Espacios vectoriales

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ESPACIOS ESPACIOS VECTORIALES VECTORIALES UCA. Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.

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Page 1: Espacios vectoriales

ESPACIOS ESPACIOS

VECTORIALESVECTORIALESVECTORIALESVECTORIALES

UCA. Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.

Page 2: Espacios vectoriales

Espacio VectorialEspacio Vectorial

Sea E un conjunto no vacío, cuyos elementos denotaremospor …. ; y que llamaremos vectores , y K un cuerpoconmutativo , cuyos elementos representaremospor ...; y que llamaremos escalares .

, ,x y z� �� �

( ), ,K + ×, ,α λ βpor ...; y que llamaremos escalares .

Como normalmente , usaremos como notaciónpara las operaciones + y × , llamando además 0 al neutro de + , y 1 al neutro de × .

, ,α λ β

K o K= =ℝ ℂ

Page 3: Espacios vectoriales

Espacio VectorialEspacio Vectorial

Definimos en E dos leyes de composición:

interna, que llamamos suma de vectores , y externa de K sobre E , que llamamos producto

de un vector por un escalar

Se dice que E es un espacio vectorial sobre K si se cumplen:

( ),E ⊕( ), ,E K�

Se dice que E es un espacio vectorial sobre K si se cumplen:

( )1. , es un grupo abelianoE ⊕

( )2. , se tiene x y E y x y x yλ λ λ λ∀ ∈ ∀ ∈ ⊕ = ⊕� �� � �� � ��

ℝ � � �

( )3. , se tiene x E y x x xλ α λ α λ λ∀ ∈ ∀ ∈ + = ⊕� � � �

ℝ � � �

( ) ( )4. , se tiene x E y x xλ α λ α λ α∀ ∈ ∀ ∈ = ×� � �

ℝ � � �

5. 1∃ ∈ℝ se tiene 1x E x x∀ ∈ =� � �

Page 4: Espacios vectoriales

Cuando no haya opción a confundirse podemos utilizar“+” para ambas sumas, y “.” para ambos productos.

Y anotaremos:

interna, que llamamos suma de vectores , y externa de K sobre E , que llamamos producto

de un vector por un escalar

( ),E +( ), ,E K⋅de un vector por un escalar

( )1. , es un grupo abelianoE +

( )2. , se tiene x y E y x y x yλ λ λ λ∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ + = ⋅ + ⋅� �� � �� � ��

( ) ( )4. , se tiene x E y x xλ α λ α λ α∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � �

5. 1∃ ∈ℝ se tiene 1x E x x∀ ∈ ⋅ =� � �

( )3. , se tiene x E y x x xλ α λ α λ λ∀ ∈ ∀ ∈ + ⋅ = ⋅ + ⋅� � � �

Page 5: Espacios vectoriales

Ejemplos de Espacios VectorialesEjemplos de Espacios Vectoriales

• es espacio vectorial sobre con las operaciones:

* Suma de vectores en

nℝ ( ), ,+ ⋅ℝ

nℝ* Suma de vectores en

* Producto por un escalar

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2n n n nx x x y y y x y x y x y⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ +

( ) ( )1 2 1 2n nx x x x x xα α α α⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Page 6: Espacios vectoriales

Ejemplos de Espacios VectorialesEjemplos de Espacios Vectoriales

• es espacio vectorial sobre y sobrecon las operaciones:

* Suma de vectores en

nℂ ( ), ,+ ⋅ℝ

nℂ

( ), ,+ ⋅ℂ

* Suma de vectores en

* Producto por un escalar

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2n n n nx x x y y y x y x y x y⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅ +

( ) ( )1 2 1 2n nx x x x x xα α α α⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Page 7: Espacios vectoriales

Ejemplos de Espacios Vectoriales

el conjunto de las matrices definidas en uncuerpo K conmutativo, es un espacio vectorial sobreK , con las operaciones:

m nM ×

* Suma de matrices

* Producto por un escalar

( ) ( ) ( )ij ij ij ijA B a b a b+ = + = +

( ) ( )ij ijA a aλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅

Page 8: Espacios vectoriales

Ejemplos de Espacios Vectoriales

E=P(x) , polinomios con coeficientes pertenecientesa un cuerpo conmutativo K. Es un espacio vectorial sobre K con las operaciones:

* Suma de polinomiosp(x)+q(x)=(a0+a1x+...+anxn)+(b0+b1x+...+bmxm)==(a0+b0)+(a1+b1)x+...+(an+bn)xn+...+bmxm (m≥n )

* Producto por un escalarαp(x) = α(a0+a1x+...+anxn )= α a0+ α a1x+...+ α anxn

Page 9: Espacios vectoriales

• R2 con las operaciones• Suma

• Producto por un escalar:

No es un espacio vectorial sobre (R,+,.), ya

( ) ( ) 21 2 1 2, , ,x x x y y y= = ∈

� ��ℝ

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ,x y x x y y x y x y+ = + = + +� ��

( ) ( )1 2 1, ,0x x x xα α α= =�

No es un espacio vectorial sobre (R,+,.), yaque aunque se cumplen las cuatro primeras condiciones, como puede comprobarse fácilmente, no se cumple la quinta:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 21 1 , ,0 ,x x x x x x= = ≠���

Page 10: Espacios vectoriales

Propiedades deducidas de la definiciónPropiedades deducidas de la definición

1 . se ve r i f ica 0 0

2 . se ve r i f ica 0 0

3 . 0 0 ó 0

x E x

K

x x

λ λλ λ

λ

∀ ∈ ⋅ =

∀ ∈ ⋅ =

⋅ = ⇔ = =

∀ ∈ ∀ ∈

� � �

� �

� � � �

( ) ( ) ( )4 . y se ve r i f ica

5 . 0 s i

0 s i

K x E

x x x

x y x y

x x x

λ

λ λ λ

λ λ λλ α λ α

∀ ∈ ∀ ∈

− ⋅ = ⋅ − = − ⋅

∀ ≠ ⋅ = ⋅ ⇒ =

∀ ≠ ⋅ = ⋅ ⇒ =

� � �

� �� � ��

� � � �

Page 11: Espacios vectoriales

Subespacios vectorialesSea (E,+,.K) un espacio vectorial.Se dice que un subconjunto L de E es un subespacio

vectorial o variedad lineal de E si tiene a su vezestructura de espacio vectorial sobre K con lasmismas operaciones definidas en E.

En todo espacio vectorial E existen dos subespaciosllamados impropios, son:

{ } y 0L E L= =�

Page 12: Espacios vectoriales

Teorema de caracterización de subespacios vectoriales

Las condiciones necesaria y suficiente para que unsubconjunto, no vacío, L de un espacio vectorial Esea un subespacio vectorial , son:

1. , se verifica

2. se verifica

x y L x y L

x L K x Lλ λ∀ ∈ + ∈

∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ ∈

� �� � ��

� �

Page 13: Espacios vectoriales

Ejemplos de Subespacios Vectoriales

1)Los conjuntos TS, TI de las matrices triangulares superiores e inferiores de orden n son subespacios vectoriales de Mn.

2) El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 2, P2(x), es un subespacio vectorial del espacio vectorial de los polinomios finitos P(x) .vectorial de los polinomios finitos P(x) .

3) El conjunto de los pares ordenados de números reales con la segunda coordenada igual a 1: {(x,1)/ x∈R} no es un subespacio vectorial de R2 ; ya que ni la suma ni el producto por un escalar dan, en general, un vector con la segunda coordenada igual a 1 .

Page 14: Espacios vectoriales

Operaciones con subespacios• Dados dos subespacios L1, L2 de E definimos la

suma de ambos como el conjunto formado por todos los vectores que se obtienen sumando uno cualquiera de L1 con uno cualquiera de L2, es decir:

1 2L L x E+ = ∈�{ }1 2 1 1 2 2 con ,x x x x L x L= + ∈ ∈

� �� ��� �� ���

• Dados dos subespacios L1, L2 de E definimosla intersección de ambos como el conjunto formado por todos los vectores que pertenecen a los dos.

1 2L L x E+ = ∈{ }1 2 1 1 2 2 con ,x x x x L x L= + ∈ ∈

1 2L L x E∩ = ∈�{ }1 2 y x L x L∈ ∈

� �

Page 15: Espacios vectoriales

PropiedadPropiedad

Observaciones L1 ∪ L2 no es subespacio vectorial

L1+L2 y L1 ∩L2 son subespacios vectoriales de E

L1 ∪ L2 no es subespacio vectorial

L1+L2 es el subespacio vectorial más pequeño que contiene a L1 ∪ L2

Page 16: Espacios vectoriales

Subespacios suplementarios

• Dos subespacios L1, L2 decimos que son suplementarios cuando cualquier vector

se puede descomponer de forma única como suma de un vector de L1 más otro de L :

x E∈�

otro de L2:

• Proposición 1.L1, L2 son dos subespacios suplementarios

si y sólo si

1 1 2 2 y x L x L∃ ∈ ∃ ∈i i�� ���

1 2 x E x x x∀ ∈ = +� � �� ���

{ }1 2 1 2+ y 0L L E L L= ∩ =�

Page 17: Espacios vectoriales

Proyecciones de un vector sobre un subespacio paralelamente a

otro suplementario

• Sean L1, L2 dos subespacios suplementarios de E

x E∈�

Sea un vector cualquiera , entonces

Al vector se le llama proyección de sobre L1 paralelamente a L2.

1 2 1 1 2 2 con ,x x x x L x L= + ∈ ∈� �� ��� �� ���

x E∈�

1x��

x�

Page 18: Espacios vectoriales

Dependencia e independencia lineal

Sea un conjunto finito de vectores de E

Se dice que un vector es combinación lineal delos vectores anteriores o que depende linealmente de ellos

{ }12, ,

nu uH u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

�� ��� ���

x E∈�

los vectores anteriores o que depende linealmente de ellossi

ix∃ ∈ℝ1

n

iii

x x u=

=∑� �

Page 19: Espacios vectoriales

Dependencia e independencia lineal

Se dice que los vectores son linealmente

independientes o forman un sistema libre si la igualdad

{ }12, ,

nu uH u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

�� ��� ���

0 0n

x u x i= ⇒ = ∀∑� �

En caso contrario se dice que son linealmente dependienteso que forman un sistema ligado de vectores.

1

0 0ii ii

x u x i=

= ⇒ = ∀∑� �

Page 20: Espacios vectoriales

Propiedades de la dependencia lineal

1)En ningún sistema libre figura el vector cero, es decir, que si en un sistemade vectores figura el vector cero entre ellos, entonces el sistema es ligado.

2)Cualquier vector, considerado aisladamente, es linealmente independiente oconstituye un sistema libre siempre que sea distinto de cero.

3)La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente es que al menos uno de ellos se pueda expresarcomo combinación lineal de los demás.

4)Dos vectores iguales constituyen siempre un sistema ligado.

5)Cualquier conjunto de vectores que contenga a un sistema ligado es ligado.

6)Cualquier subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.

Page 21: Espacios vectoriales

Sistema generador de un espacio vectorial

Sean un conjunto finito de vectores de E.

Se dice que H es un sistema generador de E si,

{ }iH u=��

x E∀ ∈�

ix∃ ∈ℝ1

n

iii

x x u=

=∑� �

Page 22: Espacios vectoriales

Base de un espacio vectorial

Sea un conjunto finito de vectores de E.

Se dice que B es una base de E si cumple:

{ }iB u=��

Se dice que B es una base de E si cumple:

1. B es un sistema libre2. B es un sistema generador de E

Page 23: Espacios vectoriales

Si es una base de E, se tiene:{ }iB u=��

x E∀ ∈�

1

n

iii

x x u=

=∑� �

A las se le llaman coordenadas derespecto de la base B

ix ∈ℝ x

A las se le llaman componentes derespecto de la base B

i ix u E∈��

x

Page 24: Espacios vectoriales

La expresión de respecto de la base { }iB u=��

x E∈�

1

n

iii

x x u=

=∑� �

La podemos escribir matricialmente, por:La podemos escribir matricialmente, por:

( )

1

2

1 2 n

n

x

x

x u u u

x

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � �

Page 25: Espacios vectoriales

Las coordenadas de un vector respecto de una baseson únicas.

n

iix x u= ∑� �

( ) ( )*i ix y x

Proposición 2Proposición 2

Demostración:

Supongamos dos coordenadas distintas

*n

iix x u= ∑� �

Tenemos que: y

{ }iB u=��

1

iii

x x u=

= ∑1

iii

x x u=

= ∑Tenemos que: y

Luego: ( )* *

1 1 1

0n n n

i i ii i i ii i i

x u x u x x u= = =

= ⇒ − = ⇒∑ ∑ ∑� � � �

Ya que los { }iu��

son linealmente independientes.

* *0i i i ix x i x x i− = ∀ ⇒ = ∀

Page 26: Espacios vectoriales

Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienenel mismo número de vectores.

Teorema de la baseTeorema de la base

Definición Definición

Se llama dimensión de un espacio vectorial al númerode vectores que tiene una base y se denota por:de vectores que tiene una base y se denota por:

dimE

Base canónica Base canónica { }iB e=�

Donde: ( )0 0 1 0icolum na i

e = ⋅ ⋅ ⋅�

Page 27: Espacios vectoriales

Consideremos dos base de un espacio vectorial E

{ }iB u=��

x E∈�

Conocemos las coordenadas de un vector

CAMBIO de BASECAMBIO de BASE

{ }* iB v=��

x E∈Conocemos las coordenadas de un vector

( )

1

2

1 2 n

n

x

x

x u u u

x

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � �

respecto de la base B, sean ( )ix

Page 28: Espacios vectoriales

Y queremos calcular las coordenadas de

*1*

x

x

CAMBIO de BASECAMBIO de BASE

x E∈�

respecto de la base B*, sean ( )*ix

( )*2

1 2

*

n

n

x

x v v v

x

= ⋅ ⋅ ⋅

� � � �

Los vectores { }iu��

son combinación lineal de { }iv��

Page 29: Espacios vectoriales

CAMBIO de BASECAMBIO de BASE

1 1 211 21 1

2 1 212 22 2

1 21 2 2

...............................................

nn

nn

n nn n n

u a v a v a v

u a v a v a v

u a v a v a v

= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

= + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

� � � �

� � � �

� � � �

Expresado matricialmente

( ) ( )

11 12 1

21 22 2

1 2 1 2

1 2

n

n

n n

n n nn

a a a

a a a

u u u v v v

a a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � � � �

Page 30: Espacios vectoriales

CAMBIO de BASECAMBIO de BASE

A la matriz:

11 12 1

21 22 2

n

n

a a a

a a a

P

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2n n nna a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Se le llama matriz de paso de *B a B

Conocida la matriz P podemos calcular las coordenadas ( )*ix

Page 31: Espacios vectoriales

En efecto:

( ) ( )

*1 1

*2 2

1 2 1 2

*

n n

x x

x x

u u u v v v

x x

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � � � �

CAMBIO de BASECAMBIO de BASE

*n n

x x

De donde:

( ) ( )

*1 1

*2 2

1 2 1 2

*

n n

n n

x x

x x

v v v P v v v

x x

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � � � �

Page 32: Espacios vectoriales

Luego:

CAMBIO de BASECAMBIO de BASE

*1 1

*2 2

*n n

x x

x x

P

x x

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

*1 1 1 2 1 11

*2 1 2 2 2 22

*1 2

n

n

n n n n nn

a a a xx

a a a xx

a a a xx

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅