192

Perímetro y área del cuadradoy del rectángulo. Área delromboide y del rombo

Perímetro y área del triángulo

Perímetro y área de polígonosregulares

Circunferencia y círculo:elementos

Longitud de la circunferencia:el número π. Área del círculo

Área de figuras planaspor descomposición

Simetría axial y especular.Ampliación y reducciónde figuras

Mido las zonas de mi casaque tengan formade paralelogramo.

Mido alguna zona de la casaque tenga forma de triángulo.

Mido alguna zona de la casaque tenga forma de polígonoregular.

Mido alguna zona de la casaque tenga forma de círculo.

Realizo un plano de mi casa,y calculo el perímetro y elárea de la vivienda.

3Paso

1Paso

2Paso

A lo largo de la historia, la manera de tomar medidas

de longitudes o superficies ha ido variando según las herramientas de las que disponemos

o de los descubrimientos realizados.

Para superarel reto…

investigo y aprendo

Para demostrarque lo he superado…

realizo un plano de mi casa

Perímetro y áreade figuras planas

Te proponemosun reto

¿Te apetece probar si sabes medir superficies?

Hace miles de años, en Egipto, el río Nilo se desbordaba cada año.El agua inundaba los cultivos y los agricultores tenían que volver a trazar las lindes de los campos.Como la matemática no estaba tan desarrollada como ahora, utilizaban sus propias estrategias para medir las superficies.En concreto, con palos y una cuerda de 12 nudos equidistantes eran capaces de crear ángulos rectos, triángulos, cuadrados… ¡Y podían reconstruir todo lo que el río había hecho desaparecer!

10

4Paso

5

Paso

Detección de ideas previasAntes de comenzar a trabajar los contenidos de la unidad, es reco-mendable hacer una evaluación inicial para comprobar los conoci-mientos previos del alumnado, y hacer un diagnóstico sobre el nivel y la diversidad de este.Para iniciar el trabajo, es conveniente que los alumnos y las alumnasdominen los siguientes contenidos: • Vocabulario geométrico básico (lados, ángulos, vértices, radio, diá-

metro, etc.) relativo a figuras planas.• Clasificación de polígonos.• Clasificación de triángulos y cuadriláteros atendiendo a sus lados y

sus ángulos.• Diferenciación entre circunferencia y círculo.• Utilización de instrumentos de medida de longitud y de dibujo

(compás).

Secuencia del reto

Recapitulamos la situación de partida

Proponemos el reto Cómo superar el retoCómo demostrar

que lo he superado

A lo largo de la historia, las me-didas de longitudes y superficies han ido variando según los instru-mentos de medida de los que se dispone o de los descubrimientos que hacen las personas de las dife-rentes épocas.

Realizar un plano de casa, midiendo cada habitación y calculando el área y el perí-metro de la vivienda.

Para superar el reto, debemos:• Calcular el perímetro y el área de paralelogramos.• Calcular el área y el perímetro de triángulos.• Calcular el área y el perímetro de polígonos regulares.• Calcular el área de un círculo.• Calcular el área de figuras planas por descomposición.

Para demostrar que hemos superado el reto, realizaremos el producto final siguiendo estos pasos:• Paso 1. Medimos las zonas de mi casa que tengan forma de paralelo-

gramo. • Paso 2. Medimos alguna zona de la casa que tenga forma de triángulo.• Paso 3. Medimos alguna zona de la casa que tenga forma de polígono

regular.• Paso 4. Medimos alguna zona de la casa que tenga forma de círculo.• Paso 5. Realizamos un plano de la casa y calculamos el perímetro y el

área de la vivienda.

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Perímetro y área del cuadrado y del rectángulo. Área del romboide y del rombo

Perímetro y área del triángulo

Perímetro y área de polígonos regulares

Circunferencia y círculo: elementos

Longitud de la circunferencia: el número π. Área del círculo

Área de figuras planas por descomposición

Simetría axial y especular. Ampliación y reducción de figuras

Mido las zonas de mi casa que tengan forma de paralelogramo.

Mido alguna zona de la casa que tenga forma de triángulo.

Mido alguna zona de la casa que tenga forma de polígono regular.

Mido alguna zona de la casa que tenga forma de círculo.

Realizo un plano de mi casa, y calculo el perímetro y el área de la vivienda.

3Paso

1Paso

2Paso

A lo largo de la historia, la manera de tomar medidas

de longitudes o superficies ha ido variando según las herramientas de las que disponemos

o de los descubrimientos realizados.

Para superar el reto…

investigo y aprendo

Para demostrar que lo he superado…

realizo un plano de mi casa

Perímetro y áreade figuras planas

Te proponemos un reto

¿Te apetece probar si sabes medir superficies?

Hace miles de años, en Egipto, el río Nilo se desbordaba cada año.El agua inundaba los cultivos y los agricultores tenían que volver a trazar las lindes de los campos.Como la matemática no estaba tan desarrollada como ahora, utilizaban sus propias estrategias para medir las superficies.En concreto, con palos y una cuerda de 12 nudos equidistantes eran capaces de crear ángulos rectos, triángulos, cuadrados… ¡Y podían reconstruir todo lo que el río había hecho desaparecer!

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4Paso

5

Paso

Recapitulamosla situación de partida

Proponemos el reto Cómo superar el retoCómo demostrar

que lo he superado

A lo largo de la historia, las me-didas de longitudes y superficies han ido variando según los instru-mentos de medida de los que se dispone o de los descubrimientos que hacen las personas de las dife-rentes épocas.

Realizar un plano de casa, midiendo cada habitación y calculando el área y el perí-metro de la vivienda.

Para superar el reto, debemos:• Calcular el perímetro y el área de paralelogramos.• Calcular el área y el perímetro de triángulos.• Calcular el área y el perímetro de polígonos regulares.• Calcular el área de un círculo.• Calcular el área de figuras planas por descomposición.

Para demostrar que hemos superado el reto, realizaremos el producto final siguiendo estos pasos:• Paso 1. Medimos las zonas de mi casa que tengan forma de paralelo-

gramo. • Paso 2. Medimos alguna zona de la casa que tenga forma de triángulo.• Paso 3. Medimos alguna zona de la casa que tenga forma de polígono

regular.• Paso 4. Medimos alguna zona de la casa que tenga forma de círculo.• Paso 5. Realizamos un plano de la casa y calculamos el perímetro y el

área de la vivienda.

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U·10

3,5 m

7 m

1 Mide con tu regla y calcula el perímetro y el área de estas figuras.

2 El lado de un cuadrado mide 8 cm. ¿Cuál es su área y su perímetro?

3 Observa las medidas de esta habitación.

a) Calcula su perímetro y su superficie.

b) ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado son necesarias para cubrir el suelo de la habitación? ¿Cuál será el coste total si cada baldosa cuesta 12 €?

4 ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene un jardín rectangular de 25 metros de ancho y 30 metros de largo? ¿Cuántos metros de alambre son necesarios para dar dos vueltas a su perímetro?

1 Calcula el área de estas dos figuras.

2 Calcula el área y el perímetro de este paralelogramo.

3 Observa las dimensiones de esta figura y calcula la superficieque ocupa cada color.

Perímetro y área del cuadrado y del rectángulo Área del romboide y del rombo

Mido las zonas de mi casa quetengan forma de paralelogramo.

Hoy nos convertimos en pequeñosarquitectos.¿Alguna estancia de tu casa tiene for-ma de paralelogramo? Coge un metro,papel y lápiz y… ¡a medir!Calcula su perímetro y su área. Tensiempre en cuenta qué medidas tienesque tomar, según la forma que tengala habitación, para poder calcularlos.

31Paso 42 5

Área del romboideEl área de un romboide es igual al área de un rectángulo con igual base y altura.

A = b · a = 3 · 2 = 6 m2

Área del romboEl área del rombo es igual al producto de sus diagonales dividido entre dos.

A = D ∙ d2 =

D · d2 =

4 · 22 = 4 m2

Cuadrado

Perímetro = 4 ∙ l P = 4 · 4 = 16 cm

Área = l ∙ l = l 2 A = 4 · 4 = 16 cm2

Rectángulo

Perímetro = 2 · Altura + 2 · Base = 2a + 2b

P = 2 · 3 + 2 · 6 = 6 + 12 = 18 cm

Área = b ∙ a A = 6 · 3 = 18 cm2

Problemas

l = 4 cm

a = 3 cm

b = 6 cm

12 cm14,4 cm

21 cm

8 cm

4 cm

A B C D

a = 2 m

b = 3 m

a = 2 m

b = 3 m

d = 2 m

D = 4 mD = 4 m

d2 = 1 m

10 cm10 cm

8 cm 5 cmA B

Sugerencias metodológicasRepasar el cálculo del área y el perímetro de cuadrados y rectángulos, buscando en el entorno del aula objetos con forma cuadra-da y rectangular.Es importante hacer hincapié en la diferen-cia que existe entre el cálculo de la superfi-cie y el de la longitud del contorno de una figura.Podemos afianzar la diferencia entre perí-metro y área del cuadrado y del rectángulo pidiendo a los estudiantes que, con plastili-na o con una cuerda, creen el contorno de un cuadrado (perímetro). A continuación,con plastilina de otro color, rellenarán el in-terior (área).

Soluciones1 A) P = 13 cm, A = 9 cm2

B) P = 10 cm, A = 6,25 cm2

C) P = 8 cm, A = 3,75 cm2

D) P = 4,8 cm, A = 1,44 cm2

2 A = 8 × 8 = 64 cm2

P = 8 × 4 = 32 cm3 a) A = 7 × 3,5 = 24,5 m2

P = 7 + 7 + 3,5 + 3,5 = 21 mb) Se necesitan 98 baldosas cuadradas.

El coste total será de 1 176 euros.4 25 × 30 = 750 m2

La superficie es de 750 m2.25 + 25 + 30 + 30 = 110 mSon necesarios 110 metros de alambre.

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades «Ejercita» (perímetro y área del cuadra-do y del rectángulo)

1 Calcula el área de cada figura.a) Un rectángulo de 30 cm de base y

20 cm de altura.b) Un cuadrado de 40 cm de perímetro. Solución: a) 600 cm2; b) 100 cm2

Actividad de ampliaciónDisponible en galería de actividades «Piensa un poco» (perímetro y área del cuadrado y del rectángulo)

1 ¿Cuánto mide el perímetro de un cuadra-do cuya superficie es igual a 400 cm2?Solución: Perímetro = 20 × 4 = 80 cm

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3,5 m

7 m

1 Mide con tu regla y calcula el perímetro y el área de estas figuras.

2 El lado de un cuadrado mide 8 cm. ¿Cuál es su área y su perímetro?

3 Observa las medidas de esta habitación.

a) Calcula su perímetro y su superficie.

b) ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado son necesarias para cubrir elsuelo de la habitación? ¿Cuál será el coste total si cada baldosa cuesta 12 €?

4 ¿Cuántos metros cuadrados de superficie tiene un jardín rectangular de25 metros de ancho y 30 metros de largo? ¿Cuántos metros de alambre sonnecesarios para dar dos vueltas a su perímetro?

1 Calcula el área de estas dos figuras.

2 Calcula el área y el perímetro de este paralelogramo.

3 Observa las dimensiones de esta figura y calcula la superficie que ocupa cada color.

Perímetro y área del cuadrado y del rectángulo Área del romboide y del rombo

Mido las zonas de mi casa que tengan forma de paralelogramo.

Hoy nos convertimos en pequeños arquitectos. ¿Alguna estancia de tu casa tiene for-ma de paralelogramo? Coge un metro, papel y lápiz y… ¡a medir! Calcula su perímetro y su área. Ten siempre en cuenta qué medidas tienes que tomar, según la forma que tenga la habitación, para poder calcularlos.

31Paso 42 5

Área del romboideEl área de un romboide es igual al área de un rectángulo con igual base y altura.

A = b · a = 3 · 2 = 6 m2

Área del romboEl área del rombo es igual al producto de sus diagonales dividido entre dos.

A = D ∙ d2 =

D · d2 =

4 · 22 = 4 m2

Cuadrado

Perímetro = 4 ∙ l P = 4 · 4 = 16 cm

Área = l ∙ l = l 2 A = 4 · 4 = 16 cm2

Rectángulo

Perímetro = 2 · Altura + 2 · Base = 2a + 2b

P = 2 · 3 + 2 · 6 = 6 + 12 = 18 cm

Área = b ∙ a A = 6 · 3 = 18 cm2

Problemas

l = 4 cm

a = 3 cm

b = 6 cm

12 cm14,4 cm

21 cm

8 cm

4 cm

A B C D

a = 2 m

b = 3 m

a = 2 m

b = 3 m

d = 2 m

D = 4 mD = 4 m

d2 = 1 m

10 cm10 cm

8 cm 5 cmA B

Sugerencias metodológicasEn esta página nos centramos en el romboi-de y en el rombo.Para que los alumnos y las alumnas en-tiendan bien el cálculo de la superficie y el perímetro de dichas figuras, se realiza una demostración gráfica en la que se observa la semejanza con el área del rectángulo.Se recomienda hacer dicha demostración con el alumnado, animándoles a realizar di-cha demostración con papel y tijeras.

Soluciones1 A) 80 cm2 B) A = 25 cm2

2 A = 21 × 12 = 252 cm2

P = 21 + 21 + 14,4 + 14,4 = 70,8 cm

3 Área del rectángulo = 8 × 4 = 32 cm2

Área del rombo = (8 × 4) : 2 = 16 cm2

32 – 16 = 16 cm2

Área zona verde = 16 cm2

Área zona amarilla = 16 cm2

Actividades de refuerzoDisponibles en galería de actividades «Ejercita» (área del romboide y del rombo)

1 Calcula el área de un romboide cuya base mide 8 cm y su altura mide 5 cm.Solución: A = 8 × 5 = 40 cm2

2 Calcula el área de un rombo cuya diago-nal mayor mide 12 cm y su diagonal me-nor mide 4 cm.Solución: A = (12 × 4) : 2 = 24 cm2

Actividades de ampliaciónDisponibles en galería de actividades«Piensa un poco» (área del romboide y del rombo)

1 El área de un romboide mide 45 cm2. Si su base mide 9 cm, ¿cuánto mide su altura?Solución: 5 cm

2 Miguel tiene una parcela con forma de romboide cuya base mide 100 m y su al-tura es 50 m. También tiene un prado con forma de romboide de base 100 m y el doble de altura que la parcela. El área del prado, ¿es el doble del de la parcela?Solución: Área parcela = 5 000 m2

Área prado = 10 000 m2

El área del prado es el doble.

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U·10

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo1 Halla el área de este triángulo.

2 Calcula de dos formas distintas el área de este triángulo y explica cómo lo has hecho.

3 Calcula la superficie del triángulo amarillo y, después, averigua cuál es la superficie que ocupa cada color en la vidriera.

4 ¿Tienen la misma área el triángulo azul y el triángulo verde? Razona tu respuesta.

Perímetro y área del triángulo

Mido alguna zona de la casa que tenga forma de triángulo.

Haz lo mismo que en el paso ante-rior, pero con una zona de la casa que tenga forma de triángulo, si es que la hubiera.

3 4 51 2Paso

Un triángulo ocupa la mitad de superficie que un rectángulo de la misma base y la misma altura.

Por tanto, su área será la mitad del área de ese paralelogramo.

A = b · a

2 A = 6 ∙ 3

2 = 182 = 9 cm2

Su perímetro es la suma de las longitudes de sus lados:

P = 6 + 5 + 3,6 = 14,6 cm

5 Calcula el área y el perímetro de estos triángulos. Luego, clasifícalos segúnsus lados.

6 En un triángulo podemos trazar tres alturas; una desde cada uno de sus vér-tices y que corte al lado opuesto, o a su prolongación, perpendicularmente.El punto donde se cortan las tres alturas se denomina ortocentro.

El ortocentro está dentro del triángulo.

El ortocentro está fuera del triángulo.

El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Dibuja en tu cuaderno un triángulo acutángulo, otro rectánguloy un obtusángulo, y señala sus ortocentros.

7 Observa las dimensiones de este jardín y calcula.

a) ¿Qué superficie ocupan las flores?

b) ¿Qué superficie ocupa el césped?

c) ¿Cuál es la superficie total del jardín?

Cálculo mental

a =

3 c

m

a =

3 c

m

b = 6 cm b = 6 cm 6 cm

5 cm3,6 cm

120 cm

86 cm

20 cm

15 cm 16 cm

12 cm

9 cm

3 cm

6 cm

RecuerdaSegún sus lados, los trián-gulos se clasifican en:

Equiláteros

Todos sus lados iguales.

Isósceles

Dos lados iguales.

Escalenos

Todos desiguales.

10 cm 4 cm

6 cm 6 cm

12 cm

13,4 cm4,5 cm

4,5

cm8,7

cm

A

B

C

7,5 m

10 m

4 m

2,8

m

Calcula el 10 % de una

cantidad.

10 %

:1080 8

10 % de 4010 % de 3010 % de 70

10 % de 12010 % de 60

10 % de 240

10 % de 90

10 % de 360

10 % de 100

10 % de 700

Sugerencias metodológicasEn esta doble página se repasa el área del triángulo como la mitad del área de un rec-tángulo de igual base y altura.Se recomienda, antes de empezar, realizaractividades manipulativas que permitan vi-sualizar la relación entre el triángulo y el rectángulo. Para ello, el alumnado construi-rá un rectángulo con cartulina que recortará por una de las diagonales, para comprobar que se obtienen dos triángulos iguales con la misma base y altura que el rectángulo partido.

Soluciones1 A = (120 × 86) : 2 = 5 160 cm2

2 Forma 1:A = (25 × 12) : 2 = 150 cm2

Cogiendo como base el lado derecho (9 + 16 = 25) y como altura 12 cm.Forma 2:A = (20 × 15) : 2 = 150 cm2

Cogiendo como base el lado inferior (20 cm) y como altura el lado izquierdo (15 cm)

3 A = (6 × 3) : 2 = 9 cm2

Rojo: A = 18 cm2

Azul: A = 9 cm2

Naranja: A = 36 cm2

4 Tienen la misma área porque tienen lamisma base y la misma altura.

5 a) A = (10 × 8,7) : 2 = 43,5 cm2

P = 30 cmTriángulo equilátero.

b) A = (4 × 4,5) : 2 = 9 cm2

P = 14,5 cmTriángulo escaleno

c) A = (6 × 12) : 2 = 36 cm2

P = 31,4 cmTriángulo escaleno

6 Respuesta abierta.7 a) Área flores = 5 + 2,5 + 10,5 = 18 cm2

b) Área césped = 22 cm2

c) Superficie total = 40 cm2

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U·10

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo1 Halla el área de este triángulo.

2 Calcula de dos formas distintas el área de este triángulo y explica cómo lohas hecho.

3 Calcula la superficie del triángulo amarillo y, después, averigua cuál es lasuperficie que ocupa cada color en la vidriera.

4 ¿Tienen la misma área el triángulo azul y el triángulo verde?Razona tu respuesta.

Perímetro y área del triángulo

Mido alguna zona de la casa quetenga forma de triángulo.

Haz lo mismo que en el paso ante-rior, pero con una zona de la casa quetenga forma de triángulo, si es quela hubiera.

3 4 51 2Paso

Un triángulo ocupa la mitad de superficie que un rectángulo de la misma base y la misma altura.

Por tanto, su área será la mitad del área de ese paralelogramo.

A = b · a

2 A = 6 ∙ 3

2 = 182 = 9 cm2

Su perímetro es la suma de las longitudes de sus lados:

P = 6 + 5 + 3,6 = 14,6 cm

5 Calcula el área y el perímetro de estos triángulos. Luego, clasifícalos según sus lados.

6 En un triángulo podemos trazar tres alturas; una desde cada uno de sus vér-tices y que corte al lado opuesto, o a su prolongación, perpendicularmente. El punto donde se cortan las tres alturas se denomina ortocentro.

El ortocentro está dentro del triángulo.

El ortocentro está fuera del triángulo.

El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Dibuja en tu cuaderno un triángulo acutángulo, otro rectángulo y un obtusángulo, y señala sus ortocentros.

7 Observa las dimensiones de este jardín y calcula.

a) ¿Qué superficie ocupan las flores?

b) ¿Qué superficie ocupa el césped?

c) ¿Cuál es la superficie total del jardín?

Cálculo mental

a =

3 c

m

a =

3 c

m

b = 6 cm b = 6 cm 6 cm

5 cm3,6 cm

120 cm

86 cm

20 cm

15 cm 16 cm

12 cm

9 cm

3 cm

6 cm

RecuerdaSegún sus lados, los trián-gulos se clasifican en:

Equiláteros

Todos sus lados iguales.

Isósceles

Dos lados iguales.

Escalenos

Todos desiguales.

10 cm 4 cm

6 cm 6 cm

12 cm

13,4 cm4,5 cm

4,5

cm8,7

cm A

B C

7,5 m

10 m

4 m

2,8

m

Calcula el 10 % de una

cantidad.

10 %

:1080 8

10 % de 4010 % de 3010 % de 70

10 % de 12010 % de 60

10 % de 240

10 % de 90

10 % de 360

10 % de 100

10 % de 700

Cálculo mentalLa estrategia desarrollada en este epígrafe es calcular el 10 % de una cantidad, para lo cual se divide entre diez la cantidad.Se propone el trabajo diario del cálculo mental, en sesiones cortas de 5-10 minutos, trabajando una estrategia distinta semanal-mente. Al término de cada sesión se anota-rán los resultados y se hará una valoración semanal de estos.Solución: 10 % de 40 = 4 10 % de 240 = 2410 % de 30 = 3 10 % de 90 = 910 % de 70 = 7 10 % de 360 = 3610 % de 120 = 12 10 % de 100 = 1010 % de 60 = 6 10 % de 700 = 70

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades«Ejercita» (perímetro y área del triángulo)

1 Calcula.a) El área de un triángulo de base 4 cm y

de altura 12 cm más que la base.b) El área de un triángulo de 150 cm y al-

tura 70 cm.c) El área y el perímetro de un triángulo

equilátero de 6 cm de lado y 8 cm de altura.

Solución: a) A = (4 × 16) : 2 = 32 cm2

b) A = (150 × 70) : 2 = 5 250 cm2

c) A = (6 × 8) : 2 = 24 cm2

P = 6 × 3 = 18 cm

Actividad de ampliaciónDisponible en galería de actividades «Piensa un poco» (perímetro y área del triángulo)

1 ¿Cuál es el área de la parte azul en esta fi-gura?

Solución: Área del triángulo = (5 × 9) : 2 = 22,5 cm2

El área de la parte azul es de 22,5 × 20 = = 450 cm2.

197

5 cm

9 cm

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Sugerencias metodológicasAl igual que en epígrafes anteriores, se reco-mienda proponer actividades manipulati-vas que permitan al alumnado visualizar la relación que existe entre el polígono regular y los romboides. Para ello, los alumnos y las alumnas construirán un polígono regu-lar en cartulina que recortarán en triángulos cuyas bases serán cada uno de los lados del polígono.Se recomienda igualmente, animar al alum-nado a buscar, en pequeños grupos, nuevas formas de calcular el área de polígonos re-gulares.

Soluciones1 a) La figura es un hexágono regular.

Tiene seis lados iguales que mide cada uno 8 cm.

b) Su apotema mide 6,9 cm.c) Su perímetro es igual a 48 cm.d) Su área es de 165,6 cm2.

2 a) P = 6 × 5 = 30 cmA = (30 × 4,1) : 2 = 61,5 cm2

b) P = 8 × 7 = 56 cmA = (56 × 8,3) : 2 = 232,4 cm2

c) P = 10 × 8 = 80 cmA = (80 × 12,1) : 2 = 484 cm2

3

4 Perímetro = 14 × 8 = 112 cmA = (112 × 16,8) : 2 = 940,8 cm2

5 A = (30 × 4,3) : 2 = 64,5 cm2

6 Perímetro = 1,8 × 10 = 18 cmA = (18 × 2,8) : 2 = 25,2 cm2

7 Perímetro = 10 × 5 = 50 mA = (50 × 6,9) : 2 = 172,5 m2

La superficie del jardín ocupa 172,5 m2

176 177

U·10

3 Copia y completa esta tabla en tu cuaderno:

Polígono Pentágono

Lado 4 cm

Apotema 5,5 cm 7,2 cm 5,5 cm

Perímetro 40 cm 48 cm

Área

4 Calcula el área de un octógono regular cuyo lado mide 14 cm y su apotemamide 16,8 cm.

5 El perímetro de un hexágono regular mide 30 cm y su apotema 4,3 cm.¿Cuál es su área?

6 Calcula el área y el perímetro de un decágono regular cuyo lado mide 1,8 cmy cuya apotema mide 2,8 cm.

7 En el centro de una glorieta se ha construido un jardín de forma pentagonalcon las dimensiones que ves en el dibujo. ¿Qué superficie ocupa el jardín?

8 En las fiestas del barrio de Lorena se ha montado una carpa con formahexagonal que tiene 78 metros de perímetro y una apotema de 11,2 m. ¿Quésuperficie ocupa?

9 Observa esta loseta formada por un mosaico de hexágonos.Cada hexágono tiene 10 cm de lado y una apotema de 8,6 cm.¿Cuál es la superficie total de la loseta?

1 Observa este polígono regular. Luego, copia y completa en tu cuaderno.

a) La figura es un hexágono ? . Tiene seis lados ? que miden cada uno?  cm.

b) Su apotema mide ? cm.

c) Su perímetro es igual a ? cm.

d) Su área es de ? cm2.

2 Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares:

a) b) c)

Perímetro y área de polígonos regulares

Mido alguna zona de la casa quetenga forma de polígono regular.

Haz lo mismo que en el paso anterior,pero con una zona de la casa que tengaforma de polígono regular, si es quela hubiera.

4 51 2 3Paso

Para calcular el área de un polígono regular lo transforma-mos en un paralelogramo, en este caso, un romboide.

Base del romboide = Perímetro hexágono

2

Altura del romboide = apotema hexágono

Área del hexágono = Perímetro

2 × apotema

Problemas

l = 6 cm; a = 4,1 cm l = 8 cm; a = 8,3 cm l = 10 cm; a = 12,1 cm

8 cm

6,9 cm10 m

6,9 m

A = 36 cm × 5,2 cm

2 = 93,6 cm2

6 cm

5,2 cm

A = P · a

2

Altura

Apotema Base

Polígono Pentagono Octógono Eneágono

Lado 8 cm 6 cm 4 cm

Apotema 5,5 cm 7,2 cm 5,5 cm

Perímetro 40 cm 48 cm 36 cm

Área 110 cm2 172,8 cm2 99 cm2

199

176 177

U·10

3 Copia y completa esta tabla en tu cuaderno:

Polígono Pentágono

Lado 4 cm

Apotema 5,5 cm 7,2 cm 5,5 cm

Perímetro 40 cm 48 cm

Área

4 Calcula el área de un octógono regular cuyo lado mide 14 cm y su apotema mide 16,8 cm.

5 El perímetro de un hexágono regular mide 30 cm y su apotema 4,3 cm. ¿Cuál es su área?

6 Calcula el área y el perímetro de un decágono regular cuyo lado mide 1,8 cm y cuya apotema mide 2,8 cm.

7 En el centro de una glorieta se ha construido un jardín de forma pentagonal con las dimensiones que ves en el dibujo. ¿Qué superficie ocupa el jardín?

8 En las fiestas del barrio de Lorena se ha montado una carpa con forma hexagonal que tiene 78 metros de perímetro y una apotema de 11,2 m. ¿Qué superficie ocupa?

9 Observa esta loseta formada por un mosaico de hexágonos. Cada hexágono tiene 10 cm de lado y una apotema de 8,6 cm. ¿Cuál es la superficie total de la loseta?

1 Observa este polígono regular. Luego, copia y completa en tu cuaderno.

a) La figura es un hexágono ? . Tiene seis lados ? que miden cada uno? cm.

b) Su apotema mide ? cm.

c) Su perímetro es igual a ? cm.

d) Su área es de ? cm2.

2 Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares:

a) b) c)

Perímetro y área de polígonos regulares

Mido alguna zona de la casa que tenga forma de polígono regular.

Haz lo mismo que en el paso anterior, pero con una zona de la casa que tenga forma de polígono regular, si es que la hubiera.

4 51 2 3Paso

Para calcular el área de un polígono regular lo transforma-mos en un paralelogramo, en este caso, un romboide.

Base del romboide = Perímetro hexágono

2

Altura del romboide = apotema hexágono

Área del hexágono = Perímetro

2 × apotema

Problemas

l = 6 cm; a = 4,1 cm l = 8 cm; a = 8,3 cm l = 10 cm; a = 12,1 cm

8 cm

6,9 cm10 m

6,9 m

A = 36 cm × 5,2 cm

2 = 93,6 cm2

6 cm

5,2 cm

A = P · a

2

Altura

Apotema Base

8 A = (78 × 11,2) : 2 = 436,8 m2

La superficie de la carpa ocupa 436,8 m2

9 Perímetro = 10 x 6 = 60 cmA = (60 × 8,6) : 2 = 258 cm2

La loseta está formada por:3 hexágonos enteros 8 258 × 3 = 774 cm2

4 medios hexágonos 8 258 : 2 = 129129 × 4 = 516 cm2

4 cuartos hexágonos 8 258 : 4 = 64,5 cm2

64,5 × 4 = 258 cm2

774 + 516 + 258 = 1 548 cm2

La superficie total de la loseta es de 1 548 cm2.

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades«Ejercita» (perímetro y área de polígonosregulares)

1 Completa la tabla.

Solución:

Actividad de ampliaciónDisponible en galería de actividades«Piensa un poco» (perímetro y área depolígonos regulares)

1 Calcula el área del polígono regular sa-biendo que el área del triángulo es 13 m2.

Solución: el polígono es un hexágono y contiene 6 triángulos iguales.El área del polígono es 13 × 6 = 78 m2 .

Polígono DecágonoLado 5 cm 6 cm

Apotema 4,5 cm 2,7 cmPerímetro 35 cm

Área

Polígono Heptágono DecágonoLado 5 cm 6 cm

Apotema 4,5 cm 2,7 cmPerímetro 35 cm 60 cm

Área 78,75 cm2 81 cm2

200

178 179

U·10

D

C

A

B

Circunferencia y círculo: elementos

1 Traza en tu cuaderno un segmento de 4 cm y toma ese segmento como radio para trazar una circunferencia con el compás.

a) Traza una recta tangente, una secante y otra exterior a la circunferencia. ¿Cuántos puntos tiene cada una en común con la circunferencia?

b) Señala el centro de la circunferencia y un diámetro. ¿Cuántos diámetrosse pueden trazar?

2 Preparar la tarea Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 6 cm de diámetro

y señala su centro y cuatro puntos A, B, C y D.

a) Une con tu regla los puntos A y D pasando por el centro. ¿Qué hemostrazado?

b) Al unir los puntos B y C, ¿qué es el segmento resultante?

c) Une con color rojo los puntos B y A siguiendo la línea de la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj. ¿Qué has trazado?

3 Observa y responde.

a) ¿Qué posición ocupa cada una de las rectas con relación a la circunferenciade la izquierda?

b) ¿Qué posición ocupa cada una de las circunferencias pequeñas en relación a la circunferencia negra de la derecha?

4 Carmen y Beatriz están pasando las vacaciones en un campamento y hanseñalado en su mapa una circunferencia. Solo visitarán los lugares que que-den dentro de ella.

a) ¿Qué hay en el centro de la circunferencia?

b) ¿A qué distancia del campamento están Navas y Renedo?

c) ¿Qué posición respecto a la circunferencia tiene la carreteraque une Soto con Matilla?

d) Beatriz quiere visitar la Laguna Verde que dista 30 kmdel campamento, ¿podrán hacerlo?

e) ¿Qué posición respecto a la circunferencia tiene lacarretera que une Renedo con Navas?

f ) ¿Qué localidades no visitarán?

Piensa y comparte en pareja Dentro de este

terrero circular hay siete árboles plantados. Divide el círculo con tres rectas secantes en siete par-tes de forma que en cada parte haya solo un árbol. Copia el di-bujo en tu cuaderno e inténtalo hasta dar con la solución.

Zona razona4 cm

Matilla

Navas

TéjarMijas

Cueva

Renedo

Bolaño

SaldañaAldea

Soto

Campamento

24 km

Circunferencia

Centro: punto que se encuentra a la misma dis-tancia de todos los puntos de la circunferencia.Radio: segmento que une el centro con cual-quier punto de la circunferencia.Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Círculo

Recta tangente: recta que corta a la circunfe-rencia en un solo punto.Arco: es cada una de las partes en las que una cuerda divide a la circunferencia.Segmento circular: es la parte del círculo con-tenida entre una cuerda y el arco que delimita.Sector circular: es la parte del círculo conteni-da entre un arco y dos radios.

ArcoCuerda

Centro Radio

DiámetroRecta tangenteSegmento

circular

Sector circular

Sugerencias metodológicasEn esta doble página se realiza un repaso de los conceptos de circunferencia y círculo,así como de los elementos que los forman. En algunas actividades se hace uso delcompás como instrumento para dibujar cir-cunferencias. Es importante dejar tiempo para que los estudiantes practiquen el usode dicho instrumento, recordándoles queprimero se toma la medida del radio para dibujar las circunferencias deseadas.Se recomienda recordar la posición relativade circunferencias y rectas para poder reali-zar con éxito la actividad 3.

Soluciones1 Observar que los dibujos de los alumnos

y de las alumnas son correctos.a) Recta tangente 1 punto en común.

Recta secante 2 puntos en común.Recta exterior ningún punto en común.

b) Se pueden trazar infinitos diámetros.2 Observar que los dibujos de los alumnos

y de las alumnas son correctos.a) Hemos trazado un diámetro.b) El segmento es una cuerda.c) Hemos trazado un arco.

3 a) Roja: tangente Azul: exteriorVerde: secante

b) Verde: tangente Roja: concéntrica

Amarilla: exterior Azul: secante4 a) El campamento.

b) Están a 24 km del campamento.c) Tangente.d) No podría visitarla porque se encuen-

tra fuera de la circunferencia.e) Secante.f) No visitarán Matilla, Soto y Aldea.

Zona razona

201

178 179

U·10

D

C

A

B

Circunferencia y círculo: elementos

1 Traza en tu cuaderno un segmento de 4 cm y toma ese segmento como radiopara trazar una circunferencia con el compás.

a) Traza una recta tangente, una secante y otra exterior a la circunferencia.¿Cuántos puntos tiene cada una en común con la circunferencia?

b) Señala el centro de la circunferencia y un diámetro. ¿Cuántos diámetrosse pueden trazar?

2 Preparar la tarea Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 6 cm de diámetro

y señala su centro y cuatro puntos A, B, C y D.

a) Une con tu regla los puntos A y D pasando por el centro. ¿Qué hemostrazado?

b) Al unir los puntos B y C, ¿qué es el segmento resultante?

c) Une con color rojo los puntos B y A siguiendo la línea de la circunferenciaen el sentido de las agujas del reloj. ¿Qué has trazado?

3 Observa y responde.

a) ¿Qué posición ocupa cada una de las rectas con relación a la circunferencia de la izquierda?

b) ¿Qué posición ocupa cada una de las circunferencias pequeñas en relación a la circunferencia negra de la derecha?

4 Carmen y Beatriz están pasando las vacaciones en un campamento y han señalado en su mapa una circunferencia. Solo visitarán los lugares que que-den dentro de ella.

a) ¿Qué hay en el centro de la circunferencia?

b) ¿A qué distancia del campamento están Navas y Renedo?

c) ¿Qué posición respecto a la circunferencia tiene la carretera que une Soto con Matilla?

d) Beatriz quiere visitar la Laguna Verde que dista 30 km del campamento, ¿podrán hacerlo?

e) ¿Qué posición respecto a la circunferencia tiene lacarretera que une Renedo con Navas?

f ) ¿Qué localidades no visitarán?

Piensa y comparte en pareja Dentro de este

terrero circular hay siete árboles plantados. Divide el círculo con tres rectas secantes en siete par-tes de forma que en cada parte haya solo un árbol. Copia el di-bujo en tu cuaderno e inténtalo hasta dar con la solución.

Zona razona4 cm

Matilla

Navas

TéjarMijas

Cueva

Renedo

Bolaño

SaldañaAldea

Soto

Campamento

24 km

Circunferencia

Centro: punto que se encuentra a la misma dis-tancia de todos los puntos de la circunferencia.Radio: segmento que une el centro con cual-quier punto de la circunferencia.Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Círculo

Recta tangente: recta que corta a la circunfe-rencia en un solo punto.Arco: es cada una de las partes en las que una cuerda divide a la circunferencia.Segmento circular: es la parte del círculo con-tenida entre una cuerda y el arco que delimita.Sector circular: es la parte del círculo conteni-da entre un arco y dos radios.

ArcoCuerda

Centro Radio

DiámetroRecta tangenteSegmento

circular

Sector circular

Actividades de refuerzoDisponibles en galería de actividades «Ejercita» (circunferencia y círculo: ele-mentos)

1 Traza una circunferencia y señala los ele-mentos que se indican a continuación.– Un radio – Una cuerda– Un arco – Una recta tangente– Un diámetro Solución: Observar que los dibujos de los alumnos y de las alumnas son correc-tos.

2 Carmen ha dibujado dos circunferenciasde manera que no se tocan. Dibuja y es-cribe las maneras posibles en las que las ha podido dibujar.

Solución: Ha podido dibujar circunferen-cias concéntricas, interiores o exteriores.

Actividades de ampliaciónDisponibles en galería de actividades «Piensa un poco» (circunferencia y círculo:elementos)

1 Contesta a las preguntas.a) Si trazas dos radios, ¿cuántos sectores

circulares puedes colorear?b) El semicírculo, ¿es un segmento circu-

lar? ¿Por qué?Solución:a) Puede colorear dos sectores circulares.b) No es un segmento circular, porque el

segmento es la parte circular limitada

por una cuerda y el semicírculo está li-mitado por un diámetro.

2 Observa y completa:

a) La circunferencia amarilla y la roja son…

b) La circunferencia roja y la azul son …c) La circunferencia amarilla y la azul

son … Solución:a) Concéntricas.b) Secantes.c) Tangentes.

202

180 181

U·10

50 cm 1 m

1 Calcula la longitud de las circunferencias que tienen estas medidas.a) r = 5 cmb) d = 8 cm

c) r = 15 cmd) r = 35 cm

e) d = 4 cmf ) r = 10 cm

2 La longitud de una circunferencia es de 75,36 metros. ¿Cuánto mide su diámetro? ¿Y su radio?

3 Fíjate en el tractor que ha comprado Lucía y responde las preguntas.

a) ¿Qué longitud tiene la circunferencia de cada rueda?b) Cuando la rueda grande ha dado 40 vueltas, ¿cuántas

vueltas ha dado la pequeña?

4 Observa la medida del radio de esta glorieta y calcula la longitud de su circunferencia.

1 Calcula la longitud de estas circunferencias y el área de los círculos.

2 Calcula cuánto mide la superficie de la zona coloreada en amarillo en cadafigura.

3 Esta pizza tiene 20 cm de radio. ¿Qué superficie ocupa cada porción?

4 La luz del faro de la derecha gira 270° a su alrededor y resulta visible desde12 km. ¿Cuánto mide el arco de circunferencia mayor desde el cual se divisael faro y qué superficie de agua cubre?

Longitud de la circunferencia: el número π Área del círculo

Problemas

Mido alguna zona de la casa que tenga forma de círculo.

Haz lo mismo que en el paso anterior, pero con una zona de la casa que tenga forma de círculo, si es que la hubiera.

51 2 3 4Paso

La longitud de cualquier circunferencia es un poco mayor que el triple de su diámetro.Para calcular la longitud de una circunferencia, se multipli-ca el diámetro por 3,14. El valor 3,14 se designa con la letra griega π, que se lee «pi».

π = 3,14

d = 6 cm L = 6 · 3,14 = 18,84 cmr = 3 cm L = 2 · 3,14 · 3 = 18,84 cm

L = d · πL = 2 · π · r

Podemos considerar el círculo como un polígono regular de muchos lados cuyo perímetro es la longitud de su circunferencia y su apotema, el radio.

Área del círculo = Perímetro · apotema

2 = 2 · π · r · r

2 = π · r 2

A = π · r 2

Por tanto, el área del círculo del ejemplo será la siguiente:A = π · r 2 = 3,14 · 92 = 254,34 cm2

r = 9 cm

r = 5 cmr = 7 cm r = 8 cm

6 cm4 lados 6 lados 8 lados 12 lados

…

4,5 m

2 m

5 m

3 m

6 cm 6 cm6 cm

18,84 cm

6 cm

13 m

Sugerencias metodológicasSe sugiere comenzar el trabajo con la cons-tatación experimental de la relación que existe entre el diámetro y la circunferencia. El objetivo es que esa relación (número π) sea fruto de la observación y que el alum-nado descubra que la longitud de la circun-ferencia es «un poco más que el triple del diámetro» (3,14 veces).Una buena forma de hacerlo es manipula-tivamente, realizando con una cuerda una circunferencia. Una vez formada la circun-ferencia, medir el diámetro y cortarla por un punto. Finalmente, mediremos con una regla la longitud de la cuerda y observare-mos la relación antes mencionada.

Soluciones1 a) 31,4 cm d) 219,8 cm

b) 25,12 cm e) 12,56 cmc) 94,2 cm f) 62,8 cm

2 75,36 : 3,14 = 24El diámetro mide 24 cm.El radio mide 12 cm.

3 a) Rueda pequeña: L = 2 × 3,14 × 0,50 = 3,14 mRueda grande:L = 2 × 3,14 × 1 = 6,28 m

b) La rueda pequeña ha dado 80 vueltas.4 L = 2 × 3,14 × 13 = 81,64 m

La longitud de la glorieta es de 81,64 me-tros.

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades«Ejercita» (longitud de la circunferencia: número π)

1 Calcula la longitud de las circunferencias que tienen estas medidas.a) r = 6 dm b) r = 9 mSolución: a) 37,68 dm ; b) 56,52 m

Actividad de ampliaciónDisponible en galería de actividades«Piensa un poco» (longitud de la circunfe-rencia: número π)

1 El radio de las ruedas de una bicicleta mi-de 25 cm. ¿Cuánto avanzará la rueda cada vez que dé una vuelta completa?Solución: L = 2 × 3,14 × 25 = 157 cm

203

180 181

U·10

50 cm 1 m

1 Calcula la longitud de las circunferencias que tienen estas medidas.a) r = 5 cmb) d = 8 cm

c) r = 15 cmd) r = 35 cm

e) d = 4 cmf ) r = 10 cm

2 La longitud de una circunferencia es de 75,36 metros. ¿Cuánto mide sudiámetro? ¿Y su radio?

3 Fíjate en el tractor que ha comprado Lucía y responde las preguntas.

a) ¿Qué longitud tiene la circunferencia de cada rueda?b) Cuando la rueda grande ha dado 40 vueltas, ¿cuántas

vueltas ha dado la pequeña?

4 Observa la medida del radio de esta glorieta y calcula lalongitud de su circunferencia.

1 Calcula la longitud de estas circunferencias y el área de los círculos.

2 Calcula cuánto mide la superficie de la zona coloreada en amarillo en cada figura.

3 Esta pizza tiene 20 cm de radio. ¿Qué superficie ocupa cada porción?

4 La luz del faro de la derecha gira 270° a su alrededor y resulta visible desde 12 km. ¿Cuánto mide el arco de circunferencia mayor desde el cual se divisa el faro y qué superficie de agua cubre?

Longitud de la circunferencia: el número π Área del círculo

Problemas

Mido alguna zona de la casa quetenga forma de círculo.

Haz lo mismo que en el paso anterior,pero con una zona de la casa que tengaforma de círculo, si es que la hubiera.

51 2 3 4Paso

La longitud de cualquier circunferencia es un poco mayor que el triple de su diámetro.Para calcular la longitud de una circunferencia, se multipli-ca el diámetro por 3,14. El valor 3,14 se designa con la letra griega π, que se lee «pi».

π = 3,14

d = 6 cm L = 6 · 3,14 = 18,84 cmr = 3 cm L = 2 · 3,14 · 3 = 18,84 cm

L = d · πL = 2 · π · r

Podemos considerar el círculo como un polígono regular de muchos lados cuyo perímetro es la longitud de su circunferencia y su apotema, el radio.

Área del círculo = Perímetro · apotema

2 = 2 · π · r · r

2 = π · r 2

A = π · r 2

Por tanto, el área del círculo del ejemplo será la siguiente:A = π · r 2 = 3,14 · 92 = 254,34 cm2

r = 9 cm

r = 5 cmr = 7 cm r = 8 cm

6 cm4 lados 6 lados 8 lados 12 lados

…

4,5 m

2 m

5 m

3 m

6 cm 6 cm6 cm

18,84 cm

6 cm

13 m

Sugerencias metodológicasEn este epígrafe continuamos explorando las propiedades de círculos y circunferen-cias, el alumnado aprenderá la forma de calcular la superficie de un círculo.Antes de comenzar, se recomienda que el alumnado descubra en pequeños grupos cómo calcular el área de un círculo tenien-do en cuenta que el círculo se puede consi-derar como un polígono regular de muchos lados cuyo perímetro es la longitud de la circunferencia que lo delimita, y cuya apo-tema es el radio de esta.

Soluciones1 a) L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm

A = 3,14 × 52 = 78,5 cm2

b) L = 2 × 3,14 × 7 = 43,96 cmA = 3,14 × 72 = 153,86 cm2

c) L = 2 × 3,14 x 8 = 50,24 cmA = 3,14 × 82 = 200,96 cm2

2 a) A = 3,14 × 4,52 – 3,14 × 22 = 63,585 – –12,56 = 51,025 m2

b) A = (3,14 × 52 – 3,14 × 32) : 2 = = (78,5 – 28,26) : 2 = 50,24 : 2 = 25,12 cm2

3 A = 3,14 × 202 : 8 = 157 cm2

4 L = 2 × 3,14 × 12 : 4 = 18,84 km18,84 × 3 = 56,52 km mide el arco.A = 3 × 3,14 × 122 : 4 = 3 391,12 km2 mide la superficie del agua que cubre.

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades«Ejercita» (área del círculo)

1 Calcula el área:a) De un círculo de 5 cm de radio.b) De un círculo de 3 m de diámetro.Solución: a) 78,5 cm2 b) 7,065 m2

Actividad de ampliaciónDisponible en galería de actividades«Piensa un poco» (área del círculo)

1 Calcula el área de un semicírculo cuyodiámetro mide 13 cm.Solución: A = 3,14 × 6,52 = 132,665 cm2

El área es de 132,665 : 2 = 66,3325 cm2.

204

182 183

U·10

27 m

14 m

10 m

6 m11 m

Área de figuras planas por descomposición

1 Calcula el área de estas dos figuras por descomposición.

2 Observa cómo hemos dividido estas figuras en otras figuras conocidas y calcula cuál es su área.

Clasifica ambas figuras como polígonos cóncavos o convexos.

3 Copia esta figura en tu cuaderno, descomponla en otras figuras conocidas y calcula su área tomando como unidad el lado de la cuadrícula.

4 Calcula la superficie de estas figuras.

a) b)

5 Este terreno se ha vendido a 15 € el m2.

a) ¿Cuál es su precio total?b) ¿Cuántos metros de valla serán necesarios para rodearlo?

6 ¿Qué superficie ocupa la pista de atletismo siguiente?

7 Calcula la superficie de esta parcela. La mitad se planta de tomates, unacuarta parte de lechugas y el resto de alcachofas. ¿Qué superficie ocupacada cultivo?

Problemas

Realizo un plano de mi casa, y calculo el perímetroy área de la vivienda.

Dibuja un plano aproximado de tu casay escribe los datos que has calculado en lospasos anteriores. Observa si te falta algúndato más por calcular. ¿Cuál es el perímetro de tu casa? ¿Y cuál es el área?Muestra tu plano a tus compañeros y com-pañeras y comparte con ellos tu trabajo.

1 2 3 4 5Paso

A veces nos encontramos con figuras irregulares que podemos descomponer en otras conocidas para poder calcular su área.

A1 = b · a

2 =

3 · 42

= 6 cm2

A2 = b · a = 6 · 4 = 24 cm2

A3 = b · a

2 =

4 · 42

= 8 cm2

¡ Retoconseguido !

3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

8 cm 7 cm

48 m24 m

33,94

m

24 m

48 m

4 cm

3 cm 6 cm

A1

A2 A3

4 cm

Área total = A1 + A2 + A3 =

= 6 + 24 + 8 = 38 cm2

6 cm6 cm

12 cm6 cm

4 cm

3 cm

7 cm13 cm

Calcula el 20 % de una

cantidad.

20 %

:580 16

20 % de 4020 % de 3520 % de 7020 % de 4520 % de 50

20 % de 115

20 % de 90

20 % de 200

20 % de 100

20 % de 400

4 cm

8 cm8 cm

6 cm

3 cm

3 cm

RecuerdaUn polígono es cón-cavo si tiene alguno de sus ángulos ma-yor de 180°.

Un polígono es con-vexo si todos sus ángulos son meno-res de 180°.

100 m

37 m

Sugerencias metodológicasEl objetivo de este epígrafe es el cálculo del área de figuras irregulares mediante des-composición en figuras conocidas.

Soluciones1 a)

A1 = (2 × 3) : 2 = 3 cm2

A2 = 4 × 3 = 12 cm2

A3 = (2 × 3) : 2 = 3 cm2

AT = 3 + 12 + 3 = 18 cm2

b)

A1 = 4 × 4 = 16 cm2

A2 = (3 × 4) : 2 = 6 cm2

AT = 16 + 6 = 22 cm2

2 a) Polígono cóncavoA1 = A2 = 8 × 8 = 64 cm2

A3 = 8 × 4 : 2 = 16 cm2

AT = 64 + 64 + 16 = 144 cm2

b) Polígono convexoA1 = 3 × 3 = 9 cm2; A2 = 3 × 3 = 9 cm2

A3 = (3 × 5) : 2 = 7,5 cm2; A4 = 5 × 3 = 15 cm2

AT = 9 + 9 + 7,5 + 15 = 40,5 cm2

3 A1 = (4 × 4) : 2 = 8 A2 = 4 × 4 = 16A3 = (3 × 4) : 2 = 6 AT = 8 + 16 + 6 = 30

4 a) A1 = (3,14 × 32) : 2 = 14,13 cm2

A2 = 10 × 4 = 40 cm2

A3 = 7 × 3 = 21 cm2

AT = 14,13 + 40 + 21 = 75,13 cm2

b) A1 = (3,14 × 32) : 4 = 7,065 cm2

A2 = 6 × 3 = 18 cm2

A3 = (3 × 6) : 2 = 9 cm2

AT = 7,065 + 18 + 9 = 34,065 cm2

1 2 31 2

1 2 31 2

1 2 3

205

182 183

U·10

27 m

14 m

10 m

6 m11 m

Área de figuras planas por descomposición

1 Calcula el área de estas dos figuras por descomposición.

2 Observa cómo hemos dividido estas figuras en otras figuras conocidas ycalcula cuál es su área.

Clasifica ambas figuras como polígonos cóncavos o convexos.

3 Copia esta figura en tu cuaderno, descomponla en otras figuras conocidasy calcula su área tomando como unidad el lado de la cuadrícula.

4 Calcula la superficie de estas figuras.

a) b)

5 Este terreno se ha vendido a 15 € el m2.

a) ¿Cuál es su precio total?b) ¿Cuántos metros de valla serán necesarios para rodearlo?

6 ¿Qué superficie ocupa la pista de atletismo siguiente?

7 Calcula la superficie de esta parcela. La mitad se planta de tomates, una cuarta parte de lechugas y el resto de alcachofas. ¿Qué superficie ocupa cada cultivo?

Problemas

Realizo un plano de mi casa, y calculo el perímetro y área de la vivienda.

Dibuja un plano aproximado de tu casa y escribe los datos que has calculado en los pasos anteriores. Observa si te falta algún dato más por calcular. ¿Cuál es el perímetro de tu casa? ¿Y cuál es el área?Muestra tu plano a tus compañeros y com-pañeras y comparte con ellos tu trabajo.

1 2 3 4 5Paso

A veces nos encontramos con figuras irregulares que podemos descomponer en otras conocidas para poder calcular su área.

A1 = b · a

2 =

3 · 42

= 6 cm2

A2 = b · a = 6 · 4 = 24 cm2

A3 = b · a

2 =

4 · 42

= 8 cm2

¡ Reto conseguido !

3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

8 cm 7 cm

48 m24 m

33,94

m24 m

48 m

4 cm

3 cm 6 cm

A1

A2 A3

4 cm

Área total = A1 + A2 + A3 =

= 6 + 24 + 8 = 38 cm2

6 cm6 cm

12 cm6 cm

4 cm

3 cm

7 cm13 cm

Calcula el 20 % de una

cantidad.

20 %

:580 16

20 % de 4020 % de 3520 % de 7020 % de 4520 % de 50

20 % de 115

20 % de 90

20 % de 200

20 % de 100

20 % de 400

4 cm

8 cm8 cm

6 cm

3 cm

3 cm

RecuerdaUn polígono es cón-cavo si tiene algunode sus ángulos ma-yor de 180°.

Un polígono es con-vexo si todos susángulos son meno-res de 180°.

100 m

37 m

5 a) AT = 288 + 1 152 = 1 440 cm2

1 440 × 15 = 21 600 €Su precio total es de 21 600 euros.

b) 48 + 24 + 24 + 33,94 + 48 = 177,94Serán necesarios 177,94 metros de valla.

6 A1 = (3,14 × 372) : 2 = 2 149,33 m2

A2 = 100 × 74 = 7 400 m2

A3 = A1 = 2 149,33 m2

AT = 2 149,33 + 7 400 + 2 149,33 = = 11 698,66 m2

La superficie total es de 11 698,66 m2.7 A = 14 × 10 + 11 × 8 + 8 × 6 : 2 = 252 m2.

Área de los tomates = 252 : 2 = 126 m2

Área de las lechugas = 252 : 4 = 63 m2

Área de las alcachofas = 63 m2

Cálculo mentalLa estrategia desarrollada en este epígrafe es calcular el 20 % de una cantidad, para lo cual se divide entre cinco la cantidad.Se propone el trabajo diario del cálculo mental, en sesiones cortas de 5-10 minutos, trabajando una estrategia distinta semanal-mente. Al término de cada sesión se anota-rán los resultados y se hará una valoración semanal de estos.

Solución: 20 % de 40 = 8 20 % de 115 = 2320 % de 35 = 7 20 % de 90 = 1820 % de 70 = 14 20 % de 200 = 4020 % de 45 = 9 20 % de 100 = 2020 % de 50 = 10 20 % de 400 = 80

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades«Ejercita» (área de figuras planas por des-composición)

1 Calcula el área de estas figuras.

Solución: a) AT = 12 + 4 + 21 + 3 + 5 = 45 cm2

b) AT = 6 + 6 + 3 = 15 cm2

7 cm 2 cm

5 cm3

cm2

cm 2 cm

6 cm

2 cm3 cm

4 cm

2 cm

a) b)

206

184 185

U·10

Simetría axial y especular Ampliación y reducción de figuras

1 Utilizando la cuadrícula de tu cuaderno, copia la figura y traza su simétrica respecto del eje.

Señala un punto A y su simétrico B y mide la distancia que separa ambos puntos del eje de simetría. ¿Cómo es esa distancia?

2 ¿En cuáles de estos polígonos la línea roja no es eje de simetría?

3 Copia en tu cuaderno y completa las figuras sabiendo que la línea roja es un eje de simetría.

1 Dibuja en tu cuaderno una figura semejante a cada uno de estos polígonosde forma que la razón de semejanza sea k = 2.

2 Esta fotografía está representada a escala (1:5). Mide sus lados y calculacuáles son las dimensiones de la fotografía real.

3 Un rectángulo tiene 6 cm de alto y 8 cm de ancho. ¿Cuáles de estos otrosson semejantes a él? Indica si son ampliaciones o reducciones del original.a) 3 cm × 4 cmb) 15 cm × 20 cm

c) 5 cm × 7 cmd) 1,2 cm × 1,6 cm

e) 24 cm × 32 cmf ) 18 cm × 32 cm

Ten en cuentaLa escala también se puede expresar como un cociente:

Escala 1:5Significa que 1 cm de la copia repre-senta 5 cm en la rea-lidad.

Simetría axial

Una figura tiene simetría axial cuando podemos trazar un eje que la divida

en dos partes iguales, de forma que si doblamos

por el eje las dos partes coinciden.

Simetría especular

Esta figura presenta simetría especular respecto del eje rojo porque:

La distancia de un punto B y su imagen B' al eje de simetría es la misma.

El segmento BB' que une un punto y su imagen es perpendicular

al eje de simetría.

El cociente de dos lados correspondientes se llama

razón de semejanzao escala, y se representa

por la letra k.

Dos figuras son semejantes cuando el cociente de los segmentos que determinan sus lados semejantes es siempre el mismo.

ba

= b'a'

= b''a''

= k

Reducción de figurasUna reducción de una figura es otra figura cuyos lados son la medida del original dividi-da por un mismo número.

a' = ak

= 3

1,5 = 2 cm

b' = bk

= 4,51,5

= 3 cm

Ampliación de figurasUna ampliación de una figura es otra figura cuyos lados son la medida del original multiplica-da por un mismo número.

a'' = a · k = 3 · 1,5 = 4,5 cm

b'' = b · k = 4,5 · 1,5 = 6,75 cm

4,53

= 1,532

= 1,5

6,754,5

= 1,54,53

= 1,5k = 1,5

4 cm 4 cm

4 cm

5 cm

3 cm

A B C D

ReducciónOriginal

Ampliación

a'a''

a =

3 c

m

b = 4,5 cmb' b''

B'B

Sugerencias metodológicasEn este epígrafe recordamos la idea de figu-ras con eje de simetría, una noción ya ex-puesta en cursos anteriores pero añadiendo un nuevo concepto, la diferencia entre si-metría axial y especular. Este concepto se puede trabajar de diversas maneras: doblando por la mitad de forma que las dos mitades coincidan, midiendo para comparar las distancias de un punto y su simétrico con respecto al eje de simetría, u observando directamente para apreciar la regularidad.El objetivo es la identificación y la cons-trucción de figuras con esta propiedad.

Soluciones1

La distancia es la misma.2 a) No b) Sí c) No d) No3

Actividad de refuerzoDisponible en galería de actividades«Ejercita» (simetría axial y especular)

1 Dibuja las figuras simétricas respecto alos ejes señalados.

Solución:

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184 185

U·10

Simetría axial y especular Ampliación y reducción de figuras

1 Utilizando la cuadrícula de tu cuaderno, copia la figura y traza su simétricarespecto del eje.

Señala un punto A y su simétrico B y mide la distancia que separa ambospuntos del eje de simetría. ¿Cómo es esa distancia?

2 ¿En cuáles de estos polígonos la línea roja no es eje de simetría?

3 Copia en tu cuaderno y completa las figuras sabiendo que la línea roja esun eje de simetría.

1 Dibuja en tu cuaderno una figura semejante a cada uno de estos polígonos de forma que la razón de semejanza sea k = 2.

2 Esta fotografía está representada a escala (1:5). Mide sus lados y calcula cuáles son las dimensiones de la fotografía real.

3 Un rectángulo tiene 6 cm de alto y 8 cm de ancho. ¿Cuáles de estos otros son semejantes a él? Indica si son ampliaciones o reducciones del original.a) 3 cm × 4 cmb) 15 cm × 20 cm

c) 5 cm × 7 cmd) 1,2 cm × 1,6 cm

e) 24 cm × 32 cmf ) 18 cm × 32 cm

Ten en cuentaLa escala también se puede expresar como un cociente:

Escala 1:5Significa que 1 cm de la copia repre-senta 5 cm en la rea-lidad.

Simetría axial

Una figura tiene simetría axial cuando podemos trazar un eje que la divida

en dos partes iguales, de forma que si doblamos

por el eje las dos partes coinciden.

Simetría especular

Esta figura presenta simetría especular respecto del eje rojo porque:

La distancia de un punto B y su imagen B' al eje de simetría es la misma.

El segmento BB' que une un punto y su imagen es perpendicular

al eje de simetría.

El cociente de dos lados correspondientes se llama

razón de semejanza o escala, y se representa

por la letra k.

Dos figuras son semejantes cuando el cociente de los segmentos que determinan sus lados semejantes es siempre el mismo.

ba

= b'a'

= b''a''

= k

Reducción de figurasUna reducción de una figura es otra figura cuyos lados son la medida del original dividi-da por un mismo número.

a' = ak

= 3

1,5 = 2 cm

b' = bk

= 4,51,5

= 3 cm

Ampliación de figurasUna ampliación de una figura es otra figura cuyos lados son la medida del original multiplica-da por un mismo número.

a'' = a · k = 3 · 1,5 = 4,5 cm

b'' = b · k = 4,5 · 1,5 = 6,75 cm

4,53

= 1,532

= 1,5

6,754,5

= 1,54,53

= 1,5k = 1,5

4 cm 4 cm

4 cm

5 cm

3 cm

A B C D

ReducciónOriginal

Ampliación

a'a''

a =

3 c

m

b = 4,5 cmb' b''

B'B

Sugerencias metodológicasAntes de comenzar, conviene refrescar el concepto de escala visto en cursos ante-riores, así como el procedimiento para cal-cular medidas reales de un plano o dibujo teniendo en cuenta dicha escala.A continuación, introducir el concepto de razón de semejanza, que coincide con la es-cala; y será esta la que nos permita aumen-tar o reducir las figuras o dibujos represen-tados.Al ser concepto nuevos, se recomienda de-dicar tiempo a que el alumnado practique el paso de medidas en el plano a medidas en la realidad, ya que esto ayudará a la reso-lución de las actividades propuestas.

Soluciones1 Las medidas de los triángulos semejantes

al del enunciado pueden ser 8 cm, 6 cm10 cm o bien, 2 cm; 1,5 cm; 2,5 cm.Las medidas del cuadrado semejante aldel enunciado pueden ser 8 cm, o bien 2 cm.

2 15 cm × 10 cm 3 a) Es semejante. Es una reducción.

b) No es semejantec) No es semejante.d) Es semejante. Es una reducción.e) Es semejante. Es una ampliación.f) No es semejante.

Actividad de ampliaciónDisponible en galería de actividades«Piensa un poco» (ampliación y reducción de figuras)

1 ¿Cuál de estas figuras son semejantes?

Solución: Son semejantes la figura 1 y la figura 3.La razón de semejanza es 1,5.

1

2

3

208

187

U · 10

186

anayaeducacion.esDispones de una versiónimprimible de esta páginaen el apartado «Organizomi mente» del banco derecursos.

anayaeducacion.esNo olvides consultar losapartados «Para estudiar»y «Aprende jugando» enel banco de recursos.

Organizo mi mente

Colecciono palabras

1 Completa con perímetro o área en tu cuaderno.

a) El ? de un cuadrado es la suma de la longitudde sus cuatro lados.

b) El ? de un cuadrado es la longitud de un ladoal cuadrado.

c) El ? de un rombo es igual al de un cuadradocuyos lados miden lo mismo que los del rombo.

d) El ? de un romboide es igual a la de un rec-tángulo con igual base y altura.

2 ¿Quién es el intruso? Encuentra la figura que nopertenece al grupo y explica por qué.

1 Copia y completa el esquema en tu cuaderno.

2 Lee el esquema y busca un ejemplo de cada uno desus apartados en el libro. Cópialo en tu cuaderno.

3 Piensa qué más has trabajado en la unidad queno esté incluido en el esquema. Anótalo en tucuaderno.

4 Indica si estas oraciones son verdaderas o falsas.Corrige las falsas.a) El área de un cuadrado es igual a la resta de

las áreas de los triángulos que lo forman.

b) La longitud de una circunferencia es un pocomenor que el triple de su diámetro.

5 Inventa un problema a partir de esta imagen, uti-lizando algún contenido del esquema.

Resuelvo problemasSimplifico

el problema

Ahora tú

Ejemplo

Calculo la distancia real del primer iti-nerario.Como la escala es 1:200 000, 1 cm del mapa son 200 000 cm en la realidad y 200 000 cm es igual a 2 km:

4,5 × 2 = 9 km en la realidad

3

Calculo la distancia real del segundo itinerario.

5 × 2 = 10 km en la realidad

4

Escribo la solución.Como 9 km < 10 km, es más corto el pri-mer itinerario.

5

1 Esta pieza del puzle está dibujada a escala 1:4. ¿Cuánto mide en realidad y cuáles son las di-mensiones del puzle?

2 Este es el plano de la casa de Rosa. ¿Cuáles son el largo y el ancho en la realidad del salón, el dormitorio principal y la cocina? ¿Qué superficie tiene el piso?

Maribel, Silvia y Javier están de excursión. Obser-va el mapa y calcula cuál es la distancia más corta entre el puente y el campamento y cuántos kilóme-tros representa en la realidad. Área de figuras

planas

Área deparalelogramos

Áreadel círculoÁrea de polígonos

regularesÁrea

del triángulo

Cuadrado: ?

Rectángulo: ?

Romboide: ?

Rombo: ?

? ??

Elijo uno de los itinerarios y mido las distan-cias en el mapa.

Longitud total = 2 + 1,5 + 1 = 4,5 cm

1

Puente2 cm

1,5 cm1 cm

Castillo Ermita

Campamento

Selecciono el segundo itinerario y mido las distancias en el mapa.

Longitud total = 3 + 2 = 5 cm

2

Puente

Pueblo

Campamento

3 cm

2 cm

Comprobamos

1 cm

1 cm 1:400

Dormitorio 2

Dormitorio 3

Dormitorio principalSalón

Baño

Cocina

15 m

7,5 m

Puente

Castillo Ermita

Campamento

Pueblo1:200 000

Resuelvo problemasA la hora de resolver problemas, es necesa-rio sistematizar unos pasos que nos permi-tan enfrentarnos al proceso con éxito.La estrategia que se presenta en esta unidad es adecuada para resolver problemas com-plejos porque ayuda a los alumnos y a las alumnas a organizar, plantear y resolver el problema de una forma más sencilla.Esta estrategia podrá ser aplicada a otras si-tuaciones similares.

1 Elijo una pieza del puzle y mido sus dimensionesLado de la pieza = 2 cmCalculo cuanto mide en realidadLado de la pieza en la realidad = 8 cmCalculo el número de piezas que tie-ne el puzle y sus dimensiones Piezas totales del puzle = 5 × 5 = 25 piezasLado del puzle en realidad = 5 × 8 = 40 cmEscribo la soluciónEl puzle mide en realidad 40 cm de lado.

2 Calculo el largo y el ancho del salón en la realidadLargo = 1 200 cm Ancho = 600 cm

Calculo el largo y el ancho del dormi-torio en la realidadLargo = 1 000 cm Ancho = 600 cmCalculo el largo y el ancho de la coci-na en la realidadLargo = 600 cm Ancho = 600 cmCalculo el largo y el ancho del piso en la realidadLargo = 2 800 cm Ancho = 1 200 cmEscribo la soluciónLa superficie total del piso es de 336 m2

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Organizo mi mente

Colecciono palabras

1 Completa con perímetro o área en tu cuaderno.

a) El ? de un cuadrado es la suma de la longitud de sus cuatro lados.

b) El ? de un cuadrado es la longitud de un lado al cuadrado.

c) El ? de un rombo es igual al de un cuadradocuyos lados miden lo mismo que los del rombo.

d) El ? de un romboide es igual a la de un rec-tángulo con igual base y altura.

2 ¿Quién es el intruso? Encuentra la figura que no pertenece al grupo y explica por qué.

1 Copia y completa el esquema en tu cuaderno.

2 Lee el esquema y busca un ejemplo de cada uno de sus apartados en el libro. Cópialo en tu cuaderno.

3 Piensa qué más has trabajado en la unidad que no esté incluido en el esquema. Anótalo en tu cuaderno.

4 Indica si estas oraciones son verdaderas o falsas. Corrige las falsas.a) El área de un cuadrado es igual a la resta de

las áreas de los triángulos que lo forman.

b) La longitud de una circunferencia es un pocomenor que el triple de su diámetro.

5 Inventa un problema a partir de esta imagen, uti-lizando algún contenido del esquema.

Resuelvo problemasSimplifico

el problema

Ahora tú

Ejemplo

Calculo la distancia real del primer iti-nerario.Como la escala es 1:200 000, 1 cm del mapa son 200 000 cm en la realidad y 200 000 cm es igual a 2 km:

4,5 × 2 = 9 km en la realidad

3

Calculo la distancia real del segundo itinerario.

5 × 2 = 10 km en la realidad

4

Escribo la solución.Como 9 km < 10 km, es más corto el pri-mer itinerario.

5

1 Esta pieza del puzle está dibujada a escala 1:4.¿Cuánto mide en realidad y cuáles son las di-mensiones del puzle?

2 Este es el plano de la casa de Rosa. ¿Cuáles sonel largo y el ancho en la realidad del salón, eldormitorio principal y la cocina? ¿Qué superficietiene el piso?

Maribel, Silvia y Javier están de excursión. Obser-va el mapa y calcula cuál es la distancia más corta entre el puente y el campamento y cuántos kilóme-tros representa en la realidad. Área de figuras

planas

Área de paralelogramos

Área del círculoÁrea de polígonos

regularesÁrea

del triángulo

Cuadrado: ?

Rectángulo: ?

Romboide: ?

Rombo: ?

? ??

Elijo uno de los itinerarios y mido las distan-cias en el mapa.

Longitud total = 2 + 1,5 + 1 = 4,5 cm

1

Puente2 cm

1,5 cm1 cm

Castillo Ermita

Campamento

Selecciono el segundo itinerario y mido las distancias en el mapa.

Longitud total = 3 + 2 = 5 cm

2

Puente

Pueblo

Campamento

3 cm

2 cm

Comprobamos

1 cm

1 cm 1:400

Dormitorio 2

Dormitorio 3

Dormitorio principalSalón

Baño

Cocina

15 m

7,5 m

Puente

Castillo Ermita

Campamento

Pueblo1:200 000

Organizo mi menteEste apartado recoge, a modo de resumen, los contenidos fundamentales de la unidad didáctica. En él, se ofrece una revisión glo-bal de las ideas más relevantes de la unidad didáctica con la intención de consolidarlas antes de repasar los contenidos en la sec-ción «Qué he aprendido».

Soluciones1 Cuadrado: A = l × l = l2

Rectángulo: A = b × aRomboide: A = b × aRombo: A = (D × d) : 2A = (b × a) : 2

A = (P × a) : 2A = π × r2

2 Respuesta abierta.3 Perímetro de paralelogramos, perímetro

del triángulo, altura de un triángulo, orto-centro, perímetro de polígonos regulares,elementos de circunferencia y círculo,longitud de la circunferencia, área de fi-guras planas por descomposición, sime-tría axial y especular, ampliación y reduc-ción de figuras.

4 a) Falsa. El área de un cuadrado es igual a la suma de las áreas de los triángulos que lo forman.

b) Falsa. La longitud de la circunferenciaes un poco mayor que el triple de sudiámetro.

5 Respuesta abierta.

Colecciono palabras1 a) Perímetro

b) Áreac) Perímetrod) Área

2 El intruso es el rectángulo azul, porque no pertenece al grupo de polígonos regu-lares como el resto de figuras.

210

189188188 189

Cómo he aprendido

anayaeducacion.esDescubre y comparteen familia.

1 Calcula el área y el perímetro de estos polígonos.

2 Calcula el área de estos triángulos.a) b) c)

Copia en tu cuaderno el triángulo verde y traza sus tres alturas.

3 Calcula el área de este polígono regular.

4 Calcula el área y el perímetro de este hexágono.

5 Traza en tu cuaderno una circunferencia de 3,5 cm de radio y señala en ella:a) Una línea exterior a la circunferencia y una

cuerda.b) Un sector circular.c) Su radio.d) Un arco.e) Un segmento circular.

6 ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia de 6 cm de radio? ¿Y el área del círculo que con-tiene?

7 Copia y traza en tu cuaderno una figura simé-trica a esta a partir del eje rojo y otra a partir del eje azul:

Resuelvo problemas

8 Una vela triangular de un barco tiene 4 metros de altura por 3 metros de base. Si el m2 de la vela cuesta 25 €, ¿cuál es su precio?

9 Esta cometa tiene forma de rombo y sus diago-nales miden 145 cm y 60 cm, respectivamente. ¿Cuál es su área?

10 Un edificio de planta circular ocupa una super-ficie de 706,5 m2. ¿Cuál es el radio con el que se ha construido el edificio?

anayaeducacion.esDispones de una versiónimprimible de esta páginaen el «Portfolio» del bancode recursos.

Recuerda seleccionar elmaterial de trabajo de estaunidad para tu portfolio.

PORTFOLIO 10Qué he aprendido

8 cm

5,48

cm

6 cm

5,18

cm

7 cm

4 cm4

cm

7 cm

6 cm8 cm

5 cm

5 cm

4 cm

A

B

C

D

18 c

m

12 cm10 cm 8 cm8 cm

8 cm

1 Copia el diagrama y colorea según el código.

Lo he superado. Aún tengodificultades.

No lo heentendido.

Cálculo del área de figuras planas.

Ampliación y reducción de figuras. Simetría.

Cálculo del perímetro

de figuras planas.

De acuerdo con la puntuación que has escrito, contesta a estas preguntas.

2 Pide a un compañero o compañera que te evalúe utilizando estos emotico-nos, y haz tú lo mismo con alguien de la clase.

Excelente Bien Regular Mal

Participaciónen clase Atención

en clase

Ganasde aprender

Realizacióndel reto

a) ¿Estás de acuerdo con su valoración?b) Escribe cómo puedes mejorar alguno de los aspectos que te han evaluado.

3 Escribe cómo te has sentido aprendiendo el perímetro y el área de figurasplanas. Acompaña tu explicación con dibujos o emoticonos.

Agobio

Seguridad

Aburrimiento

TranquilidadInseguridad

Diversión

• ¿Por qué has indicado esto como lo que necesita mayor mejora?

• ¿Qué crees que deberías mejorar?

• Busca evidencias en las actividades o trabajos donde se vea esta debilidad.

Sobre lo que necesitas mejorar

• ¿Por qué crees que se te da tan bien?

• ¿Qué evidencias tienes de ello?

• Busca actividades o trabajos que hayas realizado con los que puedas demostrarlo.

Sobre lo que se te da mejor

Qué he aprendidoLas actividades propuestas servirán para afianzar los contenidos y detectar la conse-cución de los estándares de aprendizaje de la unidad.

Soluciones1 A) A = 28 cm2 P = 22 cm

B) A = 24 cm2 P = 20 cmC) A = 16 cm2 P = 16 cmD) A = 28 cm2 P = 24 cm

2 a) A = 40 cm2

b) A = 32 cm2

c) A = 108 cm2

3 P = 8 × 5 = 40 cmA = (40 × 5,48) : 2 = 109,6 cm2

4 P = 6 × 6 = 36 cmA = (36 × 5,18) : 2 = 93,24 cm2

5 Comprobar que los dibujos realizados por los alumnos y las alumnas son co-rrectos.

6 P = 2 × 3,14 × 6 = 37,68 cmA = 3,14 × 62 = 113,04 cm2

7

8 A = (4 × 3) : 2 = 6 m2

25 × 6 = 150El precio de la vela es de 150 €.

9 A = (145 × 60) : 2 = 4 350 cm2

Su área es igual a 4 350 cm2

211

189188188 189

Cómo he aprendido

anayaeducacion.esDescubre y comparte en familia.

1 Calcula el área y el perímetro de estos polígonos.

2 Calcula el área de estos triángulos.a) b) c)

Copia en tu cuaderno el triángulo verde y trazasus tres alturas.

3 Calcula el área de este polígono regular.

4 Calcula el área y el perímetro de este hexágono.

5 Traza en tu cuaderno una circunferencia de 3,5 cm de radio y señala en ella:a) Una línea exterior a la circunferencia y una

cuerda.b) Un sector circular.c) Su radio.d) Un arco.e) Un segmento circular.

6 ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia de 6 cm de radio? ¿Y el área del círculo que con-tiene?

7 Copia y traza en tu cuaderno una figura simé-trica a esta a partir del eje rojo y otra a partir del eje azul:

Resuelvo problemas

8 Una vela triangular de un barco tiene 4 metros de altura por 3 metros de base. Si el m2 de la vela cuesta 25 €, ¿cuál es su precio?

9 Esta cometa tiene forma de rombo y sus diago-nales miden 145 cm y 60 cm, respectivamente. ¿Cuál es su área?

10 Un edificio de planta circular ocupa una super-ficie de 706,5 m2. ¿Cuál es el radio con el que se ha construido el edificio?

anayaeducacion.esDispones de una versión imprimible de esta página en el «Portfolio» del banco de recursos.

Recuerda seleccionar el material de trabajo de esta unidad para tu portfolio.

PORTFOLIO 10Qué he aprendido

8 cm

5,48

cm

6 cm

5,18

cm

7 cm

4 cm

4 cm

7 cm

6 cm8 cm

5 cm

5 cm

4 cm

A

B

C

D

18 c

m

12 cm10 cm 8 cm8 cm

8 cm

1 Copia el diagrama y colorea según el código.

Lo he superado. Aún tengo dificultades.

No lo he entendido.

Cálculo del área de figuras planas.

Ampliación y reducción de figuras. Simetría.

Cálculo del perímetro

de figuras planas.

De acuerdo con la puntuación que has escrito, contesta a estas preguntas.

2 Pide a un compañero o compañera que te evalúe utilizando estos emotico-nos, y haz tú lo mismo con alguien de la clase.

Excelente Bien Regular Mal

Participación en clase Atención

en clase

Ganas de aprender

Realización del reto

a) ¿Estás de acuerdo con su valoración?b) Escribe cómo puedes mejorar alguno de los aspectos que te han evaluado.

3 Escribe cómo te has sentido aprendiendo el perímetro y el área de figuras planas. Acompaña tu explicación con dibujos o emoticonos.

Agobio

Seguridad

Aburrimiento

TranquilidadInseguridad

Diversión

• ¿Por qué has indicado esto como lo que necesita mayor mejora?

• ¿Qué crees que deberías mejorar?

• Busca evidencias en las actividades o trabajos donde se vea esta debilidad.

Sobre lo que necesitas mejorar

• ¿Por qué crees que se te da tan bien?

• ¿Qué evidencias tienes de ello?

• Busca actividades o trabajos que hayas realizado con los que puedas demostrarlo.

Sobre lo que se te da mejor

Completa

EN TU CUADERNO

o en la versión im

primib

le

10 706,5 : 3,14 = 225√225 = 15El radio del edificio circular es de 15 m.

Cómo he aprendidoEn esta sección es importante no juzgar las respuestas del alumnado, haciéndoles ver que sea cual sea su opinión, será bien acep-tada y no supondrá poner «etiquetas».Les pediremos que sean honestos y hones-tas y que expresen sus sentimientos y expli-quen sus opiniones de manera natural.1 No será suficiente con dar respuestas

simples, como, por ejemplo, «lo he supe-rado» o «no lo he superado». Hay que preguntar por qué.

Al alumnado que opine que tiene dificul-tades o no lo ha entendido, podríamospreguntarle cuáles son sus dificultades.Se trata de buscar y proponer sugerencias para mejorar el aprendizaje.

2 Preguntar al alumnado cómo ha apren-dido mejor y por qué. Se trata de con-cienciar de los beneficios que tiene tra-bajar ayudando a los demás y siendo ayudado.Las opiniones que denotan sentimientos positivos apuntan a una situación de co-hesión de grupo e interdependencia posi-tiva entre el alumnado.Es interesante hacerles tomar conciencia de lo ocurrido en las relaciones con losdemás y promover maneras de mejorar.

3 En cuanto a lo experimentado con las ac-tividades de clase, las opiniones que de-notan sentimientos positivos apuntan asituaciones de aprendizaje acordes a sus intereses y niveles de desarrollo próximo. En contra, las opiniones que denotan sentimientos negativos apuntan a situa-ciones de trabajo que se alejan de sus rit-mos y niveles de aprendizaje.Las respuestas dadas por el alumnado nos servirán de retroalimentación para reflexionar sobre cómo hemos enseñado.