Exercicios Resolvidos de CIV 107

86
Exercícios do item 1.5: 1) Calcule a força de tração nas duas barras da estrutura abaixo. 0 1 1 1 87 , 36 ) 75 , 0 ( tan arc 4 3 tan = θ = θ = θ 0 2 2 2 13 , 53 ) 333 , 1 ( tan arc 3 4 tan = θ = θ = θ 0 ) 13 , 53 ( cos F ) 87 , 36 ( cos F : 0 F o 2 o 1 x = + - = 2 1 2 1 2 1 F 75 , 0 F 8 , 0 F 6 , 0 F 0 6 , 0 F 8 , 0 F = = = + - 0 000 . 12 ) 13 , 53 ( sen F ) 87 , 36 ( sen F : 0 F o 2 o 1 y = - + + = 000 . 12 8 , 0 F 6 , 0 F 2 1 = Colocando-se a força F 1 na expressão acima, tem-se: N 600 . 9 25 , 1 000 . 12 F 000 . 12 8 , 0 F 6 , 0 F 75 , 0 2 2 2 = = = + N 200 . 7 F 9600 x 75 , 0 F 1 1 = = 2) Calcule a força de tração nos dois cabos da figura.

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soluçao resistencia

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  • Exerccios do item 1.5: 1) Calcule a fora de trao nas duas barras da estrutura abaixo.

    0111 87,36)75,0(tanarc4

    3tan ===

    0222 13,53)333,1(tanarc3

    4tan ===

    0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o2o

    1x =+=

    212

    121 F75,0F8,0

    F6,0F06,0F8,0F ===+

    0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o2o

    1y =++=

    000.128,0F6,0F 21 =+

    Colocando-se a fora F1 na expresso acima, tem-se:

    N600.925,1

    000.12F000.128,0F6,0F75,0 222 ===+

    N200.7F9600x75,0F 11 ==

    2) Calcule a fora de trao nos dois cabos da figura.

  • 000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+=+=

    N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 ==+=

    N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 ===

    Exerccios do item 1.6: 1) Calcule as reaes nos apoios da viga abaixo.

    0H:0F Ax ==

    000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+=+=

    N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA ===

    N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB ===

    2) Calcule as reaes no apoio da viga em balano (ou viga cantilever).

    0H:0F bx ==

    000.1V0000.1V:0F bby ===

    m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO ===

  • Exerccios do item 1.9: 1) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.

    Dado: s = 77 kN/m3

    A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo

    transversal:

    2mm000.3300x62x100x6A =+=

    Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A ==

    m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===

    0H0F Ax ==

    L.qVV0F BAy =+=

    Ento: N20790,9x231VV BA ==+

  • 02

    L.L.qL.V0M AB ==

    2

    LqV

    2

    LqV BA ==

    N5,10392

    0,9x231VV BA ===

    2) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo.

    Dado: s = 77 kN/m3

    0H0F Bx ==

    N20790,9x231L.qV0F By ====

    m.N5,93552

    qLM0M

    2

    L.L.q0M

    2

    BBo ===+=

    Observao muito importante: A substituio de uma carga distribuda pela fora

    resultante somente pode usada para calcularem-se as reaes de apoio. No deve ser

    usada para mais nada.

  • Exerccios do item 2.1: 1) Calcule a tenso normal nos dois cabos da figura.

    Dados: 1 = 2 = 25,4 mm

    rea dos cabos 1 e 2:

    2212

    21 mm7,506AA)7,12(AA ====

    Tenso normal nos cabos 1 e 2:

    22

    1

    11 mm/N48,4

    )mm(7,506

    )N(2,269.2

    A

    F ===

    22

    2

    22 mm/N36,7

    )mm(7,506

    )N(8,730.3

    A

    F ===

    2) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo.

    Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20,0 mm

  • 21o

    2o

    1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F ==+=

    0000.5)45(senF)45(senF:0F o2o

    1y =+= N1,3536FF000.5707,0F2 211 ===

    Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2:

    22

    1

    11 mm/N8,28

    )25,6(

    1,3536

    A

    F =

    ==

    22

    2

    22 mm/N3,11

    )10(

    1,3536

    A

    F =

    ==

    3) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. As duas barras tm seo

    transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida = 20 mm

    866,0FF0)30cos(FF:0F 21o

    21x ==+=

    N000.50F0000.52)30(senF:0F 2o

    2y ==+= N300.43F866,0.)000.50(F 11 ==

    Tenso normal nas barras 1 e 2:

    22

    1

    11 mm/N0,245

    )5,7(

    300.43

    A

    F =

    ==

    22

    2

    22 mm/N2,159

    )10(

    000.50

    A

    F =

    ==

  • 4) Uma barra, de seo transversal retangular, tem altura varivel (como indicado) e

    largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tenso normal no ponto de aplicao da

    fora F e no engaste. Dado: F = 8.000 N

    2mm/N44,4415x12

    000.8

    A

    F ===

    2Engaste mm/N67,2625x12

    000.8

    A

    F ===

    5) Uma barra prismtica est pendurada por uma de suas extremidades. Construa os

    diagramas de fora normal e de tenso normal.

    Dados: : peso especfico; A: rea da seo transversal

    Fazendo-se um corte imaginrio distncia x os esforos que eram internos passam a

    ser externos. A parte recortada tambm tem que estar em equilbrio, pois qualquer

    parte (ou ponto) de uma estrutura em equilbrio tambm est em equilbrio. N(x):

    representa a ao da parte de cima sobre a parte de baixo.

  • xA)x(N0xA)x(N:0Fy ===

    xA

    Ax

    A

    )x(N ===

    Exerccios do item 2.2: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular ( = 25

    mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma fora axial de trao F =

    30.000 N. Calcule a tenso normal e a deformao linear especfica sabendo que o

    alongamento da barra de 2,0 mm.

    22

    mm/N1,61)5,12(

    000.30

    A

    F =

    ==

    310x5,2)mm(800

    )mm(0,2

    L

    L ===

    2) Um elstico tem comprimento no esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformao

    linear especfica do elstico quando for esticado ao redor de um poste com dimetro

    externo igual a 16 cm.

    P: Permetro externo do poste: cm27,508.2R2P ===

    68,030

    3027,50

    L

    LL

    L

    L

    i

    if

    i

    ====

  • Exerccios do item 2.3: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular (d = 20

    mm) fica solicitada por uma fora axial de trao F = 6.000 N. Experimentalmente,

    determinou-se a deformao linear especfica longitudinal ooo

    L /3= . Calcule a

    tenso normal, a variao do comprimento e do dimetro da barra. Dado: = 0,25.

    22x

    mm/N1,19)10(

    000.6

    A

    F =

    ==

    003,01000

    3/3 oo

    oxL ====

    mm5,4L1500.10x0,3LLL

    Lx

    3xxx

    x

    xx ===

    =

    yyyy

    yy LLL

    L=

    =

    ddL yy ==

    43xy

    x

    y 10x5,710x0,3x25,0 ===

    =

    mm015,020x10x5,7d 4 ==

    2) Calcule o volume final da barra do problema anterior.

    Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final da barra

    32iii mm9,238.471500.1x)10(LAV ===

    32

    fff mm9,943.471)5,41500(x4

    )015,020(LAV =+==

    3if mm7059,238.4719,943.471VVV ===

  • Exerccio do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Fora-Alongamento de um

    ensaio de trao simples. A barra tem seo transversal circular (d = 30 mm) e

    comprimento inicial (referncia) igual a 800 mm. Calcule:

    a) a tenso (ou limite) de proporcionalidade (P);

    b) a tenso (ou limite) de escoamento (Y);

    c) a tenso ltima (U);

    4

    30.

    4

    DR.A

    222 === = 2mm86,706

    a) MPa15,14mm/N15,1486,706

    000.10P

    2P ===

    b) MPa98,16mm/N98,1686,706

    000.12Y

    2Y ===

    c) MPa29,28mm/N29,2886,706

    000.20U

    2U ===

    Exerccios do item 2.5: 1) Calcule o mdulo de Young () da barra do problema

    anterior.

    = .

    310x75,3mm800

    mm3

    L

    L ===

    3

    2

    10x75,3

    mm/N15,14=

    = 2mm/N3,773.3=

    MPa3,773.3:Ou = GPa77,3=

  • 2) Uma circunferncia de raio R = 300 mm desenhada em uma placa. Calcule ao

    aplicar-se a tenso normal x = 81,0 MPa os valores dos dimetros ab e cd. Dados da

    placa: = 120 GPa; = 0,36

    Lei de Hooke: = xx =

    9

    6x

    x10x120

    10x81=

    = 4x 10x75,6

    =

    mm405,0600x10x75,6LL

    L 4x

    x

    xx ==

    =

    mm405,600405,0600LFab =+=

    Coeficiente de Poisson ():

    x

    y

    = xy = =410x75,6x36,0 = 410x43,2

    mm1458,0600x10x43,2LL

    L 4y

    y

    yy ==

    =

    mm8542,5991458,0600LFcd ==

    3) Um bloco de massa m = 1.500 kg sustentado por dois cabos de seo transversal

    circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; 1 = 70 GPa e 2 = 120 GPa, calcule: a) o valor do ngulo sabendo 1 = 2 ; b) valor da tenso normal nas duas barras;

    c) a deformao linear especfica das duas barras.

  • === senP

    F0PsenF0F 22y

    === cossenP

    F0cosFF0F 121x

    a) 2

    2

    1

    121 A

    F

    A

    F ==

    36

    1

    16

    cos

    )6(sen

    P

    )4(sen

    cosP

    22=

    =

    o61,6336

    16cosarc =

    =

    b) 2

    o

    o

    1

    11

    )4(

    )61,63(sen

    )61,63(cosP

    A

    F

    == = 2mm/N2,145496,0

    16

    81,91500 =

    =

    =

    ==36

    8958,0

    81,91500

    )6(

    )61,63(sen

    P

    A

    F2

    o

    2

    22

    2mm/N2,145

    c) Lei de Hooke: =

    3123

    2

    1111 10x074,2)mm/N(10x70

    )mm/N(2,145 ===

    3223

    2

    2222 10x21,1)mm/N(10x120

    )mm/N(2,145 ===

  • Exerccios do item 3.1: 1) Uma barra prismtica de ao, com seo transversal circular,

    tem 6,0 metros de comprimento e est solicitada por uma fora axial de trao F = 104

    N. Sabendo-se que o alongamento da barra de 2,5 mm e que = 205 GPa, calcule:

    a) o dimetro da barra;

    b) a tenso normal.

    a) mm1,6RR10x205

    6000x105,2

    AE

    LFL

    23

    4

    =

    ==

    Ento: d = 12,2 mm

    b) 22

    4

    mm/N5,85)1,6(

    10

    A

    F =

    ==

    2) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo.

    Dados: 1 = 2 = 25,4 mm; L1 = L2 = 3,5 m; 1 = 2 = 70 GPa

    mm22,07,50610x70

    3500x2,2269L

    AE

    LFL

    3111

    111 =

    ==

    mm37,07,50610x70

    3500x8,3730L

    AE

    LFL

    3122

    222 =

    ==

    3) Calcule o alongamento das duas barras da trelia abaixo.

  • Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20 mm; L1 = 1,0 m; L2 = 2,0 m; 1 = 205 GPa; 2 = 120 GPa

    mm14,07,12210x205

    1000x1,3536L

    AE

    LFL

    3111

    111 =

    ==

    mm19,02,31410x120

    2000x1,3536L

    AE

    LFL

    3122

    222 =

    ==

    Exerccios do item 3.2: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da

    fora de 200 kN. Dados: A = 800 mm2; = 70 GPa

    mm18,2280010x70

    1800x000.250

    80010x70

    3600x000.80

    80010x70

    5400x000.200

    AE

    LFH

    333

    n

    1i ii

    ii =

    +

    == =

    2) Duas barras de seo transversal circular so soldadas como mostra a figura. Sendo

    dados: 1= 14 mm; 2 = 8 mm; 1= 2 = 70 GPa, calcule:

    a) a tenso normal nas duas barras;

    b) o alongamento da barra.

  • a) 221 mm9,153)7(A ==

    222 mm3,50)4(A ==

    21 mm/N98,519,153

    8000 ==

    22 mm/N64,593,50

    3000 ==

    b) mm91,19,15310x70

    2000x000.5

    9,15310x70

    2000x000.3

    3,5010x70

    500x000.3L

    333=

    +

    +

    =

    3) Calcule a tenso normal mxima e o alongamento da barra prismtica abaixo. Dados:

    A = 7,1 x 10 4 m2; = 120 GPa; = 44.300 N/m3

    A tenso normal mxima ocorre no apoio:

    2664mx

    m/N10x22,010x63,55x300.4410x1,7

    000.4L

    A

    F +=+=+=

    MPa85,5m/N10x85,5 26mx ==

    Clculo do alongamento:

  • E2

    L

    AE

    LFL

    2+=

    O alongamento mximo ocorre na extremidade livre:

    m10x61,410x41,110x120x2

    544300

    10x1,710x120

    0,3x000.4L 64

    9

    2

    49mx

    +=+

    =

    mm146,0m10x46,1L 4mx ==

    Exerccios do item 3.3: 1) Calcule a tenso normal nas trs barras da trelia abaixo e o

    deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P.

    Dados: P = 15.000 N; 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 2 x 10 4 m2

    Diagrama de corpo livre:

    055cosF55cosF0F o1o

    1x =+=

    0PF55senF.20F 2o

    1y =+=

    De onde: 1,64 F1 + F2 = P (1)

    Temos uma equao e duas incgnitas, o problema uma vez hiperesttico. A outra

    equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.

  • 11o

    2211

    11o

    22

    22 LF35cosLFAE

    LF35cos

    AE

    LF==

    Clculo do comprimento da barra 1: L1 cos35o = L2

    m44,2L35cos

    0,2L 1o1 ==

    Da equao de compatibilidade:

    121o

    2 F49,1F44,2F35cos0,2xF == (2)

    Colocando-se a equao (2) na equao (1), tem-se:

    1,64 F1 + 1,49 F1 = P

    N4792F000.15F13,3 11 ==

    F2 = 7.140 N

    Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2::

    MPa96,2310x2

    4792

    A

    F14

    1

    11 ===

    MPa70,3510x2

    7140

    A

    F24

    2

    22 ===

    Clculo do deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P:

    mm35,0V10x2x10x205

    000.2x7140

    AE

    LFLV

    4922

    222 ====

  • Exerccio 2): A barra rgida (indeformvel) AB, de peso desprezvel, rotulada em A,

    suspensa por dois cabos e suporta uma fora P = 58.000 N. Calcule a tenso normal

    nos cabos 1 e 2 e a reao vertical no apoio A.

    Dados: L1 = L2; 1 = 70 GPa; 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 5 x 10 4 m2

    0PFFV0F 21Ay =++= (1)

    0d4xFd3xPd2xF0M 21A =+=

    De onde: Px3Fx4Fx2 21 =+ (2)

    Temos duas equaes independentes da esttica e trs incgnitas. O Problema uma

    vez hiperesttico e a outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.

    2121 LL2

    d4

    L

    d2

    L=

    =

  • 92

    91

    22

    22

    11

    11

    10x205

    F

    10x70

    F2

    AE

    LF

    AE

    LF2 ==

    De onde: F2 = 5,86 F1 (3)

    Colocando-se a equao (3) na equao (2), tem-se:

    Px3F86,5x4Fx2 11 =+

    25,44 F1 = 3 x 58.000 F1 = 6.839,6 N

    F2 = 40.080,1 N

    Clculo da tenso normal nos cabos:

    MPa68,1310x5

    6,6839

    A

    F14

    1

    11 ===

    MPa16,8010x5

    6,080.40

    A

    F24

    2

    22 ===

    Clculo da reao vertical no apoio A (equao (1):

    N3,080.11000.581,080.406,839.6PFFV 21A =+=+=

    Exerccio 3): A barra prismtica abaixo est presa em dois apoios indeformveis e

    solicitada por uma fora axial F. Determine as reaes nos apoios A e B.

    0HFH0F BAx =+= (1)

  • O problema uma vez hiperesttico. Vamos retirar um dos apoios e determinar o

    deslocamento que o apoio retirado est impedindo.

    Colocando-se o apoio retirado, tem-se:

    Compatibilidade dos deslocamentos:

    L

    a.FH

    EA

    L.H

    EA

    a.FLL B

    B21 ===

    L

    b.FH)aL(

    L

    F

    L

    a.F

    L

    LF

    L

    a.FFHHFH AABA =====

    Exerccio 4): A barra prismtica abaixo est carregada axialmente por duas foras F1 e

    F2. Calcule:

    a) as reaes nos apoios indeformveis A e B;

    b) a tenso normal no meio da barra.

    Dados: F1 = 2.000 N; F2 = 3.500; Aseo transversal = 200 mm2

    Superposio dos efeitos:

  • N6,384.16,2

    8,1x000.2

    L

    b.FH 11A === N4,6156,2

    8,0x000.2

    L

    a.FH 11B ===

    N7,8076,2

    6,0x500.3

    L

    b.FH 22A === N3,692.26,2

    0,2x500.3

    L

    a.FH 22B ===

    N9,5767,8076,384.1HHH 2A1AA ==+=

    N9,076.23,692.24,615HHH 2B1BB =+=+=

    Clculo da tenso normal no meio da barra:

    F = fora normal axial no meio da barra

    F = H + F1 = 576,9 + 2.000 = 1.423,1 N

    Ou: F = HB + F2 = 2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N

    Ento: MPa1,7:oumm/N1,7200

    1,423.1

    A

    F 2 ====

    Exerccio 5): A barra prismtica est na posio indicada quando a fora F = 0. Calcule

    as reaes nos apoios rgidos A e B quando for aplicada a fora F = 18.000 N.

    Dados: = 1,5 GPa; = 5 x 10 3 m2

  • OBS.: Se a barra no encostar no apoio B as reaes so dadas por:

    H = 18.000 N e HB = 0.0

    Vamos retirar o apoio B:

    mm8,410x5x10x5,1

    000.2x000.18

    EA

    000.2xFL

    391===

    Colocando-se o apoio B, a reao HB dever diminuir (encurtar) a barra de L1 2 mm.

    N5,562.6H0,28,410x5x10x5,1

    200.3xHB39

    B ==

    N5,437.115,562.6000.18HFHH ABA ===+

  • Exerccios Captulo Trs, item 3.4: 1) A barra prismtica abaixo est livre de tenso

    quando a temperatura igual a 20C. Sabendo que os engastes so indeformveis

    calcule a tenso normal na barra quando a temperatura subir para 50C.

    Dados: = 205 GPa; = 11,7 x 10 6 /oC

    Retirando-se o apoio B, tem-se:

    Compatibilidade dos deslocamentos

    TF LL =

    TLEA

    FL =

    TE =

    30x10x7,11x10x205 69 = 26 m/N10x95,71=

    Ou: compresso = 71,95 MPa

  • 2) A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual a 25 C.

    Sabendo que os engastes A e B so indeformveis calcule a tenso normal na barra

    quando a temperatura descer para 60C.

    Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m

    Compatibilidade dos deslocamentos

    TF LL =

    TLEA

    FL =

    TE =

    85x10x6,21x10x70 69 = 26 m/N10x52,128=

  • Ou: trao = 128,52 MPa

    3) Resolva o problema anterior considerando que temperatura t = 60 C o apoio B

    se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformvel.

    Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m

    T3

    F L10x3L =+

    TL10x3EA

    FL 3 =+

    TL10x3E

    L 3 =+

    85x4x10x6,2110x310x70

    4x 639

    =+

  • 339

    10x310x344,710x70

    4x =

    26 m/N10x02,76=

    Ou: trao = 76,02 MPa

    4) A estrutura abaixo perfeitamente ajustada aos engastes rgidos A e B quando a

    temperatura igual a 18 C. Calcule a tenso normal nas barras 1 e 2 quando a

    temperatura subir para 100 C.

    Dados: 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 12 x 10 6 /oC; 1 = 600 mm2 ;

    2 = 300 mm2

    TLTLL 2211T +=

    82x400x10x1282x500x10x12L 66T += = 0,8856 mm

  • 22

    2

    11

    1F AE

    FL

    AE

    FLL +=

    300x10x205

    400xF

    600x10x205

    500xFL

    33F+= = 1,0569 x 10 5 . F

    LF = LT

    ento: 1,0569 x 10 5 . F = 0,8856

    F = 83.791,4 N

    Clculo da tenso normal:

    2

    11 mm/N7,139600

    4,791.83

    A

    F ===

    Ou: 1 = 139,7 MPa

    2

    22 mm/N3,279300

    4,791.83

    A

    F ===

    Ou: 2 = 279,3 MPa

    5) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura

    igual a 25 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule a tenso normal na

    barra quando a temperatura for igual a:

    a) 10 C;

    b) 70 C;

    c) 105 C;

    Dados: = 70 GPa; que = 20 x 10 6 /oC

  • a) = 0,0

    b) mm5,2mm25,245x500.2x10x20L 6T ==

    2compresso33F

    mm/N4210x70

    500.2x5,1

    A10x70

    500.2xFL =

    ==

    6) As barras esto na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a

    5 C. Determine a distncia d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir

    para 40 C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatao trmica

    insignificante. Dados: 1 = 23 x 10 6 /oC; 2 = 12 x 10 6 /oC

  • mm93,045x900x10x23TLLT 6111 ===

    mm49,045x900x10x12TLLT 6222 ===

  • 290

    x

    30

    49,093,0

    290

    x

    30

    LTLT 21 =

    =

    mm25,4290.30

    44,0x

    30

    44,0

    290

    x ===

    mm74,425,449,0d =+=

    7) Um tubo de alumnio mede 35 m temperatura de 22 C. Um tubo de ao, mesma

    temperatura, 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos tero o

    mesmo comprimento.

    Dados: Alumnio = 21,6 x 10 6 /oC; S = 11,7 x 10 6 /oC

    SAL LT005.35LT000.35 +=+

    TL005.35TL000.35 SSALAL +=+

    Tx005.35x10x7,11005.35T000.35x10x6,21000.35 66 +=+

    T410,0005.35T756,0000.35 +=+

    000.35005.35T410,0T756,0 =

    C45,14T5T346,0 o==

    C45,36T45,1422T o=+=

    Observao: temperatura t = 36,45C tm-se os seguintes comprimentos:

    mm92,010.3545,14x000.35x10x6,21000.35L 6AL =+=

    mm92,010.3545,14x005.35x10x7,11005.35L 6S =+=

  • Exerccios do Captulo Quatro: Exerccio: 1) Calcule a tenso de cisalhamento mdia

    que ocorre na cola.

    MPa5,2m/N10x5,210,0x04,0x2

    000.20

    A

    F 26mm ====

    Ou:

    MPa5,2mm/N5,2100x40x2

    000.20

    A

    F 2mm ====

    2) Um bloco est solicitado por uma fora F = 112 kN. Calcule:

    a) A tenso cisalhante mdia;

    b) O deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior no se desloca.

    Dados: = 87,5 GPa; = 0,25

    a) ==50x160

    000.112

    A

    Fm

    2m mm/N14=

  • b)

    == 8080

    tg

    Lei de Hooke no cisalhamento: = G

    GPa35G)25,01(2

    5,87

    )1(2

    EG =

    +=

    +=

    .rad10x4)mm/N(10x35

    )mm/N(14

    G4

    23

    2===

    mm032,010x4x80 4 ==

    3) Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino e a tenso normal de trao mdia

    no cabo da estrutura abaixo.

  • 2md2md mm/N7,7110x14,3

    500.22

    A

    F===

    2md2md mm/N5,2927x14,3

    000.45

    A

    F===

    4) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo. Dados: F =

    35.000 N; d = 19,05 mm

    Neste caso n = 4 e nA = 1 (corte simples)

    2md2md

    mm/N7,30)525,9(x14,3x1x4

    000.35

    A

    F===

    5) Calcule o dimetro dos parafusos da ligao abaixo.

    Dados: F = 200.000 N; 2__

    mm/N95=

    Para este problema: n = 8 e nA = 1 (corte simples)

  • mm15,9R)R(x14,3x1x8

    000.20095

    A

    F2md

    ===

    Portanto: d = 18,3 mm

    6) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo e a tenso normal

    nas chapas. Dado: d = 12 mm

    1 opo: F = 15.000 N; n = 6; An = 1

    2md2md

    mm/N1,22)6(x14,3x1x6

    000.15

    A

    F===

    2mm/N50100x3

    000.15

    A

    F ===

    2 opo: F = 30.000 N; n = 6; An = 2

    2md2md

    mm/N1,22)6(x14,3x2x6

    000.30

    A

    F ===

    2mm/N50100x6

    000.30

    A

    F ===

  • 7) Um suporte para televiso sustentado por um pino de 8 mm de dimetro. Calcule a

    tenso de cisalhamento mdia no pino sabendo que a massa da televiso igual a 25

    kg.

    Observao: a fora cisalhante no pino provocada pelo binrio exigido para o equilbrio

    de momentos fletores.

    050xF800xP0M A ==

    N924.3F50xF800x81,9x25 ==

    Clculo da tenso cisalhante mdia no pino:

    2m2m mm/N1,784x14,3

    924.3

    A

    F===

  • Exerccios do Captulo 5: 1) Para o eixo abaixo calcule:

    a) a tenso de cisalhamento mxima;

    b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A;

    c) o deslocamento horizontal do ponto c.

    Dados: =T 4.600 N.mm; G = 60 GPa.

    a) J

    r.T=

    ( ) ( ) 4444i4e mm2,270.8J121832DD32J ===

    MPa01,5:oumm/N01,52,270.8

    9x600.4mx

    2mx ===

    b) .rad10x42,72,270.8x10x60

    800x600.4

    GJ

    TL 33

    ===

    c)

    mm067,010x42,7x9x99

    tg 3 ====

  • 2) Um eixo de seo transversal circular fica solicitado pelos momentos de toro

    indicados na figura abaixo. Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da

    seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: G = 25 GPa.

    J

    r.T= onde: 444 mm3,592.613J5032

    D32

    J ===

    MPa67,1:oumm/N67,13,592.613

    25x000.41mx

    2mx ===

    GJ

    TL=

    .rad10x194,33,592.613x10x25

    000.2x000.63

    3,592.613x10x25

    500.3x000.22 333B

    ==

    Resposta: .rad10x194,3 3B= (no sentido de 63.000 N.mm)

    3) A tenso de cisalhamento mxima que solicita o eixo abaixo igual a 32,5 MPa.

    Sabendo que o eixo tem seo transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm calcule o

    valor da fora F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seo transversal onde

    est aplicado o binrio em relao ao engaste rgido. Dado: G = 42 GPa.

  • F12T =

    44 mm75,2035J1232

    J ==

    N9,918F75,2035

    6F125,32

    J

    r.Tmx =

    ===

    Clculo do ngulo de toro: 75,2035x10x42

    5009,91812

    GJ

    TL3

    ==

    .rad064,0= (ou: 3,7)

    4) Determine as reaes nos engastes indeformveis. O eixo prismtico e tem seo

    transversal circular.

    TTT0M BA =+=

    O Problema uma vez hiperesttico. Precisamos de mais uma equao que vir da

    compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo B:

  • JG

    a.T

    GJ

    TLB ==

    Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo :|B

    JG

    L.TB|B =

    Compatibilidade dos deslocamentos:

    JG

    L.TBB

    |B = JG

    a.T=

    L

    a.TTB =

    Da equao de equilbrio:

    ===L

    a.TTTTT BA T L

    L

    L

    a.T

    L

    b.TT)aL(

    L

    TT AA ==

  • Exerccio do item 5.5: Calcule a tenso de cisalhamento mdia da barra com seo

    vazada de parede fina com espessura t constante.

    tA2

    Tmd =

    Onde: A a rea limitada pela linha do esqueleto

    2mdmd mm/N21,103x204.2x2

    000.135 ==

  • Exerccios do item 6.4: 1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos

    KeJ,I .

    Esforos internos na seo transversal que contm os trs pontos:

    M = 15.000 N.m e V = 5.000 N

    443

    Z m10x8,112

    30,0x08,0I ==

    Clculo da tenso normal (): ZI

    y.M=

    MPa5,12m/N10x5,1210x8,1

    )15,0(x000.15 26I4I

    ===

    010x8,1

    )0(x000.15J4J

    ==

    MPa5,12m/N10x5,1210x8,1

    )15,0(x000.15 26K4K

    ===

  • Clculo da tenso cisalhante (): ZI.b

    Q.V=

    010x8,1x08,0

    0x000.54I

    ==

    MPa3125,0m/N10x125,310x8,1x08,0

    075,0x15,0x08,0x000.5 254J

    ===

    010x8,1x08,0

    0x000.54K

    ==

    Exerccio 2) Uma viga em balano tem largura b constante em todo o comprimento igual

    a 10 cm e altura varivel, como mostra a figura abaixo. Calcule mxcmxtmx e,

    no meio da viga e no engaste. Dado; P = 30.000 N

  • No meio da viga tem-se:

    M = 30.000 (N) x 2,5 (m) = 75.000 N.m

    V = 30.000 N

    453

    Z m10x8125,212

    15,0x10,0I ==

    MPa200m/N10x20010x8125,2

    )075,0(x000.75 265tmx

    ===

    MPa200m/N10x20010x8125,2

    )075,0(x000.75 265cmx

    ===

    MPa3m/N10x310x8125,2x10,0

    )0375,0x075,0x10,0(x000.30 265mx

    ===

    No engaste da viga tem-se:

    M = 30.000 (N) x 5,0 (m) = 150.000 N.m

    V = 30.000 N

    443

    Z m10x3021,112

    25,0x10,0I ==

    MPa144m/N10x14410x3021,1

    )125,0(x000.150 264tmx

    ===

    MPa144m/N10x14410x3021,1

    )125,0(x000.150 264cmx

    ==

    =

    MPa8,1m/N10x8,110x3021,1x10,0

    )0625,0x125,0x10,0(x000.30 264mx

    ===

    Exerccio 3: Para a viga abaixo calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e

    a maior tenso cisalhante.

  • N000.27VV0F BAY =+=

    09,3xV7,2x000.152,1x000.120M BA =+=

    N9,076.14VB =

    02,1x000.157,2x000.129,3xV0M AB ==

    N1,923.12VA =

    443

    Z m10x998,612

    36,0x18,0I ==

    MPa34,4m/N10x34,410x998,6

    18,0x3,892.16 264tmx

    ===

    MPa34,4m/N10x34,410x998,6

    )18,0(x3,892.16 264cmx

    ===

    MPa326,0m/N2,854.32510x998,6x18,0

    09,0x18,0x18,0x9,076.14 24mx

    ===

    Exerccio 4: A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria

    vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso

    cisalhante.

  • N500.12VV0F BAY =+=

    09x000.20,6xV0,4x500.40,2x000.60M BA =++=

    N000.8VB =

    00,3x000.20,2x500.40,4x000.6Vx60M AB =+=

    N500.4VA = Clculo do momento de inrcia IZ:

    4433

    Z m10x25,212

    30,0x10,0

    12

    h.bI ===

    Clculo das tenses normais extremas:

    264

    ZTmx m/N10x0,6

    10x25,2

    15,0x000.9

    I

    y.M ===

    = 6,0 MPa

    264

    ZCmx m/N10x0,6

    10x25,2

    )15,0(x000.9

    I

    y.M ===

    = 6,0 MPa

    Clculo de mx: ZIb

    Q.V=

    254mx

    m/N10x0,31025,2x10,0

    )075,0x15,0x10,0(x000.6==

  • Exerccios do item 6.7: 1) Sendo = constante, determine:

    a) a equao da tangente linha elstica;

    b) a equao da linha elstica;

    c) a deflexo do ponto A;

    d) a deflexo do ponto d.

    Colocando-se o sistema de referncia no ponto A:

    )x(M )x(vIE || =

    )Lx0(x.P )x(M =

    x.P )x(vIE || +=

    12

    | C2

    xP )x(vIE +=

    Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =

    2

    PLC0C

    2

    LP )L(vIE

    2

    11

    2| ==+=

    a) 2

    PL

    2

    xP )x(vIE

    22| =

    Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):

    223

    C2

    xPL

    6

    xP )x(vIE +=

  • Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =

    3

    PL

    2

    PL

    6

    PLC0C

    2

    LPL

    6

    LP)L(vIE

    333

    22

    23

    =+==+=

    b) 3

    PL

    2

    xPL

    6

    xP )x(vIE

    323

    +=

    c) 3

    PL

    2

    0PL

    6

    0P )0(vIE

    323

    +=

    IE3

    PL v)0(v

    3

    A ==

    d) ( )

    3

    PL

    2

    )2L(PL

    6

    2LP )2L(vIE

    323

    +=

    3333

    PL48

    )16121(

    3

    PL

    4

    PL

    48

    PL)2/L(EIv

    +=+=

    EI48

    PL5v)2/L(v

    3

    d ==

    2) Sendo = constante, determine:

    a) a equao da tangente linha elstica;

    b) a equao da linha elstica;

    c) a deflexo do ponto A;

    d) a deflexo do ponto d.

    )Lx0(2

    qx )x(M

    2

    =

    2

    qx )x(vIE

    2|| +=

  • 13

    | C6

    qx )x(vIE +=

    Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =

    6

    qLC0C

    6

    Lq )L(vIE

    3

    11

    3| ==+=

    a) 6

    qL

    6

    xq )x(vIE

    33| =

    Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):

    234

    C6

    xqL

    24

    xq )x(vIE +=

    Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =

    8

    qL

    6

    qL

    24

    qLC0C

    6

    LqL

    24

    Lq)L(vIE

    444

    22

    34

    =+==+=

    b) 8

    qL

    6

    xqL

    24

    xq )x(vIE

    434

    +=

    c) 8

    qL

    6

    0qL

    24

    0q )0(vIE

    434

    +=

    IE8

    qL v)0(v

    4

    A ==

    d) 8

    qL

    6

    )3/L(qL

    24

    )3/L(q )3/L(vIE

    434

    +=

    4444

    qL1944

    )2431081(

    8

    qL

    18

    qL

    1944

    qL)3/L(EIv

    +=+=

    EI243

    qL17

    EI1944

    qL136v)3/L(v

    44

    d ===

    3) Sendo = constante, determine:

    a) a equao da tangente linha elstica;

    b) a equao da linha elstica;

    c) a deflexo mxima;

    d) a rotao nos apoios.

  • )Lx0(2

    qxx

    2

    qL

    2

    qxx V)x(M

    22

    A ==

    2

    qxx

    2

    qL )x(vIE

    2|| +=

    13

    2| C6

    qxx

    4

    qL )x(vIE ++=

    214

    3 CxC24

    qxx

    12

    qL )x(vIE +++=

    Condies de contorno (ou condies de extremidades):

    0)0(v = e 0)L(v =

    0C0C0C24

    0q0

    12

    qL )0(vIE 221

    43 ==+++=

    0LC24

    qLL

    12

    qL )L(vIE 1

    43 =++=

    24

    qLC

    24

    qL

    12

    qL LC

    3

    1

    44

    1 ==

    a) 24

    qL

    6

    qxx

    4

    qL )x(vIE

    332| ++=

    b) x24

    qL

    24

    qxx

    12

    qL )x(vIE

    343 ++=

    c) A deflexo mxima ocorre no meio da viga:

    )2/L(24

    qL

    24

    )2/L(q)2/L(

    12

    qL )2/L(vIE

    343 ++=

    4444

    qL384

    )814(

    48

    qL

    384

    qL

    96

    qL )2/L(vIE

    ++=++=

  • IE384

    qL5 )2/L(vv

    4

    mx ==

    Observao: Para vigas bi-apoiadas a deflexo mxima ocorre onde

    0)x(v| =

    024

    qL

    6

    qxx

    4

    qL )x(vIE

    332| =++=

    De onde:

    0LxL6x4024

    Lx

    4

    L

    6

    x 3233

    23

    =+=+

    A equao do terceiro grau acima fornece trs razes reais que so:

    X1 = 1,366L

    X2 = 0,5L

    X3 = 0,366L

    d) Rotao nos apoios: )x()x(v|

    IE24

    qL)0(v

    24

    qL

    6

    0q0

    4

    qL )0(vIE

    3

    A|

    332| =++=

    IE24

    qL)L(v

    24

    qL

    6

    qLL

    4

    qL )L(vIE

    3

    B|

    332| =++=

  • 4) Determine a deflexo no meio da viga. IE = constante.

    Trecho 1: )2/Lx0(x2

    P)x(M =

    x2

    P)x(vIE || =

    12| Cx

    4

    P )x(vIE +=

    Para x = L/2: v|(L/2) = 0

    16

    PLC0C)2/L(

    4

    P )2/L(vIE

    2

    112| ==+=

    2

    23 Cx

    16

    PLx

    12

    P )x(vIE ++=

    Para x = 0: v(0) = 0

    0C0C016

    PL0

    12

    P )0(vIE 22

    23 ==++=

    Clculo da deflexo no meio do vo:

    3332

    3 PL96

    )31(

    32

    PL

    96

    PL)2/L(

    16

    PL)2/L(

    12

    P )2/L(vIE

    +=+=+=

    IE48

    PLv)2/L(v

    3

    mx ==

    5) Sabendo que a deflexo mxima da viga abaixo igual a 0,6 cm calcule o valor do

    mdulo de elasticidade da viga abaixo. IE = constante.

  • IE48

    PLv

    3

    mx =

    443

    z m10x375,312

    30,015,0I ==

    4

    3

    10x375,3E48

    )4,6(26000006,0

    =

    29 m/N10x12,70E = ou: GPa12,70E =

    6) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo. IE = constante.

    Dados: = 120 GPa; q = 80.000 N/m

    4333

    m10x083,2I12

    )5,0(20,0

    12

    hbI ===

    EI

    qL00652,0 v)L52,0(v

    4

    mx ==

    m10x3,110x083,2x10x120

    )5(x000.80x00652,0v 3

    39

    4

    mx

    ==

  • Exerccios do item 7.1: 1) Para a estrutura abaixo calcule as tenses normais extremas

    e a posio da linha neutra.

    Dado: F = 100.000 N

    Reduzindo a fora F ao centride tem-se:

    MZ = 100.000 (N) x 100 (mm) = 1,0 x 107 N.mm

    z

    z

    I

    yM

    A

    F

    +=

  • 12

    400x200

    y10x0,1

    400x200

    100.000

    3

    7 =

    y10x375,91,25 3 =

    Clculo das tenses normais extremas:

    23Tmx mm/N625,0)200(10x375,91,25 ==

    23Cmx mm/N125,3)200(10x375,91,25 ==

    Equao da linha neutra: = 0

    y10x375,91,25 0 3 =

    mm133,3310x375,9

    1,25 y

    3=

    =

    Exerccio 2) Calcule a tenso normal nos pontos f e g e a posio da linha neutra no

    engaste. Calcule tambm a tenso de cisalhamento mxima.

    Seo transversal do engaste:

  • Mz = 3000 x 3,7 5.000 x 2,5 = 23.600 N.m

    z

    z

    I

    yM

    A

    F

    +=

    12

    5,0x25,0

    y236005,0x0,25

    150.000

    3

    =

    y10x06,910x1,2 66 = Clculo das tenses normais:

    MPa06,1)25,0(10x06,910x1,2 66f == MPa46,3)25,0(10x06,910x1,2 66g ==

    Equao da linha neutra: = 0

    y10x06,910x1,2 0 66 =

    m13,010x06,9

    10x1,2 y

    6

    6

    =

    =

    Clculo de mx:

    ZIb

    QV

    =

    23mx

    m/N000.9610x604,2x25,0

    0,125x0,25x0,25x8.000 ==

  • Exerccios do item 8.4: 1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: BC =

    120 GPa; LBC = 4,0 m.

    Clculo da carga crtica do pilar BC: ( )2fl

    min2

    CRL

    IEP

    =

    43

    min mm500.11212

    30x50I ==

    mm40004000x0,1LKLfl ===

    ( )N5,327.8

    4000

    112500x10x120P

    2

    32

    CR ==

    A fora de compresso que atua no pilar BC maior do que a carga crtica ( CRP ) do

    pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC.

  • 2) Resolva o problema anterior considerando-se que o pilar BC est engastado no ponto

    C.

    Clculo da carga crtica do pilar BC: ( )2fl

    min2

    CRL

    IEP

    =

    mm28004000x7,0LKLfl ===

    ( )N9,994.16

    2800

    112500x10x120P

    2

    32

    CR ==

    CRBC PF < , neste caso no vai ocorrer flambagem do pilar.

    3) Calcule o valor crtico da fora P. As duas barras tm seo transversal circular com

    dimetro = 15mm e mdulo de elasticidade = 205 GPa.

  • o60)5,0(cosarc69,0

    345,0cos ===

    P155,160sen

    PF0senFP0F

    o22Y===+=

    ==+= cosFF0cosFF0F 2121X

    P5775,060cos)P155,1(F o1 ==

    Clculo da carga crtica da barra 2: ( )2fl

    min2

    CRL

    IEP

    =

    4944

    min m10x485,264

    )015,0(

    64

    DI ===

    m69,069,0x0,1LKLfl ===

    ( )N560.10

    69,0

    10x485,2x10x205P

    2

    992

    CR ==

    Para que ocorra flambagem da barra 2: F2 = Pcr, ento:

    N9,142.9P560.10P155,1 ==

  • Exerccio do item 9.2: Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nas direes =

    60 e = 150.

    MPa3225x15

    000.12

    A

    Fxx =

    ==

    Para = 60 tem-se as tenses:

    MPa2460sen.32sen. 022x ===

    MPa86,1360cos.60sen)32(cos.sen. oox ===

    Para = 150 tem-se as tenses:

    MPa8150sen.32sen. 022x ===

    MPa86,13150cos.150sen)32(cos.sen. oox ===

    Exerccio do item 9.3: Duas peas de madeira so coladas como mostra a figura abaixo.

    A cola no pode ser tracionada e a tenso admissvel ao cisalhamento igual a 4,0

    MPa. Investigue se a solicitao na cola admissvel.

  • ++= sencos2cossen xy2

    y2

    x

    ( ) ( )+= 22xyxy cossencossen Neste problema: x = 2,0 MPa ; y = 5,0 MPa ; xy = 0,0

    Para = 45 tem-se as tenses:

    MPa5,1045cos0,545sen0,2 o2o2 =+=

    ( ) MPa5,3045cos45sen0,20,5 oo =+=

    Concluso: A solicitao na cola admissvel.

    Exerccio do item 9.5: 1) Um elemento estrutural fica solicitado pelas tenses indicadas

    na figura abaixo. Calcule:

    a) as tenses e as direes principais (mostre os resultados em um elemento orientado);

    b) as tenses que atuam nos planos que formam ngulos de 100;

    c) a maior tenso de cisalhamento do plano xOy e a direo 3.

    a) 2xy

    2yxyx

    21 22

    +

    +=

    ( )22

    21 252

    8535

    2

    8535 +

    +=

    ento: MPa36,951 = e MPa64,242 =

    01x1

    xy1 5,223536,95

    25tg =

    =

    =

  • 022x

    xy2 5,6764,2435

    25tg =

    =

    =

    b) Para 010= , tem-se as tenses:

    000202 10sen10cos)25(210cos8510sen35 ++= MPa94,74=

    ( ) )10cos10sen(2510cos10sen3585 020200 = MPa04,32=

    c) mx= 2xy2

    yx

    2+

    mx= 22

    )25(2

    8535 +

    = 35,36 MPa

    ( )

    033

    yx

    xymx3

    51,22)4144,0(tanarc

    5,0)8535(

    2536,35

    5,0

    tg

    ==

    =

    +

    =

    2) Para um ponto da barra abaixo calcule:

    a) as tenses principais e as direes principais (mostre os resultados em um

    elemento orientado):

    b) mx do plano xoy e a direo 3 .

  • 22 mm68,126)35,6(A ==

    22x

    mm/N71)mm(68,126

    )N(000.9

    A

    F ===

    a)

    ( )2xy2

    yxyx

    21 22

    +

    +=

    ( )22

    21 02

    071

    2

    071 +

    += 5,355,35 =

    De onde: MPa711 = e 02 =

    Clculo das direes principais:

    0

    0

    7171

    0tan

    x1

    xy1 =

    =

    = (indeterminado)

    Neste caso, a frmula acima no pode ser usada. Nos planos principais a tenso

    cisalhante nula. Ento, x e y so tenses principais:

    o11x 90;MPa71 ===

    o22y 0;0 ===

  • b)

    ( )2xy2

    yx

    minmx 2

    +

    =

    ( ) +

    = 22

    minmx 02

    071 MPa5,35eMPa5,35 minmx ==

    ( ) 15,0)071(05,35

    5,0tan

    yx

    xymx3 =

    +=

    +

    =

    o3 45)1(tanarc ==

    Observao: Em uma barra tracionada (ou comprimida) a tenso cisalhante mxima

    atua nos planos que formam 45 com o eixo x e seu valor a metade da tenso normal

    mxima: 2x

    mx= . No entanto, dependendo da resistncia do material mx pode

    romper uma barra.

    3) Um eixo macio est solicitado por um torque = 73.630 N.mm. Para um ponto

    localizado na superfcie do eixo calcule usando o crculo de Mohr:

    a) as tenses principais e as direes principais (mostre os resultados em um

    elemento orientado):

  • b) mx do plano xoy e a direo 3.

    O momento de toro (ou torque) produz um estado de cisalhamento puro.

    J

    r.T= (Expresso vlida para seo transversal circular)

    444

    mm3,592.61332

    )50(

    32

    DJ ===

    2xyxy mm/N33,61359225x73630 ==

    Crculo de Mohr:

  • Elemento orientado da letra a:

    b) mx = 3,0 MPa 3 = 90

  • Exerccios do item 9.8: 1)Uma circunferncia de raio r = 600 mm desenhada em

    uma placa quadrada de lado L = 1400 mm. Determine os comprimentos dos dimetros

    ab e cd depois de aplicadas as tenses indicadas.

    Dados: x = 150 MPa; y = 80 MPa ; = 70 GPa ; = 0,3

    [ ])(E

    1zyxx +=

    [ ] 3669x

    10x486,2)010x80(3,010x15010x70

    1 =+=

    xxx LLL

    L ==

    mm98,2120010x486,21200L 3xab ===

    mm98,1202L98,21200L1200L abFababF =+=+=

    [ ])(E

    1zxyy +=

    [ ] 3669y

    10x786,1)010x150(3,010x8010x70

    1 =+=

    yyy LLL

    L ==

  • mm14,2120010x786,11200L 3ycd ===

    mm86,1197L14,21200L1200L cdFcdcdF ==+=

    2) Em uma chapa de liga de titnio desenhou-se uma linha inclinada. Calcule o valor em

    graus do ngulo depois de aplicadas as tenses indicadas.

    Dados: x = 90 MPa; y = 70 MPa titnio = 120 GPa ; titnio = 0,36

    o55,27)5217,0(tanarcmm230

    mm120tg ===

    [ ])(E

    1zyxx +=

    [ ] 4669x

    10x06,9)010x70(36,010x9010x120

    1 =+=

    xxx LLL

    L ==

    mm2208,023010x60,9230L 4xx ===

    mm2208,230L2208,0230L230L FxxFx =+=+=

    [ ])(E

    1zxyy +=

    [ ] 4669y

    10x53,8)010x90(36,010x7010x120

    1 =+=

    yyy LLL

    L ==

    mm102,012010x53,8120L 4yy ===

    mm898,119L102,0120L120L FyyFy ==+=

  • oFFF 51,27)5208,0(tanarcmm2208,230

    mm898,119tg ===

    3) Uma barra est solicitada pela tenso normal x. Para este caso demonstre que:

    ++

    =21

    E)( zyxx

    Lei de Hooke Generalizada:

    [ ])(E

    1zyxx +=

    [ ])(E

    1zxyy +=

    [ ])(E

    1yxzz +=

    Para uma barra solicitada pela tenso normal x tem-se:

    [ ]E

    )00(E

    1 xxx

    =+=

    [ ]E

    )0(0E

    1 xxy

    =+=

    [ ]E

    )0(0E

    1 xxz

    =+=

    Somando as deformaes x , y e z tem-se:

    EEExxx

    zyx

    =++

    )1(E

    xzyx

    =++

    ++=

    21

    E)( zyxx

    4) Em muitas situaes de carregamento a tenso normal em uma direo igual a

    zero, como na chapa da figura abaixo onde z = 0 (estado plano de tenso). Para este

    caso demonstre que:

  • +

    =1

    )( yxz

    Para uma chapa solicitada por x e y tem-se:

    [ ] )(E

    1)0(

    E

    1yxyxx =+=

    [ ] )(E

    1)0(

    E

    1xyxyy =+=

    [ ]E

    )()(0

    E

    1 yxyxz

    +=+=

    Somando as expresses de x e y , tem-se:

    )(E

    1yxyx =+ + )(E

    1xy

    yxyx (E

    1 =+ + )xy

    )1()1(E)( yxyx +=+

    )()1(E)( yxyx +=+

    De onde: +

    =+1

    E)( yxyx

    Colocando-se a expresso acima na expresso de z, tem-se:

    E1

    )(

    EE

    )( yxyxz

    +=

    +=

    +

    =1

    )( yxz

  • Exerccios sobre critrio de resistncia de von Mises (item 10.4)

    2Y

    2yz

    2xz

    2xyzyzxyx

    2z

    2y

    2x )(3

  • 2) Sabendo que MPa240Y = calcule o valor do momento de toro que inicia o

    escoamento do eixo abaixo.

    J

    rT = T10x2595,3

    32

    )25(

    5,12xT 44yx

    =

    =

    2Y

    2xy )(3

  • As trs tenses principais so:

    T10x2595,3 41= 02 = T10x2595,3

    43

    =

    Colocando as tenses principais extremas no critrio de Tresca:

    T10x2595,3 4 240)T10x5259,3( 4 =

    De onde: = 368.155 N.mm

    Comparao entre os critrios de von Mises e de Tresca:

    1547,1155.368

    109.425

    Tresca

    Misesvon ==

    Portanto, o valor do momento de toro que inicia o escoamento do eixo segundo o critrio de

    von Mises 15,47% maior que o valor fornecido pelo critrio de Tresca. Esta a diferena

    mxima entre os dois critrios e ocorre na toro pura.

    3) Sabendo que MPa400Y = calcule o valor da fora P inicia o escoamento da viga abaixo.

    A

    F

    I

    yM

    Z

    +=

    P100,5xP2M ==

    30,0x2,0

    P15

    12

    3,0x2,0

    yP103

    =

  • P250y.P22,222.22 =

    Tenso normal no ponto b:

    P250P33,333.3P250)15,0.(P22,222.22b ==

    P33,3583b =

    Para que inicie o escoamento (critrio de von Mises):

    2622Y

    2x )10x400()P33,3583( ==

    Ou: N9,627.111P10x400P33,3583 6 ==

    Observao: Se tirar a fora axial (N = 0):

    N000.120P10x400P33,3333 6 ==

    4) Usando o critrio de von Mises investigue se o elemento abaixo est em segurana.

    Dado: MPa320Y =

  • 2Y

    2yz

    2xz

    2xyzyzxyx

    2z

    2y

    2x )(3

  • 0349.19200 x2x =

    De onde: MPa3,71eMPa3,271 xx ==

    6) Usando o critrio de von Mises calcule o valor da tenso cisalhante XY que inicia o

    escoamento do elemento abaixo.

    Dado: MPa150Y =

    2Y

    2yz

    2xz

    2xyzyzxyx

    2z

    2y

    2x )(3

  • 2Y

    2yz

    2xz

    2xyzyzxyx

    2z

    2y

    2x )(3

  • 9) Usando o critrio de von Mises investigue se o elemento abaixo est em segurana

    quando solicitado pela tenso indicada.

    Dado: MPa320Y =

    2Y

    2yz

    2xz

    2xyzyzxyx

    2z

    2y

    2x )(3

  • Exerccios do Anexo apostila:

    1) Determine as coordenadas do centride de uma rea retangular.

    h.b

    dzdy.y

    A

    dA.yy

    h0

    b0A

    _ == [ ] b.2

    h.

    h.b

    1z.

    2

    y

    h.b

    1 2b0

    h

    0

    2

    =

    =

    de onde: 2

    hy_

    =

    h.b

    dz.zdy

    A

    dA.zz

    h0

    b0A

    _ == [ ]2

    bh

    h.b

    1

    2

    z.y

    h.b

    1 2b

    0

    2h0 =

    =

    de onde: 2

    bz_

    =

    O Sistema de referncia pode ter origem em qualquer ponto do plano da rea.

    Para o sistema de referncia acima:

    mmxxz_

    =

  • = 0y_

    0A

    dA.yy A_

    ==

    0dA.y:entoA A =

    0dA.yQ AZ ==

    O eixo z passa pelo centride da rea A, portanto, o momento esttico de uma rea

    finita em relao a qualquer eixo que passa pelo centride nulo.

    2) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do

    centride.

    60

    60

    160

    200

    2160200

    6060AZ z2

    ydz.dy.ydA.yQ

    ===

    [ ] [ ] [ ] 120000.40600.252

    1)60(60)200()160(

    2

    1Q 22Z ==

    3

    Z mm000.864Q = Outra forma de calcular-se o momento esttico:

    AyQA

    Qy

    A

    dA.yy

    _

    ZZ

    _A

    _

    ===

    3Z mm000.86412040)180(Q ==

    Outra forma de calcular-se o momento esttico: atravs da rea abaixo

  • 3_

    Z mm000.86436012020AyQ === 3) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do

    centride.

    3_

    Z mm000.400.2120200100AyQ === Demonstrao do teorema dos eixos paralelos

    2

    |ZZa.AII +=

    2|YY

    b.AII +=

  • = A2|

    |ZdA)y(I

    [ ] ++=+= A 2|2|A 2|Z dAaay2)y(dA)ay(I

    ++= A A A2|2|

    Z dAadAya2dA)y(I

    O momento esttico de uma rea em relao a um eixo que passa pelo seu centride

    nulo, ento: =A| 0dAy

    2

    |ZZa.AII +=

    4) Para a rea abaixo, determine:

    a) o momento de inrcia IZ

    b) o momento de inrcia IY

    a) ==2b

    2b

    2h

    2h

    2

    A

    2Z dzdyydAyI

    =

    2h

    2h

    3

    Z 3

    yI

    2b

    2bz

    =2

    b

    2

    b

    8

    h

    8

    h

    3

    1 33

    12

    hbIb

    8

    h

    8

    h

    3

    1I

    3

    Z

    33

    Z =

    +=

  • b) ==2b

    2b

    22h

    2hA

    2Y dzzdydAzI

    = 2h

    2hYyI

    2b

    2b

    3

    3

    z

    12

    bh 3=

    5) Determine o momento de inrcia de uma rea circular vazada em relao ao eixo Z.

    = A2

    Z dAyI

    drrddA =

    == senryr

    ysen

    = drrd)rsen(I2

    Z

    = er

    ir

    2

    023 dsendrr

    ( )

    =2

    0

    er

    ir

    4

    Z cossen2

    1

    4

    rI

    ( )( )[ ])0cos0sen0(2cos2sen2

    2

    1

    4

    rrI

    4i

    4e

    Z

    =

  • ( ) ( )4

    rrI2

    2

    1

    4

    rrI

    4i

    4e

    Z

    4i

    4e

    Z

    =

    =

    Ou colocando em funo dos dimetros externo e interno:

    =4

    i4

    eZ 2

    D

    2

    D

    4I

    =

    16

    D

    16

    D

    4

    4i

    4e

    [ ]4i4eZ DD64I =

    Particularizando para seo cheia (Di = 0): 64

    DI

    4e

    Z

    =

    Observaes: 1 ) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centride de uma

    rea circular. Portanto, todos os momentos de inrcia em relao aos eixos que passam

    pelo centride so iguais.

    2 ) No confundir momento de inrcia ( I ) com momento de inrcia toro (J)

    I usado na flexo

    J usado na toro

  • 64

    DII

    4

    YZ

    == (para seo circular cheia)

    222 yzr +=

    +=+== A A A2222

    A2 dAydAzdA)yz(dArJ

    ZY IIJ += 32D

    64

    D

    64

    D 444 =

    +

    =

    6) Calcule o momento de inrcia de uma rea em forma de T em relao ao eixo horizontal (Z) do centride.

    Clculo das coordenadas do centride:

    0z_

    =

  • 21

    _

    22

    _

    11A_

    AA

    yAyA

    A

    ydAy

    ++

    == 10,0x80,020,0x50,0

    55,0x10,0x80,025,0x50,0x20,0

    ++=

    m383,018,0

    069,0y_

    ==

    Se o sistema de referncia auxiliar for colocado na face superior, tem-se:

    =_y m217,0

    18,0

    039,0

    10,0x80,020,0x50,0

    35,0x50,0x20,005,0x10,0x80,0 ==++

    Transladando-se o sistema de referncia para o centride da figura, tem-se:

    Clculo de IZ usando-se o teorema dos eixos paralelos:

    2|ZZa.AII +=

    23

    23

    Z )133,0(x5,0x2,012

    5,0x2,0)167,0(x1,0x8,0

    12

    1,0x8,0I +++=

  • 43

    Z m10x15,6I=

    7) Para a rea do exerccio anterior calcule o momento de inrcia em relao ao eixo y

    ( YI ).

    43

    33

    Y m10x6,412

    20,0x50,0

    12

    80,0x10,0I =+=

    8) Para a rea abaixo calcule os momentos de inrcia em relao aos eixos Z e Y.

    41033

    Z mm10x97,112

    400x300

    12

    800x500I ==

    4933

    Y mm10x43,712

    300x400

    12

    500x800I ==