Cap. 32: Ecuaciones de Maxwell, Magnetismo en la...

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Cap. 32: Ecuaciones de Maxwell, Magnetismo en la Materia En el caso eléctrico, la estructura básica es una carga aislada. Dos cargas de igual magnitud, pero signos opuestos, separadas por una distancia d, forman un dipolo. La Ley de Gauss para el caso eléctrico es: 0 encerrada C q E dA = ε

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Cap. 32: Ecuaciones de Maxwell, Magnetismo en la MateriaEn el caso eléctrico, la estructura básica es una carga aislada.Dos cargas de igual magnitud, pero signos opuestos, separadas por una distancia d, forman un dipolo.

La Ley de Gauss para el caso eléctrico es:

0

encerrada

C

qE dA⋅ =

ε∫

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En el caso magnético, las líneas de campo son cerradas (no tienen principio ni fin) lo cual implica que no existen monopolos magnéticos (polos aislados). La estructura básica es un dipolo magnético.

La Ley de Gauss para el caso magnético es:

0CB dA⋅ =∫

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La ley de Faraday en términos de E y B es:

∫Φ

−=⋅dt

ddE B

La ley de Ampere que discutimos anteriormente está incompleta. La ecuación general es:

0 0 0

d

Eenc

I

dB d I

dtΦ

⋅ =µ + µ ε∫

El término extra contiene la corriente desplazamiento Id producida por una variación de E con el tiempo. La corriente desplazamiento fue introducida por James C. Maxwell.

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Corriente Desplazamiento de Maxwell

0E

d

dI

dtΦ

= ε

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En el caso anterior podemos demostrar que la corriente desplazamiento es igual a la corriente de conducción:

0

0

0 0

00

,

Ed

E

E

d

dI

dtq

EA EA

q qA

A

d q dqI I

dt dt

Φ= ε

Φ = =ε

Φ = ⋅ =ε ε

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ε = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ε⎝ ⎠

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Las cuatro ecuaciones discutidas anteriormente resumen toda la teoría de Electromagnetismo en el vacío. Estas se conocen como las ecuaciones de Maxwell. De aquí se puede deducir la existencia de ondas electromagnéticas, concepto que discutiremosen el capítulo 34.

∫ =⋅0ε

QAdE ∫ =⋅ 0AdB

∫Φ

−=⋅dt

ddE B0 0 0

d

Eenc

I

dB d I

dtΦ

⋅ =µ + µ ε∫

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Magnetismo y ElectronesAún las partículas elementales como electrones y protones se comportan como dipolos magnéticos. Calculemos el momento dipolar del electrón debido a su movimiento orbital en el átomo:

2 2,r r

v TT vπ π

= =

El movimiento resulta en un “loop” de corriente I dada por

2q qv

IT r

= =π

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El momento dipolar magnético µ es

( )2 12 2orb

qvIA r qvr

r⎛ ⎞⎟⎜µ = = π =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠π

Podemos escribir µ en términos del momentum angular orbital L:

, sin 90

2 1 2 22 2

2

orb

orb

L r p L rp

q m mL rmv qvr

q q q

qL

m

= × =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎜⎜= = = µ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜µ = ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Vectorialmente tenemos:

2orb

qL

m⎛ ⎞⎟⎜µ = ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

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El electrón tiene carga q = -e, por lo tanto podemos escribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

2orb

eL

mµ = −

El electrón también posee un momentum angular intrínseco o espínS. Asociado con S, existe un momento dipolar intrínseco µs:

S

eS

mµ = −S

NOTA: Aunque hemos usado argumentos tomados de la mecánica clásica, el mundo atómico está gobernado por la mecánica cuántica. En ese escenario las cantidades L y S (y por lo tanto µorb y µS) no se pueden medir directamente. Como veremos en detalle en el capítulo 40, sólo se puede medir el componente a lo largo de un campo magnético externo aplicado.

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Si aplicamos un campo externo Bext y tomamos la dirección del campo como el eje z, tenemos:

, 2orb z z

eL

mµ = −

Como veremos en el capítulo 40, la mecánica cuántica predice que Lz solo puede asumir valores discretos dados por:

( )

, , .2

0, 1, 2, ,

z

hL m h es la cons de Planck

m entero máximo permitido

= =π

= ± ± ±

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En el caso del espín, el momento dipolar magnético en la dirección z está dado por

,S z z

eS

mµ = −

La mecánica cuántica predice que Sz solo puede asumir los valores ±½ħ.

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Magnetismo en la Materia

Podemos clasificar materiales en tres categorías: paramagnético,ferromagnético y diamagnético. En los primeros dos, las moléculas poseen momento dipolar magnético permanente.

Paramagnetismo:

En los materiales paramagnéticos, los momentos dipolares no actúan fuertemente entre sí y normalmente están orientados al azar. En presencia de un campo magnético externo Bext, los dipolos se alinean parcialmente en la dirección de Bext y por lo tanto lo aumentan. Si todos los dipolos magnéticos estuviesen alineados con el campo externo, el momento dipolar del material sería Nµ donde N es el número de átomos en el material. Sin embargo, el proceso se ve afectado por la agitación termal.

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Podemos expresar el grado de magnetización del material mediante el vector magnetización M:

momento magnético totalM

volumen=

Para un material paramagnético, M es proporcional a Bext e inversamente proporcional a la temperatura T. Si Bext/T es pequeño (ver figura), entonces:

extBM CT

=

Este resultado se conoce como ley de Curie. De la figura vemos que M no puede aumentar indefinidamente (según la ley de Curie), si no que se acerca a un valor máximo correspondiente a todos los dipolos alineados con Bext.

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Ferromagnetismo:

Ocurre en hierro puro, cobalto, níquel y algunos otros elementos. En estos materiales, un campo magnético externo puede producir un alineamiento grande de los dipolos magnéticos, el cual puede durar aún después de eliminar el campo. La razón para que esto ocurra es que los dipolos magnéticos en estas substancias ejercen grandes fuerzas entre sí tal que los dipolos en una región pequeña están alineados unos con otros aún cuando no hay un campo magnético externo. Estas fuerzas dipolares no se pueden explicarusando mecánica clásica si no que requieren el uso de MECANICA CUANTICA. Sobre cierta temperatura crítica, llamada temperatura de Curie, estas fuerzas desaparecen y los materiales ferromagnéticos se convierten en paramagnéticos.

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Diamagnetismo:

Estas substancias no tienen momento magnético dipolar permanente. Sin embargo, al exponerlas a un campo magnético externo se induce un momento dipolar magnético opuesto al campo. El efecto neto es una repulsión débil del material.

El diamagnetismo está presente en todos los átomos, pero si estos átomos tienen momento dipolar magnético permanente, el comportamiento diamagnético es mucho menor que el paramagnético o el ferromagnético.