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Aula-1.3 A lei de Gauss Física 2 1 o semestre de 2016

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Aula-1.3 A lei de Gauss

Física 2 1o semestre de 2016

Fluxo de um campo vetorial

⊥==→== vAdtdsAdsAdV;

dtdV

φφ

ds

A⊥v

//vv!

⊥⊥ =+== vA)t̂vn̂.(vn̂Av.A //!!

φ

v!A!n̂

∫=A

dAnrv ˆ).(!!φ

Ad!

)(rv !!

Definição:

Fluxo de um campo vetorial

O fluxo do campo elétrico Qual é o fluxo do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas através de uma superfície fechada?

∫ ⋅=A

dAnrE ˆ)(!!

φ

0ˆ)( <⋅= dAnrEd !!φ

0ˆ)( =⋅= dAnrEd !!φ

0ˆ)( >⋅= dAnrEd !!φ

Fluxo de um campo vetorial

00321 =++−=++= EAEAφφφφ

Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção de um campo elétrico uniforme

Fluxo do campo elétrico

θφ cos)(ˆ)( dArEdAnrEd !!!=⋅=

Ω= drdA 2cosθ

Ângulo sólido e a lei de Gauss

Ω= drrEd 2)(!φ

0

int2

0

2

4 επεφφ

qrdrqd =Ω

== ∫∫

2

cosr

dAd θ=Ω

r Ad!

)(rE !!

θcosdA

Ωd

θ

Fluxo do campo elétricoA lei de Gauss

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície:

Cálculo do campo elétrico

Carga puntiforme (simetria esférica)

0

2 )(4ˆ)(ε

πφqrErdAnrE

A

==⋅= ∫!!

rrq

E ˆ41

20πε

=!

A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo elétrico devido a uma distribuição de cargas depende da simetria do problema.

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

Cálculo do campo elétricoCondutores

O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá se situar na sua superfície.

00

int ==ε

φq

No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor.

0)( =rE !! 0)( =rE !

!

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

Cálculo do campo elétricoSimetria plana: camada condutora

AEA σε =0

nE ˆ0εσ

=!

+

A!

E!

+

++

+

++ +

+0=E

! +

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do condutor carregado, em equilíbrio eletrostático.

Cálculo do campo elétricoCarga induzida em uma camada condutora

0ˆ)(0

)(

0

int =+=⋅= +

∫ εεφ

qqdAnrEA

!!

int)( qq −=+

int)()( qqq =−= +−

e

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

Cálculo do campo elétrico Simetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado

0

2)(ελ

πφlrlrE ==

!

rr

rE ˆ2

)(0επ

λ=

!

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

Cálculo do campo elétricoAnálise do raio

--- -

+ ++

-

+

+ + +++

- --

- -

--

--

O líder age como um fio carregado que quando toca o solo descarrega a nuvem. O raio propriamente dito parte de baixo para cima!

Cálculo do campo elétricoPlaca não condutora (simetria plana)

AEA σε =0202ε

σ=E

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!

Cálculo do campo elétricoDuas placas condutorasDensidades superficiais de carga e

1σ 1σ−

!!"

!!#

$

−=

placadaesquerdaà

placadadireitaà

0

1

0

1

1

εσ

εσ

E

!!"

!!#

$−

=placadaesquerdaà

placadadireitaà

0

1

0

1

2

εσ

εσ

E

!"

!#$

=+=placasdasfora0

placasasentre2

0

1

21 εσ

EEEtotal

Cálculo do campo elétricoDuas placas não condutorasDensidades superficiais de carga e)(+σ )(−−σ

!!"

!!#

$

=+

+

+

placadaesquerdaà2

placadadireitaà2

0

)(

0

)(

)(

ε

σ

ε

σ

E

!!"

!!#

$−

=−

placadaesquerdaà2

placadadireitaà2

0

)(

0

)(

)(

ε

σ

ε

σ

E

0

)()(

2εσσ −+ −=RE

0

)()(

2εσσ +− −=LE

0

)()(

2εσσ −+ +=BE

Cálculo do campo elétricoSimetria esférica: esfera (não condutora) uniformemente carregada

!!"

!!#

$

<

>=

RrrR

Q

Rrr

Q

rEse

4

se4)(

30

20

πε

πε

0

intˆ)(ε

φqdAnrE

A

=⋅= ∫!!