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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuacin de Bernoulli v 2 2 + P + gz = C Daniel Bernoulli, matemÆtico suizo (Groninga, 1700 - Basilea, 1782) May 18, 2020 Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Ecuaciones Diferenciales OrdinariasLa ecuación de Bernoulli

v2ρ2 + P + ρgz = C

Daniel Bernoulli, matemático suizo (Groninga, 1700 - Basilea, 1782)

May 18, 2020

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por loque para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuaciónentre yn resulta:

y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nuevavariable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

y−ny ′ =z′

−n + 1

Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

z′

−n + 1+ p(x)z = q(x),

es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 1

Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada:z′ = −2y−3y ′, de donde

y−3y ′ =z′

−2Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

z′

−2+ xz = x3

Normalizando esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (3)

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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Ejemplo 1. y ′ + xy = x3y3

Resolvamos esta ecuación lineal:

z′ − 2xz = −2x3 (4)

Aquí, p(x) = −2x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫−2x dx = e−x2

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(e−x2z)′ = −2x3e−x2

Integrando (por partes):

e−x2z = −

∫2x3e−x2

dx = x2e−x2+ e−x2

+ C = e−x2(x2 + 1) + C

Deshaciendo el cambio de variable:

e−x2y−2 = e−x2

(x2 + 1) + C

Finalmente,y−2 = x2 + 1 + Cex2

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 2

Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Esta ecuación no tiene el aspecto Bernoulli ni es de variables separables.Hagamos la siguiente transformación:

2x dy − y(x + 1) dx + 6y3 dx = 0

Dividamos entre dx :2xy ′ − (x + 1)y = −6y3

o bien

y ′ −12(1 +

1x)y = −

3x

y3

Notamos que es una ecuación de Bernoulli, con n = 3. Dividiendo entre y3

tendremos:

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2−

12(1 +

1x)z = −

3x

o, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =

∫6ex dx = 6ex + C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2−

12(1 +

1x)z = −

3x

o, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =

∫6ex dx = 6ex + C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2−

12(1 +

1x)z = −

3x

o, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =

∫6ex dx = 6ex + C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2−

12(1 +

1x)z = −

3x

o, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =

∫6ex dx = 6ex + C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2−

12(1 +

1x)z = −

3x

o, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =

∫6ex dx = 6ex + C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

y−3y ′ −12(1 +

1x)y−2 = −

3x

Se propone el cambio de variable z = y−2, con lo cual z′ = −2y−3y ′, teniéndosey−3y ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2−

12(1 +

1x)z = −

3x

o, equivalentemente,

z′ + (1 +1x)z =

6x

(5)

Aquí, p(x) = 1 + 1x , de manera que el factor de integración es:

µ(x) = e∫

1+ 1x dx = e(x+ln |x |) = xex

Multiplicamos la ecuación (4) por µ(x):

(xex z)′ =6x

xex

Integrando:

xex z =

∫6ex dx = 6ex + C

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Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex

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Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex

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Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex

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Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex

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Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex

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Ejemplo. y(6y2− x − 1) dx + 2x dy = 0, y(1) = 1

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos la solución general:

xex y−2 = 6ex + C

y despejando:

y−2 =6x+

Cxex

Para encontrar el valor de C utilizamos la condición inicial: y(1) = 1.Sustituimos en la solución general x = 1 y y = 1:

1 =61+

Ce, C = −5e

La solución buscada es

y−2 =6x+−5exex

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 3

Resolver la ecuación diferencial:

y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Esta ecuación no es de variables separables. Veamos si es de Bernoulli.Dividamos entre dx :

y2 + (xy − x3)y ′ = 0

Esta ecuación no tiene la forma de Bernoulli. Si mejor dividimos entre dy :

y2 dxdy

+ (xy − x3) = 0

es decir,y2 x ′ + (xy − x3) = 0

o sea es una ecuación de Bernoulli en x , con n = 3:

y2x ′ + yx = x3

En efecto:x ′ + y−1x = y−2x3

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Dividiendo entre x3:x−3x ′ + y−1x−2 = y−2

Se propone el cambio de variable z = x−2, con lo cual z′ = −2x−3x ′, teniéndosex−3x ′ = z′

−2 . Al sustituir:z′

−2+ y−1z = y−2

o, equivalentemente,z′ − 2y−1z = −2y−2 (6)

Tenemos que, p(y) = − 2y y el factor de integración es:

µ(y) = e∫−

2y dy = e−2 ln |y | = y−2

Multiplicamos la ecuación (6) por µ(y):

(y−2z)′ = −2y−4

Integrando:

y−2z =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

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Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Regresando a la variable x :

y−2x−2 =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

y despejando obtenemos la solución general:

x−2 =2

3y+ Cy2

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Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Regresando a la variable x :

y−2x−2 =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

y despejando obtenemos la solución general:

x−2 =2

3y+ Cy2

Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Regresando a la variable x :

y−2x−2 =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

y despejando obtenemos la solución general:

x−2 =2

3y+ Cy2

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Ejemplo. y2 dx + (xy − x3) dy = 0

Regresando a la variable x :

y−2x−2 =

∫−2y−4 dy =

23y3

+ C

y despejando obtenemos la solución general:

x−2 =2

3y+ Cy2

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

Ejemplo 4

Resolver la ecuación diferencial:

y ′ − y +√

y = 0

Esta ecuación tiene la forma de Bernoulli. en y , con n = 12 :

y ′ − y = −√

y

Dividiendo entre y12 :

y−12 y ′ − y

12 = −1

Hacemos el cambio de variable z = y12 , con lo cual z′ = 1

2 y−12 y ′, de donde

y−12 y ′ = 2z′. Sustituyendo:

2z′ − z = −1

o, equivalentemente,

z′ −12

z = −12

(7)

Tenemos que, p(x) = − 12 y el factor de integración es:

µ(x) = e∫−

12 dx = e−

12 x

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo y ′ − y +√

y = 0

Multiplicamos la ecuación z′ − 12 z = − 1

2 por µ(x) = e−12 x :

(e−12 x z)′ = −

12

e−12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C

Regresando a la variable y :

e−12 x y

12 = e−

12 x + C

y despejando obtenemos:

La solución general

y = (1 + Ce12 x)2

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo y ′ − y +√

y = 0

Multiplicamos la ecuación z′ − 12 z = − 1

2 por µ(x) = e−12 x :

(e−12 x z)′ = −

12

e−12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C

Regresando a la variable y :

e−12 x y

12 = e−

12 x + C

y despejando obtenemos:

La solución general

y = (1 + Ce12 x)2

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo y ′ − y +√

y = 0

Multiplicamos la ecuación z′ − 12 z = − 1

2 por µ(x) = e−12 x :

(e−12 x z)′ = −

12

e−12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C

Regresando a la variable y :

e−12 x y

12 = e−

12 x + C

y despejando obtenemos:

La solución general

y = (1 + Ce12 x)2

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo y ′ − y +√

y = 0

Multiplicamos la ecuación z′ − 12 z = − 1

2 por µ(x) = e−12 x :

(e−12 x z)′ = −

12

e−12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C

Regresando a la variable y :

e−12 x y

12 = e−

12 x + C

y despejando obtenemos:

La solución general

y = (1 + Ce12 x)2

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La Ecuación de Bernoulli. Ejemplo y ′ − y +√

y = 0

Multiplicamos la ecuación z′ − 12 z = − 1

2 por µ(x) = e−12 x :

(e−12 x z)′ = −

12

e−12 x

Integrando:

e−12 x z = −

∫12

e−12 x dx = e−

12 x + C

Regresando a la variable y :

e−12 x y

12 = e−

12 x + C

y despejando obtenemos:

La solución general

y = (1 + Ce12 x)2

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