EJERCICIOS POTENCIAL ELÉCTRICO

Considere un plano infinito de densidad de carga superficial uniforme σ>0 normal al eje x de ecuación x=0. En ax se encuentra una carga puntual –q<0.

a)Encuentre el potencial eléctrico sobre el

eje x y entre la carga –q<0 y el origen

coordenado O

b)Una partícula de masa m y carga –e<0 se

ubica en el punto medio entre-q y O y se

deja libre. ¿Con qué energía cinética llega

la carga al plano?

a) El campo eléctrico generado por la

placa y la carga esta dado por:

El campo eléctrico generado entre O y

la carga –q en un punto a es:

b)A partir de la definición de

potencial eléctrico

Y a partir de la configuración del

problema se tiene que

El campo electrostático es conservativo,

eso indica que la energía potencial y

cinética se conservan, de manera que la

carga –e parte del reposo desde hacia

el plano.

La energía se conserva de manera que:

Considere una varilla delgada de densidad lineal λ y largo L. Encuentre su potencial eléctrico en todo el espacio que la rodea

Para este caso el potencial eléctrico esta

dado por:

Donde Ω representa todo el espacio y

Representan las posiciones del punto ( r ) y

de la varilla (x1), por tanto el potencial

toma la forma

1. Desarrollar la integral,

Extendiendo el resultado a la integral

Se obtiene que:

2. El potencial eléctrico es:

Considere una región esférica, de radio b, que tiene una distribución de carga uniforme ρ(r) = ρ0 para la región determinada por a<r<b y densidad nula para r<a. Determine el potencial electrostático en todo el espacio.

1.Calcular el campo eléctrico

producido por la distribución

completa para determinar el

potencial:

Recordando que el potencial es

igual a cero en el infinito

Este problema tiene simetría

esférica , de manera que,

donde es el vector en dirección

radial.

Para este problema se consideran 3

regiones:

I)r<a

II)a<r<b

III)r>b

I. r<a • En este caso el cascaron esférico de radio

r<a, y tiene un vector normal a esta

superficie que es paralelo a , de esta

manera es paralelo al vector normal ,

por lo que y así:

• Además, la carga en el interior de la

superficie es nula debido a que es un

conductor. Así que

Aplicando la ley de Gauss

Y por tanto para r<a

II. a<r<b

• Se considera un cascarón esférico de radio r,

donde

• Como la densidad de carga es constante

entonces, además

reescribiendo la cantidad de carga en

términos del volumen se tiene:

• Por la ley de Gauss:

III. r>b La carga almacenada en el

conductor es

Aplicando la ley de Gauss se tiene

Vectorialmente:

Campo eléctrico para todo el espacio

• Para determinar el potencial eléctrico es

necesario expresar el vector , para esto se

elige una línea recta que va desde el infinito

hasta una distancia r>b, así que:

El potencial eléctrico será

• Para el caso en que a<r<b,

• Descomponiendo en cada trayectoria, se tiene

• Evaluando la integral en r=b

• Evaluando la segunda integral

Para r<a tenemos 3 trayectorias

• Como el campo eléctrico es nulo para r<a,

entonces

• Así que el potencial será:

Calcular el campo eléctrico y el potencial en función de r para una distribución esférica de carda dada por la expresión:

Para desarrollar este tipo de distribuciones es mejor establecer zonas en las que el cálculo del campo eléctrico E sea más fácil. Para este caso se tienen 3 zonas:

1.R<a/2

2.a/2≤R ≤a

3.R>a

Luego de establecer esta distribución se calcula el campo eléctrico para cada zona

1. R< a/2

• En esta zona no existen cargas eléctricas por

tanto

• Sobre una superficie esférica de radio menor

que a/2 el campo es nulo y por tanto, el

potencial eléctrico es constante a lo largo de

toda la zona:

2. a/2≤R ≤a • Usando ley de gauss, se utiliza la simetría

esférica del problema y por eso se usa una

esfera que encierre la distribución de carga

• Obteniendo que:

• El campo eléctrico en estos límites viene en

dirección radial unitaria, además que esta

determinado en función de la distribución de

carga.

• Para determinar el potencial eléctrico en esta

distribución se tiene en cuenta que

y así

• Después de desarrollar la integral se obtiene

finalmente que:

3. R>a • Los límites de integración de la distancia para

este caso son a/2 y a, así que la expresión del

campo eléctrico es:

• Finalmente el campo eléctrico es:

Para este distribución se tiene que el potencial

eléctrico se calcula entre 0 e infinito, teniendo

en cuenta que el potencial en infinito es igual a

cero:

Obteniendo:

Sobre un disco plano de radio R se distribuye una carga superficial que varía radialmente:

Donde r es la distancia al centro del disco. Calcular el potencial y el campo en el eje perpendicular a su eje

A partir de la ecuación que define el potencial

d es la distancia al punto del eje en donde se

calcula el potencial:

La expresión para calcular el potencial eléctrico

toma la forma

(Expresando el área en coordenadas cilíndricas)

Como se determino primero el valor del

potencial eléctrico, se usa la definición de

gradiente para determinar el potencial eléctrico

E:

El campo eléctrico tiene dirección del eje z

debido a que en el planteamiento del problema

se establecía esta condición.

Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa conductora esférica con radio interior Ri y radio exterior R0. Determine E y V como función de la distancia radial R.

• Como es un problema de simetría esférica se

usa la ley de Gauss, para determinar primero

el campo eléctrico y luego el potencial

• Para la región 1: R <Ri

• Para la región 2: Ri<R<R0

Como el campo en el interior de un metal es

nulo, la carga en el interior de una superficie

interna de un metal se induce una carga –Q,

esto se produce por que la carga en el interior

del metal es nula, por eso en el área 1 aparecen

dos cargas +Q y –Q.

De manera que el campo eléctrico es:

• Para la región 3: R>R0

Para esta región tiene la misma forma

que en la región 1, por que la carga

encerrada por la superficie gaussiana

va a ser la misma (Q), para esta

superficie la carga es (Q-Q+Q=Q).

Para determinar el potencial eléctrico se

integra la expresión de campo eléctrico

comenzando desde la región 3 a la región

1, teniendo en cuenta la dirección del

potencial eléctrico.

• Para la región 3:

Para determinar el valor de la constante K se

tiene en cuenta que el potencial es cero cuando

r tiende a infinito

•Para la región 2:

Como el campo eléctrico es cero, entonces el

valor del potencial es uniforme, por la

continuidad del potencial toma el valor dela

región 3 haciendo R=R0

• Para la región 1:

Para hallar K, por continuidad del potencial, se

iguala el valor del potencial de la región 1 (Ri) al

de la región 2:

• De manera que el potencial en esta región es:

Suponga un tubo de cobre muy largo con radio exterior de 3cm y radio interior de 2cm que rodea una línea de carga de 6opC/m situada en su eje. Calcular:

a) E en r=1m, 2.5cm y 1.5 cm

b)La diferencia de potencial entre la superficie interior y la exterior del tubo

Usando la ley de Gauss se tiene que la mejor

superficie es un cilindro, donde el campo eléctrico es

perpendicular al eje

• Zona 1 :

• Zona 2: en el interior del conductor no hay

carga eléctrica, por tanto

• Zona 3:

El metal es neutro, de manera que la carga total

es nula, por esto se induce o aparece una carga

igual y opuesta a la del hilo en la superficie

interna, e igual a la del hilo en la superficie

externa. La carga encerrada por la superficie

gaussiana queda igual a la del hilo. Por lo que en

este caso el campo es el mismo que en la zona 1

• Como la diferencia de potencial en el

interior de un conductor es contante,

entonces la diferencia de potencial

en ambas caras es nula.

• Vba identifica la diferencia de

potencial en cada cara.

Considere dos conductores esféricos con radios b1 y b2 (b2>b1), conectados por un alambre conductor. Se deposita una carga total Q en las esferas. La distancia entre los conductores es muy grande en comparación con los radios de las esferas, de modo que las cargas en los conductores esféricos se distribuyen uniformemente. Calcular las densidades de carga superficial y las intensidades de campo eléctrico en la superficie de las esferas.

• La carga se distribuye uniformemente en la

superficie, el campo fuera de las esferas es el

mismo que el que produce una carga puntual

colocada en el centro con el mismo valor de la

carga respectiva. A partir del teorema de

Gauss, la primera superficie tiene radio φ

• Integrando el campo eléctrico, el potencial

fuera de las esferas es análogo al de una carga

puntual. Al ser conductoras, en la superficie

de las esferas se tiene que:

Entre las dos esferas hay una carga encerrada q

Como están unidas por un cable, el potencial en

ambas esferas es el mismo , asi que:

Y como , las cargas en cada una de las

superficies tienen las expresión:

Como la carga esta uniformemente distribuida

entonces se tiene que:

• A partir de los datos conocidos se tiene que:

• Finalmente el campo eléctrico es: