ANALISIS SINYAL GEOFISIKA

Continuous Wavelet Transform

0 Mengukur kesamaan antara sinyal dan fungsi analisis (wavelet, ψ).

0 Membandingkan sinyal terhadap versi shifted dan stretched/compressed (scaling) dari wavelet.

0 Untuk parameter skala, a>0, dan posisi b, CWT adalah

𝐶 𝑎, 𝑏; 𝑓 𝑡 , 𝜓 𝑡 = 𝑓(𝑡)1

𝑎

∞

−∞

𝜓 ∗ (𝑡−𝑏)𝑎 𝑑𝑡

Continuous Wavelet Transform

0 Dengan mengalikan tiap koefisien dengan wavelet yang diskalakan dan digeser dengan tepat menghasilkan komponen wavelet dari sinyal aslinya.

0 CWT dapat beroperasi pada setiap skala.

0 Selama perhitungan CWT, wavelet yang dianalisis digeser secara halus diatas domain fungsi analisis secara penuh (continuous).

Skala dan frekuensi

0 Skala kecil = wavelet terkompresi = perubahan secara cepat = frekuensi tinggi .

0 Skala tinggi = wavelet melebar = perubahan secara lambat = frekuensi rendah.

CWT Sebagai teknik filtering

0 Dengan merumuskan kembali CWT sebagai inversi transformasi Fourier :

𝐶 𝑎, 𝑏; 𝑓 𝑡 , 𝜓 𝑡 =1

2𝜋 𝑓 𝑤 𝑎

∞

−∞

𝜓 𝑎𝜔 ∗ 𝑒𝑗𝜔𝑏𝑑𝜔

0 Dimana 𝑓 𝑤 dan 𝜓 adalah transformasi Fourier dari sinyal dan wavelet.

0 Koefisien CWT pada skala yang lebih rendah mewakili energi dalam sinyal masukan pada frekuensi yang lebih tinggi, dan sebaliknya.

CWT berbasis DFT

0 Apabila kita definisikan 𝜓 𝑎 𝑡 =1

𝑎𝜓 ∗ (−𝑡/𝑎) , maka transformasi

wavelet akan menjadi

𝑓 ∗ 𝜓 𝑎 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝜓 𝑎 𝑏 − 𝑡

∞

−∞

𝑑𝑡

0 Dengan versi diskrit :

𝑊𝑎(𝑏) = 𝑥 𝑛 𝜓 𝑎[𝑏 − 𝑛]

𝑁−1

𝑛=0

0 Maka CWT dengan DFT :

𝑊𝑎 𝑏 =1

𝑁

2𝜋𝑎

Δ𝑡 Χ

𝑁−1

𝑘=0

(2𝜋𝑘/𝑁Δ𝑡) 𝜓 ∗ (𝑎2𝜋𝑘/𝑁Δ𝑡)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑏/𝑁

Algoritma CWT

1. Ambil sebuah wavelet dan bandingkan dengan bagian awal pada sinyal asli.

2. Hitung sebuah bilangan, c (koefisien CWT), yang mewakili bagaimana dekatnya korelasi wavelet tersebut dengan bagiannya pada sinyal.

Algoritma CWT 3. Geser wavelet ke arah kanan dan ulangi langkah 1 dan 2 sampai

menjangkau sinyal tersebut.

4. Skalakan (tarik) wavelet dan ulangi langkah 1 sampai 3.

5. Ulangi langkah 1 sampai 4 untuk semua skala.

Implementasi MATLAB untuk analisis CWT

Hasil dan Analisis CWT 1. Membuat sinyal dan memunculkan impuls pada data ke 300

dan 500.

2. Digunakan wavelet morlet. Kita dapat mencoba-coba berbagai wavelet, namun perlu diperhatikan prosedur pemanggilannya dengan wavefun.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1morlet wavelet

Hasil dan Analisis CWT 3. Menghitung koefisien CWT pada skala 1 sampai 128 lalu melakukan

plotting Daerah tersebut yang berbentuk cone biasa disebut cone of influence yang menunjukkan koefisien CWT yang dipengaruhi nilai sinyal pada titik tersebut.

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

time (or space) b

scale

s a

200 400 600 800 1000 1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

106

113

120

127

50

100

150

200

Hasil dan Analisis CWT 4. Plot koefisien CWT untuk beberapa skala yang dipilih (20 dan

80) Koefisien CWT menjadi bernilai besar di sekitar perubahan sinyal yang mendadak. Salah satu keunggulan transformasi wavelet adalah untuk mendeteksi diskontinuitas akibat perubahan sinyal yang tiba-tiba.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Scale 20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15Scale 80

Hasil dan Analisis CWT 5. Konstruksi gelombang sinusoidal 45 Hz lalu menghitung koefisien

CWT nya

Dari gambar diatas kita dapat melihat bahwa koefisien CWT bernilai besar pada skala 11 sampai 24.

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

time (or space) b

scale

s a

200 400 600 800 1000 1

5

9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

50

100

150

200

Hasil dan Analisis CWT 6. Dari skala yang menghasilkan koefisien CWT yang besar ini, kita

dapat menghitung pseudofrekuensi untuk tahapan selanjutnya. 7.

koefisien CWT bernilai besar pada skala dekat frekuensi gelombang sinusoidal.

0

500

1000

020

4060

80-6

-4

-2

0

2

4

6

Hasil dan Analisis CWT

8. Konstruksi sinyal yang terdiri dari perubahan yang tiba-tiba dan osilasi halus pada sinyal 5 Hz dengan dua nilai diskontinuitas (t=0,2 dan t=0.82).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

t

x

Hasil dan Analisis CWT 9. Menghitung koefisien CWT dari sinyal dengan wavelet Morlet

Dari model diatas kita dapat menemukan perubahan yang tiba-tiba dan osilasi halus pada t=0.2 dan t=0.82 sesuai dengan forward modeling yang dilakukan di poin (8).

t

Scale

s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

20

40

60

80

100

120

140

160

180

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Aspek interpretasi CWT 0 Cone of Influence :Bergantung pada skala, koefisien

CWT pada titik tertentu dapat dipengaruhi oleh nilai sinyal pada titik yang jauh.

0 Mendeteksi perubahan mendadak : Perubahan mendadak dalam sinyal menghasilkan koefisien wavelet yang relatif besar (dalam nilai absolut) dengan berpusat di sekitar diskontinuitas pada semua skala.

0 Mendeteksi fitur sinyal yang halus : Fitur sinyal yang halus menghasilkan koefisien wavelet yang relatif besar pada skala dimana osilasi dalam wavelet berkorelasi paling baik dengan fitur sinyal.

Aplikasi dalam data seismik

0 Untuk mengkarakterisasi struktur singularity lokal dan global dari rekaman sedimen dan data seismik (Herrmann and Stark, 2001).

Aplikasi dalam data seismik

0 Memetakan endapan channel dan deteksi gas (Li et al., 2005; Kazemeini et al., 2008). Dimana resolusi frekuensi akan terlihat baik pada frekuensi rendah.

0 Mengestimasi atenuasi

0 Menentukan arah diskontinuitas serta deteksi sesar lebih akurat (Wang et al., 2009).

Referensi

0 Daubechies, I. 1992. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).

0 Farge, M. 1992. Wavelet Transforms and Their Application to Turbulence. Ann. Rev. Fluid. Mech., 1992, 24, 395–457.

0 Herrmann, F. J., Stark C. P. 2001. Seismic Facies Characterization by Monoscale Analysis. Geoph. Res. Lett

0 Kazemeini S. H., et al. 2008. Application of the continuous wavelet transform on seismic data for mapping of channel deposits and gas detection at the CO2SINK site, Ketzin, Germany. - Geophysical Prospecting, 57, 1, 111-123

0 Li, H., et al. 2005. Measures of scale based on the wavelet scalogram and its applications to gas detection. SEG/Houston 2005 Annual Meeting: 1405-1408.

0 Mallat, S. 1998. A Wavelet Tour of Signal Processing. San Diego, CA: Academic Press,

0 Partyka et al (1999). Interpretational applications of spectral decomposition in reservoir characterization. The Leading Edge.

0 Wang, X., et al. 2009. 2D seismic attributes extraction based on two-dimensional continuous wavelet transform. SEG Houston 2009 International Exposition and Annual Meeting: 3650-3654.

TERIMA KASIH