Capítulo 3 cd

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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007 3 Medidas de posición o de tendencia central EJERCICIOS RESUELTOS MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución: i Y i n ' ' i Z i i n Z ' ' 10 6 -2 -12 20 10 -1 -10 y 30 18 0 0 40 10 1 10 50 6 2 12 Σ 50 - 0 i X i f ' i d i i f d ' C Z Z i ' ' ' ' = i A X d i i - = ' n n Z C O y i i t ' ' + = = t O A 30 = 30 ) 0 ( 10 30 = = y 30 ' = + = n f d i A X i i NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la Media se localiza en el centro de la distribución

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3 Medidas de

posición o de tendencia central

EJERCICIOS RESUELTOS

MEDIA ARITMÉTICA 1. Solución:

iY in ''iZ ii nZ ''

10 6 -2 -12 20 10 -1 -10

→y 30 18 0 0

40 10 1 10 50 6 2 12

Σ 50 - 0

iX if 'id ii fd '

CZ

Z i''

''∑=

iAX

d ii

−='

n

nZCOy ii

t

''∑+= =tO A 30= 30)0(1030 =+=y

30'

=

+= ∑

n

fdiAX ii NOTA: en una distribución SIMÉTRICA como la del ejercicio, la

Media se localiza en el centro de la distribución

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2

2. Solución:

2.1 26.14150063.7 ==

Σ=

nx

x i

2.2 m = 1 + 3,3 log 50 = 6,61 (6 o 7); 717,66

123160 ≅=−=C

''

1 ii yy −− in iy ii ny ih ii hy iZ ii nZ

120,1 – 127 4 123,5 494,0 0,08 9,88 -16,8 -67,2 127,1 – 134 9 130,5 1.174,5 0,18 23,49 -9,8 -88,2 134,1 – 141 13 137,5 1.787,5 0,26 35,75 -2,8 -36,4 141,1 – 148 15 144,5 2.167,5 0,30 43,35 4,2 63,0 148,1 – 155 5 151,5 757,5 0,10 15,15 11,2 56,0 155,1 – 162 4 158,5 634,0 0,08 12,68 18,2 72,8

Σ 50 - 7.015,0 1,00 140,30 - 0

''1 ii XX −− if iX ii fX

nf i

i

ii n

fX id ii fd

Nuevo rango = 162 – 120 = 42 2.3

(a) nny

y iiΣ=

nfX

X iiΣ= 3,140

50015.7 ==y

(b) ii hyy Σ= ( )nfXX ii /Σ= 3,140=y

(c) ( ) 0=−Σ=Σ iiii nyynZ 0=Σ ii fd (Ver última columna)

(d) nnZ

COy iit

''∑+=

nfd

AX ii∑+=

tii OyZ −=' AXd ii −=

150=tO 150=A

−+=

50485150y

'iZ in

ii nZ ' -26,5 4 -106,0 -19,5 9 -175,5 -12,5 13 -162,5 -5,5 15 -82,5 1,5 5 7,5 8,5 4 34,0 Σ 50 -485,0

AX i − if ii fd

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3

3,1407,9150 =−=y 3,140=X Cuando: AOt == 134

+=

50315134y

3,1403,6134 =+=y 3,140=X 2.4

'iZ ''

iZ in ii nZ '' 3,5 0,5 4 2,0 10,5 1,5 9 13,5 17,5 2,5 13 32,5 24,5 3,5 15 52,5 31,5 4,5 5 22,5 38,5 5,5 4 22,0

Σ - 50 145,0

AX i − 'id if ii fd '

n

nZcOy ii

t

''∑+=

+= ∑

nfd

iAX ii'

cZ

Z ii

''' =

i

AXd i

i

−='

tii OyZ −=' AXd ii −= Cuando:

120=tO 120=A

+=

501457120y 3,140=X

ti oy − in iti noy )( −

-10,5 4 -42,0 -3,5 9 -31,5 3,5 13 45,5

10,5 15 157,5 17,5 5 87,5 24,5 4 98,0 Σ 50 315,0

AX i − if ii fd

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4

( ) 3,1409,27120 =+=y Cuando 162=tO

n

nZcOy ii

t

''∑+=

−+=

501557162y

( )1,37162 −+=y 3,1407,21162 =−=y 162=A

+= ∑

nfd

iAX ii'

3,140=X 2.5 Este punto se deja para que sea solucionado por el estudiante 3. Solución: a) Primera submuestra b) Segunda submuestra

923,1321 =Σ

=n

nyy ii 291,148

22 =

Σ=

nny

y ii

923,13226456.3

1 ==y 29,14824

0,559.32 ==y

'iZ ''

iZ in ii nZ ''

-38,5 -5,5 4 -22,0 -31,0 -4,5 9 -40,5 -24,5 -3,5 13 -45,5 -17,5 -2,5 15 -37,5 -10,5 -1,5 5 -7,5 -3,5 -0,5 4 -2,0 Σ - 50 -155,0

AX i − 'id if ii fd '

iy in ii ny

123,5 4 494,0 130,5 9 1.174,5 137,5 13 1.787,5

Σ 26 3.456,0

iX if ii fX

iy in ii ny

144,5 15 2.167,5 151,5 5 757,5 158,5 4 634,0

Σ 24 3.559,0

iX if ii fX

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923,1321 =Σ

=n

fXX ii

+=

iwwXwX

X 211 291,1482 =Σ

=n

fXX ii

nfXfX

X 2211 += 21

2211

nn

nynyy

++= 3,140

2426

)24(291,148)26(923,132 =++=

b) [ ] xKM KX = [ ] 6,280)3,140(2 ==KXM

La propiedad se refiere a: “La media aritmética del producto de una constante por una variable es igual a la media de la variable, multiplicado por la constante”.

iy Kyi in ii nKy

123,5 247 4 988 130,5 261 9 2.349 137,5 275 13 3.575 144,5 289 15 4.335 151,5 303 5 1.515 158,5 317 4 1.268 Σ - 50 14.030

iX iKX if ii fKX

[ ] [ ] ⇒= YKY KMM [ ] [ ]XKX KMM =

[ ] ⇒= yKM KY [ ] XKM KX =

[ ] ( ) 60,28030,1402 ==KYM

[ ] 60,28050030.14 ==KYM

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4. Solución

∑=

7

1

'

iid = 7

7

1

' =∑=i

iZ 55=tO 10=C 11040

765

7

5=++=∑

=hhhh

ii

55=A 10=i 11040765

7

5=++=∑

= nf

nf

nf

i

11040

765

7

5=++=∑

=hhhh

ii

11040765

7

5=++=∑

= nn

nn

nn

i

110=n 40765 =++ nnn 401155 =++n 2416405 =−=n

Otra solución posible:

17

1=∑

=iih

=++

=++

11040

11040

765

321

hhh

hhh

11030

4 =h

44321 11070 Hhhhh ==+++

nN

H 44 = 110

6363,070

4

4 ===NH

n

Por este método permite encontrar, que n puede ser cualquier valor diferente a 110.

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''1 ii yy −− iy in iN ii ny ''

iZ 'iZ ii nZ ' ii nZ ''

30,1 – 40 35 1 1 35 -2 -20 -20 -2 40,1 – 50 45 15 16 675 -1 -10 -150 -15

50,1 – 60 55 24 40 1.320 0 0 270.1170−

12717−

60,1 – 70 65 30 70 1.950 1 10 300 30 70,1 – 80 75 24 94 1.800 2 20 480 48 80,1 – 90 85 15 109 1.275 3 30 450 45 90,1 – 100 95 1 110 95 4 40 40 4

Σ - 110 - 7.150 7 - 1.100 110 ''

1 ii XX −− iX if iN ii fX 'id id ii fd ii fd '

Calculamos la media aritmética, aplicando algunas fórmulas ya vistas

a) nny

y iiΣ= 65

110

150.7 == 65=Σ=n

fXX ii

b) nnZ

Oy iit

'∑+= 651055

110

100.155 =+=+= 65=+= ∑

n

fdAX ii

c) nnZ

cOy iit

''∑+= 651055

110

1101055 =+=

+= 65'

=

+= ∑

nfd

iAX ii

NOTA: Como la distribución es SIMETRICA, la media ubica en la mitad de la variable (marcas de clase) 5. Solución:

''1 ii yy −− iN iy in ii ny ''

iZ ii nZ '' 'iZ ''

iZ ii nZ '' 6,1 – 12 8 9 8 72 -3 -24 -21 -3,5 -28,0

12,1 – 18 12 15 4 60 -2 -8 -15 -2,5 -10,0 18,1 – 24 40 21 28 588 -1 -28 -9 -1,5 -42,0

24,1 – 30 70 27 30 810 0 4060− -3 -0,5 -15,0

30,1 – 36 90 33 20 660 1 20 3 0,5 10,0 36,1 – 42 100 39 10 390 2 20 9 1,5 15,0 Σ - - 100 2.580 - -20 0 0 -70,0

''1 ii XX −− iN iX if ii fX 'id ii fd ' id 'id ii fd '

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a) n

nyy iiΣ

= 80,25100

580.2 ==

nnZ

cOy iit

''∑+= 80,25

100

12027

100

20627 =

−=

−+=

80,25=Σ=n

fXX ii 80,25

'

=

+= ∑

nfd

iAX ii 27=A

b) 80,2510042030

10070630 =

−=

−+=y 80,25=y =tO A 30=

6. Solución:

751 =n 100=n 6,521 =x 252 =n 4,482 =x

( ) ( )galonesx 55,51

100254,48756,52 =+=

7. Solución:

500=n 1501 =n 3502 =n 57,1=x 52,11 =x

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )500

35015052,157,1 2x+

= ∑

+=

iwwxwx

X 2211

( ) 235022850057,1 x+=

mediaestaturadeMtsx 59,1350

2287852 ==−

8. Solución:

200=n ?1 =n ?2 =n 20021 =+ nn 21 200 nn −=

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96,160=x 4,1631 =x 3,1572 =x

2003,1574,163

96,160 21 nn += ; ( ) 22 3,1572004,163192.32 nn +−=

22 3,1574,163680.32192.32 nn +−= 4881,6 2 =n

801,6

4882 ==n Estudiantes

120802001 =−=n Estudiantes 9. Solución:

?=n 271 =n ?2 =n 98,60=x 30,571 =x 30,652 =x

( )

2

2

273,65273,57

98,60n

n++=

22 3,651,547.198,6046,646.1 nn +=+ 232,436,99 n= 232 =n Estudiantes 10. Solución:

45=n 201 =n 252 =n 55=x 4,481 =x ?2 =x

( ) ( )

4525204,48

55 2x+=

225968475.2 x+= 28,602 =x Puntos

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11. Solución:

100=n 401 =n 602 =n 3,186=x ?1 =x 1012 −= xx

( ) ( )

100106040

3,186 11 −+=

xx

( )

1006006040

3,186 11 −+=

xx

6006040630.18 11 −+= xx

30,192100

230.191 == x

30,1821030,1922 =−=x Libras 12. Solución:

91=n 21 nn = 513 −= nn 3,69=x 4,701 =x 2,642 =x ?3 =x

91321 =++ nnn

( ) 9152 11 =−+ nn

9153 1 =−n

963 1 =n 32396

1 ==n 322 =n 273 =n

( ) ( )

9127322,64324,70

3,69 3x++= ; 04,74

271,999.1

3 ==x Promedio de calificación

13. Solución:

000.920=x 000.9701 =x 000.8402 =x ?1 =h ?2 =h

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nnxnx

x 2211 += 2211 hxhxx += 211 hh += 21 1 hh −=

( ) 2221 1 hxhxx +−= ( ) 22 000.8401000.970000.920 hh +−=

22 000.840000.970000.970000.920 hh +−= 000.50000.130 2 =h

%46,383846,0000.130000.50

2 ===h Hombres %54,616154,0000.130000.80

1 ===h Mujeres

14. Solución:

000.938=x 000.78=K [ ] xKM XK +=+

000.016.1000.938000.78 =+=+ xK Salario promedio

15. Solución:

0,70=x 4,681 =x 2,712 =x ?1 =n ?2 =n

21

21 2,714,6870

nnnn

++= → 2121 2,714,687070 nnnn +=+

2211 702,714,6870 nnnn −=− 21 2,16,1 nn =

75,06,12,1

2

1 ==nn

Es la relación

16. Solución:

351 =n 152 =n 50=n ?=x

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5,171 =x 85,3100225,17 =× 112 %22 xxx −= ; 65,1385,35,172 =−=x

nnxnx

x 2211 +=

( ) ( )

345,1650

75,2045,61250

1565,13355,17 =+=+=x Edad media del curso

17. Solución:

100=n ?1 =n ?2 =n 10021 =+ nn 21 100 nn −=

750.18=x 580.171 =x 780.192 =x

100780.19580.17

750.18 21 nn +=

( ) ( ) 22 780.19100580.17100750.18 nn +−=

22 780.19580.17000.758.1000.875.1 nn +−=

53200.2000.117

2 ==n Artículos 471 =n Artículos

18. Solución:

ii hyy Σ= 15,18=

( )nfxx ii /Σ= 15,18= Promedio de empleados por sucursal

iy ih ii hy

17 0,10 1,70 18 0,65 11,70 19 0,25 4,75 Σ 1,00 18,15

iX nf i / ( )nfX ii

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19. Solución:

nx

x iΣ= b) 000.83=x a)

51810180.5 ==x

800.51$

800.314$000.180000.83800.51 =++=x

Costo total promedio mensual

c) 18010

800.1 ==y

000.180$ 20. Solución:

ix

560 640 380 600 420 280 550 700 420 630

5.180

''1 ii yy −− in iy ii ny

80,1 – 120 1 100 100 120,1 – 160 3 140 420 160,1 – 200 2 180 360 200,1 – 240 3 220 660 240,1 – 280 1 260 260

Σ 10 - 1.800 ''

1 ii XX −− if iX ii fX

iy in ii ny

500 10 5.000 600 16 9.600 700 35 24.500 800 26 20.800 900 13 11.700 Σ 100 71.600

iX if ii fX

iy + 7% iy +49

535

642

749 →← igual

856 favorable

963

549 favorable

649

749

849

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21. Solución: a) Falso b) Falso c) Falso d) Falso (no puede ser mayor a 1) Se le deja al alumno investigar el por qué 22. Solución:

a) ( )

2

2

254,68,325

8,5n

n++=

( ) ( ) 22 4,68,3258,5258,5 nn +=+ 22 4,6958,5145 nn +=+ 22 8,54,695145 nn −=− 26,050 n=

836,0

502 ==n (Redondeamos)

108258312 =+=+ nn Cierto, el curso tiene más de 90 alumnos.

949

iy in iH – – – – – – – – –

4y – _3,0

=

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b) 7,06 =H 3,04 =H %40/ciertoR 4,03,07,046 =−=− HH

c) Siendo: 321 nnn == 321 fff == es falso

000.7513

000.864000.754000.635 =++=x

000.754000.751 ≠ Siendo: 321 nnn ≠≠ puede ser posible. Cuando 321 nnn == no es posible.

000.254000.864000.754000.635 321 =

++=

n

nnnx

(Procedimiento válido cuando 321 nnn ≠≠ 321 fff ≠≠ ) d) Falso. En el cálculo de la media geométrica no se necesita de la amplitud. e) 75% Hombres empleados públicos 81% Hombres sector privado

%100%25 Mujeres empleados públicos

%100%19 Mujeres sector privado

%22244

21925 ==+=x Mujeres en ambos sectores (Cierto)

– –

6y – – – – – – –

iX iX

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f) Cierto. Si normalmente %100o1∑ =ih , al multiplicar la frecuencia relativa por 2 nos queda: ∑ = 22 ih ; ∑ == %20000,2ih por lo tanto la media se duplica. 23. Solución: a) Cierto b) Falso c) Cierto 24. Solución: a) El total de apartamentos de esa urbanización b) Los 50 apartamentos de esa urbanización c) Tiempo de permanencia del aroma d) Tiempo: horas, minutos, segundos, corresponde a una variable continua. e)

nny

y iiΣ= 1,6

50305 ==y Horas

n

fXX iiΣ= 1,6= Horas

f) Se le deja al estudiante la elaboración de la gráfica. 25. Solución: 000.655=x Para el conjunto de personal se tiene: a) Un aumento de 400.707$)08,1(000.655%8 ==⇒ x También se puede resolver: [ ] 400.707$000.655400.52 =+=+ XKM

iy in ii ny

3 3 9 4 7 28 5 10 50 6 16 96 8 9 72

10 5 50 Σ 50 305

iX if ii fX

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400.52$08,0000.655 =× correspondiente al aumento del 8% b) Un aumento del 750.687$)05,1(000.655%5 ==⇒ x [ ] 750.687$000.655750.32 =+=+=+ xKM XK

Para el grupo es más conveniente la primera alternativa del 8% de aumento. 26. Solución: 000.752$000.90000.662)000.330(000.662 =+=×+=x Será el nuevo promedio de salario mensual. 27. Solución:

a) nx

x iΣ= %075,8

46,43,98,56,12 =+++=x Es el margen de utilidad

b)

nny

y iiΣ= 0937,0

000.562653.52 ==⇒ y

0937,0=Σ=n

fXX ii

El margen de utilidad es del 9,37%

c) La más representativa es 9,37% y no de 8,075% dado que es ponderada, teniendo en cuenta la totalidad de las ventas por cada línea de producto. 28. Solución:

a) nx

x iΣ= %475,1

49,5

44,16,21,18,0 ==+++=⇒ x

iy in ii ny

0,126 214.000 26.964 0,058 90.000 5.220 0,093 183.000 17.019 0,046 75.000 3.450 Σ 562.000 52.653

iX if ii fX

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Porcentaje de artículos defectuosos. Este cálculo se hace para que el alumno note la diferencia con la media ponderada b)

n

nyy iiΣ

=

n

fXX iiΣ=

%73,10173,0000.61

058.1 ===y

Son 1.058 (miles de unidades) producidas en forma defectuosa, para un porcentaje de 1,73% de la producción. 29. Solución:

801 =n 1202 =n 000.620=x 500.5821 += xx

801 =f 1202 =f

( ) ( )200

12080500.58000.620 22 xx ++

=

( ) ( ) 22 12080500.5880000.620200 xx +×+=

2200000.680.4000.000.124 x=−

2200000.320.119 x=

600.596200

000.320.1192 ==x Promedio salarial mensual

500.58600.5961 +=x

100.6551 =x Promedio mensual de salario

iy in ii ny

0,008 8.300 66,4 0,011 12.600 138,6 0,026 24.300 631,8 0,014 15.800 221,2

Σ 61.000 1.058,0

iX if ii fX

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30. Solución:

400=n 600.980=x 730.7251 =x 500.076.12 =x

=1n 1f ?= =2n 2f ?=

( )400

500.076.1400730.725600.980 22 nn +−=

( ) ( ) 22 500.076.1730.725400730.725400600.980 nn +−=

22 500.076.1730.725000.292.290000.240.392 nn +−=

22 730.725500.076.1000.292.290000.240.392 nn −=−

⇒= 2770.350000.948.101 n 291770.350

000.948.1012 ==n Operarios

1092914001 =−=n Técnicos 31. Solución:

80=n 000.9251 =x 000.8702 =x ?3 =x

80321 =++ nnn ⇒ 8010111 =−++ nnn

80321 =++ fff

301 =f 80103 1 =−n

302 =f 1390 n=

203 =f 301 =n 302 =n 203 =n empleados

( ) ( ) ( )80

2030000.87030000.925000.890 3x++

=

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( ) 320000.100.26000.750.2780000.890 x++=

500.867$20

000.100.26000.750.27000.200.713 =−−=x promedio salarial mensual

32. Solución:

11,111.6419770.5 ==⇒

Σ= x

nx

x i (miles)

a) ( ) 78,277.737$15,111,111.641 ==x b) ( ) 22,222.725$000.2022.222.705$10,111,111.641 =+==x Para el obrero la mejor decisión es la primera; para el empresario es la segunda alternativa. 33. Solución: a) Promedio, intenta resumir o representar las características de un conjunto de valores. Es un valor típico o representativo. b) Ventajas: más fácil de calcular, conocido, entendido por todos, el más utilizado. Desventajas: se ve afectado por valores extremos grandes; sensibles a cualquier cambio que se haga en sus datos. c) En datos sin agrupar no hay ponderación; en tablas de frecuencias se hace con el fin de

abreviar los cálculos, y se le denomina media ponderada. 34. Solución:

a) Inversión total ii nyΣ 000.210.16$= ii fXX Σ= 000.210.16=

b) 083,377.3$800.4

000.210.16 ==y

El valor promedio por acción.

iy in ii ny

2.500 500 1.250.000 5.800 1.200 6.960.000

10.000 600 6.000.000 800 2.500 2.000.000

Σ 4.800 16.210.000

iX if ii fX

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35. Solución:

a) 86,35

6,48,32,31,46,3 =++++=x Es la calificación promedio de los 5 cursos o

grupos, cuando cada uno de ellos tiene el mismo número de alumnos. b)

nny

y iiΣ=

n

fXX iiΣ

=

=y X 81,3147

6,560 == calificación ponderada

36. Solución:

iy in ii ny

3,2 26 83,2 3,6 32 115,2 3,8 34 129,2 4,1 40 164,0 4,6 15 69,0

Σ 147 560,6

iX if ii fX

''iZ ii nZ '' in iy ''

1 ii yy −− iN

1 2 2 20 15,1 – 25 2 2 20 10 30 25,1 – 35 12

3 75 25 1−→ jn 40 35,1 – 45 37 1−→ jN

4 100 25 jn→ 50 45,1 – 55 62 jN→

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NOTA: Para ''iZ = 0, le corresponderá el valor de Ot a y0 en este caso será 10. Ahora a 10 le

agregamos el valor de c, siendo 201 =y .

−+=

−j

j

j n

Nn

cyMediana1

'1

2 40280

2==n

20,4620,145253045

2531045

2537401045 =+=+=

+=

−+=eM

11

1'1

−+

+− +

+=JJ

JJ nn

ncyModo

75,4840

150452515

151045 =+

++=dM

37. Solución:

5 75 15 1+→ jn 60 55,1 – 65 77

6 18 3 70 65,1 – 75 80 Σ 290 80 − - -

'id ii fd ' if iX ''1 ii XX −− iF

iy in ii ny iN

0 2 0 2

2 3 6 5 1−→ jN

4 7 28 12 jN→

6 4 24 16 7 4 28 20 Σ 20 86 -

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a) Media aritmética: 3,42086 ==y

3,4=X

b) La mediana: 21nN j <− 4== je yM

c) El modo: 4== jd yM

38. Solución:

a) Media aritmética

93,550

50,296 ==y

b) La mediana: 21nN j <−

5,6== je yM

c) El modo: 5,6== jd yM

b)

−+=

−j

j

je n

Nn

cyM1

'1

2 05,630,075,525

20255,175,5 =+=

−+=eM

(Trabajando con intervalos iguales)

39. Solución:

a) La media aritmética: 8.675 675.810750.86 ==x

b) La mediana: 3.625 625.32

000.4250.3 =+=eM

iX if ii fX iF

''1 ii yy −− iy in ii ny iN

2,75 – 4,25 3,5 4 14,00 4

4,25 – 5,75 5,0 16 80,00 20 1−→ jN

5,75 – 7,25 6,5 25 162,50 45 jN→

7,25 – 8,75 8,0 5 40,00 50 Σ − 50 296,50 -

''1 ii XX −− iX if ii fX iF

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c) La moda: 3.000 000.3=dM , ya que se repite dos veces el valor de 3.000 d) El valor de 50.000 e) Mediana, ya que no se afecta por valores extremos 40. Solución:

a) 43,971.80370

000.278.56 ==Media

Salario promedio mensual

b) 352 =⇒ nMediana

000.801== Je yM Salario promedio mensual c) 000.801=→ dMModo

Salario promedio mensual 41. Solución:

40,84,293322 −=+ hyhy 213525 32 =+ hh ( ) 213568,025 33 =+− hh 21352517 33 =+− hh

40,010

43 ==h

32,0132 −=+ hh 68,032 =+ hh 32 68,0 hh −= 28,02 =h

iy in ii ny iN

642.000 2 1.284.000 2 751.000 12 9.012.000 14 758.000 8 6.064.000 22

794.000 10 7.940.000 32 1−→ jN

801.000 24 19.224.000 56 jN→

911.000 14 12.754.000 70 Σ 70 56.278.000 -

iX if ii fX iF

''1 ii yy −− ih iy ii hy iH

10,1 – 20 0,20 15 3,00 0,20

20,1 – 30 0,28 25 7,00 0,48 1−→ jH

30,1 – 40 0,40 35 14,00 0,88 jH→

40,1 – 50 0,12 45 5,40 1,00 Σ 1,00 - 29,40 -

''1 ii XX −− n

f i iX

nfX i

i n

Fi

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25

Mediana: 5,021

2==∑ ih

5,01 <−jH

a) 35== je yM Kgrs/mm

2

b)

−+=

−j

j

Je h

hcyM

1'

121

c) 35== jd yM Kgrs/mm2

5,3040,002,0

10304,0

48,02/11030 =

+=

−+=eM Kgrs/mm2

42. Solución:

1002

2002

==n

21nN j <−

−+=

−j

j

Je n

Nn

cyM1

'1

2

44,84445

90100200800 =−+=eM =

$844.444 Salario mensual

Moda = 700=jy . Se toma la marca de clase o sea 000.700$7002

800600⇒=+

Salario mensual Media aritmética. No es recomendable su cálculo en este ejercicio, dado que las frecuencias absolutas localizadas en los extremos de la variable no definidas, tienen un peso o importancia que no se puede desechar, estas ponderaciones son 30 y 50 respectivamente.

''1 ii yy −− in iN

Menos de 600 30 30

600,1 – 800 60 90 1−→ jN

800,1 – 1.000 45 135 jN→

1.000,1 – 1.200 15 150 1.200,1 y más 50 200

Σ 200 -

iX if iF

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En el caso de que obligatoriamente se requiera calcular, deberá prescindirse de los valores extremos, es decir:

n

fXX iiΣ= 825=

120

ii nyy

Σ= 825

120

000.99 ==

$825.000 Salario mensual

43. Solución:

a) 000.658== Jd yM

b) 000.668380

38000.20000.648 =

++=dM

0

38 120

1

1

===

+

J

J

J

n

n

n

c) ( ) ( ) 18,118.656381200120

38120000.20000.648 =

−+−−+=dM

d) ( ) 15,634.6523801202

038000.20000.648 =

−−−+=dM

e) 19,951.647380120

380000.20000.648 =

++−+=dM

''1 ii yy −− in iy ii ny

600,1 – 800 60 700 42.000 800,1 – 1.000 45 900 40.500

1.000,1 – 1.200 15 1.100 16.500 Σ 120 - 99.000

''1 ii XX −− if iX ii fX

''1 ii yy −− in iN iy

648.000,1 – 668.000 120 120 658.000 668.000,1 – 688.000 38 158 678.000 688.000,1 – 708.000 22 180 698.000 708.000,1 – 728.000 10 190 718.000 728.000,1 – 748.000 6 196 738.000 748.000,1 – 768.000 4 200 758.000

Σ 200 - - ''

1 ii XX −− if iF iX

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27

(b) 000.668=dM (c) 18,118.656=dM (d) 15,634.652=dM (e) 19,951.647 * Esta fórmula no es aplicable en este ejercicio, ya que el promedio debe localizarse entre el límite inferior y límite superior del recorrido. 44. Solución: a) 807468 << Asimetría negativa; b) 687480 >> Asimetría positiva c) 747474 == Simétrica d) 607474 >= Ligeramente asimétrica positiva 45. Solución: a) 67,61=x 5,62=eM 65=dM b) 67,60=x 62=eM hayNoM d = c) 49=x 38=eM 35=dM d) En (a) y (b) la Media y en (c) la Mediana 46. Solución:

a) 4 4 6 6 6 6 7 10 15 11,79

64 ==x ; 6=eM ; 6=dM

6=eM

8 10 1210 18 20 0,13678 ==x ; 11=eM ; 10=dM

11=eM

b) ( ) ( )

47,915

786415

13691111,7 =+=+=x

47. Solución:

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28

37274

2==⇒ nMediana 301 =−JN 46=JN

5,195,31616

3037816 =+=

−+=eM

⇒Modo Como la amplitud de los intervalos no es constante, lo recomendable es no

calcularlo, pero si lo exigen se debe establecer el mayor valor de if

cn i

i

i = y al frente en iy

se obtendrá el valor del Modo. 31=dM dado que 0,5=cni el valor más alto.

11,1974414.1 =⇒Media

48. Solución: 720 720 720 720 750 810 810 840 840 900 1.680 1.800

5,94212310.11 ==Media ; 720=dM ; 810

2810810 =+=eM

El mejor promedio es la mediana, por ser el centro, eliminando los extremos, correspondiente al salario más bajo y al más alto. Media = $942.500 Modo = $720.000 Mediana = $810.000

''1 ii yy −− in iy iN ic ii cn ii ny

3,1 – 8 8 5,5 8 5 1,60 44 8,1 – 10 8 9,0 16 2 4,00 72

10,1 – 16 14 13,0 30 6 2,33 182 16,1 – 24 16 20,0 46 8 2,00 320 24,1 – 30 18 27,0 64 6 3,00 486 30,1 – 32 10 31,0 74 2 5,00 310

Σ 74 - - - - 1.414 ''

1 ii XX −− if iX iF i if i / ii fX

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29

49. Solución: a) 41=y 37=eM 28=dM b) 432=y 384=eM 276=dM a) 41536 =+=x 37532 =+=eM 28523 =+=dM b) ( ) 4321236 ==x ( ) 3841232 ==eM 276)12(23 ==dM meses 50. Solución:

%66,79

9,689

0,86,72,86,84,78,61,63,89,7 ==++++++++=Media

Mediana: 6,1 6,8 7,4 7,6 9,7 8,0 8,2 8,3 8,6 eM

9,7=Mediana %

⇒Modo No hay, ningún valor se repite 51. Solución:

minutos875,18

15 −=−=Media (1 minuto y 52 segundos)

⇒Mediana -18 -12 -8 -8 -6 10 12 15; minutos7214 −=−=eM

7−=eM

8−=Moda (8 minutos de anticipación)

52. Solución:

''1 ii yy −− in iy ii ny iN ic ii cn

2,1 – 5 120 3,5 420,0 120 3 40,0

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30

48,6160037.1 ==Media

5,3=Modo

01 == −JNMediana

120=JN

802

=n

422120

08032 =+=

−+=eM

53. Solución:

nnnnnnn =+++++ 654321 → nffffff =+++++ 654321

( ) ( ) 150530305 1111 =+++++++ nnnn

150704 1 =+n

20480804 11 ==→= nn 201 =n 252 =n 303 =n

304 =n 255 =n 206 =n

Sabiendo que:

+= ∑

nnZ

cOy iit

''

+= ∑

nfd

iAX ii'

5,1 – 9 15 7,0 105,0 135 4 3,75 9,1 – 16 8 12,5 100,0 143 7 1,14

16,1 – 20 6 18,0 108,0 149 4 1,50 20,1 – 28 6 24,0 144,0 155 8 0,75 28,1 – 36 5 32,0 160,0 160 8 0,63

Σ 160 - 1.037,0 - - - ''

1 ii XX −− if iX ii fX iF i if i /

iy in ''iZ ii nZ ''

20 20 -4 -80

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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Cap.3 Medidas de posición o de Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones tendencia central Actualizado en diciembre de 2007

31

(1) Se toma como =tO A 60= (2) De acuerdo a lo visto en la teoría al frente de tO se coloca cero, cuando =c i es

constante para =''iZ '

id (3) Luego hacia arriba se colocará 1− ; 2− etc., y hacia abajo 1, 2, etc.

(4) Reemplazamos en la fórmula inicial

−+=

1502256045 c

(5) Despejamos el valor de la amplitud =c i , siendo 105,1

15156045 =

−−=⇒−=− c

(6) Ahora completamos la columna de iX iy=

1−= MM H (Media armónica)

56,3889,3

150 ==HM

MoGM g == (M. Geométrica)

622234933,1150

33524,243log ==gM

( )622234933,1antilog=gM

,9014M g =

30 25 -3 -75 40 30 -2 -60 50 30 -1 -30 60 25 0 0 70 20 1 20

Σ 150 -225

iX if 'id ii fd '

iy in i

iy

n iylog ii yn log

20 20 1,00 1,30103 26,02060 30 25 0,83 1,47712 36,92803 40 30 0,75 1,60206 48,06180 50 30 0,60 1,69897 50,96910 60 25 0,42 1,77815 44,45375 70 20 0,29 1,84510 36,90196

Σ 150 3,89 - 243,33524

iX if i

iX

f iXlog ii Xf logΣ

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32

54. Solución:

83,29=Media 5,172

2213 =+=Mediana hayNoM d =

62,1689462213636 =×××××=geométricaMedia

La mediana es el valor central, el que mejor representa a ese conjunto de observaciones. 55. Solución:

a) 4,9547 ==Media

19,720128525 =××××=geométricaMedia

22,5958333,0

5

201

121

81

51

21

5 ==++++

=armónicaMedia

22,519,74,9 >> Se cumple la relación 11 −>>⇒ MMM o b) 4,9=Media 8=Mediana hay No=Modo hay No84,9 >> Se cumple la relación de MMM >>⇒ 1 56. Solución:

(1) Se observa que m = 4 número de intervalos (2) Sombreado aparecen los datos del problema (3) Determinamos la 1ª ecuación, recordando las propiedades de las

frecuencias y marcas de clases.

m ''1 ii yy −− iy in iN

(1) 3,75 – 4,25 3,5 4 4 (2) 4,25 – 5,75 5,0 16 20 (3) 5,75 – 7,25 6,5 25 45 (4) 7,25 – 8,75 8,0 5 50 − Σ − 50 -

- ''1 ii XX −− iX if iF

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33

=+

=+

75,84)

5,32

)

'

'

cyb

cya

o

o Eliminamos a 'oy

b) 50,35,0

75,84'

'

−=−−=+

cy

cy

o

o

25,55,3 =c =⇒ c i 5,15,3

25,5 == Completamos la columna =iy iX

(4) Dividimos a la amplitud entre 75,025,1

2 =⇒ , restándolo a la marca de clase formamos

el límite inferior del intervalo y sumándolos, el límite superior.

93,550

5,296 ==Media

7639614,05019807,38

log ==geométricaMedia

( )7639614,0loganti=geométricaMedia

81,5=geométricaMedia 57. Solución:

∑=

i

i

im

VSS

V

4

6080

100100120

60120

40070

V+++

=

...457,474 hpkV = 58. Solución:

706,264

300

300

250

300

250

300900 =

++=mV

...706,264 hpkVm =

ii ny iylog ii yn log

14,0 0,54407 2,17627 80,0 0,69897 11,18352

162,5 0,81291 20,32283 40,0 0,90309 4,51545

296,5 - 38,19807

ii fX iXlog ii Xf log

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34

59. Solución:

44,53

50200

60200

55200

50200

800 =+++

=mV

...44,53 hpkVm =

60. Solución:

48

601

401

2 =+

=mV

...48 mpkVm =

61. Solución:

A

B C

...30,38078,03

501

401

301

3 hpkVm ==

+

+

=

62. Solución:

A 10== tO i 6== c

=−

i

i

yn

nM 1 ∑

=

i

iH

Xf

nM

194,4237,2

100 ==HM

''iZ ii NZ '' iN in iy

i

iy

n

3 15 5 5 28 0,18 4 80 20 15 34 0,44 5 225 45 25 40 0,63 6 450 75 30 46 0,65 7 665 95 20 52 0,38 8 800 100 5 58 0,09 Σ - - 100 - 2,37

'id ii fd ' iF if iX ii fX

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35

63. Solución: xi: 4,824 10,184 20,502 32,830 65,660

8,26=x 502,20=eM 501,121 =−M 507,18=oM 64. Solución:

44,44

401

501

2 =+

=HM Minutos

65. Solución:

67,11

101

141

2 =+

=HM Papeleras diarias 122

1014 =+=x Papeleras diarias

66. Solución:

a) 550.2$3

570.2830.2250.2 =++=Media Promedio por paquete

b) 58,527.2$

570.21

830.21

250.21

3. =++

=armónicaM Valor promedio por paquete

67. Solución:

m iy in iN ''iZ ii nZ '' ii yn /

(1) 30 4 4 -1 -4 0,1333 (2) 50 16 20 0 0 0,3200 (3) 70 25 45 1 25 0,3571 (4) 90 5 50 2 10 0,0555 − Σ 50 - - 31 0,8659

- iX if iF 'id ii fd ' -

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36

Σ+=

nnZ

cOy iit

''

+==⇒5031504,62 cy

Σ+=n

fdiAX ii

'

c62,04,12 =

2062,04,12 ==c

4520252

50

2 1 ==⇒==⇒ − JJ NyNn

Mediana (No aparece 2n )

== JyMediana JX 70=

74,578659,050 ==armónicaMedia

68. Solución:

83,144

1401

1501

2 =+

=armónicaMedia

69. Solución:

800.1$

600.31

800.11

200.11

3 =++

=armónicaMedia

Precio promedio pagado por el fabricante

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37

70. Solución:

50 25 30260

1 ===⇒ − JJ NNMediana

2612525

2530525.).( =+=

−+=CVMediana

5,27)( =VDMediana

77,23524,2

60 ==armónicaMedia

71. Solución: Media, mediana y moda

a) 3,1410

143 ==→ xMedia minutos de retardo

134 −−−→Mediana 2 4 4 6 10 124

32

6 ==eM minutos de retardo

4==→ Jd xMModa minutos

La más representativa es la moda, la que más se repite. b) En este caso se utilizó la mediana, por ser el menor valor de los tres, de esta manera se

muestra que hay un buen servicio. Para mostrar un mal servicio, se utilizó la media aritmética por ser el de mayor valor.

''1 ii yy −− in iy

i

iy

n iN

10,1 – 15 3 12,5 0,240 3 15,1 – 20 7 17,5 0,400 10 20,1 – 25 15 22,5 0,667 25 25,1 – 30 25 27,5 0,909 50 30,1 – 35 10 32,5 0,308 60

Σ 60 - 2,524 - ''

1 ii XX −− if iX ii Xf / iF

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38

72. Solución: d) Cuando la distribución es simétrica. de MMx ==

Los puntos a), b) y c) se le dejan al estudiante. 73. Solución:

a) Media: 67,2650

5,333.1 ==y

b) Mediana: 14,2914,1287

2425828 =+=

−+=eM

252

50

2==N

31

241

==−

J

J

N

N

c) Moda: 5,13== Jd yM ( ) 67,4/ =ii cn Es el de mayor valor

d) Tercer decil: ( )

1510

503

10

3 ==n 1621 ==− JJ NN

79,1479,21214

2153123 =+=

−+=D

e) Segundo cuartil: ( )

14,29254502

42

2 ==⇒== eMQn

31y 241 ==− JJ NN

ii yy '' 1 −− in JN ii cn / iy ii ny

6,1 - 12 2 2 0,33 9,0 18,0 12,1 - 15 14 16 4,67 13,5 189,0 15,1 - 20 5 21 1,00 17,5 87,5 20,1 - 28 3 1−JN 24 0,38 24,0 72,0

28,1 - 36 7 JN 31 0,88 32,0 224,0 36,1 - 40 16 47 4,00 38,0 608,0 40,1 - 50 3 50 0,30 45,0 135,0

Σ 50 - - - 1.333,5

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39

f) Percentil sesenta:

( )

30100

5060

100

60 ==n 31241 ==− JJ NN

86,3486,6287

243082860 =+=

−+=P

74. Solución:

( )

400856.320.1400300.857

960.260.1 22 nn +−=

( ) 22 856.320.1300.857400300.857000.384.504 nn +−= 22 300.857856.320.1000.920.342000.384.504 nn −=− 2556.463000.464.161 n=

348556.463

000.464.1612 ==n Operarios 523484001 =−=n Técnicos

75. Solución: Lo debe investigar el estudiante. 76. Solución: Con los datos del ejercicio No. 47, se pide calcular la media cuadrática, cúbica y el séptimo decil.

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40

92,2074388.32 ==cuadráticaMedia

28,2274

125.8183 ==cúbicaMedia

( )

8,5110747

7 =⇒= DdecilSéptimo 461 =−JN 64=JN

93,2593,12418

468,516247 =+=

−+=D

77. Solución:

67,66

40 ==x 4=dM ⇒eM 4 4 4 6 10 12

5=eM

39,767,546

12446104 222222

2 ==+++++=⇒ MCuadráticaMedia

06,867,5226

12446104 33333333

3 ==+++++=⇒ MCúbicaMedia

45,51,1

6

12/14/14/16/110/14/1

61 ==

+++++=⇒ −MArmónicaMedia

''1 ii yy −− iy in ii ny2 ii ny3 iN

3,1 – 8 5,5 8 242 1.331 8 8,1 – 10 9,0 8 648 5.832 16 10,1 – 16 13,0 14 2.366 30.758 30 16,1 – 24 20,0 16 6.400 128.000 46 24,1 – 30 27,0 18 13.122 354.294 64 30,1 – 32 31,0 10 9.610 297.910 74

Σ − 74 32.388 818.125 - ''

1 ii XX −− iX if ii fX 2 ii fX 3 iF

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41

99,5080.4612.4.4.6.10.4 66 ===⇒ oMGeométricaMedia

a)

06,839,767,699,545,5

3211

<<<<<<<<− MMMMM o

Se cumple la propiedad b)

1

1

67,654

5467,6

MMM

MMM

ed

ed

<<<<

===

Asimétrica positiva 78. Solución:

a) 53,210.692$152

000.216.105 ==Media

000.590$=Modo

762

1522

==⇒ nMediana

421 =−JN 152=JN

JyMediana 000.590$ == b) Tanto la Mediana como la Moda, podrían ser representativas, sin embargo al escoger

una de ellas, como mejor promedio nos inclinamos por la última. 79. Solución:

180

120

2

1

==

n

n

216

240

2 ==

x

x

?

7,226

3 ==

n

díasx

2303 =x

( ) ( ) ( )

3

3

300

2302161802401207,226

n

n

+++

=

( )

33

33

7,226230880.38800.28010.68230880.38800.287,2263007,226nn

nn

−=−−++=+

1003,3330 33 =⇒= nn (sección c)

iy in ii ny iN

1.930.000 2 3.860.000 2 1.510.000 4 6.040.000 6 1.370.000 6 8.220.000 12 1.350.000 4 5.400.000 16

646.000 26 16.796.000 42 590.000 110 64.900.000 152 Σ 152 105.216.000 -

iX if ii fX iF

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42

80. Solución: => Número de vehículos vendidos en 10 días es de 34 => Valor total de las ventas: 34(18.500.000) = $629.000.000 => el 0,5% = 0,005 gana por cada vehículo 629.000.000 (0,005) = $3.145.000 + 270.000 = $3.415.000 sería el sueldo promedio en los 10 días. 81. Solución: Se le deja al estudiante para su solución. 82. Solución:

003.973)998.083.1(374.873 ==oM

816.278)776.240(867.322 ==oM

057.234)358.267(903.204 ==oM

118.446)864.575(604.345 ==oM

83. Solución:

''1 ii yy −− in iN

iy ii ny

800,1 - 1.000 5 5 900 4.500 1.000,1 - 1.200 13 18 1.100 14.300 1.200,1 - 1.400 17 35 1.300 22.100 1.400,1 - 1.600 8 43 1.500 12.000 1.600,1 - 1.800 7 50 1.700 11.900

Σ 50 - - 64.800

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43

a) Media: 296.150

800.64 ==⇒ y

Moda: 300.1=⇒ dM

Mediana: 252

50

2==⇒

n

35181 ==− JJ NN

35,282.135,82200.117

1825200200.1 =+=

−+=eM

b) Media cuadrática: 2M⇒ 12,317.150

000.740.862 ==M

Media cúbica: 3M⇒ 70,337.1000.760.393.250

000.000.688.119 333 ===M

i

iy

n iylog ii yn log

0,005556 2,95424 14,77121 0,011818 3,04139 39,53810 0,013077 3,11394 52,93704 0,005333 3,17609 25,40873 0,004118 3,17609 22,61314 0,039902 - 155,26822

ii ny 2 ii ny 3

4.050.000 3.645.000.000

15.730.000 17.303.000.000

28.730.000 37.349.000.000

18.000.000 27.000.000.000

20.230.000 34.391.000.000

86.740.000 119.688.000.000

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44

Media Armónica: 07,250.1039902,0

501 ==−M

Media Geométrica:

1053644,350

26822,155log ==oM

57,274.11053644,3log == antiM o

84. Solución: a) La mediana b) La media geométrica c) Verdadero d) Verdadero e) Población 85. Solución: se le deja al estudiante. 86. Solución:

xxx ==+

52

21

1021 =+ xx oMxx == 421

1621 =xx

2

116

xx =

Reemplazamos en 521 =+ xx

01016

22

=−+ xx

01016 2

22 =−+ xx

01610 2

22

=+− xx

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45

82 21 == xx

38,62

82333

3 =+=M

87. Solución: a) 169.000 (1,06) = $179.140, es el salario semanal b) 169.000 (1,04) = $175.760 + 5.800 = $181.560 La mayor es (b) con salario semanal de $181.560 89. Solución:

21

21

1

1

1

4,3

hh

hh

x

−=+=

=

2,42 =x

%5,62;%5,37;375,08,0

3,08,03,0

2,44,34,37,3

7,32,4)1(4,3

1222

22

22

====⇒=

+−==+−=

hhhh

hh

hhx

90. Solución:

508281778

50654321

=+++++

=+++++= nnnnnnn

17

102258

25

3

6

3

31

==+=+=+

n

n

n

nn

86 =n

''1 ii yy −− iy in

ii ny3 ii yn /

10,1 - 18 14 8 21.952 0,5714 18,1 - 26 22 7 74.536 0,3182 26,1 - 34 30 17 459.000 0,5667 34,1 - 42 38 8 438.976 0,2105 42,1 - 50 46 2 194.672 0,0435 50,1 - 58 54 8 1.259.712 0,1481

Σ − 50 2.448.848 1,8584

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46

157

15

4

42

=+

=+

n

nn

84 =n

504225,0

2

2

=+=+

Cy

Cy

285,3

225,0504

2

2

=−=−−

=+

C

Cy

Cy

85,3

28 ==C

Media cúbica 59,3688,976.4850

844.448.2 333 ≅==⇒ M

Media armónica 90,268584,1

501 ==⇒ −M

91. Solución: a) Falso ya que: de MMx >> y se da 68 como dM , que debe ser menor o igual a 62 ?6268 >> b) 123 −>>>> MMxMM o 76,8 > 72,50 > 70 > 65 > 63 Se cumple la relación. 92. Solución:

24,13=gM 14=x 30,153 =M 70,142 =M

a) Media armónica = 47,123208,0

4

20

1

16

1

12

1

8

14 ==

+++

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47

93. Solución: a) Verdadero b) Sólo una c) Geométrica d) Media aritmética e) Verdadero f) Mediana g) Verdadero 94. Solución:

( )500

400.86300200328.026.1 11 −+

=xx

( )400.86300300200000.164.513 11 −+= xx

000.920.25500000.164.513 1 −= x

168.078.1500

000.084.5391 ==x y 768.9912 =x

95. Solución: a) Media aritmética == 50tO A

''1 ii yy −− in ih iy ii ny '

iZ ii nZ '

15,1 – 25 8 0,04 20 160 -30 -240 25,1 – 35 20 0,10 30 600 -20 -400 35,1 – 45 42 0,21 40 1.680 -10 -420

45,1 – 55 60 0,30 50 3.000 0 10601060−

55,1 – 65 42 0,21 60 2.520 10 420 65,1 – 75 20 0,10 70 1.400 20 400 75,1 – 85 8 0,04 80 640 30 240 Σ 200 1,00 - 10.000 - 0

''1 ii XX −− if nf i / iX ii fX id ii fd

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48

(Primer método abreviado)

nny

y iiΣ= 50

200

000.10 == 50=Σ=n

fXX ii

nnZ

Oy iit

'Σ+= 50050 =+= 50

'

+=n

fdAX ii

== 50tO A

(Segundo método abreviado)

Σ+=

nnZ

cOy iit

'

50'

=

Σ+=

nfd

iAX ii

( ) 5001050 =+=y

B)

''1 ii yy −− in iN iy ii ny '

iZ ii nZ '

15,1 – 25 6 6 20 120 -30 -180 25,1 – 35 17 23 30 510 -20 -340 35,1 – 45 34 57 40 1.360 -10 -340 45,1 – 55 53 110 50 2.650 0 0 55,1 – 65 42 152 60 2.520 10 420 65,1 – 75 38 190 70 2.660 20 760 75,1 – 85 10 200 80 800 30 300

Σ 200 - - 10.620 0 620 ''

1 ii XX −− if iF iX ii fX id ii fd

A 50== tO

''iZ ii nZ ''

-3 -24 -2 -40 -1 -42 0 0 1 42 2 40 3 24

Σ 0

'id ii fd '

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49

n

fXX iiΣ= 1,53= 1,5310,350

20062050 =+=

+=y

Σ+=n

fdiAX ii

'

1,53=

50=tO

n

nyy iiΣ

= 1,53200

620.10 ==

Σ+=

nnZ

cOy iit

''

1,53200

621050 =

+=y

b) Mediana A)

21nN j <− 10070 <

−+=

−j

j

je n

Nn

CyM1

'1

2

−+=

j

j

ie f

Fn

iLM12

−+=60

701001045eM

6030045 +=eM

''iZ ii nZ ''

-3 -18 -2 -34 -1 -34 0 0 1 42 2 76 3 30 Σ 62

'id ii fd '

''1 ii yy −− in iN

15,1 – 25 8 8 25,1 – 35 20 28

35,1 – 45 42 70 1−→ jN

45,1 – 55 60 130 jN→

55,1 – 65 42 172 65,1 – 75 20 192 75,1 – 85 8 200

Σ 200 - ''

1 ii XX −− if iF

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50

50545 =+=eM B)

53

571001045 −+=eM

53431045 +=eM

5343045 +=eM

11,5311,845 =+=eM

A)

21nN j <−

10070 < jje XyM ==

50=eM

B)

''1 ii yy −− in iN

15,1 – 25 6 6 25,1 – 35 17 23 35,1 – 45 34 57 1−→ JN

45,1 – 55 53 Jn→ 110 JN→

55,1 – 65 42 152 65,1 – 75 38 190 75,1 – 85 18 200

Σ 200 - ''

1 ii XX −− if iF

jy jn jN

20 8 8 30 20 28

40 42 70 1−→ jN

50 jy→ 60 130 jN→

60 42 172 70 20 192 80 8 200

Σ 200 -

JX Jf JF

jy jn jN

20 6 6 30 17 23

40 34 57 1−→ jN

50 jy→ 53 110 jN→

60 42 152 70 38 190 80 10 200

Σ 200 -

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51

21nN j <− 10057 <

je yM =

50=eM 50== je yM (En ambos casos)

A)

''1 ii yy −− jn

15,1 – 25 8 25,1 – 35 20 35,1 – 45 42 1−→ jn

45,1 – 55 60 jn→

55,1 – 65 42 1+→ jn

65,1 – 75 20 75,1 – 85 8

Σ 200 ''

1 ii XX −− jf

c) Modo:

++=

−+

−−

11

1'1

jj

jje nn

ncyM

A) 508442045

4242421045 =+=

+

+=eM

B) 53,507642045

4234421045 =+=

++=dM

( )

( ) ( )

−+−−

+=+−

−−

11

1'1

jjjj

jjjd nnnn

nncyM

JX Jf JF

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52

A) ( ) ( ) 5036

1804542604260

42601045 =+=

−+−

−+=dM

++=

−+

11

1

JJ

Jid ff

fiLM

B) ( ) ( ) 33,5130

1904542533453

34531045 =+=

−+−

−+=dM

( )

( ) ( )

−+−

−+=+−

11

1

JJJJ

JJid ffff

ffiLM

B)

d) Media geométrica: 70329835,120065967,340log ==gM

5,5070329835,1antilog ==gM

n

ynM ii

g

loglog

Σ=

Σ=n

XfM ii

o

logantilog

e) A) 123 MMM ed −= B) 123 MMM ed −= ( ) ( )502503 −=dM ( ) ( )1,5321,533 −=dM 50=dM 1,53=dM f) A)

iy in iylog ii yn log

20 6 1,20103 7,20618 30 17 1,47712 25,11104 40 34 1,60206 54,47004 50 53 1,69897 90,04541 60 42 1,77815 74,68230 70 38 1,84510 70,11380 80 10 1,90309 19,03090 Σ 200 - 340,65967

iX if iXlog ii Xf log

iy in ii yn /

20 8 0,40 30 20 0,67 40 42 1,05

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53

Media armónica

=

i

iH

yn

nM 35,4541,4

200 ==HM

35,45=HM

35,45==∑

i

iH

Xf

nM

B)

=

i

iH

yn

nM 426,4813,4

200 ==HM

426,48=HM

B)

Media cuadrática y cúbica

n

nyM ii

2

2Σ= 04,55

200

000.6062 ==M

33

3 nny

M iiΣ= 3

3 200

000.534.36=M

74,56670.1823

3 ==M

04,552

2 =Σ

=n

fxM ii 74,563

3

3 =Σ=n

fXM ii

50 60 1,20 60 42 0,70 70 20 0,29 80 8 0,10

Σ 200 4,41

iX if ii Xf /

iy in ii yn /

20 6 0,30 30 17 0,56 40 34 0,85 50 53 1,06 60 42 0,70 70 38 0,54 80 10 0,12

Σ 200 4,13

iX if ii Xf /

in ii ny2 ii ny3 6 2.400 48.000

17 15.300 459.000 34 54.400 2.176.000 53 132.500 6.625.000 42 151.200 9.072.000 38 186.200 13.034.000 10 64.000 5.120.000

200 606.000 36.534.000

if ii fX 2 ii fX 3

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54

97. Solución: Siendo: 71 =M 6=eM 3

3 657=M

37 321 xxx ++

= 31 621 xx ++= 3115 xx += 31 15 xx −=

333

3313

3 36

657xx

M++

==

( ) 3

331 2166573 xx ++=

33

31216971.1 xx +=−

33

31755.1 xx +=

( ) 3

33

315755.1 xx +−=

33

33

233 45675375.3755.1 xxxx +−+−=

233 45675375.3755.1 xx +−=

045675620.1 2

33 =+− xx

( ) 0153645 233 =+− xx

Dos números que sumados den 15 y multiplicados sean igual a 36, serán: 3 y 12. Siendo: 31 =x 62 =x 123 =x 98. Solución:

25 21 xx +

= → 2110 xx += → 21 10 xx −=

21 . xxM o = → 214 xx= → 2116 xx= → 2

116x

x =

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55

21 10 xx −= → 22

1016 xx

−= → 2221016 xx −=

01610 2

22 =+− xx 21 =x 82 =x

2,3625,02

81

21

211

1 ==

+

==∑

x

nM

99. Solución:

44836410064364100364642 =+++++++++=∑ ix

69,68,4410448

2

2 ==== ∑nx

M i

100. Solución:

00,1307,16930072.5

2 ===M

101. Solución: Variable discreta

iy in ii ny2 4 3 48 8 7 448

12 10 1.440 16 6 1.536 20 4 1.600

Σ 30 5.072

iX if ii fX 2

'iy in jN

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56

Primer cuartil = 1Q

5,12450

4==n Como no aparece 1−JN será 9 y

24=JN 61 == JyQ

Tercer cuartil →⇒ 3Q ( )

5,374

150

4

503

4

3 ===n (Posición)

Como no aparece 37,5 se toma como 341 =−JN y 40=JN

123 == JyQ

Sexto decil ⇒⇒ 6D ( )

3010300

10506

106 ===n No aparece, por lo tanto 86 == JyD

Percentil 80 ( ) ( )40

100000.4

1005080

10080

80 ===⇒⇒n

P

Como aparece, se tendrá que: 401 =−jN y 50=jN

132

14122

180 =+=

+= − jJ yy

P

b) Variable continua

2 3 3 4 6 9 6 15 24 8 8 32

10 2 34 12 6 40 14 10 50

Σ 50 -

iX if iF

''1 ii yy −− in jN

3,1 – 8 14 14 8,1 – 13 15 29 13,1 – 18 8 37 18,1 – 23 6 43 23,1 - 28 7 50 28,1 - 33 10 60

Σ 60 -

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57

Primer cuartil

15460 = no está ; siendo: 141 =−JN 29=JN

33,815

1415581 =

−+=Q

Tercer cuartil ⇒3Q ( )

454

1804603 == no está ; siendo: 431 =−JN y 50=JN

43,247

43455233 =

−+=Q

Sexto decil ⇒6D ( )

3610606

106 ==n no está, por lo tanto 291 =−JN y 37=JN

38,178

29365136 =

−+=D

Percentil 80( )

48100

6080

100

80 ==⇒n

no está, por lo tanto 431 =−JN y 50=JN

57,267

434852360 =

−+=P

Veamos algunos modelos, cuando 2/1 nNJ <− 2/1 nFJ <− El segundo cuartil (Mediana), es aquel valor de la variable que supera al 50% de las observaciones y es superado por el 50%.

−+=

−j

j

j n

Nn

cyQ1

'12

42

Cuando 42

1nN j <−

''1 ii XX −− if iF

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58

El tercer cuartil, es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Variable continua

−+=

−−

j

j

j n

Nn

cyQ1'

1343

Cuando 43

1nN j <−

El quinto decil y el 50 percentil corresponden a la mediana.

(Quinto decil)

−+=

−j

j

j n

Nn

cyD1

'15

105

(50 percentil)

−+==

−j

j

j n

Nn

cyPC1

'15050

10050

El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40% de las observaciones y es superado por el 60% de las observaciones.

−+=

−j

j

j n

Nn

cyD1

'14

104

variable continua, cuando 104

1nN j <−

El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones

−+=

−j

j

j n

Nn

cyP1

'160

10060

variable continua, cuando 10060

1nN j <−