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Capítulo 10

Potenciales y campos

10.1 La formulación del Potencial

10.1.1 escalar y potencial vector

En este capítulo nos preguntamos cómo las fuentes (ρ y J) generan campos eléctricos y magnéticos, es decir, buscamos la solución general de las ecuaciones de Maxwell,

Dados ρ(r, t) y J (r, t), ¿cuáles son los campos E (r, t) y B (r, t)? En el caso estático ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart proporcionar la respuesta. Lo que estamos buscando, entonces, es la generalización de las leyes para configuraciones dependientes del tiempo. Esto no es un problema fácil, y vale la pena empezar por los campos que se representan en términos de los potenciales. En la electrostática nos permitió escribir E como el gradiente de un campo potencial escalar:

En la electrodinámica esto ya no es posible, porque la divergencia de E es distinta de cero. Pero B sigue siendo divergente, por lo que todavía puede escribirse

como en magnetostática. Poniendo esto en la ley de Faraday (iii) resulta

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Aquí hay una cantidad, que no es solamente E, cuyo rotor se anula, por lo tanto puede escribirse como el gradiente de un campo escalar:

En términos de V y A, entonces,

Esto se reduce a la forma antigua, por supuesto, cuando A es constante.La utilización del potencial (Ecs. 10.2 y 10.3) automáticamente cumple las dos

ecuaciones homogénea de Maxwell, (ii) y (iii). ¿Qué le parece la ley de Gauss (i) y la ley de Ampere Maxwell (iv)? Reemplazando la ecuación. 10.3 en (i), nos encontramos con que

esto reemplaza la ecuación de Poisson (a la que se reduce en el caso estático). Reemplazando las ecuaciones. 10.2 y 10.3 en (iv) resulta

o, utilizando la identidad vectorial V x (V x A) = V (V A). - V2A, y reordenando un poco los términos:

Las ecuaciones 10.4 y 10.5 contienen toda la información de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo 10.1

Determinar la carga y la distribución de corriente que daría lugar a los potenciales

donde k es una constante, y Solución: En primer lugar vamos a determinar los campos eléctricos y magnéticos, utilizando las ecuaciones. 10.2 y 10.3:

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(mas para x> 0, menos para x <0). Estos son para Ixl <c.t, cuando Ixl> c.t, E = B = 0(fig. I0.1). En el cálculo de todas las derivada a la vista, se obtiene

Como se puede comprobar fácilmente, las ecuaciones de Maxwell son satisfechas, con ρ y J ambas cero. Nótese, sin embargo, que B tiene una discontinuidad en x = 0, y esto indica la presencia de una corriente superficial K en el plano yz; la condición de contorno (iv) en el ejemplo. 7.63 da

y por lo tanto

Evidentemente, tenemos aquí una corriente superficial uniforme que circula en la dirección z sobre el plano x = 0, que se inicia en el instante t = 0, y aumenta de forma proporcional a t. Tenga en cuenta que las noticias viajan (en ambas direcciones) a la velocidad de la luz: para los puntos de Ix I> c.t el mensaje (que la corriente está fluyendo ahora) no ha llegado todavía, por lo que los campos son iguales a cero.

Problema 10.1 Demostrar que las ecuaciones diferenciales de V y A (Ecs. 10.4 y 10.5) se puede escribir en la forma más simétrica

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Problema 10.2 Para la configuración en el ejemplo. 10.1, considera una caja rectangular de longitud l, anchura W, y la altura h, situado a una distancia d por encima del plano yz (Fig. 10.2).

(a) Determinar la energía en la caja en el tiempo t1 = d / c, y en t2 = (d + h) / c. (b) Encuentre el vector de Poynting, y determinar la energía por unidad de tiempo

que fluye en la caja durante el intervalo t1 <t <t2.(c) Integrar el resultado en (b) de tl a t2 y confirmar que el aumento de la energía (la

parte (a)) es igual al flujo neto.

10.1.2 Transformaciones Gauge (calibre)

Las ecuaciones 10.4 y 10.5 son feas, y es posible que se incline en este momento a abandonar por completo la formulación potencial. Sin embargo, hemos tenido éxito en reducir de seis problemas, para encontrar E y B (tres componentes cada uno), a cuatro: V (uno de los componentes) y A (tres más). Por otra parte, en las ecuaciones. 10.2 y 10.3 no se definen de manera única los potenciales, las que están facultadas para imponer condiciones adicionales sobre V y A, siempre y cuando no modifiquen E ni B. Vamos a trabajar con precisión lo que esto implica: la libertad de calibre. Supongamos que tenemos dos juegos de los potenciales, (V, A) y (V ', A'), que corresponden a los mismos campos eléctricos y magnéticos. ¿En qué medida pueden variar? Escribiendo

Dado que los dos A dan el mismo B, sus productos vectoriales deben ser igual, y por lo tanto

Por lo tanto, se puede escribir como el gradiente de un campo escalar:

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Los dos potenciales también dan el mismo E, por lo que

El término entre paréntesis no depende de la posición (podría, sin embargo, depender del tiempo); llamándolo k (t):

En realidad, puede ser que también se incorpore k (t) en λ, definiendo un nuevo λ a partir de agregarle a la antigua. Esto no afectará el gradiente de A, sino

que sólo añade k(t) a . De ello se deduce que

Conclusión: Para cualquier función escalar vieja λ, podemos añadir con total libertad un

a A siempre que al mismo tiempo se reste de V. Nada de esto afectará a la cantidades físicas E y B. Estos cambios en V y A se denominan transformaciones de gauge. Que puede ser aprovechada para ajustar la divergencia de A, con el fin de

simplificar las "feas" ecuaciones 10.4 y 10.5. En magnetostática, lo mejor era elegir (Ec. 5.61), en la electrodinámica la situación no es tan clara, y

la medida (gauge, calibre) más conveniente depende en cierta medida del problema en cuestión. Hay muchos calibres famosos en la literatura, yo te mostraré los dos más populares. Problema 10.3 Encuentra los campos, y la carga y la distribución actual, que corresponde a

Problema 10.4 Supongamos y, donde , y k son constantes. Buscar E y B, y comprobar que cumplen las ecuaciones de Maxwell en el vacío. ¿Qué condiciones deben imponerse a ω y k?

Problema 10.5 Utilice la función gauge para transformar el potencial en el problema. 10.3, y comentar el resultado.

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10.1.3 Gauge de Coulomb y Gauge de Lorentz*

El Gauge de Coulomb. Al igual que en magnetostática, tomamos

Con esto, la ecuación. 10.4 se convierte en

Esta es la ecuación de Poisson, y ya sabemos cómo resolverla: Tomando V = 0 en el infinito,

No se deje engañar, aunque a diferencia de la electrostática, V por sí mismo no le define a E, usted tiene además que conocer A (Ec. 10.3). Hay algo particular sobre el potencial escalar en el calibre de Coulomb: se determina por la distribución de la carga en el momento actual. Si muevo un electrón en mi laboratorio, el potencial V en la luna de inmediato registra este cambio. Eso parece particularmente extraño a la luz de la relatividad especial, que no permite a ningún mensaje viajar más rápido que la velocidad de la luz. El punto es que V por sí mismo no es una cantidad física medible, todo lo que un hombre en la luna puede medir es E, y lo que implica también A. De alguna manera el potencial vector constituye el calibre de Coulomb, mientras que V refleja instantáneamente todos los cambios en ρ, la combinación no lo hace; E cambiará sólo después de que haya transcurrido tiempo suficiente para que la noticia ¡pueda llegar! La ventaja del calibre de Coulomb es que el potencial escalar es particularmente fácil de calcular, la desventaja (aparte de la aparición sin causa de V) es que A es particularmente difícil de calcular. La ecuación diferencial para A (10.5) en el calibre Coulomb se lee

El calibre Lorentz. En el calibre Lorentz tomamos

Esto está diseñado para eliminar el término medio de la ecuación. 10.5 (en lenguaje del problema. 10.1, que establece L = 0). Con esto

Mientras tanto, la ecuación diferencial para V, (10.4), se convierte en

*"Hay quienes se preguntan si esto debe ser atribuido a HA Lorentz o LV Lorenz (véase J. Van B1adel, Antenas y Propagación de la revista IEEE 33 (2), 69 (1991)). Pero todos los libros de texto incluyen la t, y para evitar la posible confusión que se adhieren a esta práctica.1 Véase O. L. Brill y B. Goodman. De la mañana. J. Phys. 35.832 (1967).

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La virtud del calibre de Lorentz es que trata a V y a A en condiciones de igualdad: usa el mismo operador diferencial

(llamado de d'Alembert) en ambas ecuaciones:

Este tratamiento democrático de V y A es particularmente agradable en el contexto de la relatividad especial, donde el Dalembertiano es la generalización natural del laplaciano, y las ecuaciones. 10.16 pueden ser considerados como versiones de cuatro dimensiones de la ecuación de Poisson. (En este mismo espíritu, la ecuación de onda, para propagaciones a velocidad c, , podría considerarse como la versión de cuatro dimensiones de la ecuación de Laplace.) En el calibre Lorentz V y A satisfacen las ecuación de onda no homogéneas, con un termino "fuente" (en lugar de cero) a la derecha. A partir de ahora voy a utilizar el calibre de Lorentz exclusivamente, y el conjunto de la electrodinámica se reduce al problema de resolver la ecuación de onda no homogénea para las fuentes especificadas. Ese es mi proyecto para la próxima sección.

Problema 10.6 ¿Cuál de los potenciales en el ejemplo. 10.1, prob. 10.3, y los problemas. 10,4 utilizan el calibre de Coulomb? ¿cuales están en el calibre de Lorentz? (Tenga en cuenta que estos gauges no son mutuamente exclusivos.)

Problema 10.7 En el capítulo 5, se demostró que siempre es posible elegir un potencial vector cuya divergencia sea cero (calibre Coulomb). Demostrar que siempre es posible elegir según sea necesario para el calibre de Lorentz, asumiendo que usted sabe cómo resolver ecuaciones de la forma 10.16. ¿Es siempre posible para tomar V = 0? ¿Qué hay de A = 0?

10.2 Distribuciones continuas

10.2.1 Potenciales Retrasados

En el caso estático, las ecuaciones. 10.16 se reducen a (cuatro copias de) la ecuación de Poisson,

con las soluciones familiares

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donde r , como siempre, es la distancia desde el punto fuente r’ y el punto campo r (Fig.10.3). Ahora, los campos electromagnéticos transportan la "informacion" a la velocidad de la luz. En el caso no estático, por lo tanto, no es el estado de la fuente en este momento lo que importa, sino más bien su condición en algún momento anterior tr (llamado el tiempo retardado) cuando envia el "mensaje". Dado que este mensaje debe

recorrer una distancia r, la demora es de r /c:

La generalización natural de la ecuación. 10,17 para las fuentes no estáticas es por lo tanto

Aquí ρ(r', tr) es la densidad de carga que hubo en el punto r' en el tiempo retardado tr. Debido a que los integrandos se evalúan en el momento de retraso, estos se denominan potenciales retardados. (hablo de "el " tiempo de retraso, pero por supuesto, las partes más distantes de la distribución de carga tienen tiempos de retardo anteriores a las mas cercanas. Es como el cielo de la noche. La luz que vemos ahora dejo cada estrella en el tiempo retardado correspondiente a su distancia hasta la Tierra.). Tenga en cuenta que los potenciales retardados reducen correctamente la ecuación. 10,17 al caso estático, por lo que ρ y J son independientes del tiempo. Bueno, todo esto suena razonable y sorprendentemente sencillo. Pero ¿estamos seguros de que está bien? Yo en realidad no derive estas fórmulas para V y A, lo único que hice fue invocar un argumento heurístico* ("la informacion electromagnética viaja a la velocidad de la luz") para hacerlos parecer posibles. Para demostrar que valen, tengo que mostrar que satisfacen la ecuación de onda no homogénea (l0.16) y que cumplen con la condición de Lorentz (10.12). En caso de que crea que estoy siendo exigente, permítame advertirle que que si se aplica el mismo argumento para los campos obtendrá por completo una respuesta incorrecta:

*capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. ejemplos extraídos de Cómo resolverlo (How to solve it) Si no consigues entender un problema, dibuja un esquema. Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes deducir de ella (razonando a la inversa).

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como cabría de esperarse si la misma "lógica" actuo para la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart. Vamos a detenernos y ver, entonces, que el potencial escalar retrasado satisface la ecuación. 10.16; esencialmente el mismo argumento serviría para el potential vector . Voy a dejar para usted (Prob. 10.8) comprobar que los potenciales retardados obedecen la condición de Lorentz. Al calcular el laplaciano de V (r, t), el punto crucial para notar es que el integrando (en la ecuación 10.19.) depende de r en

dos lugares: de manera explícita, en el denominador (r = │r – r’│), e

implícitamente, a través de tr = t - r / c, en el numerador. Por lo tanto

(el punto denota diferenciación con respecto al tiempo) Ahora (Prob. 1.13), por lo que

Tomando la divergencia,

Sin embargo,

como en la ecuación. 10.21, y

(Prob. 1.62), mientras que

(Ec. 1.100). Así que

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lo que confirma que el potencial de retraso (10.19) satisface la ecuación de la onda no homogénea ~ (10.16). qed

2 te voy a dar la prueba directa, pero engorrosa, para un argumento indirecto inteligente ver MA Heald y 1.Marion B., la radiación electromagnética clásica, 3 ª ed., Secc. 8.1 (Orlando, FL: Saunders (1995)).

3 Nota que , ya que tr = t – r/c, y r es independiente de t.

Por cierto, esta prueba se aplica igualmente a los potenciales avanzados,

en el que la carga y las densidades de corriente se evalúan en el momento avanzado

Se cambian pocos signos, pero el resultado final no se ve afectada. A pesar de que los potenciales avanzados son totalmente coherentes con las ecuaciones de Maxwell, violan el principio más sagrado de toda la física: el principio de causalidad. Esto sugiere que los potenciales ahora dependerán de lo que la carga y la distribución actual serán en algún momento en el futuro, , es decir, el efecto precede a la causa. A pesar de que los potenciales avanzados son de cierto interés teórico, no tienen significado físico directo4 .

Example 10.2

Un alambre recto infinito lleva la corriente

Es decir, una corriente constante de I0 se activa bruscamente en el instante t = 0. Buscar los campos eléctricos y magnéticos resultantes.

Solución: El cable es de suponer eléctricamente neutro, por lo que el potencial escalar es cero. Permita que el cable se encuentre a lo largo del eje z (Fig. 10.4), el potencial vector de retraso en el punto P es

Para t < s/ c, la "informacion " no ha llegado todavía a P, y el potencial es cero. Para t > s/c, sólo el segmento

contribuye (fuera de este rango tr es negativo, por lo que I (tr) = 0), por lo que

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4 Debido a que el d’ Alambertiano involucra a t2 (en lugar de t), la propia teoría es invariante en la inversión del tiempo, y no distingue "pasado" de "futuro". La asimetría temporal se introduce al seleccionar los potenciales retrasados con preferencia a los avanzados, lo que refleja la (no razonable!) creencia de que las influencias electromagnéticas se propagan hacia delante, no hacia atrás, en el tiempo.

El campo eléctrico es

y el campo magnético es

Observe que cuando t →∞ recuperamos el caso estático:

Problema 10.8 Compruebe que los potenciales retardados satisfacen la condición de calibre de Lorentz. [Sugerencia: demuestre primero que