Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Resolución de Triángulos 1º Bachillerato o antiguo...

1

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

HHiippootteennuussaa :: aa CCaatteettooss :: bb yy cc PPrrooyyeecccciióónn ddeell ccaatteettoo bb :: PPbb PPrrooyyeecccciióónn ddeell ccaatteettoo cc :: PPcc AAllttuurraa :: hh ÁÁnngguulloo rreeccttoo :: == 9900ºº ÁÁnngguullooss aagguuddooss :: ββ yy γγ

2

RELACIONES MÉTRICAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

2R = Diámetro de la circunferencia circunscrita

º grados seagesimales rad radianes g grados centesimales

1.- En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuánto miden los catetos?

LLoo pprriimmeerr qquuee tteenneemmooss qquuee ddaarrnnooss ccuueennttaa,, aall lleeeerr ccoonn ccaallmmaa eell eennuunncciiaaddoo,, eess qquuee uunn ttrriiáánngguulloo iissóósscceelleess,, eess aaqquueell qquuee ttiieennee ddooss llaaddooss iigguuaalleess..

AAccoorrddaaooss,, lloo pprriimmeerroo qquuee ddeebbeerrééiiss ddee hhaacceerr,, eess uunn ddiibbuujjoo,, ppaarraa qquuee sseeaa ttooddoo mmuucchhoo mmááss ggrrááffiiccoo yy mmááss ccoommpprreennssiibbllee..

3

b c Vamos a aplicar el Teorema de Pitágoras: Ahora vamos a sustituir valores en esta fórmula: - Lo primero acordarnos, que como el triángulo es isósceles, se cumple: c = b

Por tanto: b = 4,94 cm y c = 4,94 cm. 2.- Un lado de un triángulo es a y su ángulo opuesto mide 30º. Calcular el valor del lado a, sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es 3. Como siempre, lo primero que haremos, será hacer un dibujo, para verlo claro. Ahora, tenemos que buscar en nuestra memoria, una fórmula que nos ligue el valor de un ángulo, con la medida de una circunferencia, es la siguiente: El Teorema del Seno

4

Ahora, vamos a sustituir valores en esa fórmula: Ya tenemos la fórmula para resolverlo. Comenzamos a trabajar, sustituyendo valores:

Por tanto a = 3. 3.- Calcular el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, sabiendo que el lado a mide 3 cm y en ángulo A mide 60º. Ahora, tenemos que buscar en nuestra memoria, una fórmula que nos ligue el valor de un ángulo, con la medida de una circunferencia, es la siguiente: El Teorema del Seno

Ahora, vamos a sustituir valores en esa fórmula:

5

Comenzamos a trabajar, sustituyendo valores: Para dar una solución coherente, vamos a racionalizar el denominador Por tanto 4.- En un triángulo se conocen el valor de los lados b = 3 m y c = 4 cm, y el ángulo comprendido Â = 60º. Calcular el valor del lado a. Ahora, tenemos que buscar en nuestra memoria, una fórmula que nos ligue el valor de un ángulo, con la medida de una circunferencia, es la siguiente: El Teorema del Coseno: Ahora, vamos a sustituir valores en esa fórmula:

6

Por tanto 5.- Los lados de un triángulo, son b = 1 y c = 1. Calcular el valor del ángulo A. Bien, llegado a este punto, lo que tenemos que buscar, es la fórmula que ligue, el conocer los 3 lados de un triángulo, con la posibilidad de calcular un ángulo. Bien, es la siguiente, que hemos visto anteriormente, y que debemos de tener presente en nuestra memoria, siempre, para la resolución de problemas de este tipo. Vamos a despejar de la fórmula y sustituir, nos queda: b = 1 c = 1 Vamos a sustituir estos valores: Ahora, tan solo tenemos que interpretar este resultado: Cos Â = 0º. ¿Cuál es ángulo, cuyo coseno, tiene por valor 1? Pues el ángulo de 90º. Por tanto, valor del Â = 90º

7

6.- Dos fuerzas de 10 N y de 20 N han dado como resultante un vector, módulo .Determinar el ángulo que forman dichas fuerzas Bien, llegado a este punto, lo que tenemos que buscar, es la fórmula que ligue, el conocer los 3 lados de un triángulo, con la posibilidad de calcular un ángulo. Bien, es la siguiente, que hemos visto anteriormente, y que debemos de tener presente en nuestra memoria, siempre, para la resolución de problemas de este tipo. Vamos a despejar de la fórmula y sustituir, nos queda: Vamos a sustituir estos valores: Ahora, tan solo tenemos que interpretar este resultado: ¿Cuál es ángulo, cuyo coseno, tiene por valor -1/2? Pues el ángulo de 60º en el segundo cuadrante. Entonces: Por tanto, 7.- En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuánto miden los catetos?

8

Si estamos atentas/atentos, ya debemos de conocer, un dato esencial, para poder resolver este problema. ¿Cómo indican qué es el triángulo rectángulo? Ahhhhhhhhhhhhhhhhhh, nos dicen que es isósceles. ¿Qué es un triángulo isósceles? Sencillo: el que tiene 2 lados iguales. Vamos a dibujarlo, como siempre, y poner datos sobre la figura, para verlo mejor. ¿Nos acordaremos del Teorema de Pitágoras? Bueno, vamos a escribirlo, no más sustos: Ahora, puede ser un buen momento, para sustituir valores en la fórmula: Como ya sabemos por el enunciado b = c, hagamos este cambio Por tanto b = 4,95 cm y c = 4,95 cm. 8.- Un triángulo rectángulo tiene un ángulo B = 37º 45´28´´. Calcular el ángulo C. Bien conocemos, el valor del ángulo B, porque nos dan este dato en el enunciado, pero, pero , pero también nos dan otro dato encubierto, y es que el triángulo es rectángulo. Por tanto, otro de los ángulos mide 90º. Por consiguiente, tan solo nos queda por conocer, el valor del ángulo pedido. Este problema, es bien sencillo, ya que sabemos que la suma de los 3 ángulos de un triángulo es de 180º.

9

Vamos a sustituir datos en esta fórmula: Por tanto ángulo C = 52º 14´ 28´´ 9.- En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, debemos de calcular la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, así como el valor de la altura. Bien, observando el enunciado del problema, cuando conocemos los dos catetos de un triángulo rectángulo, la única forma de calcular la hipotenusa, es aplicar el Teorema de Pitágoras. Por tanto primera solución: Valor de la hipotenusa a = 5 cm. Pero vamos a dibujar el triángulo, para verlo mejor. Ahora, vamos a calcular el valor de las proyecciones sobre la hipotenusa. Para ello, debemos de recordarnos la fórmula oportuna, y es aplicando el teorema de los catetos.

En nuestro caso: La Proyección del lado b, sobre sobre la hipotenusa, es m. En nuestro caso: La Proyección del lado c, sobre sobre la hipotenusa, es n.

10

Por tanto los valores de las proyecciones son: m = 1,8 cm y n = 3,2 cm. AAhhoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa,, qquuee eess eell sseeggmmeennttoo rroojjoo,, qquuee ppaarrttee ddeell vvéérrttiiccee ddeell áánngguulloo ddee 9900ºº,, hhaassttaa llaa hhiippootteennuussaa.. PPaarraa eelllloo,, tteenneemmooss eell tteeoorreemmaa ddee llaa aallttuurraa,, qquuee vvaammooss aa aapplliiccaarr ddiirreeccttaammeennttee Por tanto el valor de la altura, h = 2, 4 cm. 10.-En un triángulo rectángulo ABC, se conocen la hipotenusa, a = 15 cm. y el ángulo B= 20º. Calcular los restantes elementos del citado triángulo. Al lorito, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas y todos, si el triángulo es rectángulo, ya sabemos que uno de los ángulos tiene que valer 90º. Vamos a dibujarlo, para ir viéndolo de forma gráfica. EEnn pprriimmeerr lluuggaarr,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo qquuee nnooss ffaallttaa.. YYaa ssaabbeemmooss qquuee llaa ssuummaa ddee llooss áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo eess ddee 118800ºº Por tanto el valor del ángulo C = 70º ¿Y ahora como seguiremos? Siempre tenemos que tener en la memoria las fórmulas que ligan el valor de ángulos y lados:

11

LLoo pprriimmeerroo,, qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo bb.. PPaarraa eelllloo ddeessppeejjaammooss bb,, eenn llaa pprriimmeerraa ffóórrmmuullaa::

AAhhoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr,, eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc.. PPaarraa eelllloo ddeessppeejjaammooss cc eenn llaa sseegguunnddaa ffóórrmmuullaa:: Por tanto el valor de los lados, son: b = 5,13 cm y c = 14,09 cm. 11.-En un triángulo rectángulo ABC, se conoce el lado b = 102,4 metros y el ángulo B = 55º. Calcular el valor del ángulo que falta y la longitud, de los otros lados. Más de lo mismo, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas/todos, si el triángulo es rectángulo, ya sabemos que uno de los ángulos tiene que valer 90º. Vamos a dibujarlo, para ir viéndolo de forma gráfica. EEnn pprriimmeerr lluuggaarr,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo qquuee nnooss ffaallttaa.. YYaa ssaabbeemmooss qquuee llaa ssuummaa ddee llooss áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo eess ddee 118800ºº Por tanto el valor del ángulo C = 35º

12

LLoo pprriimmeerroo,, qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo bb.. PPaarraa eelllloo ddeessppeejjaammooss bb,, eenn llaa pprriimmeerraa ffóórrmmuullaa:: Por tanto el valor del lado a = 125,0076 m. LLoo sseegguunnddoo,, qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc.. PPaarraa eelllloo ddeessppeejjaammooss cc,, eenn llaa sseegguunnddaa ffóórrmmuullaa:: DDaarrooss ccuueennttaa,, qquuee ppooddeemmooss aapplliiccaarr eessttaa ffóórrmmuullaa,, ppoorrqquuee aaccaabbaammooss ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell ccaatteettoo aa,, qquuee eess 125,0076 m. Por tanto el valor del lado a = 71,70 m. 12.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo, mide a = 25 m y el cateto b = 20 m. Resolver el triángulo. Otro típico problema de los triángulos rectángulos, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas/todos, si el triángulo es rectángulo, ya sabemos que uno de los ángulos tiene que valer 90º. Vamos a dibujarlo, para ir viéndolo de forma gráfica.

13

Bien, observando el enunciado del problema, cuando conocemos un cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la única forma de calcular el otro cateto, es aplicar el Teorema de Pitágoras.

Por tanto el valor del lado a = 15 metros. Ahora, ya estamos en condiciones de calcular el ángulo C, aplicando las relaciones entre los lados y los ángulos de trigonometría: AAhhoorraa yyaa eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee ccaallccuullaarr eell áánngguulloo CC,, aapplliiccaannddoo llaass rreellaacciioonneess eennttrree llooss llaaddooss yy llooss áánngguullooss,, ddee nnuueevvoo Por tanto el valor del ángulo C = 36º 52´ 11´´ Ahora ya conocemos, el valor de 2 ángulos, del triángulo, como ya sabemos que la suma de los 3 ángulos de un triángulo es de 180º, calculamos: Por tanto el valor del ángulo B = 53º 7´ 49´´ 13.-Los catetos de un triángulo rectángulo miden b= 8 cm. y c = 24 cm. Calcular los demás elementos del triángulo. Otro más de triángulos rectángulos, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhh, todas/todos, si el triángulo es rectángulo, ya sabemos que uno de los ángulos tiene que valer 90º. Vamos a dibujarlo, para ir viéndolo de forma gráfica.

14

Bien, observando el enunciado del problema, cuando conocemos los dos catetos de un triángulo rectángulo, la única forma de calcular la hipotenusa, es aplicar el Teorema de Pitágoras. PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddee llaa hhiippootteennuussaa,, eess:: 2255,,3300 ccmm.. AAhhoorraa,, eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee aapplliiccaarr llaass eeccuuaacciioonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss ccoonnoocciiddooss.. PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB == 1188ºº 2266´́ 66´́´́ CCoommoo llaa ssuummaa ddee llooss ttrreess áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo,, eess 118800ºº,, ssuussttiittuuyyeennddoo vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa,, yyaa llaa aapplliiccaammooss:: PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC == 7711ºº 3333´́ 5544´́´́ 14.- De un triángulo, conocemos los siguientes dados el valor de un lado a = 12 m. el valor de otro de los lados b= 8 m y el ángulo A = 150º. Calcular los demás elementos del triángulo. Ojito, ehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh, cuidadínnnnnnnnnnnnnn, NO nos dicen nada de que es un triángulo rectángulo, por tanto tedremos que utilizar otro tipo de fórmulas, que ya conocemos.

15

VVaammooss aa aapplliiccaarr,, eell tteeoorreemmaa ddeell sseennoo.. BBiieenn,, aahhoorraa ttoommaammooss llaass ddooss pprriimmeerraass iigguuaallddaaddeess,, yy ssuussttiittuuiimmooss llooss vvaalloorreess ccoonnoocciiddooss.. SSii eecchhaammooss uunn vviissttaazzoo,, aa llaa iigguuaallddaadd aanntteerriioorr,, ¿¿ccuuááll eess eell pprriimmeerr oobbssttááccuulloo ccoonn eell qquuéé nnooss eennccoonnttrraammooss?? PPuueess ccoonn eell áánngguulloo ddee 115500ºº,, ddeell ccuuaall ddeessccoonnoocceemmooss ssuuss rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass.. EEnnttoonncceess llaa mmeejjoorr ssoolluucciióónn,, sseerráá eexxpprreessaarrlloo eenn ffoorrmmaa ddee uunn áánngguulloo ddeell pprriimmeerr ccuuaaddrraannttee,, yy ppooddeerr ttrraabbaajjaarr ccoonn ssuuss vvaalloorreess ccoonnoocciiddooss.. sseenn 115500ºº == sseenn ((118800ºº--3300ºº)) == sseenn 3300ºº ¿¿CCuuááll eess eell vvaalloorr ddeell sseennoo ddee 3300ºº?? == ½½.. AAhhoorraa,, uunnaa vveezz hheemmooss oobbtteenniiddoo,, eell vvaalloorr ddee eessttee áánngguulloo,, vvaammooss aa ssuussttiittuuiirrlloo eenn llaa iigguuaallddaadd qquuee tteenneemmooss aarrrriibbaa.. -- OOjjoo,, yy aatteennttaass//aatteennttooss ttooddaass yy ttooddooss.. LLaa ssoolluucciióónn vváálliiddaa eess llaa ddeell 11ºº ccuuaaddrraannttee.. LLaa pprreegguunnttiittaa ddee ssiieemmpprree,, ¿¿ppoorr qquuéé?? BBuurrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrraass//bbuurrrrooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooss,, ppoorrqquuee eenn eell 22ºº ccuuaaddrraannttee sseerrííaa uunn áánngguulloo oobbttuussoo,, yy ccoommoo yyaa tteenneemmooss uunn áánngguulloo ccoonnoocciiddoo ddee 115500ºº,, ppuueessttoo qquuee llaa ssuummaa ddee llooss áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo eess ddee118800ºº,, ccuuaallqquuiieerr ssoolluucciióónn qquuee ddiiéésseemmooss ddeell 22ºº ccuuaaddrraannttee,, nnoo vvaallddrrííaa.. ¿¿EEssttaammooss?? PPuueess,, hhaallaa,, sseegguuiimmooss.. PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB ==

16

AAhhoorraa,, yyaa eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC,, aapplliiccaannddoo llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ssuummaa ddee llooss áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo.. PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC == AAhhoorraa yyaa ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee llooss ttrreess áánngguullooss ddeell ttrriiáánngguulloo.. EEss eell mmoommeennttoo ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo qquuee nnooss ffaallttaa.. PPaarraa eelllloo uuttiilliizzaammooss eell vvaalloorr ddee llaa ffóórrmmuullaa ccoonnoocciiddaa,, ccoommoo eell TTeeoorreemmaa ddeell sseennoo.. BBiieenn,, aahhoorraa ttoommaammooss llaa pprriimmeerraa yy tteerrcceerraa ddee llaass iigguuaallddaaddeess,, yy ssuussttiittuuiimmooss llooss vvaalloorreess ccoonnoocciiddooss.. AAhhoorraa,, ccoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, aavveerriigguuaammooss eell vvaalloorr ddeell ==00,,11882288 EEss eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr eessttee vvaalloorr eenn llaa ffóórrmmuullaa:: PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc == 44,,3388 mm.. 15.- De un triángulo, conocemos los siguientes datos: el valor del lado c= 3,78 m, el valor de un ángulo A = 105º y el valor de otro ángulo B = 38º47´. Calcular el resto de los elementos. Estamos otra vez con un triángulo en donde no nos indican que es un triángulo rectángulo, por tanto debemos de utilizar las formas del teorema del seno o coseno, para calcular valores. Vamos a dibujarlo, par verlo gráficamente.

17

LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess aapplliiccaarr llaass rreellaacciioonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss,, eell tteeoorreemmaa ddeell sseennoo:: BBiieenn,, aahhoorraa ttoommaammooss llaa pprriimmeerraa yy tteerrcceerraa ddee llaass iigguuaallddaaddeess,, yy ssuussttiittuuiimmooss llooss vvaalloorreess ccoonnoocciiddooss.. LLoo pprriimmeerroo qquuee hhaarreemmooss,, eess ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC,, yyaa qquuee ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee llooss oottrrooss 22 áánngguullooss ddeell ttrriiáánngguulloo.. PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC == AAhhoorraa,, yyaa eessttaammooss eenn ddiissppoossiicciióónn ddee ssuussttiittuuiirr eessttee vvaalloorr eenn llaa ffóórrmmuullaa,, qquuee tteennííaammooss aappaarrccaaddaa:: CCoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa sseenn 3366ºº1133´́ == 00,,55990088 JJeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee,, yy aahhoorraa ¿¿qquuéé ppaassaa ccoonn eell sseenn ddee 110055ºº?? ¿¿CCóómmoo ssoommooss ccaappaacceess ddee ccoonnttiinnuuaarr?? TTeenneemmooss qquuee bbuussccaarrnnooss uunnaa ssoolluucciióónn,, ppaarraa vveerr ddee mmaanneejjaarr vvaalloorreess ddee rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ddee áánngguullooss ccoonnoocciiddooss.. PPoorr ttaannttoo eell áánngguulloo ddee 110055ºº,, tteenneemmooss qquuee ttrraabbaajjaarrlloo.. VVaammooss aa eelllloo,, aatteennttaass//aatteennttooss:: AAhhoorraa oottrraa pprreegguunnttiittaa,, ¿¿CCoonnoocceemmooss llooss vvaalloorreess ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ddee llooss áánngguullooss ddee 7755ºº?? NNoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo.. EEnnttoonncceess,, oottrraa vveezz,,aa hhaacceerr uunnaa nnuueevvaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn((ooss ssuueennaa lloo ddee llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn)).. AAhhoorraa llaa mmiissmmaa pprreegguunnttiittaa,, ¿¿CCoonnoocceemmooss llooss vvaalloorreess ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ddee llooss áánngguullooss ddee 7755ºº?? SSiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii BBuueennoo,, eennttoonncceess aall ccuurrrroo,, ¿¿qquuéé tteenneemmooss?? LLaa ssuummaa ddee uunn áánngguulloo ddoobbllee..

18

¿¿YY nnooss aaccoorrddaammoossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss?? HHeemmooss hheecchhoo uunn mmoonnttóónn ddee eellllooss eenn eell tteemmaa aanntteerriioorr.. PPeerroo bbuueennoo,, vvaammooss aa eessccrriibbiirrllaa,, ppaarraa aaccoorrddaarrnnooss::

sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b

Bien, ya es la hora, de comenzar las sustituciones, y hacer operaciones:

Por tanto:

Este valor lo vamos a sustituir, por el valor del sen de 105º

Ahora, tan solo tenemos que hacer operaciones:

PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell llaaddoo aa == 66,, 1144 mm.. BBiieenn,, aahhoorraa ttoommaammooss llaa sseegguunnddaa yy tteerrcceerraa ddee llaass iigguuaallddaaddeess,, yy ssuussttiittuuiimmooss llooss vvaalloorreess ccoonnoocciiddooss.. LLoo pprriimmeerroo,, ccoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa

Ahora, tan solo tenemos que hacer operaciones:

PPoorr ttaannttoo,, eell vvaalloorr ddeell llaaddoo bb == 44,, 00007777 mm..

19

16.- Resolver el siguiente triángulo a = 4 m, b= 3 m y c = 6 m. LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess aapplliiccaarr llaass rreellaacciioonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss,, eell tteeoorreemmaa ddeell sseennoo:: AAhhoorraa,, yyaa eess eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr:: EEssttee vvaalloorr oobbtteenniiddoo,, eess rreeffeerriiddoo aall pprriimmeerr ccuuaaddrraannttee.. AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB.. PPaarraa eelllloo uussaammooss llaa mmiissmmaa ffóórrmmuullaa ddeell ccaassoo aanntteerriioorr:: VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa:: EEssttee vvaalloorr oobbtteenniiddoo,, eess rreeffeerriiddoo aall pprriimmeerr ccuuaaddrraannttee.. AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC.. AApplliiccaammooss llaa mmiissmmaa ffóórrmmuullaa:: EEss eell mmoommeennttoo oottrraa vveezz ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess:: EEssttee vvaalloorr oobbtteenniiddoo,, eess rreeffeerriiddoo aall sseegguunnddoo ccuuaaddrraannttee..

20

17.- Resolver el siguiente triángulo a = 40 cm b = 60 cm y A = 22º CCoommoo nnoo ssaabbeemmooss,, ssii eell ttrriiáánngguulloo eess rreeccttáánngguulloo,, yyaa qquuee nnoo nnooss ffaacciilliittaann eessaa iinnffoorrmmaacciióónn,, ddeebbeemmooss ddee aapplliiccaarr llaass ffóórrmmuullaass ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo.. VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn eessttaa ffóórrmmuullaa DDeell áánngguulloo BB,, ttaann ssoolloo ssaabbeemmooss qquuee eess mmaayyoorr qquuee eell áánngguulloo AA.. PPoorr ttaannttoo PPUUEEDDEE ooccuurrrriirr qquuee eell áánngguulloo BB,, ffuueessee oobbttuussoo.. AA vveerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr,, rreeccoorrddaaiiss qquuee eess uunn áánngguulloo oobbttuussoo:: AAhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh,, nnoooooooooooooooooooooooooooooooooooo ¿¿vveerrddaadd?? ÁÁnngguulloo oobbttuussoo,, eess aaqquueell qquuee mmiiddee eennttrree 9900ºº yy 118800ºº DDee aaccuueerrddoo ccoonn lloo qquuee hheemmooss eessttaabblleecciiddoo,, eell cciittaaddoo áánngguulloo BB,, ppuueeddee eessttaarr llooccaalliizzaaddoo eenn eell 11ºº óó eenn eell 22ºº ccuuaaddrraannttee,, yyaa qquuee eell sseennoo eess ppoossiittiivvoo eenn aammbbooss ccuuaaddrraanntteess.. aa)) AAhhoorraa vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr,, ppaarrttiieennddoo ddee llaa bbaassee ddee qquuee eell áánngguulloo BB,, eessttéé llooccaalliizzaaddoo eenn eell 11ºº ccuuaaddrraannttee.. EEll ppaassoo ssiigguuiieennttee,, ccoonnssiissttiirráá eenn ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC..,, ppuueessttoo qquuee ccoonnoocceemmooss llooss vvaalloorreess ddee llooss áánngguullooss AA yy BB..

21

CCoonn eessttooss ddaattooss qquuee tteenneemmooss,, yyaa ppooddeemmooss ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc.. AApplliiccaarreemmooss llaass ffóórrmmuullaass ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo.. VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn eessttaa ffóórrmmuullaa CCoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, ssaabbeemmooss qquuee:: sseenn 2222ºº == 00,,33774466

sseenn 112233ºº4499´́ == 00,,88229900

PPoorr ttaannttoo 11ªª ssoolluucciióónn llaaddoo cc == 5599,,0011 mmeettrrooss.. aa)) AAhhoorraa vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr,, ppaarrttiieennddoo ddee llaa bbaassee ddee qquuee eell áánngguulloo BB,, eessttéé llooccaalliizzaaddoo eenn eell 22ºº ccuuaaddrraannttee.. EEnn eell pprriimmeerr aappaarrttaaddoo,, hhaabbííaammooss ccaallccuullaaddoo eell sseennoo ddeell áánngguulloo BB == 00,,55661199..

CCóómmoo eessttáá llooccaalliizzaaddoo eenn eell 22ºº ccuuaaddrraannttee,, tteenneemmooss::

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC..

CCoonn ttooddooss llooss ddaattooss qquuee tteenneemmooss,, yyaa eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc.. AApplliiccaarreemmooss llaass ffóórrmmuullaass ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo.. VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn eessttaa ffóórrmmuullaa

22

CCoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, ssaabbeemmooss qquuee:: sseenn 2222ºº == 00,,33774466

sseenn 1122ºº1111´́ == 00,,22008800

PPoorr ttaannttoo 22ªª ssoolluucciióónn llaaddoo cc == 1144,,8811 mmeettrrooss..

PPoorr ccoonnssiigguuiieennttee,, eexxiisstteenn ddooss ttrriiáánngguullooss qquuee ccuummpplleenn llaass ccoonnddiicciioonneess..

18.- En un triángulo ABC, sus lados miden 24 m, 28 m y 36 m. Calcular la tangente del mayor de los ángulos.

AApplliiccaarreemmooss llaass ffóórrmmuullaass ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eennttrree llaaddooss yy áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo..

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess::

AAhhoorraa tteenneemmooss qquuee bbuussccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa ttrriiggoonnoommééttrriiccaa qquuee lliigguuee llaa ttaannggeennttee yy eell ccoosseennoo..

23

¿¿EEssttoo ssiiggnniiffiiccaa qquuee nniinngguunnaa oo nniinngguunnoo ddee vvoossoottrrooss,, ooss aaccoorrddaaiiss

aaccoorrddaaííss ddee llaass ffóórrmmuullaass ffuunnddaammeennttaalleess ddee llaa

ttrriiggoonnoommeettrrííaa

AAhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh,, bbiieenn aahhíí vvaa llaa ffóórrmmuullaa..

LLaa iinnvveerrssaa ddee llaa sseeccaannttee eess eell ccoosseennoo,, vvaammooss aa eeffeeccttuuaarr eessttee ccaammbbiioo eenn llaa ffóórrmmuullaa::

BBiieenn,, ccrreeoo qquuee yyaa eessttaammooss eenn ddiissppoossiicciióónn ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, ppuueessttoo qquuee yyaa hheemmooss lllleeggaaddoo aa ppooddeerr lliiggaarr llaa ttaannggeennttee,, ccoonn uunnaa rraazzóónn,, qquuee hheemmooss ccaallccuullaaddoo..

PPoorr ccoonnssiigguuiieennttee

19.- Calcular el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados miden respectivamente: 13, 14 y 15 metros.

¿Alguna burra o burro sabe lo qué es circunscrito? Yaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa, vale, quiere decir a lo bestia: fuera de.

Por tanto si la circunferencia está circunscrita, significa que el triángulo está dentro de la citada circunferencia.

¿¿YY aahhoorraa qquuéé hhaacceemmooss?? ¿¿CCóómmoo sseegguuiimmooss??

AA rroommppeerrssee llaa ccaacchhoollaa,, aa vveerr ppoorr ddoonnddee ttiirraammooss.. ..

¿¿QQuuéé nneecceessiittaammooss bbuussccaarr,, eenn ffuunncciióónn ddee llooss ddaattooss

qquuee nnooss aappoorrttaann??

24

JJaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,, nnoo vvaallee bboommbbaarrddeeaarr llaass aauullaass..

OOss mmaannddaarrííaann aa oottrroo cceennttrroo.. HHaayy qquuee aaccoorrddaarrssee ddee llaa ffóórrmmuullaa ddee mmaarrrraass..

HHaallaa!! EEss eessttaa::

¿¿AAllgguunnaa oo aallgguunnoo hhaa qquueeddaaddoo hheerrnniiaaddoo mmeennttaallmmeennttee,, ppoorr ttaannttoo eessffuueerrzzoo??

CCrreeoo qquuee eess eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, ppuueessttoo qquuee ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee llooss 33 llaaddooss ddeell ttrriiáánngguulloo..

HHeemmooss lllleeggaaddoo hhaassttaa aaqquuíí,, yyaa ccoonnoocceemmooss llooss llaaddooss ddeell ttrriiáánngguulloo yy eell ccoosseennoo ddee uunnoo ddee llooss áánngguullooss..

LLaa pprreegguunnttaa ddeell mmiillllóónn ¿¿ccóómmoo sseegguuiimmooss??

AAllgguunnaa//aallgguunnoo ddee vvoossoottrraass//vvoossoottrrooss,, ssee hhaa ddaaddoo ccuueennttaa,, ddee qquuee eell ttrriiáánngguulloo aa qquuee hhaaccee rreeffeerreenncciiaa eell eennuunncciiaaddoo eess rreeccttáánngguulloo..

BBuurrrrrrrrrrrrrrrrrrrraassssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

BBuurrrroossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

BBuurrrraannccaanneessssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

TTrraaggaaííss ccoommoo eennaannaass//eennaannooss.. EEss rreeccttáánngguulloo

EEnnttoonneess,, yyaa ccoonnoocceemmooss llooss 33 llaaddooss ddeell ttrriiáánngguulloo yy llaass rraazzoonneess ddee 22 ddee ssuuss áánngguullooss.. ¿¿QQuuéé ffoorrmmuullaa nnooss ppuueeddee lliiggaarr,, ppaarraa ccaallccuullaarr eell rraaddiioo ddee llaa cciirruunnffeerreenncciiaa??

AAhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh…………………………………………………………....¿¿OOss aaccoorrddaaííss ddee ééssttaa??

SSee llllaammaa tteeoorreemmaa ddeell sseennoo.. ¿¿ooss rreeccoorrddaaííss?? BBuueennoo,, vvaammooss aalllláá aa eessccrriibbiirrllaa..

25

PPaarreeccee qquuee nnooss eessttáánn ttoommaannddoo ddee ccooññaa,, yyaa nnooss eennccoonnttrraammooss ccoonn uunnaa iigguuaallddaadd,, eenn llaa qquuee ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddeell llaaddoo ““aa”” ppeerroo nnooss ffaallttaa ppoorr ssaabbeerr eell vvaalloorr ddeell sseennoo ddeell áánngguulloo AA yy llaa mmeeddiiddaa ddeell rraaddiioo ddee llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa..

VVaammooss aa ppeennssaarr uunn ppooqquuiittoo,, ccoommoo ppooddeemmooss ccaallccuullaarr eell ccaalloorr ddeell sseennoo ddeell áánngguulloo AA,, ccoonnoocciieennddoo eell vvaalloorr ddeell ccoosseennoo ddeell cciittaaddoo áánngguulloo..

¿¿QQuuiiéénn ssee aaccuueerrddaa??

EEffeeccttiivvaammeennttee,, aa ttrraavvééss ddee llaa ffóórrmmuullaa ffuunnddaammeennttaall ddee llaa ttrriiggoonnoommeettrrííaa::

EEnnttoonncceessssssssssssssssssssssssssssssssss,, yyaa ppooddeemmooss aapplliiccaarr llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr::

PPoorr ttaannttoo,, eell rraaddiioo ddee llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa,, mmiiddee 88,,112255 mmeettrrooss..

20.- Calcular los dos ángulos de un triángulo, sabiendo que uno de ellos es doble que el otro y que el ángulo comprendido mide 60º

cc == 22bb

CCoommoo ssiieemmpprree,, ddeebbeemmooss ddee sseegguuiirr mmaanntteenniieennddoo nnuueessttrroo mmééttooddoo iinnttaaccttoo,, yy lloo pprriimmeerroo qquuee nnooss pprreegguunnttaarreemmooss,, eess qquuee ffóórrmmuullaa ppuuddee lliiggaarr eell vvaalloorr ddee llaaddooss yy áánngguullooss..

PPuueeddee sseerr eell ddeell sseennoo,, eell ccoosseennoo oo eell ddee llaa ttaannggeennttee.. BBiieenn ccaassii ssiieemmpprree,, ssoonn eell ddeell sseennoo oo eell ddeell ccoosseennoo..

26

EEnn eessttee ccaassoo eell ddeell sseennoo nnoo nnooss vvaallee,, ppoorrqquuee ssii ffuuéésseemmooss aa ssuussttiittuuiirr,, nnooss eennccoonnttrraarrííaammooss ccoonn iinnccóóggnniittaass ddee mmááss,, yy nnoo tteennddrrííaammooss ssaalliiddaa aallgguunnaa..

PPoorr ttaannttoo vvaammooss aa aapplliiccaarr eell TTeeoorreemmaa ddeell CCoosseennoo::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, aa vveerr aa ddoonnddee nnooss lllleevvaa.. NNoo qquueeddaa oottrraa aalltteerrnnaattiivvaa..

AAccoorrddaaooss ddeell ddaattoo qquuee nnooss hhaann ddaaddoo eenn eell eennuunncciiaaddoo,, cc== 22 bb

YY oottrroo ddaattoo eess eell áánngguulloo ddee 6600ºº.. CCooss 6600ªª == 00,,55

BBiieenn,, yyaa hheemmooss ccaallccuullaaddoo eell vvaalloorr ddee uunnoo ddee llooss ccaatteettooss..

VVaammooss aa vvoollvveerr aa aapplliiccaarr eell TTeeoorreemmaa ddeell ccoosseennoo,, ppaarraa ttrraattaarr ddee bbuussccaarr oo bbiieenn eell vvaalloorr ddeell oottrroo ccaatteeoo,, bbiieenn eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo ccoommpprreennddiiddoo..

VVeerreemmooss,, aa vveerr ddee qquuee ssoommooss ccaappaacceess..

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, yyaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

SSeegguuiimmooss hhaacciieennddoo ooppeerraacciioonneess,, aa vveerr ddoonnddee lllleeggaammooss::

VVaammooss aa ttrraannssppoonneerr ttéérrmmiinnooss,, ppaarraa ppooddeerr ddeessppeejjaarr::

EEssttaa ssoolluucciióónn nnoo mmee gguussttaa nnaaddaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.. AA rraacciioonnaalliizzaarr ttooccaann..

27

VVaammooss aa mmuullttiipplliiccaarr nnuummeerraaddoorr yy ddeennoommiinnaaddoorr ppoorr eell ccoonnjjuuggaaddoo ddeell ddeennoommiinnaaddoorr::

AAhhoorraa tteenneemmooss qquuee iirr ccoommoo ssiieemmpprree aall aallmmaaccéénn ddee nnuueessttrraa mmeemmoorriiaa.. ¿¿OOss aaccoorrddaaííss??

¿¿CCuuááll eess eell áánngguulloo ccuuyyaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa eess iigguuaall

aa ?? SSii eell áánngguulloo ddee 3300ºº

BBiieenn,, yyaa ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee ddooss áánngguullooss.. VVaammooss aa ccaallccuullaarr eell tteerrcceerroo..

YY ccoonn eelllloo,, yyaa hheemmooss ccaallccuullaaddoo,, llooss ddaattooss qquuee nnooss ppeeddííaann..

21.- Calcular los lados de un triángulo sabiendo que su área mide 18 cm2 y dos de sus ángulos miden A = 30º y 45º.

EEll pprriimmeerr ddaattoo qquuee tteenneemmooss eess llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell ttrriiáánngguulloo.. EEssccrriibbaammooss eess ffóórrmmuullaa

28

¿¿CCóómmoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo,,qquuéé aallgguuiieenn nnoo llaa ssaabbee?? BBuueennoo ppoorrffaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

BBuueennoo,, ttaammppooccoo hhaaccee ffaallttaa qquuee nnaaddiiee lllloorree..

VVeennggaa!!!!!!!!!!!!!! EEss ééssttaa::

VVaallee nnoo?? YYaattááaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa eessccrriittaa..

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn eessttaa ffóórrmmuullaa,, aa vveerr

AA ddoonnddee nnooss ccoonndduuccee.. SSii nnoo pprroobbaammooss,, nnuunnccaa aavvaannzzaammooss

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr ttrraabbaajjaannddoo,, ccoonn eell ttrriiáánngguulloo sseeññaallaaddoo ccoonn eell nnºº 11..

EEssttee ttrriiáánngguulloo eess eell qquuee ttiieennee uunn áánngguulloo qquuee mmiiddee 3300ºº..

AAnntteess ddee ccoonnttiinnuuaarr,, tteenneemmooss qquuee eecchhaarr uunn mmoonnttóónn ddee iimmaaggiinnaacciióónn,, rreeccuurrssooss yy sseennttiirr qquuee vvaammooss eenn llaa ddiirreecccciióónn ccoorrrreeccttaa,, ppeerroo ssiinn aaggoobbiiaarrssee,, nnii aappuurraarrssee..

NNoo ppeerrddeerr ddee vviissttaa uunnaa ccoossaa:: EEssttaammooss uussaannddoo llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell ttrriiáánngguulloo.. NNoo ppeerrddeerrlloo ddee vviissttaa nnuunnccaa..

EEnnttoonncceess,, tteenneemmooss qquuee bbuussccaarr vvaalloorreess ppaarraa llaass ddooss iinnccóóggnniittaass qquuee tteenneemmooss..

TTrraannqquuiillaass yy ttrraannqquuiillooss,, ppoorr aahhíí vvaammooss aa iirr yyeennddoo,, ddeessppaacciioo ppeerroo sseegguurrooss.. NNoo ooss ddeeiiss nnuunnccaa ppoorr ssuuppeerraaddooss.. EEnn llaa vviiddaa aa nnaaddiiee llee rreeggaallaann nnaaddaa.. LLoo úúnniiccoo eess ttrraabbaajjaarr yy ffoorrzzaarr ssiittuuaacciioonneess nnuueevvaass,, ppaarraa sseegguuiirr hhaacciiaa aaddeellaannttee,, yy nnoo tteenneerr dduuddaass..

OOjjiittoo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ttrraabbaajjoo yy ccoonnssttaanncciiaa.. LLaa//eell qquuee nnoo eessttuuddiiaa,, llee rroobbaa aa ssuuss ““ppaaddrreess”” eell ddiinneerroo,, qquuee eellllooss eessttáánn ttrraabbaajjaannddoo,, ppaarraa ppooddeerr eennvviiaarrooss aa uunn cceennttrroo eessccoollaarr aa eessttuuddiiaarr..

NNoo lloo oollvviiddééiiss jjaammááss eenn llaa vviiddaa.. EEll qquuee nnoo eessttuuddiiaa……………………rroobbaa …………....aa ssuuss ppaaddrreess,, llaa ccoonnffiiaannzzaa,, eell ssaaccrriiffiicciioo yy eell ddiinneerroo..

VVaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo nnúúmmeerroo 11.. VVaammooss aa rreeccoorrttaarr llaa iimmaaggeenn yy ttrraaeerrllaa aaqquuíí::

29

¿¿CCoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee llaa ttaannggeennttee ddee uunn áánngguulloo ddee 3300ºº?? SSii,, ccllaarroo qquuee ssii..

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr eessttee vvaalloorr eenn llaa ffóórrmmuullaa,, aa vveerr qquuee ppaassaa..

¿¿PPooddeemmooss hhaacceerr aallggoo mmááss?? YYoo ccrreeoo qquuee nnoo,, ppoorr

ttaannttoo aaqquuíí nnooss ppaarraammooss,, ddee mmoommeennttoo..

VVaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo nnúúmmeerroo 22.. VVaammooss aa rreeccoorrttaarr llaa iimmaaggeenn yy ttrraaeerrllaa aaqquuíí::

AAqquuíí vvaammooss aa hhaacceerr uunnaa ccoossiittaa,, eecchheemmooss uunn vviissttaazzoo

AAll ttrriiáánngguulloo eenntteerroo,, ppaarraa vveerr qquuee ttrraannssffoorrmmaacciióónn

PPooddeemmooss hhaacceerr ccoonn ““nn””

YY eess llaa ssiigguuiieennttee:: nn == cc ––mm ¿¿SSii oo nnoo?? LLoo tteennééiiss ccllaarroo

AAhhoorraa,, eessttaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn llaa vvaammooss aa lllleevvaarr aa llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee ddee BB..

¿¿CCoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee llaa ttaannggeennttee ddee uunn áánngguulloo ddee 3300ºº?? SSii,, ccllaarroo qquuee ssii..

ttgg 4455ºº == 11.. PPuueess vveennggaa aa ssuussttiittuuiirrllaa eenn llaa ffóórrmmuullaa ccoonn llaa ccuuaall eessttaammooss ttrraabbaajjaannddoo,, aa vveerr aa ddoonnddee lllleeggaammooss,, ddee mmoommeennttoo aa nniinnggúúnn ssiittiioo..

CCaallmmaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa,, lllleeggaarreemmoossssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss

¡¡YY aahhoorraa,, jjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa!! ¿¿CCóómmoo ccoonnttiinnuuaarr?? AAqquuíí eessttáá eell qquuiidd ddee llaa ccuueessttiióónn..

PPeennssaammooss uunn ppooqquuiittoo yy,, ssiinn ppeerrddeerr llaa ppeerrssppeeccttiivvaa ddeell pprroobblleemmaa,, ¿¿PPoorr qquuéé nnoo nnooss vvaammooss aa llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ssuuppeerrffiicciiee??

30

SSii ooss aaccoorrddááiiss,, hhaabbííaammooss lllleeggaaddoo aa eessttoo,, eenn eell úúllttiimmoo ppaassoo qquuee hhaabbííaammooss ddaaddoo,, aanntteess ddee eemmppeezzaarr aa ttrraabbaajjaarr ccoonn llooss ddooss ttrriiáánngguullooss::

OOttrraa vveezz,, vvaammooss aa ppaarrttiirr eell ttrriiáánngguulloo eenn ddooss ttrroozzooss,, yy vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo nnºº 11,, vvaammooss aa ssuussttiittuuiirr eessttooss vvaalloorreess qquuee hheemmooss ccaallccuullaaddoo::

OOttrraa vveezz,, vvaammooss aa ppaarrttiirr eell ttrriiáánngguulloo eenn ddooss ttrroozzooss,, yy vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo nnºº 22,, vvaammooss aa ssuussttiittuuiirr eessttooss vvaalloorreess qquuee hheemmooss ccaallccuullaaddoo::

AAhhoorraa aaqquuíí ssii ssoommooss uunn ppooccoo vviivvooss,, tteenneemmooss uunnaa CCLLAAVVEE iimmppoorrttaannttee,, yy eess hhaacceerr llaa ttrraannssffoorrmmaacciióónn qquuee nneecceessiittaammooss..

VVaaiiss aa vveerr uunnaa ccoossaa ssii ooss ffiijjááiiss uunn ppooqquuiittoo,, tteenneemmooss ddooss iinnccóóggnniittaass yy uunnaa ssoollaa eeccuuaacciióónn,, ppeerroo pprreegguunnttaarrooss ¿¿DDóónnddee eessttáá llaa llllaavvee qquuee nnooss bbaarree eessttaa ppuueerrttaa yy ppooddeerr aavvaannzzaarr??

LLaa llllaavvee eess,, ssuussttiittuuiirr eell vvaalloorr ddee mm,, qquuee hheemmooss ddeedduucciiddoo ccuuaannddoo hheemmooss ttrraabbaajjaaddoo ccoonn eell ttrriiáánngguulloo ddee 3300ºº..

EEss eessttaa::

BBuueennoo,, aa ddoonnddee hheemmooss lllleeggaaddoo,, aappaarreenntteemmeennttee ssiinn qquueerreerr,, eehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh..

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc == 99,,9911 ccmm..

AAhhoorraa,, yyaa eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaa pprrooyyeecccciióónn mm.. VVaammooss aalllláá::

CCóómmoo yyaa ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee cc,, vvaammooss aa iirr aa llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell ttrriiáánngguulloo oottrraa vveezz,, yyaa qquuee tteenneemmooss llaa ffoorrmmaa ppaarraa ccaallccuullaarr eessttaa pprrooyyeecccciióónn,, yyaa qquuee aall ssuussttiittuuiirr eessttee vvaalloorr qquuee aaccaabbaammooss ddee oobbtteenneerr,, llaa eeccuuaacciióónn ttaann ssoolloo ttiieennee uunnaa iinnccóóggnniittaa qquuee pprreecciissaammeennttee qquueerreemmooss ccaallccuullaarr..

31

PPeerroo ccoommoo nnaaddaa eess ffáácciill,, lloo pprriimmeerroo qquuee tteenneemmooss qquuee hhaacceerr eess ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa ddeell ttrriiáánngguulloo:: eess ddeecciirr llaa sseeññaallaaddaa ccoonn llaa lleettrraa hh..

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa ddeell ttrriiáánngguulloo:: hh == 33,, 663322 ccmm..

OOss aaccoorrddááiiss,, qquuee ccuuaannddoo ccoommeennzzaammooss aa ttrraabbaajjaarr sseeppaarraaddaammeennttee ccoonn eell ttrriiáánngguulloo sseeññaallaaddoo ccoonn eell nnúúmmeerroo 22,, hhaabbííaammooss iinniicciiaaddoo ccoonn eessttoo::

CCrreeoo,, qquuee ccoonn ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, yyaa lloo tteenneemmooss::

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa pprrooyyeecccciióónn mm == 66,,2288 ccmm..

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee pprrooyyeecccciióónn nn:: nn == cc ––mm ¿¿OOss ssuueennaa??

EEss eell ccaammbbiioo qquuee hhaabbííaammooss hheecchhoo aanntteerriioorrmmeennttee ddeell vvaalloorr ddee nn aall ccoommeennzzaarr aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo sseeññaallaaddoo ccoonn eell nnúúmmeerroo 22..

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa pprrooyyeecccciióónn nn == 33,,6633 ccmm..

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llooss oottrrooss ddooss llaaddooss qquuee nnooss ffaallttaann.. PPaarraa eelllloo,, vvoollvveemmooss aa ppaarrttiirr eell ttrriiáánngguulloo eenn ddooss ppaarrtteess::

AAhhoorraa ttooddoo eell ppeerrssoonnaall,, ooss eessttááiiss pprreegguunnttaannddoo

PPoorr qquuéé,, aapplliiccoo uunnaa ffóórrmmuullaa ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,,¿¿vveerrddaadd??

PPoorr aallggoo sseenncciilllloo,, llaa aallttuurraa ddee uunn ttrriiáánngguulloo eess llaa PPEERRPPEENNDDIICCUULLAARR ttrraazzaaddaa,, ddeessddee uunn vvéérrttiiccee aall llaaddoo ooppuueessttoo..

YY bbuurrrraannccaanneess llaass ppeerrppeennddiiccuullaarreess aa uunnaa rreeccttaa ccuuaallqquuiieerraa,, ffoorrmmaa uunn áánngguulloo rreeccttoo..

32

EEll vvaalloorr ddee hh,, lloo hheemmooss ccaallccuullaaddoo,, aanntteerriioorrmmeennttee yy eess 33,,663322 ccmm

TTaammbbiiéénn ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddeell sseenn 3300ºº == ½½ == 00,,55

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr eessttooss vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr::

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell llaaddoo bb == 77,,226644 ccmm

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llooss oottrrooss ddooss llaaddooss qquuee nnooss ffaallttaann.. PPaarraa eelllloo,, vvoollvveemmooss aa ppaarrttiirr eell ttrriiáánngguulloo eenn ddooss ppaarrtteess::

LLaa aallttuurraa,, yyaa llaa ccoonnoocceemmooss..

EEll

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr::

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell llaaddoo aa == 55,,113366 ccmm

NNoo eess ffáácciill,, ppeerroo hheemmooss aapprreennddiiddoo,, qquuee bbaassee ddee ttrraannssffoorrmmaacciioonneess yy ssiinn ppeerrddeerr ddee vviissttaa nnuunnccaa lloo eesseenncciiaall,, qquuee eess ddee ddoonnddee ppaarrttiimmooss,, ssoommooss ccaappaacceess ddee lllleeggaarr aall rreessuullttaaddoo ffiinnaall..

AAllggoo iimmppoorrttaannttee:: NNuunnccaa ssee ooss ooccuurrrraa aa nniinngguunnoo,, ttrraattaarr ddee mmeemmoorriizzaarr nniinnggúúnn pprroobblleemmaa,, sseerrííaa ffaattaall,, yy eess uunnaa tteennttaacciióónn qquuee uunn pprriinncciippiioo ppooddeemmooss ppeennssaarr ccuuaallqquuiieerraa ddee nnoossoottrraass//nnoossoottrrooss,, ppoorrqquuee ddee eessaa mmaanneerraa nnoo nnooss ccoommeemmooss eell ttaarrrroo..

SSiieemmpprree iirreemmooss aall aallmmaaccéénn ddee nnuueessttrraa mmeemmoorriiaa,, ppaarraa vveerr ddee eennccoonnttrraarr uunn ffóórrmmuullaa aaddeeccuuaaddaa,, yy aa ccoonnttiinnuuaacciióónn iirr ddaannddoo ppaassooss llóóggiiccooss..

33

22.- Dos individuos a y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre ambos individuos es de 4 Km. Los ángulos de elevación del globo desde ambos observadores son de 46º y de 52º. Calcular la altura a que se encuentra el globo y su distancia a cada observador.

Lo primero que os aconsejo es hacer un dibujo, ya que por el tema que estamos tocando, se va a tratar de un triángulo. Y una imagen vale más que todo lo que podamos hablar.

AAhhoorraa tteenneemmooss qquuee aapplliiccaarr eell mmééttooddoo qquuee eessttaammooss uussaannddoo ssiieemmpprree,, yy eess bbuussccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa qquuee nnooss lliigguuee llaaddooss yy áánngguullooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo..

EEss eell mmoommeennttoo ddee iirr aa nnuueessttrroo aallmmaaccéénn ddee llaa mmeemmoorriiaa,, aa vveerr qquuee ppaassaa..

TTeenneemmooss qquuee bbuussccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa qquuee nnooss lliigguuee mmeeddiiddaass

DDee llaaddooss yy áánngguullooss..

PPoorr eejjeemmpplloo eell TTeeoorreemmaa ddeell SSeennoo::

LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo AA::

34

VVaammooss aa ddiibbuujjaarr eell ttrriiáánngguulloo,, ccoonn ttooddooss ssuuss llaaddooss iiddeennttiiffiiccaaddooss ccoonn lleettrraass,, ppaarraa ddee eessttaa ffoorrmmaa,, vveerr ggrrááffiiccaammeennttee ccoommoo aapplliiccaammooss llaa ffóórrmmuullaa::

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr ppoorr llooss llaaddooss yy llooss

áánngguullooss sseeññaallaaddooss ccoonn llaass lleettrraass AA yy CC..

CCoonn ccaallccuullaaddoorraa sseenn 4466ºº == 00,,77119933 yy sseenn 8822ºº == 00,,99990022

PPoorr ttaannttoo:: SSee eennccuueennttrraa aa 22,,99 KKmm ddeell oobbsseerrvvaaddoorr ssiittuuaaddoo eenn AA

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr ppoorr llooss llaaddooss yy llooss áánngguullooss sseeññaallaaddooss ccoonn llaass lleettrraass BB yy CC..

CCoonn ccaallccuullaaddoorraa sseenn 5522ºº == 00,,77888800 yy sseenn 8822ºº == 00,,99990022

PPoorr ttaannttoo:: SSee eennccuueennttrraa aa 33,,1188 KKmm ddeell oobbsseerrvvaaddoorr ssiittuuaaddoo eenn BB

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr,, aa qquuee aallttuurraa ddeell ssuueelloo ssee eennccuueennttrraa eell gglloobboo..

-- AAll ttrraazzaarr llaa aallttuurraa ccoorrrreessppoonnddiieennttee aall vvéérrttiiccee CC,, tteenneemmooss ddooss ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss,, eennttoonncceess aapplliiccaammooss::

OOttrraa ffoorrmmaa ddee ccaallccuullaarrlloo,, sseerrííaa::

LLaa ddiiffeerreenncciiaa qquuee oobbsseerrvvaammooss,, eess ddeebbiiddoo aa llooss ddeecciimmaalleess uuttiilliizzaaddooss eenn llooss ccáállccuullooss..

35

PPoorr ttaannttoo:: SSee eennccuueennttrraa aa 22,,2288 KKmm ddee aallttuurraa..

23.- Resolver el siguiente triángulo: a = 72 m, b = 57 m y ángulo C = 75º 47´

Lo primero que vamos a hacer, como siempre es dibujar el citado triángulo

CCoommoo ssiieemmpprree,, lloo pprriimmeerroo qquuee nnooss pprreegguunnttaarreemmooss,, eess qquuee ffóórrmmuullaa vvaammooss aa aapplliiccaarr..

EEnn eessttee ccaassoo,, ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee 22 llaaddooss yy úúnn áánngguulloo,, ppoorr ttaannttoo eell tteeoorreemmaa aa aapplliiccaarr,, ttiieennee qquuee sseerr ddeell ddeell CCoosseennoo..

TTeennddrreemmooss qquuee vvoollvveerr aa nnuueessttrroo aallmmaaccéénn ““mmeemmoorriiaa”” yy rreeccoorrddaarrlloo::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn eessttaa ffóórrmmuullaa,, ppaarraa vveerr ddee ccaallccuullaarr aallggúúnn vvaalloorr::

LLaa ffóórrmmuullaa,, rreeaallmmeennttee,, eess ééssttaa qquuee aaccaabbaammooss ddee eessccrriibbiirr

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, hheemmooss ccaallccuullaaddoo:: ccooss 7722ºº 4477´́ == 00,,99669999

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell llaaddoo cc == 7799,,8833 mm..

EEnn eessttee mmoommeennttoo,, ppaarr sseegguuiirr,, ¿¿qquuéé hhaarreemmooss?? PPeennssaadd uunn ppooqquuiittoo::

EEffeeccttiivvaammeennttee,, eess uunnoo ddee eessooss ddooss

YY eexxaaccttaammeennttee eess eell TTeeoorreemmaa ddeell SSeennoo..

NNooss vvaammooss aa qquueeddaarr ccoonn llooss llaaddooss yy áánngguullooss,, sseeññaallaaddooss ccoonn llaass lleettrraass CC yy BB

36

CCoonn nnuueessttrraa ccaallccuullaaddoorraa:: sseenn 7755ºº 4477´́ == 00,,99669999

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB == 4433ºº 4488´́

AAhhoorraa yyaa eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo qquuee nnooss ffaallttaa::

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo AA == 6600ºº 2255´́

24.- Ana, Luis y Pedro van a escalar una montaña de la que desconocen su altura. A la salida del pueblo, han medido el ángulo de elevación y, es de 30º. En cuanto han avanzado 100 m. hacia la base de la montaña, se han parado y han vuelto a medir el ángulo de elevación, siendo ahora de 45º. Calcular la altura de la montaña.

Como siempre, vamos a hacer un dibujo, para ver gráficamente con que nos encontramos.

VVaammooss aa sseerr uunn ppooqquuiittoo sseerrvvaaddoorreess,, llóóggiiccooss yy ccoonnsseeccuueenntteess.. SSii ttrraazzaammooss,, llaa aallttuurraa hh,, aauuttoommááttiiccaammeennttee,, aall sseerr uunnaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aall ccaammiinnoo,, oobbtteenneemmooss 22 ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss,, ppoorr ttaannttoo,, ppooddeemmooss aapplliiccaarr llaass ffóórrmmuullaass ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ..

37

AAll hhaabbeerr ttrraazzaaddoo llaa aallttuurraa hh,, oobbsseerrvvaannddoo eell ddiibbuujjoo,, tteenneemmooss 22 ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss::

UUnnoo eess AACCDD yy eell oottrroo eess BBCCDD..

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr ttrraabbaajjaannddoo ccoonn eell ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo:: AACCDD

AAhhoorraa vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo BBCCDD::

EEss eell mmoommeennttoo ddee ppeennssaarr uunn ppooqquuiittiinn,, ¿¿qquuéé ccoonnoocceemmooss ddee eessttaass eeccuuaacciioonneess aanntteerriioorreess??

NNoo eess nneecceessaarriioo mmaattaarr aa nnaaddiiee,, ppaarraa vveerr

qquuee ddaattooss ccoonnoocceemmooss::

VVaammooss aa oorrddeennaarr aammbbaass eeccuuaacciioonneess,, ppaarraa

hhaacceerr ooppeerraacciioonneess::

SSii llaa ttgg 4455ºº == 11

CCoommoo eell pprriimmeerr mmiieemmbbrroo eess eell mmiissmmoo eenn aammbbaass eeccuuaacciioonneess ““hh”” iigguuaallaammooss aammbbaass::

PPoorr ttaannttoo llaa aallttuurraa ddee llaa mmoonnttaaññaa,, eess ddee 113366,,440066 mmeettrrooss..

38

25.- Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Rosa, se aleja hasta una caseta distante 100 metros del punto A, desde la cual dirige visuales a los puntos A y B que forman un ángulo de 30º y, desde A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 120º. ¿Calcular la distancia entre A y B?

Como siempre, en este tipo de problemas, lo primero que haremos, será un dibujo, para volcar los datos del enunciado, y ver gráficamente la composición del problema.

TTeenneemmooss qquuee bbuussccaarr,, ccoommoo

ssiieemmpprree uunnaa ffóórrmmuullaa,, qquuee nnooss

hhaaggaa ppoossiibbllee,, eessttaabblleecceerr uunnaa

rreellaacciióónn eennttrree lloonnggiittuudd ddee llooss

llaaddooss yy llooss áánngguullooss ddee uunn

ttrriiáánngguulloo..

AApplliiccaammooss eell TTeeoorreemmaa ddeell SSeennoo..

VVaammooss aa aapplliiccaarr eessttee tteeoorreemmaa eenn eell ccaassoo qquuee nnooss ooccuuppaa,, yy nnooss qquueeddaa::

EEss eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess qquuee ccoonnoocceemmooss::

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, ssaabbeemmooss qquuee sseenn 3300ºº ==00,,55 yy sseenn 112200ºº == 00,,886666

PPoorr ttaannttoo llaa ddiissttaanncciiaa eennttrree AA yy BB((aanncchhuurraa ddeell rrííoo)) eess ddee 5577,,773366 mmeettrrooss..

39

26.- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 metros cuando los rayos del sol forman un ángulo de 50º con el suelo.

Como siempre, vamos a dibujar la figura correspondiente, para ir colocando los datos del enunciado, y ver gráficamente que triángulo aparece.

CCoonn llaa ccaallccuullaaddoorraa,, tteenneemmooss ttgg 5500ºº == 11,,1199117755

PPoorr ttaannttoo llaa aallttuurraa ddee llaa ttoorrrree eess ddee 1155,,449922 mmeettrrooss..

27.- De un triángulo rectángulo se sabe que un ángulo mide 45º y uno de sus catetos 5 cm. ¿Cuánto miden el otro cateto, la hipotenusa y el otro ángulo agudo?

VVaammooss aa ddiibbuujjaarr eell ttrriiáánngguulloo ddaaddoo yy ccoollooccaarr ddaattooss ssoobbrree eessttaa ffiigguurraa::

PPoorr ttaannttoo eell ccaatteettoo aa == 55 ccmm..

PPaarraa ccaallccuullaarr llaa hhiippootteennuussaa,, bbaassttaarráá ccoonn aapplliiccaarr eell TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass,, yyaa qquuee eell ttrriiáánngguulloo eess rreeccttáánngguulloo,, ddee aaccuueerrddoo ccoonn eell eennuunncciiaaddoo..

40

PPoorr ttaannttoo llaa hhiippootteennuussaa == 77,,11 ccmm..

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell ccaalloorr ddeell áánngguulloo CC::

CC == 118800ºº --9900ºº -- 4455ºº == 4455ºº

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC == 4455ºº..

28.- Una escalera de 4 metros está apoyada contra la pared de un edificio. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 metros de la pared?

Vamos a efectuar el dibujo de siempre, para ver gráficamente los datos y poder arrancar el problema.

EEnn eessttee pprroobblleemmaa,, llaa vvaarriiaannttee qquuee tteenneemmooss,, eess qquuee

ccoonnoocceemmooss llaa hhiippootteennuussaa yy uunnoo ddee llooss ccaatteettooss.. PPoorr ttaannttoo

llaa ffóórrmmuullaa qquuee llooss lliiggaa eess::

¿¿YY eenn uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,, ccoonnoocceemmooss aa qquuee áánngguulloo ppeerrtteenneeccee eell vvaalloorr ddeell ccoosseennoo,, ccuuaannddoo eess iigguuaall aa ½½?? SSii.. EEss uunn áánngguulloo ddee 6600ºº

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo αα == 6600ºº.. LLaa eessccaalleerraa eessttáá ccoollooccaaddoo ffoorrmmaannddoo uunn áánngguulloo ddee 6600ºº ccoonn rreessppeeccttoo aall ssuueelloo..

29.- Calcular los ángulo se un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm., respectivamente. ¿Cuánto mide el lado del rombo?

Vamos a dibujar, la figura correspondiente.

¿¿AAllgguuiieenn vvee aallggoo,, ppaarraa ppooddeerr aarrrraannccaarr??

YY ssii ppaarrttiimmooss llaa ffiigguurraa,, ¿¿qquuéé ooss ppaarreeccee??

VVaammooss aa hhaacceerrlloo,, aa vveerr qquuéé ssoommooss ccaappaacceess ddee oobbeerrvvaarr::

41

¿¿OObbsseerrvvaaiiss aallggoo ccoonnoocciiddoo?? AAhhoorraa eess nneecceessaarriioo ppeennssaarr uunn

ppooqquuiittoo ddeessppaacciioo..

EEffeeccttiivvaammeennttee hhaayy 22 ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss..

PPaarraa eemmppeezzaarr,, vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn uunnoo ddee eellllooss::

YY ppaarraa eelllloo,, tteenneemmooss ddooss eelleemmeennttooss ccoonnoocciiddooss yy,, ssoonn,, eell vvaalloorr ddee uunn ccaatteettoo,, qquuee eess 66 ccmm yy eell vvaalloorr ddeell oottrroo,, qquuee eess ddee 44 ccmm..

PPoorr ttaannttoo,, ppooddeemmooss aapplliiccaarr uunnaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa,, qquuee nnooss ppeerrmmiittaa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaa hhiippootteennuussaa::

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa mmiittaadd áánngguulloo AA == 5566,,33ºº yy AA == 5566,,33 xx 22 == 111122,,66ªª

AApprroovveecchhaannddoo eenn eessttee mmiissmmoo ttrriiáánngguulloo,, yyaa ppooddeemmooss ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB::

BB == 118800ºº -- 9900ºº --5566,,33ºº == 3333,,77ºº

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa mmiittaadd áánngguulloo BB == 3333,,77ºº yy BB 3333,,77ºº xx 22 == 6677,,44ªª

TTeenneedd pprreesseennttee,, qquuee eessttáábbaammooss ttrraabbaajjaannddoo ccoonn llaa mmiittaadd ddeell rroommbboo,, ddee aahhíí,, qquuee eell rreessuullttaaddoo oobbtteenniiddoo,, lloo mmuullttiipplliiqquueemmooss ppoorr 22..

AAhhoorraa eess eell mmoommeennttoo ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell llaaddoo LL..

CCoommoo ssiigguuee ssiieennddoo uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,, nnooss bbaassttaa ppaarraa eelllloo,, aapplliiccaarr eell TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass..

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell llaaddoo ll == 77,, 2211 ccmm..

30.- En el triángulo ABC del dibujo, trazar la altura sobre el lado AC y calcular su longitud. Asimismo se pide calcular el área del triángulo.

42

SSii ooss ddaaiiss ccuueennttaa,, eess ssiieemmpprree mmááss ddee lloo mmiissmmoo.. AAhhoorraa ssee ttrraattaa ddee iirr aa nnuueessttrroo aallmmaaccéénn ddee ddaattooss,, ccoonnoocciiddoo ppoorr mmeemmoorriiaa,, ppaarraa vveerr qquuee ffóórrmmuullaa ccoonnoocceemmooss,, qquuee nnooss ppuueeddaa lliiggaarr ddaattooss ccoonnoocciiddooss,, ccoommoo ssoonn llooss vvaalloorreess ddee uunn áánngguulloo,, ccoonn uunn ccaatteettoo,, yyaa qquuee aall ttrraazzaarr llaa aallttuurraa,, eell ttrriiáánngguulloo,, ssee nnooss ddiivviiddee eenn oottrrooss ddooss qquuee ssoonn rreeccttáánngguullooss..

LLaa ccllaavvee,, ddee eessttee pprroobblleemmaa,, eessttáá eenn qquuee aall ttrraazzaarr llaa aallttuurraa hh,, tteenneemmooss 22 ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss.. EEnn eessttee mmoommeennttoo yy aappooddeemmooss aapplliiccaarr llaass cciittaaddaass ffóórrmmuullaass::

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr,, uuttiilliizzaannddoo,, llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa ddeell sseennoo ddee uunn áánngguulloo eenn uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo..

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa:: hh == 99,,1199 mmeettrrooss..

AAhhoorraa nnooss ppiiddeenn ccaallccuullaarr llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell ttrriiáánngguulloo..

OOttrraa vveezz aall aallmmaaccéénn ddee nnuueessttrraa mmeemmoorriiaa,, ppaarraa aaccoorrddaarrnnooss ddee llaa cciittaaddaa ffóórrmmuullaa::

LLaa bbaassee eess eell llaaddoo AACC..

PPoorr ttaannttoo llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell ttrriiáánngguulloo mmiiddee 110055,,770088 mm22

31.- Calcular el área del triángulo que dibujamos a continuación.

La clave, está en darse cuenta, que al trazar la altura, se forman 2 triángulos rectángulos. Es el momento en el que podemos aplicar las razones trigonométricas de los triángulos rectángulos.

De momento, ya podemos calcular el valor de la altura, lo hemos hecho en el problema anterior.

En el triángulo 1:

43

CCoonn aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, ssaabbeemmooss qquuee sseenn 3355ºº == 00,,55773366..

AAhhoorraa llaa vvaammooss aa ssuussttiittuuiirr eenn llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr yy oobbtteenneemmooss::

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa hh == 1111,,447722 mm..

EEss eell mmoommeennttoo ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llooss ccaatteettooss.. FFiijjaarrssee,, qquuee aammbbooss ttiieenneenn llaa mmiissmmaa mmeeddiiddaa,, yyaa qquuee llooss áánngguullooss ccoonn llaa bbaassee ssoonn iigguuaalleess.. PPoorr ttaannttoo eess uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo iissóósscceelleess..

AAqquuíí eenn ffuunncciióónn ddee llooss ddaattooss qquuee tteenneemmooss,, aapplliiccaammooss llaa ddeeffiinniicciióónn ddeell ccoosseennoo..

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddee llooss ccaatteettooss eess ddee 1166,,3388 mmeettrrooss..

VVaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddeell ttrriiáánngguulloo 11::

HHaabbííaammooss rreeccoorrddaaddoo llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ssuuppeerrffiicciiee ddee uunn ttrriiáánngguulloo::

PPoorr ttaannttoo eell áárreeaa ttoottaall eess eell ddee ttrriiáánngguulloo 11 mmuullttiipplliiccaaddoo ppoorr ddooss..

PPoorr ttaannttoo llaa ssuuppeerrffiicciiee ttoottaall ddeell ttrriiáánngguulloo eess ddee 118877,,8888 mm2..

32.- Una línea de alta tensión pasa por dos transformadores, T y T´. De acuerdo con el plano que facilitamos en el dibujo, calcula la longitud de cada uno de los tres tramos.

44

LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss aa ccaallccuullaarr,, eess ccaallccuullaarr llaa lloonnggiittuudd ddeell ttrraammoo AATT..

PPaarraa eelllloo ddiissppoonneemmooss ddee ddooss ddaattooss:: UUnn áánngguulloo ddee 6600ºº yy uunnaa aallttuurraa ddee llaa ttoorrrreettaa,, qquuee eess ddee 330000 mmeettrrooss..

EEssttoo eess mmuuyy sseenncciilllloo,, ccoonn uunnaa ssiimmppllee ffóórrmmuullaa,, yyaa lloo ccaallccuullaammooss::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr eell vvaalloorr ddeell sseennoo ddee 6600ºº ==

PPoorr ttaannttoo lloonnggiittuudd ddeell ttrraammoo AATT == 334466,,4411 mm..

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eess llaa lloonnggiittuudd ddeell ttrraammoo TTBB..

PPaarraa eelllloo ddiissppoonneemmooss ddee ddooss ddaattooss:: UUnn áánngguulloo ddee 3300ºº yy llaa aallttuurraa ddee llaa ttoorrrreettaa,, qquuee eess ddee 330000 mmeettrrooss..

VVaammooss aa aapplliiccaarr oottrraa ffóórrmmuullaa mmuuyy ccoonnoocciiddaa eenn ttrriiggoonnoommeettrrííaa,, iigguuaall qquuee eell ccaassoo aanntteerriioorr::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr eell vvaalloorr ddeell sseennoo ddee 3300ºº == ½½

PPoorr ttaannttoo lloonnggiittuudd ddeell ttrraammoo TTBB == 660000 mm..

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eess llaa lloonnggiittuudd ddeell ttrraammoo BBTT´́..

PPaarraa eelllloo ddiissppoonneemmooss ddee ddooss ddaattooss:: UUnn áánngguulloo ddee 4455ºº yy llaa aallttuurraa ddee llaa ttoorrrreettaa,, qquuee eess ddee 330000 mmeettrrooss..

VVaammooss aa aapplliiccaarr oottrraa ffóórrmmuullaa mmuuyy ccoonnoocciiddaa eenn ttrriiggoonnoommeettrrííaa,, iigguuaall qquuee eell ccaassoo aanntteerriioorr::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr eell vvaalloorr ddeell sseennoo ddee 4455ºº==

PPoorr ttaannttoo lloonnggiittuudd ddeell ttrraammoo BBTT´́ == 442244,,2266 mm..

LLoonnggiittuudd ttoottaall:: AATT ++ TTBB ++ BBTT´́ == 334466,,4411 ++ 660000 ++ 442244,,2266 == 11337700,,7777 mmeettrrooss

45

33.- Una estructura metálica tiene la forma y dimensiones de la figura que abajo reproducimos. Calcular la longitud de los postes AB y BE, así como la medida de los ángulos A, C, EBD y ABC.

CCuuaannddoo ttrraazzaammooss llaa aallttuurraa ccoorrrreessppoonnddiieennttee aall áánngguulloo BB,, ssoobbrree llaa bbaassee AACC,, yyaa oobbtteenneemmooss aallggoo mmuuyy iimmppoorrttaannttee,, uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo..

AAccoorrddaarrssee:: CCuuaannddoo ttrraacceemmooss uunnaa aallttuurraa,, ssiiggnniiffiiccaa qquuee eess uunnaa ppeerrppeennddiiccuullaarr aall llaaddoo ooppuueessttoo aall áánngguulloo ccoonn eell ccuuaall eessttaammooss ttrraabbaajjaannddoo..

YY llaass ppeerrppeennddiiccuullaarreess aa uunn llaaddoo ccuuaallqquuiieerraa,, ffoorrmmaann ssiieemmpprree uunn áánngguulloo ddee 9900ºº

EEnnttoonncceess,, aahhoorraa eess uunn bbuueenn mmoommeennttoo,, ppaarraa ppaarrttiirr eenn ttrroozzooss aa nnuueessttrraa ccoonnvveenniieenncciiaa,, eell ttrriiáánngguulloo ddaaddoo::

BBiieenn,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaa hhiippootteennuussaa ddee eessttee ttrriiáánngguulloo,, qquuee hheemmooss ppaarrttiiddoo,, yy qquuee eess:: AABB..

PPaarraa eelllloo aapplliiccaammooss llaa ffóórrmmuullaa ddeell TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass::

PPoorr ttaannttoo lloonnggiittuudd ddeell ppoossttee AABB == 77,,2211 mm

VVaammooss aa ppaarrttiirr ddee nnuueevvoo eell ttrriiáánngguulloo aa nnuueessttrraa ccoonnvveenniieenncciiaa,, ppaarraa sseegguuiirr ccaallccuullaannddoo vvaalloorreess yy,, aahhoorraa lloo ppaarrttiimmooss ddee llaa ffoorrmmaa qquuee mmoossttrraammooss eenn eessttee ddiibbuujjoo::

46

VV VVaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo qquuee

hheemmooss ccoolloorreeaaddoo::

VVoollvveemmooss aa aapplliiccaarr eell TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass::

PPoorr ttaannttoo lloonnggiittuudd ddeell ppoossttee BBEE == 44,,4477 mm

YYaa tteenneemmooss ccaallccuullaaddaass llaass aallttuurraass ddee llooss ddooss ppoosstteess.. AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo AA..

PPaarraa eelllloo,, vvoollvveemmooss aall ttrriiáánngguulloo qquuee hheemmooss ppaarrttiiddoo llaa pprriimmeerraa vveezz yy,, lloo vvoollvveemmooss aa ddiibbuujjaarr::

SSii vvoollvveemmooss aall aallmmaaccéénn ddee nnuueessttrraa mmeemmoorriiaa,, tteenneemmooss qquuee aaccoorrddaarrnnooss,, ccuuaall eess llaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa,, qquuee lliiggaa ddiirreeccttaammeennttee llaa rreellaacciióónn eennttrree llooss ccaatteettooss ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo.. EEss llaa ttaannggeennttee::

PPoorr ttaannttoo vvaalloorr ddeell áánngguulloo AA:: 3333ºº 4411´́ 2244´́

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC..

AAqquuíí tteenneemmooss qquuee sseerr uunn ppooccoo vviivvooss ppaarraa ddaarrnnooss ccuueennttaa ddee lloo ssiigguuiieennttee::

47

CCuuaannddoo ttrraazzaammooss llaa aallttuurraa ccoorrrreessppoonnddiieennttee aall áánngguulloo BB,, hheemmooss ddiivviiddiiddoo aall ttrriiáánngguulloo oorriiggiinnaall eenn ddooss ppaarrtteess iigguuaalleess.. LLaass mmeeddiiddaass ddeessddee eell áánngguulloo AA hhaassttaa eell ppuunnttoo ddee ccoorrttee ddee llaa aallttuurraa ccoonn eell llaaddoo AACC,, eess llaa mmiissmmaa qquuee llaa ddiissttaanncciiaa qquuee eexxiissttee eennttrree eell áánngguulloo CC yy eell cciittaaddoo ppuunnttoo ddee ccoorrttee ddee llaa aallttuurraa ccoonn eell llaaddoo AACC..

¿¿EEnnttoonncceess ccóómmoo eess eell ttrriiáánngguulloo?? IIssóósscceelleess..

EEll áánngguulloo AA eess iigguuaall aall áánngguulloo CC..

PPoorr ttaannttoo eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo CC == AA == 3333ºº 4411´́ 2244´́

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo AABBCC..

EEll ttrriiáánngguulloo AABBCC,, eess eell ttrriiáánngguulloo ddaaddoo eenn eell eennuunncciiaaddoo::

PPoorr ttaannttoo::

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB..

VVoollvveemmooss aa aapplliiccaarr llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee::

PPaarraa eelllloo,, vvoollvveemmooss aall ttrriiáánngguulloo qquuee hheemmooss ppaarrttiiddoo llaa sseegguunnddaa vveezz yy,, lloo vvoollvveemmooss aa ddiibbuujjaarr::

¿¿PPaarraa qquuéé hheemmooss ccaallccuullaaddoo eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo BB??

PPaarraa eessttoo::

PPoorr ttaannttoo::

YY eejjeerrcciicciioo rreessuueellttoo.. NNoo eess ffáácciill,, hhaayy oottrrooss mmééttooddooss.. PPeerroo eess ccoommpplleettoo..

48

34.- Los espeleólogos utilizan un carrete para medir la profundidad. Sueltan hilo del carrete y miden la longitud y el ángulo que forma con la horizontal. Se pide, en el dibujo dado, calcular la profundidad del punto B.

Como siempre, para no variar nuestros métodos, vamos a efectuar un dibujo, para gráficamente darnos cuenta de con que estamos trabajando.

VVaammooss aa hhaacceerr uunnaa ccoossiittaa,, ppaarraa qquuee nnuueessttrrooss ccáállccuullooss ssee ssiimmpplliiffiiqquueenn ee iirr ddaannddoo ppaassoo ppoorr ppaassoo,, ppaarraa nnoo ddeessppiissttaarrnnooss.. VVaammooss aa ppaarrttiirr eell ddiibbuujjoo..

EEnn eell ttrriiáánngguulloo ccoolloorreeaaddoo ddee aazzuull::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, sseenn 3300ºº == ½½

VVoollvveemmooss aa ppaarrttiirr eell ddiibbuujjoo,, eenn eell ttrraammoo ffiinnaall::

EEnn eell ttrriiáánngguulloo ccoolloorreeaaddoo ddee rroojjoo::

CCoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, sseenn 7700ºº == 00,,9933996699226622007788559900883388

PPoorr ttaannttoo llaa pprrooffuunnddiiddaadd eess:: 2200++aa++bb == 2200 ++ 1199 ++ 2288,,1199 == 6677,,1199 mmeettrrooss..

49

35.- Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de la carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7 km por esa carretera?

Como siempre, vamos a efectuar el dibujo correspondiente:

EEssttee eejjeerrcciicciioo,, eess mmuuyy sseenncciilllloo.. YYaa ppooddeemmooss ppaarrttiirr ddee llaa bbaassee,, ddee qquuee ssee ttrraattaa ddee 22 ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss..

VVaammooss aa llaa pprriimmeerraa ffiigguurraa:: CCoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddee llooss 22 ccaatteettooss,, ppoorr ttaannttoo ddeebbeemmooss ddee bbuussccaarr uunnaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa,, qquuee llooss rreellaacciioonnee aa aammbbooss.. EEffeeccttiivvaammeennttee,, vvuueellvvee aa sseerr llaa ttaannggeennttee ddee uunn áánngguulloo ccuuaallqquuiieerraa::

EEll áánngguulloo qquuee ffoorrmmaa llaa ccaarrrreetteerraa ccoonn llaa hhoorriizzoonnttaall,, eess ddee::

AAhhoorraa vvaammooss aa vveerr,, aaddeemmááss ddee eessttoo qquuee nnooss vvaa aa sseerrvviirr,, ppaarraa ccaallccuullaarr llaa ssiigguuiieennttee pprreegguunnttaa ddeell eejjeerrcciicciioo..

VVaammooss aa llaa sseegguunnddaa ffiigguurraa.. SSii hh ssoonn llooss mmeettrrooss qquuee hheemmooss ddeesscceennddiiddoo,, aapplliiccaammooss llaa ssiigguuiieennttee ffóórrmmuullaa::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn eessttaa ffóórrmmuullaa

50

CCoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa::

EEnnttoonncceess::

PPoorr ttaannttoo,, hheemmooss ddeesscceennddiiddoo:: 883344 mmeettrrooss..

36.- En una ruta de montaña una señal indica una altitud de 785 metros. Tres kilómetros más adelante, la altitud es de 1.065 metros. Calcular la pendiente media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.

Como siempre, vamos a comenzar efectuando un dibujo.

LLoo pprriimmeerroo,, ccoommoo ssiieemmpprree,, vvaammooss aa aapplliiccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass eenn uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,, ccoonnoocciieennddoo uunn ccaatteettoo yy llaa hhiippootteennuussaa..

CCaatteettoo ooppuueessttoo== 11006655--778855 == 228800

¿¿CCuuáánnttoo vvaallee aa??

51

CCoommoo hhaayy qquuee eexxpprreessaarrllaa eenn ppoorrcceennttaajjee,, mmuullttiipplliiccaammooss ppoorr 110000

PPoorr ttaannttoo::

37.- Calcular la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas:

El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea del horizonte es de 25º

Si nos alejamos 200 metros, el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10º.

Como siempre, para mantener un método propio de trabajo, vamos a hacer un dibujo y volcar estos datos del enunciado.

EEnn eessttee ttiippoo ddee pprroobblleemmaass,, ssiieemmpprree vvaammooss aa uuttiilliizzaarr llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass rreeffeerriiddaass aa llaa ttaannggeennttee.. VVeerreemmooss ccoommoo ssiieemmpprree nnooss ddaann llaass ssoolluucciioonneess..

SSii ssoommooss uunn ppooqquuiittoo oobbsseerrvvaaddoorreess,, yyaa ccaaeemmooss eenn llaa ccuueennttaa ddee qquuee,, tteenneemmooss qquuee ttrraabbaajjaarr ccoonn ddooss ttrriiáánngguullooss,, uunnoo ddee llaa pprriimmeerraa ppoossiicciióónn,, yy oottrroo eell ddee llaa sseegguunnddaa.. EEll mmééttooddoo ssiieemmpprree ssuueellee sseerr eell mmiissmmoo..

52

VVaammooss aa eemmppeezzaarr ttrraabbaajjaannddoo ccoonn eell ttrriiáánngguulloo qquuee ttiieennee uunn áánngguulloo ddee 2255ºº::

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa:: ttgg 2255ºº == 00,,446666330077665588115544999988559922883300000066

VVaammooss aa ccoonnttiinnuuaarr ttrraabbaajjaannddoo ccoonn eell ttrriiáánngguulloo qquuee ttiieennee uunn áánngguulloo ddee 1100ºº::

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa:: ttgg 1100ºº == 00,,1177663322669988007700884466449977334477110099

AAssíí ccoolloorreeaaddooss llooss vveemmooss mmuucchhoo mmeejjoorr..

EEnn eell ttrriiáánngguulloo rroojjoo:: CCaatteettoo ooppuueessttoo:: hh.. CCaatteettoo ccoonnttiigguuoo:: xx

EEnn eell ttrriiáánngguulloo ggrraannddee:: llaa ssuummaa ddeell aammaarriilllloo ++ eell ttrriiáánngguulloo rroojjoo,,

CCaatteettoo ooppuueessttoo:: hh CCaatteettoo ccoonnttiigguuoo:: 220000++xx

AAhhoorraa eess eell mmoommeennttoo ooppoorrttuunnoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaass ffóórrmmuullaass ddee llaa ttgg..

SSuussttiittuuiimmooss eell vvaalloorr ddee hh

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr yyaa,, eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa ddeell ffaarroo,, tteenneemmooss ttooddooss llooss ddaattooss.. BBaassttaa ccoonn ssuussttiittuuiirr eenn llaa pprriimmeerraa eeccuuaacciióónn::

53

PPoorr ttaannttoo llaa aallttuurraa ddeell ffaarroo eess ddee::

38.- Resolver el triángulo que dibujamos más abajo. Tenemos que calcular el valor de sus lados y de sus ángulos:

AAll lloorroooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo,, eehhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh,, ¿¿qquuéé ddaattooss ccoonnoocceemmooss??

DDee eennttrraaddaa 22 áánngguullooss yy uunn llaaddoo..

EEnnttoonncceess,, ¿¿qquuéé ppooddeemmooss ccaallccuullaarr?? EEll vvaalloorr ddeell áánngguulloo qquuee ffaallttaa::

PPoorr ttaannttoo::

AAhhoorraa eess uunn bbuueenn mmoommeennttoo,, ppaarraa ppaarrttiirr eell ttrriiáánngguulloo eenn ddooss ppaarrtteess yy eemmppeezzaarr aa eeffeeccttuuaarr ccáállccuullooss,, ddeessppaacciioo,, ppaarraa nnoo ccoommeetteerr eerrrroorreess::

54

AAhhoorraa ddeebbeerreemmooss uussaarr rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, qquuee lliigguueenn vvaalloorr ddee áánngguullooss yy llaaddooss,, ppaarraa ppooddeerr sseegguuiirr eeffeeccttuuaannddoo ccáállccuullooss::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess ccoonnoocciiddooss eenn eessttee ttrriiáánngguulloo,, qquuee hheemmooss rreeccoorrttaaddoo::

SSeegguuiimmooss aapplliiccaannddoo rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass::


EEss eell mmoommeennttoo ddee ttrraabbaajjaarr ccoonn llaa oottrraa ppaarrttee ddeell ttrriiáánngguulloo::


EEss eell mmoommeennttoo ppaarraa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess::

SSeegguuiimmooss aapplliiccaannddoo rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass::

55

AAhhoorraa aa ssuussttiiuuiirr vvaalloorreess,, eess eell mmoommeennttoo::

BBiieenn,, yyaa tteenneemmooss ttooddoo ccaallccuullaaddoo.. AAhhoorraa mmiissmmoo,, ddeebbeemmooss ddee oorrddeennaarr ttooddoo yy ddaarr llooss rreessuullttaaddooss ffiinnaalleess::

AA == 110055ºº

ÁÁnngguullooss BB == 3300ºº

CC == 4455ºº

LLaaddooss

39.- Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 metros y el ángulo de observación desde la torre(ángulo que forma la visual hacia el avión con la horizontal) es de 30º. ¿ A qué distancia está el avión del pie de la torre, si esta mide 40 metros de altura.

56

SSii oobbsseerrvvaammooss llaa ffiigguurraa,, rreessuullttaa qquuee tteenneemmooss uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo.. VVaammooss aa aapplliiccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, ppaarraa ppooddeerr ccaallccuullaarr aallggúúnn vvaalloorr ddeell ttrriiáánngguulloo..

SSuussttiittuuiimmooss vvaalloorreess::

CCoommoo hheemmooss ccaallccuullaaddoo eell vvaalloorr ddee oottrroo ccaatteettoo,, eess hhoorraa ddee uuttiilliizzaarr eell TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass::

PPoorr ttaannttoo llaa ddiissttaanncciiaa ddeell aavviióónn aa llaa ttoorrrree ddee ccoonnttrrooll,, eess ddee::

40.- Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32º con la horizontal. Si me acerco 15 metros, el ángulo es de 50º. Calcular la altura de la torre?

57

SSii oobbsseerrvvaammooss llaa ffiigguurraa,, rreessuullttaa qquuee tteenneemmooss uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo.. VVaammooss aa aapplliiccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, ppaarraa ppooddeerr ccaallccuullaarr aallggúúnn vvaalloorr ddeell ttrriiáánngguulloo..

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee llaass ttaannggeenntteess ddee llooss áánngguullooss ddee 3322ºº yy 5500ºº,, ppaarraa ssuussttiittuuiirr eenn llaass ffóórrmmuullaass aanntteerriioorreess..

VVaammooss aa ttoommaarr eessttooss vvaalloorreess,, ccoonn ttaann ssoolloo ddooss cciiffrraass,, ppaarraa ssuussttiittuuiirr::

SSii oobbsseerrvvaammooss,, tteenneemmooss uunn ssiisstteemmaa ddee 22 eeccuuaacciioonneess,, ccoonn ddooss iinnccóóggnniittaass,, ppeerroo,, ccoommoo eenn llaass ddooss eeccuuaacciioonneess tteenneemmooss llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa ““hh”” iigguuaallaammooss aammbbaass eeccuuaacciioonneess::

CCoommoo yyaa hheemmooss ccaallccuullaaddoo eell vvaalloorr ddee xx,, yyaa eessttaammooss eenn ddiissppoossiicciióónn ddee ddaarr llaa aallttuurraa ddee llaa ttoorrrree,, bbaassttaa ccoonn iirr aa uunnaa ccuuaallqquuiieerraa ddee llaass eeccuuaacciioonneess yy ssuussttiittuuiirr eell vvaalloorr ddee xx..

VVaammooss aa ttoommaarr nnoossoottrrooss,, ppoorr eejjeemmpplloo llaa 22ªª eeccuuaacciióónn,, ppaarraa qquuee llooss ccáállccuullooss sseeaann mmááss sseenncciillllooss::

PPoorr ttaannttoo llaa aallttuurraa ddee llaa ttoorrrreess,, eess ddee::

58

41.- Una persona se sitúa a la orilla del río que dibujamos a continuación, y toma las medidas que en la figura se indican. Se pide calcular la anchura del río.

OObbsseerrvvaannddoo llaa ffiigguurraa,, rreessuullttaa qquuee tteenneemmooss uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo.. VVaammooss aa aapplliiccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, ppaarraa ppooddeerr ccaallccuullaarr aallggúúnn vvaalloorr ddeell ttrriiáánngguulloo..


LLoo mmiissmmoo qquuee eenn eell eejjeerrcciicciioo aanntteerriioorr,, vvaammooss aa ttoommaarr eessttooss vvaalloorreess,, ccoonn ttaann ssoolloo ddooss cciiffrraass,, ppaarraa ssuussttiittuuiirr::

TToommaammooss eessttooss vvaalloorreess,, ccoonn ttaann ssoolloo ddooss cciiffrraass,, ppaarraa ssuussttiittuuiirr::

59

OObbsseerrvvaannddoo,, tteenneemmooss uunn ssiisstteemmaa ddee 22 eeccuuaacciioonneess,, ccoonn ddooss iinnccóóggnniittaass,, ppeerroo,, ccoommoo eenn llaass ddooss eeccuuaacciioonneess tteenneemmooss llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa ““hh”” iigguuaallaammooss aammbbaass eeccuuaacciioonneess::



PPoorr ttaannttoo llaa aanncchhuurraa ddeell rrííoo,, eess ddee::

42.- Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal, ángulos de 35º y 20º. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos edificios tienen la misma altura.

OObbsseerrvvaannddoo llaa ffiigguurraa,, rreessuullttaa qquuee tteenneemmooss,, ddee nnuueevvoo,, uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo.. VVaammooss aa aapplliiccaarr uunnaa ffóórrmmuullaa ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, ppaarraa ppooddeerr ccaallccuullaarr aallggúúnn vvaalloorr ddee llooss ttrriiáánngguullooss..


60

LLoo mmiissmmoo qquuee eenn eell eejjeerrcciicciioo aanntteerriioorr,, vvaammooss aa ttoommaarr eessttooss vvaalloorreess,, ccoonn ttaann ssoolloo ddooss cciiffrraass,, ppaarraa ssuussttiittuuiirr::

TToommaammooss eessttooss vvaalloorreess,, ccoonn ttaann ssoolloo ddooss cciiffrraass,, ppaarraa ssuussttiittuuiirr::

OObbsseerrvvaannddoo,, tteenneemmooss uunn ssiisstteemmaa ddee 22 eeccuuaacciioonneess,, ccoonn ddooss iinnccóóggnniittaass,, ppeerroo,, ccoommoo eenn llaass ddooss eeccuuaacciioonneess tteenneemmooss llaa mmiissmmaa iinnccóóggnniittaa ““hh”” iigguuaallaammooss aammbbaass eeccuuaacciioonneess::



PPoorr ttaannttoo llaa aallttuurraa ddee llooss eeddiiffiicciiooss,, eess ddee::

43.- Calcular el área de un rombo cuyo lado mide 6 cm y uno de sus ángulos es de 150º.

61

LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess ppaarrttiirr eell rroommbboo,, ppaarraa vveerr qquuee ttrriiáánngguulloo ssoommooss ccaappaacceess ddee oobbtteenneerr::

VVaammooss aa aapplliiccaarr aallgguunnaa ffoorrmmuullaa

ttrriiggoonnoommééttrriiccaa,, ppaarraa ppooddeerr sseegguuiirr

hhaacciieennddoo ccáállccuullooss::

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell sseenn 7755ºº::

EEss eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, eenn llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr::

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell ccooss 7755ºº::

VVuueellvvee aa sseerr,, eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess,, eenn llaa ffóórrmmuullaa aanntteerriioorr::

FFóórrmmuullaa ddeell áárreeaa ddee uunn rroommbboo::

SSuussttiittuuiimmooss vvaalloorreess::

PPoorr ttaannttoo eell áárreeaa ddeell rroommbboo,, eess ddee::

62

44.- Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior P, forman un ángulo de 50º. Calcular la distancia PO, sabiendo que el radio de la circunferencia es de 12,4 cm.

AAll oobbsseerrvvaarr llaa ffiigguurraa,, qquuee tteenneemmooss rraayyaaddaa vveemmooss qquuee tteenneemmooss uunn ttrriiáánngguulloo,, ppoorr ttaannttoo vvaammooss aa aapplliiccaarr aallgguunnaa rraazzóónn ttrriiggoonnoommééttrriiccaa,, ppaarraa ccaallccuullaarr ddiirreeccttaammeennttee llaa ddiissttaanncciiaa ppeeddiiddaa::

AAhhoorraa vvaammooss aa ddeessppeejjaarr llaa ddiissttaanncciiaa ppeeddiiddaa OOPP yy ccoonn uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa bbuussccaarr eell vvaalloorr ddeell sseenn ddeell áánngguulloo ddee 2255ºº::

PPoorr ttaannttoo llaa ddiissttaanncciiaa OOPP == 2299,,33442211 ccmm..

45.- El diámetro de una moneda de 2 Euros mide 2,5 cm. Averiguar el ángulo que forman sus tangentes trazadas desde una distancia de 4,8 cm del centro.

EEll áánngguulloo qquuee ffoorrmmaann llaass ttaannggeenntteess eess eell áánngguulloo AA.. ccoommoo vvaammooss aa ccaallccuullaarr llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ddee uunnoo ddee llooss ttrriiáánngguullooss qquuee ffoorrmmaann llaa rreeccttaa ttrraazzaaddaa ddeessddee eell cceennttrroo ddee llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa hhaassttaa eell ppuunnttoo eexxtteerriioorr ddoonn ddee ccoorrttaann llaass ttaannggeenntteess,, vvaammooss uuttiilliizzaarr llaass mmeeddiiddaass ddeell áánngguulloo AA//22..

63

PPoorr ccoonnssiigguuiieennttee,, aahhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr,, eell vvaalloorr ddeell áánngguulloo AA

EEll áánngguulloo ppeeddiiddoo AA::

46.- En dos comisarías de policía A y C, se escucha la alarma de un banco B. Con los datos que facilitamos en el dibujo, se pide calcular la distancia del banco, a cada una de las comisarías.

OObbsseerrvvaannddoo llaa ffiigguurraa,, hheemmooss oobbtteenniiddoo ddooss ttrriiáánngguullooss rreeccttáánngguullooss,, aall ttrraazzaarr llaa aallttuurraa hh..

VVaammooss aa aapplliiccaarr llaass ffóórrmmuullaass ddee llaass rraazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass,, ppaarraa ccaallccuullaarr vvaalloorreess..

AAccoorrddaaooss qquuee ssiieemmpprree qquuee vvaammooss aa ccaallccuullaarr ddiissttaanncciiaass,, lloo pprriimmeerroo qquuee ddeebbeemmooss ddee ttrraaeerr aa llaa mmeennttee eess llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee..

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr llaa ttaannggeennttee ddee 2277ºº::

EEss hhoorraa ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee::

DDee mmoommeennttoo,, nnoo ppooddeemmooss hhaacceerr nnaaddaa mmááss.. SSiiggaammooss..

64

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr llaa ttaannggeennttee ddee 3355ºº::

EEss hhoorraa ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee::

CCoommoo llooss ddooss pprriimmeerrooss mmiieemmbbrrooss ddee llaa eeccuuaacciióónn ssoonn iigguuaalleess ((hh)) iigguuaalleemmooss aammbbaass eeccuuaacciioonneess::

CCoonn eessttee ccáállccuulloo qquuee aaccaabbaammooss ddee eeffeeccttuuaarr,, eessttaammooss eenn ccoonnddiicciioonneess ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee hh..

BBaassttaa ssuussttiittuuiirr eell vvaalloorr ddee xx eenn uunnaa ddee llaass aanntteerriioorreess eeccuuaacciioonneess::

VVaammooss aa ssuussttiittuuiirr eenn eessttaa,, ppaarraa ffaacciilliittaarr eell ccáállccuulloo::

UUnnaa vveezz ccoonnoocciiddoo eell vvaalloorr ddee llaa aallttuurraa,, eessttaammooss eenn ssiittuuaacciióónn ddee ppooddeerr ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee ccuuaallqquuiieerraa ddee llooss ccaatteettooss ddee llooss ddooss ttrriiáánngguullooss..

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr ttrraabbaajjaannddoo ccoonn eell ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo,, qquuee ttiieennee uunn áánngguulloo ddee 2277ºº::

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee llaa ccaallccuullaaddoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell sseennoo ddeell áánngguulloo ddee 2277ºº::

AAhhoorraa eess eell mmoommeennttoo ddee ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddeell ccaatteettoo dd::

LLaa ddiissttaanncciiaa ddee llaa ccoommiissaarrííaa ssiittuuaaddaa eenn AA,, hhaassttaa eell bbaannccoo eess ddee:: 33,,22338855 kkmm..

AAhhoorraa vvaammooss aa ccoonnttiinnuuaarr ttrraabbaajjaannddoo,, ccoonn eell ttrriiáánngguulloo,, qquuee ttiieennee uunn áánngguulloo ddee 3355ºº::

65

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa,, vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell sseennoo ddee 3355ºº::

AAhhoorraa eess eell mmoommeennttoo ddee ddeessppeejjaarr DD yy,, ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa::

LLaa ddiissttaanncciiaa ddee llaa ccoommiissaarrííaa ssiittuuaaddaa eenn BB,, hhaassttaa eell bbaannccoo eess ddee:: 22,,55667733 kkmm..

47.- Desde el faro F se observa el barco A bajo un ángulo de 43º con respecto a la línea de la costa; y el barco B, bajo un ángulo de 21º. Sabemos que el barco a está a 5 km. de distancia a la costa y el barco B está a 3 km. De distancia. Calcular al distancia entre los dos barcos.

EEssttee pprroobblleemmiittaa yyaa eess uunn ppooccoo ddiiffeerreennttee aa lloo qquuee hheemmooss vviissttoo hhaassttaa aahhoorraa.. VVaammooss aa eessttaarr mmuuyy aatteennttaass//ooss aa llooss ddooss ttrriiáánngguullooss qquuee ssee ffoorrmmaann::

LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss aa hhaacceerr,, eess ccaallccuullaarr llaa ddiissttaanncciiaa ddee FF hhaassttaa eell bbaarrccoo AA::

66

VVaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo rreelllleennoo ddee

ccoolloorr vveerrddee..



AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr llaa ddiissttaanncciiaa FFBB::



AAhhoorraa vvaammooss aa hhaacceerr oottrroo ddiibbuujjoo,, ppaarraa vvoollccaarr llooss ddaattooss qquuee hheemmooss ccaallccuullaaddoo::

67

¿¿OOss hhaabbeeííss ddaaddoo ccuueennttaa,, qquuee aahhoorraa aappaarreeccee uunn nnuueevvoo áánngguulloo ddee 2222ºº?? NNoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo?????????????????????????????????????????????????? HHaayy qquuee aannddaarr lliissttooss,, eehh eessttee eess uunn ttrruuccoo eessccoonnddiiddoo.. PPoorr ttaannttoo aatteennttaass yy aatteennttooss ttooddaass//ooss..

¿¿LLaa eetteerrnnaa pprreegguunnttaa,, ppoorrqquuéé??

PPoorrqquuee 4433ºº -- 2211ºº == 2222ºº ¿¿vvaalleeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee??

VVaammooss aa ccaallccuullaarr eell ccaatteettoo qquuee nnooss ffaallttaa,, eess ddeecciirr ““dd””..

PPaarraa eelllloo,, vvaammooss aa aapplliiccaarr llaa ffóórrmmuullaa ddeell sseennoo ddeell áánngguulloo ddee 2222ºº

CCoonn llaa aayyuuddaa ddee uunnaa ccaallccuullaaddoorraa::

AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee xx:: EEss eell ccaatteettoo ddeell ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo ppeeqquueeññiittoo,, qquuee ssee ffoorrmmaa eenn llaa ddeerreecchhaa..

PPaarraa eelllloo,, vvaammooss aa aapplliiccaarr llaa ffóórrmmuullaa ddeell ccoosseennoo ddeell áánngguulloo ddee 2222ºº


AAhhoorraa vvaammooss aa ccaallccuullaarr eell vvaalloorr ddee ““yy””..

VVaammooss aa rraazzoonnaarr uunn ppooqquuiittoo ccoommoo llaass vviieejjeecciittaass:: SSii ttooddaa llaa bbaassee,, mmiiddee 88,,3377 KKmm,, ““yy”” vvaallddrráá 88,,3377 –– xx ¿¿aallgguunnaa dduuddaa?? ¿¿ddiiffiicciilliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiííssiimmoo,, vveerrddaadd??

SSii eecchhaammooss uunn vviissttaazzoo aa ttooddooss llooss vvaalloorreess qquuee hheemmooss ccaallccuullaaddoo,, oobbsseerrvvaarreemmooss,, qquuee ddeell ttrriiáánngguulloo ttoottaall tteenneemmooss llaa hhiippootteennuussaa yy uunnoo ddee llooss ccaatteettooss.. EEnnttoonncceess ssii uuttiilliizzaammooss eell TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass,, ppooddrreemmooss ccaallccuullaarr llaa hhiippootteennuussaa,, ddeell ttrriiáánngguulloo ppeeqquueeññiittoo qquuee ssee hhaa ffoorrmmaaddoo eenn llaa ddeerreecchhaa,, qquuee eenn rreeaalliiddaadd vvaa aa sseerr llaa ddiissttaanncciiaa ppeeddiiddaa eenn eell eennuunncciiaaddoo.. ¿¿OOss ddaaiiss ccuueennttaa??

68

PPoorr ttaannttoo llaa ddiissttaanncciiaa eennttrree llooss bbaarrccooss AA yy BB,, eess ddee::

48.- Para calcular la altura del edificio PQ, hemos medido los ángulos que indica el dibujo. Sabemos que hay un funicular para ir del punto S a Q, que sus cables tienen una longitud de 250 metros. Calcular la altura del edificio.

VVaammooss aa ccaallccuullaarr llaass

ddiissttaanncciiaass SSRR yy RRQQ ccoonn

eell ttrriiáánngguulloo SSQQRR..

LLoo ddiibbuujjaammooss ddee nnuueevvoo::

AAhhoorraa vvaammooss aa ttrraabbaajjaarr ccoonn eell oottrroo ttrriiáánngguulloo,, ppaarraa ccaallccuullaarr llaa ddiissttaanncciiaa RRPP.. LLoo ddiibbuujjaammooss::

VVaammooss aa uuttiilliizzaarr llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee::

69

EEss eell mmoommeennttoo ddee ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess eenn llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee::


AAhhoorraa yyaa ccuuaannddoo eessttaammooss lllleeggaannddoo aall ffiinnaall,, ¿¿ccuuááll eess llaa aallttuurraa ddee llaa ccaassaa??

SSeenncciilllloo llaa aallttuurraa,, eess:: PPQQ == PPRR -- RRQQ

PPoorr ttaannttoo:: LLaa aallttuurraa ddeell eeddiiffiicciioo eess::

49.- Sabiendo que la distancia desde el punto más alto de una almena R hasta, la base de otra almena Q es de 15 metros. Calcular la altura de la almena PQ.

VVaammooss aa ccoommeennzzaarr ttrraabbaajjaannddoo,, ccoonn eell ttrriiáánngguulloo ccoolloorreeaaddoo:: RRSSQQ::

70

LLoo pprriimmeerroo qquuee vvaammooss ccaallccuullaarr eess eell vvaalloorr ddee llooss ddooss ccaatteettooss:: SSRR yy SSQQ..

PPaarraa eelllloo aapplliiccaammooss,, llaass ffóórrmmuullaass ddeell sseennoo yy ccoosseennoo ddee uunn ttrriiáánngguulloo rreeccttáánngguulloo::


eenn llaa ffóórrmmuullaa..



AAhhoorraa eess eell mmoommeennttoo ddee ttrraabbaajjaarr ccoonn eell ttrriiáánngguulloo ddee aarrrriibbaa,, ppaarraa eelllloo,, lloo ddiibbuujjaammooss::

TTrraattaarreemmooss ddee ccaallccuullaarr llaa ddiissttaanncciiaa PPSS:: EEss llaa ddiissttaanncciiaa eexxiisstteennttee eennttrree llaa aallttuurraa ddee llaa aallmmeennaa mmááss aallttaa,, hhaassttaa llaa cciimmaa ddee llaa aallmmeennaa mmááss bbaajjaa::

PPaarraa eelllloo,, bbaassttaa ccoonn aapplliiccaarr llaa ffóórrmmuullaa ddee llaa ttaannggeennttee,, ppuueessttoo qquuee ccoonnoocceemmooss eell vvaalloorr ddeell ccaatteettoo SSRR..

VVoollvveemmooss aa ssuussttiittuuiirr vvaalloorreess



71

OOttrraa vveezz,, hheemmooss lllleeggaaddoo hhaassttaa eell ffiinnaall,, ppoorr ttaannttoo ¿¿ccuuááll eess llaa aallttuurraa ddee llaa aallmmeennaa mmááss aallttaa??

PPoorr ttaannttoo llaa aallttuurraa ddee llaa aallmmeennaa ppeeddiiddaa,, eess::

50.- En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide el doble que el otro.

a) Si llamamos x al cateto menor, expresar en función de x el otro cateto y la hipotenusa.

b) Calcular las razones trigonométricas del ángulo menor.

c) Calcular los ángulos de ese triángulo.

Llamamos x al cateto menor

Llamamos 2x al cateto mayor

b) Vamos a calcular las razones trigonométricas del ángulo menor, que es A.

72

c) Ahora es el momento de calcular el valor de los otros dos ángulos del triángulo:

¿Cómo calculamos el valor del ángulo C? Pues como sabemos que, la suma de los 3 ángulos de un triángulo es de 180º, restamos y:

Y ya tenemos el problema resuelto.

51.- El seno de un ángulo es igual a la mitad d su coseno. Calcula sen cos y tg

Volvemos a la fórmula:

¿Qué podremos hacer, para seguir efectuando cálculos. Como siempre, una de las claves podrá ser la fórmula de la razón fundamental de la trigonometría:

Ahora sustituimos en esta fórmula, el valor del

Por tanto, primera solución:

Volvemos a la fórmula:

73

Por tanto, segunda solución:

La tercera solución, la teníamos desde el principio calculada:

52.- En el triángulo rectángulo ABC, ¿Cúanto valen las siguientes relaciones entre sus lados?

Primera solución:

Aplicamos la fórmula de la razón fundamental de la trigonometría:

Conocemos el valor del sen A, sustituimos:

Ahora vamos a simplificar para dar la solución:

74

Segunda solución:

Para dar la solución final, procedemos a racionalizar el denominador:

Por tanto tercera solución:

Si

Por tanto cuarta solución:

53.- Utilizando las relaciones fundamentales, simplificar la siguiente expresión:

Razón fundamental Razón fundamental

1 + 1

Por tanto:

75

54.- Utilizando las relaciones fundamentales, demuestra que:

a)

Lo primero que haremos, es procurar simplificar, para hacer los cálculos más sencillos:

Vamos a sacar factor común:

Razón fundamental. (c.q.d)

b)

Vamos a sacar factor común:

c.q.d

c)

Vamos a utilizar la siguiente expresión:

55.- ¿Puede existir un ángulo cuyo seno sea igual a 2? ¿ Y uno cuyo coseno sea igual a 3/2? Razonar la respuesta.

Vamos a dibujar un triángulo rectángulo, para ver claramente la solución y, de una manera gráfica.

76

No pueden ocurrir, ninguna de las dos cosas.

Observando el dibujo, lo vemos claramente:

Sabemos una cosa: En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los dos catetos, es decir, se cumple:

Esto significa, que 1 es mayor que el seno de A. Por tanto el seno de A, es menor de 1.

Esto significa, que 1 es mayor que el coseno de A. Por tanto el coseno de A, es menor de 1.

Se cumple en CUALQUIER TRIANGULO RECTÁNGULO.

De otra forma: Los valores máximos, tanto del seno como del coseno de cualquier ángulo, oscilan entre 0 y + 1

56.- Dibujar un triángulo rectángulo en el que la tangente de uno de sus ángulos agudos valga 2. ¿Cuánto vale la tangente del otro ángulo agudo?

Ahora es el momento de echar un vistazo a éstas dos últimas fórmulas y, observar atentamente a la conclusión que podemos llegar.

Efectivamente, llegamos a esta conclusión:

Para conocer la tangente del ángulo agudo, tenemos que ir a las siguientes fórmulas:

77

Hemos cambiado las razones del ángulo β por las razones del ángulo α.

Por tanto

57.- Vamos a considerar el triángulo dibujado. Y a partir de él, vamos a calcular:

a) La proyección de MN sobre MP.

b) La altura correspondiente a la base MP.

c) El área del triángulo.

Este triángulo, es el dado en el enunciado. Vamos a trazar la proyecció n de MN sobre MP.

a) Aplicamos la fórmula de las relaciones trigonométricas del coseno:

Con una calculadora: cos 52º = 0,61566147532565827966881109284366

78

Por tanto el valor de la proyección de MN sobre MP =

Ahora vamos a calcular el valor de la altura del triángulo:

Tendremos que buscar la razón trigonométrica, que nos ligue la altura con un valor conocido, para poder efectuar cálculos:

Con una calculadora:

Sen 52º = 0,78801075360672195669397778783585

Por tanto el valor de la altura, es:

Ahora ya podemos calcular, la superficie del triángulo:

Por tanto la superficie del triángulo, es:

58.- Resuelve el siguiente triángulo, dibujado abajo.

Esta tanda de ejercicios, son para recordarnos las fórmulas que ligan lados y ángulos de un triángulo rectángulo.

Vamos a escribirla, para traerla a la memoria, ella va a ser la clave, para poder resolver, cualquier triángulo:

Esta va a ser la fórmula “capital” para calcular cualquier medida de cualquier triángulo.

Vamos a hacer algo muy sencillo, es sustituir en esta fórmula los valores dados en el enunciado.

79

Por tanto:

Vamos a calcular el valor del ángulo B.

Procedemos a sustituir valores en esta fórmula:

Por tanto, como el coseno es negativo: estará situado en el 2º cuadrante, ya que la limitación de la suma de los ángulos de un triángulo son 180º.

Por tanto:

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el valor del ángulo C.

Si la suma de los 3 ángulos de un triángulo es de 180º, es sencillo:

Por tanto:

59.- Resuelve el siguiente triángulo, dibujado más abajo.

80

En este problema, se nos plantea una variante, con respecto al anterior, conocemos dos lados y uno de los ángulos.

Lo primero que haremos, será calcular el valor del lado, que nos falta.

Con la ayuda de una calculadora: 0,76604444311897803520239265055542

Por tanto:

Deberemos de acordarnos de la fórmula entre los lados y los ángulos de un triángulo. Vamos a escribirla:

Vamos a sustituir valores en esta fórmula:

Con la ayuda de una calculadora: sen 40º = 0,64278760968653932632264340990726

A =

Porque sumando dos ángulos como son:

Por tanto:

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el valor del ángulo B.

Si la suma de los 3 ángulos de un triángulo es de 180º, es sencillo:

Por tanto:

81


En este ejercicio, conocemos dos lados y dos ángulos. Vamos a escribir la fórmula correspondiente.

Pero lo primero que debemos hacer, es calcular el valor del ángulo A, que el único que nos falta.

Por tanto:

Ahora, ya escribimos la fórmula, a la que hacíamos mención anteriormente:

Procedemos a sustituir valores:

Con la ayuda de una calculadora, obtenemos:

Por tanto:

Ahora vamos a calcular el lado que nos falta:

Con la ayuda de una calculadora: 0,86602540378443864676372317075294

82

Por tanto:


Recordamos que la suma de los 3 ángulos de un triángulo, es de 180º

Por tanto:

Aplicamos, el Teorema del Seno:

Sustituimos valores en esta fórmula:

Con la ayuda de una calculadora: sen 35º = 0,57357643635104609610803191282616

Sen 110º = 0,93969262078590838405410927732473

Ahora sustituimos estos valores obtenidos en la formula anterior:

Por tanto el valor del lado:

Si el ángulo A = ángulo C, entonces a = c. Es un triángulo isósceles. Tiene dos lados iguales.

Por tanto el valor del lado:

62.- Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm, y uno de sus lados 7 cm. El ángulo que forman las rectas sobres las que se encuentran los lados no paralelos es de 32º. Calcular la medida del otro lado y el área del trapecio.

83

Triángulo APB Triángulo DPC

Los triángulos APB y DPC, son semejantes, por tanto, en función del Teorema de Tales, resulta:

¿Cómo podremos seguir? Es el momento de pararse un poquito, e intentar acordarse de alguna fórmula que nos encaje, conociendo un lado y un ángulo.

Entonces, ¿Por qué ni aplicamos el teorema del coseno en el triángulo APB?

¿Nos acordaremos de ella? Vamos a escribirla:

En nuestro triángulo APB,sería:

Es el momento de proceder a sustituir los valores conocidos en la fórmula anterior:

Con la ayuda de una calculadora: cos 32ª = 0,84804809615642597038617617869039

Trasponemos términos, pasando 100 al primer miembro:

Tenemos dos soluciones,

Y = 0 Esta solución NO es válida

Y = 16,96 cm Por tanto, esta es la única solución válida.

84

Ahora es el momento de volver a aplicar las fórmulas de la semejanza de triángulos,

Sustituimos los valores conocidos en esta fórmula:

z = 11.872 cm. es lo que mide el otro lado AD, del trapecio.

Es el momento de trabajar con el triángulo PDC.

Es el triángulo de arriba GIRADO, para que

nos sea más fácil, ver lo que vamos a hacer.

Si observamos con detenimiento, ya estamos en condiciones de afirmar que es un triángulo isósceles, es decir que tiene dos lados y dos ángulos iguales

Entonces DC = CP = 17 cm

Y si el ángulo P = D = 32º

Es el triángulo anterior, en el cual hemos trazado la altura h. Es un trapecio rectángulo.

Con la ayuda de una calculadora, sen 32º = 0,5299

85

Ahora ya tenemos todos los datos calculados, es hora de calcular la superficie del trapecio. Vamos a recordar su fórmula:

Sustituimos valores:

63.-Si queremos que una cinta transportadora de 25 metros eleve la carga hasta una altura de 15 metros, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?

64.- Una persona de 1,78 metros del estatura proyecta una sombra de 66 cm. y en ese momento un árbol da una sombra de 2,3 metros.

1º).- ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal?

2º.- ¿Cuál es la altura del árbol?

86

Por tanto ángulo que forman los rayos del sol:

Por tanto altura del árbol:

65.-Calcula los lados iguales y el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 24 cm y el ángulo opuesto a la base mide 40º

En el triángulo de la derecha, aplicamos la fórmula de la razón trigonométrica del seno, para calcular el valor del lado:

Ahora con una calculadora, el valor del sen 20ª = 0,34202.

Sustituimos valores en la fórmula anterior y:

Por ser un triángulo isósceles los lados b y c son iguales, por tanto:

b = c = 35,085 cm

Ahora ya vamos a calcular la superficie del triángulo:

Para ello, lo primero que tendremos que calcular el valor de la altura del triángulo:

87

Con la ayuda de una calculadora, tg 20º = 0,36397023426620236135104788277683

Por tanto el valor de la altura, es: 32,96975 cm.

Ya estamos en condiciones de poder calcular la superficie del triángulo dado.

Por tanto la superficie del triángulo, es: 395,637 cm.

66.- Resolver el siguiente triángulo: a = 100 m. B = 47º y C = 63º

Lo primero que haremos, será buscar una fórmula que nos pueda ligar el valor de dos ángulos y un lado del triángulo.

Aplicamos el Teorema del Seno. Volvemos a escribirlo, para recordarlo:

Conocemos del valor de los ángulos A y B y el lado a.

Vamos a calcular el valor del ángulo A, sabiendo que la suma de los 3 ángulos del triángulo suman 180º.

Por tanto, el valor del ángulo A = 70º

Con la ayuda de una calculadora, vamos a buscar el valor del sen 47º y el de 70º

88

Por tanto, el valor del lado b = 77,8288 m.

Para calcular el valor del lado c, volvemos a aplicar el teorema del seno:

El seno del ángulo de 70º, ya le tenemos calculado anteriormente:

Por tanto, el valor del lado c = 91,8185 m.

67.- Resolver el siguiente triángulo a = 70 m, b = 55 m y C = 73º

Como siempre, tenemos que buscar una fórmula, que nos ligue los datos conocidos, en este caso 2 lados y un ángulo.

Aplicamos el Teorema del Coseno. Lo escribimos para recordarlo:

Vamos a calcular el valor del cos 73º = 0,29237170472273672809746869537714

Por tanto valor del lado c = 75,32 m.

89

Ahora vamos a calcular el valor del otro lado a. Volvemos a aplicar el teorema del Coseno.

Por tanto, valor del ángulo A = 62º 43’ 49,4’’

Y ahora ya aplicando la fórmula de la suma de los ángulos de un triángulo, podemos calcular el ángulo que nos falta.

Por tanto valor del ángulo B = 44º 16’ 10,6’’

68.- Resolver el siguiente triángulo a = 25 m, b = 30 m y c = 40 m

En este caso, conocemos el valor de los tres lados del triángulo, por tanto la única fórmula que podremos aplicar, es el teorema del Coseno.

Lo primero que haremos, es calcular el valor del ángulo A.

Despejamos Cos A

Por tanto valor del ángulo A = 38º 37’ 29,4’’

Lo segundo que haremos, será calcular el valor del ángulo B. Volvemos a aplicar el Teorema del Coseno:

Despejamos Cos B

90

Por tanto, valor del ángulo B = 48º 30’ 33’’

Y, para calcular el valor del ángulo C que nos falta, simplemente aplicamos la fórmula de la suma de los ángulos de un triángulo, que es de 180º.

Por tanto, valor del ángulo C = 92º 51’ 37,6’’

69.- Calcular los lados y los ángulos del triángulo ABC, sabiendo que el ángulo a = 50º, el lado a = 7 cm y el segmento AD = 3 cm.

Vamos a comenzar trabajando con el triángulo rectángulo ABD.

En este triángulo, conocemos el valor del ángulo de 50º y el valor de un cateto.

Vamos a aplicar la fórmula de la razón trigonométrica del seno:

Con la ayuda de una calculadora: cos 50º = 0,64278760968653932632264340990726

Por tanto, valor del lado AB = 4,7 cm.

Ahora, una vez obtenido el dato, podemos calcular el valor de la altura del triángulo BD, aplicando la fórmula de la razón trigonométrica de la tangente, que liga entre sí, el valor de los catetos de un triángulo rectángulo.

91

Con la ayuda de una calculadora, tg 50º = 1,1917535925942099587053080718604

Por tanto, valor de la altura BD = 3,6 cm.

Ahora, es el momento de cambiar de triángulo seleccionado, e irnos a echar un vistazo al otro triángulo, formado por BDC.

Lo primero que haremos, será calcular el valor del ángulo C.

Para ello conocemos el valor del cateto opuesto y la hipotenusa, apliquemos la fórmula de la razón trigonométrica del seno de un ángulo en un triángulo rectángulo:

Por tanto valor del ángulo C = 30º 56’ 59’’

Si aplicamos la fórmula de la razón trigonométrica del coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo, calcularemos el valor de DC.

Con la ayuda de una calculadora, cos 30º56’59’’ = 0,85714285714285714285714285

Por tanto DC = 6cm. Y la Base AC = AD + DC = 3 + 6 = 9 cm.

Tan solo nos queda por calcular el valor del ángulo B y, para ello aplicando al fórmula de que la suma de los 3 ángulos de un triángulo suman 180º, la obtenemos:

Por tanto el valor del ángulo B = 99º 3’ 1’’

92

70.-Calcular el ángulo que forma la diagonal de la cara de un cubo y la diagonal del cubo.

Base del cubo

La diagonal AC divide a la base en dos triángulos rectángulos isósceles iguales, donde AC es la hipotenusa.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

En el triángulo coloreado en rojo ACD, es un

triángulo rectángulo, donde AD es la hipotenusa.

Aplicamos de nuevo el Teorema de Pitágoras:

Vamos a racionalizar el denominador, para dar la respuesta correcta:

Por tanto el ángulo que forma la diagonal de la cara de un cubo con diagonal, es

A = 35º 15’ 52’’

93

71.-En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 metros y 8 metros de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7 metros. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto?

Como conocemos el valor de los 3 lados del

triángulo, aplicamos el teorema del coseno:

Por tanto B = 60º

72.- En el rombo abajo dibujado, calcular el área y las longitudes de los lados y de la diagonal que falta BD.

La diagonal AC divide al paralelogramo en dos

triángulos iguales.

Por tanto, con resolver uno de ellos, habremos

calculado el valor de todos los lados.

73.- Para subir a una ventana que está situada a 4m de altura del suelo disponemos de una escalera de 5 m de longitud. ¿A qué distancia de la base de la pared habrá que situar la base de la escalera para subir con facilidad?

94

Por ser un triángulo rectángulo, aplicaremos el Teorema de Pitágoras:

Por tanto la distancia = 3 metros

74.- Un plano inclinado tiene una longitud de 8m. Desde la base la altura máxima es de 2m. Si se desea que la altura máxima sea de 2,5 m. ¿cuántos metros hay que alargar el plano inclinado sin cambiar el ángulo de inclinación?

El seno del ángulo del dibujo es una magnitud constante, tanto en un triángulo como en otro tiene que tener el mismo valor.

Vamos a resolver este sistema y tendremos la solución:

Por tanto hay que aumentar: 2 metros el plano inclinado

75.- Se observa la cima de una montaña con un ángulo de elevación de 62º. Si nos alejamos 400 m. el ángulo de elevación es ahora de 32º. Calcular la altura de la montaña.

95

Por tanto, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones: Por tanto la montaña, mide: 199,044 metros 76.- Desde un punto A se observa un pájaro volando con un ángulo de elevación de 24º. Desde otro punto B (situado al otro lado del pájaro y a 300 m del anterior) se observa el mismo pájaro con 30º de elevación. Calcular la altura del pájaro y la distancia, en línea recta, desde el punto B al pájaro. Con una calculadora, sabemos que el valor de la tg de 24º = 0,4452

96

Ya tenemos la primera ecuación. Ahora vamos ya con la segunda en el otro triángulo: Sabemos que el valor de la tangente de 30º = El sistema resultante, nos queda: Vamos a despejar x en la 2ª ecuación: Vamos a sustituir valores: Por tanto la altura del pájaro será: 1ª Respuesta: Altura del pajarraco: 75,4094 metros Ahora vamos a calcular la distancia que hay desde el punto B al pájaro. Como el ángulo desde el que se ve es de 30º:

97

2ª Respuesta: Distancia del pajarraco: 150,8188 metros 77.- Desde un cierto punto se observa la copa de un árbol bajo un ángulo de 40º. Desde el mismo punto y a una altura de 2 m. Se observa la copa del mismo árbol bajo un ángulo de 20º. Calcular la altura del árbol y a qué distancia nos encontramos del mismo. Con una calculadora: tg 40º = 0,8391 Por otra parte establecemos: Con una calculadora: tg 20º = 0,364 Por tanto nos encontramos a una distancia de: 4,21 metros Entonces la altura del árbol, será: La altura del árbol es de: 3,5326 metros.

Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Resolución de Triángulos 1º Bachillerato o antiguo...

Documents

Transcript of Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Resolución de Triángulos 1º Bachillerato o antiguo...