lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ...

lisari teaμ…αντικές ικανότητες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ομάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών

Οικονομίας και Πληροφορικής

Μοιραζόμαστε μαζί σας 23 εμπνεύσεις

της τελευταίας στιγμής!

Επιμέλεια προτάσεων: lisari team

Συντονιστής: Παύλος Τρύφων

Σχολικό έτος: 2015-2016

__________________________________________________________________________________

lisari teaμ…αντικές ικανότητες Μάιος 2016 http://lisari.blogspot.gr

ΙΔΕΑ 1η: Εύρεση συνόλου τιμών από συναρτησιακή σχέση, με χρήση του ορισμού του συνόλου

τιμών.

Παράδειγμα 1

Αν f f x 4x 3, για κάθε x 1R τότε f R R

Υπόδειξη

Πράγματι, εύκολα δείχνουμε ότι η f είναι 1 1 . Αρκεί να αποδείξουμε ότι fR R , δηλαδή για

0y R , αναζητούμε 0x R τέτοιο, ώστε:

(εναλλακτικά: αν 0y R τότε για 0

0

y 3x f

4

έχουμε

0 0 0

0 0

y 3 y 3 y 3f x f f f f 4 3 y f

4 4 4

R R )

ΙΔΕΑ 2η: Από μία σχέση της μορφής 2f x dx 0

με να προκύπτει ότι f x 0 στο

, . Εναλλακτικά: Αν f ορισμένη και συνεχής στο , , με f x dx 0

και f x 0

χωρίς η f να είναι παντού μηδέν στο , τότε


Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση f : 0,1 R με την ιδιότητα

1

x 2

0

14 e f x f x dx 1

e

Υπόδειξη

1 1 1

21x 2 x 2 x x x

00 0 0

14 e f x f x dx 1 4 e f x f x dx e ... e 2e f x 1 dx 0

e

Αν η συνάρτηση 2

x xx e 2e f x 1 δεν ήταν παντού μηδέν στο 0,1 τότε

1

2x x

0

e 2e f x 1 dx 0, άτοπο.

f 1 1

0

0 0 0 0 0 0 0

3 f yf x y f f x f y 4x 3 f y x

4

__________________________________________________________________________________


Άρα x 0 στο 0,1 οπότε x

1f x , x 0,1

2e .


Αν για , 1 ισχύει 2 2

2 x 1dx2

, αποδείξτε ότι

Υπόδειξη

2 2

2 x 1dx 2 x 1dx xdx x 2 x 1 dx 0 12

Όμως

x 2 x 1 0, για κάθε x 1 (με την ισότητα να ισχύει μόνο για x 2 )

Άρα αν

, . . x 2 x 1 dx 0,

άτοπο από τη σχέση 1

ΙΔΕΑ 3η: Διαφορική εξίσωση με ορισμένο ολοκλήρωμα


1

0

f x f x xf x dx 1 f 0 1

Υπόδειξη

Θέτουμε: 1

0

A xf x dx 1 άρα η δεδομένη σχέση γίνεται:

xe

xf x f x A ... f x A A 1 e

Όμως

1 1

x x

0 0

A xf x dx 1 A x A A 1 e dx 1 ... A 0 f x e

ΙΔΕΑ 4η: Εμβαδόν μεταξύ συνάρτησης, εφαπτομένης σε σημείο καμπής της και κατακόρυφων

ευθειών εκατέρωθεν του σημείου καμπής.

__________________________________________________________________________________


(H κυρτότητα της συνάρτησης θα καθορίσει τη σχετική της θέση ως προς την εφαπτομένη…)

ΙΔΕΑ 5η: Ορισμένο ολοκλήρωμα που περιέχει τη ζητούμενη συνάρτηση και είναι σταθερό ως

προς τη μεταβλητή παραγώγισης.


1

0

f x 1 1 3xt f t dt

Υπόδειξη

Θέτουμε: 1 1

0 0

A f t dt tf t dt οπότε

1 1 1

0 0 0

f x 1 1 3xt f t dt 1 f t dt 3x tf t dt 1 A 3 x

Είναι

1 1 1

0 0 0

2 5 8A f t dt 1 A 3 t dt ... B tf t dt ... A f x 2x

3 3 3

ΙΔΕΑ 6η: Επίλυση (ή πλήθος ριζών) εξίσωσης f x g x , όπου η f παρουσιάζει ελάχιστο στο

0x το k και η g παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το k .


__________________________________________________________________________________


ΙΔΕΑ 7η: Διαφορική…με το σύμβολο


Αν συνάρτηση f : [0,1] R παραγωγίσιμη στο 0,1 με

x 1 x 1 x 1x e 1 f x e 0,1 x f , 1e x x

Να αποδείξετε ότι ή f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1

Υπόδειξη

Για x 0 και x 1 βρίσκουμε f 0 0 και f 1 0 . Είναι:

x 1 x 1 x 1e 1 xe f x 1 0x e f x

και αν υποθέσουμε ότι 0, ά x 0,1f x τότε ισοδύναμα:

x 1 x 1 x 1

2

e 1 xe f x x0

f x

e 1 f x

x 1x e 1

f x0

Από το θεώρημα Rolle για την

x 1x e 1g x

f x

στο 0,1 , υπάρχει 0,1 τέτοιο ώστε:

g 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο 0,1

ΙΔΕΑ 8η: Συνδυασμός θεωρήματος μέγιστης και ελάχιστης τιμής με θεώρημα Fermat

__________________________________________________________________________________



Αν f : α,β R συνεχής στο α,β , παραγωγίσιμη στο α,β με

f α,β 1,2 και f α 0,f β 1.

Αποδείξτε ότι υπάρχουν 1 2x ,x α,β τέτοια, ώστε

1 2f x f x 0

Υπόδειξη

Η f παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο α,β , ως συνεχής σε αυτό.

Όμως

f , 1,2 , f 0, f 1

Άρα υπάρχουν 1 2 1 2x ,x α,β : f x 1 και f x 2

Από το θεώρημα Fermat, 1 2f x f x 0

ΙΔΕΑ 9η: Εύρεση του τύπου μιας συνάρτησης με συμπλήρωση τετράγωνου και διαφορική

ταυτόχρονα.


Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f : R R με

f 0 2 , f 0 0 και 2 4 2f x 2f x x 2x , για κάθε xR

Υπόδειξη

2 24 2 4 2

22 2 2

g x

f x 2f x x 2x f x 2f x 1 x 2x 1

f x 1 x 1 f x 1 x 1, x

R

Η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R (γιατί;) και g 0 1 0 . Άρα

__________________________________________________________________________________


3 3f 0 0

2 2 x xf x 1 x 1 f x x 2 f x 2x c f x 2x

3 3

,

η οποία επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες

ΙΔΕΑ 10η: Όριο μηδενικής επί φραγμένης, που να χρειάζεται όμως να βρούμε σύνολο τιμών της.


Δίνεται η συνάρτηση ln x

f x , x ex

. Να αποδείξετε ότι:

α) 1

f e, 0,e

β)

x

3x

2

x x xf e e 0

x 2016 ln xlim

Υπόδειξη

α) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο e, , άρα

x

1f e, f x , f e ... 0,

elim

β) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε για x e

2

x0

3 3x 2016x x

2 2

x x 1 x x x 1 x0 f e e 0 f e e

ln x e x 2016 ln x e x 2016

και το συμπέρασμα έπεται από το κριτήριο παρεμβολής…

ΙΔΕΑ 11η: Όριο μηδενικής επί φραγμένης , με φραγμένη κάποια συνάρτηση της οποίας όμως το

σύνολο τιμών θα προκύπτει από το πεδίο ορισμού της αντίστροφης.


Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

2f x x 1 x

α) Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη στο πεδίο ορισμού της

β) Αποδείξτε ότι

__________________________________________________________________________________


x 0

2016 1x f x 0lim

Υπόδειξη

α) Βρίσκουμε

fD 0,1 και 2

1 xf x 0

2 x 1 x

στο 0,1

β) Σύνολο τιμών της f είναι το

ή ,

f 0,1 f 0 ,f 1 1,1

, δηλαδή το πεδίο ορισμού της 1f είναι το 1,1 ,

οπότε έχει νόημα η εύρεση του x 0

2016 1x f xlim

Για κάθε x 1,1 είναι

1 2016 1 20160 f x 1 0 x f x x

και το ζητούμενο προκύπτει από το κριτήριο παρεμβολής.

ΙΔΕΑ 12η: Διερεύνηση πλήθους ριζών εξίσωσης (παραμετρική)


Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 1 x ,x R . Για τις διάφορες τιμές του R να βρεθεί το πλήθος

των ριζών της εξίσωσης

2

3

2

3x 1f x 1 1

2 1

Υπόδειξη

Δείχνουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R , άρα 1-1. Αν 2

3 3xg x x 1

2 τότε

1 f g x f λ g x λ

Βρίσκουμε τελικά

1 1

g , 1 , , g 1,0 1, , g 0, 1,2 2

1λ 1 ή λ

2

11 λ

2

1λ ή λ 1

2

μοναδική ρίζα τρεις ρίζες δύο ρίζες

__________________________________________________________________________________


ΙΔΕΑ 13η: Η ιδιότητα o o

x x x x

2f x 0 f x 0lim lim

.


Δίνεται συνάρτηση f : r r για την οποία ισχύει

2

xlim f x 4f x 1 3

Να βρείτε το xlim f x

Υπόδειξη

Έχουμε

22

x xlim f x 4f x 4 0 lim f x 2 0

Επίσης ισχύει

2

x xlim f x 2 lim f x 2 0 0

και

f x 2 f x 2 f x 2

Οπότε από κριτήριο παρεμβολής έχουμε

x xlim f x 2 0 lim f x 2

ΙΔΕΑ 14η: Δίνεται η γραφική παράσταση της f και ζητούνται μονοτονία / ακρότατα /

κυρτότητα / σημεία καμπής της f ή σημεία της fC όπου η εφαπτομένη την «διαπερνά» (όλα να

προκύπτουν από το διάγραμμα).

Δεν πάμε μακριά…άσκηση 4 σελ. 277 σχολικού βιβλίου αποτελεί ένα καλό παράδειγμα!

__________________________________________________________________________________


ΙΔΕΑ 15η: Ανισοτική σχέση ορισμένου ολοκληρώματος που να προκύπτει από διακρίνουσα

τριωνύμου.


Να αποδείξετε ότι για κάθε xR ισχύει

1 1 1

0

2 2

0

2

0x dt ttdt dt2x t t 1 1 0

και στη συνέχεια να δείξετε ότι:

1

0

2 dt2

t t 13

Υπόδειξη

1 1 1 1

0

22 2 2

0

2

0 0x dt t dttdt 2x x dt t 1 t1 t t 1

που ισχύει για κάθε xR

Η δοσμένη σχέση είναι τριώνυμο ως προς x και για να ισχύει για κάθε xR πρέπει και αρκεί Δ 0 .

Οπότε:

1 11 1 1 1

0 0 0 00 0

1

2 32 22 2

1

0 0

2

22 2

t t 1 tdt 1 0 t tt t

4 dt 4 t 1 0

2

dt dt t2 3

2dt dt t 1 t0 t t 1

33

ΙΔΕΑ 16η: Ακρότατα δίκλαδης συνάρτησης – ειδική περίπτωση ακροτάτου σε κλειστό άκρο του

πεδίου ορισμού δίκλαδης συνάρτησης.

__________________________________________________________________________________



Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

xxe x 0

f x0 , x 0

Υπόδειξη

Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 και ολικό μέγιστο στο 1!

ΙΔΕΑ 17η: Εύρεση συνάρτησης οι τιμές της οποίας εμπεριέχονται σε όριο (ιδέα αποκλειστικά από

το βιβλίο της lisari team).


Για μία συνάρτηση f : 1, R ισχύει

x

2 22 2016 2014

2015

2f 2 ln 1 x x 10,

xlim

για κάθε 1

Αποδείξτε ότι 22x x

f x x 1 ln x 1 , x 12

Υπόδειξη

Υποθέτουμε ότι υπάρχει α 1 για το οποίο

2 222f 2 ln 1 0

τότε

x x

2 22 2016 2014

2 22

2015

2 22

2 22

2f 2 ln 1 x x 12f 2 ln 1 x

x

, 2f 2 ln 1 0,

, 2f 2 ln 1 0

lim lim

που σε κάθε περίπτωση είναι άτοπο. Άρα 22x x

f x x 1 ln x 1 , x 12

.

ΙΔΕΑ 18η: Ορισμένο ολοκλήρωμα και ύπαρξη κρίσιμου σημείου συνάρτησης.

__________________________________________________________________________________


Παράδειγμα 1 (εμπνευσμένο από την άσκηση 11 σελ. 340 σχ. βιβλίου)

Έστω μια συνάρτηση f με f συνεχής και 0

f x f x xdx 2f 1

Αποδείξτε ότι η f έχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο.

Υπόδειξη

Κάνοντας δύο φορές κατά παράγοντες ολοκλήρωση στο 0

f x xdx

και χρησιμοποιώντας τη

σχέση 1 βρίσκουμε f 0 f και το συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα Rolle!

ΙΔΕΑ 19η: Δίνεται η 1f και ζητείται όριο που περιέχει την f ή κάποια τιμή 0f x (ιδέα

αποκλειστικά από το βιβλίο της lisari team).


Έστω f μία συνεχής και 1 1 συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, η οποία έχει αντίστροφη τη

συνάρτηση 1 3f x x 2x 3 , x R . Να δείξετε ότι

3 2

x 0

f x x 3x 1lim 12

f x 1L

1

f 05

Υπόδειξη

Στη σχέση 1 3f x x 2x 3 , x R , αντικαθιστούμε όπου x το f x , οπότε:

3f x 2f x 3 x , για κάθε xR

Άρα το ζητούμενο όριο γράφεται:

x 0

u 1

23 3 3

u f x

x 0u 1

23 3 3

f x f x 2f x 3 3 f x 2f x 3 1

f x 1

u u 2u 3 3 u 2u 3 1... 12

u 1

lim

lim

1f 1 0 f 0 1 .

Αφού 1f f x x , x R θα είναι

__________________________________________________________________________________


1x 0 x 0

f x f 0 f x 1lim l

fim

x 0 xf

Θέτουμε u f x , άρα x 0 x 0limu limf x f 0 1

, f είναι συνεχής στο 0. Έτσι προκύπτει:

1 1 1 11x 0 u 1 u 1 u 1

1

f x 1 u 1 1 1 1 1lim lim lim lim

5f fu u u 1f x f fff 1

u 1 u 1

ΙΔΕΑ 20η: Μονοτονία συνάρτησης και επίλυση συναρτησιακής εξίσωσης (ιδέα αποκλειστικά

από το βιβλίο της lisari team).


Δίνεται συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο [0,1] . Να λύσετε την εξίσωση

3 2015 2 4 2016f x f x ... f x f x f x .. f x , x [0,1] (1)

Υπόδειξη

Η εξίσωση (1) έχει δύο προφανείς λύσεις τις 1 2x 0,x 1 .

Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1] (χωρίς βλάβη της γενικότητας) και ότι υπάρχει μια ρίζα

0,1 , τότε:

2 2

3 4 3 4

5 6 5 6 3 2015 2 4 2016

2015 2016 2015 2016

f f

f f

f f f f ... f f f .. f ,ά !

............................................

f f

Άρα δεν υπάρχει καμία ρίζα στο διάστημα 0,1 οπότε οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης (1) είναι το 0

και το 1.

ΙΔΕΑ 21η: Υπολογισμός ολοκληρώματος με τη βοήθεια άρτιας – περιττής συνάρτησης.


Να υπολογίσετε τα ολοκλήρωμα

__________________________________________________________________________________


1 1 1

1 1 0

3 x 3 x2 x x

x x x

x 1 e x 3ex (1 edx , dx dx

e 1 e 1

1)

1 e

e

Υπόδειξη

2 x x

x x

1 1

1 1

x (1 e eΑ dx dx I J

e 1 1e

)

με

2 x

x

1

1

x (1 eΙ dx 0

e

)

1

,

διότι η συνάρτηση 2 x

x

x (1

1

ef x

)

e

είναι περιττή και

x

x 1

x

11

1 1

eJ dx ln e ln e 1 ln e1

1e1

Η συνάρτηση 3 x

x

x 1 eg x

1 e

είναι άρτια οπότε

3 x 3 x

x x

1 1

1 0

x 1 e x 1 e 1dx 2 dx B ...

1 e 1 e 4

ΙΔΕΑ 22η: Υπολογισμός ολοκληρώματος με χρήση γραμμικής εξάρτησης

(εμπνευσμένο από την άσκηση 7 σελ. 353 σχ. βιβλίου)


Δίνονται τα ολοκληρώματα

4 4

0 0

x xdx , dx

x x x x

α) Υπολογίστε τα ,

Β) Υπολογίστε τα ,B

Υπόδειξη

α) Βρίσκουμε

4

0

x xdx

x x 4

και

4 4 4

00 0

x xx x 1dx dx ln x x ln 2

x x x x 2

__________________________________________________________________________________


β) Είναι

2ln 2 2ln 24A , B

1 8 8ln 2

2

ΙΔΕΑ 23η: Επίλυση διαφορικής εξίσωσης σε ένωση διαστημάτων.


Έστω η συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R με 2f 1 e και 2xf x 1 2x f x για

κάθε xR . Να δείξετε ότι: 2x 1f x xe , x R .

Υπόδειξη

Για κάθε x 0 έχουμε:

2

2

1 1xf x 1 2x f x f x 2x f x f x 2x f x 0

x x

f x ln x x f x 0

Και καταλήγουμε σε μια κλασική γραμμική διαφορική εξίσωση 1ης τάξης. Πολ/με όλους τους όρους

με το 2ln x x

e

και καταλήγουμε:

2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x

1 1 1e f x 0 e f x c f x c e f x c x e

όμως 2f 1 e άρα 1c e οπότε

21 xf x xe , x 0 .

Για x 0 εύκολα βρίσκουμε f 0 0 .

Για κάθε x 0 έχουμε ανάλογα:

2 2 2 2ln x x ln x x ln x x x

2 2 2e f x 0 e f x c f x c e f x c x e

όμως η f είναι παραγώγισιμη R άρα και στο 0x 0 οπότε:

1 2

x 0 x 0

f x f 0 f x f 0lim lim c c

x 0 x 0

οπότε 21 xf x xe , x 0 .

Επομένως 21 xf x xe για κάθε xR .

__________________________________________________________________________________


Μια ακόμα…έμπνευση!

Να προταθούν στις Πανελλαδικές εξετάσεις θέματα παρόμοια (ή και ίδια όπου είναι

εφικτό) με αυτά του σχολικού βιβλίου! Ήρθε η ώρα να στηριχθεί έμπρακτα το σχολικό

εγχειρίδιο.

Προτείνουμε τα παρακάτω θέματα ως ασκήσεις κλειδιά από το σχολικό βιβλίο…

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΡΙΑ

Άσκηση 6 σελ. 148


Άσκηση 3 - 4 σελ. 176

Άσκηση 3 σελ.182

Άσκηση B1 – 2 – 3 σελ. 187


Άσκηση 5 – 7 σελ. 200

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ












ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Άσκηση Β2 σελ. 349





lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ...

Education

Transcript of lisari team προβλέψεις για τα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ...