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Análisis y Síntesis de Circuitos © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US 6-1 TEMA 6 BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS 6.1 Diseño de funciones básicas utilizando amplificadores operacionales Los amplificadores operacionales se utilizan con varios propósitos: A) Amplificación de señales B) Suma de señales C) Simulación de la impedancia de otros elementos, frecuentemente un inductor La simulación de inductores se realiza como indica la Fig. 6.1. Se cons- truye un circuito RC activo cuya impedancia se aproxima a la de un inductor a tierra o flotante, tan bien como sea posible en la frecuencia de interés. Para un inductor a tierra se necesita un circuito cuya impedancia de entrada sea Z in (s)=sL y para un inductor flotante se necesita una bipuerta cuya matriz de admitancia sea, (6.1) siendo I 1 =I 2 . Debido a las tolerancias de los elementos y las no-idealidades I 1 I 2 1 sL ----- 1 1 1 1 V 1 V 2 =

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Análisis y Síntesis de Circuitos

© F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US 6-1

TEMA 6

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS

6.1 Diseño de funciones básicas utilizandoamplificadores operacionales

Los amplificadores operacionales se utilizan con varios propósitos:

A) Amplificación de señales

B) Suma de señales

C) Simulación de la impedancia de otros elementos, frecuentemente uninductorLa simulación de inductores se realiza como indica la Fig. 6.1. Se cons-

truye un circuito RC activo cuya impedancia se aproxima a la de un inductora tierra o flotante, tan bien como sea posible en la frecuencia de interés. Paraun inductor a tierra se necesita un circuito cuya impedancia de entrada seaZin(s)=sL y para un inductor flotante se necesita una bipuerta cuya matriz deadmitancia sea,

(6.1)

siendo I1=−I2. Debido a las tolerancias de los elementos y las no-idealidades

I1

I2

1sL------ 1 1–

1– 1

V1

V2=

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de los amplificadores operacionales, las simulaciones serán imperfectas yserán válidas únicamente en un rango limitado de frecuencias. El inductorrealizado no sólo tendrá un valor incorrecto y tendrá además parásitos sinoque también tendrá pérdidas:

(6.2)

donde QL(ω) es el factor de calidad del inductor.

D) Simulación operacional de la función de inductores y condensadoresConsideremos el inductor en serie y el condensador en paralelo de la

Fig. 6.2a. Están descritos por las ecuaciones:

(6.3)

Figura 6.1: Ilustración de la simulación de (a) un inductor a tierra y(b) un inductor flotante mediante circuitos RC-activos.

Fig.4.16 Schauman

(a) (b)

jωL jωLr RL+→ jωLr 1 jRLωLr---------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jωLr 1 j 1QL ω( )----------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

IV1 V2–

sL------------------= V

I1 I2–sC

---------------=

Figura 6.2: (a) Inductor serie y condensador paralelo realizando "in-tegración"; (b) Equivalente con amplificadores operacionales.

Fig.4.15 Schauman

ASC 6.1 Diseño de funciones básicas utilizando amplificadores operacionales

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La misma función de integración la realiza el circuito de la Fig. 6.2b:

(6.4)

Está claro que debido a las no idealidades de los dispositivos aparecerán des-viaciones respecto a la función de integración ideal. Por tanto, de forma aná-loga a la simulación de la impedancia de los inductores conviene introducirun factor de calidad de los integradores. Denominamos TL(s)=1/sL a la fun-ción de integración del inductor en (6.3). Sustituyendo jωL por jωLr+RL seobtiene:

(6.5)

Se puede definir entonces un factor de calidad del integrador como:

(6.6)

de manera análoga al factor de calidad de los inductores.A partir de (6.5) podemos obtener la fase y el error de fase del integra-

dor:

(6.7)

de donde se obtiene la fase y el error de fase:

(6.8)

Como era de esperar, el error de fase del integrador está determinado por elfactor de calidad del integrador.

Similares resultados se obtienen para el integrador con condensador:

VoV1 V2–

sCR------------------=

TL jω( ) 1jωLr RL+------------------------ 1

jIm ω( ) Re ω( )+----------------------------------------= =

QI ω( ) Im ω( )Re ω( )----------------

ωLr R⁄RL R⁄-----------------

ωLrRL

---------= = =

TL jω( ) 1jIm ω( ) Re ω( )+---------------------------------------- 1

jIm ω( ) 1 j 1QI ω( )---------------–

--------------------------------------------------= =

φI ω( ) π2---– 1

QI ω( )---------------atan+ π

2---– ΔφI ω( )+= =

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C_P.1 (6.9)

6.2 Amplificadores/sumadores

En muchas ocasiones durante el diseño de un filtro debe amplificarseuna señal determinada o sumarse dos o varias señales con peso. Los circuitosapropiados son los amplificadores inversores y no-inversores de la Fig. 6.3.

Ejercicio C_P.2

6.1.- Obtener la ganancia en tensión del amplificador inversor de la Fig. 6.3acon un modelo genérico del amplificador operacional.

QI ω( ) Im ω( )Re ω( )----------------

ωCrRGCR-------------- ωCrRC= = =

Figura 6.3: Circuitos activos elementales: (a) amplificador inversor;(b) amplificador no inversor; (c) sumador inversor; (d) bufferde ganancia unidad.

Fig.4.17 Schauman

ASC 6.2 Amplificadores/sumadores

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Solución detalladaAplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y

divisor de tensiones:

(6.10)

Ejercicio C_P.2

6.2.- Obtener la ganancia en tensión del amplificador no-inversor de la Fig.6.3b con un modelo genérico del amplificador operacional.

Solución detalladaAplicando la ecuación del amplificador, principio de superposición y

divisor de tensiones:

(6.11)

-------------------------------------------------------------------------------------

Vo ARF

R1 RF+-------------------V1

R1R1 RF+-------------------Vo+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

Vo 1 AR1

R1 RF+-------------------+⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ARF

R1 RF+-------------------V1–=

VoARF

AR1 R1 RF++------------------------------------V1–RFR1------ 1

1 1A s( )----------- 1

RFR1------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

-------------------------------------------V1–= =

Vo A V1R1

R1 RF+-------------------Vo–⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

Vo 1 AR1

R1 RF+-------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

AV1=

VoA

1 AR1

R1 RF+-------------------+

---------------------------------V1 1RFR1------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

1 1A s( )----------- 1

RFR1------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

-------------------------------------------V1= =

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Si las expresiones en (6.10) y (6.11) tienden a:

(6.12)

donde Ko=RF/R1. En realidad la ganancia de estos amplificadores dependede la frecuencia. Si modelamos A(s) como:

(6.13)

puede observarse que dichos amplificadores tienen un ancho de banda redu-cido:

(6.14)

y se obtiene que el producto ganancia ancho de banda en lazo cerrado(1+Ko)ωK es aproximadamente igual al producto ganancia-ancho de bandaen lazo abierto GB.

El tercer circuito mostrado en la Fig. 6.3c es un sumador. Se ha cons-truido a partir del amplificador inversor añadiendo nuevas entradas en el ter-minal de entrada inversor que es un nudo de tierra virtual.

Ejercicio C_P.2

6.3.- Obtener la ganancia en tensión del sumador de la Fig. 6.3c con unmodelo genérico del amplificador operacional.

Solución detalladaEl análisis de este circuito conduce a:

(6.15)

siendo . Agrupando términos:

A jω( ) ∞→

VoVi------ Ko–=

VoVi------ 1 Ko+( )=

A s( ) GBs σ+------------ GB

s--------≅=

ωKGB

1 Ko+----------------≅

Vo AGiVi∑G----------------

GFG-------Vo+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=

G GF Gi( )∑+=

ASC 6.2 Amplificadores/sumadores

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(6.16)

Por lo que la operación del circuito sumador es:

(6.17)

-------------------------------------------------------------------------------------En el caso ideal |A(jω)|→∞ y (6.17) se reduce a:

(6.18)

donde cada coeficiente se puede ajustar independientemente, lo que resultamuy adecuado para ajuste de filtros activos. La operación de suma puede lle-varse a cabo siempre que se disponga de un nodo de tierra virtual en un cir-cuito activo, no es necesario construir un sumador aislado.

Ejercicio6.4.- Demostrar que el sumador generalizado de la Fig. 6.4 permite sumar y

restar señales pero a diferencia del sumador de la Fig. 6.3c no permiteun ajuste independiente de los coeficientes.

------------------------------------------------------------------------------------------Otro circuito interesante es el buffer de la Fig. 6.3d. Es un caso especial

del amplificador no inversor con RF=0 y R1=∞. Su ganancia es pues:

(6.19)

El ancho de banda de 3dB de este buffer es GB, y puede observarse que para las frecuencias normales de funcionamiento . La

utilidad de este amplificador de ganancia unidad es su alta impedancia de en-

Vo 1 AGFG-------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ AGiVi∑G----------------–=

Vo1

1 1A s( )----------- G

GF-------+

----------------------------GiGF-------Vi

i 1=

n

∑–=

VoGiGF-------Vi

i 1=

n

∑–=

VoVi------ A s( )

1 A s( )+-------------------- 1

1 1 A s( )⁄+--------------------------- 1

1 s GB⁄+------------------------≅= =

Vo Vi⁄ 1≅ ω GB«

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trada y su baja impedancia de salida:

(6.20)

Luego este circuito puede tener grandes cargas sin cargar los filtros activospuesto que no se extrae prácticamente ninguna intensidad del filtro.

6.3 Integradores

Los integradores realizan una función importante en el diseño de filtrosactivos. No sólo simulan la operación de inductores y condensadores sinoque pueden utilizarse para construir secciones de segundo orden, mediantela conexión de dos integradores en un bucle, como se muestra en la Fig. 6.5.

Si consideramos como modelo para cada integrador 1/s:

(6.21)

de donde se obtiene la siguiente función de transferencia:

. . .

. . .

. . .

. . .

VoVn1

Vn2

Vnn

Vp1

Vp2

Vpp

RF

Rn1

Rn2

Rnn

Rp1

Rp2

Rpp

Figura 6.4: Sumador generalizado

Zin Ri≅ ZoutRo

1 A s( )+-------------------- 0≅ ≅

V21s---V+ 1

s--- KV1 aV2– 1

s---V2–⎝ ⎠

⎛ ⎞= =

ASC 6.3 Integradores

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(6.22)

Combinando, pues, un integrador inversor y uno no inversor se obtiene unafunción de transferencia de segundo orden. C_P.3

6.3.1 Integradores inversores

El integrador básico puede obtenerse a partir del amplificador inversorsustituyendo RF por 1/sC, tal como se muestra en la Fig. 6.6. Puede obtener-se pues la función de transferencia a partir de la del amplificador inversor:

(6.23)

Las desviaciones respecto al comportamiento ideal pueden evaluarse a tra-

Figura 6.5: Lazo de dos integradores para implementar un filtrode segundo orden.

Fig.4.19 Schauman

H s( )V2V1------ Ks

s2 as 1+ +--------------------------= =

Figura 6.6: Integrador Miller.

Fig.4.20 Schauman

V2V1------ 1

sCR---------- 1

1 1A s( )----------- 1 1

sCR----------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

-----------------------------------------------–=

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vés del factor de calidad o error de fase del integrador.

Ejercicio6.5.- Obtener el factor de calidad y el error de fase del integrador Miller.

Solución detalladaSustituyendo y suponiendo que se obtiene:

(6.24)

Para s=jω:

(6.25)

Comparando con las expresiones anteriores se obtiene el error de fase y elfactor de calidad del integrador:

(6.26)

------------------------------------------------------------------------------------------El factor de calidad del integrador Miller es negativo y viene determinadopor la ganancia del A.O. a la frecuencia de interés. Por tanto, es importantetener ganancias grandes.

Si el factor de calidad es demasiado bajo se pueden utilizar métodos decompensación pasiva o activa, tales como los de las Fig. 6.7 y Fig. 6.8.

Ejercicio6.6.- Estudiar el uso del circuito de la Fig. 6.7 como método de

compensación pasiva del integrador Miller para minimizar el error defase y aumentar por tanto su factor de calidad. Estudiar los problemasasociados a dicha compensación pasiva.

A s( ) GB s⁄= GBCR 1»

V2V1------ 1

sCR 1 sGB-------- 1

GBCR----------------++⎝ ⎠

⎛ ⎞---------------------------------------------------------– 1

sCR---------- 1

1 sGB--------+

-----------------–≅=

V2V1------ 1

jωCR ω2CR GB⁄–------------------------------------------------–=

Δφ ωGB--------atan–≅ 1

A jω( )-----------------atan–= QI

GBω

--------–≅ A jω( )–=

ASC 6.3 Integradores

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Solución detalladaEn primer lugar calculamos la función de transferencia del circuito de

la figura. Analizamos el circuito utilizando un modelo de un polo para el am-

plificador operacional y calculando la tensión en el nudo x me-

diante el principio de superposición y el divisor de tensiones:

(6.27)

Agrupando términos:

(6.28)

La función de transferencia:

(6.29)

Dividiendo numerador y denominador por :

V2V1

Rc CR1

x

Figura 6.7: Integrador Miller con compensación pasiva.

A s( ) GBs

--------=

V2GBs

--------Rc

1sC------+

R1 Rc1

sC------+ +--------------------------------V1

R1

R1 Rc1

sC------+ +--------------------------------V2+–=

V2 1

GBs

--------R1

R1 Rc1

sC------+ +

--------------------------------+ GBs--------

Rc1

sC------+

R1 Rc1

sC------+ +

--------------------------------V1–=

V2 sC R1 Rc+( ) 1 GBR1C+ +[ ] GBs

-------- 1 sR+ cC[ ]V1–=

V2V1------

GBRcCs

------------------- s 1RcC----------+

sC R1 Rc+( ) 1 GBR1C+ +-----------------------------------------------------------------–=

GBRc R1 Rc+( )C2

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(6.30)

Para que fuera un integrador ideal tendría que cancelarse el cero en el semi-plano de la izquierda con el polo. Es decir, tendría que verificarse:

(6.31)

La solución de esta ecuación es:

(6.32)

------------------------------------------------------------------------------------El esquema pasivo de la Fig. 6.7 proporciona una compensación de primerorden pero tiene dificultades en su aplicación práctica porque se está tratantode fijar una correspondencia entre elementos muy distintos eléctricamente:se está tratando que la resistencia, un elemento pasivo, guarde una cierta re-lación con un parámetro activo, el GB, que suele presentar unas variabilida-des muy grandes. Por lo tanto, la resistencia de compensación debería tenerun valor distinto para cada amplificador. Es más, la compensación desapa-rece si GB varía debido a un cambio en las condiciones de operación.

Ejercicio6.7.- Estudiar el uso del circuito de la Fig. 6.8 como método de

compensación activa del integrador Miller

Solución detalladaCalculamos en primer lugar la función de transferencia del integrador.

Las relaciones impuestas por los amplificadores operacionales son:

V2V1------ 1

sC R1 Rc+( )------------------------------

s 1RcC----------+

1GBRcC------------------- s 1

R1 Rc+( )C----------------------------GBR1

R1 Rc+------------------+ +

---------------------------------------------------------------------------------------–=

1RcC---------- 1

R1 Rc+( )C----------------------------

GBR1R1 Rc+------------------+

1 GBR1C+R1 Rc+( )C

----------------------------= =

Rc1

GBC------------=

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(6.33)

de donde:

(6.34)

Aplicando análisis nodal en el nudo a:

(6.35)

Separando términos:

(6.36)

de donde la función de transferencia del integrador:

(6.37)

V1 V2

R

C

A1

A2

Va

Vb

Figura 6.8: Integrador Miller con compensación activa.

V2 A1Va–=

Vb A2 V2 Vb–( )=

VaV2A1------–=

VbA2V21 A2+---------------=

1R--- V1

V2A1------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

sCV2A1------–

A2V21 A2+---------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

V1 V21

A1------ sRC

A1----------

sRCA21 A2+-----------------+ +

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

H s( )V2V1------ 1

1 sRC+A1

-------------------- sRC 1

1 1A2------+

---------------+------------------------------------------------------–= =

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Consideraremos un modelo de un polo para el amplificador operacional

y hacemos :

(6.38)

El factor de calidad es pues:

(6.39)

Si suponemos que y :

(6.40)

Si consideramos que los dos amplificadores operacionales son idénticos:

A s( ) GBs--------= s jω=

H jω( ) 1jω 1 jωRC+( )

GB1----------------------------------- jωRC 1

1 jωGB2-----------+

--------------------+-----------------------------------------------------------------------------= =

1

jω 1 jωRC+( )GB1

----------------------------------- jωRC1 jω

GB2-----------–

1 ω2

GB22-------------+

-----------------------+

--------------------------------------------------------------------------------= =

1 ω2

GB22-------------+

jωRC j ωGB1----------- 1 ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ ω2RC

GB2--------------- ω2RC

GB1--------------- 1 ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–+ +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

QIIm ω( )Re ω( )----------------

GB2ω

-----------

1 1GB1RC------------------- ω2

GB22GB1RC

---------------------------------+ +

1GB2GB1-----------– ω2

GB1GB2----------------------–

---------------------------------------------------------------------≅=

GB1RC 1» ωGB2----------- 1«

QIGB2ω

----------- 1

1GB2GB1-----------– ω2

GB1GB2----------------------–

------------------------------------------------≅

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(6.41)

entonces:

(6.42)

que significa una mejora significativa respecto al integrador Miller. Si con-sideramos por ejemplo una realización con dos amplificadores operaciona-les con un producto ganancia-ancho de banda de 1 MHz y una frecuencia deoperación de 10KHz entonces el factor de calidad del integrador es:

(6.43)

mientras que un integrador Miller usando el mismo amplificador operacio-nal tendría .

Para obtener dicho factor de calidad hay que suponer coincidencia per-fecta entre ambos amplificadores.

Si el desapareamiento entre ambos amplificadores es suficientemente

grande para poder despreciar el término tendremos:

(6.44)

Si consideramos el mismo ejemplo numérico anterior pero ahora considera-mos que entre los producto ganancia-ancho de banda de los amplificadoresoperacionales existe un desapareamiento del 1% tendremos que el factor decalidad se ha deteriorado a:

(6.45)

GB1 GB2 GB= =

QIGBω

--------⎝ ⎠⎛ ⎞ 3

–≅ A jω( ) 3–=

QI 102( )3

–≅ 106–=

QI 102–≅

ω2

GB1GB2----------------------

QIGB2ω

----------- 1

1GB2GB1-----------–

--------------------≅A2 jω( )

1GB2GB1-----------–

--------------------=

QI106

104-------- 11 0.99–-------------------≅ 104=

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------------------------------------------------------------------------------------------

6.3.2 Integradores no inversores

El método más simple para obtener un integrador no inversor es conec-tar un amplificador inversor y un integrador Miller en cascada como semuestra en la Fig. 6.9a. El circuito adicional reduce el factor de calidad QIde la cascada inversor-integrador Miller.

Ejercicio6.8.- Calcular el factor de calidad del integrador no-inversor de la Fig. 6.9a.

Solución detalladaConsideramos que los amplificadores operacionales tienen impedancia

de salida nula por lo que la función de transferencia del integrador no-inver-sor de la Fig. 6.9a puede obtenerse como el producto de la función de trans-ferencia en tensión del integrador Miller y la de un amplificador inversor deganancia unidad. Para el integrador Miller se ha obtenido la función detransferencia en (6.23):

Figura 6.9:Integradores no inversores: (a) Cascada Miller-inversor;(b) Cascada modificada Miller-inversor.

Fig.4.23 Schauman(a)

(b)

Vo1

ASC 6.3 Integradores

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(6.46)

y para el amplificador inversor se ha obtenido en (6.11), que para resisten-cias iguales se particulariza a:

(6.47)

La cascada tendrá como ganancia el producto de ambas y considerandoun modelo de un polo de los amplificadores operacionales (elmismo para ambos):

(6.48)

Sustituyendo s=jω para separar parte real e imaginaria y calcular el factor decalidad del integrador:

(6.49)

Suponiendo se tiene que

(6.50)

Por tanto el factor de calidad es:

V01V1-------- 1

sCR---------- 1

1 1A s( )----------- 1 1

sCR----------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

-----------------------------------------------–=

V2V01-------- 1

1 2A s( )-----------+

--------------------–=

A s( ) GBs--------=

V2V1------ 1

sCR---------- 1

1 sGB-------- 1 1

sCR----------+⎝ ⎠⎛ ⎞+

-------------------------------------------- 1

1 2sGB--------+

-----------------=

V2V1------ 1

jωCR-------------- 1

1 jωGB-------- 1

GBCR----------------++----------------------------------------- 1

1 2jωGB---------+

-------------------=

GBCR 1»

V2V1------ 1

jωCR-------------- 1

1 jωGB--------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 1 2jωGB---------+⎝ ⎠

⎛ ⎞------------------------------------------------≅ 1

jωCR-------------- 1

1 2 ω2

GB2-----------– j3 ωGB--------+

--------------------------------------------=

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(6.51)

Para las frecuencias de interés se puede aproximar:

(6.52)

------------------------------------------------------------------------------------------Pero mediante el simple cambio de una interconexión, como se muestra enla Fig. 6.9b, puede obtenerse el mismo factor de calidad que el integradorMiller.

Ejercicio6.9.- Calcular el factor de calidad del integrador no-inversor de la Fig. 6.9b

Solución detalladaConsideramos que los amplificadores operacionales tienen impedancia

de salida nula por lo que la función de transferencia del integrador no-inver-sor de la Fig. 6.9b puede obtenerse como el producto de las funciones detransferencia de los dos bloques en cascada. La nueva interconexión no afec-ta a la realización del producto puesto que está conectado a un amplificadorde impedancia de entrada infinita por lo que no circula intensidad. Para elintegrador Miller se ha obtenido la función de transferencia en (6.23):

(6.53)

La ganancia del segundo bloque considerando ecuación del amplifica-dor operacional, principio de superposición y divisor de tensiones:

QI

1 2 ω2

GB2-----------–

3 ωGB--------

-----------------------–=

ω GB«

QI1

3 ωGB--------

-----------–≅ 13---

GBω

--------– 13--- A jω( )–= =

V01V1-------- 1

sCR---------- 1

1 1A1 s( )------------- 1 1

sCR----------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+-------------------------------------------------–=

ASC 6.3 Integradores

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(6.54)

Por tanto, para el integrador no-inversor se tiene la función de transferencia:

(6.55)

Sin consideramos los amplificadores operacionales idénticos, la cascadamodificada de integrador Miller e inversor tiene el mismo factor de calidadque el integrador Miller simple:

(6.56)

------------------------------------------------------------------------------------------

Ejercicio C_P.4

6.10.-Demostrar que el circuito de la Fig. 6.10 (integrador de Deboo) es unintegrador no inversor y obtener su factor de calidad.

Solución detallada El integrador de Deboo tiene la particularidad de ser un integrador no

inversor con un único amplificador operacional.Calculamos en primer lugar la función de transferencia. Aplicamos

ecuación constitutiva del amplificador operacional, principio de superposi-ción y divisor de tensiones:

V2 A2Vo1A1---------– 1

2---V2– 12---Vo1–=

V2 1A22

------+⎝ ⎠⎛ ⎞ 1

2---A2 1 2

A1------+⎝ ⎠

⎛ ⎞Vo1–=

V2Vo1---------

12---A2 1 2

A1------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

1A22

------+-------------------------------–

A2 1 2A1------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

2 A2+----------------------------–1 2

A1------+⎝ ⎠

⎛ ⎞

1 2A2------+⎝ ⎠

⎛ ⎞---------------------–= = =

V2V1------ 1

sCR---------- 1

1 1A1 s( )------------- 1 1

sCR----------+⎝ ⎠

⎛ ⎞+-------------------------------------------------

1 2 A1 s( )⁄+1 2 A2 s( )⁄+------------------------------=

QI A jω( )–=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-20 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

(6.57)

Agrupando términos:

(6.58)

Resultanto la función de transferencia en tensión:

(6.59)

Utilizamos el modelo de un polo para el amplificador operacional:

(6.60)

Hacemos :

VoVi

r

r

R

C R

Figura 6.10: Integrador de Deboo.

Vo A s( )

R1 sRC+--------------------

R R1 sRC+--------------------+

------------------------------Vi

R1 sRC+--------------------

R R1 sRC+--------------------+

------------------------------Vo12---Vo–+=

Vo 1 A2--- A

2 sRC+--------------------–+ A

2 sRC+--------------------Vi=

H s( )VoVi------

A2 sRC+--------------------

1 A2---

A2 sRC+--------------------–+

--------------------------------------- 12 sRC+

A-------------------- sRC2----------+

-------------------------------------= = =

H s( )VoVi------ 1

2sGB-------- s2RC

GB------------- sRC

2----------+ +

---------------------------------------------= =

s jω=

ASC 6.3 Integradores

© F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US 6-21

(6.61)

por lo que el factor de calidad:

(6.62)

y despreciando frente a :

(6.63)

------------------------------------------------------------------------------------------

Ejercicio6.11.-Demostrar que intercambiando los terminales de entrada del

amplificador operacional de un integrador inversor Miller y colocandoun amplificador inversor de ganancia −1 en el lazo de realimentacióncomo se muestra en la Fig. 6.11 se obtiene un integrador no inversorcon factor de calidad positivo (adelanto de fase o “phase-lead”).

H jω( )VoVi------ 1

ω2RCGB---------------– jω RC

2-------- 2GB--------++

-------------------------------------------------------------= =

QI

RC2

-------- 2GB--------+

ωRCGB------------

-----------------------–=

2GB-------- RC

2--------

QI

RC2

--------

ωRCGB

------------------------–≈ GB

2ω--------– 12--- A jω( )–= =

Vo

R1

R1

Vi

R

C

A1

A2

Figura 6.11: Integrador no inversor con adelanto de fase.

x

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-22 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

Solución detalladaCalculamos la función de transferencia del integrador utilizando ganan-

cias genéricas de los amplificadores operacionales. Aplicando la relaciónimpuesta por el amplificador A1, principio de superposición y divisor de ten-siones:

(6.64)

De la misma forma, para el amplificador A2:

(6.65)

de donde:

(6.66)

y sustituyendo en (6.64):

(6.67)

Agrupando términos:

(6.68)

Vo A1

1sC------

R 1sC------+

----------------ViR

R 1sC------+

----------------Vx+=

Vx A– 212---Vo

12---Vx+=

Vx

A– 22---------

1A– 22---------+

-------------------Vo1

1 2A2------+

---------------Vo–= =

Vo A1

1sC------

R 1sC------+

----------------ViR

R 1sC------+

----------------– 1

1 2A2------+

---------------Vo=

Vo 1 sRC1 sRC+--------------------

A1

1 2A2------+

---------------+A1

1 sRC+--------------------Vi=

ASC 6.3 Integradores

© F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US 6-23

Utilizamos un modelo de un polo de los amplificadores operacionales. La función de transferencia:

(6.69)

Haciendo :

(6.70)

El factor de calidad:

Ai s( ) GBi s⁄=

H s( )VoVi------

GB1s

-----------

1 sRC sRC

GB1s

-----------

1 2sGB2-----------+

--------------------+ +

----------------------------------------------------------= =

s jω=

H jω( )

GB1jω

-----------

1 jωRC RCGB1

1 2jωGB2-----------+

--------------------+ +-----------------------------------------------------------= =

GB1

jω ω2RC–jωRCGB1 1 2jω

GB2-----------–⎝ ⎠

⎛ ⎞

1 4ω2

GB22-------------+

----------------------------------------------------+

-------------------------------------------------------------------------------------= =

GB1 1 4ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ω2RC 1 4ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

2ω2RCGB1GB2-----------+– jω 1 4ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jωRCGB1+ +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-24 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

(6.71)

Suponiendo y se tiene que

(6.72)

Si suponemos que los productos ganancia-ancho de banda de los amplifica-dores son iguales :

(6.73)

------------------------------------------------------------------------------------------

Ejercicio 6.12.-Demostrar que colocando un seguidor en el lazo de realimentación del

integrador en cascada Miller-inversor modificado, tal como se muestraen la Fig. 6.12, se obtiene un integrador no inversor con factor decalidad muy alto y negativo (retraso de fase o “phase-lag”).

------------------------------------------------------------------------------------------

Ejercicio6.13.-La Fig. 6.13(a) muestra un integrador pasivo con pérdidas. Investigar

qué tipo de elemento hay que conectar en paralelo con el condensadorpara anular las pérdidas.Estudiar el posible uso del circuito de la Fig. 6.13(b) para implementardicho elemento (puede considerar que el amplificador operacional esideal).

QI

ωRC ωGB1----------- 1 4ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

2ω2RCGB2

------------------ ω2RCGB1

--------------- 1 4ω2

GB22-------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

------------------------------------------------------------------≅

GBCR 1» ωGB2----------- 1«

QIωRC

2ω2RCGB2

------------------ ω2RCGB1

---------------–

-------------------------------------≅ 12ω

GB2----------- ω

GB1-----------–

--------------------------=

GB1 GB2 GB= =

QIGBω

--------≅ A jω( )=

ASC 6.3 Integradores

© F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US 6-25

Estudiar el tipo de integrador resultante y obtener su factor de calidadsuponiendo un modelo de un polo (A(s)=GB/s) para el amplificadoroperacional. No olvide tomar la salida del integrador en un nudo debaja impedancia.

------------------------------------------------------------------------------------------

Ejercicio6.14.-Estudiar si en el integrador “phase-lead” de la Fig. 6.14 pueden

aparecer problemas de estabilidad si el segundo polo de losamplificadores operacionales no está al menos dos veces por encima

del GB. Utilice el modelo de dos polos . Puede

Vo

R1

R1

A1

A3

A2

C

RVi

Figura 6.12: Integrador no inversor con alto factor de calidad.

R

CVi Vo

R

R

R

+

− −

+

(a) (b)

Figura 6.13:

A s( ) GBs

-------- 1 sω2------–⎝ ⎠

⎛ ⎞≅

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-26 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

considerar que ambos amplificadores operacionales son identicos.

------------------------------------------------------------------------------------------

6.4 Giradores

Uno de los propósitos de circuitos activos es la simulación de inductores, deforma que la impedancia de entrada sea inductiva. La técnica más conocidapara la simulación de inductores está basada en el uso de giradores. Un gi-rador, cuyo símbolo se muestra en la Fig. 6.15, es una bipuerta descrita porlas ecuaciones:

(6.74)

y la impedancia de entrada es:

V1V2

R

C R1

R1

Figura 6.14:

I11r---V2= I2

1r---–⎝ ⎠

⎛ ⎞V1=

Figura 6.15:(a) Símbolo del girador; (b) Modelo de pequeña señalequivalente.

Fig.4.25 Schauman

(a) (b)

ASC 6.4 Giradores

© F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US 6-27

(6.75)

donde r es la resistencia del girador y es la admitancia de carga.Está claro que si Yload=sC, Zin será de tipo inductivo.

Ya que la mayoría de los diseños de giradores tienen tierra común entrelas puertas de entrada y salida, se simulan inductores conectados a tierra,como indica la Fig. 6.16a. Para simular inductores flotantes se suele recurrira un circuito como el de la Fig. 6.16b, construido a partir de dos giradorescon tierra común.

Ejercicio6.15.-Calcular la inductancia del inductor flotante simulado por la estructura

de la Fig. 6.16b.

SoluciónSi los dos giradores son idénticos se simula un inductor de valor L=r2C.

C_P.5

------------------------------------------------------------------------------------------

Zin s( ) ZinV1I1------ r2 I2–

V2------- r2Yload s( )= = = =

Yload s( )

Fig.4.26 Schauman

Figura 6.16: Simulación mediante giradores de (a) un inductor atierra; (b) un inductor flotante.

(a) (b)

V21

I21 I22

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-28 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

Ejercicio6.16.-Discutir el tipo de función que realiza la bipuerta activa de la Fig. 6.17.

------------------------------------------------------------------------------------------Si bien los giradores se adecúan muy bien a su realización utilizando

OTAs, no ofrece ventajas su realización utilizando amplificadores operacio-nales por lo que para la simulación de la impedancia de inductores utilizandoamplificadores operacionales se suelen utilizar convertidores de inmitancia.

6.5 Convertidores de inmitancia

La estructura general de un convertidor de inmitancia se muestra en laFig. 6.181. Utilizando modelos ideales de los A.O. se obtiene que:

1. Para una deducción lógica de la estructura de un convertidor de inmitancia con-sultar apéndice A.2.

+-

+-

RI2

R

RR

R

R

R

+

V1

-

+

V2

-

I1

Figura 6.17: Bipuerta activa.

ASC 6.5 Convertidores de inmitancia

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(6.76)

Por tanto, la impedancia del GIC es:

(6.77)

Para Z2=1/sC y Z1=Z3=Z4=Z5=R conduce a Zin=sL=sCR2, el circuito resul-tante se denomina GIC de tipo I y se muestra en la Fig. 6.19a. Pero tambiénse obtiene comportamiento inductivo si se intercambia Z2 y Z4, es decir,Z4=1/sC y Z1=Z2=Z3=Z5=R. Este último se denomina GIC de tipo II y semuestra también en la Fig. 6.19b. C_P.6

I4 Y5V1=

V4 V1 1Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

I3 I2Y3Y5

Y4------------V1–= =

V2 V1 1Y3Y5Y2Y4------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

I1Y1Y3Y5

Y2Y4------------------V1=

Fig.4.33 Schauman

Figura 6.18: Estructura general de un convertidor de inmitancias deAntoniou.

Zin s( )Z1 s( )Z3 s( )Z5 s( )

Z2 s( )Z4 s( )-----------------------------------------=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-30 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

Ejercicio6.17.-El GIC de tipo I de la Fig. 6.19a simula la impedancia de un inductor

conectado a tierra. Diseñar dicho circuito para maximizar el factor decalidad del inductor y minimizar las desviaciones que se producenrespecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelosno ideales de los amplificadores operacionales.

Solución detalladaEl análisis del circuito de la Fig. 6.18 considerando una ganancia gené-

rica A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitanciade entrada:

(6.78)

Vamos a utilizar el modelo de un polo:

(6.79)

y sustituimos los valores de las admitancias para el GIC de tipo I:

Fig.4.32 Schauman

Figura 6.19: Convertidores generales de impedancia de Antoniou:(a) tipo I; (b) tipo II.

(a) (b)

R2

R3

R4 R5

R1 R1

R3

R5

Yin s( )Y1Y3Y5

Y2Y4-------------------

1 1A2------ 1

Y4Y5------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1------

Y2Y3------ 1

Y4Y5------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2------------- 1

Y2Y3------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y4Y5------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

1 1A1------ 1

Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A2------

Y3Y2------ 1

Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2------------- 1

Y3Y2------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

A s( ) GBs--------=

ASC 6.5 Convertidores de inmitancia

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(6.80)

resulta que la admitancia del inductor simulado es:

(6.81)

donde hemos despreciado los términos de segundo orden porque suponemosque y

(6.82)

es el valor del inductor nominal y

(6.83)

Haciendo s=jω:

(6.84)

Si x«1 se puede hacer la aproximación:

(6.85)

por lo que considerando:

Y1 G1= Y2 sC2= Y3 G3=

Y4 G4= Y5 G5=

YL1

sLo--------

1 sGB2----------- H

H 1–------------- s2

GB1-----------

C2G3------- H

H 1–-------------+ +

1 sGB1-----------H 1

GB2-----------

G3C2-------H+ +

-------------------------------------------------------------------------=

ω2 GB1GB2«

LoC2G4

G1G3G5---------------------=

H 1G5G4-------+=

YL1

jωLo------------

1 HH 1–------------- jω

GB2-----------

ω2C2GB1G3------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

1 H jωGB1-----------

G3GB2C2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

----------------------------------------------------------------≅

11 x+------------ 1 x–≅

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-32 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

(6.86)

se obtiene:

(6.87)

Haciendo el producto y haciendo la misma aproximación anterior de elimi-nar los términos de segundo orden:

(6.88)

Al considerar un modelo de un polo para los A.O. el inductor simulado tienepérdidas (reflejadas en la conductancia en paralelo GL) y el inductor tiene uncierto error.

La conductancia GL se puede anular haciendo:

(6.89)

Es decir,

(6.90)

luego

(6.91)

y por tanto H=2.

x H jωGB1-----------

G3GB2C2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

YL1

jωLo------------ 1 H

H 1–-------------–ω2C2

GB1G3------------------ H

H 1–------------- jωGB2-----------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1 H jωGB1-----------– H

G3GB2C2------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

YL1

jωLo------------ 1 H

H 1–-------------–ω2C2

GB1G3------------------ H

G3GB2C2------------------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

Lo------ H

GB1----------- H

H 1–------------- 1GB2-----------–⎝ ⎠

⎛ ⎞–≅ =

1jωL--------- GL+=

HGB1----------- H

H 1–------------- 1

GB2-----------– 0=

H 1–GB1GB2----------- 1≅=

G5G4------- 1=

ASC 6.5 Convertidores de inmitancia

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Para minimizar el error del inductor hay que minimizar:

(6.92)

Si suponemos que GB1≅GB2 hay que minimizar:

(6.93)

o bien:

(6.94)

Esto se minimiza para:

(6.95)

por lo que:

(6.96)

Nótese que es una función de la frecuencia por lo que para obtener valoresde los elementos habrá que considerar una frecuencia concreta y será a esafrecuencia a la que se produce la mayor minimización de los errores. Por tan-to, esa frecuencia habrá de ser elegida de manera inteligente en cada caso.------------------------------------------------------------------------------------------

Ejercicio6.18.-El GIC de tipo II de la Fig. 6.19b simula la impedancia de un inductor

conectado a tierra. Diseñar dicho circuito para maximizar el factor decalidad del inductor y minimizar las desviaciones que se producen

ω2C2GB1G3------------------

G3GB2C2------------------+

ω2C2G3

-------------G3C2-------+

ωC2G3

-----------G3

C2ω-----------+

ωC2G3

----------- 1=

C21

ωR3----------=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-34 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

respecto al valor nominal del inductor cuando se consideran modelosno ideales de los amplificadores operacionales.

Solución detallada C_P.7

El análisis del circuito de la Fig. 6.18 considerando una ganancia gené-rica A(s) para los A.O. conduce a la siguiente expresión para la admitanciade entrada:

(6.97)

Vamos a utilizar el modelo de un polo:

(6.98)

y sustituimos los valores de las admitancias:

(6.99)

El inductor realizado tenía como valor:

(6.100)

y la admitancia despreciando los factores de segundo orden:

(6.101)

Yin s( )Y1Y3Y5

Y2Y4-------------------

1 1A2------ 1

Y4Y5------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1------

Y2Y3------ 1

Y4Y5------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2------------- 1

Y2Y3------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y4Y5------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

1 1A1------ 1

Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A2------

Y3Y2------ 1

Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞ 1

A1A2------------- 1

Y3Y2------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1Y5Y4------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ + +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

A s( ) GBs

--------=

Y1 G1= Y2 G2= Y3 G3=

Y4 sC4= Y5 G5=

L0G2C4

G1G3G5---------------------=

YL s( ) 1sL0--------

1 s 1GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

s2C4G5------- 1

GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ +

1G5C4------- 1

GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

s 1GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ +

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------≅

ASC 6.5 Convertidores de inmitancia

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Haciendo :

(6.102)

Si x«1 se puede hacer la aproximación:

(6.103)

por lo que considerando:

(6.104)

por lo que aplicándolo a (6.102) se obtiene:

(6.105)

Las pérdidas se anulan si hacemos . La desviación del valor del in-ductor se minimiza cuando se hace mínimo

s jω=

YL jω( ) 1jωL0------------

1 jω 1GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

ω2–C4G5------- 1

GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+

1G5C4------- 1

GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jω 1GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ +

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------≅

11 x+------------ 1 x–≅

xG5C4------- 1

GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jω 1GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+=

YL jω( ) 1jωL0------------ 1 ω2–

C4G5------- 1

GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

jω 1GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

+ ⋅≅

1G5C4-------– 1

GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

j– ω 1GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

=

1jωL0------------ 1 ω2C4

G5------- 1

GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–G5C4------- 1

GB1-----------

G3G2GB2------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

– –=

1L0------ 1

GB1-----------

G3G2GB2------------------ 1

GB2-----------

G2G3GB1------------------+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–+–

R2 R3=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-36 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

(6.106)

que es mínimo para

(6.107)

Obviamente esto es función de la frecuencia por lo que sólo se puede igualarpara un valor concreto, por lo que se escoge una frecuencia adecuada .------------------------------------------------------------------------------------------

6.6 Diseño de funciones básicas usandoamplificadores de transconductancia

A continuación veremos bloques básicos activos contruidos con OTAs.Estos bloques contienen únicamente OTAs y condensadores. En general, essuficiente con estos dos elementos y los circuitos resultantes son fáciles deintegrar.

El circuito de la Fig. 6.20 se utiliza para simular una resistencia a tierra.El análisis de esta estructura con un modelo ideal para el OTA es:

(6.108)

por lo que el valor de la resistencia simulada es:

(6.109)

ωC4G5

-----------G5ωC4-----------+

G5 ωC4=

ωc

I1 gm V1 0–( )=

Rin1

gm------=

Fig.4.13 Schauman

Figura 6.20: Simulación de resistencia a tierra.

ASC 6.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

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Si se intercambian los terminales de entrada se obtiene −gm en lugar de gmpor lo que pueden implementarse también resistencias negativas.

Para simular una resistencia flotante la intensidad I1 debe fluir a travésdel segundo terminal. El resultado es el circuito de la Fig. 6.21. Por simpleanálisis se obtiene:

(6.110)

Si los OTAs están apareados gm1=gm2=gm por lo que tenemos una resisten-cia flotante de valor R=1/gm.

Para implementar sumadores con OTAs se necesita un OTA por cadaseñal a sumar como se muestra con el circuito de la Fig. 6.22. La intensidadIs, suma de la que circula por todos los OTAs se transforma en la tensión desalida mediante una resistencia simulada a tierra. Para el circuito de la Fig.6.22 se han sumado dos señales escaladas:

(6.111)

La extensión a más de dos señales es obvia. Intercambiando simplemente losterminales de entrada de cualquier OTA se obtiene la diferencia de dos se-ñales.

La Fig. 6.23 muestra un integrador con pérdidas que implementa la si-guiente función:

I1 gm1 V1 V2–( )= I2 gm2 V1 V2–( )=

Fig.4.34 Schauman

Figura 6.21: Simulación de resistencia flotante.

Vsgm1gms---------V1

gm2gms---------V2+=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

6-38 © F.V. Fernandez, S. Espejo y R. Carmona, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US

(6.112)

Si los OTAs son ideales el integrador puede hacerse sin pérdidas eliminandogm4. Si Vs del sumador de la Fig. 6.22 se conecta al terminal + o − del inte-grador y se conecta a tierra el otro se tendrá un integrador sumador inversoro no inversor.

Para simular inductores se pueden utilizar giradores. Se pueden cons-truir muy fácilmente giradores utilizando OTAs como se indica en laFig. 6.24, donde además del girador se ha colocado un condensador en lasegunda puerta para simular la impedancia del inductor. El análisis de estecircuito proporciona:

(6.113)

Por tanto, la impedancia de entrada corresponde a la de un inductor contro-lable variando gm:

Fig.4.35a Schauman

Figura 6.22: Sumador gm-C.

Vogm3

sC gm4+---------------------- Vi+ Vi

––( )=

Fig.4.35b Schauman

Figura 6.23: Integrador diferencial gm-C con pérdidas.

C

VCgm1sC---------V1= I1 gm2VC

gm1gm2sC-------------------V1= =

ASC 6.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

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(6.114)

La simulación de inductores flotantes es muy fácil con la conocida es-tructura de dos giradores. Sin embargo, podemos ahorrar el uso de un OTAsin más que tener en cuenta que solo necesitamos un circuito que proporcio-ne I2=I1 en el segundo terminal. Esto se realiza con el circuito de la Fig. 6.25.El análisis de este circuito es:

(6.115)

Si los OTAs están apareados gm2=gm3=gm se simula un inductor de valor:

(6.116)

A.2 Desarrollo de un GIC tipo I

La simulación de inductores con A.O. puede realizarse utilizando laconfiguración general de la Fig. 6.26. Supongamos que la bipuerta tiene im-

Fig.4.36a Schauman

Figura 6.24:Simulación gm-C de un inductor a tierra.

ZinV1I1------ s C

gm1gm2-------------------= =

VCgm1sC--------- V1 V2–( )=

I1 gm2VCgm1gm2

sC------------------- V1 V2–( )= =

I2 gm3VCgm1gm3

sC------------------- V1 V2–( )= =

L Cgmgm1----------------=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

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pedancia de entrada infinita y nula de salida. Del análisis de la bipuerta seobtiene que:

(6.117)

y queremos que se comporte como un inductor:

(6.118)

Por tanto, se debe construir una bipuerta tal que

(6.119)

Es decir,

Fig.4.36b Schauman

Figura 6.25: Simulación gm-C de un inductor flotante.

I1 G V1 V2–( )=

ZinV1I1------ sL= =

Fig.4.28 Schauman

Figura 6.26: Circuito genérico de simulación de inductancias.

I1V1------ 1

sL------ G 1V2V1------–

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

= =

ASC 6.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

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(6.120)

Un circuito muy utilizado para simulación de inductores implementa ladiferencia de la ecuación (6.120) utilizando directamente un integrador Mi-ller, eliminando la conexión a tierra del terminal no inversor para hacer usode la entrada diferencial del A.O. El circuito, mostrado en la Fig. 6.27, tienecomo función de transferencia:

(6.121)

Si hacemos V+/V=1/2 obtendremos la función de transferencia en la formade la ecuación (6.120). Para ello se hace un divisor de tensión con dos resis-tencias:

(6.122)

Finalmente para eliminar el factor 1/2 es necesario multiplicar por una fun-ción de transferencia de valor 2, un amplificador no inversor como se mues-tra en la Fig. 6.28. Se puede ahorrar el uso de las dos resistencias mediantela conexión del terminal inversor del A.O. al nodo V/2. El circuito resultantees un tipo (tipo I) de los convetidores generales de impedancia de Antoniou

V2V1------ 1 R

sL------–=

V2V------ V+

V------ 1

SCR----------- 1 V+

V------–⎝ ⎠

⎛ ⎞–=

Fig.4.31 Schauman

Figura 6.27: Ilustrando el desarrollo del simulador de inductancias deAntoniou.

V2V------ 1

2--- 1 1

sCR----------–⎝ ⎠

⎛ ⎞=

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

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(GIC), que se muestra en la Fig. 6.19.

Figura 6.28: Convertidores generales de impedancia de Antoniou tipoI.

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Comentarios ProfesorC_P.1.Los conceptos de integrador con pérdidas, factor de calidad del inte-

grador y error de fase del integrador son muy útiles en el diseño defiltros activos. Proporcionan conocimiento acerca del funcionamien-to de los circuitos, sugieren como corregir o compensar errores y per-miten aplicar resultados de los filtros pasivos LC.

C_P.2.Desarrollo trivial. No hacer y referirse únicamente al resultado.C_P.3.El integrador inversor se necesita para que la ganancia del lazo de rea-

limentación sea negativo y el sistema sea estable.C_P.4.No creo que sea necesario hacer este problema al haber hecho ya va-

rios de integradores. Únicamente se haría si se fuera excepcionalmen-te bien de tiempo.

C_P.5.Veamos cómo se calcula el valor de la inductancia simulada:

(6.123)

C_P.6.Se ha tratado de indicar qué elemento pasivo debe ser resistencia ycual condensador. No debería interpretarse que para obtener compor-tamiento inductivo las resistencias deben ser iguales; de hecho, comose verá posteriormente, no deben serlo para diseño óptimo.

I11r---V21=

I21 rV1–=

I22 rV2=

I2 rV21–=

sCV21 I21 I22+( )–=

sCrI11r---– V1 rV2+⎝ ⎠

⎛ ⎞–=

I11

sCr2------------= V2 V1–( )

BLOQUES BÁSICOS ACTIVOS ASC

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C_P.7.Dado que el desarrollo es idéntico al ejercicio anterior no es conve-niente perder el tiempo en repetirlo. Tan solo sería interesante reseñarla diferencia en resultados en cuanto a no necesitar apareamiento delos GBs de los operacionales.

ASC 6.6 Diseño de funciones básicas usando amplificadores de transconductancia

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Apéndices ProfesorA_P.1