Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

2ª Chamada – 08/07/2002

NOME: ___________________________________________________________________________

1) (3 VAL.)

a) Verifique se o sistema articulado plano ilustrado na figura é globalmente isostático. Justifique.

O sistema ilustrado na figura é internamente hipo-estático, uma vez que o número de barras, b = 8, é inferior a 2n-3 = 9 (em que o nº de nós é n = 6). Ou seja, a condição necessária de rigidez, b = 2n-3, não é verificada, logo o sistema não é globalmente isostático.____________________________________

b) O que entende por conceito de deslocamento virtual, usado no Princípio dos Trabalhos Virtuais.

No âmbito do Princípio dos Trabalhos Virtuais, deslocamento virtual é um deslocamento infinitesimal do sistema em estudo, compatível com as ligações ao exterior. ________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

c) Num cabo submetido a uma carga distribuída vertical, mostre que a componente horizontal da força de tracção no cabo é igual em todos os pontos.

Considerando que o ponto O se encontra na posição mais baixa do cabo e estudando o equilíbrio entre o ponto O e o ponto arbitrário C, verifica-se que: Tcx = Tc·cos θ = To Tcy = Tc·sen θ = P Ou seja, a componente horizontal, Tcx, é sempre igual a To em todos os pontos._________________________

d) O bloco assente sobre a superfície, inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal, encontra-se numa situação de movimento iminente. Determine o coeficiente de atrito estático em função do ângulo θ.

A reacção, R, decompõe-se nas componentes normal,

N = P·cosθ, e tangencial (devida ao atrito), Fe = P·senθ. Em situação de movimento

iminente, a componente Fe é definida por: Fe = fe·N, em que fe é o coeficiente de atrito

estático. Assim: fe = Fe/N = (P·senθ)/( P·cosθ) = tg θ. Ou seja, fe = tg θ._________________

θP

RF =Psenθe

N=Pcosθ

Sandra Nunes Julho 2002 1/3

EXERCÍCIO 3

a) Como a direcção dos esforços transmitidos pelo cabo à estrutura articulada, nos pontos B e H, é desconhecida consideram-se como incógnitas as suas componentes horizontal e vertical (HB, VB, HH, VH), tal como representado na figura.

E

HB

VB

B

TE

B

E

H

VB

HB

VH

HH

G

Desta forma, estabelecendo o equilíbrio global do sistema de forças que actua sobre o cabo e adicionando uma equação que traduza o equilíbrio da parte [BE] ou [GH] obtém-se um sistema de equações que permite calcular a totalidade das incógnitas.

←=↑=

↑=

→=

⇒

=⋅⋅+⋅+⋅−=⋅⋅−⋅=⋅−+

=+−

⇒

=

=

=

=

∑∑∑∑

)(150)(180)(180

)(150

05.13203309182018

018200

0

0

0

0

kNHkNV

kNV

kNH

HVVVVHH

m

m

F

F

B

H

B

H

BB

H

HB

HB

BEE

B

y

x

o valor total dos esforços é:

kNTVHT HBBB 3.23422 ==+=

b) Considere-se o referencial representado na figura, com origem no ponto B: Y

B H

XθΒ

Sandra Nunes Julho 2002 2/3

i) sendo º19.50150180

−=−=−= arctgHVarctgB

BBθ

1500 === HB HHT

xdxdxxwWx x

2020)(0 0

=== ∫ ∫

a equação do cabo pode ser obtida a partir da seguinte equação:

xxdxxxyxtgTW

dxdy x

B ⋅−=−⋅

=⇒−⋅

=+= ∫ 2.115

)2.1152()(

150180

15020 2

00

θ

ii) A flecha é a distância medida na vertical entre os apoios e o ponto mais baixo do cabo que ocorre quando:

mxxdxdy 90

150180

150200 =⇒=−

⋅⇒=

4.5)9( −=== xyflecha

iii) O esforço é máximo nos pontos de inclinação máxima, ou seja, B e H , e vale:

kNTTT HBmáx 3.234===

o esforço no cabo é mínimo no ponto de cota mais baixa, de coordenadas (9.0,-5.4) (m), e vale:

kNTT 1500min ==

b) A estrutura articulada representada na figura constitui uma viga Gerber (o corpo I [ABCDEF] apoia-se no corpo II [FGHIJK]).

A

D

C E

B F

KG

J

I

H

180 kN

150 kN

180 kN

150 kN

VK

HK

HJ

VD

Sandra Nunes Julho 2002 3/3

O equilíbrio do sistema de forças fica assegurado se forem satisfeitas as seguintes equações:

←=↑=

↑=

→−=

⇒

=⋅+⋅−=⋅−⋅+⋅+⋅−

=−−+=+−−−

⇒

=

=

=

=

∑∑∑∑

+

+

+

)(180)(180)(180

)(180

0918090331801818018

01801800150150

0

0

0

0

kNHkNVkNV

kNH

VHV

VVHH

m

m

F

F

J

D

K

K

D

JD

KD

KJ

IF

IIIK

IIIy

IIIx

d) Considere-se o corte S-S’,

G

180 kN

180 kN

I

J

K 180 kN

150 kN

180 kN

H

S

S'

NFH

NFG

a parte à direita da secção encontra-se em equilíbrio logo:

=−=

⇒

=−+−+⋅=⋅+⋅−⋅−⋅+⋅

⇒

=

=

∑∑

0)(150

0180180150150cos031503180318061803

0

0

FG

FH

FG

FH

x

G

NcompressãokNN

NN

F

mθ

4. RESOLUÇÃO

a) Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais calcule:

i. a reacção horizontal em C;

δ

CIR IC

K

4 kN

J

G

D

2 kN 2 kN

E

H

L

4 kN

M

I

F

2 kN

C

Hc

kNHH cc 10220 −=⇔=⋅+⋅⇔=∑ δδδω

ii. as forças de interacção na rotula L;

K

4 kN

J

G

D

2 kN 2 kN

E

H

L

4 kN

M

I

F

2 kN

C

CIR GJKLCIR LMNI

δθ1

δθ2

VH

HV

31k Vertical ⋅= δθδ 32M Vertical ⋅= δθδ 61L Vertical ⋅= δθδ 62L Vertical ⋅= δθδ

31L Horizontal ⋅= δθδ 32k Horizontal ⋅= δθδ

As rotações δθ1 e δθ2 são independentes

Aplicação do PTV ao corpo GJKL:

1236031613140 =⋅+⋅−⇔=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⇔=∑ HVHV δθδθδθδω

Aplicação do PTV ao corpo LMNI:

1236031623240 =⋅+⋅⇔=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⇔=∑ HVHV δθδθδθδω Juntando as duas equações temos um sistema de duas equações a duas incógnitas:

==

⇔

=⋅+⋅=⋅+⋅−

kNVkNH

HVHV

04

12361236

iii. a reacção vertical em B

K

4 kN

J

G

D

2 kN 2 kN

E

H

L

4 kN

M

I

F

2 kN

CCIR ADGH CIR IC

CIR HI

AHECIR

δθ1δθ2

δθ3

δθ4

VE

δθ1 = δθ2 = δθ3 = δθ4 = δθ

5,1D Horizontal ⋅= δθδ 5,1F Horizontal ⋅= δθδ 5,1E Horizontal ⋅= δθδ 6B Vertical ⋅= δθδ

kNVV 5,1065,125,125,120 =⇔=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⇔=∑ δθδθδθδθδω

Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

2ª chamada – 08/07/2002

NOME: ___________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir nenhuma ou mais do que uma resposta verdadeiras.

COTAÇÕES: i. As respostas têm todas a mesma cotação.

ii. As respostas erradas descontam um terço das respectivas cotações.

iii. As respostas com quadrículas em branco não descontam.

a) F Para que dois sistemas de vectores sejam equivalentes, é condição necessária e suficiente

que tenham os mesmos momentos em três pontos quaisquer. V Num sistema plano de vectores concorrentes num ponto, o momento desse torsor num

ponto qualquer fora do plano pode ser não nulo. F Num sistema de vectores com suportes paralelos, o equilíbrio é garantido desde que o

vector principal seja nulo.

b) V O método do polígono funicular pode ser usado para determinar o centro de um sistema de

vectores paralelos e ainda para determinar o centróide de um sistema de vectores quaisquer.

V Num sistema de forças redutíveis a binário, o polígono funicular correspondente é aberto. F Num sistema de forças em equilíbrio estático, o polígono funicular pode ser fechado ou

aberto.

c) Considere a barra [ABCD] quebrada em B e C e apoiada em A, B e D. F Trata-se de um sistema isostático. V O sistema não se encontra em equilíbrio se as

forças F1 e F2 são não nulas. F Se a força F2 é nula (isto é, só existe uma força

aplicada, F1), então as reacções em A e D são iguais a F1/2.

A

B C

D

F1F2

45o

L

L

d) F As reacções que ocorrem nos apoios dos sistemas materiais caracterizam-se por serem

forças interiores. V Um sistema material tridimensional diz-se em equilíbrio estável quando os seus apoios

estão colocados de forma a impedirem os seis graus de liberdade independentes. F No espaço tridimensional, um apoio com cinco graus de liberdade caracteriza-se por ter

uma reacção com cinco componentes independentes.

e) F Na análise de cabos, considera-se que eles são elementos perfeitamente flexíveis, ou seja,

que são deformáveis na direcção tangencial. V A configuração geométrica de um cabo submetido a uma

carga triangular distribuída na direcção horizontal corresponde a um polinómio do terceiro grau.

F Num cabo submetido a uma carga uniformemente distribuída por unidade de comprimento medida na direcção horizontal, o valor mínimo da força de tracção no cabo ocorre no ponto mais elevado e o valor máximo ocorre no ponto mais baixo.

f) V As forças de atrito caracterizam-se por serem forças tangenciais que se desenvolvem na

superfície de contacto entre dois corpos. V O coeficiente de atrito estático é superior, ou pelo menos igual, ao coeficiente de atrito

cinético. V A força de atrito é independente das dimensões das superfícies de contacto.