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Capítulo 10 Efectos de superficie. Sistema respiratorio 1

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Capítulo 10

Efectos de superficie. Sistemarespiratorio

1

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Tensión superficial

El coeficiente de tensión superficialγ es la fuerza por unidad de lon-gitud que hay que realizar para aumentar una superficie:

F = 2 γ l

El coeficiente de tensión superficial es la energía por unidad de área de lasuperficie:

W = 2γS

El factor 2 se introduce en las ecuaciones anteriores cuando existen dossuperficies entre el líquido y el aire.

El coeficiente de tensión superficial posee unidades de N/m.

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Tamaño de pompas y gotas

La diferencia de presiones entre el interior y el exterior de una pompavale:

∆p =4γ

r

Si sólo hay una superficie, como ocurre en un alveolo, el factor 4 sesustituye por 2.

El tamaño de una gota a través de un orificio de radior es:

r =

√√√√ 3γ

2gρ.

Podemos medirγ contando las gotasN y Nr de dos líquidos, de uno delos cuales conocemosγr. Si ρ y ρr son las densidades tenemos:

γ =ρNr

ρrNγr.

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Capilaridad

La altura de la columna de líquido producida por capilaridad en un tubode radior es:

∆h =2γ cos θ

ρgr

θ es el ángulo de contacto.

La presión negativase debe a las fuerzas que mantienen unido a unlíquido y tratan de evitar que en él se forme una superficie libre.

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Transporte respiratorio

El volumenV intercambiado en los alveolos cuando la diferencia de pre-siones parciales es∆p vale:

V

t= −KS∆p

∆x

S es el área de la membrana, y la constanteK se denomina de Krogh. Lacapacidad de difusión es la constanteDL = KS/∆x.

Un valor típico deDL para el O2 es 30 ml/(min·mm de Hg). La difusióndel CO2 es unas seis veces más rápida.

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Características de los pulmones

La complianciaC es la relación entre el volumen y la presión:

C =V

p

Un valor típico de la compliancia del sistema respiratorio humano es deC = 0, 14 l/mm de Hg.

La potencia de los pulmonesP es igual a:

P =W

T=

2p∆V

T

El factor 2 extra es para tener en cuenta tanto el trabajo realizado en lainspiración como en la espiración.

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Problema 10.1

¿Qué fuerza hay que realizar para mover un alambre quedesliza sobre dos rieles, en forma de U, separados 20 cmsi existe una capa de agua en el rectángulo formado porellos? ¿Cuál es la energía superficial del agua cuando laseparación entre el alambre móvil y el otro extremo es de40 cm?

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Problema 10.2

Cada una de las seis patas de un insecto produce unadeformación circular en el agua de 1 mm radio. ¿Cuál esel peso máximo del insecto para poder mantenerse sobreel agua?

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Problema 10.3

¿Cuál es la presión del gas en el interior de una burbuja de1 mm de diámetro en el fondo de un vaso con agua hastauna altura de 12 cm?

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Problema 10.4

Supón que ponemos en contacto dos pompas del mismolíquido, pero de distinto radio. ¿Cuál es el radio final deambas?

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Problema 10.5

Encuentra la aceleración con la que cae una pompa delíquido con una tensión superficial de 0.2 N/m y de radio0.04 m. Supón que el aire es un gas ideal.

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Problema 10.6

Para determinar el coeficiente de tensión superficial de unlíquido, contamos el número de gotas que caen por un tu-bo estrecho, para un volumen de líquido dado. Si la densi-dad del líquido es de 0.8 y se producen 142 gotas, mien-tras que para el mismo volumen de agua se producen 39,¿cuál es la tensión superficial del líquido?

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Problema 10.7

Un líquido con una tensión superficial de 0.04 N/m y unadensidad de 1.2 posee un ángulo de contacto de 120◦ conel material del que está formado un capilar de 0.2 mm deradio. ¿Qué diferencia de altura, con respecto al nivel deun gran recipiente, adquiere el líquido en el capilar?

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Problema 10.8

Supón que el ángulo de contacto de la sangre con un capi-lar es 0◦. ¿Cuál es el radio del capilar si la sangre asciendepor él 2 cm?

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Problema 10.9

Obtén la expresión de la altura de una columna de líquidoen un capilar por medio de la diferencia de presiones entreel gas y el líquido en función del radio de curvatuta desu superficie de separación. Este radio de curvatura sepuede escribir en términos del radio del capilar y el ángulode contacto.

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Problema 10.10

Podemos imaginar al xilem formado por conductos de 0.02mm de radio que en su parte superior están cerrados porlas hojas, que poseen unos poros de 5 nm de radio. De-termina:(a) la máxima altura que puede alcanzar el agua en un

capilar de 5 nm de radio,(b) la máxima presión, debida a la tensión superficial,

que puede aguantar uno de esos capilares,(c) la máxima altura de un conducto si el agua que con-

tiene aguanta una presión negativa de 32 atm,(d) el caudal que atraviesa un conducto de un árbol de 30

m de altura, si la presión en su parte superior es undiez por ciento mayor que la necesaria para mantenerla columna de agua,

(e) la presión necesaria para mantener el mismo caudalen un conjunto de vasos de radio 5 nm y cuya áreatotal fuera igual a la del vaso del xilem.

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Problema 10.11

La presión parcial del oxígeno en un alveolo es de 160 mmde Hg y en la sangre de 40 mm de Hg. La capacidad de di-fusión del oxígeno a través de la membrana de separaciónde un alveolo es de 30 ml/(min·mm de Hg) y el intercam-bio gaseoso se produce durante 0.3 s. ¿Qué cantidad deoxígeno pasa a la sangre durante dicho intervalo en unalveolo?

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Problema 10.12

¿Cuál es la diferencia de presiones entre el interior y elexterior de un alveolo de 0.1 mm de radio cuya capa defluido posee una tensión superficial de 0.004 N/m?

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Problema 10.13

Determina la potencia consumida en la respiración por unapersona que realiza 10 inhalaciones por minuto, cada unade ellas de 0.6 l, con una presión media de 10 mm deHg. Si la eficiencia de la persona es del 25 %, ¿cuál es lapotencia total que requiere?

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10.1 ¿Qué fuerza hay que realizar para mover un alambre que desliza sobredos rieles, en forma de U, separados 20 cm si existe una capa de agua en elrectángulo formado por ellos? ¿Cuál es la energía superficial del agua cuandola separación entre el alambre móvil y el otro extremo es de 40 cm?

La fuerza es proporcional a la longitud y al coeficiente de tensión super-ficial:

F = 2γL = 2 · 0.073 · 0.2 = 0.029 N.

La energía superficial es proporcional al área y al coeficiente de tensiónsuperficial:

E = 2γS = 2 · 0.073 · 0.2 · 0.4 = 0.0117 J.

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10.2 Cada una de las seis patas de un insecto produce una deformación circu-lar en el agua de 1 mm radio. ¿Cuál es el peso máximo del insecto para podermantenerse sobre el agua?

El peso máximo del insecto corresponde a cuando la deformación de lasuperficie del agua es semiesférica. En este caso la fuerza debida a latensión superficial es:

F = 6 · 2πr γ = 6 · 2π 10−3 0.073 = 2.75 · 10−3 N.

La masa máxima del insecto es:

m =F

g=

2.75 · 10−3

9.8= 0.28 g.

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10.3 ¿Cuál es la presión del gas en el interior de una burbuja de 1 mm dediámetro en el fondo de un vaso con agua hasta una altura de 12 cm?

La presión del gas en una burbuja es igual a la presión fuera más la dife-rencia de presiones asociada a la tensión superficial:

pd = pf +2γ

r= ρgh+

r

= 1000 · 9.8 · 0.12 +2 · 0.073

0.0005= 1468 N/m2.

Esta presión es relativa a la presión atmosférica.

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10.4 Supón que ponemos en contacto dos pompas del mismo líquido, pero dedistinto radio. ¿Cuál es el radio final de ambas?

La presión (por encima de la atmosférica) en el interior de cada pompaes 4γ/r. Por tanto, es mayor en la pompa más pequeña. Puestas laspompas en contacto pasará gas de la pompa pequeña a la grande hastaque finalmente desaparezca la pequeña.

Para calcular el radio final obtenemos el número de moles totales:

n1 + n2 =p1V1

RT+p2V2

RT

=1

RT

(4γ

r1

4

3πr3

1 +4γ

r2

4

3πr3

2

)=

1

RT

16γπ

3(r2

1 + r22).

Cuando sólo queda una burbuja su radio viene dado por:

1

RT

16γπ

3(r2

1 + r22) =

1

RT

16γπ

3r2

f .

Y despejando llegamos a:

r2f = r2

1 + r22.

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10.5 Encuentra la aceleración con la que cae una pompa de líquido con unatensión superficial de 0.2 N/m y de radio 0.04 m. Supón que el aire es un gasideal.

La presión en el interior de la pompa vale:

p = patm +4γ

r= patm +

4 · 0.20.04

= patm + 20 N/m2.

La densidad del aire fuera de la pompa es:

ρ0 =mm

V=nmm

V= mm

patm

RT.

en dondemm es la masa molecular media del aire. En el interior de lapompa la densidad vale:

ρ = mmpatm + 20

RT= ρ0 +mm

20

RT.

La aceleración de la pompa es igual a su peso menos la fuerza de empuje,todo ello dividido por su masa:

a =F

m=

(ρ− ρ0)gV

ρV≈mm

20

RTg

mmpatm

RT

=20 · 9.8

1.013 · 105 = 0.00193 m/s2.

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10.6 Para determinar el coeficiente de tensión superficial de un líquido, con-tamos el número de gotas que caen por un tubo estrecho, para un volumende líquido dado. Si la densidad del líquido es de 0.8 y se producen 142 go-tas, mientras que para el mismo volumen de agua se producen 39, ¿cuál es latensión superficial del líquido?

El coeficiente de tensión superficial del líquido vale:

γ =ρNr

ρrNγr =

1 · 39

0.8 · 1420.073 = 0.025 N/m.

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10.7 Un líquido con una tensión superficial de 0.04 N/m y una densidad de 1.2posee un ángulo de contacto de 120◦ con el material del que está formado uncapilar de 0.2 mm de radio. ¿Qué diferencia de altura, con respecto al nivel deun gran recipiente, adquiere el líquido en el capilar?

La diferencia de alturas debida a la capilaridad es:

∆h =2γ cos θ

ρgr=

2 · 0.04 cos 120

1200 · 9.8 · 2 · 10−4 = −0.017 m.

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10.8 Supón que el ángulo de contacto de la sangre con un capilar es 0◦. ¿Cuáles el radio del capilar si la sangre asciende por él 2 cm?

El radio del capilar habrá de ser igual a:

r =2γ cos θ

ρg∆h=

2 · 0.058 · 11050 · 9.8 · 0.02

= 5.6 · 10−4 m.

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10.9 Obtén la expresión de la altura de una columna de líquido en un capilarpor medio de la diferencia de presiones entre el gas y el líquido en función delradio de curvatuta de su superficie de separación. Este radio de curvatura sepuede escribir en términos del radio del capilar y el ángulo de contacto.

El radio de curvaturaR de la superfi-cie del líquido es igual a:

R sen

2− θ

)= R cos θ = r.

La diferencia de alturas vale:

∆h =2γ cos θ

ρgr=

ρgr

La diferencia de presión entre el gas yel líquido es:

∆p =2γ

R.

El resultado buscado es, por tanto:

∆h =∆p

ρg=⇒ ∆p = ρg∆h.

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10.10 Podemos imaginar al xilem formado por conductos de 0.02 mm de radioque en su parte superior están cerrados por las hojas, que poseen unos porosde 5 nm de radio. Determina:

(a) la máxima altura que puede alcanzar el agua en un capilar de 5 nm deradio,

(b) la máxima presión, debida a la tensión superficial, que puede aguantaruno de esos capilares,

(c) la máxima altura de un conducto si el agua que contiene aguanta unapresión negativa de 32 atm,

(d) el caudal que atraviesa un conducto de un árbol de 30 m de altura, si lapresión en su parte superior es un diez por ciento mayor que la necesariapara mantener la columna de agua,

(e) la presión necesaria para mantener el mismo caudal en un conjunto devasos de radio 5 nm y cuya área total fuera igual a la del vaso del xilem.

(a) La altura máxima debida a la capilaridad de los poros de las hojases:

∆h =2γ cos θ

ρgr=

2 · 0.073 · 11000 · 9.8 · 5 · 10−9 = 2980 m.

(b) Hemos de traducir la altura anterior a su presión equivalente:

∆p = ρg∆h = 1000 · 9.8 · 2980 = 2.92 · 107N/m2 = 288 atm.

(c) La altura que aguanta un conducto con un líquido que es capaz desoportar una presión negativa de 32 atm es:

∆h =∆p

ρg=

32 · 1.013 · 105

1000 · 9.8= 331 m.

(d) El caudal viene dado por la ley de Poiseuille considerando una di-ferencia de presiones igual al exceso de presión respecto de la ne-cesaria para mantener la columna (ρgh):

Q =∆p πR4

L 8η=

0.1 · 1000 · 9.8 · 30π(0.02 · 10−3)4

30 · 8 · 0.001

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= 6.16 · 10−14 m3/s.

(e) Necesitaríamos un total de(0.02 mm/5 nm)2 = 16000000 capila-res de 5 nm por cada conducto de 0.02 mm de radio. El caudal através de uno de ellos es 16000000 veces menor que el de un con-ducto. Para mantener dicho caudal necesitaríamos una diferenciade presiones igual a:

∆p1 =Q1L8η

πR41

=Ql8η160000002

16000000 πR4 = 16000000 ∆p

= 16000000 · 29400 = 4.7 · 1011 N/m2.

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10.11 La presión parcial del oxígeno en un alveolo es de 160 mm de Hg y enla sangre de 40 mm de Hg. La capacidad de difusión del oxígeno a travésde la membrana de separación de un alveolo es de 30 ml/(min·mm de Hg) yel intercambio gaseoso se produce durante 0.3 s. ¿Qué cantidad de oxígenopasa a la sangre durante dicho intervalo en un alveolo?

El volumen de oxígeno intercambiado por alveolo es:

V = DLt∆p = 300.3

60(160− 40) = 18 ml.

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10.12 ¿Cuál es la diferencia de presiones entre el interior y el exterior de unalveolo de 0.1 mm de radio cuya capa de fluido posee una tensión superficialde 0.004 N/m?

La diferencia de presiones entre el interior y el exterior del alveolo será:

∆p =2γ

r=

2 · 0.004

0.0001= 80 N/m2.

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10.13 Determina la potencia consumida en la respiración por una persona querealiza 10 inhalaciones por minuto, cada una de ellas de 0.6 l, con una presiónmedia de 10 mm de Hg. Si la eficiencia de la persona es del 25 %, ¿cuál es lapotencia total que requiere?

La potencia neta necesaria para respirar es:

P =pV

t=

10 · 133 · 0.6 · 10−3

62 = 0.266 W.

El factor 2 aparece debido a la inhalación y la exhalación. La potenciatotal necesaria es igual a:

P =100

250.266 = 1.06 W.