Fizika

Matematički uvod

Koordinatni sustavi

• Vedina fizikalnih veličina nisu apsolutne ved moramo znati u odnosu na što ih određujemo – tj. trebamo ishodište

• Za vektore nam treba i smjer, a njega određujemo pomodu nekih fiksnih osi

• Sve to zajedno čini koordinatni sustav

Dvije dimenzije

• kartezijev (x,y)

• polarni (ρ,φ)

x = ρ cos φ ρ = √x2 + y2

y = ρ sin φ φ = arc tg (y/x)

Tri dimenzije

• kartezijev (x,y,z)

• cilindrični (ρ,φ,z)

• sferni (r,θ,φ)

z = r cos θx = r sin θ cos φ

y = r sin θ sin φ

Vektorske operacije

• Zbrajanje (oduzimanje)

• Množenje – skalarno (rezultat je skalar)

– vektorsko (rezultat je vektor)

bac

),(cos bababac

bac

),(sin babac

Derivacija

Sir Isac Newton Gottfried Wilhelm Leibnitz

problem brzine problem tangente

Derivacija – tangenta

Tangenta je pravac koji

dodiruje krivulju u jednoj

točki.

Jednadžba pravca:

baxy

Što su a i b? x = 0 → b - odsječak na x-osi

a - koeficijent smjera

Derivacija – koeficijent smjera

Sekanta je pravac koji

sječe krivulju u dvije

točke.

Točke 1 i 2 leže na sekanti

pa je:

baxy

baxy

22

11

)( 1212 xxayy

tgx

y

xx

yya

12

12

Za tangentu:dx

dy

x

ya

x

lim

0

∆x – konačno malo

dx – beskonačno malo (infinitezimalno)

Derivacija – tangenta na parabolu

2xy - nađimo tangentu u točki (2,4)

xxx

x

xxx

x

xxxxx

x

xxx

x

yy

x

ya

x

xx

xxx

2)2(lim

)(2lim

)(2lim

)(limlimlim

0

2

0

222

0

22

0

12

00

Derivacija funkcije je .2xy xy 2' Za je . 2x 4a

4482444 bby

Tangenta: 44 xy

Integral

Površina ispod krivulje između točaka a i b.

Integral

Krivulja:

cy

dab

dcP

Integral

Krivulja:

axy

babd

2

2

1

2

2

)(

ad

dad

bybP

Integral

Nxb

xa

0

N

i

iPP1

N

i

i xyP1

1

N

i

i xyP1

b

a

N

i

ix

dxxyxyP )(lim10

- integral (određeni)