Tesis ProfesionalEspacios de Hilbert con nucleo reproductivo

1

♠ Espacios de Hilbert

‡Producto interior. Sea (H, •,+) un espacio vectorialsobre el campo F(= R o C), un producto interior sobreeste espacio, es una funcion 〈·, ·〉 : H×H→ F tal que

i) 〈λx + y, z〉 = λ〈x, y〉 + 〈y, z〉.ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉.

iii) 〈x, x〉 ≥ 0 y la igualdad se da, si y solo si x = 0.

‡Teorema. Todo producto interior induce una norma,cuya forma es

‖x‖ = (〈x, x〉)1/2. (1)

‡Espacio de Hilbert. Un espacio de Hilbert H sobreel campo F(= R o C) es un espacio vectorial (H, •,+)con producto interior definido 〈·, ·〉, cuya norma inducida(dada por (1)) es completa.

2

‡Propiedades. Si H es un espacio de Hilbert sobre F,entonces

i) Desigualdad de Cauchy-Schwartz

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.

ii) Ley del Paralelogramo

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).

iii) El producto interior es conjuntamente continuosobre el espacio de Hilbert H. Esto es, si xnn≥1

y ynn≥1, son sucesiones en H, tales que xn → x yyn → y, (en norma ‖ · ‖) con x, y en H, entonces〈xn, yn〉 → 〈x, y〉.

‡Un teorema importante. Sea (H, •,+) un espaciovectorial sobre F normado, entonces la norma ‖ · ‖ deeste espacio proviene de un producto interior si y solo sicumple la ley del paralelogramo.

‡Ortoganalidad y ortonormalidad. Sea H un espaciode Hilbert.

i) x⊥y ⇐⇒ 〈x, y〉 = 0.

ii) S1⊥S2 ⇐⇒ ∀ x ∈ S1 y ∀ y ∈ S2: 〈x, y〉 = 0.

3

‡Mas propiedades.

i) Teorema de Pitagoras.Sea x1, ..., xn un subconjunto ortogonal de H, en-tonces

‖n∑i=1

xi‖2 =

n∑i=1

‖xi‖2.

ii) Desigualdad de Bessel.Sea Λ un subconjunto ortonormal de vectores en H,entonces ∑

x∈Λ

|〈y, x〉〈z, x〉| ≤ ‖x‖‖z‖.

iii) Proyeccion.Sea S un subespacio cerrado de H. Para cada x ∈ Hexiste un unico elemento y0 ∈ S tal que

‖x− y0‖ = inf‖x− y‖ : y ∈ S.

El vector y0 ∈ S se conoce como la proyeccion de xsobre el subespacio S.

iv) Si S es un subespacio cerrado de un espacio de HilbertH, entonces para toda x ∈ H, existe una unicarepresentacion x = y + z, donde y ∈ S y z ∈ S⊥.Esta representacion unica esta dada por y = PS(x)(proyeccion de x sobre S) y z = x − y. En otraspalabras, H = S⊕ S⊥.

4

v) Si S es un subespacio cerrado de un espacio de HilbertH, entonces (S⊥)⊥ = S⊥⊥ = S.

♠ Teorema de Representacion de Riesz

‡Funcionales.Un mapeo f : H→ F se denomina funcional (H espaciode Hilbert). Una funcional f es lineal si f (αx + y) =αf (x)+f (y). Es continua en x ∈ H si para toda ε > 0existe δx(ε) > 0 tal que si ‖x − x′‖ < δx(ε) entonces|f (x) − f (x′)| < ε; y decimos que f es continua si f escontinua en cada punto x de H

‡Teorema de Representacion de Riesz. Si f es unafuncional lineal continua sobre H, entonces existe un unicovector y ∈ H tal que f (x) = 〈x, y〉, para toda x ∈ H.

5

♠ Nucleo Reproductivo

‡Ejemplo.Sea In = 1, 2, ..., n. Para un vector x = (x1, ..., x2) ∈Rn podemos definir una funcion (manteniendo la notacion)x : Tn → R tal que x(i) = xi, para toda i ∈ In. Sea H2

n

el espacio de todas estas funciones (obs: H2n es equivalente

a Rn). En H2n introducimos el producto punto habitual

en Rn, esto es, si x(i) = xi y y(i) = yi para x, y ∈ H2n,

entonces,〈x, y〉 =

n∑i=1

xiyi.

El espacio H2n es un espacio de Hilbert.

Ahora bien, si Kn : In × In → Rn tal que

Kn(i, j) = δij.

Entonces

i) Kn(·, j) ∈ H2n, para cada j ∈ In, y

ii) Si x ∈ H2n, tenemos que

〈x(·), Kn(·, j)〉 =

n∑i=1

x(i)δi,j

= x(j).

Decimos que K posee la propiedad reproductiva y lodenominamos nucleo reproductivo de la clase H2

n.

6

‡Nucleo reproductivo.Si E denota un conjunto y F un espacio de Hilbert sobreel campo F (complejo o real) de funciones f : E → F,entonces la funcion K : E × E → F, es llamada nucleoreproductivo (n.r.) de F si

i) Para toda y ∈ E, la funcion K(·, y) : E → F,pertenece a F (aquı usaremosKy en lugar deK(·, y)).

ii) Propiedad reproductiva: Para todo y ∈ E y todafuncion f ∈ F ,

f (y) = 〈f (·), K(·, y)〉(i.e. f (y) = 〈f,Ky〉).

‡Observacion.Si el nucleo K es real (esto es, si K(x, y) ∈ R para todox, y ∈ E), entonces K(x, y) = K(y, x), luego K(y, ·) ∈F , para todo x, y ∈ E. De tal suerte que la propiedadreproductiva tambien puede ser enunciada, en estos casos,con la expresion

f (y) = 〈f (·), K(y, ·)〉

para toda f ∈ F y toda y ∈ E.

7

‡Ejemplo.Sea t > 0 y Ht la clase de trayectorias continuasq : [0, t] → R, tal que q(t) = 0 y q′(s) existe casidondequiera y es cuadrado integrable (en el sentido deRiemann). Consideremos el producto interior

〈q1, q2〉 =

∫ t

0

q′1(s)q′2(s)ds,

para cualesquiera q1 y q2 en Ht.La funcion K : [0, t]× [0, t]→ R dada por

K(s1, s2) = t−maxs1, s2define el nucleo reproductivo para Ht.

En efecto

i) Ks2 ∈ Ht para cada s2 ∈ [0, 1].

ii) Sea s2 ∈ [0, t], entonces

d

dsK(s, s2) =

0 si s < s2

−1 si s2 < s.

Luego

〈q,Ks2〉 =

∫ t

0

q′(s)d

dsK(s, s2)ds

= −∫ t

s2

q′(s)ds

= q(s2).

8

‡Propiedades del nucleo reproductivo.

i) Unicidad. Si F tiene nucleo reproductivo entonces esunico.

‖Ky −K ′y‖2 = 〈Ky −K ′y, Ky −K ′y〉 = 0.

ii) Existencia. F posee n. r. K, si y solo si, para caday ∈ E, la funcional f 7→ f (y) es continua sobre todoel espacio de Hilbert F .

⇒ ] Sea y ∈ E y f ∈ F ,

|f (y)| = |〈f (·), K(·, y)〉|≤ ‖f‖‖K(·, y)‖.

Pero

‖K(·, y)‖ = 〈K(·, y), K(·, y)〉12 = K(y, y)

12 .

De modo que

|f (y)| ≤ K(y, y)12‖f‖,

lo cual implica que f 7→ f (y) es continua.

⇐ ] Si f 7→ f (y) es continua, entonces segun elteorema de representacion de Riesz, existe K(·, y)∈ F tal que

f (y) = 〈f (·), K(·, y)〉,

por tanto, este es el nucleo buscado.

9

‡Ejemplo.Los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.

El espacioLp([0, 1],B([0, 1]), λ), p ≥ 1, (donde B([0, 1])es la σ-algebra de Borel sobre [0, 1] y λ es la medida deLebesgue en este intervalo) no tiene nucleo reproductivo.

En efecto, si definimos la funcion δ0(x) = δ0x entonces

i) ‖δ0‖p = 0, y ademas

ii) 1 = |δ0(0)|p ≥ 0 = M‖δ0‖p, para toda M > 0.

Podemos concluir que, en general, los espacios Lp notienen nucleo reproductivo.

10

‡Ejemplo.Sea D ⊆ C abierto. Sea H2

D la clase de todas lasfunciones f : D → C armonicas tales que∫

D

|f (z)|2 dx dy <∞, (z = x + iy).

El espacio H2D, con producto

〈f, g〉 =

∫ ∫D

f (z)g(z)dxdy, z = x + iy,

es un subespacio cerrado de L2D con nucleo reproductivo.

|f (z0)| ≤ 1

(πr)2

∫ ∫Dz0(r)

|f (z)|dxdy

=1

(πr)2‖f‖(πr2)

12

=1

π3/2r‖f‖,

La funcional f 7→ f (z0) es entonces acotada y por ellocontinua, luego, existe el nucleo K para H2

D.

11

‡Un teorema Importante.Sea F un espacio de Hilbert de funciones F con n. r.K, fnn≥1 una sucesion de Cauchy (respecto a la norma‖ · ‖) en F y la funcion lımite f en F de dicha sucesion.Entonces

i) La sucesion fnn≥1 converge puntualmente a f , esdecir, si y ∈ E entonces lim

n→∞fn(y) = f (y).

ii) Si en algun subconjunto de E1 de E, la funcion x 7→K(x, x) es uniformemente acotada, entoncesesta convergencia es uniforme.

iii) Supongamos que en E es posible definir un topologıa.Si la transformacion y 7→ Ky de E en F escontinua, entonces la convergencia tambienes uniforme en cualquier subconjunto compacto de E.

12

♠ Matrices Definidas Positivas ynucleos reproductivos

‡Caso finito.Sea E = y1, ..., yN. Una funcion K : E ×E → F, de-termina una transformacion matricial por la matriz K =[K(yi, yj)]i,j. Tomemos un vector ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξN) ∈FN , si la forma cuadratica

ξKξt =

N∑i,j=1

K(yi, yj)ξiξj,

es no negativa y es nula solo si ξj = 0, para toda j =1, 2, ..., N , entonces decimos que la funcion K es una ma-triz definida positiva.

‡Caso general.Para cualquier conjunto E, la funcion K : E × E → Fse denomina matriz definida positiva, si para cualquiernumero finito de elementos y1, y2,...,yn de E, la formacuadratica

n∑i,j=1

K(yi, yj)ξiξj,

con ξj ∈ F, j = 1, 2, ..., n, es no negativa, y es nula solosi ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., n.

13

‡Un nucleo reproductivo es una matrizdefinida positiva.

0 ≤ ‖n∑j=1

K(·, yj)ξj‖2 =

n∑i,j=1

K(yi, yj)ξiξj.

‡Construccion de nucleos reproductivos a partir dematrices definidas positivas.

Consideremos la matriz definida positiva

K =

(2 11 3

).

Definimos E = 1, 2, y K : E × E → R tal que

K(x, y) =

2 si x = 1 = y,

1 si x 6= y,

3 si x = 2 = y.

EntoncesK =

[K(x, y)

]x,y∈E.

De modo que K es una matriz definida positiva.

14

Introducimos:

1. La clase F0 de funciones f : E → R,

f (x) = α1K(x, 1) + α2K(x, 2), αi ∈ R.

2. El producto

〈f, g〉0 =(β1 β2

)(2 11 3

)(α1

α2

)=

2∑x,y=1

K(y, x)αxβy.

3. La norma

‖f‖20 =

(α1 α2

)(2 11 3

)(α1

α2

).

Entonces

•) K es el nucleo reproductivo de F0.

(a) K(x, y) = δ1yK(x, 1) + δ2yK(x, 2) ∈ F0

(b) (Propiedad reproductiva)

〈f (·), K(·, y)〉0 =(δ1y δ2y

)(2 11 3

)(α1

α2

)= δ1y

(α1K(1, 1) + α2K(1, 2)

)+

δ2y

(α1K(2, 1) + α2K(2, 2)

)= f (y)

15

• •) Si fnn≥1 sucesion de Cauchy en F0 entonces fn(y)n≥1,y ∈ E, es sucesion de Cauchy en R.

|fn(y)− fm(y)| = |〈fn − fm, Ky〉0|≤ ‖fn − fm‖0My.

Definimos f (y) = limn→∞

fn(y).

Introducimos ahora la clase F de funciones lımite(puntual) de sucesiones de Cauchy en F0.

Entonces F0 ⊂ F .Ademas

1. 〈f, g〉 = limn→∞〈fn, gn〉0 y ‖f‖ = lim

n→∞‖fn‖0,

definen un producto interior y una norma sobre F .

Si fn(y)→ f (y) y f ′n(y)→ f (y), entonces

|〈fn, gn〉0 − 〈f ′n, gn〉0| ≤ ‖fn − f ′n‖0M,

por lo tanto

limn→∞〈fn, gn〉0 = lim

n→∞〈f ′n, gn〉0

2. La clase F es un espacio de Hilbert y K es el nucleoreproductivo de F .

〈f,Ky〉 = limn→∞〈fn, Ky〉0

= limn→∞

fn(y)

= f (y).

16

El espacio F es denotado por H(K) y llamado espaciode Hilbert generado por el nucleo K.

‡Aplicacion probabilıstica.Sea un T un conjunto de ındices arbitrario, entoncesun proceso estocastico sobre el espacio de probabilidad(Ω,F ,P) es una sucesion X = Xtt∈T de variablesaleatorias (funciones F -medibles) definidas sobre dichoespacio. Ademas, si ω ∈ Ω llamamos trayectoria de Xen ω a la funcion X·(ω) : T → R.

Si Xt es cuadrado integrable para toda t ∈ T , entoncesla matriz (conocida como matriz de covarianzas de X)K : T × T → R cuyos elementos son los numeros

K(t, s) = σts =

∫Ω

(Xt − µt)(Xs − µs) dP,

donde µr =

∫ω

Xr dP (esperanza de Xr), r = t, s, es

definida positiva (ademas simetrica).Si T es finito, pero separable, entonces todas las trayec-

torias del procesoX pertenecen al espacioH(K). (Puestoque H(K) es el espacio euclıdeo finito dimensional). Esdecir

P[X ∈ H(K)] = 1

17

Si T es no finito, y si R : T × T → R es alguna otramatriz definida positiva, puede probarse entonces que,bajo ciertas condiciones,

P[X ∈ H(R)] = 1 o P[X ∈ H(R)] = 0,

segun si el numero

τ = supn∈N

tr(KnRn),

es finito o infinito, donde Kn y Rn son las restriccionesde K y R, respectivamente, al subconjunto t1, ..., tn2,y t1, ..., tn ⊂ T0 para toda n ∈ N, y T0 subconjuntodenso numerable de T

18

‡Otras implicaciones teoricas.

1. Si la clase F de funciones f : E → F tiene nucleoreproductivo K, y E1 ⊂ E, entonces la matrizK1 : E1×E1 → F (i.e. la restriccion de K a E1×E1)es tambien una matriz definida positiva.

Entonces H(K1) es la clase de funciones f1 : E1 → Ftal que existe f ∈ F cuya restriccion a E1 es f1.

2. Si K1 y K2 corresponden como nucleos reproductivosa las clases F1 y F2, entonces K = K1 + K2 es unamatriz positiva, y H(K) es la clase que reune lasfunciones f = f1 + f2 (fi ∈ Fi, i = 1, 2).

En este caso, la correspondencia inversa de latransformacion (f1, f2) 7→ f = f1 + f2, dada porf 7→ (g1(f ), g2(f )), permite conocer facilmente elproducto interior y la norma de la clase F , los cualesestan dadas por las expresiones

‖f‖2 = ‖g1(f )‖21 + ‖g2(f )‖2

2, y

〈f, h〉 = 〈g1(f ), g1(h)〉1 + 〈g2(f ), g2(h)〉2.

19

‡Otra observacion probabilıstica.Si H(K) ⊆ H(R), entonces

‖g‖R ≤ ‖g‖K, ∀g ∈ H(K).

Ademas existe un operadorL : H(R)→ H(K) simetrico,positivo y acotado tal que

〈f, g〉R = 〈Lf, g〉K, ∀f ∈ H(R), ∀g ∈ H(K),

y ademasLRt = Kt, ∀t ∈ T.

L es llamado operador dominante, y se dice que el nucleoR domina al nucleo K.

Es posible probar que, si H(R) es separable, entonces

τ = trL.

20

♠ Otros resultados

‡Un teorema importante.Si F es un espacio de Hilbert de funciones definidas sobreun conjunto E con nucleo K, y ψii∈I (I subconjuntode ındices) es una base de F , entonces para todo x, y enE

K(x, y) =∑i∈I

ψi(x)ψj(y).

‡Ejemplo.Sea Hn la clase de funciones x : 1, ..., n → R, talque para x(i) = xi, para algun vector (xi, ..., xn) de Rn.Sobre esta clase,

〈x, y〉 =

n∑j=1

j2xjyj,

define un producto interno. Entonces, las funciones ei(j) =1iδji, i = 1, ..., n, son una base para Hn. Luego, el nucleoes

K(i, j) =1

ijδij

para todo i, j ∈ 1, ..., n.En general, si H es el conjunto de sucesiones xi∞i=1

tal que∑

i i2x2

i <∞, y H es la correspondiente clase de

21

funciones x : N → R (x = (x1, ...) ∈ H) con productointerior

〈x, y〉 =

∞∑i=1

i2xiyi,

entonces las funciones ei(j) = 1iδij, i ≥ 1, son una base

de H , y el nucleo es

K(i, j) =1

ijδij,

para i, j ≥ 1.