24
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- Slide Number 26
- Slide Number 27
- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
dl
Superficie S atravesada por la corriente I
Corriente neta I
Trayectoria cerrada l
B
La ley de Ampere establece que la suma de todos losproductos Bdl a lo largo de la trayectoria cerrada l(circulacioacuten del campo magneacutetico) es directamenteproporcional a la corriente neta que atraviesa la superficie Slimitada por la trayectoria l
B dl Iαsdotint
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
La suma de todos los productos Bdl a lo largo de una trayectoria cerrada es proporcional a la corriente neta I que la encierra
2607200838FLORENCIO PINELA - ESPOL
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
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- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
times I
Integral alrededor de una trayectoria cerrada hellip con suerte que sea simple
Corriente ldquoencerradardquo por la trayectoria
Usualmente la trayectoria cerrada coincide con una liacutenea de induccioacuten
2607200839FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
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DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Solenoides
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Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
1 Dada la distribucioacuten de corrientes deducir la direccioacuten delcampo magneacutetico
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2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
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CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
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La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
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DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
26072008
48
FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
26072008
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
26072008
52
FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
26072008
53
FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
- Slide Number 9
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- Slide Number 11
- Slide Number 12
- Slide Number 13
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- Slide Number 28
- Slide Number 29
- Slide Number 30
- Slide Number 31
- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
- Slide Number 42
- Slide Number 43
- Slide Number 44
- Slide Number 45
- Slide Number 46
- Slide Number 47
- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
2 Elegir un camino cerrado apropiado atravesado por corrientes y calcular la circulacioacuten del campo magneacutetico Generalmente el camino cerrado coincide con una liacutenea de campo magneacutetico
a) Corriente ldquopositivardquo por convencioacuten
b) Corriente ldquonegativardquo por convencioacuten
2607200841FLORENCIO PINELA - ESPOL
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
2607200844FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
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( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
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o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2607200847FLORENCIO PINELA - ESPOL
Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
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- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
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- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
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- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
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- El Toroide
-
3Determinar la intensidad de la corriente (corriente neta) que atraviesa el camino cerrado
4 Aplicar la ley de Ampegravere y despejar el moacutedulo del campo magneacutetico
2607200842FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO GENERADO POR UN CONDUCTOR RECTO Y MUY LARGO CON CORRIENTE
Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
2607200843FLORENCIO PINELA - ESPOL
La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
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Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
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DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
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Para R2 lt r lt R3
2 22
2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
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( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
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( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
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- LA LEY DE AMPERE
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- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
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Campo magneacutetico producido por una corriente rectiliacutenea
Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio R centrada en la corriente rectiliacutenea y que coincida con una liacutenea de induccioacuten
bull El campo magneacutetico B es tangente a la circunferencia de radio r paralelo al vector dl
bull El campo magneacutetico B tiene el mismo moacutedulo en todos los puntos de dicha circunferencia
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La circulacioacuten (el primer miembro de la ley de Ampegravere) vale
Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
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Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
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oIB rR
μπ
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0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
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2 22
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( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
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0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
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( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
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( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
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o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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Llegamos a la misma expresioacuten obtenida aplicando la ley de Biot y Savart
cos 2B dl Bdl B dl B rθ πsdot = = =int int int
2 oB r iπ μ=
2o iBr
μπ
=
La corriente rectiliacutenea i atraviesa la circunferencia de radio r
Despejamos el moacutedulo del campo magneacutetico B
El campo magneacutetico para puntos fuera del cable se comportaigual que si la corriente circulara a lo largo de su eje
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Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
=0
2IBr
μπ
=22
oIB rR
μπ
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0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
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2 23 2
( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
2 22
2 23 2
( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
2 22
2 23 2
( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
2 232 23 2
12
o oI R rBR R r
μπ
⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
a
a ltlt L
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
- Slide Number 8
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- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
- Slide Number 33
- Slide Number 34
- Slide Number 35
- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
- Slide Number 38
- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
- Slide Number 41
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- Slide Number 43
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
- Slide Number 50
- Slide Number 51
- Solenoides
- El Toroide
-
Para r lt R
0(2 ) B r Iπ μ= 2
2
I rI R
ππ
=
22oIB rR
μπ
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μπ
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μπ
=
0 (2 )oB dl BdlCos B dl B rπrarr rarr
sdot = = =int int int
oB dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200845FLORENCIO PINELA - ESPOL
DETERMINE EL VALOR DEL CAMPO MAGNETICO EN LA VECINDAD DE UN CABLE
COAXIAL
2607200846FLORENCIO PINELA - ESPOL
Para R2 lt r lt R3
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( )( )o
r RII R R
ππ
minus=
minus
0 (2 )oBdlCos B d rB dl l B πrarr rarr
sdot = = =int intint
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( )( ) or RI IR R
minusprime =minus
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( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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o oI R rBR R r
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⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
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a
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
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COAXIAL
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Para R2 lt r lt R3
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sdot = = =int intint
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( )1( )neta or RI IR R
⎛ ⎞minus= minus⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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(2 ) o oR rB r IR R
π μ⎛ ⎞minus
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o oI R rBR R r
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⎛ ⎞minus= ⎜ ⎟minus⎝ ⎠
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Campo B de un Solenoide
Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
a
bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
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Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
L
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bull Para calcular correctamente el campo B deberiacuteamos usar Biot-Savart y sumar el campo de cada uno de los diferentes lazos
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
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o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
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Un campo magneacutetico constante puede (en principio) ser producido por una laacutemina yen de corriente En la praacutectica sin embargo un campo magneacutetico constante es amenudo producido por un solenoide
bull Si a ltlt L el campo B contenido dentro del solenoide en direccion axial es constante en magnitud Bajo eacutesta condicioacuten podemos calcular el campo usando la Ley de Ampere
bull Un solenoide es definido por una corriente i que fluye a traveacutes de un alambre que se dobla en nvueltas por unidad de longitud sobre un cilindro de radio a y longitud L
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Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
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sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
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Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
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bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
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bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
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Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
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o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
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0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
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bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
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- Fuerza magneacutetica entre conductores paralelos
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- Slide Number 36
- LA LEY DE AMPERE
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- Slide Number 39
- Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampegravere son similares a los de la ley de Gauss
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- Campo B de un Solenoide
- CAMPO MAGNEacuteTICO DE UN SOLENOIDE IDEAL
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- Solenoides
- El Toroide
-
Las liacuteneas de campo magneacutetico salen de uno de los extremos del solenoide y retornan por el otro
Las liacuteneas de campo magneacutetico se vuelven paralelas en la parte central del solenoide
2607200850FLORENCIO PINELA - ESPOL
o netaB dl Bdl BL Iμrarr rarr
sdot = = =int intIneta = la corriente que atraviesa el
rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
2607200851FLORENCIO PINELA - ESPOL
Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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FLORENCIO PINELA - ESPOL
- Slide Number 1
- Campo Magneacutetico Causado por Corrientes
- Caacutelculo del Campo Eleacutectrico
- Caacutelculo del Campo Magneacutetico
- Slide Number 5
- La paradoja que dio origen a la teoriacutea especial de la relatividad
- LA LEY DE BIOT-SAVART
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rectaacutengulo = nLI
BL = μonLIB = μo n I
n nuacutemero de espiras por unidad de longitud
EL SOLENOIDE IDEAL
0B dlsdot =int Para las trayectorias excepto a-b
Tomemos como trayectoria de integracioacuten el rectaacutengulo
o neta
trayectcerrada
B dl Iμrarr rarr
sdot =int
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Solenoides
El campo magneacutetico de un solenoide es esencialmente ideacutentico al de una barra imantada
La graacuten diferencia es que nosotros podemos encender ldquoonrdquoy apagar ldquooff ldquo Y eacutel atraerepele otro imaacuten permanente siempre atrae materiales ferromagneacuteticos
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El Toroide
bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
bull B=0 fuera del toroide (Considere integrar B sobre un ciacuterculo fuera del toroide)
bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
Aplique Ley de Ampere
0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
=
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bull El Toroide es definido por un numero total N de vueltas con corriente i
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bull Para encontrar B dentro considere un ciacuterculo de radio r centrado en el centrodel toroide
(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
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(2π ) o netaB dl B r Iμbull = =intnetaI Ni=
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0 netaB dl μ Ibull =int0
2μ NiBπr
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