Bab 6 Analisa Spektrum - Belajar, Belajar, BekerjaUntuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal...

6
BAB 6 Analisa Spektrum VI-1 Bab 6: Analisa Spektrum 1 Analisa Spektrum Dengan DFT Tujuan Belajar 1 Peserta dapat menghubungkan DFT dengan spektrum dari sinyal hasil sampling sinyal waktu kontinue. N-point DFT dari sinyal x(n) adalah X(ϖ) yang dievaluasi pada frekuensi-frekuensi ϖk = 2πk/N untuk k=0,1,…,N-1 Contoh : Sinyal dengan durasi sepanjang L diberikan sebagai berikut : ( - = lainnya L n n x 0 1 0 , 1 Transformasi Fourier dari sinyal ini adalah ( ( ( ( ( 2 1 1 0 1 0 2 sin 2 sin 1 1 - - - - - = = - - = = - = - - = = = L j j L j L n n n j L n n n j e l e e e e n x X w w w w w w w w 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 omega |X(omega)| 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi -pi -pi/2 0 pi/2 pi Gambar 6.1 : Karakteristik magnituda dan fasa hasil transformasi Fourier N-point DFT dari sinyal diatas adalah ( ( ( ( N L k j N kL j N kL j L n n N kL j e N k N kL e e e k X 1 2 2 1 0 2 sin sin 1 1 - - - - - = = - = - - = = p p p p p p 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N = 50 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N = 100

Transcript of Bab 6 Analisa Spektrum - Belajar, Belajar, BekerjaUntuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal...

BAB 6 Analisa Spektrum

VI-1

Bab 6: Analisa Spektrum

1 Analisa Spektrum Dengan DFT

Tujuan Belajar 1

Peserta dapat menghubungkan DFT dengan spektrum dari sinyal hasil sampling sinyal waktu kontinue.

N-point DFT dari sinyal x(n) adalah X(ω) yang dievaluasi pada frekuensi-frekuensi ωk = 2πk/N untuk k=0,1,…,N-1 Contoh :

Sinyal dengan durasi sepanjang L diberikan sebagai berikut :

( ) −≤≤

=lainnya

Lnnx

010,1

Transformasi Fourier dari sinyal ini adalah

( ) ( ) ( )( )

( ) 211

0

1

0 2sin2sin

11 −−

−−=

=

−−=

=

− =−−

=== ∑∑ Ljj

LjLn

n

njLn

n

nj el

ee

eenxX ωω

ωωω

ωω

ω

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

omega

|X(o

meg

a)|

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi-pi

-pi/2

0

pi/2

pi

Gambar 6.1 : Karakteristik magnituda dan fasa hasil transformasi Fourier

N-point DFT dari sinyal diatas adalah

( ) ( )( )

( ) NLkjNkLj

NkLjLn

n

NkLj eNkNkL

ee

ekX 12

21

0

2

sinsin

11 −−

−−=

=

− =−−

== ∑ ππ

ππ

ππ

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10N = 50

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10N = 100

BAB 6 Analisa Spektrum

VI-2

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5N = 50

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi-3

-2

-1

0

1

2

3N = 100

Gambar 6.2 : Magnituda dan fasa N-point DFT untuk N=50 dan N=100

Tujuan Belajar 2

Peserta dapat melakukan analisa spektrum dengan DFT, termasuk konsep windowing

Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal waktu kontinyu maupun sinyal waktu diskrit, maka perlu diketahui besarnya sinyal setiap saat. Namun, secara praktis, kita mengamati sinyal hanya dalam selang waktu tertentu. Akibatnya, spektrum sinyal harus didekati menggunakan sejumlah data yang berhingga.

Misalkan, 1. 2. Durasi xa(t) = To ≥ T dimana T = 1/Fs

⇒ kemampuan membedakan frekuensi terbatas ke sF

F1

=∆

bila xa(t) lebih panjang dari To, tetapi kita "memaksa" diri menggunakan blok sebesar L samples, maka gunakan window ω(n) berdurasi L

)()()(ˆ nnxnx ω=

misal −≤≤

=lainnya

Lnn

0101

)(ω

maka )(ˆ nx berdurasi L, gunakan pada DFT Misalkan x(n) mengandung frekuensi tunggal ω0

x(n) = cos ω0 n

maka transformasi Fourier x(n) dapat dinyatakan

( ) ( ) ( )[ ]0021ˆ ωωωωω ++−= WWX

xa(n) L samples

B

anti aliasing

filter

sampling xa(t)

Fs≥2B

BAB 6 Analisa Spektrum

VI-3

dimana W(ω) adalah transformasi Fourier dari sekuen window, dimana untuk rectangular window

2/)1(

)2/sin()2/sin(

)( −−= ljeL

W ω

ωω

ω

Tujuan Belajar 3

Peserta mengerti zero padding dan persamaan/perbedaan akibatnya dibanding dengan menaikkan point DFT.

( )ωX̂ dihitung menggunakna DFT. Jika diinginkan menghitung N-points DFT dimana N > L maka dapat dilakukan zero padding, yaitu dengan menyisipkan sejumlah (N–L) buah nol pada sekuen { ( )nx̂ }. Gambar dibawah memperlihatkan magnituda spektrum

untuk L=25 dan N=2048. Seperti terlihat pada gambar tersebut, spektrum ( )ωX̂ tidak terlokalisir pada satu frekuensi tetapi menyebar ke seluruh range frekuensi. Jadi, daya dari sinyal x(n) yang sebelumnya terkonsentrasi pada satu frekuensi sekarang tersebar ke seluruh range frekuensi, atau disebut leakage.

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0

2

4

6

8

10

12

14

16L = 32, N = 2048

Tujuan Belajar 4

Peserta dapat mengurangi kebocoran spektrum (spektral leakage)

Windowing, selain menyebabkan kesalahan estimasi spektrum sinyal karena leakage, juga mengurangi resolusi spektrum. Misalkan terdapat sinyal terdiri dari dua frekuensi :

x(n) = cosω1n + cosω2n dengan menggunakan windowing, maka

)()(ˆ nxnx nω=→ dimana transformasi Fouriernya adalah :

[ ])()()()(21

)( 2121 ωωωωωωωωω ++++−+−= WWWWX

BAB 6 Analisa Spektrum

VI-4

Zero crossing W(ω) terjadi pada ω = 2π/L, bila |ω1-ω2| < 2π/L maka terjadi overlap pada W(ω-ω1) dan W(ω-ω2), jika |ω1-ω2| ≥ 2π/L maka muncul 2 lobe. Jadi kemampuan meresolusi garis spektrum ditentukan oleh lebar main-lobe dari window. Contoh :

x(n) = cos 0.2πn + cos 0.22πn + cos 0.6πn

Terdapat dua frekuensi yang saling berdekatan, yaitu 0.2π dan 0.22π. Kedua frekuensi tidak bisa dipisahkan menggunakan L=25 dan L=50, kedua frekuensi baru terpisah menggunakan L = 100.

Untuk mengurangi kebocoran dapat digunakan window w(n) dengan side-lobe yang rendah yang berakibat main-lobe melebar (resolusi meningkat). Bila spektrum window relatif sempit dibanding X(ω) maka efek smoothing kecil, sebaliknya bila spektrum window relatif lebar maka efek W(ω) lebih dominan sehingga harus dihindari. Contoh :

Hanning Window

−≤≤

−−=

otherwise

LnnLn

0

101

2cos1

21

)(π

ω

yang digunakan pada sinyal seperti diatas. Perhatikan gambar dibawah, menggunakan Hanning window.

BAB 6 Analisa Spektrum

VI-5

2 Menghitung DFT Dengan bantuan Filter

Tujuan Belajar 5

Peserta dapat menghitung DFT dengan bantuan filter linier dan diterapkan dalam kasus Goertzel Algorithm untuk DMTF.

Algoritma Goertzel memanfaatkan sifat periodik sudut fasa { }kNW sehingga perhitungan

DFT dapat dinyatakan sebagai operasi linear filtering dengan resonator pada ωk= 2πk/N Karena 1=−kN

NW , maka dapat digunakan sebagai faktor pengali, sehingga

∑ ∑−

=

=

−==1

0

1

0

)()()(N

m

kmN

N

m

kNN

kmN WmxWWmxkX

Nnk

N

m

mNkN nyWmx =

=

−− == ∑ )()(1

0

)(

bila ∑−

=

−=1

0

)()()(N

mkk mnhmxny

)()( nuWnh knNk−≡

x(m) yk(n) → tunggu sampai n = N

Hk(n)

BAB 6 Analisa Spektrum

VI-6

→ yk(N) = X(k) Ctt.

111

)( −−−=

zWzH k

Nk

)()1()( nxnyWny kk

Nk +−=⇒ − y(-1) = 0

Untuk menghindari bilangan kompleks akibat kNW − , buat komplex conjugate →

( )( ) )(11

1

1

zHzWzW

kkN

kN

−−×

sehingga ( )21

1

2cos21

1−−

+

−=

zzNkzW

kHk

N

π

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) NkNNkX

nvWnvny

nxnvnvN

knv

kk

Nkk

kkk

2log valuesMuntuk baik realinput 1

212

cos2

≤−=→−−=

+−−−=π

sehingga cukup menghitung

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12cos21

1

22

22

−−+=

−−⇒

NvNk

NvNv

NvWNvny

kkk

kk

Nkk

π