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¿QUÉ ES UN RADIÁN? Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.(aprox. 6,28 rad) 180º = radianes 360º = 2· radianes CAMBIO DE RADIANES A GRADOS 180º radianes x º 3/2 radianes 180 % % = 3 2 ; 180 % · 3 2 = % · ; 270 % · = % · x= 34%·5 5 = 270 % CAMBIO DE GRADOS A RADIANES 180º radianes 120º x radianes 180 % 120 % = ; 180 % · = 120 % · ; x= 120 · 180 =2· 3 https://marielmatesblog.wordpress.com/ TRIGONOMETRÍA 0 o 180 º 90 o 270 o

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¿QUÉ ES UN RADIÁN?

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.(aprox. 6,28 rad)

180º = 𝛑 radianes360º = 2· 𝛑 radianes

CAMBIO DE RADIANES A GRADOS

180º 𝛑 radianesx º 3𝛑/2 radianes

180%

𝑥% =𝜋𝑟𝑎𝑑3𝜋2 𝑟𝑎𝑑

;

180% ·3𝜋2 𝑟𝑎𝑑 = 𝑥% · 𝜋𝑟𝑎𝑑;

270% · 𝜋𝑟𝑎𝑑 = 𝑥% · 𝜋𝑟𝑎𝑑

x = 34%·55

= 270%

CAMBIO DE GRADOS A RADIANES

180º 𝛑 radianes120º x radianes

180%

120% =𝜋𝑟𝑎𝑑𝑥𝑟𝑎𝑑 ;180

% · 𝑥𝑟𝑎𝑑 = 120% · 𝜋𝑟𝑎𝑑;

x =120 · 𝜋180 = 2 ·

𝜋3 𝑟𝑎𝑑

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TRIGONOMETRÍA

0o180º

90o

270o

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RELACIONES EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

h

c1

c2C1: cateto opuesto a C2: cateto contiguo a

∝∝

SENO: sen ∝ =cateto op. a ∝

hipotenusa =c1h

COSENO: cos ∝ = cateto cont. a ∝hipotenusa = c2

h

TANGENTE: tg ∝ = cateto op. a ∝cateto cont. = c1

c2

𝛽

s𝑒𝑛 ∝ = cos 𝛽

cos 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

𝑡𝑔 𝛼 =1

𝑡𝑔(𝛽)

sen2 ∝ +cos2 ∝ =1

tg ∝ =sen(∝)cos(∝)

1+co𝑡𝑔2 ∝ = IJKLMN

𝑡𝑔2 ∝ + 1=1

𝑐𝑜𝑠3𝑥

DEMÁS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

SECANTE: sec(∝)=1/cos(∝)COSECANTE: cosec(∝)=1/sen(∝)COTANGENTE: cotg(∝)=1/tg(∝)

2. Sabiendo que sen∝=1/5, averigua el valor de las demás razones trigonométricas.(

∝ ánguloagudo

∝ ánguloagudo)

1. Averigua el seno y coseno del ángulo∝

∝6 cm

4 cm

0 ≤ s𝑒𝑛 ∝ ≤ 1

0 ≤ cos 𝛼 ≤ 1

Observa

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

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Resolver un triángulo es calcular las amplitudes de los tres ángulos y las longitudes de los tres lados.

1. Conocido un ángulo B y un lado del triángulo.

- Calcular el ángulo que falta (todos los ángulos deben sumar 180º).

- Despejar de la fórmula del seno o coseno alguno de los lados que faltan.

2. Conocido dos lados

- Calcular el tercer lado usando Pitágoras.

- Calcular alguna razón trigonométrica de algún ángulo agudo.

- Usar la calculadora para obtener el valor del ángulo.

- Calcular el ángulo que falta, sabiendo que los tres deben sumar 180º

b

c

aCAB

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II I

1 y

x

III IV

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICARadio=1

x,y =(cos∝, sen∝)

I II III IVseno + + - -

coseno + - - +tangente + - + -

∝ ∝

II

III IV

Si x=seny ,y=arcsenx,

0º=360º

30º 45º 60º 90º 180º 270º

seno 0 12

2�

23�

21 0 -1

coseno 1 3�

22�

2

12

0 -1 0

II I

1 y

x

III IV

∝00

900

1800

3600

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−1 ≤ s𝑒𝑛 ∝ ≤ 1

−1 ≤ cos 𝛼 ≤ 1∝ á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎

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ÁNGULOSCOMPLEMENTARIOSA+B=900

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ÁNGULOSSUPLEMENTARIOSA+B=1800

DIFERENCIADE1800A=1800+B

ÁNGULOSOPUESTOSA=-B

DIFERENCIADE900A=900+B

SUMAN2700A+B=2700

DIFERENCIADE2700A=2700+B

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

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TEOREMA DEL SENO

b

a B c

C A

𝑠𝑒𝑛𝐴𝑎 =

𝑠𝑒𝑛𝐵𝑏 =

𝑠𝑒𝑛𝐶𝑐

a2 = b2 + c2 - 2b·c·cosAb2 = a2 + c2 - 2a·c·cosBc2 = a2 + b2 - 2a·b·cosC

Á𝑟𝑒𝑎𝑑𝑒𝑙𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =12 · 𝑎 · 𝑏 · 𝑠𝑒𝑛𝐶

TEOREMA DEL COSENO

Ejemplo. En un triángulo conocemos:B = 30o, a = 4 cm y b = 5 cmcalcula los demás lados y ángulos

que faltan

Ejemplo. En un triángulo conocemos:B = 120o, a = 7 cm y c = 12 cmcalcula los demás lados y ángulos que

faltan

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SUMAS𝑠𝑒𝑛 𝐴 ± 𝐵 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 ± 𝑐𝑜𝑠𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝐵cos 𝐴 ± 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝐴 · cos 𝐵 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝐵

𝑡𝑔 𝐴 ± 𝐵 =𝑡𝑔𝐴 ± 𝑡𝑔𝐵1 ∓ 𝑡𝑔𝐴 · 𝑡𝑔𝐵

𝑠𝑒𝑛 2𝐴 = 2𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐴cos 2𝐴 = (𝑐𝑜𝑠𝐴)3−(𝑠𝑒𝑛𝐴)3

𝑡𝑔 2𝐴 =2𝑡𝑔𝐴

1 − (𝑡𝑔𝐴)3

ÁNGULO DOBLE

ÁNGULO MITAD

𝑠𝑒𝑛𝐴2 = ±

1 − 𝑐𝑜𝑠𝐴2

cos `3= ± IabcJ`

3�

𝑠𝑒𝑛𝐴 + 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2 · 𝑠𝑒𝑛 `ad3· 𝑐𝑜𝑠 `ed

3

𝑠𝑒𝑛𝐴 − 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2 · 𝑐𝑜𝑠 `ad3· 𝑠𝑒𝑛 `ed

3

cos𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 2 · 𝑐𝑜𝑠 `ad3· 𝑐𝑜𝑠 `ed

3

cos𝐴 − 𝑐𝑜𝑠𝐵 = −2 · 𝑠𝑒𝑛 `ad3· 𝑠𝑒𝑛 `ed

3

𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 =12 · 𝑠𝑒𝑛 𝐴 + 𝐵 +

12 · 𝑠𝑒𝑛 𝐴 − 𝐵

𝑠𝑒𝑛𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝐵 =12 · 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵 −

12 · 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵

cos𝐴 · 𝑐𝑜𝑠𝐵 = I3· 𝑐𝑜𝑠 𝐴 + 𝐵 + I

3· 𝑐𝑜𝑠 𝐴 − 𝐵

SUMAS Y DIFERENCIAS

PRODUCTOS

BACHILLERATO

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(1,0)

(,)

(,)

(,)

(,)

(,)

(,)

(,)

(,)

(,)(,)

(,)

EJERCICIO: AVERIGUA EL SENO Y COSENO DE LOS SIGUIENTES ÁNGULOS: 30º, 60º, 90º,…

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AB

C

D

EJERCICIO: CALCULA EL VALOR DE LOS ÁNGULOS A, B, C Y D.APLICA LA DEFINICIÓN DEL SENO O COSENO Y CON AYUDA DE LA CALCULADORA OBTÉN EL VALOR DEL ÁNGULO. COMPRUÉBALO CON TU TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS.