model wektorowy: jeśliV l ξ⋅ j =l +s s , to gdzie ξ × lξ ... · Wojciech Gawlik - Wstęp do...

Wojciech Gawlik - Wstęp do Fizyki Atomowej, 2008/09. wykład 6 1/14

J

L

S

• Dla oddz. spin-orbita model wektorowy daje: VLS = a3 l1 • s1+ a4 l2 • s2 = A L•S tzn. L & S precesują wokół J a częstość precesji jest miarą siły oddziaływania (A L•S)

Podsumowanie W5:• model wektorowy: jeśli , to gdzie slV

LS

⋅= ξ constslj =+=

⇒ l, s precesują wokół wypadkowego krętu j

• Dla czystego sprzężenia L-S, interwały między składowymi struktury subtelnej spełniają regułę interwałów Landégo )1(

01 00

+=−+

JAEEJJ

Edicm

epEcm

ecm

pem

pH

υσφ 22

2

2223

42

8][

482−×⋅−−+=

• Efekty relatywistyczne:

popr. relatywistyczne:

+

−−=∆212

22

43

jnE

nZE

n

αścisłe wyrażenie dla wodoru (z równ. Diraca):

lsldtd

×=ξ slsdtd

×=ξ


Magnetyzm atomowy: oddział. atomów z polem magnet. – skomplikowane, bo J złożone z różnych krętów,

– konkurencja różnych oddziaływań.

gdy pole = stałe, jednorodne pole B||0z, to:0,,

)(,0

21

21

21

==−=×==

zzyzxAxBAyBA

rBAV

θκ

µ 2222

22

sin82

rBmqBl

mH zzB ++∆−=

efekty Zeemana i Paschena-Backa

qVAqAqiAqim

H +

+∇⋅+⋅∇+∆−=

22 2

21

κκκ

)(0 CoulombacechowanieAdiA ==⋅∇

υ

θκκκ

2222

2

2

22

sin4

)()(4

rBqrBrBqAqz=×⋅×=

zBzzyxzyxz BlmlBqgradAqixyilxyBgradA µκκ

22)()(21 =−=⋅⇒∂−∂=∂−∂−=⋅

κµ

me

B 2

=

=≡Gaussc

SIc 2

200

2 1µεκ

poprawka diamagnetyczna

• cząstka o ładunku q w polu ),( VA

qVAqpm

H +

−=

2

21

κ

µB = magneton Bohra

ogólnie BlB B

⋅=⋅ µµ


• atom w polu B:

H=H0+TES+TLS+W [

( )]ii

iiiiB

iBS

iii

iB

rBmqBslW

BsB

rBmqBlW

i

θκ

µ

µµ

θκ

µ

2222

2

2222

2

sin8

)2(

2

sin8

∑∑

∑

+⋅+=

⋅+=⋅−

+⋅=

rzędy wielkości dla l=1, B=1T :

JmrrBmq

JBm

eB

iiii

B

28102222

2

23

1010sinsin8

102

−−

−

≈≈=

≈=

θθκ

µ

dla niskich stanów zaniedb. popr. diamagnet. (<r> ∝ n2 )

oddz. atomu z polem – konieczne przybliżenia zależne od relacji TES ,TLS , W

• efekt Zeemana w słabym polu dla sprzęż. L-S:

)2( SLBWB

+⋅= µ

BBBSLW SLBB

⋅−=⋅+−≡⋅+= µµµµµ )()2(

kryterium słabego pola; W<< str. subt. ⇒ rach. zaburzeń wzgl. poziomu 2S+1LJ

⇓

!


poprawka od oddz. z zewn. polem (L-S):

W komutuje z Jz, ⇒ macierz (W) – diagonalna w bazie |E0 JmJ>

rach perturbacyjny możliwy, gdy: 10''

0',<<

−JJ

mm

EE

WJJ

problem – obliczenie el. macierzowego z operatora L+2S w bazie stanów J, mJ , gdy zBJSLJSL

zzz0||,2,2

≠+≠+

podstawa modelu wektorowego: tylko J jest całką ruchu, wektor A precesuje wokół J→ określony tylko jego rzut A||(częstość precesji - miarą J•A)

J

AA|| JcAA

==||

tw. Wignera-Eckarta (tw. rzutowe): dla operatorów wektorowych w przestrz. |JmJ> {J2, Jz}:

JJ

AJA

2

⋅=

)2(,'|| 00, ' SLBWJmEWJmEW BJJmm JJ

+⋅=⟩⟨= µ

( zastosowaliśmy już na W5 licząc VLS dla at.2-el.)


][2

)()2( 222212

2222 LSJJ

SJSJLSJLSJJSJJSLJ

−++=⋅−+=

−==⋅+=+⋅=+⋅

czynnik Landego

JgSL

=+ 2⋅J

)1()]1()1()1([)1( 2

1

++−+++++

=JJ

LLSSJJJJg 0)1(

)]1()1()1(211

<>≡

++−+++

+= JgJJ

LLSSJJg

JJ mmJJqJJqJmgJmEJJmE

JJAJJmEAJmE

',0000 '||

)1(||'|| δ=⟩⟨

+⟩⋅⟨

=⟩⟨

JgSL

=+ 2

2JgJg

=⋅J

czynnik Landego (Landé factor)

• problem: znalezienie el. macierz. w bazie J, mJ)2( SLBWB

+⋅= µ→ tw. Wignera-Eckarta dla A ≡ L+2S:

• równ. dla el.macierz. ⇒ równ. operatorów:

JJ

AJA

2

⋅=


[ ]

( )

BmgBJgEJ

LSJJ

JSJLJ

JJJ

JJS

JJL

SL

JJ

JBBB

BB

BS

BLJSJLJ

µµµ

µµ

µµµµ

µµµ

=⋅=∆⇒−+

−=

=⋅+⋅−=

⋅+

⋅−=

=−=

−==+=

2

222

2

2

3

2||

2||

2

ef. Zeemana w modelu wektorowym

• oddz. B z atomem =)(

SLB µµµµ

+=⋅−

B || 0z

µµS

µL

SSLL BSBL

µµµµ 2, −=→−=→•

∀J, 2J+1 równoodległych podpoziomów

JS

L

• L i S precesują wokół J

µJ

• gdy słabe pole mgt., precesjaL i S niezaburzona →µL i µS precesują wokół J→µ nie pokrywa się z kierunkiem J ale szybko (~L•S) precesuje wokół J

• przy obliczaniu ∠(µ, B) szybko oscyluje, ale ma średnią wartość = ∠(J, B)

⇒

BE

⋅−=∆ µ)

)

BEJ

⋅−=∆ µ


klasyczny „normalny ” ef. Zeemana:

S=0 (singlety), J=L, µ ||J=L

⇒ gL=1, efekt czysto orbitalny,

ν0 ν0 , ν0± ∆E/h

„normalny” tryplet Lorentzaν

BmE LBµ=∆L=2

2 1 0 -1 -2

Dowód ∃ spinu el. 1) str. subtelna, dubletowa str. widm alkaliów,

2) „anomalny” ef. Z.

3) Doświadczenie Sterna-Gerlacha

Gdy L=0, J=S, ⇒ gS=2, efekt czysto spinowy, (naprawdę gS≈ 2+0.001 QED!)

kwestia reguł wyboru później

Gdy S ≠ 0, J ≠ L, gJ≠ 1

⇒ Różne rozszczepienia, dla różnych J→ „anomalny” efekt Zeemana

Nobel 1908 (+ H.A. Lorentz)

BmE LBµ=∆L=1

1 0 -1mL

∀ kombinacji L (|∆m|≤1)


Przykład – sprzężenie. L-S + ef. Zeemana dla konfiguracji. p2

H0

p 2

[15]↑

stopień degeneracji

+W

↓mJ

B ≠ 0

w sumie15 podpoziomów

∀J 2J+1 równoodległych podpoziomów Zeemanowskich

H0 + VES

L=0, S=0

L=2, S=0

L=1, S=1[(2L+1)(2S+1)]→

H0+VES+VLS

J=1 3P1

J=2 3P2

J=0 3P0

J=2 1D2

J=0 1S0

[2J+1]→


np. konfiguracja p2

wprowadzamy poprawkę TLS ;

SLLS

zzyyxxiii iLS

mmAT

SLSLSLASLAslaT

=

++=⋅=⋅=∑ )(

Silne pola magnetyczne – ef. Paschena-Backa (sprzęż. L-S)• Silne pole, tzn. TLS < W < TESzaniedb. oddz. L • S → hamiltonian H0+TES+ W,

• bez pola, f. falowe {|k⟩ = |E0LS mLmS ⟩} – wartości wł. E0 (2L+1)(2S+1) x zdegenerowane

• w bazie |E0LS mLmS ⟩, Lz i Sz są diagonalne:

SS

LL

mmSSLzSL

mmLSLzSL

mmLSmESmLSmE

mmLSmELmLSmE

'00

'00

''

''

δ

δ

=⟩⟨

=⟩⟨

zkkSLBSLzzzBSLkk BmmmLSmEBSLmLSmEW '00

' )2('')2( δµµ +=⟩⋅+⟨≡• poprawka na oddz. z B:

k mS mL mL+2mS

1 -1 -1 -3

2 -1 0 -2

3 -1 1 -1

4 0 -1 -1

5 0 0 0

6 0 1 1

7 1 -1 1

8 1 0 2

9 1 1 3

+⇒ SLSLB mAmmmBE ++=∆ )2(µ

A mL mS

A

0

–A

0

0

0

–A

0

A


Przykład efekt Paschena-Backa dla konfiguracji p2

k mS mL mL+2mS

1 -1 -1 -3

2 -1 0 -2

3 -1 1 -1

4 0 -1 -1

5 0 0 0

6 0 1 1

7 1 -1 1

8 1 0 2

9 1 1 3

A mL mS mS+mL

A -2

0 -1

–A 0

0 -1

0 0

0 1

–A 0

0 1

A 2

mS+mL to „dobra”

liczba kwantowa


Pola pośrednie - zaburzenia od oddz. z polem i LS tego samego rzędu

⇒ Trzeba stosować poprawkę SLABSLW B

⋅+⋅+= )2(µ bezpośrednio do H0+VES

J, mL, mS nie są dobrymi liczbami kwant. – W nie komutuje z J2 ani z Lz , Sz . Komutuje z Jz=Lz+Sz⇒ mJ=mS + mL to dobra liczba kwantowa

- nieliniowa zależność energii podpoziomu m od pola mgt. (konieczna dokładna diagonalizacja – oblicz. numeryczne)

-reguły: 1) mJ = const (B); 2) podpoziomy o tym samym mJsię nie przecinają (inne mogą)


Wpływ jądra na str. poz. elektronowych w atomie• skończona masa jądra – efekt izotopowy:

δV

r

VC pot. kulombowski

V(r)b) efekt objętościowy

VM

M

VM+δ M

M+δ M

- ważny dla cięższych atomów

- inf. o rozkładzie ładunku w jądrze

mMm

mM≠

+=µ

a) efekt masy

⇒ ∆EM, M+1∝ M –2 ważny dla lekkich atomów

µ→+= meVm

pH ,2

2


⇒ struktura nadsubtelna (magnetyczna)• spin jądra

⇒ [ ])1()1()1(2

+−+−+=∆ JJIIFFaE

,IJF

+=I ≠ 0 ⇒ IgBII

µµ = (gI = jądrowy czynnik Landego)

5a

4a

3a

5

4

3

2

F

⇒ JIaW

⋅= << WLS a = a(J)

(reg. interwałów)

2P3/2

I =7/2np.


⇒ str. nadsubtelna (elektryczna)

Q < 0

Q > 0

7/28 b

13/28 b

5/28 b

15/28 b

5a

4a

3a

5

4

3

2

F2P3/2

I=7/2

[Q =eQzz (I ≥ 1)]

⇒)1()1(2

)1()1()1(43

−−++−+

=∆JJII

JJIICCbE

• niesferyczny rozkład ład. jądra

moment kwadrupolowy oddziałuje z gradientem pola

zzQeb Φ=

0

2

4πε)1()1()1( +−+−+= JJIIFFC

02

2

≠∂∂

=∂∂

−≡ΦzV

zEz

zz potrzebne pole niejednorodne;

trzeba L>0

model wektorowy: jeśliV l ξ⋅ j =l +s s , to gdzie ξ × lξ ... · Wojciech Gawlik - Wstęp do...

Documents

Transcript of model wektorowy: jeśliV l ξ⋅ j =l +s s , to gdzie ξ × lξ ... · Wojciech Gawlik - Wstęp do...