Ayudantía 1 - · PDF filehomogénea de largo y masa , ... rigidez ). a) Encuentre...

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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Ayudantía 1 Física General III (FIS130)

Movimiento Armónico Simple Ayudante: Nicolás Corte Díaz

Pregunta 1

Una persona se balancea en un columpio; cuando esta persona está sentada en el columpio oscila con una

frecuencia 𝑓. Si a continuación al lado de la persona se sientan dos personas más, calcule la nueva frecuencia del columpio.

(Asuma que la masa de cada persona es 𝑀 y el sistema columpio posee un peso despreciable)

SOLUCIÓN:

El sistema Columpio – Persona, con la masa del columpio despreciable,

puede ser representado como un péndulo simple, como se muestra en el DLC:

Donde 𝐹 corresponde a la tensión sobre la persona causada por el

columpio, luego:

∑𝐹𝑥 = −𝑀𝑔 ⋅ sin𝜃 = 𝑚𝑎𝑡 (1)

Donde 𝑎𝑡 es la aceleración tangencial del movimiento circular de la persona.

Expresando 𝑎𝑡 y 𝑣𝑡 en función del ángulo 𝜃 en la ecuación (1) se tiene:

−𝑀𝑔 ⋅ sin𝜃 = 𝑀 ⋅ �̈�𝐿

Asumiendo que la persona se balancea con oscilaciones pequeñas (𝜃 ≈ 0), entonces sin𝜃 ≈ 𝜃, por lo tanto la

ecuación 1 queda:

−𝑀𝑔 ⋅ 𝜃 = 𝑀 ⋅ �̈�𝐿

Despejando �̈� se tiene la Ecuación Diferencial del Movimiento:

�̈� +𝑔

𝐿⋅ 𝜃 = 0

De esta ecuación se obtiene la frecuencia angular:

𝜔2 =𝑔

𝐿 ⟹ 𝜔 = √

𝑔

𝐿

Pero 𝜔 = 2𝜋𝑓, entonces:

𝑓 = 1

2𝜋√𝑔

𝐿

La última expresión corresponde a la frecuencia del Péndulo Simple la cual no depende de la masa. Por lo tanto,

independiente de la cantidad de personas que se suban al columpio y se balanceen todos aplicando pequeñas oscilaciones,

la frecuencia no cambiará.

𝜃

𝑂

𝑀𝑔

𝐿

𝐹

𝑥 𝑦

2



Pregunta 2

Hallar la frecuencia para pequeñas oscilaciones de la barra

homogénea de largo 𝐿 y masa 𝑀, considerando que el sistema está en

equilibrio en la posición horizontal. (Considere que el resorte posee una

rigidez 𝐾).

a) Encuentre la ecuación del movimiento para pequeñas

oscilaciones mediante energía y sumatoria de torques.

b) Encuentre la frecuencia angular de la Oscilación.

SOLUCIÓN:

a) ENERGÍA

El sistema posee solo 1 grado de libertad que corresponde al giro

de la barra en el apoyo simple o punto 𝑂. El grado de libertad se

medirá por el ángulo 𝜃, medido desde la horizontal de equilibrio

del largo natural del resorte, tal como se muestra en la figura,

donde 𝑙𝑛 es el largo natural del resorte y ∆𝑙 es la deformación

que sufre el resorte.

Se tiene que en la barra solo actúan fuerzas conservativas (la gravitacional y la del resorte), por lo que la energía

mecánica del sistema se conserva, es decir:

𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒

Donde 𝑇 es la Energía Cinética y 𝑉 la energía cinética potencial.

La energía 𝑇 se conforma por:

𝑇 = 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑇𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 1

2𝑀𝑉𝐶𝑀/𝑂

2 +1

2𝐼𝐶𝑀Ω

2

Donde 𝑉𝐶𝑀/𝑂 es la velocidad del centro de masa (𝐶𝑀) de la barra con respecto a 𝑂, 𝐼𝐶𝑀 la inercia rotacional de la

barra con respecto a un eje perpendicular que pasa por el centro de masa y Ω la velocidad angular de la barra:

Ω = �̇� 𝑉𝐶𝑀/𝑂 =�̇�𝐿

2 𝐼𝐶𝑀 =

1

12𝑀𝐿2

Las expresiones anteriores tienen valides si la masa de la barra se distribuye de forma uniforme.

Reemplazando en la expresión de 𝑇:

𝐷

𝜃

𝐷

𝑙𝑛

∆𝑙

𝑂 ∆𝑜

3



𝑇 =1

2𝑀(

�̇�𝐿

2)

2

+1

2(1

12𝑀𝐿2) �̇� 2 =

1

6𝑀(�̇�𝐿)

2

Por otro lado la energía potencia 𝑉 está conformada por:

𝑉 = 𝑉𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒

Tomando como eje de referencia la recta horizontal que indica la posición de equilibrio del sistema se tiene que

la energía 𝑉 queda expresada como:

𝑉 = −𝑀𝑔𝐿

2sin(𝜃) +

1

2𝐾(∆𝑜 + ∆𝑙)2 = −𝑀𝑔

𝐿

2sin(𝜃) +

1

2𝐾(∆𝑜 + 𝐷 sin(𝜃))2

Recordar que 𝑉𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 se mide con respecto al centro de masa de la barra.

Donde ∆𝑜 es el largo inicial que presenta el resorte en la posición de equilibrio.

Como el movimiento analizado es para pequeñas oscilaciones 𝜃 ≈ 0, se puede decir que sin(𝜃) ≈ 𝜃, entonces:

𝑉 = −𝑀𝑔𝐿

2𝜃 +

1

2𝐾(∆𝑜 + 𝐷𝜃)2

Por lo tanto se tiene:

𝑇 + 𝑉 =1

6𝑀(�̇�𝐿)

2−𝑀𝑔

𝐿

2𝜃 +

1

2𝐾(∆𝑜 + 𝐷𝜃)2 = 𝑐𝑡𝑒

Derivando esta última expresión con respecto al tiempo (𝑑

𝑑𝑡):

1

3𝑀�̇��̈�𝐿2 −𝑀𝑔

𝐿

2�̇� + 𝐾𝜃∆𝑜𝐷�̇� + 𝐾𝜃𝐷2�̇� = 0

�̇� [1

3𝑀�̈�𝐿2 + (𝐾𝐷2)𝜃 + 𝐾∆𝑜𝐷𝜃 −𝑀𝑔

𝐿

2] = 0

La expresión 𝐾∆𝑜 se puede obtener del equilibrio inicial del

sistema.

Haciendo sumatoria de torque en 𝑂 se obtiene:

↺∑𝜏𝑂 =𝐹𝑘𝐷 −𝑊𝐿

2= 0

𝐾∆𝑜𝐷 = 𝑀𝑔𝐿

2

𝐷

𝑂

𝐿 2

𝑭𝒌

𝑾

4



Entonces se tiene que:

�̇� [1

3𝑀�̈�𝐿2 + (𝐾𝐷2)𝜃] = 0

�̇� = 0 ∨ 1

3(𝑀𝐿2)�̈� + (𝐾𝐷2)𝜃 = 0

La primera opción se descarta, pues indica que el sistema se encuentra en equilibrio, en cambio la segunda opción

corresponde a la Ecuación Diferencial del Movimiento (EDM).

Expresando la EDM de otra forma se obtiene:

�̈� +3𝐾𝐷2

𝑀𝐿2𝜃 = 0

Esta es la Ecuación Diferencial del Movimiento Armónico Simple.

SUMATORIA DE TORQUE:

En el siguiente Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) se muestran las

fuerzas que actúan sobre la barra, menos las fuerzas del apoyo.

Recordando que ∑𝜏𝑂 = 𝐼𝑜�̈�, se tiene que:

↻∑𝜏𝑂 =𝑊𝐿

2cos(𝜃) − 𝐹𝑘𝐷 cos(𝜃) = 𝐼𝑜�̈�

↻∑𝜏𝑂 =𝑀𝑔𝐿

2cos(𝜃) − [𝐾(∆𝑜 + ∆𝑙)]𝐷 cos(𝜃) = 𝐼𝑜�̈�

↻ ∑𝜏𝑂 =𝑀𝑔𝐿

2cos(𝜃) − [𝐾(∆𝑜 + 𝐷 sin(𝜃)]𝐷 cos(𝜃) = 𝐼𝑜�̈�

Recordar que el torque se calcula en el sentido del grado de libertad.

Como el movimiento analizado es para pequeñas oscilaciones 𝜃 ≈ 0 , se puede decir que sin(𝜃) ≈ 𝜃 y

cos(𝜃) ≈ 1, entonces:

𝑀𝑔𝐿

2− 𝐾∆𝑜𝐷 + (𝐾𝐷2)𝜃 = 𝐼𝑜�̈�

Y del análisis echo anteriormente:

𝜃

𝐷

𝑙𝑛

∆𝑙

𝑂

𝐿 2

𝑭𝒌

𝑾

∆𝑜

5



𝐾∆𝑜𝐷 = 𝑀𝑔𝐿

2

Entonces:

(𝐾𝐷2)𝜃 = 𝐼𝑜�̈�

Luego la inercia 𝐼𝑜 es:

𝐼𝑜 =1

3𝑀𝐿2

La cual puede obtenerse a través del Teorema de Steiner o de los ejes paralelos:

𝐼𝑜 = 𝐼𝐶𝑀 +𝑀(𝐿

2)2

=1

12𝑀𝐿2 +𝑀(

𝐿

2)2

=1

3𝑀𝐿2

Reemplazando 𝐼𝑜 en la ecuación:

(𝐾𝐷2)𝜃 =1

3𝑀𝐿2�̈�

�̈� +3𝐾𝐷2

𝑀𝐿2𝜃 =

Con lo que se obtiene la Ecuación Diferencial del Movimiento del Movimiento Armónico Simple.

b) A partir de la EDM se puede rescatar la frecuencia angular del sistema, la cual es:

𝜔2 =3𝐾𝐷2

𝑀𝐿2 ⟹ 𝜔 =

𝐷

𝐿√3𝐾

𝑀

6



Pregunta 3

Una barra de masa 𝑚 y largo 2𝐿 está articulada por su punto medio de forma que puede girar sin rozamiento

alrededor de 𝑂. Un extremo de esta barra está conectado al suelo por medio de un resorte de constante elástica 𝐾,

además en cada extremo de la barra se hallan dos cargas puntuales de masa 𝑚. El sistema está en equilibrio en la posición

horizontal. Se pide calcular el periodo del sistema mediante:

a) El periodo del sistema mediante Energía

b) La frecuencia del sistema mediante Torque.

SOLUCIÓN:

a) El sistema posee solo 1 grado de libertad correspondiente al giro de la barra con respecto al apoyo o punto 𝑂. Tal

grado de libertad se mide mediante el ángulo 𝜃 como se muestra en la figura donde 𝑙𝑛 es el largo natural del

resorte y ∆𝑙 es la deformación que sufre el resorte.

Se tiene que en la barra solo actúan fuerzas conservativas (la gravitacional y la del resorte), por lo que la energía

mecánica del sistema se conserva, es decir:

𝑇 + 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒

Donde 𝑇 es la Energía Cinética y 𝑉 la energía cinética potencial.

La energía 𝑇 se conforma por:

𝑇 = 𝑇𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑇𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 1

2𝑚𝑉𝑚/𝑂

2 +1

2𝑚𝑉𝑚/𝑂

2 +1

2𝐼𝐶𝑀Ω

2

𝜃

𝜃

𝑙𝑛

∆𝑙

𝑚

𝑚

𝑂

𝐿

𝐿

𝐿 𝐿

7



Donde 𝑉𝑚/𝑂 es la velocidad trasnacional de cada masa 𝑚 con respecto a 𝑂, 𝐼𝐶𝑀 la inercia rotacional de la barra

con respecto a un eje perpendicular que pasa por 𝑂 suponiendo que la masa de la barra se distribuye de forma

uniforme y Ω la velocidad angular de la barra.

Ω = �̇� 𝑉𝑚/𝑂 = �̇�𝐿 𝐼𝐶𝑀 =1

12𝑚(2𝐿)2 =

1

3𝑚𝐿2

Reemplazando en la expresión de 𝑇:

𝑇 = 𝑚(�̇�𝐿)2+1

2(1

3𝑚𝐿2) �̇� 2 =

7

6𝑚(�̇�𝐿)

2

Por otro lado la energía potencia 𝑉 está conformada por:

𝑉 = 𝑉𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒

Tomando como eje de referencia la recta horizontal que indica el largo natural del resorte y para por el pivote 𝑂

se tiene que la energía 𝑉 queda expresada como:

𝑉 = −𝑚𝑔𝐿

2sin(𝜃) + 𝑚𝑔

𝐿

2sin(𝜃) +

1

2𝐾(∆𝑙)2 =

1

2𝐾(𝐿 sin(𝜃))2

Asumiendo que las oscilaciones son pequeñas, se puede decir que sin(𝜃) ≈ 𝜃, entonces:

𝑉 =1

2𝐾(𝐿𝜃)2

Finalmente se tiene que la energía mecánica del sistema se expresa como:

𝑇 + 𝑉 =7

6𝑚(�̇�𝐿)

2+1

2𝐾(𝐿𝜃)2 = 𝑐𝑡𝑒

Derivando esta última expresión con respecto al tiempo (𝑑

𝑑𝑡):

7

3𝑚𝐿2�̇��̈� + 𝐾𝜃𝐿2�̇� = 0

�̇� [7

3𝑚�̈� + 𝐾𝜃] = 0

Entonces se tiene que:

8



�̇� = 0 ∨ 7

3𝑚�̈� + 𝐾𝜃 = 0

La primera opción se descarta, pues indica que el sistema se encuentra en equilibrio, en cambio la segunda opción

corresponde a la Ecuación Diferencial del Movimiento (EDM) del Movimiento Armónico Simple.

Expresando la EDM de otra forma:

�̈� +3

7

𝐾

𝑚𝜃 = 0

De esta última ecuación diferencial se obtiene la frecuencia angular del sistema:

𝜔2 =3

7

𝐾

𝑚 ⟹ 𝜔 = √

3

7

𝐾

𝑚

Por otro lado la frecuencia angular se define como:

𝜔 =2𝜋

𝑇 ⟹ 𝑇 =

2𝜋

𝜔

Entonces se tiene que el periodo es:

𝑇 = 2𝜋√7𝑚

3𝐾

b) En el siguiente DLC se muestran las fuerzas externas que actúan sobre el sistema Barra – Masas, menos las fuerzas

del apoyo simple (reacciones).

𝜃

𝜃

𝑙𝑛

∆𝑙

𝑚

𝑚

𝑂

𝐿

𝐿

𝑚𝑔

𝑚𝑔

𝑚𝑔

𝐹𝑘

9



Recordando que ∑𝜏𝑂 = 𝐼𝑜�̈�, se tiene que:

↺ ∑𝜏𝑂 =𝑚𝑔𝐿 cos(𝜃) −𝑚𝑔𝐿 cos(𝜃) − 𝐹𝑘𝐿 cos(𝜃) = 𝐼𝑜�̈�

−𝐾∆𝑙𝐿 cos(𝜃) = 𝐼𝑜�̈�

−𝐾𝐿 sin(𝜃) 𝐿 cos(𝜃) = 𝐼𝑜�̈�

Asumiendo que las oscilaciones son pequeñas, se puede decir que sin(𝜃) ≈ 𝜃 y cos(𝜃) ≈ 1, entonces:

−𝐾𝐿2𝜃 = 𝐼𝑜�̈�

Luego la inercia del sistema 𝐼𝑜 corresponde:

𝐼𝑜 = 𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎/𝑂 + 𝐼𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠/𝑂

𝐼𝑂 =1

12𝑚(2𝐿)2 +𝑚𝐿2 +𝑚𝐿2 =

7

3𝑚𝐿2

Reemplazando 𝐼𝑜 en la ecuación diferencial se obtiene y despejando �̈�:

�̈� +3

7

𝐾

𝑚𝜃 = 0

Que corresponde a la misma ecuación diferencial anterior. Luego:

𝜔2 =3

7

𝐾

𝑚 ⟹ 𝜔 = √

3

7

𝐾

𝑚

Pero 𝜔 = 2𝜋𝑓, entonces:

𝑓 = 𝜔

2𝜋=

1

2𝜋√3𝐾

7𝑚

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Pregunta 4

Una placa cuadrada (de espesor despreciable) de diámetro 2𝑎 se recorta un cuadrado

inscrito. El objeto que resulta se usará como péndulo físico suspendido de un pivote situado a

una distancia 𝑋 de su centro (ver figura).

a) Encuentre la ecuación del movimiento para pequeñas oscilaciones.

b) Hallar la frecuencia angular de la oscilación.

c) Hallar el periodo.

SOLUCIÓN:

a) El sistema posee solo 1 grado de libertad asociado al pivoteo de la figura en torno

al eje perpendicular que atraviesa al apoyo simple o el punto 𝑂, tal como se muestra

en el DCL.

En el DLC, se muestra la distancia 𝑋, la ubicación del centro de masa 𝐶, que coincide

con el centro de la figura suponiendo distribución de masa homogénea, la distancia

𝑑, el ángulo o grado de libertad 𝜃 y el peso de la figura 𝑊. En el DLC no se muestran

las reacciones causadas por el pivote en 𝑂.

Luego haciendo sumatoria de torque en 𝑂 se tiene:

↺∑𝜏𝑂 = −𝑑𝑊 = −𝑋 sin(𝜃)𝑊

Y suponiendo oscilaciones pequeñas (𝜃 ≈ 0), entonces sin(𝜃) ≈ 𝜃 y la ecuación anterior queda:

↺∑𝜏𝑂 = −𝑑𝑊 = −𝑋𝜃𝑊

Por otro lado se sabe que ∑𝜏𝑂 = 𝐼𝑜�̈�, entonces se llega a:

�̈� +𝑋𝑊

𝐼𝑜𝜃 = 0

Lo que corresponde a la Ecuación Diferencial del Movimiento (EDM). Por las características de la ecuación se

observa que el movimiento que presenta la figura es un Movimiento Armónico Simple (MAS) correspondiente al

movimiento que presenta un péndulo físico.

De la EDM se observa que la dimensión de masa desaparece, pues se está dividiendo el peso 𝑊 por la inercia de

la figura 𝐼𝑜, así que para conocer el periodo del sistema basta con conocer alguna razón entre las masas que

aportan el círculo y el cuadrado inscrito en el de la figura.

La Inercia del sistema se calcula como:

𝐼𝑜 = 𝐼𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 − 𝐼𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑋

𝑂

𝑋

𝜃 𝐶

𝑊

𝑑

𝑂

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Para ello supondremos que la masa que presenta el círculo es 𝑚 y la masa que presenta el cuadrado inscrito en el

círculo es una fracción de 𝑚. Dicha fracción se calcula a partir de la razón entre las áreas del círculo y cuadrado

suponiendo distribución uniforme de masa.

Área del Círculo: 𝐴𝑐í𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑎2

Área del cuadrado: 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝐷) = 2𝑎 ⟹ 𝐿𝑎𝑑𝑜 (𝑙) = 𝑎√2 ⟹ 𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 𝐷 ⋅𝐷

2= 2𝑎2

𝐴𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝐴𝑐í𝑐𝑢𝑙𝑜

=2

𝜋

Entonces la masa del círculo y del cuadrado en función de 𝑚 son:

𝑀𝑐í𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝑚

𝑀𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 =2

𝜋𝑚

Luego la inercia de la figura rotando en torno al centro de masa es:

𝐼𝑐 = 𝐼𝑐í𝑐𝑢𝑙𝑜/𝑐 − 𝐼𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜/𝑐 =1

2𝑚𝑎2 −

1

12(2

𝜋𝑚)4𝑎2 = (

1

2−

2

3𝜋)𝑚𝑎2

Y por el Teorema de Steiner se calcula la inercia rotacional en 𝑂:

𝐼𝑜 = 𝐼𝑐𝑚 +𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 ⋅ 𝑋2 = (

1

2−

2

3𝜋)𝑚𝑎2 + (1 −

2

𝜋)𝑚𝑋2

Finalmente el peso del sistema es:

𝑊 = 𝑀𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 ⋅ 𝑔 = (1 −2

𝜋)𝑚𝑔

Entonces reemplazando 𝑊 e 𝐼𝑜 en la EDM, se obtiene:

�̈� +𝑋 (1 −

2𝜋)𝑚𝑔

(12 −

23𝜋)𝑚𝑎2 + (1 −

2𝜋)𝑚𝑋2

𝜃 = 0

�̈� +(1 −

2𝜋)𝑋𝑔

(12 −

23𝜋)𝑎

2 + (1 −2𝜋)𝑋

2𝜃 = 0

Esta expresión final corresponde a la EDM del Movimiento Armónico Simple

12



b) De la EDM se obtiene la frecuencia angular:

𝜔2 =𝑋𝑊

𝐼𝑜=

(1 −2𝜋)𝑋𝑔

(12 −

23𝜋)𝑎

2 + (1 −2𝜋)𝑋

2 ⟹ 𝜔 = √

(1 −2𝜋)𝑋𝑔

(12 −

23𝜋)𝑎

2 + (1 −2𝜋)𝑋

2

c) Por otro lado la frecuencia angular se define como:

𝜔 =2𝜋

𝑇 ⟹ 𝑇 =

2𝜋

𝜔

Entonces se tiene que el periodo es:

𝑇 = 2𝜋√(12−

23𝜋

)𝑎2 + (1 −2𝜋)𝑋2

(1 −2𝜋)𝑋𝑔

13



Pregunta 5

La figura anexa muestra un péndulo físico

construido con una varilla delgada de masa 𝑚 y largo 𝐿

unida a un disco de radio 𝑅 y masa 𝑚 . El péndulo es

colocado en oscilación de pequeña amplitud. Determine la

relación entre 𝐿 y 𝑅 de modo que la frecuencia de

oscilaciones de éste péndulo sea igual a la de un péndulo

simple de longitud 35𝐿 36⁄ .

SOLUCIÓN:

El péndulo simple fue resuelto anteriormente y se tiene que la frecuencia de éste péndulo es:

𝑓 = 1

2𝜋√𝑔

𝑙

Pero 𝑙 = 35𝐿 36⁄ entonces la frecuencia del péndulo simple queda:

𝑓 =3

𝜋√

𝑔

35𝐿

Al igual que en el péndulo simple, el péndulo físico presenta 1 grado de libertad asociado al pivoteo de éste. Tal

grado de libertad será registrado por medio del ángulo 𝜃 tal como se observa en el DCL:

Luego haciendo sumatoria de torque en 𝑂 se tiene:

↺∑𝜏𝑂 = −𝑚𝑔𝐿

2sin(𝜃) − 𝑚𝑔𝐿 sin(𝜃) = 𝐼𝑂�̈�

Pero suponiendo oscilaciones pequeñas (𝜃 ≈ 0):

↺∑𝜏𝑂 = −3

2𝑚𝑔𝐿𝜃 = 𝐼𝑂�̈�

Luego la inercia rotacional 𝐼𝑂 se calcula como:

𝐼𝑂 = 𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎/𝑂 + 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜/𝑂

Donde:

Eje

Varilla de masa 𝑚

Disco de masa 𝑚 y radio 𝑅

𝐿

(1)

14



𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜/𝑂 = 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜/𝐶2 +𝑚𝐿2 =1

2𝑚𝑅2 +𝑚𝐿2

𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎/𝑂 =1

12𝑚𝐿2 +𝑚

𝐿2

4=1

3𝑚𝐿2

Entonces:

𝐼𝑂 =1

2𝑚𝑅2 +𝑚𝐿2 +

1

3𝑚𝐿2 =

4

3𝑚𝐿2 +

1

2𝑚𝑅2

Reemplazando en la ecuación 1 se llega a:

−3

2𝑔𝐿𝜃 = (

4

3𝑚𝐿2 +

1

2𝑚𝑅2) �̈�

−3

2𝑚𝑔𝐿𝜃 = (

8𝐿2 + 3𝑅2

6) �̈�

�̈� +9𝑔𝐿

8𝐿2 + 3𝑅2𝜃 = 0

La última ecuación corresponde a la Ecuación Diferencial del Movimiento del Movimiento Armónico Simple, de la

cual se rescata la frecuencia angular del sistema:

𝜔2 =9𝑔𝐿

8𝐿2 + 3𝑅2 ⟹ 𝑓𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =

3

2𝜋√

𝑔𝐿

8𝐿2 + 3𝑅2

Igualando la frecuencia del sistema con la frecuencia del péndulo simple se obtiene la relación entre 𝑅 y 𝐿:

𝑓 = 𝑓𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎

3

𝜋√

𝑔

35𝐿=

3

2𝜋√

𝑔𝐿

8𝐿2 + 3𝑅2

2√8𝐿2 + 3𝑅2 = 𝐿√35

32𝐿2 + 12𝑅2 = 35𝐿2

𝑅 = 𝐿

2

/ ( )2

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