Lectures in Applied Econometrics 02

25
2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα Κεφάλαιο 2. Λανθασμένη Εξειδίκευση και Άλλα Θέματα «Όλα τα υποδείγματα είναι λανθασμένα αλλά μερικά είναι χρήσιμα» (G.E.P. Box) «Όλες οι θεωρίες γεννιούνται διαψευσμένες» (I. Lakatos) Συνέπειες της λανθασμένης εξειδίκευσης Στα οικονομικά αλλά και σε πολλές άλλες επιστήμες δεν είναι πάντοτε βέβαιο ότι η εξειδίκευση του υποδείγματος είναι σωστή. Είναι δυνατόν πχ να μην γνωρίζουμε ακριβώς ποια ερμηνευτική μεταβλητή είναι η σωστή γιατί η θεωρία δεν προσδιορίζει απόλυτα αυτή τη μεταβλητή. Ας υποθέσουμε πχ ότι η αληθινή συνάρτηση κατανάλωσης είναι: όπου είναι το πραγματικό εισόδημα αλλά υιοθετούμε τη λανθασμένη σχέση: όπου είναι το ονομαστικό εισόδημα. 72

description

lectures

Transcript of Lectures in Applied Econometrics 02

Page 1: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Κεφάλαιο 2. Λανθασμένη Εξειδίκευση

και Άλλα Θέματα«Όλα τα υποδείγματα είναι λανθασμένα αλλά μερικά είναι χρήσιμα»

(G.E.P. Box)

«Όλες οι θεωρίες γεννιούνται διαψευσμένες» (I. Lakatos)

Συνέπειες της λανθασμένης εξειδίκευσης

Στα οικονομικά αλλά και σε πολλές άλλες επιστήμες δεν είναι πάντοτε βέβαιο ότι η εξειδίκευση του υποδείγματος είναι σωστή. Είναι δυνατόν πχ να μην γνωρίζουμε ακριβώς ποια ερμηνευτική μεταβλητή είναι η σωστή γιατί η θεωρία δεν προσδιορίζει απόλυτα αυτή τη μεταβλητή. Ας υποθέσουμε πχ ότι η αληθινή συνάρτηση κατανάλωσης είναι:

όπου είναι το πραγματικό εισόδημα αλλά υιοθετούμε τη λανθασμένη σχέση:

όπου είναι το ονομαστικό εισόδημα.

Αν εκτιμήσουμε το λανθασμένο υπόδειγμα με τη μέθοδο LS, θα έχουμε τον ακόλουθο εκτιμητή του συντελεστή κλίσης:

72

Page 2: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

όπου τα μικρά γράμματα δηλώνουν αποκλίσεις από τους αντίστοιχους μέσους, δηλαδή , και .

Από το αληθινό υπόδειγμα είναι σαφές ότι θα έχουμε:

Αν αντικαταστήσουμε την έκφραση αυτή στον εκτιμητή θα έχουμε:

.

Ας θεωρήσουμε τώρα την «τεχνητή παλινδρόμηση»:

,

στην οποία η εκτίμηση LS για το , είναι , θα έχουμε:

.

Αν λάβουμε αναμενόμενη τιμή θα έχουμε:

.

73

Page 3: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Κατά συνέπεια η αναμενόμενη τιμή του εκτιμητή LS στο λανθασμένο υπόδειγμα δεν είναι ίση με , δηλαδή ο εκτιμητής δεν είναι αμερόληπτος.

Είναι φανερό ότι η μεροληψία του εκτιμητή είναι:

και το ποσοστό της μεροληψίας είναι:

,

το οποίο είναι μηδέν μόνο αν . Στην τεχνητή παλινδρόμηση:

,

αν έχουμε , τότε οι μεταβλητές και είναι οι ίδιες εκτός από ένα τυχαίο σφάλμα.

Επομένως, η μεροληψία του εκτιμητή LS εξαφανίζεται μόνο αν έχουμε αυτή την περίπτωση.

Στην περίπτωση που οι μεταβλητές μετρούν διαφορετικά πράγματα (πχ ονομαστικό και πραγματικό εισόδημα) η εκτίμηση του λανθασμένου υποδείγματος δίνει μεροληπτικές εκτιμήσεις.

Η έκταση της μεροληψίας θα είναι ασφαλώς, τόσο μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση του από τη μονάδα.

Μια άλλη σημαντική περίπτωση είναι όταν το αληθινό υπόδειγμα είναι:

,

ενώ εμείς λανθασμένα παραλείψαμε τη μεταβλητή , οπότε το εκτιμημένο υπόδειγμα είναι

.

74

Page 4: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Ο εκτιμητής LS είναι .

Αντικαθιστώντας απ’ το πραγματικό υπόδειγμα, έχουμε:

,

όπου είναι η εκτίμηση του συντελεστή στην τεχνητή παλινδρόμηση:

.

Λαμβάνοντας αναμενόμενη τιμή, είναι εύκολο να δούμε ότι . Επομένως, γενικά έχουμε και ο εκτιμητής θα

είναι μεροληπτικός, δηλαδή δεν μας δίνει τη σωστή τιμή του .

Αυτό το αποτέλεσμα είναι πολύ σημαντικό κι’ έχει δυο επιπτώσεις:

Σε απλούς όρους, αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι αν δυο μεταβλητές και προσδιορίζουν από κοινού την και συσχετίζονται μεταξύ τους, δεν μπορούμε να παραλείψουμε την από την παλινδρόμηση και να ελπίζουμε ότι θα έχουμε τα σωστά αποτελέσματα. Μια εξαίρεση είναι όταν οι μεταβλητές και είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστες, πράγμα το οποίο στην πράξη δεν ισχύει σχεδόν ποτέ.

75

Γενικά, η παράλειψη ερμηνευτικών μεταβλητών από μια παλινδρόμηση οδηγεί σε μεροληπτικές εκτιμήσεις των υπόλοιπων.

Μια εξαίρεση σ’ αυτόν τον κανόνα είναι όταν τα (που παραλείπονται) και τα (που παραμένουν) είναι ασυσχέτιστα,

Page 5: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Ελάχιστα τετράγωνα και BLUE

Μια άλλη σημαντική ιδιότητα της μεθόδου LS είναι ότι δίνει εκτιμητές που είναι BLUE κάτω από τις υποθέσεις ότι τα σφάλματα έχουν μέσο μηδέν, κοινή διακύμανση και είναι ασυσχέτιστα.

Ένας εκτιμητής λέμε ότι είναι BLUE (best linear unbiased estimator) όταν έχει τη μικρότερη δυνατή διακύμανση στην οικογένεια των γραμμικών και αμερόληπτων εκτιμητών. Ένας εκτιμητής λέμε ότι είναι γραμμικός όταν είναι γραμμική συνάρτηση των .

Ας θεωρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

, ,μέση τιμή ,

διακύμανση για κάθε καιτα και είναι ασυσχέτιστα, , για κάθε , .

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι θέλουμε έναν γραμμικό εκτιμητή1

που είναι αμερόληπτος και έχει ελάχιστη διακύμανση.

Εδώ, , δεν είναι παρά κάποιες σταθερές που πρέπει να προσδιορίσουμε έτσι ώστε ο εκτιμητής να είναι BLUE. Αν αντικαταστήσουμε το στον εκτιμητή, θα έχουμε:

Η αναμενόμενη τιμή του εκτιμητή είναι:

Για να είναι ο εκτιμητής αμερόληπτος, δηλαδή , μπορούμε να επιβάλλουμε τον περιορισμό:

.

1 Δεν θα μας απασχολήσει η κατασκευή BLUE εκτιμητή του α αφού η διαδικασία έχει ακριβώς την ίδια λογική με αυτή για το β.

76

Page 6: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Στη συνέχεια βρίσκουμε τη διακύμανση του εκτιμητή, που είναι:

=

Κατά συνέπεια για να βρούμε τον BLUE του , θα πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα:

με τον περιορισμό:

Η συνάρτηση Lagrange γι’ αυτό το πρόβλημα είναι:

Οι συνθήκες πρώτης τάξης2 είναι:

Αν χρησιμοποιήσουμε τους περιορισμούς σ’ αυτή την εξίσωση θα έχουμε:

Αν λύσουμε τη πρώτη εξίσωση ως προς , έχουμε: .

Εφόσον , αν αντικαταστήσουμε την εξίσωση για το έχουμε:

2 Μπορείτε να επιβεβαιώσετε την ισχύ των συνθηκών δεύτερης τάξης.

77

Page 7: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Κατά συνέπεια ο BLUE πρέπει να είναι:

Δηλαδή ακριβώς ο εκτιμητής LS! Το αποτέλεσμα αυτό, έχει πολύ μεγάλη σημασία γιατί μας δείχνει ότι:

Με άλλα λόγια για να έχει ένας εκτιμητής μικρότερη διακύμανση από τον εκτιμητή LS, πρέπει είτε να είναι μη-γραμμικός, είτε να είναι μεροληπτικός.3

Φυσικά μεγάλη σημασία έχουν οι υποθέσεις κάτω από τις οποίες έχουμε το αποτέλεσμα αυτό. Μια σημαντική υπόθεση, είναι ότι η διακύμανση των καταλοίπων υπάρχει (δηλαδή είναι πεπερασμένη), κάτι που παραβιάζεται όταν η κατανομή των σφαλμάτων είναι πχ Student-t με 2 βαθμούς ελευθερίας.

Μια άλλη σημαντική υπόθεση είναι ότι τα σφάλματα είναι ασυσχέτιστα και ότι όλα τα σφάλματα έχουν την ίδια διακύμανση.

Οι παραβιάσεις αυτών των υποθέσεων, λέγονται αυτοσυσχέτιση και ετεροσκεδαστικότητα.

Μια άλλη σημαντική παρατήρηση είναι ότι δεν χρειασθήκαμε την υπόθεση της κανονικής κατανομής των σφαλμάτων (ή κάποια άλλη υπόθεση σχετικά με την συναρτησιακή μορφή της κατανομής) για να δείξουμε ότι η LS δίνει BLUE εκτιμητές.

3 Αν τα σφάλματα είναι κανονικά ο εκτιμητής LS είναι ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας οπότε δεν υπάρχει μη-γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής με μικρότερη διακύμανση. Η μη-κανονικότητα των σφαλμάτων επομένως μπορεί να οδηγήσει σε μη-γραμμικούς εκτιμητές με καλύτερη συμπεριφορά από τον εκτιμητή LS. Φυσικά, μπορεί να υπάρχουν μεροληπτικοί εκτιμητές με μικρότερο MSE από ότι ο εκτιμητής LS. Το μέσο σφάλμα τετραγώνου (mean squared error) ενός εκτιμητή b είναι MSE=E(b-β)2. Ισούται με τη διακύμανση μόνο αν ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος και γενικά μετρά την «απόσταση» του απ’ την παράμετρο.

78

ο εκτιμητής LS έχει την ελάχιστη διακύμανση σε σχέση με όλους τους γραμμικούς και

αμερόληπτους εκτιμητές, δηλαδή είναι BLUE.

Page 8: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Πάντως, όπως έχουμε ήδη δει, οι εκτιμητές LS είναι αμερόληπτοι με τη μοναδική υπόθεση ότι τα σφάλματα έχουν μέσο μηδέν –επομένως ακόμη και αν έχουμε αυτοσυσχέτιση ή ετεροσκεδαστικότητα ή και τα δυο.

Κατά συνέπεια δεν θα πρέπει να είναι αποτελεσματικοί, δηλαδή δεν θα έχουν την ελάχιστη δυνατή διακύμανση στην οικογένεια των γραμμικών και αμερόληπτων εκτιμητών. Στις περιπτώσεις αυτές, η οικονομετρία έχει αναπτύξει μια τροποποίηση της LS που είναι γνωστή σαν γενικευμένη μέθοδος LS.

Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι «οι ιδιότητες αυτές μας επιτρέπουν να αποτιμήσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Το κύριο πλεονέκτημά της στην οικονομετρία είναι το γεγονός ότι δίνει καλά αποτελέσματα χωρίς να επιβάλλει πολύ περιοριστικές υποθέσεις σχετικά με την κατανομή των μεταβλητών και επομένως έχει αρκετά ευρύ πεδίο εφαρμογής. Ο οικονομέτρης που σπάνια έχει λεπτομερή πληροφόρηση σχετικά με τις κατανομές, μπορεί γενικά να καταφύγει σε αυτή τη μέθοδο χωρίς τον κίνδυνο να κάνει πολύ σοβαρά σφάλματα».4

4 E. Malinvaud, 1980, Statistical methods of econometrics, Amsterdam, North Holland, σελ. 102.

79

Page 9: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Μη γραμμικές υπολογιστικές μέθοδοι

Σαν παράδειγμα των μη γραμμικών μεθόδων θα θεωρήσουμε το υπόδειγμα τάσης5

, ,

όπου , δηλαδή η διακύμανση των σφαλμάτων είναι γνωστή και ίση με την μονάδα.

Για να εκτιμήσουμε την παράμετρο , μπορούμε να ελαχιστοποιήσουμε το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων

. H μέθοδος αυτή είναι γνωστή σαν μη-γραμμική

μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η λογική της μεθόδου είναι ότι μπορούμε να επιλέξουμε σαν εκτίμηση εκείνη την τιμή του

στην οποία ελαχιστοποιείται η παραπάνω συνάρτηση. Τίποτε περισσότερο από ένα διάγραμμα δεν είναι απαραίτητο για να προσδιορίσουμε μια τέτοια εκτίμηση!

Το υπόδειγμα δεν είναι δυνατόν να εκτιμηθεί με τη μέθοδο LS, γιατί η τάση είναι μη-γραμμική ως προς την παράμετρο . Επίσης δεν είναι δυνατό να πάρουμε λογαρίθμους και να έχουμε ένα μετασχηματισμένο γραμμικό υπόδειγμα, γιατί το σφάλμα εισέρχεται προσθετικά και όχι πολλαπλασιαστικά.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία:

t x1 0,46191

9232 2,74086

173 2,98777

634 3,50574

85 3,03518

18

Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η συνάρτηση .

5 Το υπόδειγμα αυτό θα ήταν κατάλληλο για μια σειρά της οποίας ο ρυθμός μεταβολής είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου.

80

Page 10: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΑΛΟΙΠΩΝ, S(α)

Η εκτίμηση του α είναι 0,820568, στην οποία η πρώτη παράγωγος είναι πολύ κοντά στο μηδέν (συγκεκριμένα μόνο στο έβδομο δεκαδικό ψηφίο η πρώτη παράγωγος διαφέρει από το μηδέν).

Η επίδραση των ακραίων παρατηρήσεων

Ας θεωρήσουμε πάλι το γραμμικό υπόδειγμα και την εκτίμηση της μεθόδου LS:

Το ζήτημα που θα μας απασχολήσει είναι η επίδραση των ακραίων παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής, στην εκτίμηση.

81

Page 11: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Ας υποθέσουμε ότι μια παρατήρηση, πχ η πρώτη6, μεταβάλλεται από σε και ας δηλώσουμε τη νέα εκτίμηση LS για το , με .

Φυσικά είναι η εκτίμηση LS.Μετά την μεταβολή του , θα έχουμε:

.

Κατά συνέπεια η εκτίμηση LS επηρεάζεται όταν μια παρατήρηση μεταβάλλεται.

Η επίδραση είναι:

και ανάλογα με το πρόσημο του είναι θετική ή αρνητική. Το μέγεθός της εξαρτάται από το πόσο μεγάλο είναι το (σε σχέση με το μήκος του διανύσματος ).

Όταν η παρατήρηση αυτή μεταβάλλεται πολύ και έχουμε , τότε και , μια ιδιότητα που είναι γνωστή σαν μη-φραγμένη επίδραση (unbounded influence).

Η ιδιότητα αυτή είναι ανεπιθύμητη γιατί μια μοναδική παρατήρηση μπορεί να αλλάξει εντελώς την εκτίμηση .7

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα φαίνεται στα επόμενα διαγράμματα. Και τα δυο βασίζονται σε 20 παρατηρήσεις για δυο μεταβλητές και

με τη διαφορά ότι στο δεύτερο διάγραμμα έχει αλλάξει η πρώτη παρατήρηση και έχει γίνει ακραία –σε σχέση με τις υπόλοιπες.

6 Αυτή η υπόθεση γίνεται χωρίς βλάβη της γενικότητας αφού μπορούμε να αναδιατάξουμε τις παρατηρήσεις έτσι ώστε η παρατήρηση που πραγματικά αλλάζει, να γίνει η πρώτη παρατήρηση. Φυσικά, η αναδιάταξη πρέπει να γίνει ως προς τα ζεύγη των (y,x) και όχι απλά ως προς τα x.7 Όπως έλεγε ο Robert Solow, η μεγαλύτερη αρετή οποιασδήποτε στατιστικής ή οικονομετρικής διαδικασίας είναι η ευστάθειά της σε αποκλίσεις από τις υποθέσεις που κάνουμε και περιγράφουν μια ιδανική κατάσταση. Επομένως είναι επιθυμητό η εκτίμηση να μη μεταβάλλεται πολύ σαν αποτέλεσμα (λογικών) παραβιάσεων των υποθέσεων του υποδείγματος.

82

Page 12: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Όπως φαίνεται η εκτίμηση LS έχει επηρεασθεί τόσο πολύ ώστε ακόμη και το πρόσημό της έχει αλλάξει!

-2

-1

0

1

2

3

10 11 12 13 14 15 16

X

Y

-15

-10

-5

0

5

10 11 12 13 14 15 16

X

Y

Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για να αντιμετωπίσουμε τα προβλήματα που δημιουργούνται από την ύπαρξη ακραίων παρατηρήσεων στα δεδομένα.

Μια μέθοδος είναι απλώς να απαλείψουμε τις μεγαλύτερες (κατ’ απόλυτη τιμή) παρατηρήσεις και τις αντίστοιχες του . Μια λογική επιλογή θα ήταν να υποθέσουμε ή 3, αλλά βέβαια αυτό είναι ένα εμπειρικό ζήτημα.

83

Ακραία παρατήρηση

Αρχική εξίσωση παλινδρόμησης

Νέα εξίσωση παλινδρόμησης

Page 13: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Άλλες μέθοδοι στηρίζονται στην εκτίμηση του με βάση τη μέθοδο μέγιστης πιθανοφάνειας και μια μη-κανονική κατανομή για τα σφάλματα.

Η λογική αυτής της μεθόδου είναι ότι όταν υπάρχει ένα ακραίο (άρα ισοδύναμα ένα ακραίο ) η κατανομή των μπορεί να προσεγγισθεί καλύτερα με μια μη-κανονική κατανομή όπως πχ η Student-t (με μικρές τιμές των βαθμών ελευθερίας που συνήθως αποτελούν παράμετρο προς εκτίμηση μαζί με το ) ή άλλες κατανομές.

Όλες αυτές οι μέθοδοι λέγονται «σθεναρές» (robust) γιατί επιδεικνύουν αυξημένη αντίσταση της εκτίμησης στις ακραίες τιμές.

Για να δείτε πρακτικά τι συμβαίνει με την επίδραση των ακραίων τιμών μπορείτε να επισκεφθείτε την εξής τοποθεσία στο διαδίκτυο:

http :// www . stat . uiuc . edu /~ stat 100/ java / guess / PPApplet . html

84

Page 14: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να δείξετε ότι αν και τότε όπου είναι ο συντελεστής προσδιορισμού στο πρώτο υπόδειγμα.

2. Να δικαιολογήσετε γιατί αν έχουμε το γραμμικό υπόδειγμα , δεν μπορούμε να πούμε ότι .

3. Με ποια μέθοδο θα ήταν δυνατό να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους στο υπόδειγμα ;

4. Να ερμηνεύσετε τα εξής αποτελέσματα για τη συνάρτηση κατανάλωσης: , όπου σε παρενθέσεις είναι τα τυπικά σφάλματα των παραμέτρων. Είναι η οριακή ροπή για κατανάλωση ίση με τη μονάδα σε επίπεδο σημαντικότητας 1%; Να προσδιορίσετε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης της οριακής ροπής για αποταμίευση.

5. Στην προηγούμενη άσκηση να εξηγήσετε γιατί δεν είναι εύκολο να προσδιορίσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης του πολλαπλασιαστή, που ορίζεται σαν , όπου είναι η οριακή ροπή για κατανάλωση.

6. Αντί για την LS, μια άλλη απλοϊκή προσέγγιση μπορεί να εφαρμοσθεί για την εκτίμηση των παραμέτρων του γραμμικού υποδείγματος: Επιλέγονται δυο οποιαδήποτε σημεία και βρίσκουμε την ευθεία που διέρχεται από αυτά, επομένως έχουμε εκτιμήσεις των . Τι προβλήματα έχει αυτή η προσέγγιση; Γιατί η LS είναι καλύτερη από την απλοϊκή μέθοδο;

7. Να δείξετε ότι τα κατάλοιπα της LS είναι αμερόληπτοι εκτιμητές των σφαλμάτων (του πληθυσμού).

8. Στο γραμμικό υπόδειγμα , να βρείτε τις συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης για την ελαχιστοποίηση του

κριτηρίου . Μπορούν να λυθούν αναλυτικά;

9. Ποιες είναι οι ιδιότητες της μεθόδου LS όταν τα κατάλοιπα προέρχονται από μια κατανομή που δεν έχει μέσο, με την έννοια ότι ;

10. Στον παρακάτω πίνακα να κατασκευάσετε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους και . Μπορούμε να πούμε ότι η άγνωστη τιμή του είναι 1;

Εκτίμηση

t-στατιστική

σταθερά

1,21 0,98

85

Page 15: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

0,67 4,12

86

Page 16: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Ελάχιστα τετράγωνα και η μέθοδος των ροπών

Ας θεωρήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

, .

Μια ιδιομορφία του υποδείγματος αυτού σε σχέση με όσα θεωρήσαμε ως τώρα, είναι ότι η ερμηνευτική μεταβλητή είναι στοχαστική. Θα υποθέσουμε, όμως, ότι είναι ασυσχέτιστη με τα σφάλματα και έτσι έχουμε:

, .

Οι υποθέσεις αυτές είναι αρκετές για να μπορέσουμε να εξάγουμε τον εκτιμητή των ροπών.

Πραγματικά, η υπόθεση μας δίνει την εξίσωση:

Αν χρησιμοποιήσουμε απλές ιδιότητες των αναμενόμενων τιμών, θα έχουμε:

.

Για να βρούμε εκτιμητές με τη μέθοδο των ροπών, έστω και θα πρέπει να αντικαταστήσουμε τις θεωρητικές ροπές με τις αντίστοιχες δειγματικές ροπές όπως στον επόμενο πίνακα.

Θεωρητική ροπή

Δειγματική ροπή

87

Page 17: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Φυσικά, σε όρους των εκτιμητών οι δειγματικές ροπές θα πρέπει να

κατανοηθούν σαν τυχαίες μεταβλητές και να έχουμε , ,

και .

Οι εκτιμητές, λοιπόν, πρέπει να ικανοποιούν:

.

Αυτές όμως δεν είναι παρά οι κανονικές εξισώσεις της LS και επομένως:

Στο γραμμικό υπόδειγμα, ο εκτιμητής των ροπών ταυτίζεται με τον εκτιμητή της LS.

Θα ήταν εύλογο το ερώτημα γιατί δεν χρησιμοποιήσαμε τη ροπή =σταθερό για κάθε .

Η ροπή αυτή δεν θα μας έλεγε κάτι για το και απλά θα μας έδινε

μια εκτίμηση του , ως όπου , είναι τα

κατάλοιπα από τη μέθοδο των ροπών ή τη μέθοδο LS.

Εφόσον η χρήση της συνθήκης είναι κρίσιμη για να λάβουμε την LS από τη μέθοδο των ροπών, μπορεί κανείς να φανταστεί ότι όταν η συνθήκη δεν ισχύει τότε όχι μόνον η LS δεν είναι πια ισοδύναμη με τη μέθοδο των ροπών (πράγμα που είναι προφανές) αλλά ίσως και η LS να έχει ορισμένα προβλήματα.

Αυτό συμβαίνει πραγματικά και η LS δίνει μεροληπτικούς εκτιμητές.

Πολυμεταβλητή κανονική κατανομή: Κατανομή απόδοσης χαρτοφυλακίου.

Έχουμε αποδόσεις μετοχών, τις τυχαίες μεταβλητές με αναμενόμενες τιμές και διακυμάνσεις . Οι αποδόσεις δεν είναι ασυσχέτιστες κι’ έτσι ορίζουμε τις συνδιακυμάνσεις:

88

Page 18: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

, για κάθε .

Η απόδοση του χαρτοφυλακίου στο οποίο έχουμε μερίδια σε κάθε μετοχή, είναι η τυχαία μεταβλητή:

η οποία έχει μέση απόδοση:

Η διακύμανση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου θα είναι απλά:

.

Μια γενίκευση της διμεταβλητής κανονικής κατανομής είναι η πολυμεταβλητή κανονική κατανομή.

Κάτω από την υπόθεση ότι η διανυσματική τυχαία μεταβλητή

ακολουθεί την πολυμεταβλητή κανονική κατανομή με μέσο και μήτρα συνδιακύμανσης η απόδοση ακολουθεί τη συνηθισμένη μονομεταβλητή κανονική κατανομή με μέσο και διακύμανση

. Ο λόγος είναι ότι, όπως είναι γνωστό, το άθροισμα κανονικών τυχαίων μεταβλητών είναι επίσης κανονική τυχαία μεταβλητή.

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της είναι:

, ,

όπου είναι η ορίζουσα της μήτρας . Είναι εύκολο να αποδείξετε ότι αν η είναι διαγώνια μήτρα (οπότε έχουμε ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές στην ) τότε η παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο κανονικών συναρτήσεων πυκνότητας.

89

Page 19: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Ποια είναι η πιθανότητα η απόδοση του χαρτοφυλακίου να είναι μικρότερη από κάποιο δεδομένο ;

Εφόσον , θα έχουμε:

,

η οποία μπορεί να υπολογισθεί με βάση τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανομής. Αν έχουμε και , τότε η πιθανότητα να έχουμε απόδοση μικρότερη από θα είναι:

.

Τέτοιοι υπολογισμοί στα χρηματοοικονομικά είναι ευρύτατα γνωστοί με την ονομασία VaR (Value at Risk).

90

Page 20: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Εφαρμογή του γραμμικού υποδείγματος στην ανάλυση χαρτοφυλακίου

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε αποδόσεις μετοχών, τις τυχαίες μεταβλητές . Επίσης, είναι η απόδοση της αγοράς, δηλαδή η απόδοση του Γενικού Δείκτη. Υποθέτουμε το γραμμικό υπόδειγμα:

, ,

όπου είναι ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές με μέσο μηδέν και διακυμάνσεις . Για την απόδοση της αγοράς, υποθέτουμε ότι και .

Είναι σαφές ότι θα έχουμε:

, για κάθε ,

, για κάθε ,και

, για κάθε

,

εφόσον λόγω της υπόθεσης ότι αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι ασυσχέτιστες.

Οι παραπάνω εκφράσεις παρέχουν τις διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις των αποδόσεων με την υπόθεση ότι όλες οι μετοχές εξαρτώνται γραμμικά από τον ίδιο κοινό παράγοντα .

Για τον υπολογισμό τους, αρκεί να ξέρουμε τη διακύμανση του γενικού δείκτη , τους συντελεστές και τις διακυμάνσεις των σφαλμάτων, .

91

Page 21: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

Στην πράξη βρίσκουμε πολύ συχνά ότι οι συντελεστές είναι θετικοί και κοντά στη μονάδα, πράγμα που συνεπάγεται ότι οι συνδιακυμάνσεις είναι όλες θετικές και κοντά στη διακύμανση του γενικού δείκτη. Για να έχουμε κάποια αρνητική συνδιακύμανση θα πρέπει να έχουμε μια μετοχή που έχει , δηλαδή μια μετοχή που σχετίζεται αρνητικά με τον γενικό δείκτη.

Με βάση τις εκτιμήσεις LS για τους συντελεστές και τα είναι δυνατόν να επιλύσουμε το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής χαρτοφυλακίου, δηλαδή την ελαχιστοποίηση του ρίσκου που θα μας δώσει μια ορισμένη μέση απόδοση, σύμφωνα με τα όσα έχουμε ήδη αναφέρει.

Το πλεονέκτημα της χρήσης του γραμμικού υποδείγματος, στα πλαίσια αυτά, είναι ότι δεν είναι ανάγκη να εκτιμήσουμε τις συνδιακυμάνσεις για κάθε ζεύγος μετοχών αλλά μόνο να εκτιμήσουμε το γραμμικό υπόδειγμα για κάθε μετοχή και να εκτιμήσουμε τις συνδιακυμάνσεις με βάση τα όσα είπαμε πιο πάνω.

92

Page 22: Lectures in Applied Econometrics 02

2. Λανθασμένη εξειδίκευση και άλλα θέματα

93