54

Parte 4 – Espaços Vetoriais

55

Espaços Vetoriais Reais DEFINIÇÃO: Um espaço vetorial real é um conjunto de elementos V munidos

de duas operações ⊕ e ⊗ tais que α) Se uv e vv são elementos de V, então vu vv ⊕ está em V (i. e., V é fechado em relação

à operação ⊕). a) uvvu vvvv ⊕=⊕ se uv e vv pertencem a V. b) ( ) ( ) wvuwvu vvvvvv ⊕⊕=⊕⊕ se uv , vv e wv pertencem a V. c) Existe um elemento 0

v em V tal que uu00u vvvvv =⊕=⊕ , para todo uv em V.

d) Para cada uv em V, existe um elemento uv− em V tal que 0uuvvv =−⊕

β) Se uv é um elemento qualquer de V e r é qualquer número real, então ur v⊗ está em

V (i. e., V é fechado em relação à operação ⊗). e) ( ) vrurvur vvvv ⊗⊕⊗=⊕⊗ , para todo número real r e todos os elementos uv e

vv em V. f) ( ) usurusr vvv ⊗⊕⊗=⊗+ , para todos os números reais r e s e todo elemento uv

de V. g) ( ) ( ) ursusr vv ⊗=⊗⊗ , para todos os números reais r e s e todo elemento uv de

V. h) uu1 vv =⊗ , para todo elemento uv de V. Os elementos de V são chamados vetores; os números reais são chamados

escalares. A operação ⊕ é chamada soma de vetores; a operação ⊗ é denominada multiplicação por escalar. O vetor 0

v que aparece na propriedade (c) é conhecido

como o vetor nulo. O vetor uv− que ocorre na propriedade (d) é o negativo de uv . É possível provar que os vetores 0

v e uv− são únicos.

Exemplo: Considere o conjunto V das triplas ordenadas de números reais

munidos das operações ⊕ e ⊗ através das fórmulas

( ) ( ) ( )'zz,'yy,'xx'z,'y,'xz,y,x +++=⊕ ( ) ( )z,y,rxz,y,xr =⊗

Podemos verificar que as propriedades (a), (b), (c), (d) e (e) são satisfeitas. Por

exemplo, para checarmos a propriedade (e) fazemos: ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )'zz,'yy,'xxr'zz,'yy,'xxr'z,'y,'xz,y,xr +++=+++⊗=⊕⊗

Além disso, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )'zz,'yy,'xxr'z,'y,'rxz,y,rx'z,'y,'xrz,y,xr +++=⊕=⊗⊕⊗

Portanto, a propriedade (e) é satisfeita. Entretanto, a propriedade (f) não é satisfeita. De fato, ( ) ( ) ( )( )z,y,xdrz,y,xdr +=⊗+

Por outro lado ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )z2,y2,xdrz,y,dxz,y,rxz,y,xdz,y,xr +=⊕=⊗⊕⊗

Logo, V não é um espaço vetorial. Observe que as propriedades (g) e (h) são

satisfeitas.

56

Outra fonte de exemplos de espaços vetoriais é o conjunto dos polinômios. Um polinômio (em t) é uma função que pode ser expressa da forma

( ) 01

1n1n

nn atatatatp ++++= −

− L

onde n10 a,,a,a K são números reais. Exemplo: As funções a seguir são polinômios:

( ) 1t5t2t3tp 241 −+−=

( ) 1t2tp2 += ( ) 4tp3 =

As funções a seguir não são polinômios

( ) 6t2tf4 −= e ( ) 1t2t1tf 25 +−=

O polinômio ( )tp tem grau n se 0an ≠ . Portanto, o grau de um polinômio é igual

à potência mais alta com coeficiente não-nulo. O polinômio nulo é definido da seguinte forma:

0t0t0t0 1nn ++++ − L Observe que, por definição, o polinômio nulo não tem grau. Vamos considerar nP a coleção de todos os polinômios de grau n≤ juntamente

com o polinômio nulo. O polinômio 5t3t2 2 +− , por exemplo, é um elemento de 2P . Exemplo: Se

( ) 011n

1nn

n atatatatp ++++= −− L

e ( ) 01

1n1n

nn btbtbtbtq ++++= −

− L

definimos ( ) ( )tqtp ⊕ pela fórmula

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00111n

1n1nn

nn batbatbatbatqtp ++++++++=⊕ −−− L

(isto é, somamos os coeficientes das potências de mesmo grau). Se c é um escalar, definimos ( )tpc⊗ pela fórmula

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01

1n1n

nn catcatcatcatpc ++++=⊗ −

− L (isto é, multiplicamos cada coeficiente por c).

57

Vamos provar agora que nP é um espaço vetorial. Sejam ( )tp e ( )tq elementos de nP como antes, isto é, são polinômios de grau

n≤ ou o polinômio nulo. Então, as definições dadas anteriormente de ⊕ e ⊗ mostram que ( ) ( )tqtp ⊕ e ( )tpc⊗ , qualquer que seja o escalar c, são polinômios de grau n≤ ou o polinômio nulo, ou seja, ( ) ( )tqtp ⊕ e ( )tpc⊗ estão em nP , de modo que as propriedades (α) e (β) são válidas.

Para verificar (a), note que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00111n

1n1nn

nn abtabtabtabtptq ++++++++=⊕ −−− L

e, como iiii abba +=+ para números reais, podemos concluir que ( ) ( ) ( ) ( )tptqtqtp ⊕=⊕ .

A propriedade (b) pode ser demonstrada de forma análoga. Para demonstrar (c) é só utilizar como elemento 0

v o polinômio nulo.

Para demonstrar (d) é só lembrar que, para ( )tp como definido anteriormente, temos seu negativo, ( )tp− , dado por

01

1n1n

nn atatata −−−−− −

− L Para demonstrar (f) fazemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 011n

1nn

n adrtadrtadrtadrtpdr ++++++++=⊗+ −− L

00111n

1n1n

1nn

nn

n daratdatratdatratdatra ++++++++= −−

−− L

( ) ( )011n

1nn

n011n

1nn

n atatatadatatatar +++++++++= −−

−− LL

( ) ( )tpdtpr ⊗⊕⊗= A demonstração das demais propriedades fica como exercício. A vantagem da Definição de Espaço Vetorial apresentada é que ela não se

preocupa com o que é um espaço vetorial. Por exemplo, um vetor em 3R é um ponto, um segmento de reta orientado ou uma matriz 3×1? A Definição trata apenas do comportamento algébrico dos elementos em um espaço vetorial. No caso de 3R , qualquer que seja o ponto de vista adotado, o comportamento algébrico é o mesmo. Podemos, então, falar sobre as propriedades de todos os espaços vetoriais sem ter que nos referirmos a um espaço vetorial particular. Portanto, um “vetor”, agora, é, simplesmente, um elemento de um espaço vetorial e não precisa estar associado a um segmento de reta orientado. O teorema a seguir apresenta diversas propriedades úteis comuns a todos os espaços vetoriais.

TEOREMA: Se V é um espaço vetorial, então a) 0u0

vv = para todo uv em V. b) 00r

vv= para todo escalar r.

c) Se 0urvv = , então r = 0 ou 0u

vv = . d) ( ) uu1 vv −=− para todo uv em V.

58

Subespaços DEFINIÇÃO: Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não-vazio de V.

Se W é um espaço vetorial em relação às operações em V, dizemos que W é um subespaço de V.

Exemplo: Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o

subespaço { }0v

que tem como único elemento o vetor nulo (lembre-se que 000vvv

=⊕ e 00rvv

=⊗ em qualquer espaço vetorial). O subespaço { }0v

é chamado de subespaço nulo.

TEOREMA: Seja V um espaço vetorial com as operações ⊕ e ⊗ e seja W um

subconjunto não-vazio de V. Então W é um subespaço de V se e somente se as seguintes condições são válidas:

α) Se uv e vv são vetores em W, então vu vv ⊕ pertence a W. β) Se r é um número real qualquer e uv é qualquer vetor em W, então ur v⊗

pertence a W. Exemplo: Considere o conjunto W de todas as matrizes 2×3 da forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dc00ba

onde a, b, c e d são números reais arbitrários. Mostre que W é um subespaço de 23M , onde 23M consiste no conjunto das matrizes 2×3 munido das operações de soma e produto por escalar habituais.

Sol: Considere

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

11

dc00ba

uv e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

22

dc00ba

vv em W

Então

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=+

2121

2121

ddcc00bbaa

vu vv está em W

de modo que (α) é satisfeita. Além disso, se k é um escalar, então

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

11

11

kdkc00kbka

ukv está em W

de modo que (β) também é satisfeita. Portanto, W é um subespaço de 23M .

59

Exemplo: Seja W o subconjunto de 3R formado por todos os vetores da forma

(a, b, 1), onde a e b são números reais. Para verificar se as propriedades (α) e (β) do Teorema são satisfeitas, suponha que ( )1,b,au 11=v e ( )1,b,av 22=v estão em W. Então

( ) ( ) ( )2,bb,aa1,b,a1,b,avu 21212211 ++=+=+ vv não pertence a W, já que sua terceira componente é 2 e não 1. Como a propriedade (α) não é satisfeita, W não é um subespaço de 3R .

Exemplo: Representamos por nP o espaço vetorial dos polinômios de grau n≤

junto com o polinômio nulo e por P o espaço vetorial de todos os polinômios. É fácil verificar que 2P é um subespaço de 3P e que, em geral, nP é um subespaço de 1nP + . Além disso, nP é um subespaço de P.

Exemplo: Seja V o conjunto de todos os polinômios de grau exatamente = 2;

então V é um subconjunto de 2P , mas não é um subespaço de 2P , já que a soma dos polinômios 1t3t2 2 ++ e 2tt2 2 ++− é um polinômio de grau 1, que não está em V.

Exemplo: Um modo simples de construir subespaços em espaços vetoriais é o

seguinte. Sejam 1vv e 2vv vetores fixos em um espaço vetorial V e seja W o conjunto de todas as combinações lineares de 1vv e 2vv , isto é, W é o conjunto dos vetores em V da forma 2211 vava vv + , onde 1a e 2a são números reais. Para mostrar que W é um subespaço de V, vamos verificar as propriedades (α) e (β) do teorema. Sejam então,

22111 vavaw vvv += e 22112 vbvbw vvv +=

vetores em W. Temos

( ) ( ) ( ) ( ) 2221112211221121 vbavbavbvbvavaww vvvvvvvv +++=+++=+

que também pertence a W. Logo, W é um subespaço de V.

60

DEFINIÇÃO: Sejam k21 v,...,v,v vvv vetores em um espaço vetorial V. Um vetor vv

em V é uma combinação linear de k21 v,...,v,v vvv se existem números reais k21 c,...,c,c , tais que

kk2211 vc...vcvcv vvvv +++= Exemplo: Considere em 3R os vetores

( )1,2,1v1 =v ( )2,0,1v2 =

v ( )0,1,1v3 =v

O vetor ( )5,1,2v =v é uma combinação linear de 1vv , 2vv e 3vv se pudermos

encontrar escalares 1c , 2c e 3c tais que

vvcvcvc 332211vvvv =++

Substituindo 1vv , 2vv e 3vv , obtemos

( ) ( ) ( ) ( )5,1,20,1,1c2,0,1c1,2,1c 321 =++ Combinando os termos do lado esquerdo e igualando os coeficientes

correspondentes, obtemos o sistema linear

5c2c1cc22ccc

21

31

321

=+=+=++

Resolvendo este sistema obtemos 1c1 = , 2c2 = e 1c3 −= , o que significa que vv

é uma combinação linear de 1vv , 2vv e 3vv . Temos então

321 vv2vv vvvv −+=

2211 vcvcv vvv +=

11vc v

22vc v

2vv

1vv

O

61

DEFINIÇÃO: Se { }k21 v,...,v,vS vvv= é um conjunto de vetores em um espaço vetorial V, então o conjunto de todos os vetores em V que são combinações lineares de vetores em S é representado por

[ ]S ou { }[ ]k21 v,...,v,v vvv Exemplo: Considere o conjunto S de matrizes 2×3,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100000

,010000

,000010

,000001

S

Então [ ]S é o conjunto em 23M de todos os vetores da forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡dc00ba

100000

d010000

c000010

b000001

a

onde a, b, c e d são números reais. Logo, [ ]S é o subconjunto de 23M formado pelas matrizes

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dc00ba

TEOREMA: Seja { }k21 v,...,v,vS vvv= um conjunto de vetores em um espaço

vetorial V. Então [ ]S é um subespaço de V. Exemplo: Considere, em 2P ,

2tt2v 21 ++=v t2tv 2

2 −=v 2t5t5v 23 +−=v 2t3tv 2

4 −−−=v Determine se o vetor

2ttu 2 ++=v pertence a { }[ ]4321 v,v,v,v vvvv .

Se pudermos encontrar escalares 1c , 2c , 3c e 4c tais que

uvcvcvcvc 44332211vvvvv =+++

então uv pertence a { }[ ]4321 v,v,v,v vvvv . Substituindo uv , 1vv , 2vv , 3vv e 4vv na expressão acima, temos

62

( ) ( ) ( ) ( ) 2tt2t3tc2t5t5ct2tc2tt2c 224

23

22

21 ++=−−−++−+−+++

ou ( ) ( ) ( ) 2ttc2c2c2tc3c5c2ctcc5cc2 2

43143212

4321 ++=−++−−−+−++ Como dois polinômios são iguais para todos os valores de t se e somente se os

coeficientes das respectivas potências de t são iguais, obtemos o sistema linear

2c2c2c21c3c5c2c1cc5cc2

431

4321

4321

=−+=−−−=−++

Para investigar se esse sistema de equações lineares é compatível, formamos a

matriz aumentada do sistema e a colocamos na forma escalonada reduzida por linhas, obtendo

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

100000131001101

M

M

M

o que indica que o sistema é incompatível, isto é, não tem solução. Portanto, uv não pertence a { }[ ]4321 v,v,v,v vvvv .

63

Independência Linear DEFINIÇÃO: Dizemos que os vetores k21 v,...,v,v vvv em um espaço vetorial V

geram V se todo vetor em V é uma combinação linear de k21 v,...,v,v vvv . Além disso, se esses vetores forem distintos e { }k21 v,...,v,vS vvv= , dizemos, também, que S gera V, ou que { }k21 v,...,v,v vvv gera V, ou que V é gerado por S, ou ainda, que [ ] VS = .

O procedimento para verificar se os vetores k21 v,...,v,v vvv geram o espaço vetorial V é o seguinte:

Etapa 1: Escolha um vetor arbitrário vv em V. Etapa 2: Verifique se vv é uma combinação linear dos vetores dados.

Se for, os vetores dados geram V. Se não for, eles não geram V. Exemplo: Seja V o espaço vetorial 3R e sejam

( )1,2,1v1 =v ( )2,0,1v2 =

v ( )0,1,1v3 =v

Os vetores 1vv , 2vv e 3vv geram V? Solução: Etapa 1: Seja ( )c,b,av =v um vetor arbitrário em 3R , onde a, b e c são números

reais quaisquer. Etapa 2: Temos que verificar se existem constantes 1c , 2c e 3c tais que

vvcvcvc 332211vvvv =++

Isto nos leva ao seguinte sistema linear:

cc2cbcc2accc

21

31

321

=+=+=++

Uma solução é

3cb2a2c1

++−=

3cbac2

+−=

3c2ba4c3

−−=

Como obtivemos uma solução para qualquer escolha de a, b e c, concluímos que

1vv , 2vv e 3vv geram 3R , o que é equivalente a { }[ ] 3k21 Rv,...,v,v =vvv

64

Exemplo: Mostre que

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1000

,0110

,0001

S

gera o subespaço de 22M formada por todas as matrizes simétricas. Solução: Etapa 1: Uma matriz simétrica arbitrária tem a forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

cbba

A

onde a, b e c são números reais quaisquer. Etapa 2: Precisamos encontrar constantes 1d , 2d e 3d tais que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡cbba

A1000

d0110

d0001

d 321

o que nos leva a um sistema linear cuja solução é

ad1 = bd 2 = cd3 = Como encontramos uma solução para qualquer escolha de a, b e c, concluímos

que S gera o subespaço dado. Exemplo: Seja 2PV = , o espaço vetorial de todos os polinômios de grau 2≤ e o

polinômio nulo. Seja ( ) ( ){ }tp,tpS 21= , onde ( ) 1t2ttp 21 ++= e ( ) 2ttp 2

2 += . S gera

2P ? Solução: Etapa 1: Seja ( ) cbtattp 2 ++= um polinômio arbitrário em 2P , onde a, b e c são

números reais quaisquer. Etapa 2: Temos que verificar se existem constantes 1c e 2c tais que

( ) ( ) ( )tpctpctp 2211 += ou

( ) ( )2tc1t2tccbtat 22

21

2 ++++=++ Temos

( ) ( ) ( ) cbtatc2ctc2tcc 2211

221 ++=++++

Como dois polinômios são iguais para todos os valores de t se e somente se os

coeficientes das potências respectivas são iguais, obtemos o sistema linear:

65

cc2cbc2acc

21

1

21

=+==+

Usando operações elementares nas linhas da matriz aumentada desse sistema

linear, obtemos

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

c2a4b00ac10ca201

M

M

M

Se 0c2a4b ≠+− , não existe solução. Logo, ( ) ( ){ }tp,tpS 21= não gera 2P . Exemplo: Os vetores ( )0,1ie1 ==

vv e ( )1,0je2 ==vv geram 2R , pois, se ( )21 u,uu =v

é qualquer vetor em 2R , então 2211 eueuu vvv += . Todos os vetores uv em 3R podem ser escritos como uma combinação linear dos vetores ( )0,0,1ie1 ==

vv , ( )0,1,0je2 ==vv e

( )1,0,0ke3 ==vv , logo 1ev , 2ev e 3ev geram 3R . Analogamente, os vetores ( )0,...,0,1e1 =

v , ( )0,...,0,1,0e2 =

v , ..., ( )1,...,0,0en =v geram nR , já que qualquer vetor ( )n21 u,...,u,uu =v

pode ser escrito como

nn2211 eueueuu vL

vvv +++= Exemplo: O conjunto { }1,t,...,t,tS 1nn −= gera nP , já que todos os polinômios em

nP são da forma

n1n1n

1n

0 atatata ++++ −− L

que é uma combinação linear de elementos de S.

Exemplo: Considere o sistema linear homogêneo 0xA

vv = , onde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−=

914431115122

2011

A

O conjunto de todas as soluções de 0xA

vv = forma um subespaço de 4R . Para determinar um conjunto gerador para o espaço solução desse sistema, vamos colocar a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada por linhas:

66

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

00000000000110002011

M

M

M

M

A solução geral é, então, dada por

sxsxrx

s2rx

4

3

2

1

===

−−=

onde r e s são números reais arbitrários. Em forma matricial, qualquer solução é dada por

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

1102

s

0011

rx

Portanto, os vetores

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

0011

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1102

geram o espaço solução.

DEFINIÇÃO: Os vetores k21 v,...,v,v vvv em um espaço vetorial V são ditos

linearmente dependentes se existem constantes k21 c,...,c,c nem todas nulas, tais que 0vc...vcvc kk2211

vvvv =+++ Caso contrário, k21 v,...,v,v vvv são linearmente independentes se, sempre que

0vc...vcvc kk2211 =+++ vvv , temos 0c...cc k21 ====

Em outras palavras, a única combinação linear de k21 v,...,v,v vvv que dá o vetor nulo é a que tem todos os coeficientes iguais a zero. Se os vetores k21 v,...,v,v vvv são distintos e

{ }k21 v,...,v,vS vvv= , dizemos, também, que o conjunto S é linearmente dependente ou linearmente independente.

67

O procedimento para verificar se os vetores k21 v,...,v,v vvv são linearmente dependentes ou linearmente independentes é o seguinte:

Etapa 1: Escreva a equação 0vc...vcvc kk2211

vvvv =+++ , que leva a um sistema homogêneo.

Etapa 2: Se o sistema homogêneo obtido na Etapa 1 tiver apenas a solução trivial, então os vetores dados são linearmente independentes; se existir uma solução não-trivial, os vetores são linearmente dependentes.

Exemplo: Determine se os vetores

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

0011

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1102

são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Sol: Escrevendo a equação

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

0000

1102

c

0011

c 21

obtemos o sistema homogêneo

0cc00cc00c0c0c2c

21

21

21

21

=+=+=+=−−

Cuja única solução é 0cc 21 == . Portanto, os vetores dados são linearmente

independentes. Exemplo: Os vetores ( )2,1,0,1v1 =

v , ( )2,1,1,0v2 =v e ( )3,1,1,1v3 =

v em 3R são linearmente dependentes ou linearmente independentes?

Escrevendo a equação

0vcvcvc 332211

vvvv =++ e resolvemos para 1c , 2c e 3c . O sistema homogêneo resultante é

68

0c3c2c20ccc0cc0cc

321

321

32

31

=++=++=+=+

que tem apenas a solução 0ccc 321 === , mostrando que os vetores são linearmente independentes.

Exemplo: Os vetores 1ev e 2ev em 2R são linearmente independentes, já que

( ) ( ) ( )0,01,0c0,1c 21 =+

é válida se e somente se 0cc 21 == . Analogamente, os vetores 1ev , 2ev e 3ev em 3R e, mais geralmente, os vetores 1ev , 2ev , ..., nev em nR são linearmente independentes.

Exemplo: Se k21 v,...,v,v vvv , são k vetores em qualquer espaço vetorial e ivv é o

vetor nulo, então a equação 0vc...vcvc kk2211

vvvv =+++ é satisfeita fazendo-se 1ci = e 0cj = para ij≠ . Logo { }k21 v,...,v,vS vvv= é linearmente dependente. Portanto, todo

conjunto de vetores contendo o vetor nulo é linearmente dependente. TEOREMA: Os vetores não-nulos n21 v,...,v,v vvv em um espaço vetorial V são

linearmente dependentes se e somente se um dos vetores jvv é uma combinação linear dos j vetores precedentes 1j21 v,...,v,v −

vvv . Exemplo: Se ( )1,2,1v1 −=v , ( )1,2,1v2 −=v , ( )1,2,3v3 −−=v e ( )0,0,2v4 =

v , podemos escrever, por exemplo

0v0vv2v 4321

vvvvv =+++ De modo que 213 v2vv vvv −−= .

69

Base e Dimensão Base DEFINIÇÃO: Os vetores k21 v,...,v,v vvv em um espaço vetorial V formam uma

base para V se (a) k21 v,...,v,v vvv geram V (b) k21 v,...,v,v vvv são linearmente independentes.

Obs: Se k21 v,...,v,v vvv formarem uma base para V, então eles tem que ser distintos

e não-nulos, logo podemos escrevê-los como um conjunto { }k21 v,...,v,v vvv . Os vetores ( )0,1e1 =

v e ( )1,0e2 =v formam uma base para 2R , os vetores

( )0,0,1e1 =v , ( )0,1,0e2 =

v e ( )1,0,0e3 =v formam uma base para 3R e, no caso geral, os

vetores n21 e,...,e,e vvv formam uma base para nR . Cada um desses conjuntos de vetores é chamado de base natural ou base canônica para 2R , 3R e nR , respectivamente.

Exemplo: O conjunto

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1000

,0100

,0010

,0001

S

é uma base para o espaço vetorial V de todas as matrizes 2×2. Para verificar que S é linearmente independente, igualamos a zero uma combinação linear de vetores em S:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

1000

c0100

c0010

c0001

c 4321

Isto nos dá

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

cccc

43

21

o que implica que 0cccc 4321 ==== . Logo, S é linearmente independente.

Para verificar que S gera V, consideramos um vetor arbitrário

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

em V e procuramos escalares 1c , 2c , 3c e 4c tais que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

c0100

c0010

c0001

cdcba

4321

Vemos que ac1 = , bc2 = , cc3 = e dc4 = . Portanto, S gera V.

70

TEOREMA: Se { }k21 v,...,v,vS vvv= é uma base para um espaço vetorial V, então todo vetor em V pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear dos vetores em S.

TEOREMA: Seja { }k21 v,...,v,vS vvv= um conjunto de vetores não-nulos em um

espaço vetorial V e seja W = [S]. Então, algum subconjunto de S é uma base para W. Procedimento para encontrar um subconjunto de um conjunto gerador que é uma

base: Seja mRV = e seja { }n21 v,...,v,vS vvv= um conjunto de vetores não-nulos em V. O

procedimento para encontrar um subconjunto de S que é uma base de W = [S] é o seguinte:

Etapa 1. Forme a equação 0vc...vcvc nn2211

vvvv =+++ Etapa 2. Construa a matriz aumentada associada ao sistema homogêneo da

equação acima e coloque em forma escada reduzida por linhas. Etapa 3. Os vetores correspondentes às colunas contendo o primeiro elemento

não-nulo de cada linha, que é sempre 1, formam uma base para W = [S]. Então, se { }621 v,...,v,vS vvv= e os primeiros elementos não-nulos das linhas ocorrem nas colunas 1,

3 e 4, { }431 v,v,v vvv é uma base para [S]. Exemplo: Seja { }54321 v,v,v,v,vS vvvvv= um conjunto de vetores em 4R , onde ( )1,2,2,1v1 −=v ( )3,4,0,3v2 −−=v ( )1,1,1,2v3 −=v ( )6,9,3,3v4 −−=v ( )6,7,3,9v5 −=v Encontre um subconjunto de S que seja uma base para W = [S] Solução Etapa 1. Forme a equação 0vc...vcvc nn2211

vvvv =+++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0,06,7,3,9c6,9,3,3c1,1,1,2c3,4,0,3c1,2,2,1c 54321 =−+−−+−+−−+−

Etapa 2. Iguale os componentes correspondentes para obter o sistema

homogêneo.

0c6c6cc3c0c7c9cc4c20c3c3cc20c9c3c2c3c

54321

54321

5431

54321

=−+−+=+−+−−=+++=+−+−

71

A forma escada reduzida por linhas da matriz aumentada é

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

000000000000

025

23

2110

023

23

2101

M

M

M

M

Etapa 3. Os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1 e

2, logo { }21 v,v vv é uma base para W = [S]. TEOREMA: Se { }n21 v,...,v,vS vvv= é uma base para o espaço vetorial V e se

{ }r21 w,...,w,wT vvv= é um conjunto linearmente independente de vetores em V, então r ≤ n.

Corolário: Se { }n21 v,...,v,vS vvv= e { }m21 w,...,w,wT vvv= são bases para um espaço

vetorial, então n = m. Embora um espaço vetorial tenha infinitas bases, para um determinado espaço

vetorial V, todas as bases têm o mesmo número de vetores. Dimensão DEFINIÇÃO: A dimensão de um espaço vetorial V não-nulo é o número de

vetores em uma base para V. Escrevemos, frequentemente, dim V no lugar de dimensão de V. Como o conjunto { }0

v é linearmente dependente, é natural dizer que o espaço

vetorial { }0v

tem dimensão zero. TEOREMA: Se S é um conjunto linearmente independente de vetores em um

espaço vetorial de dimensões finita V, então existe uma base T para V que contém S. Este teorema diz que um conjunto linearmente independente de vetores em um

espaço vetorial V pode ser estendido para uma base de V.

72

Exemplo: Suponha que queremos encontrar uma base para 4R que contém os vetores ( )0,1,0,1v1 =

v e ( )0,1,1,1v2 −−=v . Seja { }4321 e,e,e,e vvvv a base canônica de 4R , onde ( )0,0,0,1e1 =

v , ( )0,0,1,0e2 =v ,

( )0,1,0,0e3 =v e ( )1,0,0,0e4 =

v . Considere o conjunto { }432121 e,e,e,e,v,vS vvvvvv= . Como { }4321 e,e,e,e vvvv gera 4R , S

também gera 4R . Vamos agora encontrar um subconjunto de S que é uma base para 4R . Formamos a equação

0ececececvcvc 463524132211

vvvvvvv =+++++

que nos leva ao sistema homogêneo

0c0ccc0cc0ccc

6

521

42

321

==+−=+−=+−

Colocando a matriz aumentada em sua forma escada reduzida por linhas, obtemos

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−0100000001010000010100011001

M

M

M

M

Como os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1, 2, 3 e

6, concluímos que { }4121 e,e,v,v vvvv é a base para 4R contendo 1vv e 2vv . Pela definição de base, um conjunto de vetores em um espaço vetorial V é uma

base para V se gera V e é linearmente independente. No entanto, se tivermos a informação adicional de que a dimensão de V é n, precisamos verificar apenar uma dessas condições. Este é o resultado do próximo teorema.

TEOREMA: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja { }n21 v,...,v,vS vvv=

um subconjunto de n vetores em V. a) Se S é linearmente independente, então é uma base para V. b) Se S gera V, então é uma base para V.

73

Sistemas Homogêneos Considere o sistema homogêneo

0xAvv =

onde A é uma matriz m×n. O conjunto de todas as soluções desse sistema homogêneo é um subespaço de nR . Um problema extremamente importante é encontrar a base para este espaço solução.

O procedimento para encontrar uma base para o espaço solução de 0xA

vv = , ou o núcleo de A, onde A é m×n, é o seguinte:

Etapa 1. Resolva o sistema homogêneo dado pelo método de redução de Gauss-Jordan. Se a solução não contém constantes arbitrárias, então o espaço solução é { }0

v,

que não tem base; a dimensão do espaço solução é zero. Etapa 2. Se a solução xv contém constantes arbitrárias, escreva xv como uma

combinação linear dos vetores p21 x,...,x,x vvv tendo p21 s,...,s,s como coeficientes:

pp2211 xs...xsxsx vvvv +++= Etapa 3. O conjunto de vetores { }p21 x,...,x,x vvv é uma base para o espaço solução

de 0xAvv = ; a dimensão desse espaço solução é p.

Observação: Suponha que, na Etapa 1, a matriz em forma escada reduzida por

linhas na qual foi transformada [ ]0AvM tem r linhas não-nulas (todas com o primeiro

elemento diferente de zero igual a 1). Então, p = n – r, isto é, a dimensão do espaço solução é n – r. Além disso, a solução xv de 0xA

vv = tem n – r constantes arbitrárias. Se A é uma matriz m×n, chamamos a dimensão do núcleo de A de nulidade de A. Exemplo: Encontre uma base e a dimensão do espaço solução W do sistema

homogêneo.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−00000

xxxxx

1061220011210001121021411

5

4

3

2

1

74

Sol Etapa 1. Para resolver o sistema dado pelo método de redução de Gauss-Jordan,

transformamos a matriz aumentada em sua forma escada reduzida por linhas, obtendo

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

000000000000021000010210010201

M

M

M

M

M

Toda solução é da forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−−−

=

tt2

sts2ts2

xv

onde s e t são números reais arbitrários.

Etapa 2. Todo vetor em W é uma solução, logo podemos escrever qualquer vetor

em W como

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

12

011

t

00122

sxv

Como s e t podem assumir quaisquer valores, fazemos primeiro s = 1 e t = 0 e,

depois, s = 0 e t = 1, obtendo como soluções

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

00122

x1v e

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

12

011

x 2v

Etapa 3. O conjunto { }21 x,x vv é uma base para W e dim W = 2.

75

Exemplo: Encontre uma base para o espaço solução do sistema homogêneo ( ) 0xAI3

vv =−λ para λ = –2 e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

200012103

A

Sol Formamos –2I3 –A:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

000032101

200012103

100010001

2

Esta última matriz é a matriz dos coeficientes do sistema homogêneo, logo a

transformamos na matriz aumentada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

000000320101

M

M

M

e a colocamos na forma escada reduzida por linhas

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

0000

03210

0101

M

M

M

Então, todo solução é da forma ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

s

s32

sxv onde s é um número real qualquer.

Logo, todo vetor no espaço solução pode ser escrito como

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

1321

sxv

de modo que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1321

é uma base para o espaço solução.

76

Exemplo: Encontre todos os números reais λ tais que o sistema homogêneo ( ) 0xAI2

vv =−λ tem uma solução não-trivial, onde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=13

51A

Sol Formamos λI2 –A:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+λ−−−λ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ

1351

1351

1001

O sistema homogêneo ( ) 0xAI2

vv =−λ é, então

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+λ−−−λ

00

xx

1351

2

1

Este sistema homogêneo tem uma solução não trivial se e somente se o

determinante da matriz dos coeficientes é nulo (Apostila 2), isto é, se e somente se

013

51det =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+λ−−−λ

ou se e somente se ( )( ) 01511 =−+λ−λ

0162 =−λ 4=λ ou 4−=λ

Portanto, quando 4=λ ou 4−=λ , o sistema homogêneo ( ) 0xAI2

vv =−λ para a matriz dada A tem uma solução não-trivial.

77

O Posto de uma Matriz DEFINIÇÃO: Seja

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mn2m1m

n12221

n11211

aaa

aaaaaa

A

L

MMM

L

L

uma matriz m×n. As linhas de A, { }n112111 a,...,a,av =v { }n222212 a,...,a,av =v

M { }mn2m1mm a,...,a,av =v

consideradas vetores em nR , geram um subespaço de nR chamado espaço linha de A. Analogamente, as colunas de A,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1m

21

11

1

a

aa

wM

v ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2m

22

12

2

a

aa

wM

v , ...... ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mn

n2

n1

n

a

aa

wM

v

considerados vetores em mR , geram um subespaço de mR chamado espaço coluna de A.

TEOREMA: Se A e B são duas matrizes m×n equivalentes por linhas, então os

espaços linha de A e B são iguais. O procedimento para encontrar uma base para o subespaço V de nR dado por

V = [S], onde { }k21 v,...,v,vS vvv= é um conjunto de vetores em nR dados em forma de linhas, é o seguinte:

Etapa 1. Forma a matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

k

2

1

v

vv

A

vM

v

v

cujas linhas são os vetores dados em S. Etapa 2. Transforme A em sua forma escada reduzida por linhas, obtendo a

matriz B. Etapa 3. As linhas não-nulas de B formam uma base para V.

78

Exemplo: Seja { }4321 v,v,v,vS vvvv= , onde ( )4,3,0,2,1v1 −−=v , ( )4,1,8,2,3v2 =v ,

( )3,2,7,3,2v3 =v e ( )3,4,0,2,1v4 −−=v .

V é o espaço linha da matriz A cujas linhas são os vetores dados:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

34021327324182343021

A

A é equivalente por linhas a

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

0000011000

1011010201

B

que está em forma escada reduzida por linhas. Os espaços linhas de A e B são idênticos, e uma base para o espaço linha de B consiste nas linhas não-nulas de B. Portanto,

( )1,0,2,0,1w1 =v , ( )1,0,1,1,0w 2 =

v e ( )1,1,0,0,0w 3 −=v formam uma base para V.

DEFINIÇÃO: A dimensão do espaço linha de A é chamada de posto linha de A,

e a dimensão do espaço coluna de A é chamada de posto coluna de A. TEOREMA: Os postos linha e coluna de uma matriz [ ]ijaA = m×n são iguais. DEFINIÇÃO: Como posto linha de A = posto coluna de A, vamos nos referir

simplesmente ao posto de uma matriz m×n e escrever posto de A. O procedimento para calcular o posto de uma matriz é o seguinte: Etapa 1. Usando operações elementares nas linhas, transforme A em uma matriz

B em forma escada reduzida por linhas. Etapa 2. Posto de A = número de linhas não-nulas de B. TEOREMA: Se A é uma matriz m×n, então posto de A + nulidade de A = n.

79

Exemplo: Seja

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

1061220011210001121021411

A

colocando A em sua forma escada reduzida por linhas:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

00000000002100010210

10201

A

Logo, posto de A = 3 e nulidade de A = 2.

80

Posto e Singularidade TEOREMA: Uma matriz A n×n é invertível se e somente se posto de A = n. Corolário: Se A é uma matriz n×n, então posto de A = n se e somente se

det(A) ≠ 0. Corolário: Seja A uma matriz n×n. O sistema linear bxA

vv = tem uma única solução para toda matriz b n×1 se e somente se posto de A = n.

Corolário: Seja { }n21 v,...,v,vS vvv= um conjunto de vetores em nR e seja A a

matriz cujas linhas (respectivamente, colunas) são vetores em S. Então S é linearmente independente se e somente se det(A) ≠ 0.

Corolário: O sistema homogêneo 0xA

vv = com n equações lineares e n incógnitas tem uma solução não-trivial se e somente se posto de A < n.

Exemplo: Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

312310021

A

Transformando A em sua forma escada reduzida por linhas B, encontramos

B = I3. Logo, posto de A = 3 e a matriz não é singular. Além disso, o sistema homogêneo 0xA

vv = tem apenas a solução trivial. Exemplo: Seja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=331311

021A

Então A é equivalente por linhas a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

000310601

uma matriz em forma escada reduzida por linhas. Logo, posto de A < 3 e A é singular. Além disso, 0xA

vv = tem apenas a solução não-trivial.

81

Aplicação do Posto para um Sistema Linear Ax = b TEOREMA: O sistema linear bxA

vv = tem solução se e somente se posto de A = posto de [ ]bA

vM , isto é, se e somente se os postos da matriz de coeficientes e da matriz

aumentada são iguais. Exemplo: Considere o sistema linear

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

321

xxx

310221312

3

2

1

Como posto de A = posto de [ ]bA

vM = 3, o sistema linear tem uma solução.

Exemplo: O sistema linear

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

654

xxx

712431321

3

2

1

não tem solução, pois posto de A = 2 e posto de [ ]bA

vM = 3.

Lista de Equivalência para Matrizes Invertíveis As seguintes afirmações são equivalentes para uma matriz A n×n:

1. A é invertível. 2. 0xA

vv = tem apenas a solução trivial. 3. A é equivalente por linhas a In. 4. O sistema linear bxA

vv = tem uma única solução qualquer que seja a matriz bv

n×1. 5. det(A) ≠ 0 6. A tem posto n. 7. A tem nulidade 0. 8. As linhas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em nR . 9. As colunas de A formam um conjunto linearmente independente de n vetores em nR .