Das - informatik.uni-bremen.deautexier/talks/RingvorlesungMathematik07.pdf · Heuristik en) V erw...

38
Ω Ω Ω

Transcript of Das - informatik.uni-bremen.deautexier/talks/RingvorlesungMathematik07.pdf · Heuristik en) V erw...

Das Beweisassistenzsystem ΩmegaSerge Autexier122. Juni 20071Joint work with the Ωmega GroupAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Zielsetzungen für einBeweisassistenzsystem (BA) Unterstützung fürMathematiker/Wissens haftler/Software-Entwi kler in derTheoriebildung und insbesondere bei der Beweisführung Gründe:

Verizierbare Formalisierungen und Beweise Mehrwerte dur h mas hinelle Unterstützung:

Übernahme von Routineaufgaben bei Beweisen Organisation/Handhabung von groÿen komplexen Beweisen(z.B. Kepler Vermutung dur h T. Hales) Semantik-basierte Su he na h math. Konzepten . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

HerangehensweisenBottom-up Vorgehen: Logik, Kalkül, und immer neue Komponenten daraufaufbauen Honung, daÿ man irgendwann ein Gesamtsystem hat,dass Benutzer gerne verwenden wollen Klassis he herangehensweise Am Beispiel von ΩmegaTop-down Vorgehen: Beginn mit System, das ein Benutzer verwendet Füge Funktionalitäten eines BAs hinzu Am Beispiel der Integration von Ωmega in denTexteditor TEXma sAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

1 Bottom-Up Konstruktion eines BALogik & BeweiskalküleBeweiskonstruktionKomponenten des Ωmega SystemsAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Formelsyntax undBeweiskonstruktionsvors hirftenFrege, Russell, Hilbert Prädikatenkalkül und Typentheorie alsformale Basis für die Mathematik: + : N × N → N

∀x , y , z : N.(x + (y + z)) = ((x + y) + z)Gentzen Kalkül des Natürli hen S hlieÿens (ND)ND-Regeln (Bsp.) ND-Beweis für (A ∧ B) ⇒ (B ∧ (C ∨ A))A BA ∧ B ∧IA ∧ BA ∧ElA ∧ BB ∧ErA⇒ B AB mp[A]1....BA⇒ B ⇒I 1. . . usw. . . .

[A ∧ B]1B ∧Er [A ∧B]1A ∧ElC ∨ A ∨IrB ∧ (C ∨A)∧I

(A ∧ B) ⇒ (B ∧ (C ∨ A))⇒ I 1Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Mas hinennahe KalküleRobinson (1965): Resolutionskalkül Grundlage für Automatisierung Nur zwei S hlussregeln Formeln müssen erst in Normalform transformiert werden

Bild: Jörg SiekmannAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Mas hinennahe KalküleProblemeingabe Beweisausgabe

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Faktenebenen Beweise in ΩmegaFakten Axiome Denitionen Theoreme/Korollare/LemmataFakten als InferenzregelnTransitivität von ⊆:A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C ⇒

A ⊆ B B ⊆ CA ⊆ C Trans. ⊆Anwendung auf TeilformelnAnwendung von Inferenzre-geln auf Teilformeln P ⇒ (A ⊆ B) ⊢ Q ⇒ (A ⊆ C )P ⇒ (A ⊆ B) ⊢ Q ⇒ (P ∧ (B ⊆ C ))Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

Methode1 Methode2 Methode3

Beispielbeweismethoden: Diagonalisierungsprinzip,Induktionsbeweis + heuristis he SteuerungAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

Methode2 Methode3

Beweisverfeinerung (Expansion) über meherer Ebenen . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

Methode2 Methode3Abs hliessende Verikationauf unterster Ebene mitBasisinferenzregelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweiskonstruktion IAutomatis he Beweissu he Beweissu he auf Ebene der Inferenzen (Ordnungen,Heuristiken) Verwendung externer Systeme und Transformation der Beweise(i. A. s hwierig) Beweisplanung: Domänenspezis hes S hlieÿen aufabstrakterer Ebene

Exp

ansio

n

Ab

stra

ctio

n

Abstract Proof Plan

Assertion-level Proof

Beweis simultan auf vers hiedenenGranularitätsstufenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweiskonstruktion IIInteraktive Beweiskonstruktion Anwendung einzelner S hritte, Verwendung von automatis henProzeduren und externen Beweissystemen BeweisskizzenVerwendung von CAS Bere hnungen werden gebrau ht, aber s hle ht unterstütztdur h Logikkalküle Verwendung von externen CAS Problem: BA brau ht Beweis für die Bere hnungAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Komponenten des Ωmega Systems

MathematicalServices

daVinci

V2.

1

inst−54

union−53

TransitiveRelation

inst−32

union−31

Relation

union−25

inst−26

ReflexiveRelation

union−55

inst−56

union−57

PreOrder

union−59

inst−60

PartialOrder

union−82

inst−83

union−84

inst−86

union−85

inst−90

basic−89

SigOrder

basic−51

union−50

basic−49

basic−110

inst−111

inst−108

union−107

BooleanAlgebra

union−104

inst−105

union−106

inst−130

union−129

ExtBooleanAlgebra

basic−112

basic−109

inst−120

union−119

inst−121

inst−116

union−115

inst−118

union−117

RichBooleanAlgebra

ExtPartialOrder

basic−87

inst−100

union−99

inst−101

inst−96

union−95

TotalOrder

inst−63

union−62

union−92

inst−93

union−94

inst−127

union−126

ExtTotalOrder

basic−97

RichTotalOrder

union−75

inst−76

inst−78

union−77

Rat

basic−21

inst−20

union−19

Int

basic−16

inst−15

union−14

Nat

basic−11

union−67

inst−68

inst−66

union−65

union−72

inst−73

inst−71

union−70

inst−124

union−123

RichPartialOrder

union−46

inst−47

EquivalenceRelation

inst−45

union−44

PartialEquivalenceRelation

inst−42

union−41

SymmetricRelation

inst−29

union−28

union−34

inst−35

SimilarityRelation

inst−37

union−36

inst−40

union−39

DevelopmentGraph

Agent−orientedTheoremProving

ComputationTransformation

RetrievalAssertion

Learning

DeveloperGUI

Task Layer

ConstraintSolver

MathematicalRepositoriesProof

Verbalization

LOUI

OANTS

MULTI

LEARNOMATIC

SAPPER

MATHSERV

COSIE

OANTS−R

MBASE

PREX

MAYA

Knowledge−basedProof Planning

CORE

PLATO

MEDIATOR

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Graphis he Benutzers hnittstelle

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Komponenten des Ωmega Systems

MathematicalServices

daVinci

V2.

1

inst−54

union−53

TransitiveRelation

inst−32

union−31

Relation

union−25

inst−26

ReflexiveRelation

union−55

inst−56

union−57

PreOrder

union−59

inst−60

PartialOrder

union−82

inst−83

union−84

inst−86

union−85

inst−90

basic−89

SigOrder

basic−51

union−50

basic−49

basic−110

inst−111

inst−108

union−107

BooleanAlgebra

union−104

inst−105

union−106

inst−130

union−129

ExtBooleanAlgebra

basic−112

basic−109

inst−120

union−119

inst−121

inst−116

union−115

inst−118

union−117

RichBooleanAlgebra

ExtPartialOrder

basic−87

inst−100

union−99

inst−101

inst−96

union−95

TotalOrder

inst−63

union−62

union−92

inst−93

union−94

inst−127

union−126

ExtTotalOrder

basic−97

RichTotalOrder

union−75

inst−76

inst−78

union−77

Rat

basic−21

inst−20

union−19

Int

basic−16

inst−15

union−14

Nat

basic−11

union−67

inst−68

inst−66

union−65

union−72

inst−73

inst−71

union−70

inst−124

union−123

RichPartialOrder

union−46

inst−47

EquivalenceRelation

inst−45

union−44

PartialEquivalenceRelation

inst−42

union−41

SymmetricRelation

inst−29

union−28

union−34

inst−35

SimilarityRelation

inst−37

union−36

inst−40

union−39

DevelopmentGraph

Agent−orientedTheoremProving

ComputationTransformation

RetrievalAssertion

Learning

DeveloperGUI

Task Layer

ConstraintSolver

MathematicalRepositoriesProof

Verbalization

LOUI

OANTS

MULTI

LEARNOMATIC

SAPPER

MATHSERV

COSIE

OANTS−R

MBASE

PREX

MAYA

Knowledge−basedProof Planning

CORE

PLATO

MEDIATOR

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweispräsentation in natürli herSpra he

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

2 Top-down Konstruktion eines BADer wissens haftli he Texteditor TEXma sIntegration von Ωmega und TEXma sVerfügbare und geplante FunktionalitätenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Zielsetzung Die Dienste des BA dort anzubieten, wo sie gebrau ht werden Analogie: Grammatikprüfer, nur interaktiv Autoren von Dokumenten sollten ni ht Eigenheiten des BAlernen müssen, um diese nutzen zu können Das BA soll si h dem Benutzer anpassen, ni ht umgekehrt Leitgedanke für Integration von Ωmega in TEXma s

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

TEXma s what-you-see-is-what-you-get Paradigma Struktureditor, gute Unterstützung für math. Formeln Kongurierbar

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beispieldokument

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweisunterstützung

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweisunterstützung

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Beweisunterstützung

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Was muÿ der Autor ma hen? Annotationen am Text in Form von Ma rosDenition (Fun tion ∈)The predi ate ∈elem×set→bool takes an individual and a set and tellswhether that individual belongs to this set.\begindefinition[Fun tion $\in$The predi ate \ on ept\inelem \times set \rightarrow booltakes an individual and a set and tells whether thatindividual belongs to this set.\enddefinition Muss für alle Semantik-tragenden Teile angegeben werden:Theorien, Denitionen, Theorem, Beweise, Beweiss hritte, . . . Ausnahme: FormelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Was muÿ der Autor ma hen? Annotationen am Text in Form von Ma rosDenition (Fun tion ∈)The predi ate ∈elem×set→bool takes an individual and a set and tellswhether that individual belongs to this set.\begindefinition[Fun tion $\in$The predi ate \ on ept\inelem \times set \rightarrow booltakes an individual and a set and tells whether thatindividual belongs to this set.\enddefinition Muss für alle Semantik-tragenden Teile angegeben werden:Theorien, Denitionen, Theorem, Beweise, Beweiss hritte, . . . Ausnahme: FormelnAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Eingabe von FormelnNotation (Fun tion ∈)Let x be an individual and A a set, then we write x ∈ A,x is element of A, x is in A or A ontains x.\beginnotation[Fun tion $\in$Let \de larex be an individual and \de lareA a set,then we write \denotex \in A, \denotex is element of A,\denotex is in A or \denoteA ontains x.\endnotationExampleAllows to write the inline formulas x is element of (A ∪ B) as wellas ∀y .y ∈ (A ∪ B) in formulas.But not: x and y are element of (A ∪ B).Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Integration mit Ωmega

Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Verfügbare und geplanteFunktionalitäten IAllgemeine Eigens haften Sind alle verwendeten Konzepte deniert? Sind die vereinbarten Notationen eingehalten worde? Verwaltung der Notationen Verwendung von Theorien aus anderen Dokumenten(Semantik + Notation) Semantis hes ZitierenSpeziell für Beweise In einem oenen Teilbeweis: Was sind mögli he nä hsteBeweiss hritte? Aufruf der automatis hen Beweissu hverfahren auf einemoenen BeweiszielAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Verfügbare und geplanteFunktionalitäten II Automatis h gefundene (Teil-)Beweise werden

automatis h in das TEXma s-Dokument integriert für Formeln wird die eingeführte Notation verwendet

Ist der Beweis fertig? Ist der Beweis korrekt? Ist der angegebene Beweis ein Beweis für das Theorem? Kollaboratives Arbeiten

Vorauss hau für Eekte von Änderungen Lo king-Me hanismus um semantis he Aspekte zu s hützen

Manuelles annotieren reduzieren dur h Textanalyse-VerfahrenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Zusammenfassung/Ausbli k Ein BA bottom-up zu bauen umfasst vielfältige Aspekte(ähnli h wie ein CAS)

Logik, Kalküle, Repräsentation, Verwendung und Lernen vonBeweissu hwissen, Organisation der automat. Beweissu he Verwaltung von mathematis hen Wissen, . . .

Top-down Vorgehen orientiert si h an Wüns hen des Anwenders bringt zusätzli he Aspekte:

Granularität von Beweisen Textanalyse und Textgenerierung Verwaltung von Abhängigkeiten in Dokumenten Mehrwerte für Autoren da Semantik von Dokumentenmas hinell verarbeitbar(Su he, Extraktion, Reformulierung, . . . )Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

Die Ωmega Gruppe Serge Autexier Christoph Benzmüller Dominik Dietri h Andreas Franke Henri Lesourd Marvin S hiller Ewaryst S hulz Jörg Siekmann Mar Wagner+ StudentenAutexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega

In eigener Sa he. . . Top-down Vorgehen orientiertsi h an dem was gebrau ht wird Wir können uns alles mögli hevorstellen, aber . . . . . . was wird tatsä hli hgebrau ht? Hilfrei h typis he Abäufe zukennen

Artikel, (Lehr-)Bü her oder Folien zu erstellen (alleine, zusammen mitanderen, Wiederverwendung von Teilen aus anderen Dokumenten, . . . ) Wir su hen: Leute, die gerne mal ausprobieren ihre Texte damit zus hreiben, um feedba k zu bekommen, was gut ist, was unzumutbar ist,was brau hbar wäre, . . .Autexier DFKI GmbH & Saarland UniversityDas Beweisassistenzsystem Ωmega