Exercicios resolvidos tensão

118
Exercícios do item 1.5: 1) Calcule a força de tração nas duas barras da estrutura abaixo. 0 1 1 1 87 , 36 ) 75 , 0 ( tan arc 4 3 tan = θ = θ = θ 0 2 2 2 13 , 53 ) 333 , 1 ( tan arc 3 4 tan = θ = θ = θ 0 ) 13 , 53 ( cos F ) 87 , 36 ( cos F : 0 F o 2 o 1 x = + - = 2 1 2 1 2 1 F 75 , 0 F 8 , 0 F 6 , 0 F 0 6 , 0 F 8 , 0 F = = = + - 0 000 . 12 ) 13 , 53 ( sen F ) 87 , 36 ( sen F : 0 F o 2 o 1 y = - + + = 000 . 12 8 , 0 F 6 , 0 F 2 1 = Colocando-se a força F 1 na expressão acima, tem-se: N 600 . 9 25 , 1 000 . 12 F 000 . 12 8 , 0 F 6 , 0 F 75 , 0 2 2 2 = = = + N 200 . 7 F 9600 x 75 , 0 F 1 1 = = 2) Calcule a força de tração nos dois cabos da figura.

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Exercicios para graduandos

Transcript of Exercicios resolvidos tensão

  • Exerccios do item 1.5: 1) Calcule a fora de trao nas duas barras da estrutura abaixo.

    0111 87,36)75,0(tanarc4

    3tan ===

    0222 13,53)333,1(tanarc3

    4tan ===

    0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o2o1x =+=

    212

    121 F75,0F8,0F6,0F06,0F8,0F ===+

    0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o2o1y =++= 000.128,0F6,0F 21 =+

    Colocando-se a fora F1 na expresso acima, tem-se:

    N600.925,1000.12F000.128,0F6,0F75,0 222 ===+

    N200.7F9600x75,0F 11 ==

    2) Calcule a fora de trao nos dois cabos da figura.

  • 000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+=+=

    N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 ==+=

    N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 ===

    Exerccios do item 1.6: 1) Calcule as reaes nos apoios da viga abaixo.

    0H:0F Ax ==

    000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+=+=

    N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA ===

    N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB ===

    2) Calcule as reaes no apoio da viga em balano (ou viga cantilever).

    0H:0F bx ==

  • 000.1V0000.1V:0F bby ===

    m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO ===

    Exerccios do item 1.9: 1) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo. Dado: s = 77 kN/m3

    A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo transversal:

    2mm000.3300x62x100x6A =+=

    Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A ==

    m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===

    0H0F Ax ==

    L.qVV0F BAy =+=

  • Ento: N20790,9x231VV BA ==+

    02L

    .L.qL.V0M AB ==

    2LqV

    2LqV BA ==

    N5,10392

    0,9x231VV BA ===

    2) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo. Dado: s = 77 kN/m3

    0H0F Bx ==

    N20790,9x231L.qV0F By ====

    m.N5,93552

    qLM0M2L

    .L.q0M2

    BBo ===+=

    Observao muito importante: A substituio de uma carga distribuda pela fora resultante somente pode usada para calcularem-se as reaes de apoio. No deve ser usada para mais nada.

  • Exerccios do item 2.1: 1) Calcule a tenso normal nos dois cabos da figura. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm

    rea dos cabos 1 e 2:

    221

    221 mm7,506AA)7,12(AA ==pi==

    Tenso normal nos cabos 1 e 2:

    22

    1

    11 mm/N48,4)mm(7,506

    )N(2,269.2AF

    ===

    22

    2

    22 mm/N36,7)mm(7,506

    )N(8,730.3AF

    ===

    2) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20,0 mm

  • 21o

    2o

    1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F ==+= 0000.5)45(senF)45(senF:0F o2o1y =+=

    N1,3536FF000.5707,0F2 211 === Tenso normal nas barras 1 e 2:

    22

    1

    11 mm/N8,28)25,6(

    1,3536AF

    =

    pi==

    22

    2

    22 mm/N3,11)10(

    1,3536AF

    =

    pi==

    3) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. As duas barras tm seo transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida = 20 mm

    866,0FF0)30cos(FF:0F 21o21x ==+= N000.50F0000.52)30(senF:0F 2o2y ==+=

    N300.43F866,0.)000.50(F 11 == Tenso normal nas barras 1 e 2:

    22

    1

    11 mm/N0,245)5,7(

    300.43AF

    =

    pi==

    22

    2

    22 mm/N2,159)10(

    000.50AF

    =

    pi

    ==

  • 4) Uma barra, de seo transversal retangular, tem altura varivel (como indicado) e largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tenso normal no ponto de aplicao da fora F e no engaste. Dado: F = 8.000 N

    2mm/N44,4415x12

    000.8AF

    ===

    2Engaste mm/N67,2625x12

    000.8AF

    ===

    5) Uma barra prismtica est pendurada por uma de suas extremidades. Construa os diagramas de fora normal e de tenso normal. Dados: : peso especfico; A: rea da seo transversal

    Fazendo-se um corte imaginrio distncia x os esforos que eram internos passam a ser externos. A parte recortada tambm tem que estar em equilbrio, pois qualquer parte (ou ponto) de uma estrutura em equilbrio tambm est em equilbrio. N(x): representa a ao da parte de cima sobre a parte de baixo.

    xA)x(N0xA)x(N:0Fy ===

  • xAAx

    A)x(N ===

    Exerccios do item 2.2: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular ( = 25 mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma fora axial de trao F = 30.000 N. Calcule a tenso normal e a deformao linear especfica sabendo que o alongamento da barra de 2,0 mm.

    22 mm/N1,61)5,12(

    000.30AF

    =

    pi==

    310x5,2)mm(800)mm(0,2

    LL

    ==

    =

    2) Um elstico tem comprimento no esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformao linear especfica do elstico quando for esticado ao redor de um poste com dimetro externo igual a 16 cm.

    P: Permetro externo do poste: cm27,508.2R2P =pi=pi=

    68,030

    3027,50L

    LLLL

    i

    if

    i=

    =

    =

    =

  • Exerccios do item 2.3: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular (d = 20 mm) fica solicitada por uma fora axial de trao F = 6.000 N. Experimentalmente, determinou-se a deformao linear especfica longitudinal oo

    oL /3= . Calcule a

    tenso normal, a variao do comprimento e do dimetro da barra. Dado: = 0,25.

    22x mm/N1,19)10(

    000.6AF

    =

    pi==

    003,01000

    3/3 ooo

    xL ====

    mm5,4L1500.10x0,3LLLL

    x3

    xxxx

    xx ===

    =

    yyyy

    yy LLL

    L=

    =

    ddL yy ==

    43xy

    x

    y 10x5,710x0,3x25,0 ===

    =

    mm015,020x10x5,7d 4 ==

    2) Calcule o volume final da barra do problema anterior. Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final da barra

    32iii mm9,238.471500.1x)10(LAV =pi==

    32

    fff mm9,943.471)5,41500(x4)015,020(LAV =+pi==

    3if mm7059,238.4719,943.471VVV ===

    Exerccio do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Fora-Alongamento de um ensaio de trao simples. A barra tem seo transversal circular (d = 30 mm) e comprimento inicial (referncia) igual a 800 mm. Calcule:

  • a) a tenso (ou limite) de proporcionalidade (P); b) a tenso (ou limite) de escoamento (Y); c) a tenso ltima (U);

    430.

    4DR.A

    222 pi

    =

    pi=pi= = 2mm86,706

    a) MPa15,14mm/N15,1486,706

    000.10P

    2P ===

    b) MPa98,16mm/N98,1686,706

    000.12Y

    2Y ===

    c) MPa29,28mm/N29,2886,706

    000.20U

    2U ===

    Exerccios do item 2.5: 1) Calcule o mdulo de Young () da barra do problema anterior.

    = .

    310x75,3mm800

    mm3LL

    ==

    =

    3

    2

    10x75,3mm/N15,14

    =

    = 2mm/N3,773.3=

    MPa3,773.3:Ou = Ou: GPa77,3=

  • 2) Uma circunferncia de raio R = 300 mm desenhada em uma placa. Calcule ao aplicar-se a tenso normal x = 81,0 MPa os valores dos dimetros ab e cd. Dados da placa: = 120 GPa; = 0,36

    Lei de Hooke: = xx =

    9

    6x

    x 10x12010x81

    =

    = 4x 10x75,6 =

    mm405,0600x10x75,6LLL 4

    xx

    xx ==

    =

    mm405,600405,0600LFab =+=

    Coeficiente de Poisson ():

    x

    y

    = xy = =

    410x75,6x36,0 = 410x43,2

    mm1458,0600x10x43,2LLL 4

    yy

    yy ==

    =

    mm8542,5991458,0600LFcd ==

    3) Um bloco de massa m = 1.500 kg sustentado por dois cabos de seo transversal circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; 1 = 70 GPa e 2 = 120 GPa, calcule: a) o valor do ngulo sabendo que 1 = 2 ; b) valor da tenso normal nas duas barras; c) a deformao linear especfica das duas barras.

  • ===

    sen

    PF0PsenF0F 22y

    === cossen

    PF0cosFF0F 121x

    a) 2

    2

    1

    121 A

    FAF

    ==

    361

    16cos

    )6(sen

    P

    )4(sen

    cosP

    22 =

    pi

    =

    pi

    o61,633616

    cosarc =

    =

    b) 2o

    o

    1

    11 )4(

    )61,63(sen)61,63(cosP

    AF

    pi== = 2mm/N2,145

    16896,0

    4444,0x81,9x1500

    =

    pi

    =

    pi

    =

    pi==

    368958,0

    81,91500

    )6()61,63(sen

    P

    AF

    2

    o

    2

    22

    2mm/N2,145

    c) Lei de Hooke: =

    3123

    2

    1111 10x074,2)mm/N(10x70)mm/N(2,145

    ===

    3223

    2

    2222 10x21,1)mm/N(10x120)mm/N(2,145

    ===

  • Exerccios do item 3.1: 1) Uma barra prismtica de ao, com seo transversal circular, tem 6,0 metros de comprimento e est solicitada por uma fora axial de trao F = 104 N. Sabendo-se que o alongamento da barra de 2,5 mm e que = 205 GPa, calcule:

    a) o dimetro da barra; b) a tenso normal.

    a) mm1,6RR10x205

    6000x105,2AELFL 23

    4=

    pi==

    Ento: d = 12,2 mm

    b) 224

    mm/N5,85)1,6(

    10AF

    =

    pi==

    2) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm; L1 = L2 = 3,5 m; 1 = 2 = 70 GPa

    mm22,07,50610x70

    3500x2,2269LAELFL 31

    11

    111 =

    ==

    mm37,07,50610x70

    3500x8,3730LAELFL 31

    22

    222 =

    ==

    3) Calcule o alongamento das duas barras da trelia abaixo. Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20 mm; L1 = 1,0 m; L2 = 2,0 m; 1 = 205 GPa; 2 = 120 GPa

  • mm14,07,12210x205

    1000x1,3536LAELFL 31

    11

    111 =

    ==

    mm19,02,31410x120

    2000x1,3536LAELFL 31

    22

    222 =

    ==

    Exerccios do item 3.2: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da fora de 200 kN. Dados: A = 800 mm2; = 70 GPa

    mm18,2280010x701800x000.250

    80010x703600x000.80

    80010x705400x000.200

    AELFH 333

    n

    1i ii

    ii=

    +

    == =

    2) Duas barras de seo transversal circular so soldadas como mostra a figura. Sendo dados: 1= 14 mm; 2 = 8 mm; 1= 2 = 70 GPa, calcule: a) a tenso normal nas duas barras; b) o alongamento da barra.

    a) 221 mm9,153)7(A =pi= ; 222 mm3,50)4(A =pi= 2

    1 mm/N98,519,1538000

    == ; 22 mm/N64,593,503000

    ==

    b) mm91,19,15310x70

    2000x000.59,15310x70

    2000x000.33,5010x70

    500x000.3L 333 =

    +

    +

    =

    3) Calcule a tenso normal mxima e o alongamento da barra prismtica abaixo. Dados: A = 7,1 x 10 4 m2; = 120 GPa; = 44.300 N/m3

  • A tenso normal mxima ocorre no apoio:

    2664mx m/N10x22,010x63,55x300.4410x1,7

    000.4LAF

    +=+=+=

    MPa85,5m/N10x85,5 26mx ==

    Clculo do alongamento:

    E2L

    AELFL

    2+=

    O alongamento mximo ocorre na extremidade livre:

    m10x61,410x41,110x120x2544300

    10x1,710x1200,3x000.4L 649

    2

    49mx

    +=

    +

    =

    mm146,0m10x46,1L 4mx ==

  • Exerccios do item 3.3: 1): Calcule a tenso normal nas trs barras da trelia abaixo e o deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P. Dados: P = 15.000 N; 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 2 x 10 4 m2

    Diagrama de corpo livre:

    055cosF55cosF0F o1o1x =+=

    0PF55senF.20F 2o1y =+=

    De onde: 1,64 F1 + F2 = P (1)

    Temos uma equao e duas incgnitas, o problema uma vez hiperesttico. A outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.

    11o

    2211

    11o

    22

    22 LF35cosLFAELF

    35cosAELF

    ==

  • Clculo do comprimento da barra 1: L1 cos35o = L2

    m44,2L35cos0,2L 1o1 ==

    Da equao de compatibilidade:

    121o

    2 F49,1F44,2F35cos0,2xF == (2) Colocando-se a equao (2) na equao (1), tem-se: 1,64 F1 + 1,49 F1 = P

    N4792F000.15F13,3 11 ==

    F2 = 7.140 N Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2::

    MPa96,2310x2

    4792AF

    141

    11 ===

    MPa70,3510x2

    7140AF

    242

    22 ===

    Clculo do deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P:

    mm35,0V10x2x10x205

    000.2x7140AELF

    LV4922

    222 ====

    Exerccio 2): A barra rgida (indeformvel) AB, de peso desprezvel, rotulada em A, suspensa por dois cabos e suporta uma fora P = 58.000 N. Calcule a tenso normal nos cabos 1 e 2 e a reao vertical no apoio A. Dados: L1 = L2; 1 = 70 GPa; 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 5 x 10 4 m2

  • 0PFFV0F 21Ay =++= (1)

    0d4xFd3xPd2xF0M 21A =+=

    De onde: Px3Fx4Fx2 21 =+ (2) Temos duas equaes independentes da esttica e trs incgnitas. O Problema uma vez hiperesttico e a outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.

    2121 LL2

    d4L

    d2L

    =

    =

    92

    91

    22

    22

    11

    11

    10x205F

    10x70F

    2AELF

    AELF

    2 ==

    De onde: F2 = 5,86 F1 (3)

    Colocando-se a equao (3) na equao (2), tem-se:

    Px3F86,5x4Fx2 11 =+

  • 25,44 F1 = 3 x 58.000 F1 = 6.839,6 N

    F2 = 40.080,1 N

    Clculo da tenso normal nos cabos:

    MPa68,1310x5

    6,6839AF

    141

    11 ===

    MPa16,8010x5

    6,080.40AF

    242

    22 ===

    Clculo da reao vertical no apoio A (equao (1):

    N3,080.11000.581,080.406,839.6PFFV 21A =+=+=

    Exerccio 3): A barra prismtica abaixo est presa em dois apoios indeformveis e solicitada por uma fora axial F. Determine as reaes nos apoios A e B.

    0HFH0F BAx =+= (1)

    O problema uma vez hiperesttico. Vamos retirar um dos apoios e determinar o deslocamento que o apoio retirado est impedindo.

    Colocando-se o apoio retirado, tem-se:

  • Compatibilidade dos deslocamentos:

    La.F

    HEA

    L.HEA

    a.FLL B

    B21 ===

    Lb.F

    H)aL(LF

    La.F

    LLF

    La.F

    FHHFH AABA =====

    Exerccio 4): A barra prismtica abaixo est carregada axialmente por duas foras F1 e F2. Calcule:

    a) as reaes nos apoios indeformveis A e B; b) a tenso normal no meio da barra.

    Dados: F1 = 2.000 N; F2 = 3.500; Aseo transversal = 200 mm2

    Superposio dos efeitos:

    N6,384.16,2

    8,1x000.2L

    b.FH 11A === N4,6156,2

    8,0x000.2L

    a.FH 11B ===

  • N7,8076,2

    6,0x500.3L

    b.FH 22A === N3,692.26,2

    0,2x500.3L

    a.FH 22B ===

    N9,5767,8076,384.1HHH 2A1AA ==+=

    N9,076.23,692.24,615HHH 2B1BB =+=+=

    Clculo da tenso normal no meio da barra:

    F = fora normal axial no meio da barra

    F = H + F1 = 576,9 + 2.000 = 1.423,1 N

    Ou: F = HB + F2 = 2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N

    Ento:

    MPa1,7:oumm/N1,7200

    1,423.1AF 2

    ====

    Exerccio 5): A barra prismtica est na posio indicada quando a fora F = 0. Calcule as reaes nos apoios rgidos A e B quando for aplicada a fora F = 18.000 N. Dados: = 1,5 GPa; = 5 x 10 3 m2

  • OBS.: Se a barra no encostar no apoio B as reaes so dadas por: HA = 18.000 N e HB = 0.0 Vamos retirar o apoio B:

    mm8,410x5x10x5,1000.2x000.18

    EA000.2xF

    L 391 ===

    Colocando-se o apoio B, a reao HB dever diminuir (encurtar) a barra de L1 2 mm.

    N5,562.6H0,28,410x5x10x5,1

    200.3xHB39

    B==

    N5,437.115,562.6000.18HFHH ABA ===+

    Exerccio 6): Um pilar de concreto armado tem 3,0 metros de comprimento longitudinal e possui quatro barras de ao de dimetro igual a 16 mm. A seo transversal do pilar quadrada (300 mm x 300 mm) e est solicitado por uma fora axial de compresso F = 300.000 N aplicada atravs de uma placa rgida. Sendo dados c = 26 GPa e s = 205 GPa calcule a tenso normal no concreto e nas barras de ao.

  • Chamando de Fc a fora absorvida pelo concreto e Fs a fora absorvida pelas barras de ao, tem-se:

    N000.300FF sc =+

    O problema uma vez hiperesttico. Sabendo-se que a fora F aplicada atravs de uma placa rgida, os dois materiais (ao e concreto) tem o mesmo encurtamento:

    sc LL =

    2s

    2c

    ss

    ss

    cc

    cc

    84x205F

    )84000.90(x26F

    AELF

    AELF

    pi=

    pi=

    De onde: Fc = 14,07 Fs Ento: 14,07 Fs + Fs = 300.000 N Fs = 19.907,1 N Fc = 300.000 19.907,1 = 280.092,9 N

    Clculo da tenso normal:

    22c mm/N14,384000.90

    9,092.280=

    pi=

    22s mm/N75,24841,907.19

    =

    pi=

  • Exerccios do item 3.4: 1) A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual a 20C. Sabendo que os engastes so indeformveis calcule a tenso normal na barra quando a temperatura subir para 50C. Dados: = 205 GPa; = 11,7 x 10 6 /oC

    Retirando-se o apoio B, tem-se:

    Compatibilidade dos deslocamentos

    TF LL =

    TLEAFL =

    TE =

    30x10x7,11x10x205 69 = 26 m/N10x95,71=

    Ou: compresso = 71,95 MPa

  • Exerccio 2): A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual a 25 C. Sabendo que os engastes A e B so indeformveis calcule a tenso normal na barra quando a temperatura descer para 60C. Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m

    Compatibilidade dos deslocamentos: TF LL =

    TLEAFL =

    TE =

    85x10x6,21x10x70 69 = 26 m/N10x52,128=

    Ou: trao = 128,52 MPa

  • Exerccio 3): Resolva o problema anterior considerando que temperatura t = 60 C o apoio B se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformvel. Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m

    T3

    F L10x3L =+

    TL10x3EAFL 3 =+

    TL10x3EL 3 =+

    85x4x10x6,2110x310x704x 63

    9

    =+

  • 339 10x310x344,710x70

    4x

    =

    26 m/N10x02,76=

    Ou: trao = 76,02 MPa

    4) A estrutura abaixo perfeitamente ajustada aos engastes rgidos A e B quando a temperatura igual a 18 C. Calcule a tenso normal nas barras 1 e 2 quando a temperatura subir para 100 C. Dados: 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 12 x 10 6 /oC; 1 = 600 mm2 ; 2 = 300 mm2

    TLTLL 2211T +=

    82x400x10x1282x500x10x12L 66T += = 0,8856 mm

    22

    2

    11

    1F AE

    FLAE

    FLL +=

  • 300x10x205400xF

    600x10x205500xF

    L 33F += = 1,0569 x 10 5

    . F

    LF = LT

    ento: 1,0569 x 10 5 . F = 0,8856

    F = 83.791,4 N

    Clculo da tenso normal:

    2

    11 mm/N7,139600

    4,791.83AF

    ===

    Ou: 1 = 139,7 MPa

    2

    22 mm/N3,279300

    4,791.83AF

    ===

    Ou: 2 = 279,3 MPa

    5) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a 25 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule a tenso normal na barra quando a temperatura for igual a: a) 10 C; b) 70 C; c) 105 C; Dados: = 70 GPa; que = 20 x 10 6 /oC

    a) = 0,0 b) mm5,2mm25,245x500.2x10x20L 6T

  • Portanto, a barra no vai encostar no apoio B, ento: = 0,0

    c) mm5,2mm0,480x500.2x10x20L 6T >==

    2compresso33F mm/N4210x70

    500.2x5,1A10x70

    500.2xFL =

    ==

    6) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a fora F = 0 e a temperatura igual a 15 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule as reaes HA e HB quando for aplicada a fora F = 27.000 N e a temperatura subir para 40 C. Dados: = 120 GPa; que = 9,4 x 10 6 /oC; A = 125 mm2

    mm17,325x000.2x10x4,9125x10x120500.1x000.27

    TLEAFLLLL 63TF1 =+=+=+=

  • mm17,1LHB =

    N775.8H17,1125x10x120

    000.2xHmm17,1

    EALH

    B3BB

    ===

    N225.18HN000.27HH ABA ==+

    7) As barras esto na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a 5 C. Determine a distncia d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir para 40 C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatao trmica insignificante. Dados: 1 = 23 x 10 6 /oC; 2 = 12 x 10 6 /oC

  • mm93,045x900x10x23TLLT 6111 ===

    mm49,045x900x10x12TLLT 6222 ===

    290x

    3049,093,0

    290x

    30LTLT 21

    =

    =

    mm25,4290.3044,0

    x3044,0

    290x

    ===

    mm74,425,449,0d =+=

  • 8) Um tubo de alumnio mede 35 m temperatura de 22 C. Um tubo de ao, mesma temperatura, 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos tero o mesmo comprimento. Dados: Alumnio = 21,6 x 10 6 /oC; S = 11,7 x 10 6 /oC

    SAL LT005.35LT000.35 +=+

    TL005.35TL000.35 SSALAL +=+

    Tx005.35x10x7,11005.35T000.35x10x6,21000.35 66 +=+

    T410,0005.35T756,0000.35 +=+

    000.35005.35T410,0T756,0 =

    C45,14T5T346,0 o==

    C45,36T45,1422T o=+=

    Observao: temperatura t = 36,45C tm-se os seguintes comprimentos:

    mm92,010.3545,14x000.35x10x6,21000.35L 6AL =+=

    mm92,010.3545,14x005.35x10x7,11005.35L 6S =+=

  • Exerccios do item 4.2: 1) Calcule a tenso de cisalhamento mdia que ocorre na cola.

    MPa5,2m/N10x5,210,0x04,0x2

    000.20AF 26

    mm ====

    Ou:

    MPa5,2mm/N5,2100x40x2

    000.20AF 2

    mm ====

    2) Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino e a tenso normal de trao mdia no cabo da luminria abaixo.

  • 2m2m

    mm/N7,7110x500.22

    AF

    =pi

    ==

    2m2m

    mm/N5,2927x

    000.45AF

    =pi

    ==

    3) Um suporte para televiso sustentado por um pino de 8 mm de dimetro. Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino sabendo que a massa da televiso igual a 25 kg.

    Observao: a fora cisalhante no pino provocada pelo binrio exigido para o equilbrio de momentos fletores.

    050xF800xP0M A ==

    N924.3F50xF800x81,9x25 ==

    Clculo da tenso cisalhante mdia no pino:

  • 2m2m mm/N1,784x14,3

    924.3AF

    ===

    Exerccio do item 4.4: Um bloco est solicitado por uma fora F = 112 kN. Calcule: a) a tenso cisalhante mdia; b) o deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior no se desloca.

    Dados: = 87,5 GPa; = 0,25

    a) ==50x160

    000.112AF

    m 2

    m mm/N14=

    b)

    == 8080

    tg

    Lei de Hooke no cisalhamento: = G

    GPa35G)25,01(25,87

    )1(2EG =

    +=

    +=

  • .rad10x4)mm/N(10x35

    )mm/N(14G

    423

    2

    ===

    mm032,010x4x80 4 ==

    Exerccios do item 4.5: 1) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo. Dados: F = 35.000 N; d = 19,05 mm

    Neste caso n = 4 e nA = 1 (corte simples)

    2md2md mm/N7,30)525,9(x14,3x1x4

    000.35AF

    ===

    2) Calcule o dimetro dos parafusos da ligao abaixo.

    Dados: F = 200.000 N; 2__

    mm/N95=

    Para este problema: n = 8 e nA = 1 (corte simples)

  • mm15,9R)R(x14,3x1x8

    000.20095AF

    2md ===

    Portanto: d = 18,3 mm

    3) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo e a tenso normal nas chapas. Dado: d = 12 mm

    1 opo: F = 15.000 N; n = 6; An = 1

    2md2md mm/N1,22)6(x14,3x1x6

    000.15AF

    ===

    2mm/N50100x3000.15

    AF

    ===

    2 opo: F = 30.000 N; n = 6; An = 2

    2md2md mm/N1,22)6(x14,3x2x6

    000.30AF

    ===

    2mm/N50100x6000.30

    AF

    ===

  • Exerccios do item 5.4: 1) Para o eixo abaixo calcule: a) a tenso de cisalhamento mxima; b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A; c) o deslocamento horizontal do ponto c.

    Dados: =T 4.600 N.mm; G = 60 GPa.

    a) J

    r.T=

    ( ) ( ) 4444i4e mm2,270.8J121832DD32J =pi=pi= MPa01,5:oumm/N01,5

    2,270.89x600.4

    mx2

    mx ===

    b) .rad10x42,72,270.8x10x60

    800x600.4GJTL 3

    3

    ===

    c)

    mm067,010x42,7x9x99

    tg 3 ====

    Exerccio 2: Um eixo de seo transversal circular fica solicitado pelos momentos de toro indicados na figura abaixo. Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: G = 25 GPa.

  • Jr.T

    = onde: 444 mm3,592.613J5032

    D32

    J =pi=pi=

    MPa67,1:oumm/N67,13,592.61325x000.41

    mx2

    mx ===

    GJTL

    =

    .rad10x194,33,592.613x10x25

    000.2x000.633,592.613x10x25

    500.3x000.22 333B

    ==

    Resposta: .rad10x194,3 3B = (no sentido de 63.000 N.mm)

    Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: d1 = 100 mm; d2 = 60 mm; G 1 = G 2 = 30 GPa.

  • 461

    441 mm10x82,9J10032

    D32

    J =pi=pi=

    462

    442 mm10x27,1J6032

    D32

    J =pi=pi=

    Clculo de mx : Jr.T

    =

    21mx61mx mm/N43,010x82,9

    50x84230==

    22mx62mx mm/N73,010x27,1

    30x15730==

    Resposta: mx = 0,43 MPa

    Clculo de B:

    GJTL

    =

    636363B 10x82,9x10x30000.5x730.15

    10x27,1x10x30000.1x730.15

    10x82,9x10x30000.2x500.68

    ++=

    .rad10x14,1 3B

    =

    Obs.: converso de radianos para graus:

    pi==pi

    o3

    Bo 180x10x14,1:ento180.rad1 = 0,065

    Exerccio 4) Sendo =G 30 GPa calcule para o eixo de seo circular: a) a tenso de cisalhamento mxima; b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A; c) o deslocamento horizontal do ponto c.

  • a) J

    r.T= , onde: 444 m10x57,1J20,0

    32J =pi=

    MPa66,63:oum/N10x66,6310x57,1

    10,0x000.100mx

    264mx ===

    b) 4949 10x57,1x10x305,1x000.100

    10x57,1x10x3000,1x000.100

    GJTL

    +==

    .rad10x06,1 3B

    = (ou: 0,61)

    m10x06,110x06,1x10,0x10,010,0

    tg 43 ====

    Exerccio 5) A tenso de cisalhamento mxima que solicita o eixo abaixo igual a 32,5 MPa. Sabendo que o eixo tem seo transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm calcule o valor da fora F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seo transversal onde est aplicado o binrio em relao ao engaste rgido. Dado: G = 42 GPa.

    F12T =

  • 44 mm75,2035J1232

    J =pi=

    N9,918F75,2035

    6F125,32Jr.T

    mx =

    ===

    Clculo do ngulo de toro: 75,2035x10x42

    5009,91812GJTL

    3

    ==

    .rad064,0= (ou: 3,7)

    Exerccios do item 5.5: 1) Determine as reaes nos engastes indeformveis. O eixo prismtico e tem seo transversal circular.

    TTT0M BA =+=

    O Problema uma vez hiperesttico. Precisamos de mais uma equao que vir da compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo B:

    JGa.T

    GJTL

    B ==

  • Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo :|B

    JGL.TB|

    B =

    Compatibilidade dos deslocamentos:

    JGL.TB

    B|B = JG

    a.T=

    La.T

    TB =

    Da equao de equilbrio:

    ===

    La.T

    TTTT BA T LL

    La.T

    Lb.T

    T)aL(LTT AA ==

    Exerccio 2) Calcule as reaes nos engastes indeformveis do eixo abaixo.

    Superposio dos efeitos:

  • m.N9,1428,2

    4,0x000.1Tm.N1,8578,2

    4,2x000.1T 1B1A ====

    m.N3,7148,2

    0,1x000.2Tm.N7,285.18,2

    8,1x000.2T 2B2A ====

    m.N6,928.18,2

    8,1x000.3Tm.N4,071.18,2

    0,1x000.3T 3B3A ====

    m.N8,6424,071.17,12851,857TA =+=

    m.N2.357.16,19283,7149,142TB =+=

  • Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima que ocorre no eixo abaixo. Os engastes A e B so indeformveis. Dados: G1 = G2; D = 100 mm; d = 50 mm; = 4,0 x 107 N.mm

    TTT0M BA =+= Retirando-se o apoio B, tem-se:

    DB JG

    2000.TGJTL

    ==

    Colocando-se o apoio B:

    d

    B

    D

    BB|B JG

    3000.TJG2000.T

    JGL.T

    +==

    Compatibilidade dos deslocamentos:

    = |BB d

    B

    D

    B

    D JG3000.T

    JG2000.T

    JG2000.T

    +=

    Clculo de :JeJ dD

  • 464

    D mm10x82,932)100(J =pi=

    ( ) 4644d mm10x20,95010032J =pi= =610x82,9

    2000.T6

    B6

    B

    10x20,93000.T

    10x9,822000.T

    +

    =T67,203 mm.N10x38,15TT75,529 6BB =

    mm.N10x62,24TTTT 6ABA ==

    Clculo de mx: Jr.T

    =

    6

    6

    1mx10x82,9

    50x10x62,24= = 125,36 N/mm2

    6

    6

    2mx10x20,9

    50x10x38,15= = 83,59 N/mm2

    Resposta: mx = 125,36 MPa

    Exerccio do item 5.6: Calcule a tenso de cisalhamento mdia da barra com seo vazada de parede fina com espessura t constante.

  • tA2T

    md = Onde: A a rea limitada pela linha do esqueleto

    2mdmd mm/N21,103x204.2x2

    000.135==

    Exerccio do item 5.10: Calcule a tenso de cisalhamento mxima da barra abaixo. Dado: = 45.000 N.mm

    ( )= 3iimx

    mxta333,0

    t.T

    43333ii mm260.103x306x403x30ta =++=

    2mx mm/N03,79260.10x333,0

    6x000.45==

  • Diagramas de esforos internos (Momento fletor e fora cortante)

  • 2qx

    2x

    .qx)x(M2

    ==

    (se o sistema de referncia for colocado na extremidade livre) qx)x(V =

    2qx

    2qL

    x.qL2

    qxMx.V)x(M222

    BB ==

    (Se o sistema de referncia colocado no engaste) qxqLqxV)x(V B +=+=

  • Lb.PVA = L

    a.PVB =

    LbaP

    a.VM Amx == Ou: LbaPb.VM Bmx ==

    LMVA = L

    MVB =

    aLM

    a.VM A1 == bLMb.VM B2 ==

    M)ba(LMb

    LM

    aLMMM 21 =+=+=+

  • LMVA = L

    MVB =

    2L.qVV BA == 8

    L.qM2

    mx =

  • 21Amx L.PL.VM ==

  • 2xqx.V)x(M

    2

    A = )Lx0( 1

    2

    21

    1A1 L.P2LqL.V)L(M ==

  • 6qLVA = 3

    qLVB = 2mx qL064,0M =

    L6qx

    xV)x(M3

    A = = L6qx

    x6

    qL 3 )Lx0( (se o eixo x tiver

    origem no apoio A)

    L6qx

    2qx

    xV)x(M32

    B += = L6qx

    2qx

    x3

    qL 32+ )Lx0( (se o

    eixo x tiver origem no apoio B)

  • Exerccios do item 6.3: 1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos KeJ,I .

    Esforos internos na seo transversal que contm os trs pontos:

    M = 15.000 N.m e V = 5.000 N

    443

    Z m10x8,11230,0x08,0I ==

    Clculo da tenso normal ():

    ZIy.M

    =

    MPa5,12m/N10x5,1210x8,1

    )15,0(x000.15 26I4I ==

    =

    010x8,1

    )0(x000.15J4J =

    =

    MPa5,12m/N10x5,1210x8,1

    )15,0(x000.15 26K4K ==

    =

  • Clculo da tenso cisalhante ():

    ZI.bQ.V

    =

    010x8,1x08,00x000.5

    4I ==

    MPa3125,0m/N10x125,310x8,1x08,0

    075,0x15,0x08,0x000.5 254J ===

    010x8,1x08,00x000.5

    4K ==

    2) Uma viga em balano tem largura b constante em todo o comprimento igual a 10 cm e altura varivel, como mostra a figura abaixo. Calcule mxcmxtmx e, no

    meio da viga e no engaste. Dado: P = 30.000 N

  • No meio da viga tem-se os seguintes esforos internos (ou esforos solicitantes): M = 30.000 (N) x 2,5 (m) = 75.000 N.m V = 30.000 N

    453

    Z m10x8125,21215,0x10,0I ==

    MPa200m/N10x20010x8125,2

    )075,0(x000.75 265tmx ==

    =

    MPa200m/N10x20010x8125,2

    )075,0(x000.75 265cmx ==

    =

    MPa3m/N10x310x8125,2x10,0

    )0375,0x075,0x10,0(x000.30 265mx ===

    No engaste da viga tem-se os esforos internos: M = 30.000 (N) x 5,0 (m) = 150.000 N.m V = 30.000 N

    443

    Z m10x3021,11225,0x10,0I ==

    MPa144m/N10x14410x3021,1

    )125,0(x000.150 264tmx ==

    =

    MPa144m/N10x14410x3021,1

    )125,0(x000.150 264tmx ==

    =

    MPa8,1m/N10x8,110x3021,1x10,0

    )0625,0x125,0x10,0(x000.30 264mx ===

  • 3) Para a viga abaixo calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.

    N000.27VV0F BAY =+=

    09,3xV7,2x000.152,1x000.120M BA =+= N9,076.14VB =

    02,1x000.157,2x000.129,3xV0M AB == N1,923.12VA =

    443

    Z m10x998,61236,0x18,0I ==

    MPa34,4m/N10x34,410x998,6

    18,0x3,892.16 264tmx ===

  • MPa34,4m/N10x34,410x998,6

    )18,0(x3,892.16 264cmx ==

    =

    MPa326,0m/N2,854.32510x998,6x18,0

    09,0x18,0x18,0x9,076.14 24mx ===

    4) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.

  • N500.12VV0F BAY =+=

    09x000.20,6xV0,4x500.40,2x000.60M BA =++= N000.8VB =

    00,3x000.20,2x500.40,4x000.6Vx60M AB =+= N500.4VA =

    Clculo do momento de inrcia IZ:

    4433

    Z m10x25,21230,0x10,0

    12h.bI ===

    Clculo das tenses normais extremas:

    264

    Zm/N10x0,6

    10x25,215,0x000.9

    Iy.M

    ===

    MPa0,6Tmx = MPa0,6Cmx =

    Clculo de mx:

    ZIbQ.V

    =

    254mx m/N10x0,31025,2x10,0

    )075,0x15,0x10,0(x000.6==

    5) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.

  • Clculo das coordenas do centride:

    0z_

    =

    m26,010,0x55,030,0x15,0

    35,0x10,0x55,015,0x30,0x15,0AA

    yAyAy

    21

    2

    _

    2

    _

    11_

    =

    +

    +=

    +

    +=

    Clculo de IZ:

    ++= 23

    Z )05,014,0(x10,0x55,01210,0x55,0I

    4323

    m10x373,1)15,026,0(x30,0x15,012

    30,0x15,0

    =+

  • 23e m/N5,698.91710x373,1

    )14,0(.x000.9=

    =

    23f m/N2,297.704.110x373,1)26,0(.x000.9

    ==

    23g m/N0,799.61110x373,1

    )14,0(.x000.6=

    =

    23h m/N1,198.136.110x373,1

    )26,0(.x000.6=

    =

    MPa70,1Tmx = MPa14,1Cmx =

    Clculo de mx:

    23mx m/N8,705.14710x373,1x15,0

    13,0x26,0x15,0x000.6==

    6) A viga abaixo est solicitada pela fora P atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.

    Clculo das coordenadas do centride:

  • 0z_

    =

    mm73,82800.8

    000.72820x2402x100x20

    110x20x2402x50x100x20y_

    ==

    +

    +=

    +

    += 2x)5073,82(x100x20

    12100x20I 2

    3

    Z

    4623

    mm10x348,11)1027,37(x20x24012

    20x240=+

    Clculo das tenses normais extremas:

    26tmx mm/N39,27310x348,11

    73,82x000.500.37==

    26cmx mm/N16,12310x348,11

    )27,37(x000.500.37=

    =

    Clculo de mx:

    26mx mm/N54,710x348,11x40

    )2x365,41x20x73,82(x000.25==

  • Conveno de sinais para os momentos fletores yz MeM :

    Exerccios item 6.7: 1) Uma viga em balano com 4,0 m de comprimento est solicitada por duas foras: F1 (vertical) e F2 (horizontal). Calcule na seo transversal do engaste as tenses normais extremas e o ngulo () que a L. N. forma com o eixo z. Dados: F1 = 15.000 N; F2 = 27.000 N

  • Momentos fletores na seo transversal do engaste My e Mz: m.N000.108000.27x4Fx4M 2y ===

    m.N000.60000.15x4Fx4M 1z ===

    My negativo porque comprime o sentido positivo do eixo z. Mz negativo porque comprime o sentido positivo do eixo y (comprime em baixo).

    A linha neutra do momento fletor My coincide com o vetor momento porque o eixo y um eixo principal de inrcia (ZY =0). A linha neutra do momento fletor Mz coincide com o vetor momento porque o eixo z um eixo principal de inrcia (ZY =0).

    1230,0x20,0I

    3z =

    44z m10x5,4I =

    1220,0x30,0I

    3y =

    44y m10x0,2I

    =

  • Clculo da tenso normal na seo transversal do engaste:

    = z

    z

    Iy.M

    y

    yI

    z.M+

    = 410x5,4y000.60

    410x0,2z000.108

    =a 410x5,4)15,0(000.60

    410x0,2)10,0(000.108

    = 26 m/N10x74

    = b 410x5,4)15,0(000.60

    410x0,2)10,0(000.108

    = 26 m/N10x74

    Na linha neutra = 0.

    =0 410x5,4y000.60

    410x0,2z000.108

    Para z = 0 y = 0, portanto, a linha neutra passa pelo centride.

    Para z = 0,10 m y = 0,405 m

  • o13,76)05,4(arctg10,0405,0

    tg ===

    2) Sendo dados P = 9.800 N e = 72 calcule na seo transversal do engaste: a) as tenses normais extremas; b) o ngulo () que a linha neutra forma com o eixo z.

    Decompondo-se o vetor momento nas direes principais de inrcia:

    m.N281.37M18cosMM zo

    z ==

  • m.N113.12M18MsenM yo

    y ==

    Outra forma de calcularem-se os momentos fletores yz MeM : decompondo-se a fora P

    No engaste tm-se os seguintes momentos fletores:

    m.N281.37M0,472sen800.90,4PM zoyz ===

    m.N113.12M0,472cos98000,4PM yozy ===

    = x z

    z

    Iy.M

    y

    yI

    z.M+

  • = x

    125,02,0y281.373

    122,05,0

    z113.123

    +

    z10x34,36y10x89,17 66x +=

    a) 2666ax m/N10x11,8)10,0(10x34,36)25,0(10x89,17 =+=

    2666bx m/N10x11,8)10,0(10x34,36)25,0(10x89,17 =+=

    b) Na linha neutra = 0 z10x34,36y10x89,170 66 +=

    0y0zPara ==

    m203,0ym1,0zPara ==

    o8,63)03,2(tgarc1,0

    203,0tg ===

    Na flexo oblqua a linha neutra no coincide com o vetor momento, portanto, a L.N.

    obliqua ao plano que contm o carregamento e o centride.

  • Exerccio sobre flexo de viga constituda de dois materiais (item 6.8): A viga abaixo composta por madeira (150 mm x 250 mm) e por uma lmina de ao (150 mm x 10 mm). Calcule as tenses normais mximas no ao e na madeira. Dados: s = 205 GPa; M = 10,25 GPa

    2025,10

    205EE

    nm

    s===

    Clculo das coordenadas do centride colocando-se o sistema de referncia na face superior:

    mm78,182103000150250

    255103000125.150250y_

    =

    +

    +=

    Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z do centride:

  • 23

    z )12578,182(25015012250150I += 2

    3)522,77(103000

    12103000

    +

    +

    46z mm10x23,477I =

    Clculo do momento fletor mximo:

    mm.N10x254

    000.5x000.204LPM 6mx ==

    =

    Clculo das tenses normais mximas: = zI

    y.M

    26

    6

    M mm/N58,91023,477)78,182(1025

    =

    =

    26

    6

    S mm/N90,80201023,477)22,77(1025

    =

    =

    Exerccio sobre flexo de viga de concreto armado (item 6.9): Calcule a tenso normal mxima no concreto e nas barras de ao da viga abaixo. A armadura constituda de duas barras de ao com dimetro = 30 mm. Dados: s = 205 GPa; C = 13,667 GPa

    15667,13

    205EE

    nc

    s===

    mN000.708

    8x750.88LqM

    22

    mx ==

    =

    23232S m10x4137,1)1015(2R2A =pi=pi=

  • Seo equivalente (seo homogeneizada):

    Clculo da coordenada _

    y do centride:

    += 1

    nAbd21

    bnAy

    s

    s_

    +

    =

    110x4137,1155,025,021

    25,010x4137,115y 3

    3_

    de onde: m219,0y_

    =

    Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z:

    2__

    s

    3__

    )yd(nA12

    yb4I +=

    43233

    m10x55,2)219,050,0(10x4137,11512

    )219,0(25,04I =+=

    Clculo da tenso normal no concreto e nas barras de ao:

    = zI

    y.M

    MPa01,61055,2

    )219,0(000.703C =

    =

    MPa71,115151055,2

    )281,0(000.703S =

    =

  • Exerccios sobre flexo composta (item 7.1): 1) Para a estrutura abaixo calcule as tenses normais extremas e a posio da linha neutra. Dado: F = 100.000 N

    Reduzindo a fora F ao centride tem-se:

    MZ = 100.000 (N) x 100 (mm) = 1,0 x 107 N.mm

    y

    y

    z

    z

    IzM

    IyM

    AF

    +

    +=

    12400x200

    y10x0,1400x200

    100.000 3

    7

    =

    y10x375,91,25 3 =

  • Clculo das tenses normais extremas: 23

    Tmx mm/N625,0)200(10x375,91,25 == 23

    Cmx mm/N125,3)200(10x375,91,25 ==

    Equao da linha neutra: = 0

    y10x375,91,25 0 3 =

    mm133,3310x375,9

    1,25 y 3 =

    =

    Exerccio 2) Calcule a tenso normal nos pontos f e g e a posio da linha neutra no engaste. Calcule tambm a tenso de cisalhamento mxima.

    Seo transversal do engaste: Mz = 3000 x 3,7 5.000 x 2,5 = 23.600 N.m

  • z

    z

    IyM

    AF

    +=

    125,0x25,0y23600

    5,0x0,25150.000

    3

    =

    y10x06,910x1,2 66 =

    Clculo das tenses normais:

    MPa06,1)25,0(10x06,910x1,2 66f == MPa46,3)25,0(10x06,910x1,2 66g ==

    Equao da linha neutra: = 0

    y10x06,910x1,2 0 66 =

    m13,010x06,9

    10x1,2 y 6

    6=

    =

    Clculo de mx: ZIbQV

    =

    23mx m/N000.9610x604,2x25,0

    0,125x0,25x0,25x8.000 ==

    Exerccio 3) Um pilar est solicitado por uma fora de compresso F = 25.000 N. Calcule: a) as tenses normais extremas; b) o ngulo () que a linha neutra forma com o eixo z.

    Dados: a = 40 mm; b = 30 mm

  • Reduzindo a fora F ao centride, tem-se:

    o13,53)33,1(tanarc3040

    ba

    tan ====

    mm.N10x25,1 )mm(50x)N(000.25M 6== O vetor momento M deve ser decomposto nas direes principais de inrcia (direes z e y).

    mm.N10x0,1 )87,36(cosMM 6oz == mm.N000.750 )87,36(senMM oy ==

  • Outra forma de calcularem-se :MeM yz

    mm.N10x0,1)mm(40x)N(000.25 a.PM 6z === mm.N000.750 )mm(30x)N(000.25b.PM y ===

    O momento fletor Mz positivo (traciona o sentido positivo do eixo y) O momento fletor My positivo (traciona o sentido positivo do eixo z)

    y

    y

    z

    z

    IzM

    IyM

    AF

    +

    +=

    12120x200

    z750000

    12200x120

    y10x1200x120

    25000 33

    6

    +

    +=

    z10x6,2y10x25,11,04 22 ++=

    a) )60(10x6,2)100(10x25,11,04 22f ++=

    MPa85,3N/mm3,85 2f ==

    )60(10x6,2)100(10x25,11,04 22g ++=

    MPa77,1N/mm1,77 2g ==

    b) Linha neutra: = 0

  • z10x6,2y10x25,11,04 0 22 ++= Para y = 0:

    mm40zz10x6,204,1 2 ==

    Para z = 0:

    mm2,83yy10x25,104,1 2 ==

    o3,6408,2)mm(40)mm(2,83

    tan ===

    Exerccio 4) Um pilar, de seo transversal circular, est solicitado por uma fora de compresso F = 200.000 N. Calcule:

    a) as tenses normais extremas; b) a posio da linha neutra.

    Dados: a = 80 mm; b = 60 mm

    M = 200.000 (N) x 100 (mm) = 2,0x 107 N.mm

    Existem infinitos eixos de simetria passando pelo centride de uma rea circular. Todos estes eixos so eixos principais de inrcia. Desta forma o eixo z pode ser girado at encontrar a direo do vetor momento M.

  • 'z

    'z

    I'yM

    AF

    +=

    A fora F negativa (compresso) e o momento fletor Mz negativo (porque comprime o sentido positivo do eixo 'y ).

    64)300(

    'y10x0,2150

    200.000 4

    7

    2 pi

    pi=

    'y10x03,52,83 2=

    a)

    22f mm/N71,4)150(10x03,52,83 ==

    22g mm/N4,10)150(10x03,52,83 ==

    b) 'y10x03,52,83 0 2=

    mm3,56'y =

  • Exerccios sobre ncleo central (item 7.2): 1) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal circular, na qual uma fora de compresso (trao) pode atuar e no ocorre tenso normal de trao (compresso).

    nA = rea do ncleo central: 222n mm5,196325RA =pi=pi=

    tA = rea total do pilar: 222t mm9,415.31100RA =pi=pi=

    totalreada%25,6A0625,09,415.31

    5,1963AA

    nt

    n===

    2) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal retangular, na qual uma fora de compresso (trao) pode atuar e no ocorre tenso normal de trao (compresso).

    nA = rea do ncleo central: 2n mm000.52x2100x50A ==

    tA = rea total do pilar: 2t mm000.90600x150A ==

    totalreada%56,5A0556,0000.90000.5

    AA

    nt

    n===

  • Exerccios do item 8.4: 1) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo do ponto A; d) a deflexo do ponto d.

    1 soluo: Colocando-se o sistema de referncia no ponto A:

    )x(M )x(vIE || = )Lx0(x.P )x(M = x.P )x(vIE || +=

    1

    2| C2xP

    )x(vIE +=

    Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =

    2PLC0C

    2LP

    )L(vIE2

    11

    2|==+=

    a) 2

    PL2xP

    )x(vIE22|

    =

    Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):

    2

    23C

    2xPL

    6xP

    )x(vIE += Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =

    3PL

    2PL

    6PLC0C

    2LPL

    6LP)L(vIE

    333

    22

    23=+==+=

    b) 3

    PL2

    xPL6xP

    )x(vIE323

    +=

  • c) 3

    PL2

    0PL60P

    )0(vIE323

    +=

    IE3PL

    v)0(v3

    A ==

    d) ( )3

    PL2

    )2L(PL6

    2LP )2L(vIE

    323+=

    3333

    PL48

    )16121(3

    PL4

    PL48

    PL)2/L(EIv +=+=

    EI48PL5

    v)2/L(v3

    d ==

    2 soluo: Colocando-se o sistema de referncia no engaste:

    PVe PLM:apoiodeaesRe BB ==

    )Lx0(x.P PLxVM)x(M BB +=+=

    )x(M )x(vIE || =

    x.PPL )x(vIE || =

    1

    2| C2xP

    xPL)x(vIE +=

    Os engastes impedem rotaes, ento: 0)0(v | =

    0C0C20P

    0PL)0(vIE 112|

    ==+=

    a) 2xP

    xPL)x(vIE2|

    =

    Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):

    2

    32C

    6Px

    2xLP

    )x(vIE +=

    Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)0(v = 0C0C00)0(vIE 22 ==+=

  • b) 6

    Px2xLP

    )x(vIE32

    =

    c) 332

    PL)6

    13(6

    PL2LPL

    )L(vIE ==

    IE3PL

    v)L(v3

    A ==

    d) ( ) 33332 PL)48

    16(48

    PL8

    PL6

    )2/L(P2

    2LLP )2L(vIE ===

    EI48PL5

    v)2/L(v3

    d ==

    2) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo do ponto A; d) a deflexo do ponto d.

    )Lx0(2

    qx )x(M

    2=

    2qx

    )x(vIE2|| +=

    1

    3| C6

    qx )x(vIE +=

    Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =

    6qLC0C

    6Lq

    )L(vIE3

    11

    3|==+=

    a) 6

    qL6xq

    )x(vIE33|

    =

    Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):

    2

    34C

    6xqL

    24xq

    )x(vIE +=

  • Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =

    8qL

    6qL

    24qLC0C

    6LqL

    24Lq)L(vIE

    444

    22

    34=+==+=

    b) 8

    qL6

    xqL24xq

    )x(vIE434

    +=

    c) 8

    qL6

    0qL240q

    )0(vIE434

    +=

    IE8qL

    v)0(v4

    A ==

    d) 8

    qL6

    )3/L(qL24

    )3/L(q )3/L(vIE

    434+=

    4444

    qL1944

    )2431081(8

    qL18qL

    1944qL)3/L(EIv +=+=

    EI243qL17

    EI1944qL136

    v)3/L(v44

    d ===

    3) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo mxima; d) a rotao nos apoios.

    )Lx0(2

    qxx

    2qL

    2qx

    x V)x(M22

    A ==

    2qx

    x2

    qL )x(vIE

    2|| +=

    1

    32| C

    6qx

    x4

    qL )x(vIE ++=

    21

    43 CxC

    24qx

    x12qL

    )x(vIE +++=

    Condies de contorno (ou condies de extremidades):

  • 0)0(v = e 0)L(v =

    0C0C0C240q0

    12qL

    )0(vIE 2214

    3==+++=

    0LC24

    qLL12qL

    )L(vIE 14

    3=++=

    24qLC

    24qL

    12qL

    LC3

    1

    44

    1 ==

    a) 24qL

    6qx

    x4

    qL )x(vIE

    332| ++=

    b) x24qL

    24qx

    x12qL

    )x(vIE34

    3 ++=

    c) A deflexo mxima ocorre no meio da viga:

    )2/L(24qL

    24)2/L(q)2/L(

    12qL

    )2/L(vIE34

    3 ++=

    4444

    qL384

    )814(48

    qL384qL

    96qL

    )2/L(vIE ++=++=

    IE384qL5

    )2/L(vv4

    mx ==

    Observao: Para vigas bi-apoiadas a deflexo mxima ocorre onde

    0)x(v| =

    024qL

    6qx

    x4

    qL )x(vIE

    332|

    =++=

    De onde:

    0LxL6x4024L

    x4L

    6x 323

    32

    3=+=+

    A equao do terceiro grau acima fornece trs razes reais que so: X1 = 1,366L X2 = 0,5L X3 = 0,366L

    d) Rotao nos apoios: )x()x(v|

    IE24qL)0(v

    24qL

    60q0

    4qL

    )0(vIE3

    A|332|

    =++=

    IE24qL)L(v

    24qL

    6qLL

    4qL

    )L(vIE3

    B|332|

    =++=

  • 4) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo no meio do vo; d) a deflexo mxima;

    6qLV0

    3L

    2qLLV0M AAB ===

    3qLV0

    3L2

    2qLLV0M BBA ===

    )Lx0(L6

    qxx

    6qL

    L6qx

    x V)x(M33

    A ==

    L6qx

    x6

    qL )x(vIE

    3|| +=

    1

    42| C

    L24qx

    x12qL

    )x(vIE ++=

    21

    53 CxC

    L120qx

    x36qL

    )x(vIE +++=

    Condies de contorno (ou condies de extremidades):

    0)0(v = e 0)L(v =

  • 0CC0CL120

    0q036qL

    )0(vIE 2215

    3=+++=

    0LCL120

    qLL36qL

    )L(vIE 15

    3=++=

    360qL7C

    120qL

    36qL

    LC3

    1

    44

    1 ==

    a) 360qL7

    L24qx

    x12qL

    )x(vIE34

    2| ++=

    b) x360qL7

    L120qx

    x36qL

    )x(vIE35

    3 ++=

    c) )2/L(360qL7

    L120)2/L(q)2/L(

    36qL

    )2/L(vIE35

    3 ++=

    IE768qL5

    )2/L(v4

    =

    d) A deflexo mxima ocorre onde v| (x) = 0 0

    360qL7

    L24qx

    x12qL

    )x(vIE34

    2|=++=

    Multiplicando a expresso acima por 360L, tem-se:

    0L7 x15xL30 4422 =++

    Chamando de : 2xa = 0L7 a15aL30 422 =++ As razes da equao do segundo grau acima so:

    22

    21

    L27,0a

    L73,1a

    =

    =

    ax =

    L32,1L73,1x 221 ==

    L52,0L27,0x 243 ==

    Portanto, a deflexo mxima vai ocorrer na coordenada x = 0,52L:

    )L52,0(360qL7

    L120)L52,0(q)L52,0(

    36qL

    )L52,0(vIE35

    3 ++=

    EIqL00652,0

    v)L52,0(v4

    mx ==

  • 5) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo. IE = constante. Dados: = 120 GPa; q = 80.000 N/m

    4333

    m10x083,2I12

    )5,0(20,012hbI ===

    EIqL00652,0

    v4

    mx =

    m10x3,110x083,2x10x120

    )5(x000.80x00652,0v 339

    4

    mx

    ==

  • 6) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo mxima; d) a deflexo do ponto de aplicao da fora P.

    Trecho 1: )2/Lx0(0)x(M = 0 )x(vIE || = 1

    | C )x(vIE = 21 CxC )x(vIE += Trecho 2: )2/Lx0(Px)x(M = xP )x(vIE || =

    3

    2| C2

    Px )x(vIE +=

    43

    3CxC

    6Px

    )x(vIE ++= Condies de contorno:

    Para x = L/2 do trecho 2: v| (L/2) = 0 e v(L/2) = 0

    8PLC0C

    2)2/L(P

    )2/L(vIE2

    33

    2|==+=

    0C)2/L(8

    PL6

    )2/L(P )2/L(vIE 4

    23=+=

    24PLC

    16PL

    48PL

    C3

    4

    33

    4 =+=

    3 condio de contorno: Em funo da continuidade da linha elstica:

    2Trecho|

    1Trecho| )0(vIE)2/L(vIE =

  • 8PLCC

    20PC

    2

    13

    2

    1 =+=

    4 condio de contorno: 2Trecho1Trecho )0(vIE)2/L(vIE =

    43

    3

    21 C)0(C6)0(P

    C)2/L(C ++=+

    24PL

    C)2/L(8

    PL 32

    2=+

    48PL5

    16PL

    24PL

    C333

    2 =+=

    a) Trecho 1: 8

    PL )x(vIE

    2|=

    Trecho 2: 8

    PL2

    Px )x(vIE

    22|=

    b) Trecho 1: 48PL5

    x8

    PL )x(vIE

    32+=

    Trecho 2: 24

    PLx

    8PL

    6Px

    )x(vIE323

    +=

    c) 48PL50

    8PL

    )0(vIE32

    +=

    IE48PL5

    v3

    mx =

    d) Para calcular a deflexo do ponto de aplicao da fora P pode-se usar a equao de v(x) para x = L/2 do trecho 1 ou a equao de v(x) do trecho 2 para x = 0:

    24PL0

    8PL

    60P

    )0(vIE323

    +=

    IE24PL

    )0(v3

    =

    7) Determine a deflexo do ponto A. IE = constante.

    )Lx0(2

    qxPx)x(M2

    =

  • 3PL

    2xPL

    6xP

    )x(vIE323

    +=8

    qL6

    xqL24xq

    434++

    3PL

    20PL

    60P

    )0(vIE323

    +=8

    qL6

    0qL240q

    434++

    IE8qL

    IE3PL

    v)0(v43

    A +==

    vlido o princpio da superposio dos efeitos para o clculo de flechas.

    8) Determine a deflexo no meio da viga. IE = constante.

    Trecho 1: )2/Lx0(x2P)x(M =

    x2P)x(vIE || =

    12| Cx

    4P

    )x(vIE +=

    213 CxCx

    12P

    )x(vIE ++=

    Condies de contorno: Para x = L/2: v| (L/2) = 0

    16PLC0C)2/L(

    4P

    )2/L(vIE2

    112|

    ==+=

    Para x = 0: v(0) = 0 0C0C0

    16PL0

    12P

    )0(vIE 222

    3==++=

    Ento: )2/Lx0(x16PL

    x12P

    )x(vIE2

    3 +=

    Clculo da deflexo no meio do vo: 3

    3323 PL

    96)31(

    32PL

    96PL)2/L(

    16PL)2/L(

    12P

    )2/L(vIE +=+=+=

    IE48PL)2/L(v

    3=

    9) Sabendo que a deflexo mxima da viga abaixo igual a 0,6 cm calcule o valor do mdulo de elasticidade da viga abaixo. IE = constante.

  • IE48PL

    v3

    mx =

    443

    z m10x375,31230,015,0I ==

    4

    3

    10x375,3E48)4,6(26000006,0

    =

    29 m/N10x12,70E =

    ou: GPa12,70E =

    10) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo devida ao peso prprio. A viga de ao e tem seo transversal em forma I .

    Dados: s = 77 kN/m3; z = 4,16x10 5 m4; s = 205 GPa; IE = constante.

    A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo transversal:

    2mm000.3300x62x100x6A =+=

  • Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A == m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===

    m10x31,210x16,4x10x205x384

    9x231x5IE384

    qL5v 359

    44

    mx

    ===

    11) Sendo IE = constante determine a deflexo mxima e a rotao nos apoios.

    xLM

    xV)x(M A ==

    xLM

    )x(vIE || =

    1

    2| CL2xM

    )x(vIE +=

    21

    3CxC

    L6Mx)x(vIE ++=

    Condies de contorno: v(0) = 0 e v(L) = 0: 0C0C0C

    L60M)0(vIE 221

    3==++=

    6MLC0LC

    L6ML)L(vIE 11

    3==+=

    Ento: 6

    MLL2xM

    )x(vIE2| +=

    x6

    MLL6

    Mx)x(vIE3

    +=

    A deflexo mxima ocorre onde v|(x) = 0 0

    6ML

    L2xM

    )x(vIE2|

    =+=

    L58,03

    Lx

    6L2

    x6L

    L2x

    222

    2====

    23

    ML064,0)L58,0(6

    MLL6

    )L58,0(M)L58,0(vIE =+=

    EIML064,0

    v)L58,0(v2

    mx ==

  • Rotao nos apoios:

    EI6ML)0(v

    6ML

    L20M

    )0(vIE |2|

    =+=

    EI3ML)L(v

    6ML

    L2LM

    )L(vIE |2|

    =+=

    12) Sabendo que a deflexo do ponto d igual a 11 mm calcule o mdulo de elasticidade da viga. IE = constante.

    )2/Lx0(x16PL

    x12P

    )x(vIE2

    3 +=

    Para x = 2,0 m, tem-se:

    P833,3)0,2(16

    )0,6(P)0,2(12P

    )0,2(vIE2

    3=+=

    433

    m10x0667,112

    40,0x20,0 I ==

    17000833,3011,010x0667,1E 3 =

    GPa55,5m/N10x55,5E 29 ==

  • Exerccios do item 8.6: 1) Construa os diagramas de esforos internos (momento fletor e fora cortante) da viga abaixo. = constante.

    0LqVV0F BAY =+=

    0MLV2LLq0M BBA =+=

    Vamos retirar o apoio A (a viga fica isosttica) e determinar o deslocamento que este apoio est impedindo:

    Colocando-se o apoio A

    Compatibilidade dos deslocamentos:

    8Lq3V

    EI8qL

    EI3LV

    A

    43A

    ==

    As outras duas reaes so obtidas com as equaes de equilbrio:

    8Lq5V

    8qL3LqVLqV BAB ===

    8qLML

    8qL5

    2qLM

    2

    B

    2

    B =+=

  • Com o sistema de referncia com origem no apoio A, tem-se:

    )Lx0(xqV)x(Ve2

    qxxV)x(M A

    2

    A ==

    O momento fletor mximo positivo ocorre onde V(x) = 0:

    q8qL3

    qV

    x0xqV AA === 8L3

    x =

    128qL9

    2)8L3(q)8L3(

    8qL3)8L3(MM

    22

    mx ===

    2) Determine a fora (F) de trao na mola. = constante.

    Retirando-se a mola da viga:

  • A mola aplica uma fora F na viga em sentido contrrio da fora P:

    Compatibilidade dos deslocamentos: EI3

    PLEI3

    FL 3M

    3=+

    Lei de Hooke para molas: MkF =

    EI3PL

    kF

    EI3FL 33

    =+

    Multiplicando a expresso acima por IE3 :

    33 PLk

    FIE3FL =+ 33 PLkEI3LF =

    +

    De onde:

    kEI3L

    PLF3

    3

    +=

    Anlise de casos extremos:

    Se: == FIE 0 Se: == F0IE P Se: == Fk P Se: == F0k 0

  • Exerccios sobre flambagem: 1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: BC = 120 GPa; LBC = 4,0 m.

    Clculo da carga crtica do pilar BC:

    ( )2flmin

    2

    CRL

    IEP pi=

    43

    min mm500.1121230x50I ==

    mm40004000x0,1LKLfl ===

    ( ) N5,327.84000112500x10x120P 2

    32

    CR =pi

    =

  • A fora de compresso que atua no pilar BC maior do que a carga crtica ( CRP ) do pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC.

    2) Resolva o problema anterior considerando que o pilar BC est engastado no ponto C.

    Clculo da carga crtica do pilar BC:

    ( )2flmin

    2

    CRL

    IEP pi=

    mm28004000x7,0LKLfl ===

    ( ) N9,994.162800112500x10x120P 2

    32

    CR =pi

    =

    CRBC PF < , neste caso no vai ocorrer flambagem do pilar.

    3) Calcule o valor crtico da fora P. As duas barras tm seo transversal circular com dimetro = 15mm e mdulo de elasticidade = 205 GPa.

  • o60)5,0(cosarc69,0345,0

    cos ===

    P155,160sen

    PF0senFP0Fo22Y

    ===+=

    ==+= cosFF0cosFF0F 2121X

    P5775,060cos)P155,1(F o1 == Clculo da carga crtica da barra 2:

    ( )2flmin

    2

    CRL

    IEP pi=

    4944

    min m10x485,264)015,0(

    64DI =pi=pi=

    m69,069,0x0,1LKLfl ===

    ( ) N560.1069,010x485,2x10x205P 2

    992

    CR =pi

    =

    Para que ocorra flambagem da barra 2: F2 = Pcr, ento:

    N9,142.9P560.10P155,1 ==

    4) A trelia abaixo formada por quatro barras de ao com seo transversal circular. Todas as barras tm o mesmo dimetro = 30 mm e mdulo de elasticidade =205 GPa. Calcule:

    a) a tenso normal na barra CD; b) o alongamento da barra AC; c) investigue se a barra AB ir flambar.

  • N4800H06,5x12004,1xH0M DDB ===

    N4800H0HH0F BDBX ===

    Diagrama de corpo livre do n A:

    o57,26)5,0(tanarc8,24,1

    tan ===

    N8,2682F01200senF0F ACACY ===

    ==+= cosFF0FcosF0F ACABABACX

    N2400)57,26(cos8,2682F oAB ==

  • Diagrama de corpo livre do n B:

    BABBCBBCABXHFcosF0HcosFF0F ==++=

    N4,683.2)57,26(cos400.2800.4)2400(cosFBC =

    ==

    0senFV0F BCBY =+=

    N1200)57,26(sen)4,2683(V oB ==

    Portanto, VD = 0.

    a) 2CD2CD

    CDCD mm/N79,615

    4800AF

    =pi

    ==

    b) m10x79,5)015,0(10x205

    13,3x8,2682AELFL 529

    ACAC

    ACACAC

    =

    pi==

    c) Clculo da fora crtica da barra AB:

    444

    min mm8,3976064)30(

    64DI =pi=pi=

    mm56005600x0,1LKLfl ===

    ( ) N3,565.256008,39760x10x205

    LI

    P 232

    2fl

    min2

    CR =pi

    =

    pi=

    FAB = 2.400 N < PCR = 2.565,3 N, portanto, a barra AB no ir flambar.

  • Exerccios resolvidos do Anexo Exerccio 1) Determine as coordenadas do centride de uma rea retangular.

    h.b

    dzdy.y

    A

    dA.yy

    h

    0

    b

    0A_

    == [ ] b.2

    h.

    h.b1

    z.2

    yh.b

    1 2b0

    h

    0

    2=

    =

    de onde: 2hy

    _

    =

    h.b

    dz.zdy

    A

    dA.zz

    h

    0

    b

    0A_

    == [ ]2

    bhh.b

    12

    z.y

    h.b1 2

    b

    0

    2h0 =

    =

    de onde: 2b

    z_

    =

    O Sistema de referncia pode ter origem em qualquer ponto do plano da rea.

    Para o sistema de referncia acima:

    mmxxz_

    =

  • = 0y_

    0A

    dA.yy A_

    ==

    0dA.y:entoA A =

    0dA.yQAZ

    ==

    O eixo z passa pelo centride da rea A, portanto, o momento esttico de uma rea finita em relao a qualquer eixo que passa pelo centride nulo. 2) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do centride.

    6060

    160

    200

    2160

    200

    60

    60AZz

    2ydz.dy.ydA.yQ

    ===

    [ ] [ ] [ ] 120000.40600.2521)60(60)200()160(

    21Q 22Z ==

    3Z mm000.864Q =

    Outra forma de calcular-se o momento esttico:

    AyQA

    Qy

    A

    dA.yy

    _

    ZZ

    _

    A_

    ===

    3Z mm000.86412040)180(Q ==

    Outra forma de calcular-se o momento esttico: atravs da rea abaixo

  • 3_

    Z mm000.86436012020AyQ === 3) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do centride.

    3_

    Z mm000.400.2120200100AyQ ===

    Demonstrao do teorema dos eixos paralelos

    2|ZZ a.AII +=

    2|YY b.AII +=

    = A2|

    |Z dA)y(I

    [ ] ++=+= A 2|2|A 2|Z dAaay2)y(dA)ay(I ++= A A A

    2|2|Z dAadAya2dA)y(I

    O momento esttico de uma rea em relao a um eixo que passa pelo seu centride

    nulo, ento: =A| 0dAy

  • 2|ZZ a.AII +=

    4) Para a rea abaixo, determine: a) o momento de inrcia IZ b) o momento de inrcia IY

    a)

    ==

    2b

    2b

    2h

    2h2

    A2

    Z dzdyydAyI

    =

    2h

    2h

    3

    Z 3yI 2b 2bz

    =

    2b

    2b

    8h

    8h

    31 33

    12hbIb

    8h

    8h

    31I

    3

    Z

    33

    Z =

    +=

    b)

    ==

    2b

    2b22h

    2hA2

    Y dzzdydAzI

    =

    2h2hY yI

    2b

    2b

    3

    3z

    12bh 3

    =

    5) Determine o momento de inrcia de uma rea circular vazada em relao ao eixo Z.

  • = A2

    Z dAyI onde: drrddA =

    == senryr

    ysen

    = drrd)rsen(I2

    Z pi

    = er

    ir

    2

    023 dsendrr

    ( )pi

    =2

    0

    er

    ir

    4

    Z cossen21

    4rI

    ( ) ( )[ ])0cos0sen0(2cos2sen221

    4rr

    I4i

    4e

    Z pipipi

    =

    ( ) ( )4

    rrI2

    21

    4rr

    I4i

    4e

    Z

    4i

    4e

    Zpi

    =pi

    =

    Ou colocando em funo dos dimetros externo e interno:

    pi=

    4i

    4e

    Z 2D

    2D

    4I

    pi=

    16D

    16D

    4

    4i

    4e

    [ ]4i4eZ DD64I pi= Particularizando para seo cheia (Di = 0):

    64D

    I4e

    Zpi

    =

    Observaes: 1) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centride de uma rea circular. Portanto, todos os momentos de inrcia em relao aos eixos que passam pelo centride so iguais.

  • 2 ) No confundir momento de inrcia ( I ) com momento de inrcia toro (J ) I usado na flexo J usado na toro

    64D

    II4

    YZpi

    == (para seo circular cheia)

    222 yzr +=

    +=+== A A A2222

    A2 dAydAzdA)yz(dArJ

    ZY IIJ += 32D

    64D

    64D 444 pi

    =

    pi+

    pi=

    6) Calcule o momento de inrcia de uma rea em forma de T em relao ao eixo horizontal (Z) do centride.

  • Clculo das coordenadas do centride:

    0z_

    =

    21

    _

    22_

    11A_

    AAyAyA

    A

    ydAy

    +

    +==

    10,0x80,020,0x50,0

    55,0x10,0x80,025,0x50,0x20,0+

    +=

    m383,018,0069,0y

    _

    ==

    Se o sistema de referncia auxiliar for colocado na face superior, tem-se:

    =

    _

    y m217,018,0039,0

    10,0x80,020,0x50,035,0x50,0x20,005,0x10,0x80,0

    ==

    +

    +

  • Transladando-se o sistema de referncia para o centride da figura, tem-se:

    Clculo de IZ usando-se o teorema dos eixos paralelos:

    2|ZZ a.AII +=

    23

    23

    Z )133,0(x5,0x2,0125,0x2,0)167,0(x1,0x8,0

    121,0x8,0I +++=

    43Z m10x15,6I =

    7) Para a rea do exerccio anterior calcule o momento de inrcia em relao ao eixo y ( YI ).

    4333

    Y m10x6,41220,0x50,0

    1280,0x10,0I =+=

  • Exerccios sobre eixos principais de inrcia: 1) Calcule os momentos de inrcia centrais principais e as direes dos eixos principais de inrcia.

    Clculo das coordenadas do centride:

    =

    =

    =n

    1ii

    n

    1ii

    _

    i_

    A

    yA

    y

    2,767,122,767,122,767,12)4,25(2,767,1235,62,767,121,382,767,12

    y_

    ++

    ++= = 6,35 mm

  • =

    =

    =n

    1ii

    n

    1ii

    _

    i_

    A

    zA

    z

    2,767,122,767,122,767,12)25,95(2,767,128,502,767,1235,62,767,12

    z_

    ++

    ++= = 50,8 mm

    +

    =

    122,767,12I

    3

    Z 2)75,31(2,767,12 ++

    127,122,76 3

    4Z

    23

    mm7,612.900.2I)75,31(2,767,1212

    2,767,12=+

    +

    =

    127,122,76I

    3

    Y 2)45,44(2,767,12 ++

    122,767,12 3

    4Y

    23

    mm0,401.318.4I)45,44(2,767,1212

    7,122,76=+

    += 0I YZ )45,44()75,31(2,767,12 45,4475,312,767,120 ++

    4YZ mm7,518.731.2I =

  • Clculo de 1, 2, 1 e 2

    2ZY

    2ZYYZ

    1 I2II

    2III +

    +

    += = 6.431.514 mm4

    2ZY

    2ZYYZ

    2 I2II

    2II

    I +

    += = 787.499,5 mm4

    Y1

    ZY1 II

    Itg

    = = 52,27

    =2Y

    ZY2 II

    Itg = 37,73

    2) Calcule os momentos de inrcia centrais principais e as direes dos eixos principais de inrcia.

  • Clculo das coordenadas do centride:

    2,767,122,767,122,767,121,382,767,1285,692,767,121,382,767,12y

    _

    ++

    ++= = 48,68 mm

    2,767,122,767,122,767,1225,952,767,128,502,767,1235,62,767,12

    z_

    ++

    ++= = 50,8 mm

    +

    +

    = 2)1,3868,48(2,767,1212

    2,767,12I 23

    Z

    4Z

    23

    mm6,889.599.1I)35,652,27(2,767,1212

    7,122,76=+

    +

    +

    = 2)35,61,38(2,767,1212

    7,122,76I 23

    y

    4y

    3mm6,359.445.2I

    122,767,12

    =

  • O produto de inrcia zy igual a zero (a rea possui um eixo de simetria), ento os eixos Z e Y so os eixos principais de inrcia. y o maior momento de inrcia = 1 z o menor momento de inrcia = 2

    3) Para a rea abaixo calcule os momentos de inrcia principais.

    41033

    Z mm10x97,112400x300

    12800x500I ==

    4933

    Y mm10x43,712300x400

    12500x800I ==

    YZYZ IeI0I = so os eixos principais de inrcia.

    410Z1 mm10x97,1II ==

    49Y2 mm10x43,7II ==