18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

18. AKTIVNI PRITISAK TLA NA POTPORNE KONSTRUKCIJE

Potporne konstrukcije su najčešće od betona ili armiranog betona, kao i od drugih materijala koji imaju hrapavu površinu, te se na kontaktu sa tlom ostvaruje određeno trenje ( )0≠δ . Stoga aktivni pritisak ne djeluje normalno na površinu zida, već pod nekim uglom δ u odnosu na normalu na zid i predstavlja odnos između napona trenja i normalnih napona na zid. Za ovakve slučajeve sila aktivnog pritiska je znatno manja od one koja se dobije po Rankineovim obrascima. Zbog ovoga se kod postojanja trenja između zida i tla ( )0≠δ ne primjenjuje Rankineovo rješenje.

Potporne konstrukcije kojima se osigurava stabilnost zemljane mase, kod pojave aktivnog pritiska, mogu biti udaljene od tla okretanjem oko najniže tačke A, translatorno pomjerene naprijed, pomaknute u stopi, ili savinute u sredinama (sl.18.1. i 18.2.).

Sl.18.1. Klizne plohe i specifične horizontalne deformacije aktivnog klina za: okretanje zida oko donje tačke A (a) i translatorno pomjeranje zida (b).

Intenzitet aktivnog pritiska PA ovisi o više faktora, u koje se kao najvažnije ubrajaju: fizičko – mehaničke osobine tla, visine zida, stanje podzemne vode i vlažnost tla, uslovi dreniranja, intenzitet i vrsta vanjskog opterećenja, vrsta konstrukcije zida, hrapavost unutrašnjih površina zida itd.

Oblik klizne površine može biti i zakrivljen što ovisi o načinu pomjeranja zida, homogenosti deformacione zone i dr. (sl.18.1. i 18.2.), ali su analize pokazale da nije velika greška ako se linija klizanja kod aktivnog pritiska aproksimira pravom.

Mehanika tla 179

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Sl.18.2. Klizne plohe i specifične horizontalne deformacije aktivnog klina za: pomjeranje zida oko gornje tačke B (c) i savijanje zida u sredini (d).

18.1. METODE ODREĐIVANJA AKTIVNOG PRITISKA

Postoji više analitičkih i grafičkih metoda za određivanje aktivnog pritiska tla sa kohezijom i bez nje i za razne slučajeve potpornih konstrukcija, geomehaničkih uslova tla i opterećenja. Razmotrit će se one metode koje imaju najviše praktičnog značaja i primjenjive su za više raznih slučajeva koji se javljaju u inženjerskoj praksi. Kod svih ovih metoda rezultirajuća sila normalnih i tangencijalnih napona na poleđini zida (PA) nije normalna na zid nego sa normalom čini ugao δ , jer se pri tome ne zanemaruje trenje zida i tla.

18.1.1. COULOMBOVA TEORIJA

18.1.1.1. Nekoherentno tlo

Francuski inženjer Coulomb je već 1776. godine objavio teoriju aktivnog pritiska na potporne konstrukcije i dao rješenje za proračun pritiska i otpora tla pri aktivnom i pasivnom stanju sloma. Prvo je posmatrao nevezano tlo koje je poduprto zidom i u jednom momentu ga uklonio, pri čemu je materijal skliznuo po nekoj ravni AC nagnutoj pod uglom ϑ (sl.18.3.-a). Težina W skliznute zemljane prizme ABC djeluje istovremeno i na potpornu konstrukciju AB i na ravan klizanja AC. Veličinu aktivnog pritiska PA Coulomb je odredio pod slijedećim pretposta-vkama:

da je potporna konstrukcija (zid) kruta; da je površina klizanja ravna površina;

Mehanika tla180

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

da se sve tri djelujuće sile: težina zemljane prizme ABC W, aktivni otpor potporne konstrukcije AP i otpor trenja duž klizne površine ADC Q, sijeku u jednoj tački D, što znači da je plan sila zatvoren (sl.18.3.-b), odnosno da su sve tri sile u ravnoteži;

da je na kliznim površinama aktivirana puna vrijednost čvrstoće na smicanje;

da se klin tla ABC iza zida ponaša kao kruto tijelo; da je između niza kliznih površina mjerodavna ona koja daje

maksimalnu vrijednost aktivnog pritiska (princip ekstrema – sl.18.7.).

Sl.18.3. Određivanje aktivnog pritiska prema Coulombovoj metodi: zid sa aktivnim klinom nekoherentnog tla iza njega (a), poligon sila (b).

Daljnje pretpostavke Coulombovog rješenja uključuju poznavanje pravca i hvatišta djelovanja aktivnog pritiska AP između klina i zida i smjer reakcije tla Q. Klin tla ABCA iza zida omeđen je kliznom ravnom površinom AC koja prolazi kroz donju tačku zida. Tačka presjeka svih sila ne mora ležati na kliznoj ravni (D), kako je prikazano na slici 18.3..

Za izračunavanje aktivnog pritiska AP Coulomb pretpostavlja da se aktivira puna vrijednost posmične sile na kliznoj površini AC. Usljed toga rezultanta otpora trenja Q zatvara ugao ϕ sa normalom na kliznu ravan AC, dok komponenta AP djeluje pod uglom δ od normale na unutarnju površinu potporne konstrukcije AB, koja je posljedica trenja između zida i tla.

Za datu kliznu ravan pod uglom ϑ, poznatu težinu aktivnog klina W, te poznate smjerove sila AP i Q može se sačiniti poligon sila i grafički odrediti

Mehanika tla 181

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

veličine AP i Q. Veličinu aktivne sile možemo dobiti i na osnovu poznatih uglova ϑ, δ i ϕ iz poligona sila pomoću sinusne teoreme:

( )[ ] ( )ϕϑϕϑψ −−+−= sin:180sin: APW ,i uz činjenicu da je:

( )[ ] ( )ϕϑψϕϑψ −+=−+− sin180sin ,dobivamo analitički izraz za aktivni pritisak:

( )( )ϕϑψ

ϕϑ−+

−=sin

sinWPA , (18.1.)

gdje je:γ⋅= ABCFW .

Coulomb je izračunao kritičnu kliznu površinu, odnosno njen nagib cϑ,

kao mjerodavnu površinu koja daje maksimalnu silu aktivnog pritiska APmax , pa

je ugao cϑ određen iz uslova:

0=∂∂

ϑAP

. (18.2.)

Iz ove jednadžbe može se odrediti ugao cϑ, kojim se definiše kritična klizna ravan. Ako se tako dobivena vrijednost unese u jedn.18.1., dobije se izraz za aktivni pritisak:

AA KHP ⋅⋅= 2

2

1 γ , (18.3.)

gdje je KA koeficijent aktivnog pritiska, koji se u literaturi može naći u raznim oblicima kao npr. Coulombov izraz (sl.18.3. i 18.5.; tabela 18.3.):

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

sinsin

sinsin1sinsin

sin

+⋅−−⋅++−⋅

+=

βαδαβϕδϕδαα

ϕαAK

. (18.4.)

Za slučaj 0=β i o90=α dobije se:

( )

2

cos

sinsin1

cos

⋅++=

δϕδϕ

ϕAK , (18.5.)

a pri 0=δ dobije se Rankineov slučaj, pa je koeficijent aktivnog pritiska:

−=

+

=2

45sin1

cos 22

ϕϕ

ϕ oA tgK . (18.6.)

Specijalni, takozvani Rankineov slučaj, koji je već objašnjen, dobijemo kada je:

teren horizontalan, 0=β ;

Mehanika tla182

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

unutarnja strana konstrukcije vertikalna, 0=γ ; pravac sile PA horizontalan, 0=δ , tj. kada je zid potpuno gladak.Za ovaj poseban slučaj je za o90=ψ (sl.18.4.):

( )( )[ ]

( )( )ϕϑ

ϕϑϕϑ

ϕϑ−−=

−+−=

cos

sin

90sin

sinWWP oA ,

( )ϕϑ−⋅= tgWPA . (18.7)

Sl.18.4. Aktivni pritisak sa horizontalnim terenom i vertikalnom unutarnjom stranom zida, aktivnim klinom i proizvoljnom ravni, sa sjecištem sila u jednoj tački D (a), te poligonom sila (b).

U ovom slučaju težina zemljanog klina W iznosi:

γϑtg

HW

2

2

1= ,

te je aktivni pritisak:

( ) ( )ϑ

ϕϑγϕϑϑγ

tg

tgHtg

tg

HPA

−=−⋅=22

1 22

, (18.8.)

a primjenom pravila o tangensu razlika:

( )ϕϑ

ϕϑϕϑtgtg

tgtgtg

⋅+−=−

1, (18.9.)

dobivamo:

Mehanika tla 183

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

( ) ϕϑϑϕ

γϑϕϑ

ϕϑγtgtg

tg

tg

Htgtgtg

tgtgHPA ⋅+

−⋅=

⋅+−⋅=

1

1

2

1

122

2 ,

ili: (18.10.)

ϑϕϑϕϑγ

22

2

1

tgtgtg

tgtgHPA ⋅+

−⋅= .

Ova jednadžba odnosi se na aktivni pritisak tla na proizvoljnu kosu ravninu AC.

Potrebno je naći kritičnu kliznu površinu po kojoj će najvjerovatnije doći do klizanja i koja će dati najveću vrijednost aktivnog pritiska APmax . Ova maksimalna vrijednost dobit će se ako se diferencira PA, po promjenljivom uglu ϑ i rezultat se izjednači sa nulom, tj.:

0=∂∂

ϑAP

:

( ) ( )[ ]( ) 0cos

12

cos

1

cos

1

2

122

222

22 =

⋅+

⋅+−−⋅+

⋅ϑϕϑ

ϑϑϕ

ϑϕϑϑϕϑ

ϑγtgtgtg

tgtgtgtgtgtgtgH

, (18.11.)

(Diferencijal razlomka izračunat kao: ( )

2

'''

ϑϑϑ

ϑuuu −=

).

Vrijednost razlomka jednaka je nuli ako je vrijednost brojnika jednaka nuli. Ako pomnožimo brojnik sa ϑ2cos , dobijemo izraz:

( ) ( )

( )

−=−=

=⋅+−

=⋅+−

=⋅++⋅−

=⋅++⋅−−⋅+

=⋅+−−⋅+

.2

1;

12

.021

.021

.02

.022

.021

22

2

2

222

222

2

ϑϑϕ

ϑϑϕ

ϑϕϑϑϕϑϕ

ϑϕϕϑϕϑϕϕϑϕϑϑϕϑ

ϑϕϕϑϑϕϑ

tg

tgtg

tg

tgtg

tgtgtg

tgtgtgtg

tgtgtgtgtg

tgtgtgtgtgtgtgtgtg

tgtgtgtgtgtgtg

(18.12.)

Mehanika tla184

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Kako je: ϑϑϑ 21

22

tg

tgtg

−= ,

Koeficijenti aktivnog i pasivnog pritiska na zid sa 0,0 == βγ po Coulombu (Tűrke, 1990).

Tabela 18.1.

( )( ) ( )

2

0

2

cos

sinsin1

cos;sin1;

cos

sinsin1

cos

⋅−−

=−=

⋅++=

p

p

ph

a

a

ah KKK

δϕδϕ

ϕϕ

δϕδϕ

ϕ

ϕ

Aktivni pritisak (Pah)pritisak

mirovanjaPasivni otpor tla (Pph)

Gladakzid

0=aδ

Malo hrapav

ϕδ3

1=a

Srednjehrapav

ϕδ2

1=a

Hrapav zid

ϕδ3

2=a

00 =δ Gladakzid

0=pδ

Malo hrapav

ϕδ3

1−=p

Srednjehrapav

ϕδ2

1−=p

Hrapav zid

ϕδ3

2−=p

*ahK ahK ahK ahK 0K *

phK phK phK phK

0o

2,5o

5o

7,5o

10,920,840,77

10,910,820,74

10,900,810,73

10,890,800,72

10,960,910,87

11,091,191,30

11,111,231,36

11,111,241,39

11,121,261,42

10o

12,5o

15o

17,5o

0,700,640,590,54

0,670,610,550,50

0,660,600,540,49

0,650,580,520,47

0,830,780,740,70

1,421,551,701,86

1,521,691,892,13

1,561,762,002,27

1,611,832,102,42

20o

22,5o

25o

27,5o

0,490,450,410,37

0,460,410,370,34

0,440,400,360,32

0,430,380,350,31

0,660,620,580,54

2,042,242,462,72

2,402,723,093,54

2,602,993,474,06

2,813,303,914,70

30o

32,5o

35o

37,5o

0,330,300,270,24

0,300,270,250,22

0,290,260,230,21

0,280,250,220,20

0,500,460,430,39

3,003,323,694,11

4,084,745,56

-

4,815,767,02

-

5,747,159,15

-40o

42,5o

45o

0,220,190,17

0,200,180,16

0,190,170,15

0,180,160,14

0,360,320,29

4,605,165,83

---

---

---

Kah , Kph – koeficijenti horizontalne – normalne komponente pritiska na zid

Mehanika tla 185

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Vrijednosti koeficijenata aktivnog pritiska KA (jedn.18.4.) za ϕδ 32= (Braja, 1995).

Tabela 18.2.

( )oβ ( )oφ ( )oα90 85 80 75 70 65

0 2830323436384042

0,32130,29730,27500,25430,23490,21680,19990,1840

0,35880,33490,31250,29160,27190,25350,23610,2197

0,40070,37690,35450,33350,31370,29500,27740,2607

0,44810,42450,40230,38130,36150,34280,32500,3081

0,50260,47940,45740,43670,41700,39840,38060,3638

0,56620,54350,52200,50170,48250,46420,44680,4303

5 2830323436384042

0,34310,31650,29190,26910,24790,22820,20980,1927

0,38450,35780,33290,30970,28810,26790,24890,2311

0,43110,40430,37930,35580,33380,31320,29370,2753

0,48430,45750,43240,40880,38660,36560,34580,3271

0,54610,51940,49430,47070,44840,42730,40740,3885

0,61910,59260,56780,54430,52220,50120,48140,4626

10 2830323436384042

0,37020,34000,31230,28680,26330,24150,22140,2027

0,41640,38570,35750,33140,30720,28460,26370,2441

0,46860,43760,40890,38220,35740,33420,31250,2921

0,52870,49740,46830,44120,41580,39210,36970,3487

0,59920,56760,53820,51070,48490,46070,43790,4164

0,68340,65160,62200,59420,56820,54380,52080,4990

15 2830323436384042

0,40650,37070,33840,30910,28230,25780,23530,2146

0,45850,42190,33870,35840,33060,30500,28130,2595

0,51790,48040,44620,41500,38620,35960,33490,3119

0,58690,54840,51340,48110,45140,42380,39810,3740

0,66850,62910,59300,55990,52950,50060,47400,4491

0,76710,72660,68950,65540,62390,59490,56720,5416

20 2830323436384042

0,46020,41420,37420,33880,30710,27870,25290,2294

0,52050,47280,43110,39410,36090,33080,30350,2784

0,59000,54030,49680,45810,42330,39160,36270,3360

0,67150,61960,57410,53360,49700,46370,43310,4050

0,76900,71440,66670,62410,58570,55870,51850,4889

0,88100,83030,78000,73520,69480,65800,62430,5931

Mehanika tla186

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Koeficijenti aktivnog pritiska (Műller – Breslau (1906). Tabela 18.3.

( )( ) ( )( ) ( )

;

coscos

sinsin1cos

cos

2

+⋅−−⋅++

+=

βααδβϕδϕα

αϕ

a

a

ahK

ϕ β 0=aδ0=α

ϕδ3

2=a βδ =a

0=αo30+=α o20+=α o10+=α 0=α o10−=α o20−=α o30−=α20o 0o

10o

15o

0,490,570,64

0,250,300,34

0,320,370,43

0,370,440,51

0,430,510,59

0,470,570,66

0,510,630,74

0,550,690,81

0,490,520,58

25o 0o

10o

20o

0,410,460,57

0,170,200,26

0,240,270,35

0,280,340,44

0,350,400,52

0,390,460,61

0,430,520,70

0,470,580,79

0,410,420,51

27,5o 0o

10o

20o

25o

0,370,420,500,60

0,140,170,200,25

0,200,230,280,37

0,260,300,370,45

0,310,360,450,56

0,360,420,530,66

0,400,480,610,78

0,430,540,700,90

0,370,380,440,54

30o 0o

10o

20o

25o

0,330,370,440,50

0,120,130,160,18

0,180,200,240,27

0,230,260,310,36

0,280,320,390,46

0,330,380,470,55

0,370,430,550,65

0,400,500,630,76

0,330,340,390,45

32,5o 0o

10o

20o

25o

30o

0,300,340,390,440,53

0,090,100,110,140,20

0,150,160,190,220,29

0,200,220,260,300,40

0,250,280,340,390,50

0,300,340,410,480,62

0,340,400,490,580,74

0,370,440,570,670,87

0,300,310,340,380,47

35o 0o

10o

20o

30o

0,270,300,340,44

0,070,080,090,12

0,130,140,160,21

0,180,190,230,30

0,220,250,300,40

0,270,310,370,50

0,310,360,440,60

0,340,390,510,72

0,270,280,300,38

37,5o 0o

10o

20o

30o

35o

0,240,270,300,380,45

0,050,060,070,090,11

0,100,110,130,170,21

0,150,170,200,240,31

0,200,220,260,330,44

0,240,270,340,420,54

0,280,320,390,520,68

0,310,340,450,630,83

0,240,250,270,320,40

40o 0o 0,22 0,04 0,09 0,13 0,18 0,22 0,26 0,29 0,22

Mehanika tla 187

to je:

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

ϕ β 0=aδ0=α

ϕδ3

2=a βδ =a

0=αo30+=α o20+=α o10+=α 0=α o10−=α o20−=α o30−=α10o

20o

30o

35o

0,240,270,320,37

0,050,060,060,07

0,090,100,130,15

0,150,160,200,24

0,200,230,270,33

0,250,290,360,44

0,300,360,450,55

0,330,410,540,68

0,230,240,270,32

ϕϑϑϕϑϑϕ ctgtgilitgctgtgtg

tg−=−=

−= 2,2,

1-21

2

,što daje: ϕϑ += o902 , jer je: ( )ϕϑ −= 902 tgtg , (18.13.)odakle je: 245 ϕϑ += o

Uvrštavanjem ovog izraza za kritični ugao klizanja u jednadžbu 18.8. dobijemo maksimalnu vrijednost za aktivnu silu:

( )( )

( )( )245

245

2

1

245

245

2

1 22

ϕϕγ

ϕϕϕγ

+−=

+−+=

o

o

o

o

A tg

tgH

tg

tgHP (18.14.)

Množenjem i dijeljenjem dobijenog izraza sa tg(45o-ϕ/2) on se može svesti na već poznati izraz:

( ) Ao

A KHtgHP ⋅=−⋅= γϕγ 222

2

1245

2

1 . (18.15.)

Izrazi za kritičnu kliznu površinu pod uglomϑ pri kojoj nastupa smicanje, a da pritom klizna površina daje i najveći aktivni pritisak zemlje PA

dobiveni su isti i prilikom razmatranja Rankineovog stanja plastične ravnoteže.

18.1.1.2. Koherentno tlo

Kod koherentnog tla kohezija povećava unutrašnji otpor tla, što smanjuje aktivni pritisak a povećava pasivni otpor tla. Međutim, kohezija je jako promjenjiva i zavisi o stepenu vlažnosti te u nekim slučajevima može potpuno da isčezne, kao kod nasutih slabo zbijenih i raskvašenih materijala. Zbog toga treba biti obazriv pri uzimanju sila kohezije koje moraju biti detaljno proučene, u vezi sa terenskim i drugim uslovima. Kod koherentnog materijala aktivni klin tla ABC u trenutku klizanja po pretpostavljenoj kliznoj površini stoji u ravnoteži sa silama: vlastite težine zemljane prizme W, aktivnog pritiska na potporni zid PA, reakcije tla Q i kohezije LcT ⋅= (sl.18.5.). Sila Q je rezultanta normalnih napona na kliznoj površini i onog dijela čvrstoće na smicanje koji je rezultat trenja.

Pretpostavljamo da je na kliznoj površini AC aktivirana puna vrijednost čvrstoće na smicanje sa parametrima c i ϕ. U tom slučaju poznajemo smjer, veličinu i hvatište težine klina W, smjer i hvatište aktivnog pritiska PA, smjer i

Mehanika tla188

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

veličinu sile T i smjer reakcije tla Q. Sa ovim podacima može se sačiniti poligon sila (sl.18.5.-b), za ravnotežno stanje klina ABC, iz kojeg se može dobiti veličina aktivnog pritiska između zida i klina PA, za odabranu kliznu ravan AC, kao i veličinu reakcije tla Q.

Iz uslova ravnoteže sila moguće je općenito izraziti veličinu aktivnog pritiska PA kao funkciju poznatih veličina i ugla ϑ kao nagiba klizne ravni AC, tj.:

( )[ ]ϑϕδγβα ,,,,,,, HcfPA = . (18.16.)

Nagib kritične plohe cϑ, za koju se dobije Pmax, Coulomb je izračunao

derivacijom jednadžbe za aktivni pritisak ( )AP po uglu nagiba ϑ klizne ravni (jedn.18.2.).

Sl.18.5. Ravnoteža sila na aktivnom klinu u koherentnom tlu sa zidom: sile klina (a), poligon sila (b) i konvencije označavanja ugla za aktivni pritisak (c).

Na ovaj način dobije se analitički nagib kritične ravni ( )cϑ , ali se ne može odrediti raspodjela napona uzduž mjerodavne klizne ravni i zida niti hvatište rezultante aktivnog pritiska.

Iz jednadžbi 18.2. i 18.16., koje daju opće rješenje aktivnog pritiska, dobije se koeficijent aktivnog pritiska u obliku datom u jednadžbi 18.4. (tabela 18.3.) ili u obliku (Smith, 1993):

( )( ) ( ) ( )

( )

,

sin

sinsinsin

cossin

2

−−+++

⋅−=

βψβϕϕδδψ

ψϕψ ecK A (18.17.)

sa oznakama i predznacima uglova datih na slici 18.5.-c. Za razne i najčešće uglove sačinjene su tablice (Kreyove, 1936) koje daju koeficijent KA (Nonveiller, 1981).

U tabelama 18.1., 18.2. i 18.3. dati su koeficijenti aktivnog (i pasivnog) pritiska tla prema više autora za razne slučajeve.

Mehanika tla 189

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Ako pretpostavimo da klizne površine na bilo kojoj dubini z iza zida imaju isti nagib ( )ϑ , kao i najniža ravan AC, i da su one ravne, onda se dobije linearna raspodjela pritiska sa hvatištem sile aktivnog pritiska u donjoj trećini trougla. Ovaj uslov je ispunjen samo u slučaju Rankineova stanja plastične ravnoteže, tj. kada je zid vertikalan i gladak i kada je površina tla horizontalna, a deformacije tla u području klina su konstantne. Za ovaj slučaj, a za koherentno tlo, dat je grafički prikaz sila u ravnoteži sa zidom i klinom, te poligonom sila za aktivni pritisak sa kohezijom, na slici 18.6.-a i b. Prema ovome, ako se usvoji ugao klizne ravni po Coulombu 245 ϕϑ += o i unesu u plan sila poznate vrijednosti po pravcu, smjeru i veličini sile W i T kao i sile Q i PA poznate samo po pravcu i smjeru, dobit ćemo tražene veličine sila Q i PA.

Sl.18.6. Određivanje aktivnog pritiska u tlu sa kohezijom: sile koje djeluju na klin (a), plan sila (b) i dijagram pritiska (c).

Ako se isključi djelovanje kohezije dobit ćemo u planu sila trougao 1, 2, 5 sa veličinom aktivnog pritiska AP1 , koji je veći od PA u slučaju sa kohezijom za

veličinu AP0 (sl.18.6.-b). Na ovaj način moguće je sračunati razliku aktivnog pritiska usljed djelovanja kohezije, tj.:

AAA PPP −=10 . (18.18.)Kao i kod Rankineovog stanja plastične ravnoteže, dobije se iz odnosa na

slici 18.6.-b veličina aktivnog pritiska, kao u formuli 17.25., tj.:

γγ

22 2

22

1 cKcHKHP AAA +⋅⋅−⋅⋅= , (18.19.)

zanemarujući treći član jednadžbe.

Mehanika tla190

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Na dubini H0 rezultirajući ukupni pritisak bit će 0=AP , a to je visina pri kojoj će površina dijagrama napona na zatezanje biti jednaka površini napona na pritisak, a u tom slučaju dobivamo:

( ) Ao K

c

tg

cH

⋅=

−⋅=

γϕγ4

245

40 . (18.20.)

Pošto se zatezanje između tla i zida ne može ostvariti, usvaja se dubina h0

gdje je 0=Ap , tj.:

02 =⋅−⋅⋅= AAA KcKHp γ , (18.21.)ili:

( )24522

2

100 ϕ

γγ+⋅=

⋅== o

A

tgc

K

cHh . (18.22.)

Aktivni pritisak kod koherentnog tla može se i grafički riješiti, što je kod složenih konstrukcija lakše nego pomoću Coulombove analitičke metode. Na slikama 18.7. i 18.8. data su dva načina grafičkog rješavanja.

Zbog pojave pukotina na dubini h0 klizna prizma bit će ograničena površinom zida AB, kliznom ravni AC1 i vertikalnom pukotinom C1 – D1.

Da bi se dobila najveća veličina aktivnog pritiska tla sa kohezijom, povuče se više (najmanje tri) kliznih ravni AC1, AC2, AC3 i za svaku od njih proračuna težina W1, W2, W3, uključujući i zatežuću zonu.

Poznavanjem težine Wn i sile kohezije ( ) nchH ϑsin0 ⋅− po pravcu, smjeru i veličini, uz poznate pravce sila Q i P, dobijemo za pojedine klizne ravni veličinu aktivnog pritiska AP1 , AP2 , AP3 … Nanošenjem ovih veličina u pogodnoj razmjeri na vertikalama pukotina dobit ćemo krivu dijagrama pritiska nPA, na kojoj se grafički pronađe maxPA, povlačeći tangentu na krivu paralelno sa terenom. U tački tangente nalazi se i klizna površina po kojoj bi nastupio smičući slom (sl.18.7.).

Mehanika tla 191

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Sl.18.7. Grafički način određivanja aktivnog pritiska za slučaj koherentnog tla: šema sila u pojedinim klinovima i kliznim ravnima (a) i plan sila (b).

Na slici 18.8. dat je drugi način grafičkog iznalaženja maksimalne sile aktivnog pritiska kod koherentnog tla. Dubina zatežuće zone h0 odredi se pomoću jednadžbe 18.22. Zatim se izvrši podjela na prizme, pri čemu su granice između prizmi na dubini h0 vertikalne. U kontaktu sa zidom javlja se adhezija ( )ABcC aa ⋅= , a na dijelovima kliznih površina trenje ( )cAiTi ⋅= , a te se sile mogu odrediti. Na kliznim površinama djeluju, također, sile otpora tla (Qi), koje su rezultanta normalnih napona i dijela otpornosti na smicanje, što odgovara trenju, te, prema tome, sile zatvaraju ugao smicanja ( )ϕ sa normalom na kliznu prizmu. Može se nacrtati poligon sila, pri čemu su poznate veličine i pravci sila: W, Ca i Ti, dok su za sile PA i Qi poznati pravci. Spajanjem presječnih tačaka sila PA i Qi

dobijemo krivu čija vertikalna tangenta određuje maksimalnu silu aktivnog pritiska

maxPA. Slično se može riješiti i za nekoherentno tlo ( )0=ia TiC i pronaći razlika

aktivnog pritiska usljed djelovanja kohezije ( )ap∆ .

Mehanika tla192

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Sl.18.8. Grafičko određivanje aktivnog pritiska za slučaj koherentnog tla: klizne plohe sa silama (a), poligon sila(b)

Ugao odstupanja sile aktivnog pritiska od normale na zid δ ovisi od konstrukcije i deformacije potpornog objekta, slijeganja i ponašanja tla iza zida, te od hrapavosti unutrašnje strane zida. Ugao δ je pozitivan ako je slijeganje tla veće od slijeganja potporne konstrukcije, što je obično slučaj i obratno.

Ako je površina zida glatka, ugao 0=δ , a ako je potpuno hrapav, ugao otklona od normale iznosi do ϕδ = . Obično se usvaja ϕδ 32= , kada je tlo zaštićeno od raskvašavanja, a 0=δ ako je tlo raskvašeno. Kod potpornih konstrukcija izloženih potresima usvaja se 2ϕδ = .

Za razne slučajeve opterećenja, višeslojno tlo, nagnutu ili izlomljenu plohu zida ili terena, te za slučaj postojanja trenja između tla i zida, koriste se grafičke metode proračuna aktivnih pritisaka, koje se baziraju na ravnoteži svih djelujućih sila. Od niza postojećih metoda i već navedenih (sl.18.7. i 18.8.), najviše se koristi Culmannova (Kulmanova) metoda koja se može primijeniti za razne slučajeve, a jednostavna je i praktična. Od ostalih razmotrit će se metode Rebhanna Ponceleta (Rebhan Ponseleta) i Engessera (Engesera).

18.1.2. CULMANNOVA METODA

Umjesto analitičkog proračuna koji je proveo Coulomb za iznalaženje najvećeg aktivnog pritiska (PA) i kritične klizne ravni ( )cϑ prema slikama 18.4. i

Mehanika tla 193

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

18.5. može se po istim osnovama primijeniti i grafički postupak. Uzastopnom primjenom već izložene metode za klinove pod raznim nagibima ( )ϑ možemo

naći kritičnu kliznu ravan ( )cϑ koja će dati najveću silu aktivnog pritiska

( )APmax .

Sl.18.9. Princip određivanja aktivnog pritiska prema Culmannu: položaj sila za pretpostavljenu kliznu površinu sa uglovima (a), poligonom sila normalnim i za

( )ϕ−o90 rotiranim (b) i pomoćnom konstrukcijom uglova (c).

Prema metodi Culmanna grafički se određuje veličina aktivnog pritiska

An P i kritična klizna ravan cϑ na slijedeći način:Iz tačke A (sl.18.9.-a) povuče se proizvoljna ravan pod uglom ϑ i prava

pod uglom unutarnjeg trenja ϕ . Ako poligon sila (18.9.- b) sačinjen za određivanje veličina aktivnog pritiska An P zarotiramo za ugao ( )ϕ−o90 , dobit ćemo da težina klina Wn leži na pomoćnom pravcu 2' nagnutim pod uglom ϕ prema horizontali, aktivni pritisak bit će paralelan sa položajnom linijom 1' – 3', koja je nagnuta pod uglom ( )δϕ + prema plohi zida (18.9.-a i c), a time će sila otpora tla Qn biti paralelna sa pravcem 3', nagnutim pod uglom ϑ. Prema tome, veličina aktivnog pritiska An P klina omeđenog zidom i ravni AC dobit će se grafički tako da težinu klina u određenoj razmjeri nanesemo na pomoćnu pravu 2', pod uglom ϕ prema horizontali ( )AD i na kraju tačke D povučemo pravac

Mehanika tla194

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

paralelan sa položajnom linijom 1' – 3', čime ćemo dobiti i presječnu tačku E na pravcu 3'.

Prava DE predstavlja veličinu sile aktivnog pritiska An P u mjerilu sila težina Wn. Duž AE predstavlja na pravcu 3' veličinu otpora tla Qn.

Sl.18.10. Culmannova grafička metoda za određivanje aktivnog pritiska tla.

Nastavljanjem opisanog postupka za više pretpostavljenih kliznih ravni A – C1, C2 … Cn (sl.18.10.), iznalaženjem težine pojedinih klinova W1, W2, … Wn i njihovim pojedinačnim nanošenjem na pravac ACϕ dobit ćemo, paralelnim povlačenjem pravaca sa položajnom linijom iz krajeva sile I, II … N, presječne tačke 1, 2, … n na pojedinim kliznim ravnima, a time i veličine sila pritiska AP1 ,

AP2 , … An P . Spajanjem ovih tačaka dobit ćemo paraboličnu krivulju koja se naziva Culmannova linija. Tangenta na tu krivu liniju sa pravcem A - Cϕ i paralela sa položajnom linijom određuju veličinu E – D, koja predstavlja veličinu najvećeg aktivnog pritiska APmax , kao i položaj kritične granične ravni cϑ povlačeći

liniju cCA− kroz tačku tangente E.Provođenjem postupka za klin ograničen kliznom ravni pod uglom ϕ

dobit ćemo veličinu aktivnog pritiska 0=APϕ . Parabola, znači, prolazi kroz ovu tačku V i kroz tačku A, gdje ta ravan pod uglom ϕ siječe ravan zida jer je težina

00 =W , pa je i 00 =AP . Ova metoda može se koristiti i ako iza zida djeluje linijsko ili ravnomjerno opterećenje, što će se obrazložiti u narednim izlaganjima.

Mehanika tla 195

Culmannovalinija

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

18.1.3. REBHANN – PONCELETOVA METODA

Rebhann je interpretirao uslove izraza 18.2., kojim se definiše položaj kritične površine cϑ. Ako se ovaj izraz primijeni na aktivni pritisak definisan jednadžbom 18.1., dobijemo (Sarač, 1989; Najdanović, Obradović, 1981):

( )( ) ( ) 0

sin

sin

sin

sin2

=−+

+−+

−∂∂=

∂∂

ϕϑψψ

ϕϑψϕϑ

ϑϑW

WPA . (18.23.)

Iz poligona sila (sl.18.3.-b) preko sinusne teoreme dobije se:

( )ϕϑψψ−+

⋅=sin

sinWQ , (18.24.)

a iz slike 18.11.-a proizlazi diferencijal težine:

⋅−==∂∂

⋅=∂

.2

:,2

2

2

γϑϑ

ϑγ

l

d

dww

odnosnodl

w(18.25.)

Sa porastom ugla ϑ smanjuje se težina W, zbog čega se uzima negativan predznak. Unošenjem izraza 18.24. i 18.25. u 18.23. dobijemo reakciju tla u obliku:

( )ϕϑγ −⋅= sin2

2lQ (18.26.)

Pretpostavimo da je poznat pravac kritične ravni ( )ϑ , koja presijeca teren u tački C, iz koje povučemo okomicu na pravac povučen pod uglom ϕ iz tačke A (sl.18.11.-b). Vidljivo je, da je trougao ACD sličan poligonu sila W, Q, PA, te se može napisati:

p

P

g

W

l

Q A== . (18.27.)

Iz jednadžbe 18.26. i 18.27. može se dobiti:

( )g

Wl

l

Q =−⋅= ϕϑγsin

2. (18.28.)

Mehanika tla196

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Sl.18.11. Šema za Rebhannovu metodu: sile na elementarnoj prizmi sa poligonom sila (a), princip proračuna sa kliznom ravni ( )ϑ i ravni pod uglom ( )ϕ , sa poligonom sila (b).

Sl.18.12. Rebhann – Ponceletova grafička metoda za određivanje aktivnog pritiska tla.

Iz slike 18.11.-b vidljivo je da je:( ) ql =−⋅ ϕϑsin , (18.29.)

te je:

Mehanika tla 197

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

γγ2

,2

gqWili

q

g

W ⋅=⋅= . (18.30.)

Izraz 2gq ⋅ predstavlja površinu trougla ACD, a površina trougla ABC, pomnožena sa γ predstavlja težinu klina. Zbog ovoga je površina trougla ABC jednaka površini trougla ACD.

Po Rebhannovoj teoriji kritična klizna površina ima takav položaj da četverougao ABCD dijeli na dva trougla jednake površine. Iz sličnosti trougla ACD i poligona sila proizlazi sila aktivnog pritiska:

γ⋅⋅= qpPA 2

1. (18.31.)

Na Rebhannovoj teoremi zasnovana je Ponceletova grafička konstrukcija (sl.18.12.), pomoću koje se može dobiti veličina aktivnog pritiska i položaj klizne površine.

Grafički postupak za određivanje veličine aktivnog pritiska tla PA, čiji je tok predočen na slici 18.12., je slijedeći:

iz nožice zida A povučemo pravac pod uglom unutarnjeg trenja ϕ , koji se u tački C siječe sa linijom terena, nagnutim pod uglom β prema horizontali;

iz vrha zida B povučemo položajni pravac pod uglom ( )δϕ + , prema liniji zida AB, koji siječe pravac unutarnjeg trenja AC u tački D;

dužina AC se raspolovi i opiše polukrug iznad ove dužine, sa centrom u tački 0;

iz tačke D podigne se normala na duž AC, čime se dobije u sjecištu te normale i polukruga tačka E;

tačka E prenese se otvorom šestara iz tačke A na pravac unutarnjeg ugla AC i u sjecištu se dobije tačka F;

povlačenjem paralele iz tačke F sa položajnom linijom, dobijemo presječnu tačku na liniji terena G, koju otvorom šestara iz tačke F prenesemo na pravac AC i time dobijemo tačku H;

normala u dobijenom trouglu FGH na pravac AC predstavlja njegovu visinu.

Na ovaj način dobijemo trougao pritiska iz kojeg proračunamo aktivni pritisak kao površinu trougla FGH, tj.:

γ⋅⋅= qpPA 2

1, (18.32.)

gdje je:p – izmjerena osnovica trougla FH = FG;q – izmjerena visina trougla GI;γ - jedinična težina tla.

Mehanika tla198

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Spajanjem tačke A sa tačkom G dobijemo kritičnu kliznu ravan nagnutu pod uglom cϑ.

Do istog rezultata može se doći manje tačnim grafičkim postupkom prikazanim crtkano na slici 18.12. Iz tačke B povuče se normala na ravan pod uglom ϕ, čime se dobije tačka D’. Nanošenjem pravca pod uglom γ od ove normale iz tačke B dobije se tačka D, kroz koju prolazi polukrug opisan iznad duži DC, iz centra 0’. Povlačenjem tangente na ovaj polukrug iz tačke A nožice zida dobije se tačka E’ koja se prenese na liniju smicanja i dobije tačka F. Daljnji postupak analogan je prethodno opisanom.

Dijagram pritiska koji je proporcionalan sa dubinom dobijemo pretvarajući dobivenu površinu trougla FGH u pravougaoni trougao visine H, a osnovice:

H

Px A2

= . (18.33.)

18.1.3.1. Linija terena paralelna sa linijom ugla otpornosti na smicanje

Sl.18.13. Određivanje aktivnog pritiska tla kada je linija terena nagnuta pod uglom ϕ.

Kada se presjecište linije terena i linije povučene pod uglom otpornosti na smicanje ϕ sijeku u beskonačnosti (sl.18.13.), postupak određivanja aktivnog pritiska grafičkom Rebhann – Ponceletovom metodom je slijedeći:

Povuče se uobičajeno položajna linija iz vrha zida B pod uglom ( )δϕ + sa unutrašnjom stranom zida. Odabere se bilo koja tačka C na liniji terena i povuče prava paralelno položajnoj liniji, čime dobijemo tačku D na liniji nagiba ugla unutrašnjeg trenja. Prenošenjem dužine DC šestarom iz tačke D na liniju trenja

Mehanika tla 199

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

dobijemo tačku E, a time i trougao CDE. Aktivni pritisak jednak je površini dobivenog trougla.

18.1.3.2. Presječna linija terena sa linijom ugla otpornosti na smicanje se ne sijeku

Često se linija terena i linija ugla otpornosti na smicanje ne mogu da sijeku na papiru. U tom slučaju se za određivanje aktivnog pritiska primjenjuje slijedeći postupak (sl.18.14.):

Sl.18.14. Rebhann – Ponceletova grafička metoda određivanja aktivnog pritiska (PA) kada se linije terena i linija nagiba unutrašnjeg trenja sijeku daleko.

Iz presjecišta C položajne linije, i linije pod uglom ϕ, povuče se paralela sa linijom terena do sjecišta sa unutrašnjom linijom zida, čime se dobije tačka D. Podizanjem okomice iz ove tačke D do sjecišta polukruga povučenog iznad duži AB dobije se tačka E. Duž AE prenese se na vanjski zid tako da je AFAE = .

Linija povučena iz tačke F paralelno sa linijom terena daje tačku G na pravcu ugla unutrašnjeg trenja, koja predstavlja jedan ugao od trougla pritiska GHI. Ostale se strane trougla dobiju na prijašnji način, a površina trougla predstavlja veličinu aktivnog pritiska, tj.:

qpPA ⋅⋅= γ2

1. (18.34.)

Spajanjem tačke A sa H dobijemo kliznu ravan pod uglom cϑ. Dijagram pritisak na zid dobije se na prije opisan način.

18.1.4. ENGESSEROVA METODA

Mehanika tla200

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Kod iznalaženja aktivnog pritiska tla na potporne konstrukcije univerzalnu primjenu ima grafička metoda Engessera. Kao i kod Culmannove metode, izračunaju se težine klinova tla iza zida sa pretpostavljenim kliznim površinama AC1

… ACn. Pojedine težine W1 … Wn nanose se u određenom mjerilu na pravac nagnut pod uglom ϕ u odnosu na horizontalu, ali s lijeve strane, počev od tačke A (sl.18.15.). Iz tako dobivenih tačaka A1 … An povlače se paralele sa odgovarajućim linijama klinova AC1(1) … ACn(n), na osnovu kojih će biti omogućeno povlačenje obvojnice svih pravaca.

Sl.18.15. Određivanje aktivnog pritiska tla na potporni zid prema metodi Engessera.

Ako se iz tačke A povuče pravac paralelan sa položajnim pravcem povučenim pod uglom δϕ + iz tačke B, do obvojnice će se dobiti tačka D. Dužina AD daje veličinu aktivnog pritiska tla u istom mjerilu u kojem su nanesene težine

prizmi. Ovom metodom moguće je izračunati veličinu aktivnog pritiska tla u nekoherentnom materijalu ( )0=c .

Mehanika tla 201

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Kada zid rotira oko svoje osnove, što je najčešći slučaj, pritisci na zid rastu linearno sa dubinom. U tom slučaju sila aktivnog pritiska rastavlja se na trougao pritiska sa bazom p (sl.18.16.). Ukupna sila PA djeluje u težištu dijagrama pritiska odnosno u donjoj trećini visine trougla.

Kada treba da se ispita veliki broj vertikalnih presjeka prema metodi Engessera, onda se aktivni pritisak Pi određuje analitičkim putem prema izrazu:

ai hP λγ ⋅⋅= 25,0 . (18.35.)

Sl.18.16. Dijagram aktivnog pritiska u nekoherentnom tlu.

Prema Ohdeu, vrijednost koeficijenta aktivnog pritiska aλ daje horizontalno učešće aktivnog pritiska uzimajući u obzir ugao unutrašnjeg trenja ( )ϕ , ugao nagiba terena ( )β iza zida i ugao trenja uza zid ( )δ , a dobije se pomoću izraza:

( )( ) ( )( )

−++−+++

⋅+=

maab

abnmnn

ana

11

11

12

2

λ , (18.36.)

gdje je:ϕtgn = , ϕ - ugao unutrašnjeg trenja;δtgm = , δ - ugao trenja između zida i materijala ili ugao nagiba

aktivnog pritiska;

Mehanika tla202

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

αtga = , α - ugao nagiba zida;βtgb = , β - nagib terena iza zida.

Ugao klizne ravni cϑ kod najvećeg pritiska dobije se kod vertikalnog presjeka, a prema slijedećem izrazu:

( ) ,1 2

mn

bnnntg c +

−++=ϑ za 0,0,0 ≠≠= mba ; (18.37.)

+=

==++=

.245:

;0,0,1 2

ϕϑ

ϑo

c

c

odnosno

mbzanntg(18.38.)

18.2. POSEBNI SLUČAJEVI PRORAČUNA AKTIVNOG PRITISKA

Postoji više različitih slučajeva koje u izvjesnom smislu treba modifikovati da bi se proračunao aktivni pritisak tla. Kao posebni slučajevi javljaju se različita opterećenja na tlo iza zida, što ima uticaj na pravac, smjer i veličinu aktivnog pritiska. Osim toga, konfiguracija terena iza zida, oblik zadnje linije zida, heterogenost tla i stanje podzemne vode utječu na postupak grafičkog rješavanja aktivnog pritiska. Od mnogih slučajeva neki će biti obrađeni na jedan od načina grafičkog rješavanja.

18.2.1. OPTEREĆENJE TLA KONCENTRISANOM SILOM

Ako na površini tla iza zida djeluje opterećenje u vidu koncentrisane sile Q (kN/m), veličina aktivnog pritiska može se najpogodnije naći Culmannovom grafičkom metodom. Veličina aktivnog pritiska dobije se već opisanim postupkom (sl.18.10.), s tom razlikom da se kroz tačku djelovanja sile mora provući jedna granična klizna površina. Na pravcu A – Cn nanesu se težine do te linije W1 – W2

(sl.18.17.), zatim sila Q i dalje težine ostalih prizmi. Na taj način dobije se Culmannova linija (C) koja je diskontinualna, jer na mjestu djelovanja sile (C2) ona ima skok koji odgovara sili Q.

Na slici 18.17. prikazana je isprekidanom linijom i Culmannova kriva (C') koja bi se dobila bez djelovanja sile Q. Maksimalni aktivni pritisak PA' za slučaj da nema sile Q javlja se pri slomu po kliznoj površini A – C1, dok se pri djelovanju sile Q najveći aktivni pritisak PA javlja za kliznu površinu A – C2. Razlika između ove dvije Culmannove krive daje povećanje pritiska usljed djelovanja sile Q ( )AP∆ .

Mehanika tla 203

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Sl.18.17. Određivanje aktivnog pritiska na zid u slučaju djelovanja koncentrisane sile na površini terena.

Sl.18.18. Djelovanje koncentrisane sile Q lijevo od mjerodavne klizne ravni, sa silom

porasta aktivnog pritiska od sile Q ( )AP∆ na raznim udaljenostima od zida

(D).

Ukoliko se sila Q pomjera prema desno, od tačke C2, dodatna sila aktivnog pritiska AP∆ smanjivat će se dok u nekoj tački Cn (C3) ne postane jednaka nuli. Sila Q koja bi djelovala desno od te tačke C3 ne bi imala uticaja na veličinu

Mehanika tla204

Culmannova Linija (C) i (C')

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

aktivnog pritiska PA, a kritična ravan bila bi ponovno A – C1. Položaj tačke C3

zavisi, kako od karakteristika materijala iza zida, tako i od veličine sile Q. Grafički se dobije u presjecištu tangente Culmannove krive C' sa C (C3').

Prirast aktivnog pritiska može biti određen na isti način ako sila Q djeluje lijevo od mjerodavne klizne površine neopterećenog tla A – C1. Najveći prirast pritiska dat će sila Q u tački C1', a mjerodavna klizna površina prolazi kroz tačku C1'', gdje prava povučena paralelno sa AC tangira Culmannovu liniju C''. Kada sila djeluje lijevo od tačke C1', onda se maksimalna veličina pritiska ne mijenja i ravan A – C1' ostaje mjerodavna klizna ravan (sl.18.18.). Kad je sila usmjerena lijevo od C2 , aktivni pritisak je PA, a klizna površina opterećene i neopterećene površine je A – C1.

Hvatište dodatne sile AP∆ određuje se približnim metodama, ovisno o položaju sile (Nonveiller, 1981).

18.2.2. DJELOVANJE RAVNOMJERNOG OPTEREĆENJA NA TLO IZA ZIDA

U slučaju da je tlo iza potporne konstrukcije opterećeno ravnomjerno podijeljenim opterećenjem q ( )2mkN , onda se ovo dodatno opterećenje pretvara u dodatni sloj tla iznad površine terena iste jedinične težine kao i ostalo tlo (sl.18.19.), visine h, kada se povlači nova pomoćna linija terena B’ – C’, paralelno liniji terena B – C.

U ovom slučaju proračun se provodi za ukupnu visinu hH + , pri čemu je:

( )mmkN

mkNqh

3

2

γ= . (18.39.)

Podjela se vrši na prizme s tim da su granice između prizmi u zamjenjujućoj visini (h) vertikalne, što odgovara suštini djelovanja ovoga opterećenja.

Postupak određivanja sile aktivnog pritiska ( )AgP je isti kao u normalnom slučaju, samo se jedinične težine odrede prema obrascu:

( ) 0,121 ⋅⋅+= γFFW iii . (18.40.)Dijagram pritiska je trapez sa visinom H, kod kojeg pravougaoni dio

predstavlja pritisak od opterećenja ( )AKq ⋅ , a trouglasti od pritiska tla. Srednji intenzitet pritiska odredi se iz izraza:

H

Pp A

sr = . (18.41.)

Mehanika tla 205

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Pritisci p1 i p2 lahko se odrede računski iz sličnosti trouglova ili se dobiju grafičkom konstrukcijom. Površina trapeza daje veličinu sile aktivnog pritiska, koja djeluje u težištu trapeza.

Sl.18.19. Ravnomjerno opterećenje pretvoreno u sloj tla iznad linije terena visine h (a), sa dijagramom aktivnog pritiska (b).

Sl.18.20. Određivanje veličine (a) i dijagrama (b) aktivnog pritiska na potpornu konstrukciju u slučaju ravnomjernog opterećenja na tlo iza konstrukcije, prema Rebhann – Ponceletovoj metodi.

Veličine i hvatište ukupne sile aktivnog pritiska qAAq PPP += može se odrediti numerički ili grafički prema metodi Rebhann – Poncelete ili Culmanno-

Mehanika tla206

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

voj (Kulmanovoj) metodi. Određivanje aktivne sile pritiska na potpornu konstru-kciju u slučaju ravnomjernog opterećenja tla iza zida prikazano je prema metodi Rebhann – Poncelete, sa približnom grafičkom konstrukcijom datom na slici 18.20.

Ravnomjerno opterećenje q redukuje se na visinu:

( )mq

hγ

= . (18.42.)

Visina 'BBh −= nanosi se vertikalno iznad terena i povlači duž ''CB paralelno sa linijom terena BC . Aktivni pritisak prema metodi Rebhann – Poncelete, a za pomjerenu liniju terena ''CB određuje se prema izrazu:

qpP A ⋅⋅= γ2

1' , (18.43.)

a ako se uzme da pritisci na zid rastu linearno sa dubinom, na ukupnoj visini hH + dobijemo:

( )p

hHP A ⋅+=

2' ,

odnosno pritisak u tački A:

hH

Pp A

+⋅

='2

. (18.44.)

U izloženom postupku u obzir nije uzeto trenje u materijalu, zbog čega je ovaj način proračuna približan.

Površina trougla abc predstavlja aktivni pritisak na zamišljenu ravan A – B’, dok je na postojeći zid AB aktivni pritisak predstavljen trapezom aedc. Trapez aktivnog pritiska sastoji se od trougla cdf koji odgovara pritisku tla iza zida i od pravougaonika 2pH ⋅ , odnosno 0pH ⋅ , koji odgovara pritisku usljed dejstva

opterećenja q ( )AKqp ⋅=0 . Hvatište sile je u težištu trapeza, što znači da ravnomjerno opterećenje pomjera silu prema gore. Iz dijagrama 18.20.-b proizlazi aktivni pritisak:

Hpp

PA ⋅+

=2

0 , (18.45.)

ili srednja ordinata trapeza:

H

Pp A

sr = . (18.46.)

Kada je poznato srp , moguće je i preko ove veličine konstruisati trapez pritiska.

Pomoću Culmannove grafičke metode može se isto tako lahko odrediti veličina aktivnog pritiska PA za slučaj opterećenja tla iza zida ravnomjernim opterećenjem (sl.18.23.).

Mehanika tla 207

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

18.2.3. IZLOMLJENA LINIJA TERENA

Sl.18.21. Aktivni pritisak tla za izlomljenu liniju terena iza zida: šema zida i terena (a), aktivni pritisak za teren pod uglom (b) i (c), kao i sa dijagramom pritiska (d).

Aktivni pritisak tla PA može se odrediti i za izlomljenu liniju terena iza zida prema grafičkoj metodi Culmanna, ili Rebhann – Ponceleta. Ako je teren izlomljen prema skici 18.21.-a, onda se izmjenom linija terena (18.21.-b i c) može izračunati aktivni pritisak po Culmannovoj metodi na slijedeći način:

Najprije se izračuna aktivni pritisak tla na zid produžavajući prvu izlomljenu liniju terena u beskonačnost iz tjemena zida, pod uglom β1 (sl.18.21.-b). U drugom postupku izračuna se aktivni pritisak uz pretpostavku produženja druge linije loma pod uglom β2 do sjecišta sa unutarnjom stranom produžene linije zida u tački C (sl.18.21.-c), pri čemu se dobije prividna visina zida H1.

Grafički pomoću Culmannove metode ili pomoću tablica izračuna se aktivni pritisak AP1 i smjer linije sloma 1ϑ na zid visine H, za jednolično

nagnut teren pod uglom β1. Na isti način izračuna se pritisak AP2 na zid visine H1 i za teren pod uglom β2.

Mehanika tla208

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Raspodjela pritiska u oba slučaja je linearna, s tim da ova linearnost za teren nagnut pod uglom β1, koji polazi iz tačke B, važi samo do dubine h1, na kojoj kritična klizna ravan za nagib terena pod uglom β1, iz tačke D siječe unutarnju stranu zida u tački E. Od ove tačke raspodjela pritiska približava se liniji raspodjele pritiska za tlo pod nagibom β2 iz tačke C koja bi se asimptotski sijekla u beskonačnosti. Ovim se dobije približan intenzitet pritiska na donjem rubu zida pA, a površina a, b, d daje ukupnu silu pritiska PA koja djeluje u njegovom težištu i nešto iznad 3H (sl.18.21.-a i d).

Sl.18.22. Određivanje aktivnog pritiska tla kod izlomljene linije terena.

Sl.18.23. Određivanje aktivnog pritiska tla na zid za slučaj opterećenja izlomljenog terena iza zida ravnomjerno podijeljenim opterećenjem q1 i q2.

Mehanika tla 209

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Navedeni način proračuna aktivnog pritiska tla na zid, iza kojeg je površina terena izlomljena, dosta je složen. Vidljivo je da aktivni pritisak na zid ne raste linearno sa dubinom, ali odstupanja od linearne raspodjele obično nisu velika.

Ovakav slučaj najbrže se može riješiti pomoću Culmannove metode (sl.18.22.). Nanesemo liniju pod nagibom ϕ u odnosu na horizontalnu ravan i položajnu liniju iz tačke B pod uglom ( )δϕ + . Izdijeli se teren iza zida prvo kliznom površinom AC1, a zatim i preostalim površinama i izračunaju težine prizmi. U pogodnoj razmjeri nanesu se težine na površinu pod uglom ϕ i na već poznati način odredi se Culmannova linija, veličina aktivnog pritiska PA, kritična klizna površina AD’ i raspodjela pritiska po dubini.

Sl.18.24. Određivanje aktivnog pritiska tla i pritiska od kohezije Culmannovom metodom, za slučaj izlomljenog i opterećenog terena, linearnim i kontinualnim opterećenjem (Tűrke, 1990).

Teren iza zida, pored toga što može biti izlomljen, često je opterećen linearnim ili kontinualnim opterećenjem ili njihovim kombinacijama (sl.18.23. i 18.24.). Već poznatim načinom dobije se Culmannova linija, veličina aktivnog pritiska (PA) i kritična klizna ravan ( )cϑ . Važno je da se usvoje granice kliznih

Mehanika tla210

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

prizmi ispod sile i u lomnim tačkama terena. Pored težine prizmi (W) dodaju se opterećenja od sila (Pn), odnosno ravnomjernog opterećenja ( )nn lq ⋅ (sl.18.23.).

Na slici 18.24. prikazan je način iznalaženja aktivnog pritiska za koheziju ( )Ac P kod koherentnog tla. Na c liniji, koja se povuče pod uglom

( )ϕϑ −− oc 90 , nanese se sila trenja ( )ADcTc ⋅= i povuče paralela sa kritičnom

linijom sloma tla. Na sili aktivnog pritiska dobije se veličina sile aktivnog pritiska

od kohezije ( )CEPAc = i od opterećenja i težine ( )[ ]EFqPA =+γ .

18.2.4. POLIGONALNO IZLOMLJENA UNUTARNJA POVRŠINA ZIDA

Veličina i hvatište aktivnog pritiska PA na izlomljenu unutarnju stranu zida mogu se odrediti bilo kojom od metoda, s tim da se određivanje aktivnog pritiska vrši zasebno za svaki dio zida.

Sl.18.25. Iznalaženje aktivnog pritiska i dijagram pritiska na zid sa izlomljenom unutarnjom stranom određen Culmannovom metodom.

Za dio zida iznad preloma B (sl.18.25.) odredi se aktivni pritisak AP1 za koji se dobije pritisak u prelomu:

h

Pl A11

2⋅= , (18.47.)

te se nanese dijagram pritiska b, c, b2. Da bi se odredio pritisak AP2 na dio zida AB, potrebno je produžiti pravac zida AB do presjeka sa linijom terena u tački D, te

Mehanika tla 211

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

se odredi ukupni aktivni pritisak na liniju AD i proračuna pritisak (l2) na dubini 'hH + :

'

'2 22 hH

Pl A

+⋅= , (18.48.)

i nacrta dijagram a, a1, d. Od ovoga trougla odbija se dio trougla b1 , b2, d, te je aktivni pritisak na donji dio zida AP2 predstavljen trapezom a, a1, b1, b2.

Napadne tačke sila AP1 i AP2 nalaze se u težištu trougla, odnosno trapeza.Ukupni aktivni pritisak PA odredi se iz poligona sila, a hvatište pomoću

verižnog poligona.Slično prethodnom slučaju, veličina pritiska na poligonalno izlomljen zid

(sl.18.26.) može se odrediti grafički i analitički. Da bi se dobio ukupni pritisak, moraju se odrediti parcijalni pritisci na plohe: CD, BE i AF iz čega se izračunaju raspodjele aktivnih pritisaka. Šrafirani djelovi trougla predstavljaju parcijalne veličine sila aktivnih pritisaka AP2 i AP3 i njihove komponente djeluju u težištu dijagrama pritiska. Rezultanta aktivnog pritiska dobije se pomoću poligona sila, a hvatište verižnim poligonom (sl.18.26.).

Sl.18.26. Aktivni pritisak na zid sa poligonalnom unutarnjom stranom zida.

Mehanika tla212

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

18.2.5. USLOJENO TLO IZA ZIDA

Na slici 18.27. dat je slučaj dvoslojnog tla iza zida a prikazana su dva načina iznalaženja aktivnog pritiska:

redukcijom jedinične težine gornjeg (γ1) na donji (γ2) sloj; gornji sloj smatramo opterećenjem donjeg sloja i podjelu sloja 1.

vršimo vertikalno.Aktivni pritisak prvog sloja ( )AP1 odredi se na uobičajen način za

homogen materijal jednom od opisanih metoda. Iz poznatog ukupnog aktivnog pritiska na dio zida visine h1, izračuna se pritisak na dubini h1, iz poznatog izraza:

1

11

2

h

Pl A⋅= , (18.49.)

i nacrta dijagram pritiska koji ima trouglast oblik ',, '2

'1 dbb .

Sl.18.27. Aktivni pritisak uslojenog tla na zid sa dijagramom pritiska.

Aktivni pritisak ( )AP2 na donji dio zida AB odredi se jednom od poznatih

metoda redukujući zapreminske težine gornjeg sloja tla 1γ na zapreminsku težinu

donjeg sloja 2γ , tj.:

2

1102011 ,

γγγγ hhhh =⋅=⋅ . (18.50.)

Mehanika tla 213

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Ako je >1γ 2γ , onda je 10 hh > i obratno.

Na ovaj način za visinu se dobije 02 hh + zajednička zapreminska

(jedinična) težina 2γ , za koju se odredi fiktivni aktivni pritisak AP'2 i izračuna veličina pritiska:

02

22

'2

hh

Pl A

+⋅= , (18.51.)

i nacrta dijagram pritiska od kojeg se odbije gornji dio trougla ',, ''2

'1 cbb .

Veličina aktivnog pritiska na dio zida AB dobije se iz površine trapeza ''

2'1

'2

'1 ,,, bbaa , koja iznosi:

22

'1

2 2h

llPA ⋅+= , (18.52.)

sa napadnom tačkom u težištu trapeza.Na ovaj način dobiju se u tački B različiti pritisci sa gornje i donje strane,

kao i dvije ravnine sloma A, F, G, različitog nagiba, što je posljedica različitih karakteristika materijala u slojevima.

Pritisak na dio zida AB može se dobiti zamjenom gornjeg sloja opterećenjem 11 hq ⋅=γ na graničnoj liniji slojeva. U tom slučaju podjela na prizme u gornjem sloju vrši se vertikalnim ravnima u kojima se (kao i između slojeva) zanemaruje trenje. Prema ovome, težina prizme Wi bila bi:

2211 γγ ⋅+⋅= FFW iii . Sila AP2 odredi se iz karakteristika sloja 2, a zatim

razloži u trapez visine h2, čija se srednja ordinata odredi iz izraza 22 hPp Asr = (sl.18.27.-a). Aktivni pritisak na dio zida BD sa trouglastim opterećenjem odredi se na jedan od već poznatih metoda.

18.2.6. UTICAJ PODZEMNE VODE NA AKTIVNI PRITISAK

U slučaju postojanja podzemne vode iza zida aktivni pritisak se povećava. Ovisno o vrsti materijala i stanju podzemne vode ovo povećanje može biti veoma uticajno.

Proračun aktivnog pritiska provodi se odvojeno za pritisak iznad nivoa podzemne vode (NPV) 1PA i za pritisak ispod NPV, 2PA. Pored aktivnog pritiska tla PA na zid djeluje i hidrostatski pritisak Pw, koji treba uzeti u obzir i sa unutarnje i sa vanjske strane, ukoliko on postoji.

Aktivni pritisak na dio zida BC visine h1 (sl.18.28.) odredi se na jedan od već poznatih načina (Culmannovom ili Rebhann – Ponceletovom metodom) i izračuna veličina pritiska na dubini h1 (sl.18.28.-b) prema poznatom obrascu:

Mehanika tla214

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

1

11

2

h

Pl A⋅= , (18.53.)

gdje je:

qpPA ⋅⋅= 11 2

1 γ po Rebhann – Ponceletu ili se po Culmannovoj metodi

grafički otčita veličina. U tom slučaju uzima se zapreminska (jedinična) težina djelomično zasićenog tla vodom iznad NPV 1γ , tj.:

( ) wrs Snn γγγ ⋅⋅+⋅−= 11 . (18.54.)

Sl.18.28. Određivanje aktivnog pritiska u tlu sa podzemnom vodom iza zida: opterećenja na zid (a), dijagram pritiska od tla (b) i vode (c).

Aktivni pritisak 2PA na dio zida AB odredi se na analogan način za uslojeni slučaj tla iza zida, s tim što se ovaj pritisak računa sa jediničnom težinom tla potpuno potopljenog u vodi '

2γ , tj.:

( ) ( )wsn γγγ −⋅−= 1'2 . (18.55.)Ispitivanjem je ustanovljeno da je ugao unutarnjeg trenja iznad i ispod

NPV isti, tj. ϕϕϕ == 21 , a aktivni pritisak na dio ovoga zida djeluje pod uglom

2δ .Redukovanjem visine:

'2

11 γ

γhh = , (18.56.)

iznađe se veličina zemljanog pritiska 2PA i proračuna raspodjela pritiska, koja je u obliku trapeza abef (sl.18.28.-b).

Mehanika tla 215

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

Hidrostatski pritisak izračuna se iz izraza:

( ) 223

23 2

1

2

1hhhP www −−⋅= γγ , (18.57.)

koji raste linearno sa dubinom (sl.18.28.-c). Rezultirajuća sila Pw dobije se iz razlike pritisaka 1Pw - 2Pw u težištu trapeza visine h3 i djeluje okomito na zid.

Prethodni zadatak, za slučaj postojanja nivoa podzemne vode u tlu iza zida, može se riješiti i na drugi način (sl.18.29.). Prvo se odredi aktivni pritisak 1PA za nepotopljeni dio zida BC, s tim da se težine izdijeljenih prizmi računaju sa prirodnom jediničnom težinom (zasićeno tlo) 1γ (sl.18.29.-b). Veličina aktivnog pritiska razloži se na trougao pritiska na visini h1 sa ordinatom u tački C:

1

11

2

h

Pp A⋅= . (18.58.)

Dobiveni pritisak p1 zadrži se kao konstantan uticaj i za dio zida AC, s tim da se još doda uticaj potopljenog materijala (sl.18.29.-a). U tom slučaju prizme se dijele na način da se nivo podzemne vode smatra površinom terena, a težina prizmi računa se sa efektivnom jediničnom težinom materijala (potpuno potopljeno tlo):

wzas γγγ −= .'2 , (18.59.)

gdje je .zasγ i wγ jedinična težina zasićenog tla, odnosno vode. Na taj način dobivenu parcijalnu silu aktivnog pritiska razložimo u trougao pritisaka na visini h2

sa ordinatom u tački A:

2

22

'2

h

Pp A⋅= (18.60.)

Sl.18.29. Iznalaženje aktivnog pritiska za slučaj podzemne vode u tlu iza zida: opterećenja na zid sa dijagramima pritiska (a) i težine tla (b).

Mehanika tla216

18. Aktivni pritisak tla na potporne konstrukcije

Dobijeni trougao dodamo konstantnom dijelu dijagrama na visini AC, čime se dobio trapez pritiska acdf, u čijem težištu se pronađe aktivni pritisak 2PA, koji djeluje na dio zida AC pod uglom 2δ . Za dio zida pod uticajem podzemne vode odredi se pritisak od vode na zid koji raste linearno sa dubinom čija je maksimalna vrijednost:

2hp ww ⋅=γ . (18.61.)

Rezultirajuća sila Pw nanese se u težištu trougla pritiska i djeluje okomito na zid.

Iako su pritisci na dijelu zida AC smanjeni zbog smanjenja efektivne težine, ipak je ukupna sila pritiska sa pritiskom vode znatno veća nego u normalnim slučajevima.

18.2.7. AKTIVNI PRITISAK NA ARMIRANO - BETONSKI POTPORNI ZID

Kod pomjeranja zida pomjera se i dio tla (BCG) zajedno sa zidom pod uglom 245 ϕ+o i djeluje kao njegov dio.

Sl.18.30. Šematski prikaz iznalaženja aktivnog pritiska na armirano - betonski zid.

Prvo se odredi 1PA na dio zida AB, zatim na BC 2P'A, ali na taj način što se BC produži do sjecišta sa terenom u tački E. Dijagram opterećenja je trapez b, b', c, c', koji odgovara dužini BC. Zatim se produži duž CD do F i odredi pritisak u

Mehanika tla 217

V Pritisak na potporne i podzemne konstrukcije

obliku trougla na duži FD koji se redukuju na trapez c, c’’, d, d’ (sl.18.30.) i dobije se sila 3PA.

Nagibi aktivnih pritisaka δ su za kontakt između betona i tla ϕδ 32= , dok na kontaktu tlo – zemljani klin ϕδ = .

Dimenzioniranje zida vrši se na osnovu potiska na ravan zida A – G.

Mehanika tla218